线性代数复习——计算或应用题

第一章 行列式复习要点：1. 会计算逆序数，余子式，代数余子式2. 熟练掌握行列式的性质，并能利用性质计算行列式3. 掌握克莱姆法则练习题：1. 排列1 6 5 3 4 2的逆序数是（ ）.A. 8 B ．9 C ．7 D ． 62122.431235-的代数余子式12A 是（ ）.A 2143-- B2143- C 4125--D4125-3. 排列32514的逆序数是（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 64.关于行列式，下列命题错误的是（ ）.A. 行列式第一行乘以2，同时第二列除以2，行列式的值不变 B ．互换行列式的第一行和第三行，行列式的值不变 C ．互换行列式的任意两列，行列式仅仅改变符号 D ． 行列式可以按任意一行展开 5. 关于行列式，下列命题正确的是（ ）.A. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等B ．互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等C ．如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零D ． 以上命题都不对6. 关于行列式，下列正确的是（ ）.A. 如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零.B. 互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等.C. 行列式中有两行对应成比例，则此行列式为零.D. 行列式与它的转置行列式互为相反数.7. 下列命题错误的是（ ）.A. 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组有唯一解 B ．如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组无解 C ．如果齐次线性方程组的系数行列式等于零，则该方程组有非零解 D ．如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组只有零解8212431235-的余子式32M =————，代数余子式32A =—————— 9. 已知k341k 000k 1-=，则k =__________.10. 若52k 74356=，则k =__________.11. 计算行列式|12345006|=_________ 12. 计算行列式|1111123413610141020| 13.计算行列式53-120172520-23100-4-14002350D =14. 计算行列式1234248737124088D =15.计算行列式x yyxx x y y yx x y+++第二章 矩阵复习要点：1. 掌握矩阵的线性运算，矩阵乘法运算律，转置矩阵的运算律，2. 掌握矩阵的初等变换3. 掌握方阵行列式的性质，转置矩阵的性质，逆矩阵的性质4. 会求逆矩阵.了解待定系数法和伴随矩阵法，掌握用初等变换求解逆矩阵相关问题.能够证明矩阵的可逆性.5. 会用初等行变换求矩阵的秩6. 会求解矩阵方程练习题：1. 设A ，B 均为n 阶可逆阵，则下列公式成立的是( ). A T T T B A AB =)( B T T T B A B A +=+)( C 111)(---=B A AB D 111)(---+=+B A B A2. A,B 均为n 阶方阵，若要22(A B)(A B)A B +-=-不成立，需满足（ ）.A. A=E B ．B=O C ．A=B D ． AB ≠BA 3. 若方阵2A A,=A 不是单位方阵，则（ ）.A. A 0= B ． A 0≠ C ．A O = D ．A O ≠4.若矩阵111A 121231⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪λ+⎝⎭的秩为2，则λ=（ ）. A. 0 B ． 2 C ．1 D ． -15.矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=32015431A 的秩是（ ） 6. 110201211344⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 的秩是（ ）7. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321212113A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111012111B 求AB 和BA8. 设矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1021A 求32A A ，. 9. 设矩阵521320A ,B 341201--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求T T T(1)AB ;(2)B A;(3)A A.10.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=210111121A ，求逆矩阵11. 223110121⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.，求逆矩阵 12. 求矩阵X , 使B AX =, 其中.341352,343122321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A13. 求解矩阵方程,X A AX += 其中.010312022⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A.B AX X ,B ,A . 132231 11312221414=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=使求设15. 已知n 阶方阵A 满足矩阵方程2A 3A 2E O --=,其中A 给定，E 为n 阶单位矩阵，证明A 可逆，并求1A -. 16. 设A 、B 为n 阶矩阵，2A B AB E --=，2A A =，其中E 为n 阶单位矩阵.证明：A B -为可逆矩阵，并求()1A B --.17. 设方阵A 满足22A A E O --=，证明A 及2A E +都可逆.第三章 线性方程组复习要点：1. 熟练掌握方程组解无解/有解/有唯一解/有无穷多解的充要条件2. 会求向量组的秩；能够验证向量组的线性相关性；会求向量组的极大线性无关组，并可以将其他向量用极大无关组线性表示.3. 熟练掌握基础解系的求解3. 会求解齐次线性方程组的通解，会求非齐次线性方程组的通解和特解练习题：1. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 23124010012⎛⎫ ⎪→λλ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭，当常数λ=（ ）时，此线性方程组有唯一解.A. -1 B ．0 C ．1 D ． 22. 已知n 元线性方程组b Ax =，其增广矩阵为B ，当（ ）时，线性方程组有解.A. ()n B r =B. ()n B r ≠C. ()()B r A r =D. ()()B r A r ≠3. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 23124010012⎛⎫ ⎪→λλ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭，当常数λ=（ ）时，此线性方程组有唯一解.A. -1 B ．0 C ．1 D ． 24. 设A 为m×n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充分必要条件是 系数矩阵的秩r (A )（ ）A. 小于mB. 小于nC. 等于mD. 等于n5. 已知向量组1,,m αα线性相关，则（ ）.A 、该向量组的任何部分组必线性相关.B 、该向量组的任何部分组必线性无关.C 、该向量组的秩小于m .D 、该向量组的最大线性无关组是唯一的.6. 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D _____0. ( = 或 ≠)7. 已知线性方程组Ax b =有解，若系数矩阵A 的秩r(A)=4,则增广矩阵B 的r(B)=__________.8. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 312400120012⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪λ⎝⎭，则当常数λ=__________时，此线性方程组有无穷多解.9. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 300200a 11⎛⎫→ ⎪+⎝⎭，则当常数a =__________时，此线性方程组无解.10.λ取何值时，非齐次线性方程组 1231232123+1++x x x x x x x x x λλλλλ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解？ 取何值时，线性方程组当 11..λ ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3313123321321321x λλx x λλx x λλx λx x x λ 有唯一解、无解、无穷多解？当方程组有无穷多解时求出它的解.12.求下列方程组的通解.236222323754325432154321⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-+++=++++x x x x x x x x x x x x x x13. 判断下列向量组的线性相关性：（1）1234=-1,3,2,5=3-1,0-4=2,2,2,2=1,5,4,6αααα（），（，，），（），（）（2）1234=1,1,3,1=10,00=2,2,7,-1=3,-1,2,4αααα（），（，，），（），（） 14. 已知向量组()()()()T4T3T2T13 2 10 0 10 1 11 1 1α-====,,α,,,α,,,α,,,,求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.15. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---140113*********12211的列向量组()54321α,α,α,α,α的一个极大无关组,并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.16. 试证若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 17. 已知向量321ααα，，线性无关，证明向量11232βααα=+-,2123312βαααβαα=--=+，也是线性无关的。

