第四章 可测函数汇总

第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构.§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时——————————————————————————————1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数.2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。

注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数若1ni i E E ==⋃ (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0i iE i x E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续0lim ()()x x f x f x →=若000,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x x O f x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x f O O δεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：任取[]x E f a ∈>, 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,x f x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f O E O a δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a O E E δ>⋂⊂.令[](,)x f a x x E G O δ>∈=⋃则G 为开集，当然为可测集，且另外[][](,)(,)[]()()x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E δδ>>>∈∈⋂=⋃⋂=⋃⋂⊂所以[][](,)()x f a f a x x E E O E G E δ>>∈⊂⋃⋂=⋂，故[]f a E G E >=⋂为可测集性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数()f x 必为可测函数。

第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构.§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时——————————————————————————————1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数.2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。

注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数若1ni i E E ==⋃ (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0i iE i x E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续0lim ()()x x f x f x →=若000,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x x O f x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x f O O δεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：任取[]x E f a ∈>, 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,x f x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f O E O a δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a O E E δ>⋂⊂.令[](,)x f a x x E G O δ>∈=⋃则G 为开集，当然为可测集，且另外[][](,)(,)[]()()x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E δδ>>>∈∈⋂=⋃⋂=⋃⋂⊂所以[][](,)()x f a f a x x E E O E G E δ>>∈⊂⋃⋂=⋂，故[]f a E G E >=⋂为可测集性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数()f x 必为可测函数。

