第三章可测函数的知识要点与复习自测
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函数复习资料函数复习资料函数作为数学中的重要概念,是我们在数学学习中经常接触到的内容。
它不仅在数学中有着广泛的应用,也在其他学科中扮演着重要的角色。
在这篇文章中,我们将对函数的定义、性质以及一些常见的函数类型进行复习和总结。
一、函数的定义和性质函数可以被理解为两个数集之间的一种对应关系。
具体来说,给定一个定义域和一个值域,函数将定义域中的每个元素映射到值域中的唯一一个元素。
这个映射关系可以用数学表达式或图形表示。
函数的定义有一些基本要素,包括定义域、值域、自变量和因变量。
定义域是函数中自变量的取值范围,而值域则是函数中因变量的取值范围。
自变量是函数的输入,而因变量是函数的输出。
函数的性质有很多,其中一些常见的包括单调性、奇偶性、周期性和有界性。
单调性指的是函数在定义域上的增减关系,可以分为递增和递减两种情况。
奇偶性是指函数关于原点对称的性质,奇函数满足$f(-x)=-f(x)$,偶函数满足$f(-x)=f(x)$。
周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律,有界性是指函数在定义域上的取值范围有限。
二、常见的函数类型1. 线性函数线性函数是函数中最简单的一种类型,它的表达式为$f(x)=ax+b$,其中$a$和$b$为常数。
线性函数的图像是一条直线,具有常数斜率。
2. 幂函数幂函数是形如$f(x)=x^a$的函数,其中$a$为常数。
幂函数的图像形状与指数$a$的值有关,当$a>1$时,图像呈现上升的曲线;当$0<a<1$时,图像呈现下降的曲线。
3. 指数函数指数函数是形如$f(x)=a^x$的函数,其中$a$为常数且$a>0$且$a \neq 1$。
指数函数的图像是一条逐渐上升或下降的曲线,具有常数底数。
4. 对数函数对数函数是指形如$f(x)=\log_a x$的函数,其中$a$为常数且$a>0$且$a \neq 1$。
对数函数的图像是一条逐渐上升或下降的曲线,具有常数底数。
第三章_可测函数的知识要点与复习自测第一部分:可测函数的定义与性质可测函数是指在测度空间上定义的函数,具有一些特定的性质。
1.可测函数的定义:设(X,Σ)和(Y,τ)分别是两个测度空间,函数f:X→Y是一个可测函数,如果对于任意的τ-可测集合B,其逆像f^{-1}(B)是一个Σ-可测集合,则称函数f是可测函数。
2.可测函数的性质:a.可测函数的逆像性质:对任意的可测函数f:X→Y和任意的测度空间(E,ρ),f^{-1}(A)是X上的可测集合。
b.可测函数的常值性质:对任意的可测函数f:X→Y,如果存在一个常数c∈Y,使得f(x)=c,那么f是可测函数。
c.可测函数的运算性质:对于任意的可测函数f:X→Y和g:X→Y,以下函数也是可测函数:-f+g:点对点的函数加法。
-f-g:点对点的函数减法。
- cf:常数与函数的乘积。
-f*g:点对点的函数乘法。
-,f,:函数的绝对值。
d.可测函数的复合性质:对于任意的可测函数f:X→Y和可测函数g:Y→Z,复合函数g∘f:X→Z也是一个可测函数。
3.可测函数的构造:利用可测函数的性质,我们可以通过一系列操作构造出更多的可测函数。
常见的构造方法有:a.四则运算法则:通过函数的加法、减法、乘法、除法来构造新的可测函数。
b.极限运算法则:通过函数的极限操作来构造新的可测函数。
c.特殊函数构造法则:通过利用特殊函数的性质来构造新的可测函数,如指示函数、标准分段函数等。
第二部分:复习自测1.什么是可测函数?可测函数的定义是什么?可测函数是指在测度空间上定义的函数,具有一些特定的性质。
可测函数的定义是:设(X,Σ)和(Y,τ)分别是两个测度空间,函数f:X→Y是一个可测函数,如果对于任意的τ-可测集合B,其逆像f^{-1}(B)是一个Σ-可测集合,则称函数f是可测函数。
2.可测函数的常值性质是什么?可测函数的常值性质指的是,对任意的可测函数f:X→Y,如果存在一个常数c∈Y,使得f(x)=c,那么f是可测函数。
——教学资料参考参考范本——数学一轮复习第三章函数及其图象第2节一次函数的图象与性质试题______年______月______日____________________部门课标呈现 指引方向1.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式。
2.会利用待定系数法确定一次函数的表达式。
3.能面出一次函数的图象,根据一次函数的图象和表达式()探索并理解和时,图象的变化情况。
b kx y +=0≠k 0>k 0<k 4.理解正比例函数。
5.体会一次函数与二元一次方程的关系。
考点梳理 夯实基础 1.一次函数的定义(1)一次函数的一般形式是( 。
正比例函数的一般形式是() 。
b kx y +=0≠k kx y =0≠k(2)正比例函数是特殊的一次函数,一次函数包含正比例函数。
2.一次函数的图象及性质(1)正比例函数()的图象是经过点(0,0)和(1,) 的一条直线;一次函数()的图象是经过(,)和(,)两点的一条直线。
kxy =0≠k k b kx y +=0≠k kb-00b (2) -次函数()的图象与性质b kx y +=0≠k3.两直线的位置关系(设两直线,):111b x k y +=222b x k y += (1)两直线平行: ();21k k =21b b ≠ (2)两直线垂直:。
121-=⋅k k 4.用待定系数法求一次函数解析式:(1)关键:确定一次函数()中的字母与的值。
b kx y +=0≠k k b (2)步骤:①设一次函数表达式;②根据已知条件将,的对应值代人表达式;x y ③解关于,的方程或方程组;k b ④确定表达式。
5.一次函数与一元一次方程,一元一次不等式和二元一次方程组的关系(1) -次函数与一元一次方程:一次函数()的图象与轴交点的横坐标是时一元一次方程的解,与轴交点的纵坐标是时一元一次方程的解。
b kx y +=0≠k x 0=y y 0=x (2) -次函数与一元一次不等式:()或()的解集即一次函数图象位于轴上方或下方时相应的取值范围,反之也成立。
(名师选题)2023年人教版高中数学第三章函数的概念与性质知识点归纳总结(精华版)单选题1、已知f (x )是定义在(−2,2)上的单调递减函数,且f (2a −3)<f (a −2) ,则实数a 的取值范围是( )A .(0,4)B .(1,+∞)C .(12,52)D .(1,52)答案:D分析:根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式,求出a 的取值范围.∵f (x )是定义在(−2,2)上的单调递减函数,且f (2a −3)<f (a −2),则{2a −3>a −2−2<a −2<2−2<2a −3<2,解得1<a <52故选:D..2、“幂函数f (x )=(m 2+m −1)x m 在(0,+∞)上为增函数”是“函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数”的( )条件A .充分不必要B .必要不充分C .充分必要D .既不充分也不必要答案:A分析:要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数,且在(0,+∞)上为增函数,求出m =1,可得函数g (x )为奇函数,即充分性成立;函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数,求出m =±1,故必要性不成立,可得答案. 要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数,且在(0,+∞)上为增函数,则{m 2+m −1=1m >0 ,解得:m =1,当m =1时,g (x )=2x −2−x ,x ∈R , 则g (−x )=2−x −2x =−(2x −2−x )=−g (x ),所以函数g (x )为奇函数,即充分性成立;“函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数”,则g (x )=−g (−x ),即2x −m 2⋅2−x =−(2−x −m 2⋅2x )=m 2⋅2x −2−x ,解得:m =±1,故必要性不成立,故选:A .3、已知定义在R 上的奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,若实数x 满足xf (x −12)≤0,则x 的取值范围是( )A .[−12,0]∪[12,32]B .[−12,12]∪[32,+∞)C .[−12,0]∪[12,+∞)D .[−32,−12]∪[0,12] 答案:A分析:首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数f (x )在R 上单调递增,且f (1)=f (−1)=0,从而得到x ∈(−∞,−1),f (x )<0,x ∈(−1,0),f (x )>0,x ∈(0,1),f (x )<0,x ∈(1,+∞),f (x )>0,再分类讨论解不等式xf (x −12)≤0即可.因为奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,定义域为R ,f(1)=0,所以函数f (x )在R 上单调递增,且f (1)=f (−1)=0.所以x ∈(−∞,−1),f (x )<0,x ∈(−1,0),f (x )>0,x ∈(0,1),f (x )<0,x ∈(1,+∞),f (x )>0.因为xf (x −12)≤0,当x <0时,f (x −12)≥0,即−1≤x −12≤0或x −12≥1,解得−12≤x <0.当x =0时,符合题意.当x >0时,f (x −12)≤0,x −12≤−1或0≤x −12≤1,解得12≤x ≤32.综上:−12≤x ≤0或12≤x ≤32.故选:A4、定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=0,则不等式x⋅f(x)>0的解集为()A.(−∞,−2)∪(2,+∞)B.(−2,0)∪(0,2)C.(−2,0)∪(2,+∞)D.(−∞,−2)∪(0,2)答案:C分析:结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=0,所以f(x)在(−∞,0)上单调递减,且f(−2)=0,x⋅f(x)>0⇒{x>0f(x)>0或{x<0f(x)<0,故x>2或−2<x<0,故选:C5、函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案:B解析:判断函数的单调性,结合函数零点存在性定理,判断选项.f(1)=0−1=−1<0,f(2)=1−12=12>0,且函数f(x)=log2x−1x 的定义域是(0,+∞),定义域内y=log2x是增函数,y=−1x也是增函数,所以f(x)是增函数,且f(1)f(2)<0,所以函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为(1,2).故选:B小提示:方法点睛:一般函数零点所在区间的判断方法是:1.利用函数零点存在性定理判断,判断区间端点值所对应函数值的正负;2.画出函数的图象,通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断,或是转化为两个函数的图象交点判断.6、下列图形中,不能表示以x为自变量的函数图象的是()A.B.C.D.答案:B分析:根据函数的定义判断即可.B中,当x>0时,y有两个值和x对应,不满足函数y的唯一性,A,C,D满足函数的定义,故选:B7、已知幂函数y=f(x)的图象过点P(2,4),则f(3)=()A.2B.3C.8D.9答案:D分析:先利用待定系数法求出幂函数的解析式,再求f(3)的值解:设f(x)=xα,则2α=4,得α=2,所以f(x)=x2,所以f(3)=32=9,故选:D8、下列函数中是增函数的为()A .f (x )=−xB .f (x )=(23)xC .f (x )=x 2D .f (x )=√x 3答案:D分析:根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.对于A ,f (x )=−x 为R 上的减函数,不合题意,舍.对于B ,f (x )=(23)x为R 上的减函数,不合题意,舍.对于C ,f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数,不合题意,舍.对于D ,f (x )=√x 3为R 上的增函数,符合题意,故选:D.9、如图,可以表示函数f (x )的图象的是( ) A .B .C .D .答案:D 分析:根据函数的概念判断根据函数的定义,对于一个x ,只能有唯一的y 与之对应,只有D 满足要求故选:D10、已知三次函数f(x)=2x 3+3ax 2+bx +c(a,b,c ∈R ),且f(2020)=2020,f(2021)=2021,f(2022)=2022,则f(2023)=( )A .2023B .2027C .2031D .2035答案:D分析:根据题意,构造函数g (x )=f (x )−x ,根据g (2020)=g (2021)=g (2022)=0可以知道g (x )=2(x −2020)(x −2021)(x −2022),进而代值得到答案.设g (x )=f (x )−x ,则g (2020)=g (2021)=g (2022)=0,所以g (x )=2(x −2020)(x −2021)(x −2022),所以g (2023)=2×3×2×1=12,所以f(2023)=12+2023=2035.故选:D.11、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13),则f (19)=( ) A .13B .3C .9D .8答案:B分析:将(9,13)代入函数解析式,即可求出α,即可得解函数解析式,再代入求值即可.解:由题意知f (9)=13,所以9α=13,即32α=3−1,所以α=−12,所以f (x )=x −12,所以f (19)=(19)−12=3.故选:B 12、函数f (x )=x 2−1的单调递增区间是( )A .(−∞,−3)B .[0,+∞)C .(−3,3)D .(−3,+∞)答案:B分析:直接由二次函数的单调性求解即可.由f (x )=x 2−1知,函数为开口向上,对称轴为x =0的二次函数,则单调递增区间是[0,+∞).故选:B.双空题13、已知函数f(x)是定义域为R 上的奇函数,且对任意x ∈R ,都有f(2−x)=f(x)成立,当x ∈[−1,1]时,f(x)=a−2x1+2x ,则a =_______.当x ∈[1,3]时,f(x)=_______.答案: 1 2x −42x +4解析:(1)根据定义在R 上的奇函数必有f(0)=0,可求出a .(2)可根据已知条件f(x)=f(2−x),将f(x)在[1,3]上的解析式转化到[−1,1]上求解.(1)∵f(x)是定义域为R 上的奇函数,当x ∈[−1,1]时,f(x)=a−2x 1+2x ,∴f(0)=a−12=0∴a =1(2)当x ∈[1,3]时,2−x ∈[−1,1],f(x)= f(2−x)=1−22−x 1+22−x =2x −42x +4所以答案是:(1)1 (2)2x −42x +4小提示:利用给定性质求函数在某一段的解析式,此类问题的一般做法是:①“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x 就设定在哪个区间.②利用给定的性质,将要求的区间转化到给定解析式的区间上.③利用已知区间的解析式进行代入,解出f(x)14、若f (x )=x 2+ax +b 在[−b 2,1−b 2]上为偶函数,则a =________,b =________.答案: 0 1解析:由函数是偶函数,则定义域关于原点对称即−b 2+1−b 2=0,即可求出b 的值,再由f (−x )=f (x ),求出a 的值.解: ∵f (x )为偶函数,∴其定义域关于原点对称,故−b 2+1−b 2=0,∴b =1. ∴f (x )=x 2+ax +1由f (x )为偶函数,得f (−x )=f (x ),∴f (−x )=(−x )2+a (−x )+1=x 2+ax +1 ∴a =0.所以答案是:0;1.小提示:本题考查偶函数的性质,属于基础题.15、已知函数f(x)={−x 2 , x ≥0x 2+2x, x <0 ,则f(f (−2))=_______;不等式f(f(x))≤3的解集为______;答案:0(−∞,√3]分析:根据分段函数进行代入可得f(f(−2))=f(0)即可得解,令f(x)=t,先解f(t)≤3,求得t≥0或−3≤t<0,再求f(x)的范围即可得解.f(f(−2))=f(0)=0,令f(x)=t,先解f(t)≤3,当t≥0时,−t2≤3成立,当t<0时,t2+2t≤3,解得−3≤t<0,再解不等式f(x)≥0和−3≤f(x)<0,先求f(x)≥0,易知当x≥0时−x2≤0,当x<0,x2+2x≥0,所以x≤−2或x=0,再求−3≤f(x)<0,当x<0可得−2<x<0,当x≥0,可得0<x≤√3,综上:解得x≤√3,所以答案是:0,(−∞,√3].16、已知幂函数y=x n的图像过点(3,19),则n=_______,由此,请比较下列两个数的大小:(x2−2x+5)n_______(−3)n.答案:−2<解析:直接将点(3,19)的坐标代入幂函数的解析中可求出n的值,先利用配方法化简x2−2x+5,然后比较其与3的大小,再利用幂函数的单调性可比较大小解:因为幂函数y=x n的图像过点(3,19),故19=3n⇒n=−2.因为x2−2x+5=(x−1)2+4>3,故(x2−2x+5)−2<3−2=(−3)−2. 即(x2−2x+5)−2<(−3)−2.所以答案是:−2;<小提示:此题考查幂函数的解析式的求法,考查幂函数的性质,属于基础题.17、函数f(x)=2x+1.