复习题例1 计算10001030012321n n D n =．解 )2(11010000103222,,21n n tD jjcc nj n++-==-=例2 计算nn n n n b a a a a b a a a a b a D +++=21221211 )0(≠i b .解法1 n n r r n b b b b a a b a D i001212111--+=- “),,2(11n j c b b c j j=+”n n b b a a t0022=n n nb b a b b a b b b a 2122111)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=n n n b a b a b a b b b 2211211 解法2 加边法nn n n n n b a a a a b a a a a b a a a a D +++=212212112101nn b b b a a a10010112121---=nn b b b a a a t0000002121= n n b b b b b b t 2121==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n n b a b a b a 22111例3 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111111111A 满足X A X A 21+=-*, 求X ． 解 并项： 1)2(-*=-A X E A 左乘A ： E X A E A =-]2)det [(计算： 4d e t=A 11)2(21)24(---=-=A E A E X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10111001141例4 求解b Ax =, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111111λλλA , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21λλb 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21111111111~λλλλλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→101011001111112λλλλλλλ行 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--→≠10111001111111λλλ行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+→101110101)1(1002λλλ行 (1) 1≠λ：同解方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧+-+-=++=+=141312)2()1()1(1xx x x x x λλλ0=Ax 基础解系⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=)2(111λξ, b Ax =特解 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+=*)1(110λλη通解 ξηk x +=* （k 为任意常数）(2) 1=λ：同解方程组为 )(14321x x x x ++-=0=Ax 基础解系⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=00111ξ, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=01012ξ, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10013ξb Ax =特解 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=*0001η通解 332211ξξξηk k k x +++=* （321,,k k k 为任意常数）例5 向量组T ：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=31111α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=15312α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=21233c α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=c 10624α求向T的一个最大无关组．解 对矩阵[]4321αααα=A 进行初等行变换可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-----=c c A 2131015162312311⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-------→6741246041202311c c 列⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→29070041202311c c 列B c =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------→20070041202311列(1) 2≠c ：4rank rank ==B AB 的1,2,3,4列线性无关A ⇒的1,2,3,4列线性无关 故4321,,,αααα是T 的一个最大无关组； (2) 2=c ：3rank rank ==B AB 的1,2,3列线性无关A ⇒的1,2,3列线性无关 故321,,ααα是T 的一个最大无关组．例6 323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++= 用正),,(321x x x f 为标准形．解 f 的矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222A A 的特征多项式 )10()1()(2---=λλλϕ121==λλ的两个正交的特征向量 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1101p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1142p 103=λ的特征向量 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2213p 正交矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=32231213223121312340Q 正交变换y Q x =：标准形23222110y y y f ++=例7 32312123222132166255),,(x x x x x x x c x x x x x f -+-++=,秩2)(=f ． (1) 求c ；(2) 用正交变换化),,(321x x x f 为标准形．解 (1) f 的矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=c A 33351315（显见2r a n k≥A ） 30d e t 2r a n k=⇒=⇒=c A A (2) λλλλλλλλϕ-------=-------=+333351044333351315)(21r r)9)(4(36336100412---=------=-λλλλλλc c9,4,0321===λλλ的特征向量依次为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2111p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0112p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1113p （两两正交） 正交矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=3162312161312161Q 正交变换y Q x =标准形232221940y y y f ++=例8 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2135212ba A 的一个特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1111ξ, 求数b a ,及A 的 全体解 11λξξ=A ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-031121b a b a λλλλ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=201335212A 0)1()(3=+=λλϕ ⇒ 1321-===λλλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--00110101101325213)1(行E A ：2))1((r a n k =--E A 由此可得：对应特征值1-=λ只有1个线性无关的特征向量, 而特征方程的基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1111ξ, 全体特征向量为)0(111≠=k k x ξ．例9 设方阵A 的特征值21λλ≠, 对应的特征向量分别为21,x x , 证明： (1) 21x x -不是A 的特征向量； (2) 1x ,21x x -线性无关．证 (1) 反证法．若)()(2121x x x x A -=-λ, 则)(212211x x x x -=-λλλ⇒0)()(2211=-+-x x λλλλ 21λλ≠ ⇒21,x x 线性无关 21λλλ==⇒ 矛盾！ 故21x x -不是A 的特征向量．(2) 设数组21,k k 使得 0)(21211=-+x x k x k , 则 0)()(22121=-++x k x k k21λλ≠ ⇒21,x x 线性无关 ⇒ 0,0221=-=+k k k 即0,021==k k ．故1x ,21x x -线性无关．。

