可测函数与连续函数
实变大作业
2011/4/27
可测函数与连续函数
【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。
【关键词】：可测函数、连续函数、关系
这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。
一、基本概念
1、几乎处处：
给定一个可测集E，假如存在E的一个子集E1，m E?E1=0，且使得性质P 在E1上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。
2、可测函数：
设E??是Lebesgue可测集，f是E上的实值函数。假如对于任意实数C
E f>C=x∈E:f x>C
都是可测集，则称f是E上的Lebesgue可测函数（简称f是E上的可测函数）。
3、几乎处处有限的可测函数：
设E??是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集E1，
m E?E1=0，f在E1上有限，假如对于任意实数C
E f>C=x∈E:f x>C
都是可测集，则称f是E上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数
4、连续函数：
设D??，f是定义于D的函数，x∈D，假如
lim y→x,y∈D f y=f x
则称f沿D在x连续；假如f沿D内任意一点都连续，则称f沿D连续。
5、预备定理、引理
定理2.2设 f 是一个紧集， { f n}n≥1是一列沿 F连续的函数。若f n在 F上一致收敛于 f，则 f 也沿 F 连续。
定理2.3（Egoroff）设 f 和f n(n≥1)都是测度有限的集 D 上的几乎处处有限的可测函数。若f n在 D 上几乎处处收敛于 f，则对任何
ε>0，有 D 的闭子集 F，使 m D? F <ε，并且f n在 F 上一致收敛于 f。
引理2.1设 F 是 R中的闭集，函数 f 沿 F 连续，则 f 可以开拓成 R 上的连续函数f?，并且sup x∈R| f?x|=sup x∈R| f x|。
引理2.2设 f是可测集 D 上的简单函数。则对任何ε>0，有沿 D连续的函数f?使 m {f≠f?} <ε。
二、可测函数和连续的关系
1、连续函数的可测性
定理1可测集上的连续函数都是可测函数。
证明:对任意a∈R，设x∈E f>a，则由连续性假设，存在x的某邻域U x，使U x∩E?E f>a。因此，令G=U(x)
x∈E(f>a)，则：
G∩E=U(x)
x∈E(f>a)∩E=U(x)
x∈E(f>a)
∩(f>a)
反之，显然有E f>a?G，因此：
E f>a?G∩E f>a?G∩E
从而：
E f>a=G∩E f>a
但G是开集（因为它是一族开集这并），而E为可测集，故其交G∩E仍为可测集，即E f>a为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。
但可测函数不一定连续例例：
可测函数Dirichlit函数在0,1上处处间断
2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性
引理1：设F是R中的闭集，函数f没F连续，则f可以开拓成R的连续函数f?，并且：
sup x∈R f?(x)=sup
x∈R
f(x)
证明：此时F c=(a n,b n)是开集，其中开区间族(a n,b n)两两不相交。今定义
f ? x = f x ,若x ∈F 线性,
若x ∈ a n ,b n ,且 a n ,b n 有界f a n ,若x ∈ a n ,b n ,其中b n =∞
f b n ,若x ∈ a n ,b n ,其中a n =?∞
则显然f ? x 是R 上的连续函数，它是f 的开拓。引理得证。
引理2：设 f 是可测集 D 上的简单函数。则对任何ε>0，有没 D 的连续的函数f ?使m E f ≠f ? <ε
