可测函数与连续函数

§3.3 n R 上的可测函数与连续函数教学目的 本节将考察欧氏空间上的可测函数和连续函数关系. 本节将证明重要的Lusin 定理, 它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好连续函数逼近. 这个结果在有些情况下是很有用的.本节要点 一方面, L 可测集上的连续函数是可测的, 另一方面, Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式. 另外, 作为准备定理的Tietze 扩张定理本身也是一个很有用的结果.在§1.4我们已经给出了在nR 的任意子集上E 连续函数的定义. 这里先看两个例子. 例1 考虑1R 上的Dirichlet 函数=.1)(为无理数若为有理数若x x x D显然)(x D 在1R 上处处不连续. 若用Q 表示有理数的全体,则将)(x D 限制在Q 上所得到的函数Q D 在Q 上恒等于1. 故Q D 是Q 上的连续函数.(注意D 与Q D 是两个不同的函数). 这个例子表明若缩小了函数的定义域,不连续函数可能变成连续函数.例2 设k F F ,,1 是nR 上的k 个互不相交的闭集, ∪ki iFF 1==. 则简单函数∑==ki F i x I a x f i 1)()(是F 上的连续函数.证明 设,0F x ∈ 则存在0i 使得.00i F x ∈ 由于k F F ,,1 互不相交, 故∪0i i iFx ≠∉.由于∪0i i iF ≠是闭集, 因此.0),(00>=≠∪i i i F x d δ对任意,0>ε 当F x ∈并且δ<),(0x x d 时, 必有.0i F x ∈ 于是0)()(0=−x f x f .ε<因此)(x f 在0x 连续. 所以)(x f 在F 上连续(图3—1). ■图3—1定理1 设E 是nR 中的Lebesgue 可测集. f 是E 上的连续函数连续. 则f 是E 上Lebesgue 可测函数.证明 设∈a ,1R 记}.)(:{}{a x f E x a f E <∈=<我们证明, 存在nR 中的开集G , 使得.}{G E a f E ∩=< (1)事实上, 对任意},{a f E x <∈ 由于a x f <)(并且f 在x 连续, 故存在x 的邻域),(x x U δ,使得当),(x x U y δ∈并且E y ∈时, 成立.)(a y f < 即}.{),(a f E x U E x <⊂∩δ (2)令,),(}{∪a f E x xx U G <∈=δ则G 是开集. (2)式表明}.{a f E G E <⊂∩另一方面, 包含关系G E a f E ∩⊂<}{是显然的. 因此(1)式成立. (1)式表明对任意∈a ,1R }{a f E <是Lebesgue 可测集. 因此f 是E 上Lebesgue 可测函数. ■定理2 (Lusin 鲁津)设E 是nR 上的Lebesgue 可测集, f 是E 上a.e.有限的Lebesgue 可测函数. 则对任意,0>δ 存在E 的闭子集,δE 使得f 是δE 上的连续函数(即δE f 在δE 上连续), 并且.)(δδ<−E E m证明 分两步证明. (1) 先设f 是简单函数, 即,1∑==ki E i i I a f 其中k E E ,,1 是互不相交的L 可测集, .1∪ki i E E ==由§2.3定理6, 对任意给定的,0>δ 对每个,,,1k i = 存在XY 1F 0xδ+0x δ−0x 2F 3F 1a 2a 3ai E 的闭子集,i F 使得.,,1,)(k i kF E m i i =<−δ令,1∪ki i F E ==δ 则δE 是E 的闭子集, 并且.)())(()(11δδ<−≤−=−∑==ki i i k i i i F E m F E m E E m ∪由于∑==ki F i E i I a f1,δ由例2知f 是δE 上的连续函数.(2) 一般情形. 设f 是E 上的L 可测函数.不妨设f 是处处有限的.若令).1(,1ggf ff g −=+=则g 是有界可测函数, 并且f 连续当且仅当g 连续. 故不妨设f 有界. 由§3.1推论10, 存在简单函数列}{k f 在E 上一致收敛于f . 对任给的,0>δ 由已证的情形(1), 对每个k f 存在E 的闭子集kF , 使得k f 在k F 上连续,并且.2)(kk F E m δ<− 令,1∩∞==k k F E δ 则δE 是E 的闭子集,并且.)