第四章勒贝格可测函数4.2.1可测函数的定义及可测函数的判定正如数学分析中需要建立连续函数一样，在这里我们需要建立可测函数. 今后我们总是假设点集是可测的，设是可测集上的函数，那么对给定的实数，集合就是的一个子集，但它不一定是的可测子集，如果对任何实数，都是的可测子集，那么这个性质就反映了的性质. 因此，我们给出下面的定义.定义 4.2.1 设是可测集上定义的函数，如果对任何实数，集合都是可测集，则称是上的勒贝格可测函数，简称为可测函数.定理4.2.1 设是可测集上的函数. 则下列条件是等价的：(1) 是可测函数；(2) 对任何实数，是可测集；(3) 对任何实数，是可测集；(4) 对任何实数，是可测集．证(1)与(2)是等价的. 事实上，对任何实数，恒有故当可测时，由第一式知是可测集；当条件(2)成立时，由第二式知是可测集，从而为可测函数.(2)与(3)是等价的，事实上，对任何实数，，故(2)和(3)是等价条件.(1)与(4)是等价的. 事实上，对任何实数，，故(1)与(4)是等价条件.推论 4.2.1 设是可测集上几乎处处有限的函数，则在上可测的充要条件为对任何实数和，是可测集.证必要性因是可测函数，故和都是可以测集，又因为故也是可测集.充分性对任意实数，恒有由于每个皆为可测集，是零测度集，故为可测集. 由定义4.2.1知，是可测函数.例 4.2.1 设是可测集上的连续函数，则是可测函数.证往证对任何实数，是可测集.实事上，对任意，由连续函数的保号性知，存在的邻域，使得(*)令，其中满足(*)式要求，则为开集. 且而是显然的，于是有由于和皆为可测集，所以是可测集，由的任意性，知是可测函数.由例4.2.1可知，区间上的连续函数是可测函数.例4.2.2 迪里克雷函数是可测函数.对任意实数，有其中是中有理点集合. 显然是可测集. 故是可测函数.从例4.2.1 和例4.2.2可以看出：可测集上的连续函数都是可测函数. 然而可测函数却未必是连续的，甚至可以是处处不连续的.因此可测函数是比连续函数更广的一类函数.例4.2.3 测度为零的集合上的任何函数都是可测的.证明设，是上任一函数. 对任何实数，是的子集，而测度为零的集合的任何子集都是可测的（且测度为零），因此，是上的可测函数.定理 4.2.2 (1)设是可测集上的可测函数，而为可测子集，则看作是定义在上函数时仍是可测函数.(2)设在每个可测集的上都可测，则在上也可测.证(1)对任意实数，有上式右端是可测集，故左端亦是可测集.(2)对任意实数，有上式右端是可测集，故左端亦是可测集.4.2.2可测函数的运算性质现在我们来讨论可测函数类在四则运算和极限运算下的封闭性.为此，先作一个准备.引理4.2.1 设和都是上的可测函数，则是可测集.定理 4.2.3 设和都是上的可测函数，则⑴对任何实数，是上的可测函数；⑵当在上几乎处处有意义时，是上的可测函数；⑶当在上几乎处处有意义时，是上的可测函数；⑷当在上几乎处处有意义时，是上的可测函数.证明(1) 当时，，显然它是上的可测函数.当时，对任何实数，由于而是可测集，所以是可测集，因此是可测函数，同样可考察的情况.(2) 先设，这里是某一常数. 对任意实数，故是可测集，所以是可测函数.一般地，对任意实数，注意到由(1)的结论及前面的证明可知，是可测函数，由引理4.2.1可知是可测集，即是可测集，因此是可测函数.(3) 令则都是可测集，在上. 故在上都可测. 由定理 4.2.2之(2)，只需证在上可测. 注意到在上，都有意义，从而可测.对任意实数，当时，(4.2.1)当时，(4.2.2)(4.2.1)及(4.2.2)两式的右边都是可测集，因此都是上的可测函数，从而也是上的可测函数.(4) 只需证在上几乎处处有意时，是上可测函数.令. 因在上几乎处处有意义，所以.从而在上可测. 现证在上可测. 实际上，对任意实数.由的可测性知上式右边都是可测集，所以也是可测集，从而是上的可测函数.一、勒贝格可测函数（2）4.2.3可测函数与简单函数的关系定义4.2.4 设是可测集，是上的函数. 如果可分解为有限个互不相交的可测子集的并：，使在每个上都恒取某个常数值，则称是上的简单函数.例 4.2.1中的迪里克雷函数就是简单函数，康托集的特征函数也是简单函数.由简单函数定义知，两个简单函数的和、差、积仍是简单函数. 由定理4.2.2之(2)，容易得到下面的结果.推论4.2.3 简单函数是可测函数.定理4.2.6 设是上的非负可测函数，则存在非负简单函数列满足推论4.2.4 设是上的可测函数，则存在上的简单函数列，使得.本节所讨论的内容是第五章中研究积分理论的基础.首先，我们给出了可测函数的定义及其等价条件(定理4.2.1和推论4.2.1)，定理4.2.2在判定可测函数时也时常用到. 习题4中的第6题说明，如果点集上的两个函数和满足于，那么它们之中有一个可测时，另一个也可测. 这就是说，在一个测度为零的集合上可以任意改变函数值，而函数的可测性保持不变. 其次，我们讨论了可测函数类在四则运算和极限运算之下的封闭性. 最后，我们证明了任何可测函数能可表为简单函数列的极限. 通过本节的讨论还可以看出可测函数确实是连续函数的推广.二、练习4.21．设是中不可测集，令问在上是否可测？是否可测？答：是上的连续函数，因此，在可测，而是不可测集，故不可测.2．设是上的可测函数，则对任意实数，是可测集，反之，若对任意实数，是可测集，能判定是上的可测函数吗？答：若对任意实数，是可测集，还不能判定的可测性. 如上题中的，对任意的实数，是单点集或是空集，当然是可测的，但在上不可测.3．设是中康托集，是中任一可测集. 令4.3可测函数列的收敛性4.3.1几乎处处收敛与一致收敛的关系在数学分析中学习黎曼（Riemann）积分时，我们知道，一致收敛性在研究极限函数的连续性及逐项积分和逐项微分等问题时起着重要作用．但是，收敛函数列不一定是一致收敛的．例如函数列在上处处收敛于0，但不一致收敛于0．如果从去掉一个任意小的区间(是任给的)，那么在余下的区间上就一致收敛了．这就是说，可以从点集中去掉一个测度“很小”的子集，使函数列在上一致收敛．人们自然会想到，对可测函数列，几乎处处收敛与一致收敛是否也有上述类似的关系呢？这就是叶果洛夫（Egoroff）定理所回答的问题．定理4.3.1 （叶果洛夫）设(1) ；(2) 是上一列几乎处处取有限值的可测函数；(3) 于，且于．则对任意，存在的可测子集，使，且在上一致收敛于证明分两步进行．第一步，构造的子集，使在上一致收敛于1°一致收敛的定义是说：对任意，都存在自然数，使时，对所有的，都有．显然这等价于：对任意的（为正整数），存在，使时，对所有的，都有（4.3.1）由此可知，对任意，中使（4.3.1）式不成立，即使得的那些点都应从中去掉．即都应从中去掉，令．2°上，一致收敛于．事实上，对任意，总存在，使，于是，当时，如果，则，所以，．即在上一致收敛于.第二步，往证对任意，必有满足第一步中条件的，使．由的定义，，要使，只须充分小．实际上，只要充分大，是确实可以任意小的．这是因为，由定理4.1.2，的点所成的集是由定理条件．从而，对每个k都有由第3章定理3.2.6，便得可见，只要充分大，确实可以使任意小，比如对每个，可取充分大的，，并且于是有定理证毕．定理4.3.1中条件“”不能去掉．例如，取，则有．定义函数列显然是上可测函数列，且，但对给定的，每个在中总存在一个测度为1的子集，使在其上取值为1．所以找不到满足定理要求的子集．即找不到的子集，使，且在上，一致收敛于0.4.3.2依测度收敛，依测度收敛同几乎处处收敛的关系定义4.3.1 设是点集上一列几乎处处取有限值的可测函数，是上几乎处处有限的可测函数，如果对任意的，有，则称函数列依测度收敛于，记为．由测度收敛定义可知，函数列依测度收敛于可改述为：对任意和任意，总存在自然数，当时，就有下面我们来研究依测度收敛与几乎处处收敛之间的关系．例4.3.1 收敛而不依测度收的函数列．令，作函数列则，．但是对，有所以不依测度收于1．例4.3.2 依测度收敛而处处不收敛的函数列．取，作函数列：一般地，把作等分，定义函数于是我们定义了一列函数现令，则是定义在上处处有限的可测函数列，并且．事实上，对任意，由定义可知，必有某个，使，于是当时，也有．故所以．但处处不收敛于0．这是因为对任意，由定义可知，中必有无穷多个值为1，也必有无穷多个值为0，所以不是收敛数列，即在上处处不收敛0．上面的两个例子说明，函数列依测度收敛与几乎处处收敛是两个互不包含的概念．那么函数列的这两种收敛性是否还存在什么联系呢?下面的两个定理作出了回答.定理4.3.2（勒贝格定理）设(1) ；(2) 是E上一列几乎处处取有限值的可测函数；(3) 于，且于。