(2)detA≠0→A可逆
→齐次线性方程组Ax=0只有零解
AB=0→B的列向量是齐次线性方程组Ax=0的解→B=0
或：A可逆，即A-1存在→根据AB=0→A-1A B= A-10→B= A-1
三、空间解析几何部分
（一）填空题
1．已知 ，则 ．
提示：a0=a/|a|
2．设 则 ＝．
提示：|a×b|=|a||b|sin→cos→a.b=|a||b|cos
2．
（A） （B）
（C） （D）
提示：|AB|=|A||B|=|BA|
3．设 阶矩阵 ,若矩阵 的秩为 ,则 必为
()
提示：参见书本及作业上的例子。
4．
提示：参见前面的内容。
5． ()
提示：(AB)2=I→ABAB=I→A(BAB)=I→A-1=BAB
(AB)2=I→ABAB=I→(ABA)B=I→B-1=ABA
4．设 ，则 .
提示：对矩阵A施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A的秩。
5．设 ，则当 满足条件时， 可逆.
提示：矩阵A的行列式detA≠0时，矩阵可逆。
(二)选择题
1．设 阶矩阵 ，则必有（）
（A） （B） （C） （D）
提示：A的逆矩阵为BC
2． （）
提示：P的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P非零，Qx=0有非零解，故Q的行列式detQ=0
2．设向量 ( )
提示：Prjba=|a|cos，|a|＝3→cos→cosa.b)/(|a||b|)
3． ( )
提示：向量平行，对应坐标分量成比例。
4．设向量 且 ( )
提示：向量混合积的计算方法。
5． ( )
提示：根据向量乘法运算律展开，并考察向量积的方向特性。

线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线代复习题
1. 矩阵的基本概念
- 定义矩阵及其元素
- 矩阵的阶数
- 矩阵的表示方法
2. 矩阵的运算
- 矩阵的加法和减法
- 矩阵的数乘
- 矩阵的乘法
- 矩阵的转置
- 矩阵的逆
3. 特殊矩阵
- 零矩阵
- 单位矩阵
- 对角矩阵
- 斜对角矩阵
- 正交矩阵
4. 行列式
- 行列式的定义
- 行列式的计算方法
- 行列式的性质
5. 线性方程组
- 线性方程组的表示
- 高斯消元法
- 线性方程组的解的存在性
- 齐次线性方程组的解
6. 向量空间
- 向量空间的定义
- 基和维数
- 向量的线性组合
- 向量的线性相关性
7. 特征值和特征向量
- 特征值和特征向量的定义
- 特征值和特征向量的计算方法 - 特征多项式
8. 二次型
- 二次型的定义
- 二次型的矩阵表示
- 正定二次型
9. 线性变换
- 线性变换的定义
- 线性变换的矩阵表示
- 线性变换的性质
10. 矩阵分解
- 矩阵的对角化
- 矩阵的谱分解
- 矩阵的QR分解
11. 应用题
- 利用矩阵解决实际问题
- 矩阵在不同领域的应用案例分析
请根据以上复习题进行复习，确保掌握线性代数的基本概念和运算法则。

线性代数考试题
1. 矩阵的定义与基本运算
a) 什么是矩阵？矩阵的定义是什么？
b) 如何进行矩阵的加法和减法运算？
c) 如何进行矩阵的数乘运算？
2. 矩阵的转置与乘法
a) 如何进行矩阵的转置运算？
b) 如何进行矩阵的乘法运算？
c) 矩阵乘法的性质有哪些？
3. 矩阵的逆与行列式
a) 什么是矩阵的逆？
b) 如何求解矩阵的逆？
c) 什么是行列式？
d) 如何计算矩阵的行列式？
4. 向量的线性相关性与线性无关性
a) 什么是线性相关性与线性无关性？
b) 如何判断一组向量是否线性相关？
c) 如何判断一组向量是否线性无关？
d) 线性相关与线性无关的定理有哪些？
5. 向量空间与子空间
a) 什么是向量空间？
b) 向量空间的性质有哪些？
c) 什么是子空间？
d) 如何判断一个子集是否为向量空间的子空间？
6. 特征值与特征向量
a) 什么是特征值和特征向量？
b) 如何求解特征值和特征向量？
c) 特征值和特征向量的性质有哪些？
7. 相似矩阵与对角化
a) 什么是相似矩阵？
b) 如何判断两个矩阵是否相似？
c) 什么是对角化？
d) 如何对角化一个矩阵？
8. 线性变换与矩阵的应用
a) 什么是线性变换？
b) 线性变换与矩阵的关系是什么？
c) 线性变换的应用有哪些？
以上是关于线性代数的考试题目，通过回答这些问题，你可以对线性代数的基本概念和运算有一个全面的了解。