证明：不妨设f D ={a k }1≤k ≤n ,其中a k 都是实数且两两不同。令E k =E f =a k ,则{E k }1≤k ≤n 两两不相交且D = E k n k=1.现对每一k ，令F k 是E k 的闭子集且m E k ?F k <εn ,k =1,2,…,n. 此时易知 f 沿闭集F = E k n k=1连续。由引理1， f 作为 F 上的函数可以开拓成沿 D 连续的函数f ?，此时
m E f ≠f ? ≤m D ?F =m E k n k=1
? F k n k=1
≤m E k ?F k n k=1 ≤ m E k ?F k n k=1
<ε
引理证毕。
定理1（Lusin ）设f 为可测集D 上几乎处处有限的可测函数，则对任意的ε>0，有沿D 连续的函数f ?使m f ≠f ? <ε，并且max x∈D f ? x ≤sup x∈D f x 。（去掉一个小测度集，在留下的集合上连续）
证明：不失一般性设 f 在 D 上处处有限。
先设 D 是有限可测集。由定理2.3，有 D 上的简单函数列 { f n },使
f n (x)→f(x)(x ∈D)。现对每一 n ≥1,由引理2.2，存在沿 D 连续的函数f n ?，使
m {f ≠f ?} <ε
2，n =1,2,…
令
E = {f n ≠f n ?}∞n=1, 则 m(E)<ε2 并且在 D ?E 上f n ?(x)→f(x)。
由于 D 有界,所以存在 D ?E 的有界闭子集 F ,使得f n ?在 F 上一致收敛于 f 并且 m D ?E ?F <ε2。再由定理2.2，f 沿 F 连续.这样由引理2.1， f 作为 F 上
的函数可以开拓成沿 D 连续的函数f ?。此时 m {f ≠f ?} ≤m(D ?F)<ε。这样我们在 D 有界的条件下证明了定理。
对一般的 D ? R ，此时对每一整数 n ，令
D n =D ∩ n,n +1 ， n =0,±1,±2,…
则 D n 都是有界的。从而由上段证明，对每一 n ，存在D n 的闭子集F n ,使 f 沿F n 连续，并且
m D n ? F n <ε
2 n +1， n =0,±1,±2,…
此时 F = F n ∞n=?∞是闭集，并且 f 沿 F 连续。由引理2.1，f 作为 F 上的函数可以开拓成 D 上的连续的函数f ?，并且
m {f ≠f ?} ≤m D ?F =m(∪D n ?∪F n )
≤m(∪(D n ? F n ))≤ m(D n ? F n )∞
n=?∞
< ε
2∞n=?∞<ε。
定理证毕。
推论 若f 是 a ,b 上几乎处处有限的可测函数，则对任何ε>0，有 a ,b 上连续函数f ?，使m f ≠f ? <ε，并且max f ? x ≤sup f x 。
定理 2 设E 为可测集，f 为E 上的实函数，如果对任何ε>0，存在闭集F ?E ，使f 在F 上连续，且m E ?F <ε，则f 为E 上可测。
定理3 设E 为R 上的可测集，f 是E 上几乎处处有限的可测函数，则对任何ε>0，存在闭集F ?E ，及R 上的连续函数Φ x ，使
(1) 在F 上Φ x =f x 。
(2) m E ?F <ε。
如果在E 上 f x ≤M ，还可要求 Φ x ≤M .
证明：由定理1，有闭集F ?E ，使m E ?F <ε，而f x 是F 上的连续函数，因此问题在于扩张F 上的f x ，使其在整个空间上连续。
F 是有界闭集，因此是从一闭区间 c ,d ? a ,b 中去掉有限个或可数多个互不相交的开区间而成，设这些开区间是 c i ,d i ，现在我们定义一个函数g x ，使
g x= 0,当x≤a或x≥b时
f x,当x∈F时
此外，当x∈c i,d i时，令g x的图形是联 c i,f c i， d i,f d i的直线，当
x∈a,c及d,b时，分别联a,0, c,f c及b,0, d,f d的直线，于是
g x是整个直线上的连续函数，且满足定理的各项要求。
三、小结
一方面，可测集上的连续函数是可测的，另一方面，Lusin定理表明，Lebesgue可测函数可以用连续函数逼近。可测集E上的连续函数一定为可测函数，但可测函数不一定连续。如Dirichlet函数,Riemann函数都是可测函数但都不连续。显然，可测函数要比连续函数更加广泛。
参考文献：
周性伟，实变函数，科学出版社，2007.
江泽坚，实变函数论，高等教育出版社，1994.