（完整版）第四章可测函数第四章可测函数教学⽬的：1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的⼀些重要性质.2.掌握通过Egoroff 定理证明Lusin 定理,它表明Lebesgue 可测函数可以⽤性质较好的连续函数逼近.3.掌握⼏乎处处收敛,依测度收敛和⼏乎⼀致收敛，以及⼏种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学⽣对可测函数列的⼏种收敛性和相互关系有⼀个较全⾯的了解. 重点难点：1.可测函数有若⼲等价的定义.它是⼀类范围⼴泛的函数,并且有很好的运算封闭性.2.可测函数可以⽤简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征.3.引进的⼏种收敛是伴随测度的建⽴⽽产⽣的新的收敛性.⼀⽅⾯, L 可测集上的连续函数是可测的,另⼀⽅⾯,Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以⽤连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式.4.依测度收敛是⼀种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很⼤的差异.Egoroff 定理和Riesz 定理等揭⽰了这⼏种收敛之间的关系.Riesz 定理在⼏乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了⼀座桥梁.§4.1 可测函数及相关性质由于建⽴积分的需要，我们还必须引进⼀类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构.设f 是可测集D 上的函数,若对任何R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 记=αD 是可测集,则称f 是可测集D 上的可测函数.我们知道,f 在D 上连续?R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 、{}α<∈)(:x f D x 都是开集.所以由可测函数的定义,区间D 上的连续函数f 是可测函数.⼜如:设E 是D 的可测⼦集.则E 上的特征函数为=)(x f )(x E λ=01E D x E x -∈∈由于 {}αα>∈=)(:x f D x D=D E φ0101<<≤≥ααα是可测集,所以E λ是D 上的可测函数.即定理4.1.1 可测集的特征函数是可测的.今后,在不致混淆时,将{}α>∈)(:x f D x 简记为{}α>f .类似, {}α≥f 、{}α≥f 、{}αf 可否换成α定理4.1.2 设函数f 定义在可测集D 上,则下⾯四件事等价. (i)f 在D 上可测;(ii)对任何R ∈α,{}α≥f 可测; (iii)对任何R ∈α,{}α其证明就是利⽤集合的运算. 证明:(i)?(ii) {}α≥f ?->=∞=n f n 11αI ,由(i), ?->n f 1α可测,从⽽->∞=n f n 11αI 可测,即{}α≥f 可测.(ii)?(iii){}α(iii)?(iv){}α≤f ?+<=∞=n f n 11αI (iv)?(i) {}α>f -=D {}α≤f定理4.1.3 设函数f 和g (i){}λ=f 、{}βα<是可测集.证明: (i)先设λ是实数,则{}λ=f {}λ≥=f {}λ>-f 是可测集;若∞=λ,则{}∞=f {}n f n >=∞=1I 可测;若-∞=λ,则{}-∞=f {}n f n -<=∞=1I 可测.可见, 对任何⼴义实数λ,{}λ=f 是可测集.对于其它集的可测性由定理3.1.2与集合的运算⽴即可得.(ii)分析:?>g f x ?,使)()(x g x f >,若∞=)(x f ,则∞≠)(x g ,可∞-,不管怎样,f 、g 之间可以插进有理数.即:若{}1≥n n r 是有理数全体,则{}g f>{}{}{}g r r f n n n >>=∞=I Y 1再利⽤函数f 和g 都是可测函数,可得右侧为可测集,即{}g f >是可测集.在数学分析中,我们已经知道连续函数对于极限运算不封闭,即连续函数的极限可能不是连续函数,只有⼀致收敛的连续函数列的极限函数连续,否则未必.如:n n x x f =)(,]1,0[∈x .)()(x f x f n →?=01101<≤=x x不连续.⽽可测函数对于极限运算是封闭的,这点也体现了它的优越性.定理 4.1.4 设{}1)(≥n n x f 是可测集D 上的⼀列可测函数,则函数)(sup 1x f n n ≥、)(inf 1x f n n ≥、)(lim x f n n ∞→、)(lim x f n n ∞→都是可测函数. 证明:任取R ∈α,则})({sup 1α>≥x f n n })({1α>=∞=x f n n Y 可测.(此等式表明⾄少有⼀个α>)(x f n ,否则都α≤,就说明α为上界,由上确界是最⼩上界,便会得出α≤≥)(sup 1 x f n n )})(inf {1α<≥x f n n })({1α<=∞=x f n n Y 可测.(⾄少有⼀个α<)(x f n ,否则都α≥,α为下界,其最⼤下界α≥≥)(inf 1x f n n )再由)(lim x f n n ∞→)(sup inf 1x f k nk n ≥≥=、)(lim x f n n ∞→)(inf sup 1x f k nk n ≥≥=知)(lim x f n n ∞→、)(lim x f n n ∞→都是可测函数.(n x 的上极限k nk n n n x x ≥≥∞→=sup inf lim1,k nk x ≥sup ↓;n x 的下极限k nk n n n x x ≥≥∞→=inf sup lim 1,k nk x ≥inf ↑)实变函数的第⼀个“差不多”是可测集与开集、闭集差不多;第⼆个“差不多”就是可测函数与连续函数差不多. 为研究实变函数中的第⼆个“差不多”,前述内容中最重要的是定理4.1.4—可测函数对极限运算封闭.§4.2 可测函数的其它性质设D 是可测集,)(x p 是⼀个与D 中每⼀点有关的命题.若除了D 的⼀个零测⼦集E 外,使)(x p 对每⼀E D x -∈都成⽴,则称)(x p 在D 上⼏乎1xy处处成⽴,⽤a.e.表⽰.(即almost everywhere).