4.1实变函数与泛函分析 可测函数
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实变函数与泛函分析概述
实变函数与泛函分析概述实变函数是数学中一类重要的函数，与泛函分析有紧密的联系。
本文将对实变函数与泛函分析进行概述，并介绍它们的基本概念和主要应用。
一、实变函数概述实变函数是定义在实数集上的函数。
它们通常涉及到实数域上的极限、连续性、可导性等性质。
实变函数的研究对于数学和物理学等领域都具有重要的意义。
1.1 实变函数的定义实变函数可以根据其定义域和值域的不同进行分类。
常见的实变函数包括数列极限、函数极限、连续函数、可导函数等。
1.2 实变函数的性质实变函数具有一系列重要的性质，如界、连续性、可导性、积分等。
这些性质可以帮助我们了解函数的行为和性质，从而更好地进行函数的研究和应用。
1.3 实变函数的应用实变函数在数学和物理学中有广泛的应用。
例如，在微积分中，实变函数被用来解决曲线的弧长、曲率、最值等问题。
在物理学中，实变函数被用来描述物体的运动、变化等现象。
二、泛函分析概述泛函分析是研究无穷维空间中函数的一种数学分析方法。
它广泛应用于函数空间、傅里叶分析、偏微分方程等领域。
2.1 泛函分析的基本概念泛函分析的基本概念包括向量空间、范数、内积等。
与有限维空间相比，无穷维空间的泛函分析更加复杂，因为它需要处理无穷序列和无穷级数等概念。
2.2 泛函分析的重要结果泛函分析的重要结果包括泛函的极值、开映射定理、闭图像定理等。
这些结果为泛函分析提供了坚实的理论基础，也为实际问题的求解提供了有效的方法。
2.3 泛函分析的应用泛函分析在许多领域有广泛的应用。
例如，在傅里叶分析中，泛函分析被用来描述信号的频谱分布；在偏微分方程中，泛函分析被用来研究方程的解的存在性和稳定性。
三、实变函数与泛函分析的关系实变函数与泛函分析有紧密的联系。
实变函数可以看作是泛函分析在实数域上的特例。
通过引入泛函分析的方法和技巧，我们可以更好地理解和研究实变函数的性质与应用。
3.1 实变函数的泛函分析观点从泛函分析的角度来看，实变函数可以看作是存在于某个函数空间中的一个特殊函数。
实变函数与泛函分析概要第1~3章复习
e. P~ (0,1) ~ [0,1] ~ R+~ (a,b)
2020/4/20
40
第五节 集的势·序集
2020/4/20
41
5. 连续势集的定义
定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集，
其势记为 ， 显然：n 0
例：1）R~ (0,1) ~ [0,1] ~ [0,1) ~ R+~ (a,b)
存在大量既不开又不闭的集合，如： E=[0,1)
2020/4/20
25
定理3.3 任何集E的导集 E`为闭集
2020/4/20
26
闭集性质:
任意一簇闭集之交为闭集； 任意有限个闭集之并仍为闭集。
2020/4/20
27
例8 f(x)是直线上的连续函数当且仅当 对任意实数a，E={x|f(x)≤a}和 E1={x|f(x)≥a}都是闭集
2020/4/20
48
2 连续势集的性质（卡氏积）
有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集
定理：设A {(x1, x2, , xn, ) : xi (0,1)},则A
2020/4/20
49
推论 n维Euclid空间Rn的势为
平面与直线有“相同多”的点
2020/4/20
50
推论
例1 闭区间[0,1]与闭正方形[0,1;0,1]
（即可数集 是无限集中具有最小势的集合)
2020/4/20
15
可数集的性质（并集） •有限集与可数集的并仍为可数集 •有限个可数集的并仍为可数集 •可数个可数集的并仍为可数集
2020/4/20
16
例:有限个可数集的卡氏积是可数集
设A，B是可数集，则A×B也是可数集
2020/4/20
40
第五节 集的势·序集
2020/4/20
41
5. 连续势集的定义
定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集，
其势记为 ， 显然：n 0
例：1）R~ (0,1) ~ [0,1] ~ [0,1) ~ R+~ (a,b)
存在大量既不开又不闭的集合，如： E=[0,1)
2020/4/20
25
定理3.3 任何集E的导集 E`为闭集
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闭集性质:
任意一簇闭集之交为闭集； 任意有限个闭集之并仍为闭集。
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例8 f(x)是直线上的连续函数当且仅当 对任意实数a，E={x|f(x)≤a}和 E1={x|f(x)≥a}都是闭集