希望你能够认真准备，并取得优异的成绩！。

线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设A是一个3阶方阵，且满足A^2 = A，则下列说法正确的是：A. A是可逆矩阵B. A是幂等矩阵C. A是正交矩阵D. A是单位矩阵答案：B2. 若矩阵A的特征值为1，则下列说法正确的是：A. 1是A的迹B. 1是A的行列式C. 1是A的一个特征值D. 1是A的秩答案：C3. 设向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则下列说法正确的是：A. 向量组中任意向量都可以用其他向量线性表示B. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示C. 向量组中任意向量都可以被其他向量线性表示D. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示，除非它们线性相关答案：B4. 若矩阵A的秩为2，则下列说法正确的是：A. A的行向量组线性无关B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关D. A的列向量组线性相关答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 若矩阵A的行列式为0，则A的______。

答案：秩小于矩阵的阶数2. 设向量空间V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，则任意向量v∈V可以唯一地表示为______。

答案：v = c1v1 + c2v2 + ... + cnn，其中ci为标量3. 设矩阵A和B可交换，即AB = BA，则A和B的______。

答案：特征值相同4. 若线性变换T: R^n → R^m，且T是可逆的，则T的______。

答案：行列式不为零5. 设A为n阶方阵，若A的特征多项式为f(λ) = (λ-1)^2(λ-2)，则A的特征值为______。

答案：1, 1, 26. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1, α2, ..., αn, α1+α2也是______。

答案：线性相关三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是矩阵的秩，并给出如何计算矩阵的秩的方法。

答案：矩阵的秩是指矩阵行向量或列向量组中线性无关向量的最大个数。

总复习题一、求逆序数：1、排列32514的逆序总数为_____；2、在5阶行列式中，项前的符号是.二、行列式的计算：1、计算：，，，；2、设行列式，求；3、设3阶行列式，则.三、伴随阵和逆矩阵的行列式、余子式：1、若是阶可逆方阵，且；2、设为3阶矩阵，，是的伴随矩阵，则=______；3、设其中元素的代数余子式的值是 .四、矩阵的运算：1、已知,,则______；2、已知,,则；3、设向量，求（1）（2）；4、已知,则；5、设, 求；6、设，求；7、若是可逆方阵，则.五、解矩阵方程：1、设,求解矩阵方程：.2、已知方阵A满足试证:可逆,并求其逆矩阵3、设矩阵,矩阵B满足方程,为二阶单位阵，试求.六、向量组的相关性、秩、最大无关组：1、设向量组，，，（1）为何值时向量组线性相关；（2）为何值时向量组线性无关.2、设，，，问为何值时线性相关.3、设，，，问为何值时线性相关.4、设,线性无关，试证：,也线性无关.5、设,,线性无关，试证：,,也线性无关.6、设向量组,且求向量组的秩.7、设向量组，，，，求该向量组的秩和一个最大无关组.8、设向量组，，，，求该向量组的秩和一个最大无关组.七、方程组之解的基本概念、性质：1、线性方程组有解的充分必要条件是；2、方程组的基础解系是 .八、方程组的解：1、试问当为何值时下列方程组无解?有无穷多解？唯一解？并在有无穷多解时求出通解.⑴； ⑵ ；⑶ .2、求如下线性方程组的通解：⑴；⑵九、解的性质：1、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的两个解向量，且，求该方程组的通解.2、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且，求该方程组的通解.参考答案一、5；“”. 二、1、0，48, 160，； 2、； 3、.三、1、； 2、； 3、.四、1、14；2、；3、(1) ，（2），4、；5、；6、；7、.五、1、；2、；3、.六、1、时，线性相关；时，线性无关；2、；3、； 6、2；7、3，、都可为其一个最大无关组；8、3，、、都可为其一个最大无关组.七、1、；2、.八、1、⑴ 当时，方程组有唯一解用法求之(略)；当时，方程组无解；当时方程组有无穷多解，且通解为..⑵ 当时，方程组无解；当时方程组有无穷多解(略)；当时，方程组有唯一解(略).⑶ 当时，方程组有唯一解；当时，方程组无解；当时方程组有无穷多解，且通解为2、⑴ ；⑵ .九、1、或； 2、.。

线性代数期末考试试题及答案第一节：选择题1. 下列哪个向量不是矩阵A的特征向量？A. [2, 1, 0]B. [0, 1, 0]C. [1, 1, 1]D. [0, 0, 0]答案：D2. 线性变换T：R^n -> R^m 可逆的充分必要条件是？A. T是一个单射B. T是一个满射C. T是一个双射D. T是一个线性变换答案：C3. 设线性空间V的维数为n，下列哪个陈述是正确的？A. V中的任意n个线性无关的向量都可以作为V的基B. V中的任意n - 1个非零向量都可以扩充为V的基C. V中的任意n个非零向量都可以扩充为V的基D. V中的任意n - 1个非零向量都可以作为V的基答案：A4. 设A和B是n阶方阵，并且AB = 0，则下列哪个陈述是正确的？A. A = 0 或 B = 0B. A = 0 且 B = 0C. A ≠ 0 且 B = 0D. A = 0 且B ≠ 0答案：C第二节：计算题1. 计算矩阵乘法A = [1, 2; 3, 4]B = [5, 6; 7, 8]答案：AB = [19, 22; 43, 50]2. 计算矩阵的逆A = [1, 2; 3, 4]答案：A^(-1) = [-2, 1/2; 3/2, -1/2]3. 计算向量的内积u = [1, 2, 3]v = [4, 5, 6]答案：u ∙ v = 32第三节：证明题证明：对于任意向量x和y，成立下列关系式：(x + y) ∙ (x - y) = x ∙ x - y ∙ y证明：设x = [x1, x2, ..., xn]，y = [y1, y2, ..., yn]。