例如,{}x n sin 在R 上⼏乎处处收敛于0或说0sin lim =∞→x n n a.e.在R(因为只有2ππ+=k x 时,极限不为0,其为可数集,当然为零测集);Cantor 集上的特征函数0)(=x C λ a.e.在]1,0[(因为Cantor 集为零测集).若说)(x f 在R 上a.e.有限,意即)(x f 不有限的点的集合为零测集. 为讲第⼆个“差不多” ,先讲连续函数,数学分析中求R 积分时,把曲的变成直的, 并称其为阶梯函数,此处我们称为简单函数, 它是由特征函数决定的. 设f 是可测集D 上的⼀个函数,若)(D f是由有限个实数1a ,2a ,…,n a 组成,并且{}k k a x f D x E =∈=)(: n k ,,2,1Λ=都是可测集,则我们称f 是D 上的⼀个简单函数.由此f 可以表⽰为)()(1x a x f K E k nk λ=∑=其中)(x kE λ可记作)(x k λ,为k E 上的特征函数.由可测函数定义,简单函数都是可测的.(定理3.3.4⾄多可数个可测集之并可测).易知,若f 、g 都是简单函数,则f λ、||f 、fg 、g f +、g f -等都是简单函数(因其值域是有限个实数),当然都是可测的.下⾯说明可测函数⼀定是简单函数的极限.定理4.2.1 设f 是可测集D 上的可测函数,则有D 上的简单函数列{}1≥k k ?,使对每⼀D x ∈,)()(x f x k →?,此外(i)当0≥f 时,可使上述{}1≥k k ?满⾜对每⼀D x ∈,{}1≥k k ?单增收敛于)(x f ;(ii)当f 有界时, 可使上述{}1≥k k ?在D 上⼀致收敛于f . (即对任何0>ε,有K ,K k >?,有ε?<-|)()(|x f x k )提问:试举例说明,⼀列函数在每⼀点都收敛于)(x f ,但不⼀致收敛.答:如k k x x f =)( ]1,0[=D ,则=001<≤=x x ,这时)(x f k 在每⼀点都收敛,但不⼀致收敛.其原因是极限函数不连续.上述定理说明,可测函数和简单函数“差不多”.通过上图,我们形象地描述⼀下上述定理的证明思路.第⼀次:在-1和1之间取阶梯函数,每段长21; 第⼆次:在-2和2之间取阶梯函数,每段长221,其中-1和1之间是将第⼀次的段分⼀半,分细了,这段的⼀部分向上移了,所以-1和1之间的第⼆个阶梯函数部分⽐第⼀个⼤……,即)(1x--=1)(2)(211)(11-<<≤-≥x f kx f k x f 2,1,0,1-=k(k 的取法可由中间⼀段得出,因此时)(x f 必在-1和1之间,左等右不等,由1211-=-k 得1-=k ,由121=k得2=k ,所以2,1,0,1-=k .第⼆次k 的取法类似).)(2x--=22122k2)(2)(212)(22-<<≤-≥x f kx f k x f 8,,6,7Λ--=k证明:对每⼀1≥n ,令)(x n--=nk nn 21 n x f k x f k n x f n n -<<≤-≥)(2)(21)(若若若 n n n n k 2,,12?+?-=Λ(i)显然{}1≥n n ?是⼀列简单函数,现固定D x ∈.若∞=)(x f ,则对每⼀1≥n ,有n x n =)(?,从⽽)()(x f x n →?; 若-∞=)(x f ,则对每⼀1≥n ,有n x n -=)(?,从⽽)()(x f x n →?; 最后,若)(x f 是⼀个实数,则当n 充分⼤时,存在唯⼀的n k ,使得n n n n k n 212?≤≤+?-,并且nnn n k x f k 2)(21<≤- 于是)(x n ?n n k 21-=,nnx x f 21)()(0<-≤?.令∞→n ,即得)()(x f x n →?. 特别,设f ⾮负.由)(x n ?的构造⽅法(如图x 轴上⽅),易知:)(x n ?单增.(ii)最后若f 有界,M 是||f 的⼀个上界,则当M n >时,{}n f ≥及{}n f-<都是空集,从⽽对⼀切D x ∈,有nn x f x 21)()(<-?,故{}1)(≥n n x ?⼀致收敛于)(x f .注1.由可测函数的定义,f 在可测集D 上是否可测,与f 在D 上的⼀个零测⼦集上的值⽆关.f 可测?{}α>∈)(:x f D x R ∈?α是可测集.若0)(=E m ,D E ?,即使f 在E 上乱动,对{}α>∈)(:x f D x 可测没有影响.即只要f 在E D -上可测,就说f 在D 上可测(在E 上⽆定义也可).说明:若)(1x f )(2x f = a.e.D ,则当1f ,2f 中有⼀个可测时,另⼀个也可测.⽽连续函数⽄⽄计较,动⼀点则不连续.注 2.设是D 上的可测函数列, 0)(=E m ,D E ?.若对每⼀个E D x -∈,)()(x f x f n →,由定理4.1.4知f 在E D -上可测,从⽽由注1, f 在D 上可测.这个结论也可以说成“可测函数列{}1≥n n f 在D 上⼏乎处处收敛的极限f 在D 上可测”.注 3.设f 和g 都是D 上的可测函数,若对某D x ∈,∞=)(x f ,且-∞=)(x g 或-∞=)(x f 且∞=)(x g ,则)()(x g x f +就没有意义.但如果所有使)()(x g x f +没有定义的点x 的全体是零测集,则我们同样可以讨论g f +的可测性,对g f -也如此.定理4.2.2 设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -⼏乎处处有定义,则它们也是可测的.证明思路.以f 为例.因f 是可测集D 上的可测函数,从⽽有简单函数列)()(x f x f n →,进⽽简单函数列)()(x f x f n →,所以极限函数f 可测.再如证fg 可测,由已知,因)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,)(x f n 、)(x g n 为简单函数列,所以)(x f n )(x g n 也是简单函数列,且)(x f n )(x g n )()(x g x f →,因此极限函数)()(x g x f 可测.⼀定注意:可测与否与零测集⽆关.例题4.2.1 ]1,0[上的实函数是否⼀定可测?答:不⼀定.找]1,0[中的不可测⼦集E ,其上的特征函数不可测.即:取不可测集合]1,0[?E ,令==01)()(x x f E λE x E x -∈∈]1,0[则{}α>∈)(:]1,0[x f x ??