戴培良，可测函数与连续函数的关系，常熟理工学院学报，2008年2月。
第三章 可测函数的知识要点与复习自测 一、可测函数的定义的知识要点： ◇ 体会可测函数从简单到一般的定义思想，并能根据这一思想，按可测集上的简单函数到非负可测函数再到一般可测函数的程序，正确写出可测函数的定义。 ◇ 掌握简单函数的四则运算性和复合运算性，并理解复合运算性中为什么必须要求内层函数是简单函数，才能保证复合之后的函数是简单函数。 ◇ 掌握非负可测函数与简单函数的极限关系（即非负可测函数的定义），仔细体会刻画非负可测函数的测度特征的特征定理的证明过程，掌握此定理证明中通过 对值域区间作不交区间分解（即21 01 [0,]{[ ,)}[,]22 m m m m k k k m -=++∞=??+∞），再借助逆象集导出可测集E 的有限不交可测分解的方法，即 2101 [0()][()][()]22m m m m k k k E E x f x E x f x E x f x m -=+=≤≤+∞=?≤
函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；
（2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根．
1.5 可测集与可测函数 1.5.1 可测集与可测函数 定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且 E X E ∈= R ， 则称(,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集(measurable set)。 特别地， 当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集； 当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集. 注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。 定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ?，f 是定义在E 上的有限实函数。若对一切实数c ，集 (){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈ 都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。特别地， 当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数； 当1(,)(,)X =R R B 时，称f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。 定理 1.5.1 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ?上的有限实函数。则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数,c d ，集 ()E c f d ≤< 是可测集。 证 设f 是可测函数，由于 ()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，而()E c f ≤和()E d f ≤都是可测集，所以 ()E c f d ≤<是可测集。
函数与极限测试题（一） 一、 填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。 二、 单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????， 则()lim x f x →∞ 为（ ） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在
例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、 求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、 确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。 五、 指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。 六、 设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、 设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明： 在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。 函数与极限测试题答案（一） 一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ； 二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==；
基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：（1）若在点连续，则在点必有极限 )(x f 0x )(x f 0x x →（2）若在点有极限，则在点必连续 )(x f 0x x →)(x f 0x （3）若在点无极限，则在点一定不连续 )(x f 0x x →)(x f 0x x =（4）若在点不连续，则在点一定无极限。 )(x f 0x x =)(x f 0x x →其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若，则下列说法正确的是（ C ） a x f x x =→)(lim 0A 、在处有意义 B 、)(x f 0x x =a x f =)(0 C 、在处可以无意义 D 、可以只从一侧无限趋近于)(x f 0x x =x 0 x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续 0x 0x B 、函数在点处连续，则)(x f 0x )lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数有)(x f )()(lim 00 x f x f x x =→4、已知，则的值是（ C ）x x f 1)(= x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0A 、 B 、 C 、 D 、21x x 21x -x -5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、 B 、 C 、 D 、1lim 0=→x x x 1)1(21lim 21=--→x x x 111lim 1=---→x x x 0lim 0=→x x x 6、，则的值分别为（ A ）51lim 21=-++→x b ax x x b a 、A 、 B 、 C 、 D 、67和-67-和67--和6 7和7、已知则的值是（ C ）,2)3(,2)3(-='=f f 3)(32lim 3--→x x f x x A 、 B 、0 C 、8 D 、不存在4-8、（ D ） =--→33lim a x a x a x