(1)若x∈{1,2,3,4},则f(x)的值域是______;(2)若x∈[1,+∞),则f(x)的值域为______.答案:{3,5,7,9}[3,+∞)分析:(1)计算出f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值,即可得出函数f(x)的值域;(2)利用一次函数的基本性质可求得函数f(x)的值域.(1)因为x∈{1,2,3,4},f(x)=2x+1,则f(1)=3,f(2)=5,f(3)=7,f(4)=9,故当x∈{1,2,3,4}时,函数f(x)的值域为{3,5,7,9};(2)当x∈[1,+∞)时,f(x)=2x+1≥3,故当x∈[1,+∞)时,函数f(x)的值域为[3,+∞).所以答案是:(1){3,5,7,9};(2)[3,+∞).解答题18、求下列函数的值域:(1)y=2−√1+x2;(2)y=3x2−5,x∈[−2,3];(3)y=x−1x+1(4)y=x 2−3x2+1;(5)y=|x+1|+|x−3|;(6)y=1−x2+x+2.答案:(1)(−∞,1];(2)[−5,22];(3)(−∞,1)∪(1,+∞);(4)[−3,1);(5)[4,+∞);(6)(−∞,0)∪[49,+∞)分析:(1)根据二次函数的值域求出被开方数的范围,即可求出函数的值域;(2)根据二次函数的单调性,即可求出值域;(3)分离常数,利用反比例函数的值域,即可求解;(4)分离常数,利用二次函数的值域以及不等式的性质,即可求出函数值域;(5)分类讨论去绝对值,转化为求一次函数的值域;(6)利用二次函数的值域,结合不等式的性质,即可求出结论.(1)∵x 2+1≥1,∴√x 2+1≥1,−√x 2+1≤−1,∴y =2−√1+x 2≤1,函数y =2−√1+x 2值域为(−∞,1];(2)y =3x 2−5,x ∈[−2,3],当x ∈[−2,0]时单调递减,当x ∈[0,3]时单调递增,∴x =0,y min =−5,x =3,y max =22,所以函数y =3x 2−5,x ∈[−2,3]的值域是[−5,22];(3)y =x−1x+1=1−2x+1,∵−2x+1≠0,∴y ≠1,所以函数y =x−1x+1的值域是(−∞,1)∪(1,+∞);(4)y =x 2−3x 2+1=1−4x 2+1,∵x 2+1≥1,∴−4≤−4x 2+1<0 −3≤1−4x 2+1<1,所以函数y =x 2−3x 2+1值域是[−3,1);(5)y =|x +1|+|x −3|,当x ≤−1时,y =−2x +2≥4,当−1<x ≤3时,y =4,当x >3,y =2x −2>4,所以函数y =|x +1|+|x −3|的值域是[4,+∞);(6)y =1−x 2+x+2定义域为{x|x ≠−1且x ≠2},y =1−x 2+x+2=1−(x−12)2+94,∴−(x −12)2+94<0或0<−(x −12)2+94≤94,∴y <0或y ≥49,所以函数y =1−x 2+x+2的值域是(−∞,0)∪[49,+∞).小提示:本题考查初等函数的值域,涉及到一次函数、二次函数、反比例函数的值域,注意不等式性质以及分离常数在求解中的应用,属于中档题.19、已知函数f (x )=−x 2+mx −m .(1)若函数f (x )的最大值为0,求实数m 的值.(2)若函数f (x )在[−1,0]上单调递减,求实数m 的取值范围.(3)是否存在实数m ,使得f (x )在[2,3]上的值域恰好是[2,3]?若存在,求出实数m 的值;若不存在,说明理由. 答案:(1)m =0或m =4;(2)m ⩽−2;(3)存在,m =6分析:(1)配方后得最大值,由最大值为0可解得m 的值;(2)由对称轴在区间的左侧可得;(3)分类讨论求函数f(x)在[2,3]上的最大值和最小值,由最大值为3最小值为2求解m 的值.(1)f(x)=−(x −m 2)2−m +m 24,则最大值−m +m 24=0,即m 2−4m =0,解得m =0或m =4. (2)函数f(x)图象的对称轴是x =m 2,要使f(x)在[−1,0]上单调递减,应满足m 2⩽−1,解得m ⩽−2.(3)①当m 2⩽2,即m ⩽4时,f(x)在[2,3]上递减, 若存在实数m ,使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3],则{f(2)=3,f(3)=2,即{−4+2m −m =3,−9+3m −m =2,,此时m 无解. ②当m 2⩾3,即m ⩾6时,f(x)在[2,3]上递增,则{f(2)=2,f(3)=3,即{−4+2m −m =2,−9+3m −m =3, 解得m =6. ③当2<m 2<3,即4<m <6时,f(x)在[2,3]上先递增,再递减,所以f(x)在x =m 2处取得最大值,则f (m 2)=−(m 2)2+m ⋅m 2−m =3,解得m =−2或6,舍去.综上可得,存在实数m =6,使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3].小提示:本题考查二次函数的性质,考查二次函数的最值,对称轴,单调性等性质,掌握二次函数的图象与性质是解题关键.20、已知f (x )为定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=−x 2+4x .(1)求函数f (x )的解析式;(2)求函数f (x )在区间[−4,a ] (a >−4)上的最小值.答案:(1)f (x )={−x 2+4x (x >0)x 2+4x (x ≤0);(2)答案见解析. 分析:(1)利用奇函数的定义即可求函数f (x )的解析式.(2)根据函数的解析式,先画出图象,然后对a 进行分类讨论即可求出函数的值域.(1)∵ 函数f (x )是定义在R 上的奇函数,∴f (0)=0,且f (−x )=−f (x ),∴f (x )=−f (−x ),设x <0,则−x >0,∴f (−x )=−x 2−4x ,∴f (x )=−f (−x )=−(−x 2−4x )=x 2+4xf (x )={−x 2+4x (x >0)x 2+4x (x ≤0)(2)可画出分段函数的图象如图所示,令f(x)=−4,可解得x 1=−2,x 2=2+2√2结合图象可知:(1)当−4<a ≤−2时,f (x )min =f (a )=a 2+4a(2)当−2<a ≤2+2√2时,f (x )min =f (−2)=−4(3)当a>2+2√2时,f(x)min=f(a)=a2+4a。
人教版函数的概念与基本初等函数多选题 期末复习自检题学能测试一、函数的概念与基本初等函数多选题1.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-,且()f x 在()00,1x x +上有最小值,无最大值.则( )A .0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B .若00x =,则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C .()f x 的最小正周期为3D .()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个 【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ;根据已知三角函数值求角的方法,可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈,0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈,两式相减可求出ω,进而求得周期,从而可判断B 和C 选项;因为3T =,所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期,为了算出零点“至少”有多少个,可取(0)0f =,进而可判断D . 【详解】解:由题意得,()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值, 即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,所以A 正确; 因为()()00112f x f x =+=-, 且()f x 在()00,1x x +上有最小值,无最大值, 所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈, ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈,两式相减得,23πω=, 所以23T πω==,即B 错误,C 正确;因为3T =,所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期, 当(0)0f =,即k ϕπ=时,()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个,即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系,结合三角函数的图象与性质,利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键,综合性较强.2.已知函数()()()22224x x f x x x m m ee --+=-+-+(e 为自然对数的底数)有唯一零点,则m 的值可以为( ) A .1 B .1-C .2D .2-【答案】BC 【分析】由已知,换元令2t x =-,可得()()f t f t -=,从而f t 为偶函数,()f x 图象关于2x =对称,结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+, 令2t x =-,则22()4()()ttf t t m m e e -=-+-+,定义域为R ,22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=,故函数()f t 为偶函数,所以函数()f x 的图象关于2x =对称, 要使得函数()f x 有唯一零点,则(2)0f =, 即2482()0m m -+-=,解得1m =-或2 ①当1m =-时,2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥,当且仅当0t =时取得2()4t t e e -∴+≥故2()42()0ttf t t e e -=-++≥,当且仅当0t =取等号 故此时()f x 有唯一零点2x =②当2m =时,2()42()t t f t t e e -=-++,同理满足题意. 故选:BC . 【点睛】方法点睛:①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴.②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+3.已知函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩,则方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根个数可能为( ) A .8 B .7C .6D .5【答案】ABC【分析】以()1f x =的特殊情形为突破口,解出1x =或3或45或4-,将12x x+-看作整体,利用换元的思想进一步讨论即可. 【详解】 由基本不等式可得120x x +-≥或124x x+-≤-, 作出函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图像,如下:①当2a >时,1224x x +-≤-或1021x x<+-<, 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为4; ②当2a =时,1224x x +-=-或1021x x <+-<或122x x+-=, 故方程12f x a x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为6; ③当12a <<时,12424x x -<+-<-或1021x x <+-<或1122x x<+-< 或1223x x<+-<, 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为8; ④当1a =时,124x x +-=-或1021x x <+-<或121x x +-=或123x x+-=,故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为7; ⑤当01a <<时,1420x x -<+-<或1324x x<+-<, 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2;⑥当0a =时,120x x +-=或1324x x<+-<, 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为3; ⑦当0a <时,123x x+->, 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2; 故选:ABC 【点睛】本题考查了求零点的个数,考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想,属于难题.4.设函数g (x )=sinωx (ω>0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x ),已知f (x )在[0,2π]上有且只有5个零点,则下列结论正确的是( )A .f (x )的图象关于直线2x π=对称B .f (x )在(0,2π)上有且只有3个极大值点,f (x )在(0,2π)上有且只有2个极小值点C .f (x )在(0,)10π上单调递增 D .ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知,A 不正确;由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点,B 不正确;由2A B x x π≤<解得的结果可知,D 正确;根据()f x 在3(0,)10πω上递增,且31010ππω<,可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+, 2T πω=,如图:对于A ,令52x k ππωπ+=+,k Z ∈,得310k x ππωω=+,k Z ∈,所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称,故A 不正确;对于B ,根据图象可知,2A B x x π≤<,()f x 在(0,2)π有3个极大值点,()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点,故B 不正确, 对于D ,因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=,22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=,所以2429255πππωω≤<,解得1229510ω≤<,所以D 正确;对于C ,因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=,由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增,因为29310ω<<,所以33(1)0101010πππωω-=-<,所以()f x 在(0,)10π上单调递增,故C 正确;故选:CD. 【点睛】本题考查了三角函数的相位变换,考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性,考查了极值点的概念,考查了函数的零点,考查了数形结合思想,属于中档题.5.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A .函数()f x 是偶函数B .1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C .任取一个不为零的有理数T ,f x Tf x 对任意的x ∈R 恒成立D .不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ,,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】根据函数的定义以及解析式,逐项判断即可. 【详解】对于A ,若x Q ∈,则x Q -∈,满足()()f x f x =-;若R x C Q ∈,则R x C Q -∈,满足()()f x f x =-;故函数()f x 为偶函数,选项A 正确;对于B ,取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈,则()()1201f x x f +==,()()120f x f x +=,故选项B 错误;对于C ,若x Q ∈,则x T Q +∈,满足()()f x f x T =+;若R x C Q ∈,则R x T C Q +∈,满足()()f x f x T =+,故选项C 正确;对于D ,要为等腰直角三角形,只可能如下四种情况:①直角顶点A 在1y =上,斜边在x 轴上,此时点B ,点C 的横坐标为无理数,则BC 中点的横坐标仍然为无理数,那么点A 的横坐标也为无理数,这与点A 的纵坐标为1矛盾,故不成立;②直角顶点A 在1y =上,斜边不在x 轴上,此时点B 的横坐标为无理数,则点A 的横坐标也应为无理数,这与点A 的纵坐标为1矛盾,故不成立;③直角顶点A 在x 轴上,斜边在1y =上,此时点B ,点C 的横坐标为有理数,则BC 中点的横坐标仍然为有理数,那么点A 的横坐标也应为有理数,这与点A 的纵坐标为0矛盾,故不成立;④直角顶点A 在x 轴上,斜边不在1y =上,此时点A 的横坐标为无理数,则点B 的横坐标也应为无理数,这与点B 的纵坐标为1矛盾,故不成立.