=]1,0[E φ0101<<≤≥ααα ——→不可测.所以)(x E λ在]1,0[上不可测.例题4.2.2 零测集上的实函数是否⼀定可测?答:因{}E x f E x ?>∈α)(:,故也是零测集,从⽽零测集上的实函数⼀定可测.例题 4.2.3 设D E ?,其中D 可测,0)(=E m .若f 在E D -上可测,是否f 在D 上可测?答:{}α>∈)(:x f D x ={}α>-∈)(:x f E D x Y {}α>∈)(:x f D x 可测. 复述定理4.2.1f 在D 上可测?有D 上的简单函数列)()(x f x f n →,D x ∈?且 (i)0≥f 时,)()(x f x f n ↑→(ii)当f 有界时, )(x f n )(x f .之后三个“注”说明可测函数与零测集⽆关.这样,若可测函数列)()(x f x f n → a.e.,则)(x f 是可测函数.可见,对可测函数来说,总的要求是宽的.重复定理4.2.2设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -⼏乎处处有定义,则它们也是可测的.什么叫g f +⼏乎处处有定义?即{}(I ∞=)(x f {})-∞=)(x g Y {}(I -∞=)(x f {})∞=)(x g 是零测集. 其证明思路:①可测函数⼀定是⼀列简单函数列处处收敛的极限. ②也可⽤定义.如{}αλ>f 由)0}({>>λλαf 或)0}({<<λλαf 来证. 此处⽤⽅法①最清楚.简单函数)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,则)()(x f x f n λλ→,)()(x f x f n →, )(x f n )(x g n )()(x g x f →,)(x f n +)(x g n )()(x g x f +→ a.e.D(简单函数是处处有定义的,有限个实数是其值域,⽆∞±的情况,简单函数不允许取∞±)g f +在E D -可测,0)(=E m ,由注1, g f +在D 可测(即例题3).例题4.2.4 f 在D 上可测,f sin 在D 上是否可测? 答:因f 可测,则有简单函数列)()(x f x f n →D x ∈? 所以 )(sin )(sin x f x f n →由于n f 是简单函数,取有限个实数,当然)(sin x f n 也取有限个实数,因⽽n f sin 也是简单函数,所以f sin 可测.由此可见,不光可测函数的“＋、－、×、数乘、绝对值”可测,还有些复合函数也可测,但复合函数⽐较复杂.sin 连续故必可测.但若随便问))((x f g 可测吗?⼀下⼦说不清楚.f 、g 可测,则有简单函数f f n →、g g n →,这时))((x f g n n 也是简单函数,但))((x f g n n →))((x f g ? g 若连续,有))(())((x f g x f g n →g 若不连续,则没有))(())((x f g x f g n →,更不⽤说))((x f g n n →))((x f g 了.所以,连续函数的复合还连续,⽽可测函数的复合却不⼀定可测. 要点: 1.可测函数与零测集⽆关.2.可测函数是简单函数列处处收敛的极限.§4.3 可测函数⽤连续函数来逼近称F 是⼀个紧集,若F 的任何开覆盖存在有限⼦覆盖.其充分必要条件是F 是有界闭集.定理 4.3.1 设F 是⼀个紧集,{}1≥n n f 是⼀列沿F 连续的函数.若{}1≥n n f 在F 上⼀致收敛于f ,则f 也沿F 连续(F x ∈?,)()(lim 00x f x f Fx x x =∈→).前⾯曾提到n x →01101<≤=x x ]1,0[∈x ,由极限函数不连续?n x 不⼀致收敛.定理的证明思路与数学分析同.问: 数分怎样证明“连续函数)(x f n 在],[b a ⼀致收敛?)(x f 连续?” 证明:],[0b a x ∈?,0>?ε,0>?δ,?),(0δx x Y ∈=-)()(0x f x f )()()()()()(000x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-)()(x f x f n -≤+)()(0x f x f n n -+)()(00x f x f n -3ε<3ε+3ε+ε= 若改为),(b a 也⼀样.本节中⾮常重要的⼀个结果:定理4.3.2(Egoroff)设f 和n f )1(≥n 都是测度有限的集D 上⼏乎处处有限的可测函数.若n f 在D 上⼏乎处处收敛于f ,则对任何0>ε,有D 的闭⼦集F,使ε<-)(F D m ,并且n f 在F 上⼀致收敛于f .(也称基本上⼀致收敛,有点象数分中的内闭⼀致收敛)证明:令{})()(lim )()(:1x f x f x f x f D x D n n n =∈=∞→都有限且和,则由条件知,1D 是可测集且0)(1=-D D m .令)(r nA I 1D =<-∞=r x f x f k n k 1)()(I Λ,2,1,=r n()(r n A 是1D ⾥那样的点: ?<-r x f x f k 1)()(与r k ,有关, r 不动,取∞+=Λ,1,n n k ,现在看这种集合有什么性质)对每⼀1≥r ,{}↑→≥1)(n r n A 1D ,且每⼀个)(r n A 都可测.(⾸先,每⼀个)(r n A 都是1D ⼦集,由{}↑≥1)(n r n A知)(1)(lim r nn r n n A A∞=∞←=Y ,也就是要证1)(1D A r n n =∞=Y ),易见)(1r nn A ∞=Y 1D ?，这是因为每个1)(D A r n ?,现在对1D x ∈?,取01>r,由)()(lim x f x f n n =∞→知N ?,N k >?,有rx f x f k 1)()(<-,说明}1)()({r x f x f x k N n <-∈∞=I ,当然1D x ∈}]1)()({[rx f x f k N n <-∞=I I )(r NA =.所以)(1r nn A x ∞=∈Y ,因此?1D )(1r nn A ∞=Y ,于是得到1)(1D A r n n =∞=Y .即1)(lim D A r nn =∞←. 