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以 ()x f 与()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞→n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2 020=????? ? ?? ??==-→→→x x x x x x x x x
8、 01sin lim lim 1 sin lim 0 00=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1sin lim 0 →不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =??? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 0 0lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y = 的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x 1 =在0=x 处不连续 ∴函数()x f x 1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题： 1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）； （２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ?? ≠≠+∈??? ? ） ； （３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10< 第一章 函数与极限 （A ） 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2 x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 （1）2 11 x y -= ； （2）x y sin = ； （3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ； （2）2)(,)(x x g x x f == ； （3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1(2 2 x x y -= ； （2）3 2 3x x y -= ； 可测函数与连续函数 实变大作业 2011/4/27 可测函数与连续函数 【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。 【关键词】：可测函数、连续函数、关系 这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。 一、基本概念 1、几乎处处： 给定一个可测集E，假如存在E的一个子集E1，m E?E1=0，且使得性质P 在E1上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。 2、可测函数： 设E??是Lebesgue可测集，f是E上的实值函数。假如对于任意实数C E f>C=x∈E:f x>C 都是可测集，则称f是E上的Lebesgue可测函数（简称f是E上的可测函数）。 3、几乎处处有限的可测函数： 设E??是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集E1， m E?E1=0，f在E1上有限，假如对于任意实数C E f>C=x∈E:f x>C 都是可测集，则称f是E上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数 4、连续函数： 设D??，f是定义于D的函数，x∈D，假如 lim y→x,y∈D f y=f x 则称f沿D在x连续；假如f沿D内任意一点都连续，则称f沿D连续。 5、预备定理、引理 定理2.2设 f 是一个紧集， { f n}n≥1是一列沿 F连续的函数。若f n在 F上一致收敛于 f，则 f 也沿 F 连续。 定理2.3（Egoroff）设 f 和f n(n≥1)都是测度有限的集 D 上的几乎处处有限的可测函数。若f n在 D 上几乎处处收敛于 f，则对任何 ε>0，有 D 的闭子集 F，使 m D? F <ε，并且f n在 F 上一致收敛于 f。 引理2.1设 F 是 R中的闭集，函数 f 沿 F 连续，则 f 可以开拓成 R 上的连续函数f?，并且sup x∈R| f?x|=sup x∈R| f x|。 引理2.2设 f是可测集 D 上的简单函数。则对任何ε>0，有沿 D连续的函数f?使 m {f≠f?} <ε。 二、可测函数和连续的关系 1、连续函数的可测性 定理1可测集上的连续函数都是可测函数。 证明:对任意a∈R，设x∈E f>a，则由连续性假设，存在x的某邻域U x，使U x∩E?E f>a。因此，令G=U(x) x∈E(f>a)，则： G∩E=U(x) x∈E(f>a)∩E=U(x) x∈E(f>a) ∩(f>a) 反之，显然有E f>a?G，因此： E f>a?G∩E f>a?G∩E 从而： E f>a=G∩E f>a 但G是开集（因为它是一族开集这并），而E为可测集，故其交G∩E仍为可测集，即E f>a为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。 但可测函数不一定连续例例： 可测函数Dirichlit函数在0,1上处处间断 2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性 引理1：设F是R中的闭集，函数f没F连续，则f可以开拓成R的连续函数f?，并且： sup x∈R f?(x)=sup x∈R f(x) 证明：此时F c=(a n,b n)是开集，其中开区间族(a n,b n)两两不相交。今定义 第四章 可测函数 教学目的： 1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质. 2.掌握通过Egoroff 定理证明Lusin 定理,它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好的连续函数逼近. 3.掌握几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛，以及几种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解. 重点难点： 1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性. 2.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征. 3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.