综上,不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ,,使得ABC ∆为等腰直角三角形,故选项D 正确. 故选:ACD . 【点睛】本题以新定义为载体,考查对函数性质等知识的运用能力,意在考查学生运用分类讨论思想,数形结合思想的能力以及逻辑推理能力,属于难题.6.已知21,1,()ln ,1,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,则关于x 的方程2[()]()210f x f x k -+-=,下列正确的是( )A .存在实数k ,使得方程恰有1个不同的实数解;B .存在实数k ,使得方程恰有2个不同的实数解;C .存在实数k ,使得方程恰有3个不同的实数解;D .存在实数k ,使得方程恰有6个不同的实数解; 【答案】ACD 【分析】令()0f x t =≥,根据判别式确定方程2210t t k -+-=根的个数,作出()f x 的大致图象,根据根的取值,数形结合即可求解. 【详解】令()0f x t =≥,则关于x 的方程2[()]()210f x f x k -+-=,可得2210t t k -+-=, 当58k =时,()14210k ∆=--=,此时方程仅有一个根12t =; 当58k <时,()14210k ∆=-->,此时方程有两个根12,t t , 且121t t +=,此时至少有一个正根; 当58k >时,()14210k ∆=--<,此时方程无根; 作出()f x 的大致图象,如下:当58k =时,此时12t =,由图可知()f x t =,有3个不同的交点,C 正确; 当58k <时,此时方程有两个根12,t t ,且121t t +=,此时至少有一个正根, 当()10,1t ∈、()20,1∈t ,且12t t ≠时,()f x t =,有6个不同的交点,D 正确; 当方程有两个根12,t t ,一个大于1,另一个小于0, 此时()f x t =,仅有1个交点,故A 正确;当方程有两个根12,t t ,一个等于1,另一个等于0,()f x t =,有3个不同的交点,当58k >时,()14210k ∆=--<,此时方程无根. 故选:ACD 【点睛】关键点点睛:本题考查了根的个数求参数的取值范围,解题的关键是利用换元法将方程化为2210t t k -+-=,根据方程根的分布求解,考查了数形结合的思想,分类讨论的思想.7.下列结论正确的是( )A .函数()y f x =的定义域为[]1,3,则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B .函数()f x 的值域为[]1,2,则函数()1f x +的值域为[]2,3C .若函数24y x ax =-++有两个零点,一个大于2,另一个小于-1,则a 的取值范围是()0,3D .已知函数()23,f x x x x R =+∈,若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞【答案】ACD 【分析】根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域,判断A ,利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况,判断B ,利用数形结合及零点的分布求解判断C ,作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象,数形结合即可判断D.【详解】对于A, ()y f x =的定义域为[]1,3,则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为[]0,1,故正确;对于B ,将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象,故其值域相同,故错误;对于C, 函数2()4y g x x ax ==-++有两个零点,一个大于2,另一个小于-1只需(2)0(1)0g g >⎧⎨->⎩,解得0<<3a ,故正确; 对于D, 作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象,如图,由图可以看出,0a ≤时,不可能有4个交点,找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或9a =,观察图象可知,当01a <<有4个交点,当9a <时,两条射线分别有2个交点,综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时,()()0,19,a ∈+∞正确.故选:ACD 【点睛】关键点点睛:对于方程实根问题,可转化为函数图象交点问题,本题中,()23f x x x=+图象确定,而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线,参数a 确定两射线张角的大小,首先结合图形找到关键位置,即1a =时左边射线与抛物线部分相切,9a =时右边射线与抛物线相切,然后观察图象即可得出结论.8.已知函数4()nnf x x x =+(n 为正整数),则下列判断正确的是( ) A .函数()f x 始终为奇函数B .当n 为偶数时,函数()f x 的最小值为4C .当n 为奇数时,函数()f x 的极小值为4D .当1n =时,函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称 【答案】BC 【分析】由已知得()()4()nnf x x x -=-+-,分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性,可判断A 和;当n 为偶数时,>0n x ,运用基本不等式可判断B ;当n 为奇数时,令n t x =,则>0,>0;0,0x t x t <<,构造函数4()g t t t=+,利用其单调性可判断C ;当1n =时,取函数4()f x x x=+上点()15P ,,求出点P 关于直线2y x =对称的对称点,代入可判断D.【详解】因为函数4()nn f x x x=+(n 为正整数),所以()()4()n n f x x x -=-+-, 当n 为偶数时,()()44()()nn nnf x x x f x x x -=-+=+=-,函数()f x 是偶函数; 当n 为奇数时,()4()nnf x x f x x-=-+=--,函数()f x 是奇函数,故A 不正确;当n 为偶数时,>0n x ,所以4()4n n f x x x =+≥=,当且仅当4n n x x =时, 即2>0n x =取等号,所以函数()f x 的最小值为4,故B 正确;当n 为奇数时,令n t x =,则>0,>0;0,0x t x t <<,函数()f x 化为4()g t t t=+, 而4()g t t t=+在()()22-∞-+∞,,,上单调递增,在()()2002-,,,上单调递递减, 所以4()g t t t =+在2t =时,取得极小值4(2)242g =+=,故C 正确; 当1n =时,函数4()f x x x=+上点()15P ,,设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ,,则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩,解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,而将0171955P ⎛⎫⎪⎝⎭,代入4()f x x x=+不满足, 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称,故D 不正确, 故选:BC . 【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性,单调性,对称性,以及函数的最值,属于较难题.二、导数及其应用多选题9.设函数()ln f x x x =,()212g x x =,给定下列命题,其中正确的是( ) A .若方程()f x k =有两个不同的实数根,则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭; B .若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根,则0k <;C .若120x x >>,总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立,则m 1≥;D .若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点,则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值,且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点,即可判断A 选项;易知1x =不是该方程的根,当1x ≠时,将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点,利用导数研究函数的单调性和极值,从而可推出结果,即可判断B 选项;当120x x >>时,将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立,即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数,通过构造新函数以及利用导数求出单调区间,即可求出m 的范围,即可判断C 选项;2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点,根据导数的符号列出不等式并求解,即可判断D 选项. 【详解】解:对于A ,()f x 的定义域(0,)+∞,()ln 1f x x '=+, 令()0f x '>,有ln 1x >-,即1x e>, 可知()f x 在1(0,)e 单调递减,在1+e∞(,)单调递增,所以极小值等于最小值,min 11()()f x f e e∴==-,且当0x →时()0f x →,又(1)0f =,从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根,即()y f x =与y k =有两个不同的交点,所以1(,0)k e∈-,故A 正确; 对于B ,易知1x =不是该方程的根,当1x ≠时,()0f x ≠,方程2()kf x x =有且只有一个实数根,等价于y k =和ln xy x=只有一个交点, 2ln 1(ln )-'=x y x ,又0x >且1x ≠, 令0y '>,即ln 1x >,有x e >, 知ln xy x=在0,1()和1e (,)单减,在+e ∞(,)上单增, 1x =是一条渐近线,极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ,故B 错误;对于C ,当120x x >>时,[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立, 等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立, 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数, 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立,即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立, 令ln 1()x r x x +=,则2ln ()xr x x -'=,令()0r x '>得ln 0x <,有01x <<,从而()r x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减, 则max ()(1)1r x r ==,于是m 1≥,故C 正确;对于D ,2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点, 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根, 即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根, 由C 可知,021a <<,即102a <<,则D 正确. 故选:ACD.【点睛】关键点点睛:本题考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性和极值,以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围,解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题,解题时注意利用数形结合,考查转化思想和运算能力.10.已知函数()e sin xf x a x =+,则下列说法正确的是( )A .当1a =-时,()f x 在0,单调递增B .当1a =-时,()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C .当1a =时,()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ,且()010f x -<<D .对任意0a >,()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点,分别对四个选项逐个分析,可选出答案. 【详解】对于A ,当1a =-时,()e sin x f x x =-,()e cos xf x x '=-, 因为()0,x ∈+∞时,e 1,cos 1xx >≤,即0fx,所以()f x 在0,上单调递增,故A 正确;对于B ,当1a =-时,()e sin xf x x =-,()e cos xf x x '=-,则()00e sin01f =-=,()00e cos00f '=-=,即切点为0,1,切线斜率为0,故切线方程为1y =,故B 错误;对于C ,当1a =时,()e sin xf x x =+,()e cos xf x x '+=,()e sin xf x x '=-',当()π,0x ∈-时,sin 0x <,e 0x >,则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立,即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增,又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>,3π3π443π3πe cos e4422f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+,因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝,所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝,所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,使得()00f x '=成立,所以()f x 在()0π,x -上单调递减,在()0,0x 上单调递增,即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ,由()000e cos 0xf x x +'==,可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭,因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭,则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-,故C 正确;对于选项D ,()e sin xf x a x =+,()π,x ∈-+∞,令()e sin 0xf x a x =+=,得1sin ex xa -=, ()sin ex xg x =,()π,x ∈-+∞,则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==, 令0g x ,得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ,令0g x,得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ,此时函数()g x 单调递减, 令0g x,得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭,则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ,此时函数()g x 单调递增, 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时,()g x 取得极小值,极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z , 在()g x 的极小值中,3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小,当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时,()g x 单调递减,所以函数()g x 的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭,当3π411a--<-时,即3π40a -<<时,函数()g x 与1=-y a无交点,即()f x 在()π,-+∞不存在零点,故D 错误.故选:AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值,及切线方程的求法,考查学生的推理能力与计算求解能力,属于难题.。