由测度性质(定理3.3.6(i)))(lim )(r n n A m ∞→)lim ()(r n n A m ∞→=)(1D m = (1)⼜∞<=)()(1D m D m ,所以对每⼀1≥r ,有r n ,使)()()(1r n r A m D m -)()(1r n rA D m -=12+(2)(对 (1)式利⽤极限定义,再根据测度的减法,∞<)(A m 时,)()()(A m B m A B m -=-)此时n f 在)(1r n r rA E ∞==I 上⼀致收敛于f .(即0>?ε有N ,N n ≥?,E x ∈?,有ε<-)()(x f x f n (下证) 0>?ε ,有00>r ,使ε<01r ,从⽽当0r n n >时,对⼀切)(00r n r A x ∈,有ε<<-01)()(r x f x f n .显然)(00r n r A E ?所以上述结论对E x ∈?都成⽴.即n f 在) (1r n r rA E ∞==I 上⼀致收敛于f .) )(E D m -)(1E D m -=)()(11r n r rA D m ∞=-=I ))(()(11r n r rA D m -=∞=Y (由)(11r n r r AD ∞=-I )()(11r n r rA D -=∞=Y ) )()(11r n r rA D m -∑<∞= 1=∑2ε=此时有E 的闭⼦集F ,使2)(ε<-F E m ,则n f 在F 上⼀致收敛于f 且)]()[()(F E E D m F D m --=-Y )()(F E m E D m -+-≤ε<.思路是:⼏乎处处收敛→处处收敛→⼀致收敛→闭集上↑↑↑↑ D ? 1D ? E ? F注:上述定理中要求D 测度有限即∞<)(D m .此条件⾮常重要.若∞=)(D m ,则没有上述定理.如:)()(),(x x f n n +∞=λ,)(0)(x f x f n =→)(∞→n .问:是否有闭集F 使1)(<-F R m ?⽽且n f 在F 上⼀致收敛于0?这是不可能的.因为{}∞=≥∈1:n f R x m 做不到0→n f a.e.R引理4.3.1 设F 是R 中的闭集,函数f 沿F 连续,则f 可以开拓成R 上的连续函数*f ,并且)(sup *x f Rx ∈)(sup x f Fx ∈=.nR证明:此时),(1n n n cb a F ∞==Y ,其中(){}n n b a ,两两不交.(f 在F 上有定义,不妨设在c F 上没有定义,故f 在端点n a ,n b 上有定义,在其内部⽆定义,重新定义:将端点连成线段即可) .(可能f 在c F 有定义不连续,同样重新定义) 今定义=)()()()(*n n b f a f x f x f 线性 -∞=∈∞=∈∈∈n n n n n n n n n n a b a x b b a x b a b a x Fx 其中其中有限其中),,(),,(,),,( ???? ??---+)()()()(n n n n n n a x a b a f b f a ff*a nnn b n 1122kk显然*f 是R 上的连续函数.它是f 的开拓,且=∈)(sup *x f Rx )(sup x f Fx ∈.引理 4.3.2 设f 是可测集D 上的简单函数,则对任何0>ε,有沿D 连续的函数*f ,使{}()ε<≠*f f m . (是说简单函数和连续函数“差不多”,为可测函数与连续函数“差不多”作准备)证明:设{}n k k a D f ≤≤=1)((因f 为简单函数),其中k a 都是实数且两两不同.令{}k k k a f E == n k ,,2,1Λ=,则k E 可测,其中{}n k k E ≤≤1两两不相交,k nk E D 1==Y .对每⼀k ,有闭集k k E F ?,使F E m k k ε<-)((因可测集与闭集“差不多”)则f 沿F F k nk ==1Y 连续.(对k nk F F x 1x 充分接近0x 时即 ?<),(0x x d ),(min 0,,2,10k k k n k F x d ≠=Λk k E F x ?∈所以0)(k a x f =.从⽽)()(lim 00x f x f Fx x x =∈→.即f 沿F 连续.)由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .{}())(*F D m f f m -≤≠)(11k nk k nk F E m ==-=Y Y)]([1k k nk F E m -≤=Y)(1k k nk F E m -∑≤=ε<(由第⼀章习题:-∞=n n A 1Y n n B ∞=1Y -?∞=n n A (1Y )n B ,由于在F 上,f f =*,所以可能不等的地⽅在F 外,即{}F D f f -?≠*).定理 4.3.3(Lusin)设f 是可测集D 上⼏乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε有沿D 连续的函数*f 使{}()ε<≠f f m *,并且≤∈)(sup *x f Dx )(sup x f Dx ∈.证明:不妨设f 处处有限.先设∞<)(D m (为了应⽤Egoroff 定理),此时有简单函数列{}n f ,使对任何D x ∈,)()(x f x f n →.现对每⼀个1≥n ,由引理4.3.2,存在沿D 连续的函数*n f ,使{}()1*2+<令{}*1n n n f f E ≠=∞=Y ,则)(E m ∞=∑≤1n {}()11*2+∞=∑<≠n n nn ff m ε2ε=此时对每⼀E D x -∈(即{}*1n n n f f =∞=I ),有)()(*x f x f n n = Λ,2,1=n从⽽对每⼀E D x -∈,)()(*x f x f n → (因∞<-)(E D m 故可⽤Egoroff 定理)由Egoroff 定理,,有有界闭集E D F -?使2)(ε<--F E D m⽽且*n f 在F 上⼀致收敛于f .由定理 4.3.1,f 在F 上连续,再由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .此时{}()f f m ≠*)(F D m -≤()[]E F E D m Y --=)()(E m F E D m +--≤ ε<这样我们在∞<)(D m 即D 有界的条件下证明了定理.若∞=)(D m ,令)1,[+=n n D D n I Λ,2,1,0±±=n则∞<)(n D m .由已证,对每⼀n ,有n D 的闭⼦集n F ,使f 沿n F 连续,⽽且2Λ,2,1,0±±=n此时,n n F F +∞-∞==Y 是闭集⽽且f 沿n F 连续.