一方面, L 可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式. 4.依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系.Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁. §4.1 可测函数及相关性质 由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数—— Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构. 设f 是可测集D 上的函数,若对任何R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 记 =α D 是可测集,则称f 是可测集D 上的可测函数. 我们知道,f 在D 上连续?R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 、{}α<∈)(:x f D x 都是开集.所以由可测函数的定义,区间D 上的连续函数f 是可测函数. 又如:设E 是D 的可测子集.则E 上的特征函数为 =)(x f )(x E λ???=0 1 E D x E x -∈∈ 函数与极限测试题（一） 一、 填空题 二、 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 三、 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 四、 3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。 五、 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则 ()f x 的间断点为x =_____。 六、 单选题 七、 1、当0x →时，变量 211 sin x x 是（ ） 八、 A 、无穷小 B 、无穷大 九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 十、 2、设函数()bx x f x a e = +在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） 十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） 十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则 ()lim x f x →∞ 为（ ） 十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在 十九、 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+=+ ++ 二十、 求下列极限 二十一、 1、 2 241lim sin x x x x x +-+、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 函数单元测试（A ） 一、填充题： 1、设的定义域为[]1,0，则)2(+x f 的定义域是________________。 2、1sin )(,)(2 +==x x q x x f ，则[]=)(x q f ________,()[]=x f q __________。 3、设()2212 ++=+x x x f ，则()=x f _____________。 4、 ()_________ )2(_________,)4(,1 ,01 ,sin =-=?????≥=ππf f x x x x f π。 5、已知函数()x f 是偶函数，且在()+∞,0上是减函数，则函数()x f 在()0,∞-上必 是____________函数。 6、设x v v u u y arccos , 1 ,3 =+==，则复合函数()_____________==x f y 。 7、______________,cos sin )(2 2其周期为设函数x x x f -=。 二、选择题： 1、函数??? ??? ? > ≤+=2,sin 2,)1ln()(ππx x x x x f 则) 4(π f 等于（ ） （A ） ) 41ln(π + （B ）22 （C ）2π （D ）4π 2、设x e x g x x f ==)(,)(2，则=)]([x g f （ ） （A ）2 x e （B ）x e 2 （C ）2 x x （D ）x e 3、设函数()x f 的定义域是]1,0[，则()2 x f 的定义域是（ ） （A ）[-1，1] （B ）[0，1] （C ）[-1，0] （D ）（- ∞，+∞） 4、函数()x x x f -+=1010是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函 数 （C ）非奇非偶函 （D ）既是 奇函数又是偶函数 5、函数()[]2 13arcsin +=x y 的复合过程是（ ） ()()13sin ,sin ,(D) 13,arcsin ,)(13,arcsin B) ( 13arcsin ,)(2222+===+===+==+==x v v u u y x v v u u y C x u u y x u u y A 6、3 4x y -=的反函数是（ ） ()()33334(D) 4C) ( 4(B) 4)(x y x y x y x y A -=-=-=-= 7、下列函数中为基本初等函数的是（ ） 1 23)()( )15arctan()()( 0,10 ,0)()( 1)ln()()(-=+=???≥=+=x x f D x x f C x x x f B x x f A π 极限和连续试题（A 卷） 1.选择题（正确答案可能不止一个）。 （1）下列数列收敛的是（ ）。 A. n n x n n 1) 1(--= B. n x n n 1)1(-= C. 2 sin πn x n = D. n n x 2= （2）下列极限存在的有（ ）。 A. x x sin lim ∞ → B. x x x sin 1lim ∞→ C. 121lim 0-→x x D. 121lim 2+∞→n n （3）下列极限不正确的是（ ）。 A. 2)1(lim 1=+-→x x B. 11 1lim 0=+→x x C. ∞=-→2124lim x x D. +∞=+→x x e 2 lim （4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（ ）。 