一、选择题1.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≤时,()(1)ln f x x -=+,则()1f =( ) A .ln 2-B .ln 2C .0D .12.已知m R ∈,若函数()||x m f x e +=对任意x ∈R 满足()()20212120f x f x -=-,则不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是( ) A .[)1,,e e⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦B .1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .[)10,,e e⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D .[),e +∞3.定义在R 偶函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,对[]12,0,4x x ∀∈,12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-,则有( )A .()()()192120211978f f f =<B .()()()192119782021f f f <<C .()()()192120211978f f f <<D .()()()202119781921f f f <<4.已知定义在R 上的函数()f x ,满足()()()3f m n f m f n +=+-,且0x >时,()3f x <,则下列说法不正确的是( )A .()()6f x f x +-=B .()y f x =在R 上单调递减C .若()10f =,()()22190f x x f x ++--->的解集()1,0-D .若()69f =-,则123164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5.函数()f x 对于任意x ∈R ,恒有()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭,那么( ) A .可能不存在单调区间 B .()f x 是R 上的增函数 C .不可能有单调区间D .一定有单调区间6.若函数()f x 同时满足:①定义域内存在实数x ,使得()()0f x f x ⋅-<;②对于定义域内任意1x ,2x ,当12x x ≠时,恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦;则称函数()f x 为“DM 函数”.下列函数中是“DM 函数”的为( )A .()3f x x =B .()sin f x x =C .()1x f x e-=D .()ln f x x =7.设函数()f x 的定义域为R ,()()112f x f x +=,当(]0,1x ∈时,()()1f x x x =-.若存在[),x m ∈+∞,使得()364f x =有解,则实数m 的取值范围为( ) A .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D .11,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8.已知函数2()f x x bx c =++,且(2)()f x f x +=-,则下列不等式中成立的是( ) A .(4)(0)(4)f f f -<< B .(0)(4)(4)f f f <-< C .(0)(4)(4)f f f <<-D .(4)(0)(4)f f f <<-9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:当[]0,1x ∈时,()31x f x =-,则()1f -=( ) A .2B .1C .-2D .-110.我国著名数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图像来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图,其对应的函数可能是( )A .()11f x x =- B .()11f x x =- C .()211f x x =- D .()211f x x =+ 11.已知函数()f x 的定义域为,(4)R f x +是偶函数,(6)3f =,()f x 在(,4]-∞上单调递减,则不等式(24)3f x -<的解集为( ) A .(4,6)B .(,4)(6,)-∞⋃+∞C .(,3)(5,)-∞⋃+∞D .(3,5)12.已知函数()2121f x ax x ax =+++-(a R ∈)的最小值为0,则a =( ) A .12B .1-C .±1D .12±13.已知函数2log (1),1,()1,1,x x f x x +≥⎧=⎨<⎩则满足(21)(31)f x f x +<-的实数x 的取值范围是( )A .2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B .(2,)+∞C .2,23⎛⎫⎪⎝⎭D .()1,214.设函数()f x 的定义域为D ,如果对任意的x D ∈,存在y D ∈,使得()()f x f y =-成立,则称函数()f x 为“呆呆函数”,下列为“呆呆函数”的是( ) A .2sin cos cos y x x x =+ B .2x y = C .ln x y x e =+ D .22y x x =-15.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是 ( )A .2x y =B .2yx C .2log y x = D .21y x =+二、填空题16.设()xf x a x =+,若()36f =,则不等式()()21f x f x ->的解集为____________.17.已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数,满足()()11f x f x -=+,若()11f =,则()()()()12350f f f f +++⋯+=__________.18.对于正整数k ,设函数[][]()k f x kx k x =-,其中[]a 表示不超过a 的最大整数,设24()()()g x f x f x =+,则()g x 的值域为_________.19.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数,对任意x ∈R 都有(3)()f x f x +=-,当3,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()2f x x =-,则(100)f 的值为_______. 20.已知函数()242f x x a x =-++,[]4,4x ∈-.若()f x 的最大值是0,则实数a的取值范围是______.21.已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数,且对任意的实数x ,有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦,则满足4()0f x x->的x 的取值范围为__________. 22.已知函数()y f x =是奇函数,当0x <时,2()(R)f x x ax a =+∈,(2)6f =,则a = .23.已知()f x 是R 上的偶函数,且在[0,)+∞单调递增,若(3)(4)f a f -<,则a 的取值范围为____.24.设函数()()21ln 11f x x x =+-+,则使得()()12f x f x >-成立的x 的取值范围为_____________.25.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x ',若对于任意0x >都有()()3f x f x x '<,且()44f =,则不等式()31016f x x -<的解集为________. 26.设函数()f x x x b =+,给出四个命题:①()y f x =是偶函数;②()f x 是实数集R 上的增函数;③0b =,函数()f x 的图像关于原点对称;④函数()f x 有两个零点. 上述命题中,正确命题的序号是__________.(把所有正确命题的序号都填上)【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】由函数的奇偶性可得()()11f f =--,进而计算即可得解. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 当0x ≤时,()(1)ln f x x -=+∴()()11ln[(1)1]ln 2f f =--=---+=-.故选:A. 【点睛】思路点睛:该题考查函数奇偶性的应用,解题思路如下: (1)根据奇函数的定义,可知(1)(1)=--f f ; (2)根据题中所给的函数解析式,求得函数值; (3)最后得出结果.2.C解析:C 【分析】先判断函数为偶函数,根据奇偶性求得0m =,将原不等式化为ln x e e ≥,等价于ln 1x ≥,进而可得答案.【详解】设2021x t -=,()()()()20212120f x f x f t f t -=-⇒=-, 所以()||x m f x e+=是偶函数,则||||x m x m e e +-+=恒成立,即()()2240x m x m x m x m mx +=-+⇔+=-+⇔=对任意x ∈R 恒成立,所以0m =⇒()||x f x e =,因为11lnln ln x x x-==-, 所以()1ln ln2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即为()()ln ln 2f x f x e +-≥, ()()ln 2ln 2ln xf x e f x e ee ≥⇒≥⇒≥,因为xy e =为增函数,所以可得ln 1x ≥,则ln 1x ≥或ln 1x ≤-, 解得x e ≥或10x e <≤, 即不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是[)10,,e e ⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦,故选:C. 【点睛】方法点睛:已知函数的奇偶性求参数,主要方法有两个,一是利用:(1)奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解,(2)偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解;二是利用特殊值:奇函数一般由()00f = 求解,偶函数一般由()()110f f --=求解,用特殊法求解参数后,一定要注意验证奇偶性.3.B解析:B 【分析】首先判断函数的周期,并利用周期和偶函数的性质化简选项中的函数值,再比较大小. 【详解】()()22f x f x -=-+,()()4f x f x ∴+=-,即()()8f x f x +=, ()f x ∴的周期8T =,由条件可知函数在区间[]0,4单调递增,()()()1921240811f f f =⨯+=,()()()()()202125285533f f f f f =⨯+==-=, ()()()1978247822f f f =⨯+=,函数在区间[]0,4单调递增,()()()123f f f ∴<<, 即()()()192119782021f f f <<. 故选:B 【点睛】结论点睛:本题的关键是判断函数是周期函数,一般涉及周期的式子包含()()f x a f x +=,则函数的周期是a ,若函数()()f x a f x +=-,或()()1f x a f x +=,则函数的周期是2a ,或是()()f x a f x b -=+,则函数的周期是b a +. 4.D解析:D 【分析】构造函数()()3g x f x =-,验证函数()g x 的奇偶性可判断A 选项的正误;判断函数()g x 的单调性可判断B 选项的正误;利用函数()g x 的单调性解不等式()()22190f x x f x ++--->,可判断C 选项的正误;计算出()24g =-,求出116g ⎛⎫⎪⎝⎭的值,可求得116f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()()3g x f x =-,由()()()3f m n f m f n +=+-可得()()()g m n g m g n +=+. 对于A 选项,取0m n ==,可得()()020g g =,()00∴=g ,取n m =-,则()()()00g g m g m =+-=,()()g m g m ∴-=-,则函数()g x 为奇函数,所以,()()()()60g x g x f x f x +-=+--=,可得()()6f x f x +-=,A 选项正确; 对于B 选项,由已知条件可知,当0x >时,()()30g x f x =-<.任取1x 、2x R ∈且12x x >,所以,()()()()()1212120g x x g x g x g x g x -=+-=-<,()()12g x g x ∴<,所以,函数()()3g x f x =-为R 上的减函数,所以,函数()f x 为R 上的减函数,B 选项正确; 对于C 选项,()10f =,可得()()1133g f =-=-,由()()22190f x x f x ++--->,可得()()22130g x x g x ++--->,即()()()21311g xx g g +->=-=-,211x x ∴+-<-,可得20x x +<,解得10x -<<.C 选项正确; 对于D 选项,()()()()()663124232g f g g g =-=-=+=,()24g ∴=-,()()112214324216g g g g ⎛⎫⎛⎫=====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111316168f g ⎛⎫⎛⎫∴-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此,123168f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,D 选项错误. 故选:D. 【点睛】方法点睛:利用定义证明函数单调性的方法:(1)取值:设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值,且12x x <;(2)作差变形:即作差()()12f x f x -,并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断符号的方向变形;(3)定号:确定差()()12f x f x -的符号; (4)下结论:判断,根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论.5.A解析:A 【分析】根据题意,举出两个满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭的例子,据此分析选项可得答案. 【详解】根据题意,函数()f x 对于任意x ∈R ,恒有()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭, 则()f x 的解析式可以为:()2,1 1.51,0.510,00.5x f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪⎪⎩,满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭,不是增函数,没有单调区间,也可以为()f x x =,满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭,是增函数,其递增区间为R ,则()f x 可能存在单调区间,也可能不存在单调区间, 则A 正确;BCD 错误; 故选:A. 【点睛】关键点睛:本题考查函数单调性的定义,构造反例是解决本题的关键.6.A解析:A【分析】根据题意函数定义域关于原点对称且函数值有正有负,且为定义域内的单调递增函数,通过此两点判定即可. 【详解】解:由定义域内存在实数x 有()()0f x f x ⋅-<,可得函数定义域关于原点对称且函数值有正有负,排除D 、C.由②得“DM 函数”为单调递增函数,排除B. 故选:A 【考点】确定函数单调性的四种方法: (1)定义法:利用定义判断;(2)导数法:适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数;(3)图象法:由图象确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须是函数定义域的子集;二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接; (4)性质法:利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性.7.D解析:D 【分析】 根据()()112f x f x +=,可知()()112f x f x =-,可得函数解析式并画出函数图象,由图象可得m 的取值范围. 