(⼀般,可数个闭集的并不⼀定是闭集,称σF 集.如:]2,1[1nn ∞=Y ]2,0(=.开集是σF 集是由于]1,1[),(1nb n a b a n -+=∞=Y .此处n n F F +∞-∞==Y 是闭集是因F x n ∈?,x x n →有F x ∈(下证)由于R x ∈,故)1,[00+∈n n x .现x x n →,故⼜由F x n ∈,当n 充分⼤时0n n F x ∈.由0n F 闭且x x n →知F F x n ?∈0.)由引理4.3.1,f 作为F 上函数可以开拓成D 上的连续函数*f ,并且{}()*f f m ≠)(F D m -≤)(n n n n F D m ∞-∞=∞-∞=-=Y Y)]([n n n F D m -≤∞-∞=Y2||2+∞-∞=∑ε<对于)(sup *x f Dx ∈)(sup x f Dx ∈≤,由引理4.3.1)(sup *x f D x ∈)(sup x f F x ∈=)(sup x f D记住:只有Egoroff 定理限定∞<)(D m .推论:若f 是],[b a 上⼏乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε,有],[b a 上的连续函数*f ,使{}()ε<≠*f f m ,并且)(m ax *] ,[x f b a x ∈)(sup ],[x f b a x ∈≤.例:=01)(x D⽆理数有理数x x 处处不连续.令0)(*≡x D ,则{}()ε<=≠0)()(*x D x D m .这提供了⼀种⽅法,研究可测函数命题可以先研究连续函数,⼆者“差不多”.000§4.4 测度收敛)()(x f x f n Dn ∞→?→?已经学过三种,即()()()()??测度收敛⼀致收敛⼏乎处处收敛逐点收敛4321 {}()εδεδε<≥-?>??>?>∈?>??>?=-∈?∈?f f m N n N f f Dx N n N E m E D x Dx n n ,,0,0,,,00)(,第四种即今天要学习的测度收敛.设f 和n f )1(≥n 都是D 上⼏乎处处有限的可测函数.若对任何0>δ,{}()0→≥-δf f m n ()∞→n ,则称n f 在D 上测度收敛于f .记为f f n ?. 例 4.4.1.对每⼀1≥n ,把]1,0[n 等分,得到n 个⼩区间],1[n kn k -,n k ,,2,1Λ=.令 0≡f1)()(]1,0[1≡=x x f λ= )()(]1,21[3x x f λ=)()(]31,0[4x x f λ= )()(]32,31[5x x f λ= )()(]1,32[6x x f λ=………………图形见演⽰⽂稿《测度收敛反例》此时对任何0>δ{}()δ≥-f f m n {}()δ≥=n f m 0?→?()∞→n .(因n 越⼤,n f 等于1的区间越⼩)即f f n ?.但对任何]1,0[∈x ,{}1)(≥n n x f 中有⽆穷项为1,⽆穷项为0,可见n f 不收敛.例 4.4.2.对每⼀1≥n ,令)()(),[x x f n n ∞=λ,0)(≡x f ,R x ∈.此时对R x ∈,)()(x f x f n →,但对21=δ,})21|({|≥-f f m n })21({≥=n f m )),((∞=n m ∞=.所以n f ?f .以上⼆例说明:测度收敛与⼏乎处处收敛和逐点收敛没有因果关系.但还是有关系的.即定理 4.4.1(Riesz)设f 和)1(≥n f n 都是可测集D 上的⼏乎处处有限的可测函数,则(i)若f f n ?,则{}1≥n n f 中有⼦列{}1≥k n k f ⼏乎处处收敛于f .(ii)若∞<)(D m ,并且n f ⼏乎处处收敛于f ,则f f n ?. 证明:(i)此时对每⼀1≥k ,})21|({|k n f f m ≥-)(0∞→→n ,因此有k n 使 kk n f f m k 21})21|({|<≥-Λ,2,1=k ΛΛ<<<1f 1f 2f 3f 4f 10令})21|{|(1kn pk p f f E k≥-=∞=∞=Y I (即集合序列的上极限) 则对每⼀1≥p })21|{|()(k n p k f f m E m k ≥-≤∞=Y })21|({|k n pk f f m k≥-∑≤∞=kp k 21∞=∑< 121-=p 令∞→p 得0)(=E m .即E 为零测集.此时 cE E D -=})21|{|(1kn pk p f f k≥-=∞=∞=I Y 从⽽对每⼀E D E x c-=∈,必有10≥p 使∈x }21|{|0k n p k f f k<k n x f x f k 21|)()(|<-. 也即)()(x f x f kn → )(∞→k .说明kn f 在c E 上处处收敛于f ,也就是说kn f 在D 上⼏乎处处收敛于f .(ii) (注意条件∞<)(D m ,否则即使n f 处处收敛于f ,也未必f f n ?)任给0>δ,0>ε,由于∞<)(D m ,由Egoroff 定理,有D 的可测⼦集E 使ε<-)(E D m 并且n f 在E 上⼀致收敛于f .于是有N,使δ<-|)(|f x f n E x ∈? N n >?此时 {}δ≥-)()(x f x f n E D -?故 {}()δ≥-)()(x f x f m n ()E D m -≤ε< N n > 即f f n ?.例 4.4.3.设)()(x f x f n ?,)()(x g x f n ?,则)()(x g x f =在E 上⼏乎处处成⽴.证明:由于)()(x g x f -)()()()(x g x f x f x f k k -+-≤,故对任何⾃然数n ,}1|:|{n g f E x ≥-∈?}21|:|{n f f E x k ≥-∈Y }21|:|{ng f E x k ≥-∈,从⽽})1|:|({n g f E x m ≥-∈≤})21|:|({n f f E x m k ≥-∈})21|:|({ng f E x m k ≥-∈+令∞→k ,即得})1|:|({ng f E x m ≥-∈0=. 但是}:{g f E x ≠∈}1|:|{1ng f E x n ≥-∈=∞=Y故0}):({=≠∈g f E x m ,即)()(x g x f = a.e.于E.讲可测函数最重要的⼀条是其与连续函数“差不多”,即Lusin 定理.我们所说的“差不多”是{}()ε<≠f f m *⽽不是f f =* a.e . 不要混同.。