A. )0(12 →--x x B. )0(sin →x x x C. )(+∞→-x e x D. )0()1sin 2(12→-+x x x x （5）如果函数.0;0;0,1sin ,,sin 1)(>= （1）)13(lim 231+-→x x x ； （2）)523(lim 2 2 -+-→x x x ； （3）)311(lim 0-+→x x ； （4）x x x x +-→223lim ； （5）38lim 23--→x x x ； （6）4 16lim 24--→x x x ； （7）121lim 221---→x x x x ； （8）2 2lim 2--→x x x ； （9）x x x 11lim 0-+→； （10）x x x cos lim ∞→； （11）x x x x x --+∞→33313lim ； （12）x x x x x --+∞→44513lim ； （13）x x x x x --+∞→43133lim ； （14）1 139lim 23--+∞→x x x x ； （15）x x x 33sin lim 0→. 3.设2320()21013(1)1x x f x x x x x - 第四章 可测函数（总授课时数 14学时） 由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构. §1 可测函数及其性质 教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质 教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好 的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征. 本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时 —————————————————————————————— 1可测函数定义 定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >?∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数. 2可测函数的性质 性质1 零集上的任何函数都是可测函数。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数 若1n i i E E ==? (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的 简单函数； 1()()i n i E i f x c x χ==∑ 其中1()0i i E i x E x x E E χ∈?=?∈-? 注：Dirichlet 函数是简单函数 性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续 00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ?>?>??若使得 对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续 0lim ()()x x f x f x →=若 函数极限与连续测验题 姓名 学号 计分 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1 ．(lim sin sin x →+∞ = 。 2．已知2 1 lim 31 x x bx c x →++=-，则常数b = ，c = 。 3．已知cos ,||1 ()2 |1|,||1x x f x x x π? ≤?=??->? ，则x = 为()f x 的间断点，且为第 类间断点。 4．已知函数sin ,0(),0x e x f x x x β α?+>? =??≤? 连续，则常数α= ，β= 。 5．当0x + → 是x 的 阶无穷小。 6．2 3 6 3 4 (21)(34) lim (61) x x x x →∞ --=+ 。 二、选择题（每小题2分，共20分） 1、在区间(,)-∞+∞内方程1 1 42||||cos 0x x x +-=（ ） （A ）无实根 （B ）有且仅有一个实根 （C ）有且仅有两个实根 （D ）有无穷多个实根 2．设数列的通项为* 1 ,21(),2n n k x k N n n n k ?=+?=∈??=? ，则当n →+∞时，n x 为（ ） （A ）无穷小量 （B ）无穷大量 （C ）有界量 （D ）无界量 3．当0x →时，tan sin x x -是3x 的（ ） （A ）低阶无穷小 （B ）高阶无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）同阶无穷小 4．已知()f x 与()g x 在()x -∞<<+∞上连续，且()()f x g x <，则有（ ） （A ）()()f x g x ->- （B ）lim ()lim ()x x f x g x →∞ →∞ < 第一章 函数、极限与连续 第一讲：函数 一、是非题 1．2x y = 与x y =相同； （ ） 2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. )0(2 >=x x y 是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ） 6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ ） 7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ） 8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。 （ ） 二、填空题 1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 对称； 2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2 +x f 的定义域是 ； 3.1 22+=x x y 的反函数是 ； 4.1)(+=x x f ，2 11 )(x x += ?，则]1)([+x f ?＝ ， ]1)([+x f ?＝ ； 5.)2(sin log 2+=x y 是由简单函数 和 复合而成； 6.1)(2 +=x x f ，x x 2sin )(=?，则)0(f ＝ ，___________)1(=a f ， ___________)]([=x f ?。 三、选择题 1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ） A 、x 3sin B 、13+x C 、x x +3 D 、x x -3 2.设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（ ） A 、1 B 、－1 C 、2 D 、－2 3.)sin()(2x x x f -=是（ ） A 、有界函数 B 、周期函数 C 、奇函数 D 、偶函数 四、计算下列各题 1.求定义域5 23arcsin 3x x y -+-= 2.求下列函数的定义域 (1)342+-=x x y (2)1 142++ -=x x y (3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg = 3.