左边：(x + y) ∙ (x - y) = [x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn] ∙ [x1 - y1, x2 - y2, ..., xn - yn]= (x1 + y1)(x1 - y1) + (x2 + y2)(x2 - y2) + ... + (xn + yn)(xn - yn)= x1^2 - y1^2 + x2^2 - y2^2 + ... + xn^2 - yn^2= (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)= x ∙ x - y ∙ y右边，由向量的内积定义可得：x ∙ x - y ∙ y = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)综上，左边等于右边，证毕。

线性代数练习题答案一、选择题1. 设矩阵A的秩为2，矩阵B的秩为1，则矩阵AB的秩为：A. 1B. 2C. 0D. 32. 向量组a1, a2, a3线性无关的充分必要条件是：A. 它们互不相同B. 它们不共面C. 它们是单位向量D. 它们是正交向量3. 一个3阶方阵A的特征值之和等于：A. A的迹B. A的行列式C. A的秩D. A的逆矩阵的行列式4. 若矩阵A是可逆的，则下列哪个矩阵也是可逆的：A. A的转置矩阵B. A的伴随矩阵C. A的逆矩阵D. A的行列式二、填空题1. 设矩阵A的行列式为-3，则矩阵A的伴随矩阵的行列式为______。

2. 若向量组{b1, b2, b3}能由向量组{a1, a2}线性表示，且a1=(1,2,-1)^T，a2=(0,1,3)^T，b1=(2,3,-1)^T，b2=(1,1,4)^T，则b3=(3,4,-2)^T可以表示为______。

三、简答题1. 简述矩阵的特征值和特征向量的概念，并说明它们在矩阵理论中的重要性。

2. 解释什么是矩阵的正交化和单位化，并说明它们在解决向量空间问题中的应用。

四、证明题1. 证明：若矩阵A是正定的，则其逆矩阵也是正定的。

2. 证明：若两个向量a和b是正交的，则它们对应的投影矩阵的乘积为零矩阵。

五、计算题1. 计算以下矩阵的行列式：\[ A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 5 \end{bmatrix} \]2. 设矩阵B为：\[ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \] 求矩阵B的特征值和特征向量。

3. 已知向量v=(1,1,1)^T，求在向量v方向上的投影矩阵P_v。

六、应用题1. 某公司需要解决一个线性方程组问题，方程组如下：\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 5 \\ 3x_1 + x_2 + 4x_3 = 8 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 4 \end{cases} \]请使用高斯消元法求解该方程组。

线性代数试题及答案1. 题目：矩阵运算题目描述：给定两个矩阵A和B，计算它们的乘积AB。

答案解析：矩阵A的维度为m x n，矩阵B的维度为n x p，则矩阵AB的维度为m x p。

矩阵AB中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的内积来计算，即AB(i,j) =∑_{k=1}^{n}A(i,k)B(k,j)。

2. 题目：矩阵转置题目描述：给定一个矩阵A，求其转置矩阵AT。

答案解析：如果矩阵A的维度为m x n，则转置矩阵AT的维度为n x m。

转置矩阵AT中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行第j列的元素来计算，即AT(j,i) = A(i,j)。

3. 题目：线性方程组求解题目描述：给定一个线性方程组Ax = b，其中A是一个m x n的矩阵，x和b是n维向量，求解x的取值。

答案解析：假设矩阵A的秩为r，则根据线性代数的理论，线性方程组有解的条件是r = rank(A) = rank([A | b])。

若方程组有解，则可以通过高斯消元法、LU分解等方法求解。

4. 题目：特征值与特征向量题目描述：给定一个矩阵A，求其特征值和对应的特征向量。

答案解析：设λ为矩阵A的特征值，若存在非零向量x，满足Ax = λx，则x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。

特征值可以通过解特征方程det(A - λI) = 0求得，其中I为单位矩阵。

5. 题目：行列式计算题目描述：给定一个方阵A，求其行列式det(A)的值。

答案解析：行列式是一个方阵的一个标量值。

行列式的计算可以通过Laplace展开、初等行变换等方法来进行。

其中，Laplace展开是将行列式按矩阵的某一行或某一列展开成若干个代数余子式的和。

6. 题目：向量空间与子空间题目描述：给定一个向量空间V和它的子集U，判断U是否为V的子空间。

答案解析：子空间U必须满足三个条件：（1）零向量属于U；（2）对于U中任意两个向量u和v，它们的线性组合u+v仍然属于U；（3）对于U中的任意向量u和标量c，它们的数乘cu仍然属于U。