【详解】 根据()()112f x f x +=,可知()()112f x f x =-, 又当(]0,1x ∈时,()()110,4f x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦, 所以(]1,2x ∈时,(]10,1x -∈,()()111(1)(1)20,228f x f x x x ⎡⎤=-=--∈⎢⎥⎣⎦, (]2,3x ∈时,(]11,2x -∈,()()111(1)(2)30,4416f x f x x x ⎡⎤=-=--∈⎢⎥⎣⎦, (]3,4x ∈时,(]12,3x -∈,()()111(1)(3)40,2832f x f x x x ⎡⎤=-=--∈⎢⎥⎣⎦,即3()64f x <恒成立, 可画出函数图象,当(]2,3x ∈时,13(2)(3)464x x --=,解得94x =或114x =, 故若存在[),x m ∈+∞,使得()364f x =有解,则实数114m ≤,故选:D.8.C解析:C 【分析】由(2)()f x f x +=-,即可得到()f x 图象的对称轴为1x =,所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出(0),(4),(4)f f f -的大小关系. 【详解】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =,所以()f x 在(,1]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,且(4)(2)f f =-, 所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-, 故选:C. 【点睛】方法点睛:该题考查的是有关函数值的比较大小的问题,解题方法如下:(1)首先根据题中所给的函数解析式,判断函数类型,根据题中所给的条件,判断出函数图象的对称轴;(2)利用对称性,将自变量所对应的函数值进行转换; (3)根据函数的单调性求得结果.9.C解析:C 【分析】由()f x 为奇函数,结合已知区间的解析式即可求10x -≤≤时()f x 的解析式,进而求()1f -即可.【详解】∵()f x 在R 上是奇函数, ∴令10x -≤≤,则[0,1]x -∈, 由题意,有()31()xf x f x --=-=-,∴1()13x f x =-,故()111123f --=-=-, 故选:C 【点睛】关键点点睛:利用函数奇偶性,求对称区间上的函数解析式,然后代入求值.10.A解析:A 【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项B 、D ,再根据()01f =-不成立排除选项C ,即可得正确选项. 【详解】由图知()f x 的定义域为{}|1x x ≠±,排除选项B 、D ,又因为当0x =时,()01f =-,不符合图象()01f =,所以排除C , 故选:A 【点睛】思路点睛:排除法是解决函数图象问题的主要方法,根据函数的定义域、与坐标轴的交点、函数值的符号、单调性、奇偶性等,从而得出正确结果.11.D解析:D 【分析】由题知函数()f x 的图象关于直线4x =对称,则有()f x 在[4,)+∞上单调递增,且有(6)(2)3f f ==,再利用单调性解不等式即可得结果.【详解】因为(4)f x +是偶函数,所以函数()f x 的图象关于直线4x =对称,则(6)(2)3f f ==. 因为()f x 在(,4]-∞上单调递减,所以()f x 在[4,)+∞上单调递增, 故(24)3f x -<等价于224x <-6<,解得35x <<. 故选:D 【点睛】关键点睛:本题的关键是能得出函数()f x 的图象关于直线4x =对称,进而判断出函数的单调性来,要求学生能够熟悉掌握函数性质的综合应用.12.C解析:C【分析】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩,计算可得()()()()()()()2,2,g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩,再结合图像即可求出答案.【详解】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩,则()()221g x x ax h x x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩, 则()()()()()()()()()()()2,2,g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩, 由于函数()f x 的最小值为0,作出函数()(),g x h x 的大致图像,结合图像,210x -=,得1x =±,所以1a =±.故选:C【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质,考查转化思想,考查数形结合思想,属于中档题. 13.B解析:B【分析】根据函数的解析式,得出函数的单调性,把不等式(21)(32)f x f x +<-,转化为相应的不等式组,即可求解.【详解】由题意,函数2log (1),1()1,1x x f x x +≥⎧=⎨<⎩, 可得当1x <时,()1f x =,当1≥x 时,函数()f x 在[1,)+∞单调递增,且()21log 21f ==,要使得()()2131f x f x +<-,则2131311x x x +<-⎧⎨->⎩,解得2x >, 即不等式()()2131f x f x +<-的解集为()2,+∞,故选:B.【点睛】思路点睛:该题主要考查了函数的单调性的应用,解题思路如下:(1)根据函数的解析式,得出函数单调性;(2)合理利用函数的单调性,得出不等式组;(3)正确求解不等式组,得到结果.14.C解析:C【分析】根据“呆呆函数”的定义可知:函数()f x 的值域关于原点对称,由此逐项判断.【详解】根据定义可知:()f x 为“呆呆函数”⇔()f x 的值域关于原点对称,A .2111sin cos cos sin 2cos 2222y x x x x x =+=++1242y x π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭⎣⎦,此时值域不关于原点对称,故不符合; B .()20,xy =∈∞+,值域不关于原点对称,故不符合; C .ln x y x e =+,当0x →时,y →-∞,当x →+∞时,+y →∞,所以()ln ,xy x e =+∈-∞+∞,值域关于原点对称,故符合; D .()[)222111,y x x x =-=--∈-+∞,值域不关于原点对称,故不符合,故选:C.【点睛】本题考查新定义函数,涉及到函数值域的分析,主要考查学生的分析理解能力,难度一般. 15.D解析:D【解析】根据基本初等函数的性质知,符合条件的是21y x =+,因为满足2()1()f x x f x -=+=,且在(0,)+∞上是增函数,故选D.二、填空题16.【分析】先由解出a 讨论的单调性利用函数单调性解不等式即可【详解】因为且所以解得在R 上单增可化为:解得:不等式的解集为故答案为:【点睛】利用单调性解不等式通常用于:(1)分段函数型不等式;(2)复合函 解析:()1,+∞【分析】先由()36f =,解出a ,讨论()xf x a x =+的单调性,利用函数单调性解不等式即可. 【详解】因为()x f x a x =+,且()36f =,,所以33a =,解得1a =>.()(),ln 1x x f x f a x a x a =+∴=+'ln 0,ln 111,x x a a a a a >∴>∴>+,()x f x a x ∴=+在R 上单增.()()21f x f x ->可化为:21x x ->解得:1x >.不等式()()21f x f x ->的解集为()1,+∞故答案为:()1,+∞【点睛】利用单调性解不等式通常用于: (1)分段函数型不等式;(2)复合函数型不等式;(3)抽象函数型不等式;(4)解析式较复杂的不等式;17.1【分析】据题意分析可得则有即函数是周期为4的周期函数结合奇函数的性质及周期可求【详解】因为所以所以即函数是周期为4的周期函数所以所以原式等于故答案为:【点睛】方法点睛:函数在定义域R 上满足可知函数 解析:1【分析】据题意,分析可得(2)()f x f x +=-,则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=,即函数()f x 是周期为4的周期函数,结合奇函数的性质及周期可求.【详解】因为()()11f x f x -=+,所以(2)()()f x f x f x +=-=-,所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=,即函数()f x 是周期为4的周期函数.所以()()()33411f f f f =-=-=-(),(4)(0)(2)0f f f ===, (1)(2)(3)(4)0f f f f +++=,所以原式等于()()()12(123(4))(49)(50)(49)(50)(1)(2)1f f f f f f f f f f +++++=+=+=故答案为:1【点睛】方法点睛:函数在定义域R 上满足()()f a x f a x +=-,可知函数图象关于x a =对称,如果同时函数为奇函数,且关于直线x a =对称,可推出函数为周期函数.18.【分析】先由题中条件得到讨论四种情况再判断的周期性即可得出结果【详解】由题意当时此时;当时此时;当时此时;当时此时;又所以是以为周期的函数因此的值域为故答案为:【点睛】关键点点睛:求解本题的关键在于 解析:{}0,1,3,4【分析】先由题中条件,得到[][][]()246g x x x x =+-,讨论10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭四种情况,再判断()g x 的周期性,即可得出结果. 【详解】由题意,[][][][][][][]()2244246g x x x x x x x x =-+-=+-, 当10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,120,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,[)40,1x ∈,此时()0000g x =+-=; 当11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,12,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,[)41,2x ∈,此时()0101g x =+-=; 当13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,321,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,[)42,3x ∈,此时()1203g x =+-=; 当3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,32,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,[)43,4x ∈,此时()1304g x =+-=;又[][][][][][](1)224461224466g x x x x x x x +=+++-+=+++--[][][]246()x x x g x =+-=,所以()g x 是以1为周期的函数,因此()g x 的值域为{}0,1,3,4.故答案为:{}0,1,3,4【点睛】关键点点睛:求解本题的关键在于根据一个单位区间内,x 的不同取值,确定[]x ,[]2x ,[]4x 的不同取值情况,结合函数的周期性,即可求解. 19.【分析】本题首先可根据得出函数是周期为的周期函数则然后根据函数是奇函数得出最后根据当时求出的值即可得出结果【详解】因为所以即函数是周期为的周期函数则因为函数为定义在上的奇函数所以因为当时所以故答案为解析:2【分析】本题首先可根据(3)()f x f x +=-得出函数()f x 是周期为6的周期函数,则(100)(4)(1)f f f ==-,然后根据函数()f x 是奇函数得出(1)(1)f f -=-,最后根据当3,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()2f x x =-求出(1)f -的值,即可得出结果. 【详解】因为(3)()f x f x +=-,所以(6)(3)f x f x +=-+,即(6)()f x f x +=,函数()f x 是周期为6的周期函数,则(100)(6164)(4)f f f =⨯+=,(4)(1)f f =-,因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数,所以(1)(1)f f -=-, 因为当3,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()2f x x =-,所以(1)2(1)2f -=-⨯-=, 故答案为:2.【点睛】关键点点睛:本题考查函数周期性的判断与应用,考查函数奇偶性的应用,若函数()f x 满足()()f x f x k =+,则函数()f x 是周期为k 的周期函数,奇函数满足()()f x f x -=-,考查化归与转化思想,是中档题.20.【分析】等价于再画出函数的图象求出函数的最小值即得解【详解】∵的最大值是0∴函数∴当时恒成立当时∴∴设其函数图象如图:由图象可知当时∴实数的取值范围为故答案为:【点睛】关键点睛:解答本题的关键是找到 解析:6a ≤-【分析】 等价于2a x ≤--,再画出函数2y x =--,[]4,4x ∈-的图象求出函数的最小值即得解.【详解】∵()f x 的最大值是0,∴函数()()242220f x x a x x x a =-++=+-+≤, ∴当2x =-时,0f x恒成立,当2x ≠-时,∴20x a -+≤, ∴2a x ≤--, 设2y x =--,[]4,4x ∈-,其函数图象如图:由图象可知,当4x =-时,min 426y =---=-,∴实数a 的取值范围为6a ≤-.故答案为:6a ≤-.【点睛】关键点睛:解答本题的关键是找到原命题的等价命题,由()()220f x x x a =+-+≤得到2a x ≤--在[]4,4x ∈-上恒成立.再画函数的图象求函数的最小值就自然而然了. 21.【分析】根据题意可得为定值设为c 根据题意可求得c 的值即可得的解析式根据的单调性及即可求得答案【详解】因为是定义在R 上的单调函数且所以对于任意x 为定值设为c 即所以又所以c=1即设因为与都为单调递增函数 解析:(1,)+∞【分析】根据题意可得()3xf x -为定值,设为c ,根据题意,可求得c 的值,即可得()f x 的解析式,根据()g x 的单调性及(1)0g =,即可求得答案.【详解】因为()f x 是定义在R 上的单调函数,且()34x f f x ⎡⎤-=⎣⎦,所以对于任意x ,()3x f x -为定值,设为c ,即()3xf x c -=, 所以()3()4x f f x f c ⎡⎤-==⎣⎦,又()34c f c c =+=, 所以c=1,即()31xf x =+, 设44()1()3xg x f x x x+=-=-,因为3xy =与4y x=-都为单调递增函数, 所以()g x 为单调递增函数,且(1)3140g =+-=, 所以4()301x g x x+=->的取值范围为(1,)+∞, 故答案为:(1,)+∞【点睛】 解题的关键是根据单调性,得到()3xf x -为定值,求得()f x 的解析式,再解不等式,考查分析理解,计算求值的能力,属中档题.22.5【分析】先根据函数的奇偶性求出的值然后将代入小于0的解析式建立等量关系解之即可【详解】函数是奇函数而则将代入小于0的解析式得解得故答案为5解析:5【分析】先根据函数的奇偶性求出(2)f -的值,然后将2x =-代入小于0的解析式,建立等量关系,解之即可.【详解】∴函数()y f x =是奇函数,()()f x f x ∴-=-,而(2)6f =,则(2)(2)6f f -=-=-,将2x =-代入小于0的解析式得(2)426f a -=-=-,解得5a =,故答案为5.23.【分析】由偶函数的性质将不等式表示为再由函数在区间上的单调性得出与的大小关系解出不等式即可【详解】函数是上的偶函数所以由得函数在区间上单调递增得解得因此实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查函数不 解析:17a -<<【分析】由偶函数的性质()()f x f x =将不等式表示为()()34f a f -<,再由函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性得出3a -与4的大小关系,解出不等式即可.【详解】函数()y f x =是R 上的偶函数,所以()()f x fx =, 由()()34f a f -<,得()()34f a f -<,函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增,34a ∴-<,得434a -<-<,解得17a -<<,因此,实数a 的取值范围是()1,7-,故答案为()1,7-.【点睛】本题考查函数不等式的求解,对于这类问题,一般要考查函数的奇偶性与单调性,将不等式转化为()()12f x f x <(若函数为偶函数,可化为()()12f x f x <),结合单调性得出1x 与2x 的大小(或1x 与2x 的大小)关系,考查推理能力与分析问题的能力,属于中等题.24.【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可【详解】则是偶函数当函数为增函数则等价与所以平方得所以所以即不等式的解集为故答案为:【点睛】本题主要考查 解析:113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性,结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可.【详解】()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++,则()f x 是偶函数, 当0x ≥函数()f x 为增函数,则()()12f x f x >-等价与()()12f x f x >-, 所以12x x >-,平方得22144x x x -+>,所以23410x x -+<,所以1 13x <<,即不等式的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭, 故答案为:113xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】 本题主要考查不等式的求解,结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键,难度中等.25.【分析】设函数利用导数结合可得在上单调递减将化为可解得结果【详解】即为设函数则所以在上单调递减又因为所以不等式可化为即所以故解集为故答案为:【点睛】本题考查了构造函数利用导数判断单调性考查了利用函数 解析:()4,+∞【分析】设函数()()3f x g x x=,利用导数结合()()3f x f x x '<可得()g x 在()0,∞+上单调递减,将()31016f x x -<化为()()4g x g <可解得结果. 【详解】 ()()3f x f x x '<即为()()30xf x f x '-<,设函数()()3f x g x x=, 则()()()()()3264330f x x f x x xf x f x g x x x''⋅-⋅-'==<,所以()g x 在()0,∞+上单调递减,又因为()44f =,所以()()3414416f g ==,不等式()31016f x x -<可化为()3116f x x <,即()()4g x g <,所以4x >,故解集为()4,+∞. 故答案为:()4,+∞.【点睛】本题考查了构造函数,利用导数判断单调性,考查了利用函数的单调性解不等式,属于中档题.26.②③【解析】①错∵∴不是偶函数②∵由图象知在上单调递增正确③时关于原点对称正确④若时只有一个零点错误综上正确命题为②③ 解析:②③【解析】①错,∵()f x x x b =+,()()f x x x b f x -=-+≠,∴()y f x =不是偶函数.②∵22(0)()(0)x b x f x x b x ⎧+>=⎨-+≤⎩, 由图象知()f x 在R 上单调递增,正确.③0b =时,22(0)()(0)x x f x x x ⎧>=⎨-≤⎩, ()f x 关于原点对称,正确.④若0b =时,()f x 只有一个零点,错误.综上,正确命题为②③.。