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2 连续势集的性质（卡氏积）
有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集
定理：设A {(x1, x2, , xn, ) : xi (0,1)},则A
2020/4/20
49
推论 n维Euclid空间Rn的势为
平面与直线有“相同多”的点
2020/4/20
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推论
例1 闭区间[0,1]与闭正方形[0,1;0,1]
（即可数集 是无限集中具有最小势的集合)
2020/4/20
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可数集的性质（并集） •有限集与可数集的并仍为可数集 •有限个可数集的并仍为可数集 •可数个可数集的并仍为可数集
2020/4/20
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例:有限个可数集的卡氏积是可数集
设A，B是可数集，则A×B也是可数集
实变函数与泛函分析
开 G n ， 集 E 使 G n 且 m ( G 得 n E ) 1 n
令O
n 1
Gn
,则 O为 G型集， EO 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 , L
故m(OE)0
例： 设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 零测度集的G 型集或 F 型集。
可测集可由 G 型集去掉一零集， 或 F 型集添上一零集得到。
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
(1).若E可测，则存在G 型集 O, 使 E O 且 m (O E )0
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
(2)若 E可测 ， 0 则 ,闭F 集 ， 使F 得 E且 m(EF)
(1)若 E可测 ， 则 0,开G 集 ， (2)若 E可测 ， 0 则 ,闭F 集 ， 使E 得 G且 m(GE) 使F 得 E且 m(EF)
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
0 , 开 G ， 集 E c 使 G 且 m ( G 得 E c )
令 O n 1 G n ， 则 O 为 G 型 集 ， E O 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 ,
故m(OE)0 从 而 E O (O E ) 为 可 测 集
例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小
测度集的开集和闭集。E{r1,r2,r3,}
取F=G c，则F为闭集 FE
且 m (EF )m (E F c)
m (E (c)c F c)m (F cE c)m (G E c)
《实变函数与泛函分析基础》目录简介
《实变函数与泛函分析基础》目录简介内容简介本次修订是在第二版的基础上进行的，作者根据多年来的使用情况以及数学的近代发展，做了部分但是重要的修改。
《实变函数与泛函分析基础(第3版)》共11章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。
这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。
《实变函数与泛函分析基础(第3版)》可作为高等院校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书。
目录第一篇实变函数第一章集合1 集合的表示2 集合的运算3 对等与基数4 可数集合5 不可数集合第一章习题第二章点集1 度量空间，n维欧氏空间2 聚点，内点，界点3 开集，闭集，完备集4 直线上的开集、闭集及完备集的构造5 康托尔三分集第二章习题第三章测度论1 外测度2 可测集3 可测集类4 不可测集第三章习题第四章可测函数1 可测函数及其性质2 叶果洛夫定理3 可测函数的构造4 依测度收敛第四章习题第五章积分论1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介2 非负简单函数的勒贝格积分3 非负可测函数的勒贝格积分4 一般可测函数的勒贝格积分5 黎曼积分和勒贝格积分6 勒贝格积分的几何意义·富比尼定理第五章习题第六章微分与不定积分1 维它利定理2 