())(()(11δδ<−≤−=−∑∞=∞=k k k k F E m F E m E E m ∪由于每个k f 都在δE 上连续并且}{k f 在δE 上一致收敛于f , 因此f 在δE 上连续. ■例3 仍考虑例1中的Dirichlet 函数).(x D 设},,{21 r r Q =是有理数集. 对任意,0>δ 令.2,2(1111∪∞=++−−−=i i i i i r r R E δδδ则δE 是闭集, 并且.2)2,2()2,2()(11111111δδδδδδδ==−−≤−−=−∑∑∞=++∞=∞=++i ii i i i i i i i i i r r m r r m E R m ∪由于δE 中不含有理数, 因此)(x D 在δE 恒为零. 所以)(x D 在δE 上连续.下面我们将给出鲁津定理另一种形式. 为此, 先作一些准备.引理3 若⊂B A ,n R 是两个闭集并且,∅=∩B A ∈b a ,,1R .b a <则存在nR 上的一个连续函数f , 使得,a fA= b fB=并且∈≤≤x b x f a ,)(n R .证明 容易证明, 若A 是闭集, 则),(A x d 作为x 的函数在nR 上连续, 并且0),(=A x d 当且仅当A x ∈(见第一章习题第34题). 因此, 若令.),(),(),(),()(A x d B x d A x bd B x ad x f ++=容易验证f 满足所要求的性质.■定理4 (Tietze 扩张定理)设F 是nR 中的闭子集, f 是定义在F 上的连续函数. 则存在n R 上的连续函数,g 使得,f gF= 并且.)(sup )(sup x f x g Fx R x n∈∈=证明 先设.sup +∞<=∈M f Fx 令},3{M f M A −≤≤−=}.3{M f MB ≤≤= 则B A ,是两个闭集并且.∅=∩B A 由引理3, 存在nR 上的连续函数,1g 使得,31Mg A−= .31Mg B=并且 ∈≤x Mx g ,3)(1.n R .,32)()(1F x M x g x f ∈≤−对函数1g f −应用引理3, 注意此时g f −的上界是.32M 因此存在nR 上的一个连续函数2g , 使得∈⋅≤x M x g ,3231)(2.n R.,323232)()(221F x M M g x g x f ∈=⋅≤−−这样一直作下去, 得到nR 上的一列连续函数},{k g 使得∈⋅≤−x M x g k k ,3231)(1,n R ,,2,1 =k (4),,32)()(1F x M x g x f kki i ∈≤−∑= ,2,1=k . (5)由(4)知道级数∑∞=1)(k kx g在n R 上一致收敛. 记其和为),(x g 则)(x g 是n R 上的连续函数.而(5)表明在F 上).()(x f x g = 并且,323)()(111M Mx g x g k k k k =≤≤∑∑∞=−∞= ∈x .n R因此当f 有界时, 定理的结论成立.若)(x f 无界, 令),(tg )(1x f x −=ϕ 则≤)(x ϕ.2π由上面所证, 存在n R 上的连续函数,ψ 使得.ϕψ=F令)(tg )(x x g ψ=. 则g 是n R 上的连续函数并且.f gF=■定理5 (Lusin 鲁津) 设E 是n R 上的Lebesgue 可测集, f 是E 上a.e.有限的Lebesgue 可测函数. 则对任意,0>δ 存在n R 上的连续函数g ,使得.)})()(:({δ<≠∈x g x f E x m并且.)(sup )(sup x f x g Ex R x n∈∈≤证明 由定理2, 对任意,0>δ 存在E 的闭子集F , 使得f 在F 上连续并且.)(δ<−F E m 由定理4, 存在n R 上的连续函数,g 使得当F x ∈时, ).()(x f x g =并且.)(sup )(sup )(sup x f x f x g Ex Fx R x n∈∈∈≤=由于.)}()(:{F E x g x f E x −⊂≠∈ 因此.)()})()(:({δ<−≤≠∈F E m x g x f E x m ■思考题: 在直线上的情形, 用直线上开集的构造定理给出定理5的另一证明.小 结 本节考察了欧氏空间上的可测函数和连续函数关系.本节的主要结果是Lusin 定理(有两个等价形式). Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数在某种意义下逼近. 由于连续函数的具有较好的性质, 比较容易处理, 因此这个结果在有些情况下是很有用的. 本节还证明了Tietze 扩张定理, 它也是一个很有用的结果. 习 题 习题三, 第29题—第31题.。