一、选择题1.已知()f x 是R 上的奇函数,()g x 是R 上的偶函数,且32()()231f x g x x x x +=+++,则(1)(2)f g +=( )A .5B .6C .8D .102.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足:当0x ≥时,()2x f x =,且(2)(3)f x af x +≤-对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A .1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B .1,32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .[32,)+∞D .(0,32]3.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年,雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案,给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数:()coshxf x c a c a =+=2xx aae e a -++⋅(e 为自然对数的底数).当0c,1a =时,记(1)p f =-,12m f ⎛⎫=⎪⎝⎭,(2)n f =,则p ,m ,n 的大小关系为( ).A .p m n <<B .n m p <<C .m p n <<D .m n p <<4.若函数()f x 同时满足:①定义域内存在实数x ,使得()()0f x f x ⋅-<;②对于定义域内任意1x ,2x ,当12x x ≠时,恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦;则称函数()f x 为“DM 函数”.下列函数中是“DM 函数”的为( )A .()3f x x =B .()sin f x x =C .()1x f x e-=D .()ln f x x =5.已知函数()f x 是定义在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的单调函数,且11()()2f x f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦,则(1)f 的值为( ) A .1B .2C .3D .46.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,若12,x x R ∀∈,且12x x ≠,都有()()()()12120x x f x f x -->成立,则不等式()()2120x f x x -->的解集是( )A .()(),11,2-∞B .()()0,11,+∞C .()(),01,2-∞D .()()0,12,⋃+∞7.函数()ln x xxf x e e-=-的大致图象是( ) A . B .C .D .8.函数()21x f x x-=的图象大致为( )A .B .C .D .9.已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x ',当0x >时,()()0f x f x x'+>,则使得()()()2213310xf x x f x +-->成立的x 的取值范围是( )A .()1,+∞B .()11,1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C .1,15⎛⎫⎪⎝⎭D .(),1-∞10.已知函数2log (1),1,()1,1,x x f x x +≥⎧=⎨<⎩则满足(21)(31)f x f x +<-的实数x 的取值范围是( )A .2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B .(2,)+∞C .2,23⎛⎫⎪⎝⎭D .()1,211.已知函数3()201920191x x f x x -=-++,则关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+>的解集为( ) A .1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B .1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C .1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D .1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-,()()0f x f x +-=,且在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则(2020.5)f =( )A .116-B .116C .14D .1213.已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩,若()()()f a f b a b =<,则b a -的取值范围为( ) A .30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B .70,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C .90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D .150,8⎛⎤⎥⎝⎦14.函数1()lg f x x=+ ) A .(0,2] B .(0,2) C .(0,1)(1,2]⋃D .(,2]-∞15.关于函数1()lg 1xf x x-=+,有下列三个命题: ①对于任意(1,1)x ∈-,都有()()f x f x -=-;②()f x 在(1,1)-上是减函数;③对于任意12,(1,1)x x ∈-,都有121212()()()1x x f x f x f x x ++=+; 其中正确命题的个数是( ) A .0B .1C .2D .3二、填空题16.设()xf x a x =+,若()36f =,则不等式()()21f x f x ->的解集为____________.17.已知定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数,且()20f =,则不等式(1)01f x x +≥-的解集为___________. 18.已知函数()y f x =,对任意x ∈R ,都有()()1f x f x a ⋅+=(a 为非零实数),且当[)0,1x ∈时,()2xf x =,则()2021f =___________.19.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x ≥时,()()1f x x x =-.(1)在坐标系中画出函数()f x 在R 上的完整图象; (2)求函数()f x 在R 上的解析式.20.设12{21 2}33k ∈--,,,,,若(1 0)(0 1)x ∈-,,,且||k x x >,则k 取值的集合是___________.21.函数()f x 与()g x 的图象拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ,不含(0,1)A 、(1,1)B 、(0,0)O 、(1,1)C --、(0,1)D -五个点,若()f x 的图象关于原点对称的图形即为()g x 的图象,则其中一个函数的解析式可以为__________.22.设函数()f x 是定义在()0,∞+上的可导函数,其导函数为()f x ',且有()()2f x xf x x '+>,则不等式()()()220202020420x f x f ---≤的解集为______.23.2211x x y x x -+=++的值域为________.24.已知11()x x f x e e x --=-+,则不等式()(63)2f x f x +-≤的解集是________. 25.高斯,德国著名数学家、物理学家、天文学家,是近代数学奠基者之一,享有“数学王子”之称.函数[]y x =称为高斯函数,其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数,当(]1.5,3x ∈-时,函数22x y ⎡-=⎤⎢⎥⎣⎦的值域为________. 26.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=-,且在[]2,0-上是减函数,下面是关于()f x 的判断:(1)()0f 是函数的最大值;(2)()f x 的图像关于点()1,0P 对称;(3)()f x 在[]2,3上是减函数;(4)()f x 的图像关于直线2x =对称.其中正确的命题的序号是____________(注:把你认为正确的命题的序号都填上)【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】先由()f x 是R 上的奇函数,()g x 是R 上的偶函数,且32()()231f x g x x x x +=+++,得到32()()231f x g x x x x -+-=-+-+,求出()f x 和()g x ,再求(1)(2)f g +【详解】因为32()()231f x g x x x x +=+++,所以32()()231f x g x x x x -+-=-+-+.又()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,所以32()()231f x g x x x x -+=-+-+,则32()23,()1f x x x g x x =+=+,故(1)(2)5510f g +=+=.故选:D 【点睛】 函数奇偶性的应用:(1)一般用()()f x f x =-或()()f x f x =-;(2)有时为了计算简便,我们可以对x 取特殊值: (1)(1)f f =-或(1)(1)f f =-.2.C解析:C 【分析】根据题意,可得()f x 的解析式,分别求得当23x -≤≤时,3x >时,2x <-时,(2)f x +和(3)f x -的表达式,结合题意,即可求得a 的范围,综合即可得答案.【详解】由题意知:2,0()2,0x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩当23x -≤≤时,20,30x x +≥-≥, 所以2322x x a +-≤⋅,所以212x a -≥, 因为23x -≤≤,所以215max (2)232x a -≥==;当3x >时,20,30x x +>-<, 所以2(3)22x x a +--≤⋅,所以5232a ≥=; 当2x <-时,20,30x x +<-> 所以(2)322x x a -+-≤⋅,所以51232a -≥=, 综上32a ≥. 故选:C 【点睛】解题的关键是根据题意求得()f x 的解析式,分类讨论,将(2)f x +和(3)f x -进行转化,考查分类讨论的思想,属中档题.3.C解析:C 【分析】先利用导数证明函数()f x 在区间0,上单调递增,再结合单调性比较大小即可.【详解】由题意知,()2x x e e f x -+=,21()22x x x xe e ef x e--+-'== 当0x >时,()0f x '>,即函数()f x 在区间0,上单调递增1(1)(1)2e ef f -+-==10122<<<,1(1)(2)2f f f ⎛⎫∴<< ⎪⎝⎭,即m p n << 故选:C 【点睛】关键点睛:解决本题的关键是利用导数证明函数()f x 的单调性,再结合单调性比较大小.4.A解析:A 【分析】根据题意函数定义域关于原点对称且函数值有正有负,且为定义域内的单调递增函数,通过此两点判定即可. 【详解】解:由定义域内存在实数x 有()()0f x f x ⋅-<,可得函数定义域关于原点对称且函数值有正有负,排除D 、C.由②得“DM 函数”为单调递增函数,排除B. 故选:A 【考点】确定函数单调性的四种方法: (1)定义法:利用定义判断;(2)导数法:适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数;(3)图象法:由图象确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须是函数定义域的子集;二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接; (4)性质法:利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性.5.A解析:A 【分析】采用赋值法,在11()()2f x f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦中,分别令1x =和1x a =+,联立两个式子,根据函数的单调性可解. 【详解】解:根据题意知,设(1)0f a =≠, 令1x =,则[]1(1)(1)12f f f +=,则()112af a +=,()112f a a+=, 令1x a =+,则11(1))21(1f a f f a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦+, 所以()11121f a f a a ⎛⎫+==⎪+⎝⎭, 又因为函数()f x 是定义在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的单调函数, 所以11121a a +=+,2210a a --=,所以1a =或12a =-(舍去),()11f =.故选:A. 【点睛】思路点睛:抽象函数求函数值问题一般是换元法或者赋值法,再结合函数的性质解方程即可.6.C解析:C 【分析】根据条件先判断出()f x 的单调性,根据单调性得到()f x 取值的特点,根据1x -与0的关系,采用分类讨论的方法解不等式,从而求解出解集. 【详解】因为12,x x R ∀∈,且12x x ≠,都有()()()()12120x x f x f x -->成立,所以()f x 为R 上增函数,又因为()f x 为R 上奇函数,所以0x <时,()0f x <;0x >时,()0f x >;0x =时,()0f x =;当10x -=时,1x =,此时()()2012x f x x --=,不符合条件;当10x ->时,因为()()2120x f x x -->,所以22010x x x ⎧->⎨->⎩,解得0x <;当10x -<时,因为()()2120x f x x -->,所以22010x x x ⎧-<⎨-<⎩,解得12x <<;所以()()2120x f x x -->的解集为()(),01,2-∞,故选:C. 【点睛】结论点睛:可直接判断函数单调性的几种变形形式: (1)已知12,x x D ∀∈(D 为函数定义域),且12x x ≠,都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立,则()f x 为单调递增函数;(2)已知12,x x D ∀∈(D 为函数定义域),且12x x ≠,都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立,则()f x 为单调递增函数.7.C解析:C 【分析】结合选项中函数图象的特征,利用函数的性质,采用排除法求解即可. 