1.设A ,B ,C 为n 阶矩阵，且A 可逆，下列结论成立的是（）(A).若AC AB =，则C B = (B).若CB AB =，则C A = (C).若O BC =，则O B = (D).若O AB =，则O A =或O B =2.若5734111113263278----=D ，则D 中第一行元素的代数余子式的和为（） (A).-1 (B).-2 (C).-3 (D).03.设A ,B 为n 阶非零矩阵，且O AB =，则A ,B 的秩为（）(A).必有一个等于零 (B).都小于n (C).一个小于n ，一个等于n (D).都等于n4.设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（）(A). 133221,,αααααα+++ (B). 321211,,αααααα+++ (C).133221,,αααααα--- (D). 1332213,2,αααααα+++5.要使TT )1,0,2(,)1,0,1(21-==ξξ都是线性方程组0=Ax 的解，只要系数矩阵A 为（）. (A). ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112213321(B). ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211121 (C). ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123020010(D). ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-020010 二、填空题（15分）1. 四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是_____．2. 齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =_____.3. 设A 为5阶方阵，*A 为其伴随矩阵，且3=A ，则=*A .4. 设A 是n 阶矩阵，满足O E A A =++322，则1-A =_____．5. 设A 是n 阶矩阵，对于0=Ax ，若每个n 维向量都是解，则=)(A R . 三、（10分）求行列式1332141121524321=D ． 四、（15分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=145243121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=223B 满足B AX =，求1-A 和X . 五、（15分）判断向量组T T T a a )3,2,2(,),2,0(,)3,1,(321===ααα的线性关系. 六、（15分）对矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7236311232201012A ，求A 的列向量组的秩、最大无关组、并表示其他向量. 七、（15分）求线性方程组⎩⎨⎧=-+--=-+12624321421x x x x x x x 的通解，并用基础解系表示.1.设A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则=kA （ ）. (A) A k (B) A k (C) A k n (D) A k n2.设A 为n m ⨯阶矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为1r ，矩阵AC B =的秩为r ，则（）(A) 1r r > (B) 1r r < (C) 1r r = (D) 1r r ,的关系依C 而定3.设n 元齐次方程组0=Ax 的系数矩阵为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是（）(A) n r = (B) n r < (C) n r ≥ (D) n r >4.n 维向量组)2(,,,≥s s 21ααα 线性相关的充要条件是（）(A) s 21ααα,,, 中至少有一个零向量 (B) s 21ααα,,, 中至少有两个向量成比例(C) s 21ααα,,, 中任意两个向量不成比例 (D) s 21ααα,,, 中至少有一个向量可以被其余向量所表示5.设321ξξξ,,是0=Ax 的基础解系，则该方程组其余的基础解系还可以表示为（）(A) 133221ξξξξξξ-++,, (B) 321ξξξ,,的一个等秩向量组 (C) 321211ξξξξξξ+++,, (D) 133221ξξξξξξ---,,二、填空题（15分）6. 261365415432a a a a a a 为六阶行列式的元素乘积，前面应冠以_______号．7. 6427811694143211111=D 中第三行元素的代数余子式的和∑=413j j A =__________． 8. =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4131211135111111________． 9. 设A 是n 阶矩阵，满足E A A -=22，则1)2(--E A =_____．10. n 维零向量一定线性 （相关/无关）．三、（10分）求行列式1232145121524321=D ．四、（15分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=130140121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123B 满足B AX =，求1-A 和X . 五、（15分）设向量组T T T k k )2,1,1(,)1,,1(,)1,1,(321===ααα，向量T k k ),,1(2=β，则k 取何值时（1）β不能由321,,ααα线性表示；（2）β可以由321,,ααα线性表示，且表示法唯一；（3）β可以由321,,ααα线性表示，且表示法不唯一六、（15分）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5244423232201012A ，求A 的列向量组的秩、最大无关组、并表示其他向量. 七、（15分）求线性方程组⎩⎨⎧=-+--=-+12624321421x x x x x x x 的通解，并用基础解系表示.1.设A ,B ,C 为n 阶矩阵，且A 可逆，下列结论成立的是（）(A).若AC AB =，则C B = (B).若CB AB =，则C A = (C).若O BC =，则O B = (D).若O AB =，则O A =或O B =2.若5734111113263278----=D ，则D 中第一行元素的代数余子式的和为（） (A).-1 (B).-2 (C).-3 (D).03.设A ,B 为n 阶非零矩阵，且O AB =，则A ,B 的秩为（）(A).必有一个等于零 (B).都小于n (C).一个小于n ，一个等于n (D).都等于n4.n 维向量组)2(,,,≥s s 21ααα 线性相关的充要条件是（）(A) s 21ααα,,, 中至少有一个零向量 (B) s 21ααα,,, 中至少有两个向量成比例(C) s 21ααα,,, 中任意两个向量不成比例 (D) s 21ααα,,, 中至少有一个向量可以被其余向量所表示5.设321ξξξ,,是0=Ax 的基础解系，则该方程组其余的基础解系还可以表示为（）(A) 133221ξξξξξξ-++,, (B) 321ξξξ,,的一个等秩向量组 (C) 321211ξξξξξξ+++,, (D) 133221ξξξξξξ---,,二、填空题（15分）11. 615243342516a a a a a a 为六阶行列式的元素乘积，前面应冠以_______号．12. =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4131211143211111________． 13. 设A 是n 阶矩阵，满足A A 32=，则1)(-+E A =_____．14. 设A 是2阶矩阵，3=A ，*A 是A 的伴随矩阵，求*1A A +-=________．15. 向量组321,,ααα线性无关的充要条件是______．三、（10分）求行列式1332101121024321=D ．四、（15分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212B 满足B AX =，求1-A 和X . 五、（15分）判断向量T )9,6,2,0(-=β是否可由向量组T T T )3,5,1,1(,)2,1,2,1(,)2,3,3,1(321-=---==ααα，如果可以，写出表达式. 六、（15分）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7236311232201012A ，求A 的列向量组的秩、最大无关组、并表示其他向量. 七、（15分）求线性方程组⎩⎨⎧=----=-+14624321421x x x x x x x 的通解及基础解系. 一、填空题1. 排列6137524的逆序数是 ．2. 若齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+-0052023232321kx x x x x x x 有非零解，则k = .3. 设A 为3阶方阵，且3=A ，则=A 5 .4. 向量组4321,,,αααα线性无关的定义是 ．5．向量组1234,,,αααα线性相关的定义是_____________.6. 53(1)无解的充要条件是 ___________________________________;(2)当____________时，方程组有无穷多解，这时通解含有 _____个自由未知量.7.行列式=301120111 .8.设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++444342418765A A A A .9.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011A ，则=-1)3(A . 10.设T )2,1,1(1-=α，T )1,3,1(2-=α，则=-2124αα . 二、选择题1.设B A 、为n 阶方阵，则下列选项中恒成立的是( )． A. BA AB =B. ))((22B A B A B A +-=-C. AB A A B A -=-2)(D. T T T B A AB =)(2.设n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关，则下列结论正确的是( )．A. s ααα,,,21 中至少有一向量可由其余向量线性表示B. s ααα,,,21 中存在部分组线性相关C. s ααα,,,21 中没有零向量D. s ααα,,,21 中存在两个向量对应成比例3. 下列),,(z y x f 为二次型的是( )．A. yz xy x 422++B. z xyz x 4222++C. 142++yz xD. 2242yz xy x ++4. 对矩阵m n n m B A ⨯⨯,，下列运算有意义的是( )．A. T ABB. 2AC. A B TD. AB5. 设4321,,,αααα是三维实向量组，则( )．A ．4321,,,αααα一定线性无关B ．1α一定可由432,,ααα线性表出C ．4321,,,αααα一定线性相关D ．321,,ααα一定线性无关 6. 设321ξξξ,,是0=Ax 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示为( )．A. 133221ξξξξξξ-++,,B. 321ξξξ,,的一个等秩向量组C. 133221ξξξξξξ+++,,D. 133221ξξξξξξ---,, 7.设A 为3阶方阵,行列式2=A ,*A 为A 的伴随矩阵,则=--*1)2(A A ( )． A.1627 B. 2716 C. 1627- D. 2716- 8.设A ,B ,C 为n 阶矩阵，且A 可逆，下列结论成立的是（）(A).若AC AB =，则C B = (B).若CB AB =，则C A = (C).若O BC =，则O B = (D).若O AB =，则O A =或O B =9.设A ,B 为n 阶非零矩阵，且O AB =，则A ,B 的秩为（） (A).必有一个等于零 (B).都小于n (C).一个小于n ，一个等于n (D).都等于n10.设A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则=kA （ ）.(A) A k (B) A k (C) A k n (D) A k n11.设A 为n m ⨯阶矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为1r ，矩阵AC B =的秩为r ，则（）(A) 1r r > (B) 1r r < (C) 1r r = (D) 1r r ,的关系依C 而定12.设n 元齐次方程组0=Ax 的系数矩阵为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是（）(A) n r = (B) n r < (C) n r ≥ (D) n r >13．设行列式1111304=zy x ，则行列式=1111034222zy x （ ） A ．32 B ．1 C ．2 D ．38 14. 设矩阵m n n s B A ⨯⨯,，则下列运算有意义的是 ( )A. T ABB.2A C.BA D. AB15.设n s j i a A ⨯=)(，s m j i b B ⨯=)(，则( ) A. BA 是m n ⨯矩阵； B. BA 是n m ⨯矩阵；C. BA 是s s ⨯矩阵；D. BA 未必有意义.16．设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ）（A ）所有1r -阶子式都不为0；（B ）所有1r -阶子式全为0；（C ）至少有一个r 阶子式不为0； （D ）所有r 阶子式都不为0。