可测函数与连续函数【摘要】本文从是什么，为什么，怎么样三个角度出发，首先介绍了一些相关的基本概念，之后叙述了将可测函数与连续函数联系起来的必要性和实际方法。

【关键词】可测函数连续函数几乎处处逼近1.是什么——什么是可测函数第三章主要围绕可测函数展开，那么本文首先对可测函数进行一个简单的概述，同时对之后证明是需要用到的一些定义和引理进行描述。

1.1基本定义可测函数：设f ( x)是定义在可测集E< Rn 的实函数. 如果对于任何有限实数a, E [ f > a ]都是可测集,则称f ( x)为定义在E上的可测函数连续函数：设f ( x)是定义在集U ( x) ∩E< E [ f > a ] E上的有限函数,如果对Pε > 0, v 5 > 0,使得P x∈∪( x0 ; 5) ,有| f ( x) - f ( x0 ) | <ε,那么称函数f ( x)在点x0 处连续. 如果f ( x)在E中每一点都连续,则称f ( x)在E上连续.几乎处处：给定一个可测集E，假如存在E的一个子集，，且使得性质P在上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。

几乎处处有限的可测函数：设，是定义于的函数，，假如则称沿在连续；假如沿内任意一点都连续，则称沿连续。

1.2基本定理定理3.3.1 设是一个紧集，是一列沿连续的函数。

若在上一致收敛于，则也沿连续。

定理3.3.2（Egoroff）设和都是测度有限的集上的几乎处处有限的可测函数。

若在上几乎处处收敛于，则对任何，有的闭子集，使，并且在上一致收敛于。

引理3.3.1设是中的闭集，函数沿连续，则可以开拓成上的连续函数，并且=。

引理3.3.2设是可测集上的简单函数。

则对任何，有沿连续的函数使。

2.为什么——为什么把可测函数与连续函数联系起来数学分析中，我们关注的是函数的分析性质：连续性，可微性，可积性。

但是一旦我们发现一个函数不连续，就认为这个函数性质不好，不再关心他。

可测函数与连续函数实变大作业2011/4/27可测函数与连续函数【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。

由于连续函数不是本章所学的容，故不对其介绍。

【关键词】：可测函数、连续函数、关系这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。

特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。

一、基本概念1、几乎处处：给定一个可测集E，假如存在E的一个子集，，且使得性质P 在上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。

2、可测函数：设是Lebesgue可测集，是上的实值函数。

假如对于任意实数都是可测集，则称是上的Lebesgue可测函数（简称是上的可测函数）。

3、几乎处处有限的可测函数：设是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集，，在上有限，假如对于任意实数都是可测集，则称是上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数4、连续函数：设，是定义于的函数，，假如则称沿在连续；假如沿任意一点都连续，则称沿连续。

5、预备定理、引理定理2.2设是一个紧集，是一列沿连续的函数。

若在上一致收敛于，则也沿连续。

定理2.3（Egoroff）设和都是测度有限的集上的几乎处处有限的可测函数。

若在上几乎处处收敛于，则对任何并且在上一致收敛于。

引理2.1设是中的闭集，函数沿连续，则可以开拓成上的连续函数，并且=。

引理2.2设是可测集上的简单函数。

则对任何有沿连续的函数使。

二、可测函数和连续的关系1、连续函数的可测性定理1可测集上的连续函数都是可测函数。

证明:对任意，设，则由连续性假设，存在x的某邻域，使。

因此，令，则：反之，显然有，因此：从而：但G是开集（因为它是一族开集这并），而E为可测集，故其交仍为可测集，即为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。