第四章 可测函数
常见问题答疑
一、 任何集合上的连续函数均可测吗？
答：定义在可测集上的连续函数均可测，但是定义在不测集上的连续函数不可测。

二、零测集上的任何函数均可测吗？
答：定义在零测集上的任何函数均可测。

三、从函数2()f x 可测或()f x 可测能否推出()f x 也可测？
答：从函数2()f x 可测或()f x 可测不能推出()f x 也可测。

四、由函数()()f x g x ±可测能否推出()f x 、也可测？
()g x 答：由函数()()f x g x ±可测不能推出()f x 、也可测。

()g x
五、设E 是一个孤立点集，那么E 上的任何函数是否连续？是否一致连续？
答：设E 是一个孤立点集，那么E 上的任何函数连续，但是不一定一致连续。

六、设{()}n f x 是E 上的可测函数列，能否断定1()n n f x ∞
=∑为E 上的可测函数？
答：设{()}n f x 是E 上的可测函数列，则1()n n f x ∞
=∑为E 上的可测函数。

七、几乎处处相等的函数是否有相同的可测性？
答：几乎处处相等的函数有相同的可测性。

八、设()f x 是定义在可测集E 上的函数，如果对任何实数α，[]α=f E 均可测，能否断定()f x 是E 上的可测函数？
答：设()f x 定义在可测集E 上的函数，如果对任何实数α，[]α=f E 均可测，不能断定()f x 是E 上的可测函数。

第四章可测函数(总授课时数14 学时)由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构.§ 1 可测函数及其性质教学目的本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征. 本节难点可测函数与简单函数的关系.授课时数4学时1 可测函数定义定义：设f(x) 是可测集E上的实函数(可取)，若a R,E[f a]可测，则称f (x)是E 上的可测函数.2 可测函数的性质性质1零集上的任何函数都是可测函数。

注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集性质2简单函数是可测函数n若E E i ( E i可测且两两不交) ，f (x) 在每个E i 上取常值c i ，则称f (x)是E上的i1简单函数；n1 x E i f(x)i 1c i E i(x) 其中E i(x)0 x E Ei注：Dirichlet 函数是简单函数性质 3 可测集E上的连续函数f (x) 必为可测函数设f (x)为E上有限实函数，称f(x)在x0 E处连续若0,0,使得f (O(x0, ) E) O(f(x0), )对比：设f (x) 为a,b 上有限实函数，f(x)在x0 (a,b)处连续若lim f(x) f (x0 ) x x0即0, 0,当|x x0 | 时，有| f (x) f (x0) |即0, 0,当x O(x0, )时，有 f (x) O( f (x0), )即0, 0,使得f(O(x0, )) O(f(x0), )f(x)在x0 [a,b] 处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：任取x E f a , 则f x a, 由连续性假设知，对f (x) a, x 0, 使得f (O(x, x) E) O(f (x), ) (a, )即O(x, x) E E[f a].令G O(x, x)则G为开集，当然为可测集，x E[ f a ] x且另外G E (xE O(x, x)) E x E(O(x, x) E) E[f a]x E[ f a] x E[ f a ]所以E[f a] (x E O(x, x)) E G E ，[ f a ]故E[ f a] G E 为可测集性质 4 R中的可测子集E上的单调函数f(x) 必为可测函数。

第四章习题解答1、证明：()f x 在E 上为可测函数的充要条件是对任一有理数r ，集[]E f r >可测，如果集[]E f r =可测，问()f x 是否可测？证明：必要性显然。

因为()f x 在E 上为可测函数，故对任意实数1a R ∈有[]E f a >可测，当然有对任一有理数r ，集[]E f r >是可测集。

充分性：若对任意有理数r ，集[]E f r >可测，则对任一实数a ，{},,()n n n r r a r a n ∃>→→∞使，于是1[][]n n E f a E f r ∞=>=>∑。

事实上，若[](),,(),[]n n n x E f a f x a r a r f x x E f r ∈>⇒>∃<<∈>所以使即。

故 1[][]n n E f a E f r ∞=>⊆>∑ 若1[]n i x E f r ∞=∈>∑，则存在0n ，使0[]n x E f r ∈>，所以0()n f x r a >>，[]x E f a ∈>。

1[][]n n E f a E f r ∞=>⊇>∑，由此有1[][]n n E f a E f r ∞=>=>∑，而每一个[]n E f r >可测从而： []E f a >可测。

2、设()f x ，()(1,2,)n f x n = 是定义在区间[,]a b 上的实函数，k 为正整数，试证：11lim [||]n n k E f f k ∞→∞=-< 是E 中使()n f x 收敛于()f x 的点集。

证明： 11111lim [||][|()()|].n n n k k N n N E f f E f x f x k k ∞∞∞∞→∞====-<=-<由()()n f x f x →()n →∞的定义，⇔1,N kε∀=∃，使得当n N ≥时有 1|()()|n f x f x k-<，由该定义反分析回去即为：1|()()|n f x f x k -<⇔1[|()()|]n x E f x f x k∈-<； 对一切n N ≥，有1|()()|n f x f x k -<⇔1[|()()|]n n N x E f x f x k ∞=∈-< ；N ∃，当n N ≥时，1|()()|n f x f x k -<⇔11[|()()|]n N n Nx E f x f x k ∞∞==∈-<对1,N k ε∀=∃，使得n N ≥时，1|()()|n f x f x k-< ⇔111[|()()|]n k N n Nx E f x f x k ∞∞∞===∈-< ，因此有：111[][|()()|]n n k N n NE f f E f x f x k ∞∞∞→===→=-< 。