第四章 可测函数

第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构.§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时——————————————————————————————1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数.2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。

注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数若1ni i E E ==⋃ (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0i iE i x E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续0lim ()()x x f x f x →=若000,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x x O f x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x f O O δεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：任取[]x E f a ∈>, 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,x f x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f O E O a δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a O E E δ>⋂⊂.令[](,)x f a x x E G O δ>∈=⋃则G 为开集，当然为可测集，且另外[][](,)(,)[]()()x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E δδ>>>∈∈⋂=⋃⋂=⋃⋂⊂所以[][](,)()x f a f a x x E E O E G E δ>>∈⊂⋃⋂=⋂，故[]f a E G E >=⋂为可测集性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数()f x 必为可测函数。

第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构.§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时——————————————————————————————1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数.2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。

注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数若1ni i E E ==⋃ (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0i iE ix E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩ 注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续0lim ()()x x f x f x →=若000,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有00(,)((),)0,0,()x f x x O f x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x f O O δεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：任取[]x E f a ∈>, 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,x f x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f O E O a δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a O E E δ>⋂⊂.令[](,)x f a x x E G O δ>∈=⋃则G 为开集，当然为可测集，且另外[][](,)(,)[]()()x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E δδ>>>∈∈⋂=⋃⋂=⋃⋂⊂所以[][](,)()x f a f a x x E E O E G E δ>>∈⊂⋃⋂=⋂，故[]f a E G E >=⋂为可测集性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数()f x 必为可测函数。

第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构。

§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数， 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近， 这是可测函数的构造性特征。

本节难点 可测函数与简单函数的关系。

授课时数 4学时———---—-——-——-—-—--——-——————-—1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数（可取±∞）,若[],f a a R E>∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数。

2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。

注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集性质2 简单函数是可测函数若1nii E E ==⋃ （iE 可测且两两不交），()f x 在每个iE 上取常值ic ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0ii E i x E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f OE Oδεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续lim ()()x x f x f x →=若0,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有00(,)((),)0,0,()x f x x Of x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有00(,)((),)0,0,()x f x f OOδεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续）证明:任取[]x E f a ∈>， 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,xf x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f OE Oa δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a OE Eδ>⋂⊂。

第四章习题解答1、证明：()f x 在E 上为可测函数的充要条件是对任一有理数r ，集[]E f r >可测，如果集[]E f r =可测，问()f x 是否可测？证明：必要性显然。

因为()f x 在E 上为可测函数，故对任意实数1a R ∈有[]E f a >可测，当然有对任一有理数r ，集[]E f r >是可测集。

充分性：若对任意有理数r ，集[]E f r >可测，则对任一实数a ，{},,()n n n r r a r a n ∃>→→∞使，于是1[][]n n E f a E f r ∞=>=>∑。

事实上，若[](),,(),[]n n n x E f a f x a r a r f x x E f r ∈>⇒>∃<<∈>所以使即。

故 1[][]n n E f a E f r ∞=>⊆>∑ 若1[]n i x E f r ∞=∈>∑，则存在0n ，使0[]n x E f r ∈>，所以0()n f x r a >>，[]x E f a ∈>。

1[][]n n E f a E f r ∞=>⊇>∑，由此有1[][]n n E f a E f r ∞=>=>∑，而每一个[]n E f r >可测从而： []E f a >可测。

2、设()f x ，()(1,2,)n f x n = 是定义在区间[,]a b 上的实函数，k 为正整数，试证：11lim [||]n n k E f f k ∞→∞=-< 是E 中使()n f x 收敛于()f x 的点集。

证明： 11111lim [||][|()()|].n n n k k N n N E f f E f x f x k k ∞∞∞∞→∞====-<=-<由()()n f x f x →()n →∞的定义，⇔1,N kε∀=∃，使得当n N ≥时有 1|()()|n f x f x k-<，由该定义反分析回去即为：1|()()|n f x f x k -<⇔1[|()()|]n x E f x f x k∈-<； 对一切n N ≥，有1|()()|n f x f x k -<⇔1[|()()|]n n N x E f x f x k ∞=∈-< ；N ∃，当n N ≥时，1|()()|n f x f x k -<⇔11[|()()|]n N n Nx E f x f x k ∞∞==∈-<对1,N k ε∀=∃，使得n N ≥时，1|()()|n f x f x k-< ⇔111[|()()|]n k N n Nx E f x f x k ∞∞∞===∈-< ，因此有：111[][|()()|]n n k N n NE f f E f x f x k ∞∞∞→===→=-< 。

第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构.§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时——————————————————————————————1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数.2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。

注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数若1ni i E E ==⋃ (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0i iE i x E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续0lim ()()x x f x f x →=若000,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x x O f x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x f O O δεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：任取[]x E f a ∈>, 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,x f x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f O E O a δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a O E E δ>⋂⊂.令[](,)x f a x x E G O δ>∈=⋃则G 为开集，当然为可测集，且另外[][](,)(,)[]()()x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E δδ>>>∈∈⋂=⋃⋂=⋃⋂⊂所以[][](,)()x f a f a x x E E O E G E δ>>∈⊂⋃⋂=⋂，故[]f a E G E >=⋂为可测集性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数()f x 必为可测函数。