但可测函数不一定连续例例：可测函数Dirichlit函数在上处处间断2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性引理1：设F是R中的闭集，函数f没F连续，则f可以开拓成R的连续函数，并且：证明：此时是开集，其中开区间族两两不相交。

可测函数和连续函数是非常重要的数学概念，它们之间存在着一些关联。

首先，可测函数是一种特殊的函数，仅定义在闭集上。

它们有着特殊
的性质，比如，它们可以与许多分支的函数组成一个完整的函数图象，同时可以被定义为可测函数。

这种特殊的性质允许可测函数可以对许
多种函数求积，比如函数的非抛出积分，曲面积分或合成数分析；它
们还可以应用于一些特定的解决方案，如定性单值解，简单论来求解
数学问题。

另一方面，连续函数则是一种常见的函数，可以被定义在任何设定的
实函数域上，比如定义在整个实数域上的函数；它们可以在任何点处
可微分，并且具有可微分性。

它们也有一些其他的性质，比如它们在
其他点处具有双连续性，即使一个函数在一个点上不可微分，它也可
以在另一点处得到微分的结果。

从数学上讲，连续函数和可测函数之间的关系很特殊，即连续函数都
是可测函数，但并非所有的可测函数都是连续函数；一般而言，可测
函数具有更大的函数类别，而连续函数则是其中一类可测函数。

总之，可测函数和连续函数之间有着一种相关关系，而这种关系的研
究可能会是未来数学应用的一个重要方面，它将为我们提供解决各种
科学和技术问题的工具。

可测函数与连续函数实变大作业2011/4/27可测函数与连续函数【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。

由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。

【关键词】：可测函数、连续函数、关系这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。

特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。

一、基本概念1、几乎处处：给定一个可测集E，假如存在E的一个子集，，且使得性质P 在上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。

2、可测函数：设是Lebesgue可测集，是上的实值函数。

假如对于任意实数都是可测集，则称是上的Lebesgue可测函数（简称是上的可测函数）。

3、几乎处处有限的可测函数：设是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集，，在上有限，假如对于任意实数都是可测集，则称是上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数4、连续函数：设，是定义于的函数，，假如则称沿在连续；假如沿内任意一点都连续，则称沿连续。

5、预备定理、引理定理2.2设是一个紧集，是一列沿连续的函数。

若在上一致收敛于，则也沿连续。

定理2.3（Egoroff）设和都是测度有限的集上的几乎处处有限的可测函数。

若在上几乎处处收敛于，则对任何并且在上一致收敛于。

引理2.1设是中的闭集，函数沿连续，则可以开拓成上的连续函数，并且=。

引理2.2设是可测集上的简单函数。

则对任何有沿连续的函数使。

二、可测函数和连续的关系1、连续函数的可测性定理1可测集上的连续函数都是可测函数。

证明: 对任意，设，则由连续性假设，存在x的某邻域，使。

因此，令，则：反之，显然有，因此：从而：但G是开集（因为它是一族开集这并），而E为可测集，故其交仍为可测集，即为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。

但可测函数不一定连续例例：可测函数Dirichlit函数在上处处间断2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性引理1：设F是R中的闭集，函数f没F连续，则f可以开拓成R的连续函数，并且：证明：此时是开集，其中开区间族两两不相交。