线性代数基本计算一. 行列式1. 计算排列的逆序数；2. 计算行列式的一行（列）元素的代数余子式及余子式之和；3. 计算行列式⎧⎨⎩化为三角形行列式计算利用行列式展开定理计算二. 矩阵1. 计算矩阵的乘积；2. 计算方阵的方幂；3. 判断方阵的可逆性()()||0()0ij n nA a AB E BA E A r A nA Ax ⨯=⇔==⇔≠⇔=⇔⇔=可逆的列（行）向量组线性无关齐次线性方程组只有零解4. 求可逆方阵的逆阵111||(,)(,)A A A A E E A -*-⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩公式法:初等行变换初等变换法： 5. 解矩阵方程1,||0,(,)(,)AX B A X A B A B E X -=≠⇒=−−−−→初等行变换1,||0,(,)(,)TTTXA B A X BA A E A B E X B X -=≠⇒=⎛⎫⎛⎫−−−−→−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换初等列变换或6. 计算矩阵的秩()A A r A A −−−−→⇒=初等行变换阶梯形矩阵的非零行数三. 线性方程组1.判断线性方程组是否有解，确定解的个数(1)()()Ax r A r A β=⇔=有解，r n r n =⇒<⇒有唯一解；有无穷解 (2)0()=,0||0n n Ax r A n A x A ⨯=⇔=⇔≠只有零解特别：只有零解0(),0||0n n Ax r A n A x A ⨯=⇔<=⇔=有非零解特别：有非零解2.求线性方程组的一般解 消元法3.判断一个向量能否由一个向量组线性表示4.判断两个向量组是否等价5.判断向量组是线性相关还是线性无关11111(,,),,,,,,0s s s s s A k k k k αααααα=⇔∃++= 线性相关不全为零的数使得 ()r A s ⇔<11111(,,),,,0===0s s s s s A k k k k αααααα=⇔++=⇒ 线性无关 ()r A s ⇔=特别：1,,,||0n n n A A αα⨯⇔= 线性相关；1,,||0n A αα⇔≠ 线性无关6.求向量组的极大无关组与秩7.求齐次线性方程组的基础解系 四. 欧氏空间1. 求向量与已知向量组正交2. 把线性无关组化为正交向量组（Schmidt 正交化方法）3. 判断向量组是否为标准正交组 五. 矩阵的特征值与特征向量 1. 求矩阵的特征值与特征向量 2. 计算矩阵行列式1212,,,||n n A A λλλλλλ⇒= 是的全部特征值3. 判断矩阵是否可以对角化4. kA A 已知可以对角化，求111..k k P AP A P P A P P ---=Λ⇒=Λ=Λ特别地，5.1,TA Q Q AQ Q AQ -==Λ是实对称矩阵，求正交矩阵使得 六.二次型1.用配方法化二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换2.用正交变换化二次型为标准形，并写出所用的正交变换3.求二次型的秩，正惯性指数，负惯性指数，符号差4.判断实（对称矩阵）二次型是否正定（霍尔维茨定理）。