【详解】由题可知,函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞,()()ln ln x x x xx xf x f x e e e e----==-=---, 所以函数()f x 为奇函数,所以排除选项BD ;又()10f =,所以排除选项A. 故选:C. 【点睛】思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.8.D解析:D 【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性,由此可得出合适的选项. 【详解】函数()21x f x x -=的定义域为{}0x x ≠,()()()2211x x f x f x x x----===-, 函数()f x 为偶函数,其图象关于y 轴对称,排除B 、C 选项;当0x >时,()211x f x x x x-==-,因为y x =,1y x =-在区间()0,∞+上都是增函数,所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增,排除A 选项, 故选:D. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左、右位置;从函数的值域,判断图象的上、下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象. 利用上述方法排除、筛选选项.9.C解析:C 【分析】根据0x >时()()0f x f x x'+>可得:()()0xf x f x '+>;令()()g x xf x =可得函数在()0,∞+上单调递增;利用奇偶性的定义可证得()g x 为偶函数,则()g x 在(),0-∞上单调递减;将已知不等式变为()()231g x g x >-,根据单调性可得自变量的大小关系,解不等式求得结果. 【详解】当0x >时,()()0f x f x x'+> ()()0xf x f x '∴+>令()()g x xf x =,则()g x 在()0,∞+上单调递增()f x 为奇函数 ()()()()g x xf x xf x g x ∴-=--== ()g x ∴为偶函数则()g x 在(),0-∞上单调递减()()()2213310xf x x f x ∴+-->等价于()()231g x g x >-可得:231x x >-,解得:115x << 本题正确选项:C 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题,关键是能够构造函数,根据导函数的符号确定所构造函数的单调性,并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性,从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较.10.B解析:B 【分析】根据函数的解析式,得出函数的单调性,把不等式(21)(32)f x f x +<-,转化为相应的不等式组,即可求解. 【详解】由题意,函数2log (1),1()1,1x x f x x +≥⎧=⎨<⎩,可得当1x <时,()1f x =,当1≥x 时,函数()f x 在[1,)+∞单调递增,且()21log 21f ==, 要使得()()2131f x f x +<-,则2131311x x x +<-⎧⎨->⎩ ,解得2x >,即不等式()()2131f x f x +<-的解集为()2,+∞, 故选:B. 【点睛】思路点睛:该题主要考查了函数的单调性的应用,解题思路如下: (1)根据函数的解析式,得出函数单调性; (2)合理利用函数的单调性,得出不等式组; (3)正确求解不等式组,得到结果.11.A解析:A 【分析】可知()f x 在R 上是单调递增函数,且()()2f x f x +-=,则不等式等价于(21)(2)f x f x ->-,解出即可.【详解】3()201920191x x f x x -=-++,()f x ∴在R 上是单调递增函数,()3201920191x x f x x ---=+-,()()2f x f x ∴+-=,则()()222f x f x -=-,(21)(2)2f x f x -+>,(21)2(2)(2)f x f x f x ->-=-∴,212x x ∴->-,解得14x >, 故不等式的解集为1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 故选:A.【点睛】 本题考查抽象函数不等式的求解,解题的关键是判断出函数的单调性,得出()()2f x f x +-=,将不等式化为(21)(2)f x f x ->-求解.12.D解析:D【分析】由已知条件可知()f x 为奇函数且周期为4,利用函数的周期,结合其区间解析式即可求(2020.5)f 的值.【详解】由()()0f x f x +-=知:()()f x f x -=-,即()f x 为奇函数,∵()(2)f x f x =-,有(2)()()f x f x f x +=-=-,∴(4)(2)()f x f x f x +=-+=,故()f x 为周期为4的函数,在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以121111(2020.5)(4505)()()2242f f f =⨯+===, 故选:D【点睛】本题考查了函数的性质,根据函数的奇偶性、周期性以及区间解析式求函数值,属于基础题. 13.B解析:B【分析】根据分段函数的单调性以及()()()f a f b a b =<,可得11,128a b ≤<≤≤且122log 2b a +=,令122log 2b a k +==,则24k <≤,然后用k 表示,a b ,再作差,构造函数,并利用单调性可求得结果.【详解】因为函数()f x 在1[,1)8上递减,在[1,2]上递增,又()()()f a f b a b =<,所以11,128a b ≤<≤≤,且122log 2b a +=,令122log 2b a k +==,则24k <≤, 所以212k a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,2log b k =, 所以221log 2k b a k -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 设函数221()log 2x g x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,(2,4]x ∈,∵()g x 在(]2,4上单调递增,∴(2)()(4)g g x g <≤,即70()4g x <≤, ∴70,4b a ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦, 故选:B .【点睛】关键点点睛:根据分段函数的单调性以及()()()f a f b a b =<得到11,128a b ≤<≤≤,且122log 2b a +=是解题关键.属于中档题.14.C解析:C【分析】对数的真数大于零,分母不为零,偶次根式要求被开方式大于等于零,依据以上三点,列不等式求解.【详解】欲使函数有意义,则0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩,即012x x x >⎧⎪≠⎨⎪≤⎩解得()(]0,11,2x ∈⋃故选:C .【点睛】方法点睛:该题考查的是有关求函数定义域的问题,在求解的过程中,注意: (1)对数要求真数大于0;(2)分式要求分母不等于0;(3)偶次根式要求被开方式大于等于0.15.D解析:D【分析】当(1,1)x ∈-时,函数1()1x f x lg x-=+恒有意义,代入计算()()f x f x -+可判断①;利用分析法,结合反比例函数及对数函数的单调性和复合函数“同增异减”的原则,可判断②;代入分别计算12()()f x f x +和1212()1x x f x x ++,比照后可判断③. 【详解】 解:1()1x f x lg x-=+,当(1,1)x ∈-时, 1111()()()101111x x x x f x f x lglg lg lg x x x x +-+--+=+===-+-+,故()()f x f x -=-,即①正确; 12()(1)11x f x lg lg x x -==-++,由211y x=-+在(1,1)-上是减函数,故()f x 在(1,1)-上是减函数,即②正确; 12121212121212121211111()()()11111x x x x x x x x f x f x lglg lg lg x x x x x x x x ----+--+=+==+++++++; 12121212121212121212111()1111x x x x x x x x x x f lg lg x x x x x x x x x x +-+++--==+++++++,即③正确 故三个结论中正确的命题有3个故选:D .【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了函数求值,复合函数的单调性,对数的运算性质等知识点,属于中档题.二、填空题16.【分析】先由解出a 讨论的单调性利用函数单调性解不等式即可【详解】因为且所以解得在R 上单增可化为:解得:不等式的解集为故答案为:【点睛】利用单调性解不等式通常用于:(1)分段函数型不等式;(2)复合函 解析:()1,+∞【分析】先由()36f =,解出a ,讨论()xf x a x =+的单调性,利用函数单调性解不等式即可. 【详解】因为()x f x a x =+,且()36f =,,所以33a =,解得1a =>.()(),ln 1x x f x f a x a x a =+∴=+'ln 0,ln 111,x x a a a a a >∴>∴>+,()x f x a x ∴=+在R 上单增.()()21f x f x ->可化为:21x x ->解得:1x >.不等式()()21f x f x ->的解集为()1,+∞故答案为:()1,+∞【点睛】利用单调性解不等式通常用于: (1)分段函数型不等式;(2)复合函数型不等式;(3)抽象函数型不等式;(4)解析式较复杂的不等式;17.【分析】先由定义域为R 的奇函数在区间上为严格减函数且画出的草图结合图像对进行等价转化解不等式即可【详解】是定义域为R 的奇函数且在区间上为严格减函数有∴在区间上为严格减函数且可作出的草图:不等式可化为 解析:[]3,1--【分析】先由定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数,且()20f =,画出()f x 的草图,结合图像对(1)01f x x +≥-进行等价转化,解不等式即可. 【详解】 ()f x 是定义域为R 的奇函数,且在区间(0,)+∞上为严格减函数,有()20f =, ∴()f x 在区间(,0)-∞上为严格减函数且()20f =,可作出()f x 的草图:不等式(1)01f x x +≥-可化为: ()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩或()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩对于()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩,当1x >时()12,10x f x +>+<,无解; 对于()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩,当1x <时()12,10x f x +<+≤,由图像观察,210x -≤+≤ 解得:31x -≤≤- 所以不等式(1)01f x x +≥-的解集为[]3,1--. 故答案为:[]3,1--【点睛】常见解不等式的类型:(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法;(2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则;(3)高次不等式用穿针引线法;(4)含参数的不等式需要分类讨论.18.【分析】推导出函数是周期为的周期函数可得出再由可求得结果【详解】当时则对任意都有(为非零实数)则由可得所以函数是周期为的周期函数因此故答案为:【点睛】方法点睛:函数的三个性质:单调性奇偶性和周期性在 解析:a【分析】推导出函数()f x 是周期为2的周期函数,可得出()()20211f f =,再由()01f =可求得结果.【详解】当[)0,1x ∈时,()2x f x =,则()0021f ==, 对任意x ∈R ,都有()()1f x f x a ⋅+=(a 为非零实数),则()()10f f a ⋅=,()1f a ∴=,由()()1f x f x a ⋅+=可得()()21f x f x a +⋅+=,()()2f x f x ∴+=,所以,函数()f x 是周期为2的周期函数,因此,()()20211f f a ==.故答案为:a .【点睛】方法点睛:函数的三个性质:单调性、奇偶性和周期性,在高考中一般不会单独命题,而是常将它们综合在一起考查,其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合,并结合奇偶性求函数值,多以选择题、填空题的形式呈现,且主要有以下几种命题角度; (1)函数的单调性与奇偶性相结合,注意函数的单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性相结合,此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解;(3)周期性、奇偶性与单调性相结合,解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.19.(1)图象答案见解析;(2)【分析】(1)利用奇函数图像关于原点对称先作出当时的图像在作出它关于原点的对称图像即可;(2)先用代入法求在的解析式在合并在一起写成分段函数即可【详解】解:(1)图像如图解析:(1)图象答案见解析;(2)(1),0()(1),0x x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. 【分析】(1)利用奇函数图像关于原点对称,先作出当0x ≥时,()()1f x x x =-的图像,在作出它关于原点的对称图像即可;(2)先用代入法求()f x 在0x <的解析式,在合并在一起写成分段函数即可.【详解】解:(1) 图像如图示.(2)设0x <,则0x ->,所以()(1())(1)f x x x x x -=---=-+,又因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数,所以()()f x f x -=-.所以当0x <,()()1f x x x =+,综上()f x 的解析式为:(1),0()(1),0x x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. 【点睛】函数奇偶性的应用:(1) 利用奇偶性求函数值;(2) 利用奇偶性画图像;(3) 利用奇偶性求函数的解析式.20.【分析】根据不能是奇函数排除和再利用幂函数的性质排除2即可得出【详解】若且则幂函数的图象一定在的上方故不可能为奇函数即不能取和当取时是偶函数故只需满足即可此时即则即则可取故取值的集合是故答案为:【点 解析:2{2 }3-, 【分析】根据k y x =不能是奇函数排除1-和13,再利用幂函数的性质排除2即可得出. 【详解】 若(1 0)(0 1)x ∈-,,,且||k x x >,则幂函数k y x =的图象一定在y x =的上方,故k y x =不可能为奇函数,即k 不能取1-和13, 当k 取22,,23-时,k y x =是偶函数,故只需满足(0 1)x ∈,即可, 此时k x x >,即11k x ->,则10k -<,即1k <,则k 可取22,3-,故k 取值的集合是2{2 }3-,. 故答案为:2{2 }3-,. 【点睛】本题考查幂函数的性质,解题的关键是正确理解幂函数的性质的特点,以及不同幂函数的图象特点. 21.【分析】先根据图象可以得出f(x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个再在AB 或OB 中选取一个即可得出函数f(x)的解析式【详解】由图可知线段OC 与线段OB 是关于原点对称的线段CD 与线段BA 也是关于原点解析:()1x f x ⎧=⎨⎩1001x x -<<<< 【分析】先根据图象可以得出f (x )的图象可以在OC 或CD 中选取一个,再在AB 或OB 中选取一个,即可得出函数f (x ) 的解析式.【详解】由图可知,线段OC 与线段OB 是关于原点对称的,线段CD 与线段BA 也是关于原点对称的,根据题意,f (x) 与g (x) 的图象关于原点对称,所以f (x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个,再在AB 或OB 中选取一个,比如其组合形式为: OC 和AB , CD 和OB ,不妨取f (x )的图象为OC 和AB ,OC 的方程为: (10)y x x =-<<,AB 的方程为: 1(01)y x =<<,所以,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩, 故答案为:,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法,涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用,属于中档题.22.