设2 )(x x f =，x e x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g x f f x f g x g f ； 第二章测度与可测函数 本章内容提要： 1.引进Lebesgue测度与抽象测度的概念，给出测度的主要性质 2.引进可测函数的概念，讨论可测函数的性质 3.讨论可测函数与连续函数之间的关系，给出可测函数的结构 4.讨论可测函数列的几种不同类型的收敛性概念及其相互关系 本章重点难点提示： 1.Lebesgue测度与抽象测度的概念及其性质 2.判定一个集合是否可测的方法 3.可测函数的几种等价定义 4.可测函数与连续函数之间的关系 5.可测函数列的几种收敛性之间的关系 第一节Lebesgue测度 2.1.1定理 存在集族L与集函数L，使它们具有以下两组性质 L. 若L，则L. 若L，则L. 若是开集，则L. . -可加性若L，互不相交，则 完备性若则L. 测度单位. 平移不变性若L，则L，且 逼近性质任给L，，存在闭集与开集，使 且. 证明见§2.5. 定义Th2.1.1中的称为一维Lebesgue测度，L中的集称为一维Lebesgue可测集.Th2.1.1中性质刻画了可测集族L的构成，而则表示测度的特征. 由Th2.1.1可得下列关于可测集与测度的性质 2.1.2命题 若L，，则L；若L，则L. 证明 L，L. 综合性质与命题2.1.2得出结论，可测集经过差运算及可数次并或交运算后仍为可测集.由性质进一步推出:开集经差运算及可数次并或交运算后仍为可测集(这种可测集叫Borel集，见§2.5)，特别地:型集与型集是可测集. 2.1.3命题 测度有以下性质L. ①单调性:若L，，则. ②可减性:若L，，则. ③次可加性:若L，则. ④下连续性:若L是一升列，则. ⑤上连续性:若L是一降列，且则 . 1.5 可测集与可测函数 1.5.1 可测集与可测函数 定义 1.5.1 设 X 是基本空间， R 是 X 上的 - 代数，且 X = E ， E ∈R 则称 ( X , R ) 是 可测空间 (measurable space)， R 中的元素 E 是 ( X , R ) 上的 可测集 (measurable set)。 特别地， 当 X = R 1 ， R = L 时，称(R 1 , L ) 是 Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集 称为 Lebsgue 可测集； 当 X = R 1 ， R = S (R ) = B 时，称(R 1 , B ) 是 Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为 Borel 可测集. 注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在- 代数 R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。 定义 1.5.2 设( X , R ) 是可测空间， E ? X ， f 数c ，集 是定义在 E 上的有限实函数。若对一切实 E (c ≤ f ) ={x c ≤ f (x ), x ∈ E } 都是( X , R ) 上的可测集（即： E (c ≤ f )∈ R ），则称 f 称 E 上的可测函数(measurable function)。特别地， 是 E 上关于 R 的可测的函数，简 当( X , R ) = (R 1, L ) 时，称 f 当( X , R ) = (R 1, B ) 时，称 f 是 E 上关于 L 的 Lebsgue 可测函数； 是 E 上关于 B 的 Borel 可测函数。 定理 1.5.1 设( X , R ) 是可测空间， f 是定义在 E ? X 上的有限实函数。则 f 是 E 上的 可测函数的充分必要条件是：对任意实数c , d ，集 E (c ≤ f < d ) 是可测集。 证 设 f 是可测函数，由于 E (c ≤ f < d ) = E (c ≤ f ) - E (d ≤ f ) ， 而 E (c ≤ f ) 和 E (d ≤ f ) 都是可测集，所以 E (c ≤ f < d ) 是可测集。 反之，若已知对任意实数c , d ，集 E (c ≤ f < d ) 是可测集，则由 函数单元测试（ A ） 一、填充题： 1、设的定义域为 0,1 ，则 f (x 2) 的定义域是 ________________。 2、 f ( x) x 2 , q(x) sin x 1，则 f q( x) ________, q f x __________。 3、设 f x 1 x 2 2x 2 ，则 f x _____________。 f x sin x , x 1 ) _________, f ( ) _________ 0, x , f ( 4、 1 4 2 。 5、已知函数 f x 是偶函数，且在 0, 上是减函数，则函数 f x 在 ,0 上必 是 ____________函数。 6、设 y u 3 , u 1 v , v arccos x ，则复合函数 y f x _____________ 。 7、 设函数 f x sin 2 x cos 2 x 其周期为 __________ ____ 。 ( ) , 二、选择题： ln(1 x) , x f (x) 2 1、函数 sin x , x 2 （ A ） ln(1 ) 2 4 （B ） 2 2、设 f (x) x 2 , g(x) e x ，则 （ A ） e x 2 2 x （B ） e f ( ) 等于（ ） 则 4 （ C ） 2 （D ） 4 f [ g( x)] （ ） （C ） x x 2 （ D ） e x 3、设函数 f x 的定义域是 [ 0,1] ，则 f x 2 的定义域是（ ） （ A ） [-1 ，1] （B ）[0 ，1] （C ）[-1 ， 0] （ D ）（- ∞， +∞） 4、函数 f x 10x 10 x 是（ ） （ A ）奇函数 （B ）偶函 数 （ C ）非奇非偶函 （D ）既是 奇函数又是偶函数 5、函数 y arcsin 3x 1 2 的复合过程是（ ） ( A)y u 2 , u arcsin 3x 1 ( B) y arcsin 2 u, u 3x 1 (C ) y u 2 ,u arcsin v, v 3x 1 (D) y u 2 ,u sin v,v sin 3x 1 6、 y 3 4 x 的反函数是（ ） ( A)y x 3 4 (B) y x 4 3 ( C) y 4 x 3 (D) y 4 x 3 7、下列函数中为基本初等函数的是（ ） ( A) f ( x) ln( x 3 1) ( B) f ( x) 0, x 0 1, x (C) f ( x) arctan(5x 1) ( D ) f ( x) x 2 1 三、判断题： 1、确定函数的两个要素是定义域和对应关系。 （ ）函数及极限习题及答案
可测函数与连续函数
第四章 可测函数汇总
函数与极限测试题及答案一
函数极限连续单元测试与答案
函数、极限和连续试题与答案
《实变函数》第四章 可测函数
函数连续极限测试题
函数极限与连续习题加答案(供参考)
第二章 测度与可测函数
1.5可测集与可测函数(讲义)(可编辑修改word版)
函数极限连续单元测试及答案.docx
相关主题
文本预览