一21. 设 α1, α2, α3 线性无关，证明β112，β2α2α3 ， β3 α3 α1也线性无关。

1 1 1 022.计算行列式11 0 1 。

1 0 1 10 1 1 123. 1 1 0 1 2利用逆矩阵解矩阵方程0 1 1 X -1 1 。

1 0 1 1 -124.1 a 1 2已知A 0 1 a 2 ，求 a 的值，使得 r ( A)2。

1 0 1 225. 求向量组 α11111 ， α2 1 ， α3 2 ， α4 0 的秩和一个极大线性无关组，并111把其余向量用此极大线性无关组线性表示。

26. 求矩阵 A =21的特征值与特征向量。

1 2x 1 4 x 2 3x 3 027.讨论当 取何值时， 齐次线性方程组2 x 1 3x 2 x3 0 有非零解， 并在有非零解时求其x 1x 2 2 x 3通解。

参考答案 ： 21. 如果k1 1k 22k 33O ，k 1 ( 12)k 2(23)k 3(31) O ，于是(k 1 k 3 ) 1 (k 1k 2 ) 2 (k 2 k 3 ) 3 O ，由 1 , 2 ,k 1k 3 0, 3线性无关知k 1 k 2 0,k 2k 30,此方程组只有零解 k 1 0, k 2 0, k 30 ，因此 1, 2,3 线性无关。

1 1 1 01 1 1 01 10 1 1 1 0 11 10 10 0 1 122. = =101=10 1=-01 131011 0 1 0 10 11 10 1111 110 3 00 31 1 0 11 -1 1123.0 1 1 1 1 -1 故1 0 12 -11 11 1 0 12 1-1 1 1 23 01X0 1 1 -1 1 1 11-1-11 1 -1 41 0 11 -12-1 111 -12 -1 -21 a 1 20 a0 0 1 0 1 224.A01 a2 0 1 a 2 0 1 a 2 1 01 2 1 01 20 a 0 0当 a=0 时， r (A) 2。

一21. 设123,,ααα线性无关，证明112=+βαα，223=+βαα，331=+βαα也线性无关。

22. 计算行列式1110110110110111。

23. 利用逆矩阵解矩阵方程⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X 11012011-111011-1。

24. 已知1120121012a a -⎛⎫⎪=- ⎪-⎝⎭A ，求a 的值，使得()r =A 2。

25. 求向量组1110⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭α，2011⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭α，3121⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭α，4101⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭α 的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。

26. 求矩阵A =2112-⎛⎫⎪-⎝⎭的特征值与特征向量。

27. 讨论当λ取何值时，齐次线性方程组12312312343023020x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩有非零解，并在有非零解时求其通解。

参考答案：21. 如果 112233k k k Oβββ++=， 112223331()()()k k k O αααααα+++++=， 于是 131122233()()()k k k k k k O ααα+++++=， 由123,,ααα线性无关知 1312230,0,0,k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩此方程组只有零解1230,0,0k k k ===，因此123,,βββ线性无关。

22.1110110*********=1110001101010111-- =011101111--=011101003--=-101011003-- =-3 23. 112-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1101-1101111-1101-111 故1X -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11012011-111011-112⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1-111211-1-11-1111-112⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭30-14-1-224. 112000101201201201210121012000a a A a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭当a =0时，()r A =2。

线性代数应用题库(含答案)本题库旨在帮助学生巩固和应用线性代数的知识，并提供详细的解答。

题库包括以下几个主题：行列式1. 求解以下行列式的值：$$\begin{vmatrix}3 & 1 \\-2 & 4\end{vmatrix}$$- 答案：142. 计算以下行列式的值：$$\begin{vmatrix}2 & 1 & 0 \\3 & -1 & 2 \\4 & 3 & -1\end{vmatrix}$$- 答案：-24矩阵运算1. 给定矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4\end{bmatrix}$ 和向量 $x = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$，求 $Ax$ 的结果。

- 答案：$Ax = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}$2. 给定矩阵 $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1\end{bmatrix}$ 和矩阵 $C = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$，求 $BC$ 的结果。

- 答案：$BC = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 6 & -3 \end{bmatrix}$ 特征值与特征向量1. 给定矩阵 $D = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$，求其特征值和对应的特征向量。

- 答案：特征值为 5 和 2，对应特征向量为 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$2. 已知矩阵 $E = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4\end{bmatrix}$ 的特征值为 2 和 5，分别求其对应的特征向量。