可测函数用连续函数来逼近称F 是一个紧集,若F 的任何开覆盖存在有限子覆盖.其充分必要条件是F 是有界闭集.定理 2.6.1 设F 是一个紧集,{}1≥n n f 是一列沿F 连续的函数.若{}1≥n n f 在F 上一致收敛于f ,则f 也沿F 连续(F x ∈∀,)()(lim 00x f x f Fx xx =∈→). 前面曾提到nx →⎩⎨⎧01 101<≤=x x ]1,0[∈x ,由极限函数不连续⇒n x 不一致收敛.定理的证明思路与数学分析同.问: 数分怎样证明“连续函数)(x f n 在],[b a 一致收敛⇒)(x f 连续?” 证明:],[0b a x ∈∀,0>∀ε,0>∃δ,∀),(0δx x ∈=-)()(0x f x f )()()()()()(000x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-)()(x f x f n -≤+)()(0x f x f n n -+)()(00x f x f n -3ε<3ε+3ε+ε=若改为),(b a 也一样.本节中非常重要的一个结果:定理2.6.2(Egoroff)设f 和n f )1(≥n 都是测度有限的集D 上几乎处处有限的可测函数.若n f 在D 上几乎处处收敛于f ,则对任何0>ε,有D 的闭子集F,使ε<-)(F D m ,并且n f 在F 上一致收敛于f .(也称基本上一致收敛,有点象数分中的内闭一致收敛)证明:令{})()(lim )()(:1x f x f x f x f D x D n n n =∈=∞→都有限且和,则由条件知,1D 是可测集且0)(1=-D D m .令)(r nA 1D =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞=r x f x f k n k 1)()( ,2,1,=r n()(r n A 是1D 里那样的点: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-r x f x f k 1)()(与r k ,有关, r 不动,取∞+= ,1,n n k ,现在看这种集合有什么性质)对每一1≥r ,{}↑→≥1)(n r n A 1D ,且每一个)(r n A 都可测.(首先,每一个)(r n A 都是1D 子集,由{}↑≥1)(n r n A知)(1)(lim r n n r nn AA∞=∞←= ,也就是要证1)(1D A r n n =∞= ),易见)(1r n n A ∞= 1D ⊂，这是因为每个1)(D A r n ⊂,现在对1D x ∈∀,取01>r,由)()(lim x f x f n n =∞→知N ∃,Nk >∀, 有rx f x f k 1)()(<-, 说明}1)()({rx f x f x k N n <-∈∞= ,当然1D x ∈}]1)()({[rx f x f k Nn <-∞= )(r N A =.所以)(1r nn Ax ∞=∈ ,因此⊂1D )(1r nn A ∞= ,于是得到1)(1D A r n n =∞= .即1)(lim D A r n n =∞←. 由测度性质(定理2.3.6(i)))(lim )(r n n A m ∞→)lim ()(r n n A m ∞→=)(1D m =…………………(1) 又∞<=)()(1D m D m ,所以对每一1≥r ,有r n ,使)()()(1r n r A m D m -)()(1r n rA D m -=12+<r ε (2)(对(1)式利用极限定义,再根据测度的减法,∞<)(A m 时,)()()(A m B m A B m -=-)此时n f 在)(1r n r rA E ∞== 上一致收敛于f .(即0>∀ε有N ,N n ≥∀,E x ∈∀,有ε<-)()(x f x f n (下证)0>∀ε ,有00>r ,使ε<01r ,从而当0r n n >时,对一切)(00r n r A x ∈,有ε<<-01)()(r x f x f n .显然)(00r n r A E ⊂所以上述结论对E x ∈∀都成立.即n f 在)(1r n r rA E ∞== 上一致收敛于f .))(E D m -)(1E D m -=)()(11r n r rA D m ∞=-= ))(()(11r n r rA D m -=∞=(由)(11r n r rA D ∞=- )()(11r n r rA D -=∞= ))()(11r n r rA D m -∑<∞=112+∞=∑<r r ε2ε=此时有E 的闭子集F ,使2)(ε<-F E m ,则n f 在F 上一致收敛于f 且)]()[()(F E E D m F D m --=- )()(F E m E D m -+-≤ε<.思路是:几乎处处收敛→处处收敛→一致收敛→闭集上↑ ↑ ↑ ↑ D ⊃ 1D ⊃ E ⊃ F注:上述定理中要求D 测度有限即∞<)(D m .此条件非常重要.若∞=)(D m ,则没有上述定理.如:)()(),(x x f n n +∞=λ,)(0)(x f x f n =→)(∞→n .问:是否有闭集F 使1)(<-F R m 而且n f 在F 上一致收敛于0?这是不可能的.因为{}∞=≥∈1:n f R x m 做不到0→n f a.e.R引理2.6.1 设F 是R 中的闭集,函数f 沿F 连续,则f 可以开拓成R 上的连续函数*f ,并且)(sup *x f Rx ∈)(sup x f Fx ∈=.证明:此时),(1n n n cb a F ∞== ,其中(){}n n b a ,两两不交.(f 在F 上有定义,不妨设在c F 上没有定义,故f 在端点n a ,n b 上有定义,在其内部无定义,重新定义:将端点连成线段即可) .