【分析】根据已知构造新函数利用导数求得函数的单调性根据函数的单调性列出不等式即可求解【详解】因为函数是定义在上的可导函数且有即设函数则所以函数在上单调递增又因为即所以则即的即不等式的解集为故答案为: 解析:(2020,2022]【分析】根据已知构造新函数,利用导数求得函数的单调性,根据函数的单调性,列出不等式,即可求解.【详解】因为函数()f x 是定义在()0,∞+上的可导函数,且有()()2f x xf x x '+>, 即()()222xf x x f x x '+> 设函数()()2g x x f x =,则()()()220g x xf x x f x '=+>, 所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增,又因为()()()220202020420x f x f ---≤,即()()()222020202022x f x f --≤, 所以(2020)(2)g x g -≤,则2020020202x x ->⎧⎨-≤⎩,即的20202022x <≤, 即不等式的解集为(2020,2022].故答案为:(2020,2022].【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用,其中解答中构造新函数,结合题设条件求得新函数的单调性,结合新函数的性质求解是解答的关键,着重考查构造思想,以及推理与运算能力.23.【分析】利用判别式法求得函数的值域【详解】由于所以函数的定义域为由化简得即关于的一元二次方程有解时存在符合题意时由即即解得综上可得的值域为故答案为:【点睛】本小题主要考查分式型函数值域的求法属于中档题 解析:1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用判别式法求得函数的值域.【详解】 由于22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭,所以函数2211x x y x x -+=++的定义域为R , 由2211x x y x x -+=++化简得221yx yx y x x ++=-+, 即()()21110y x y x y -+++-=,关于x 的一元二次方程有解, 1y =时,存在0x =,符合题意,1y ≠时,由()()221410y y ∆=+--≥,即231030y y -+≤,即()()3310y y --≤, 解得(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭, 综上可得2211x x y x x -+=++的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为:1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本小题主要考查分式型函数值域的求法,属于中档题. 24.【分析】先构造函数得到关于对称且单调递增再结合对称性与单调性将不等式转化为即可求解【详解】构造函数那么是单调递增函数且向左移动一个单位得到的定义域为且所以为奇函数图象关于原点对称所以图象关于对称不等 解析:[2,)+∞【分析】 先构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e --=-=-+-,得到()g x 关于(1,0)对称,且单调递增,再结合对称性与单调性将不等式()(63)2f x f x +- 转化为34x x -即可求解.【详解】 构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e --=-=-+-,那么()g x 是单调递增函数, 且向左移动一个单位得到1()(1)x x h x g x e x e =+=-+, ()h x 的定义域为R ,且1()()x x h x e x h x e-=--=-, 所以()h x 为奇函数,图象关于原点对称,所以()g x 图象关于(1,0)对称.不等式()(63)2f x f x +- 等价于()1(63)10f x f x -+--,等价于()(63)0()[2(63)](34)g x g x g x g x g x +-∴--=-,结合()g x 单调递增可知342x x x -∴,所以不等式()(63)2f x f x +- 的解集是[2,)+∞.故答案为:[2,)+∞.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用,考查函数的对称性的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25.【分析】根据高斯函数定义分类讨论求函数值【详解】则当时当时当时∴值域为故答案为:【点睛】本题考查新定义函数解题关键是理解新函数利用新函数定义分类讨论求解解析:{}2,1,0--【分析】根据高斯函数定义分类讨论求函数值.【详解】( 1.5,3]x ∈-,则21.750.52x --<≤, 当21.7512x --<<-时,222x y ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦-=, 当2102x --≤<时,122x y ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦-=, 当200.52x -≤≤时,022x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=, ∴值域为{2,1,0}--.故答案为:{2,1,0}--.【点睛】本题考查新定义函数,解题关键是理解新函数,利用新函数定义分类讨论求解. 26.(2)(3)(4)【分析】(1)利用定义在R 上的偶函数在上是减函数即可判断;(2)根据偶函数的定义和条件即可判断;(3)利用函数的周期为4在-20上是减函数即可判断;(4)利用可得的图象关于直线对称解析:(2)(3)(4)【分析】(1)利用定义在R 上的偶函数()f x 在[]2,0-上是减函数,即可判断;(2)根据偶函数的定义和条件()()2f x f x +=-,即可判断;(3)利用函数的周期为4,()f x 在[-2,0]上是减函数,即可判断;(4)利用()()()22f x f x f x -+=--=+,可得()f x 的图象关于直线2x =对称,即可判断.【详解】(1)∵定义在R 上的偶函数()f x 在[]2,0-上是减函数,故()()20f f ->,()0f 不可能是函数的最大值,故错;(2)由定义在R 上的偶函数()f x 得()()f x f x -=,又()()2f x f x +=-,故()()20f x f x ++-=,即图象关于()10,对称,故正确; (3)由于()()2f x f x +=-,则()()()42f x f x f x +=-+=,故()f x 为周期函数,且4为它的一个周期,由在[20]-,上是减函数,可得()f x 在[2]4,上是减函数,故正确; (4)由于()()2f x f x +=-,则()()()42f x f x f x +=-+=,又()()f x f x -=,故()()4f x f x +=-,即图象关于直线2x =对称,故正确.故答案为:(2)(3)(4).【点睛】本题主要考查了抽象函数的函数的奇偶性、周期性和对称性,考查了转化思想,属于中档题.。
第三章 可测函数的知识要点与复习自测一、可测函数的定义的知识要点:◇ 体会可测函数从简单到一般的定义思想,并能根据这一思想,按可测集上的简单函数到非负可测函数再到一般可测函数的程序,正确写出可测函数的定义。
◇ 掌握简单函数的四则运算性和复合运算性,并理解复合运算性中为什么必须要求内层函数是简单函数,才能保证复合之后的函数是简单函数。
◇ 掌握非负可测函数与简单函数的极限关系(即非负可测函数的定义),仔细体会刻画非负可测函数的测度特征的特征定理的证明过程,掌握此定理证明中通过对值域区间作不交区间分解(即2101[0,]{[,)}[,]22m m m m k k k m -=++∞=⋃⋃+∞),再借助逆象集导出可测集E 的有限不交可测分解的方法,即2101[0()][()][()]22m m m m k k k E E x f x E x f x E x f x m -=+=≤≤+∞=⋃≤<⋃≥,并能根据这样的分解将非负可测函数()f x 具体表示成一列单调递增非负简单函数列{()m x ϕ}的极限,即()lim ()m m f x x ϕ→∞=,其中1,[()]0,1,,21222(),[()]m mm m m k k k x E x f x k m x m x E x f x m ϕ⎧+∈≤<=-⎪=⎨⎪∈≥⎩。
◇ 掌握一般可测函数的定义及等价条件,并能根据定义及等价条件证明一些具体实函数的可测性(比如:零测集上的任何实函数;可测集上的连续函数;1R 上的区间上的单调函数等),并能正确说明可测集上的简单函数和非负可测函数也是一般可测函数定义下的可测函数;◇ 能根据可测函数的定义及等价定义中所涉及的逆象集的可测性证明1R 上的区间,开集,闭集,Borel 集在可测函数下的逆象集仍为可测集。
复习自测题:1、证明:(1)设nE R ⊂为可测集,()f x 为E 上的非负简单函数,(,)p G f E 表示()f x 在E 上的下方图形,则(,)p G f E 为1n R +上的可测集,并给出(,)p mG f E 的一个计算公式;(2)设n E R ⊂为可测集,()f x 为E 上的非负可测函数,(,)p G f E 表示()f x 在E 上的下方图形,则(,)p G f E 为1n R +上的可测集,并给出(,)p mG f E 的一个计算公式。
2、证明:可测集上的简单函数和非负可测函数也是一般可测函数定义下的可测函数。
3、(1)设n E R ⊂,1,()0,\E nx E x x R Eχ∈⎧=⎨∈⎩(nx R ∈)为E 的示性函数,证明:()E x χ为n R 上的可测函数⇔E 为n R 中的可测集;(2)利用(1)据理说明:设n E R ⊂为可测集,()f x 为E 上的非负简单函数(或非负可测函数),11(,)n p G f E E R R +⊂⨯⊂表示()f x 在E 上的下方图形,则()()(,)11,,(,)(,)0,,\(,)p p Gf E p x y G f E x y x y E R G f E χ∈⎧⎪=⎨∈⨯⎪⎩,()1,x y E R ∈⨯, 为11n E R R +⨯⊂上的可测函数。
4、设n E R ⊂为可测集,()f x 为E 上的可测函数,证明: (1)对1R 上的任意区间I ,1()f I -为n R 上的可测集; (2)对1R 上的开集G 和闭集F ,1()f G -和1()f F -为n R 上的可测集;(3)对1R 上的G δ型集G 和F σ型集F ,1()fG -和1()f F -为n R 上的可测集;(4)对1R 上的Borel 集G ,1()fG -为n R 上的可测集。
5、(1)设nE R ⊂为可测集,()f x 为E 上的实函数,证明:()f x 为E 上的可测函数⇔对任意,a b R ∈,a b <,()E x a f x b ⎡≤<⎤⎣⎦和()E x f x ⎡=+∞⎤⎣⎦都是nR 中的可测集;提示:1()()()1()().k E x a f x E x a f x E x f x E x a k f x a k E x f x ∞=⎡≤⎤=⎡≤<+∞⎤⋃⎡=+∞⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎛⎫=⎡+-≤<+⎤⎡=+∞⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ (2)设nE R ⊂为可测集,()f x 为E 上的几乎处处有限的实函数,证明:()f x 为E 上的可测函数⇔对任意,a b R ∈,a b <,()E x a f x b ⎡≤<⎤⎣⎦是nR 中的可测集。
6、证明:零测集上的任何实函数;可测集上的连续函数;1R 上的区间上的单调函数都是可测函数。
7、设nE R ⊂为可测集,且mE <+∞,()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数, (1)证明:对任意0ε>,存在可测子集E E ε⊂,使得()f x 在E ε上有界,且()\m E E εε<;(2)利用(1)和可测集与闭集的关系进一步证明:对任意0ε>,存在闭子集E E ε⊂,使得()f x 在E ε上有界,且()\m E E εε<。
提示:1()()k E x f x E x f x k ∞=⎡⎤⎡⎤=+∞=>⎣⎦⎣⎦,()E x f x k ⎡⎤>⎣⎦单调递减。
二、可测函数的基本性质的知识要点:◇ 掌握可测函数的基本性质,并能熟练地利用性质来判断一些函数的可测性; ◇ 掌握一般几乎处处有限的可测函数与简单函数列的极限关系,并体会此关系在讨论可测函数与连续函数之间关系(Lusin 定理)中的作用。
利用可测函数的定义和等价条件◇ 归纳判断函数可测性的常用方法利用可测函数的基本性质复习自测题:1、利用可测函数的子集性和并集性证明:(1)设()f x 定义在(,)a b 上,若对任意的0ε>,()f x 为[,]a b εε+-上可测函数,则()f x 必为(,)a b 上的可测函数;(2)设n E R ⊂为可测集,()f x 为E 上的可测函数,则(),[()0]()sgn ()0,[()0](),[()0]f x x E x f x f x f x x E x f x f x x E x f x ⎧∈>⎪=∈=⎨⎪-∈<⎩,为E 上的可测可测函数;2、利用可测函数列的极限性证明:(1)若一元实函数()f x 在(,)-∞+∞上可导,则导函数()f x '必为(,)-∞+∞上的可测函数;(2)若将(1)中的“(,)-∞+∞”改为“有限开区间(,)a b ”,则如何证明()f x '仍为(,)a b 上的可测函数。
3、设nE R ⊂为可测集,()f x 为E 上的有限可测函数,()F u 为1G R ⊂上的连续函数,且()f E G ⊂,则[]()()Ff x F f x =为E 上的可测函数。
4、设n E R ⊂为可测集,()f x 为E 上的有限可测函数,(,)F x y 为1n R +上实函数,满足:(1)对任意固定的x E ∈,(,)F x y 为y 的连续函数, (2)对于任意固定的1y R ∈,(,)F x y 为E 上的可测函数 证明:(,())F x f x 为E 上的可测函数。
三、可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间的关系(叶果洛夫定理)的知识要点:◇ 能正确的写出叶果洛夫定理,理解并掌握叶果洛夫定理的条件和结论;注意体会定理中的条件在定理证明中的作用,体会导致定理结论成立的关键条件,即0ε∀>,lim [()()]0k n k nm E x f x f x ε∞→∞=⋃-≥=,明白为什么叶果洛夫定理中“mE <+∞”和“可测函数列中每一项函数以及它的极限函数都要求是几乎处处有限的”这两个条件都是不可缺少的条件的原因。
◇ 叶果洛夫定理中导致结论成立的关键条件:0ε∀>,lim [()()]0k n k nm E x f x f x ε∞→∞=⋃-≥=,除了能导致定理的结论成立外,为什么还能导出lim ()()..→∞=n n f x f x a e 于E 以及()()n f x f x ⇒于E ,进而明白条件:0ε∀>,lim [()()]0k n k nm E x f x f x ε∞→∞=⋃-≥=,实际上是(1)lim ()()..→∞=n n f x f x a e 于E ,(2)()()n f x f x ⇒于E ,(3){}()n f x 在E 上本性一致收敛于()f x , 这三者之间的纽带。
◇ 掌握叶果洛夫定理结论在应用中便于应用的两种细致形式: 设E 为可测集,且mE <+∞,()n f x (1,2,n =),()f x 都是E 上几乎处处有限的可测函数,若lim ()()..→∞=n n f x f x a e 于E ,则(1)存在E 的一列可测子集{}n E ,使得在每个n E 上,{}()n f x 一致收敛于()f x ,且()1\n m E E n <,进而1\0n n m E E ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭;(2)存在E 的一列单调递增的可测子集{}n E ,使得在每个n E 上,{}()n f x 一致收敛于()f x ,且()1\n m E E n <,进而1\0n n m E E ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭。
◇ 能正确的写出叶果洛夫定理的逆定理,并掌握叶果洛夫定理的逆定理的证明,并体会叶果洛夫定理结论的细致形式在证明中所起的作用(实际上叶果洛夫定理的逆定理的证明方法也是证明一个函数列几乎处处收敛时所采用的常用方法)。
◇ 能根据叶果洛夫定理以及它的逆定理据理说明:在mE <+∞的条件下, (1)lim ()()..k k f x f x a e →∞=于E ,(2)关键条件:0ε∀>,lim [()()]0k n k nm E x f x f x ε∞→∞=⋃-≥=,(3)叶果洛夫定理结论:{}()k f x 在E 上本性一致收敛于()f x , 三者之间的关系是等价关系。
复习自测题:1、利用叶果洛夫定理证明:设n E R ⊂为可测集,且mE <+∞,()()1,2,k f x k =,()f x 都是E 上几乎处处有限的可测函数,若lim ()()..k k f x f x a e →∞=于E ,则对任意0ε>,存在可测子集E E ε⊂,使得{}()k f x 在E ε上一致有界,且()\m E E εε<;提示:利用“二”中的自测题的第6题和叶果洛夫定理。
2、设nE R ⊂为可测集,()()1,2,k f x k =,()f x 都是E 上几乎处处有限的可测函数,若0ε∀>,lim [()()]0k n k nm E x f x f x ε∞→∞=⋃-≥=,则lim ()()..k k f x f x a e →∞=于E 。