(可能f 在c F 有定义不连续,同样重新定义)nR今定义⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=)()()()(*n n b f a f x f x f 线性 -∞=∈∞=∈∈∈n n n n n n n n n n a b a x b b a x b a b a x F x 其中其中有限其中),,(),,(,),,( ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+)()()()(n n n n n n a x a b a f b f a ff*a nnn b n 1122kk显然*f 是R 上的连续函数.它是f 的开拓,且=∈)(sup *x f Rx )(sup x f Fx ∈.引理 2.6.2 设f 是可测集D 上的简单函数,则对任何0>ε,有沿D 连续的函数*f ,使{}()ε<≠*f f m .(是说简单函数和连续函数“差不多”,为可测函数与连续函数“差不多”作准备)证明:设{}n k k a D f ≤≤=1)((因f 为简单函数),其中k a 都是实数且两两不同.令{}k k k a f E == n k ,,2,1 =,则k E 可测,其中{}n k k E ≤≤1两两不相交,k nk E D 1== .对每一k ,有闭集k k E F ⊂,使nF E m k k ε<-)((因可测集与闭集“差不多”) 则f 沿F F k nk ==1 连续.(对k nk F F x 10==∈∀ ⇒00k F x ∈⇒x 充分接近0x 时即 ⇒<),(0x x d ),(min 0,,2,10k k k n k F x d ≠=⇒00k k E F x ⊂∈所以0)(k a x f =. ⇒从而)()(lim 00x f x f Fx x x =∈→.⇒即f 沿F 连续.)12345n由引理2.6.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .{}())(*F D m f f m -≤≠)(11k n k k n k F E m ==-= )]([1k k n k F E m -≤= )(1k k nk F E m -∑≤=ε<(由-∞=n n A 1n n B ∞=1-⊂∞=n n A (1)n B ,由于在F 上,f f =*,所以可能不等的地方在F 外,即{}F D f f -⊂≠*).定理 2.6.3(Lusin)设f 是可测集D 上几乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε有沿D 连续的函数*f 使{}()ε<≠f f m *,并且≤∈)(s u p *x f Dx )(s u p x f D x ∈.证明:不妨设f 处处有限.先设∞<)(D m (为了应用Egoroff 定理),此时有简单函数列{}n f ,使对任何D x ∈,)()(x f x f n →.现对每一个1≥n ,由引理2.6.2,存在沿D 连续的函数*n f ,使{}()1*2+<≠n n n f f m ε,2,1=n令{}*1nn n f f E ≠=∞= ,则)(E m ∞=∑≤1n {}()11*2+∞=∑<≠n n nn ff m ε2ε=此时对每一E D x -∈(即{}*1n n n f f =∞= ),有)()(*x f x f n n = ,2,1=n从而对每一E D x -∈,)()(*x f x f n → (因∞<-)(E D m 故可用Egoroff 定理)由Egoroff 定理,有有界闭集E D F -⊂使2)(ε<--F E D m而且*n f 在F 上一致收敛于f .由定理 2.6.1,f 在F 上连续,再由引理2.6.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .此时{}()f f m ≠*)(F D m -≤()[]E F E D m --= )()(E m F E D m +--≤ ε<这样我们在∞<)(D m 即D 有界的条件下证明了定理.若∞=)(D m ,令)1,[+=n n D D n ,2,1,0±±=n则∞<)(n D m .由已证,对每一n ,有n D 的闭子集n F ,使f 沿n F 连续,而且2||2)(+<-n n n F D m ε,2,1,0±±=n此时,n n F F +∞-∞== 是闭集而且f 沿n F 连续.(一般,可数个闭集的并不一定是闭集,称σF 集.如:]2,1[1nn ∞= ]2,0(=.开集是σF 集是由于]1,1[),(1nb n a b a n -+=∞= .此处n n F F +∞-∞== 是闭集是因F x n ∈∀,x x n →有F x ∈(下证)由于R x ∈,故)1,[00+∈n n x .现x x n →,故又由F x n ∈,当n 充分大时0n n F x ∈.由0n F 闭且x x n →知F F x n ⊂∈0.)由引理2.6.1,f 作为F 上函数可以开拓成D 上的连续函数*f ,并且{}()*f f m ≠)(F D m -≤)(n n n n F D m ∞-∞=∞-∞=-=)]([n n n F D m -≤∞-∞=2||2+∞-∞=∑<n n εε<对于)(sup *x f Dx ∈)(sup x f Dx ∈≤,由引理2.6.1)(sup *x f D x ∈)(sup x f F x ∈=)(sup x f Dx ∈≤而得(因D F ⊂).记住:只有Egoroff 定理限定∞<)(D m .推论:若f 是],[b a 上几乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε,有],[b a 上的连续函数*f ,使{}()ε<≠*f f m ,并且)(max *],[x f b a x ∈)(sup ],[x f b a x ∈≤.例:⎩⎨⎧=01)(x D无理数有理数x x 处处不连续.令0)(*≡x D ,则{}()ε<=≠0)()(*x D x D m .这提供了一种方法,研究可测函数命题可以先研究连续函数,二者“差不多”.。

可测函数的充要条件摘要 本文从集E(f>a)的可测性以及用简单函数与连续函数逼近，给出了可测函数的等价条件，揭示了可测函数的结构。

关键词 可测函数；简单函数；连续函数可测函数是实变函数论中的一个重要概念，是建立勒贝格积分的基础。

对于可测函数，我们给出了如下的定义：定义1 设f(x)是可测集E 定义的实函数(其值可取±∞)，如果对于任意实数a ，E(f>a)恒为可测集，则称f(x)为E 上的可测函数。

首先,我们利用集的可测性给出函数可测性条件。

定理1 设f(x)是可测集E 定义的实函数,下列任一条件都是f(x)在E 上的可测的充要条件：（1）对于任意实数a ，E(f ≥a)都可测； （2）对于任意实数a ，E(f<a)都可测； （3）对于任意实数a ，E(f ≤a)都可测。

证明 E(f ≥a)与E(f<a)对于E 是互余的，同样E(f ≤a)与 E(f>a)对于E 也是互余的，故在三个条件中，只许证（1）的充要性。

事实上，易知=≥)(a fE )1(1∞=->n n a fE)1()(1 ∞=+≥=>n n a f E a f E 由第一式一列可测集的交仍为可测集知f （x ）可测时条件（1）成立，由第二式一列可测集的并仍为可测集知条件（1）成立时f （x ）可测。

其次,我们利用简单函数逼近的方法给出函数可测性条件。

为此,先给出简单函数的定义:定义2 设f(x)是定义在可测集上的实函数。

如果 E 可分解为有限个互不相交的可测集E1，E2，…，的并，并且f(x)在每一个Ei( i=l ，2，…，n)上都取常数值，则称f(x)是E 上的简单函数。

容易知道,可测集E 上的简单函数恒为可测函数。

不仅如此,我们还有:定理2 f(x)在E 上可测当且仅当存在E 上简单函数序列{fn(x)},使得)()(lim x f x fnn =∞→。

证明 若f(x)是E 上的可测函数。