单调函数的可微性3 有界变差函数4 不定积分5 勒贝格积分的分部积分和变量替换6 斯蒂尔切斯积分7 L-S测度与积分第六章习题第二篇泛函分析第七章度量空间和赋范线性空间1 度量空间的进一步例子2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间3 连续映射4 柯西点列和完备度量空间5 度量空间的完备化6 压缩映射原理及其应用7 线性空间8 赋范线性空间和巴拿赫空间第七章习题第八章有界线性算子和连续线性泛函1 有界线性算子和连续线性泛函2 有界线性算子空间和共轭空间3 广义函数第八章习题第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间1 内积空间的基本概念2 投影定理3 希尔伯特空间中的规范正交系4 希尔伯特空间上的连续线性泛函5 自伴算子、酉算子和正常算子第九章习题第十章巴拿赫空间中的基本定理1 泛函延拓定理2 C[a，b]的共轭空间3 共轭算子4 纲定理和一致有界性定理5 强收敛、弱收敛和一致收敛6 逆算子定理7 闭图像定理第十章习题第十一章线性算子的谱1 谱的概念2 有界线性算子谱的基本性质3 紧集和全连续算子4 自伴全连续算子的谱论5 具对称核的积分方程第十一章习题附录一内测度，L测度的另一定义附录二半序集和佐恩引理附录三实变函数增补例题参考书目。
实变函数与泛函分析
Rieman积分的缺陷：
D (x ) = 1 0 x x 为 为 [ [ 0 0 , , 1 1 ] ] 中 中 无 有 理 理 数 数 时 时 不 可 积
n
(L)
[a,b]
f (x)dxlim
0 i1D(i )|来自Ii| 不存在
因为i全取有理数时极限为1
i全取无理数时极限为0
Rieman积分缺陷产生的根源：
n
(L) f(x)dxlim
[a,b]
0i1
imiE
5
实现新思路的攻关路线：
首要问题：如何规定不规那么集合
E i{x:yi 1f(x)yi}的长度？
〔第三章：测度论〕 遗憾：不能对所有集合规定测度
退而求其次：探索哪些函数满足
对 任 意 y i 1 , y i , E i { x : y i 1 f ( x ) y i } 皆 为 可 测 集
2.?实变函数与泛函?的特点〔二 〕
例题少、定理、定义、引理、推论多， 理论性强：
理论性强是由于实变函数与泛函分析的内容
构造所决定的，因它只做一件事：恰当的改造积
分定义使得更多的函数可积。这就使得实变函数
与泛函分析的绝大局部篇幅都是在作理论上的准
备，很少有应用、例题的原因。但从另一个角度
讲，实变函数论的习题几乎全是证明题，而定理、
引理、推论的证明本身就是一些典型的，带证明
示范性的例子。
9
3.学习?实变函数与泛函?的方法〔三〕
由于?实变函数与泛函?高度抽象、理论性强，对于每 一个尚未证明的结论都应持慎重态度，不能简单类比后就盲 目成认和否认，必须严格论证或举出反例，否那么就有可能 出现例１、例２类似的错误。
10
3.学习实变函数与泛函的方法〔二〕
实变函数与泛函分析基础ppt课件
证明：不妨设f单调增，对任意a∈R
令Ia inf{ x | f (x) a}
由f单调增知下面的集合为可测集
E { [ f a]
E [ I a ,) 当I a {x| f ( x)a} E ( I a ,) 当I a {x| f ( x)a}
a
1
/ I a x1 x2
10
⒊可测函数的等价描述
定理1：设f(x)是可测集E上的广义实函数，则 f(x)在E上可测
16
⑵可测函数类关于四则运算封闭
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,
则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)
仍为E上的可测函数。
a-g(x) r f(x)
证明：先证： a
R, E[
f
ga]
E[ f
可测，
a g ]
猜想：E[ f ag] rQ(E[ f r] E[agr] )。
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数
证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
对 f (x) a, x 0, 使得f (O(x,x ) E) O( f (x), ) (a,)
即O( x,x ) E E[ f a]
令G O xE[ f a] ( x,x )
1 ， n
）
E[ f
为可测集。
]
12
注：重要方法：将集合分解为某些集合
的并、交、差等，从而利用已知条件。
如：用分解法证明：
f , g均为E上可测函数，则E[ f g]为E上可测集。
事实上，E[
f
g]
(
rQ
E[
《实变函数与泛函分析》课程改革——一维化方法和测度论,可测函数和积分论学习路径
《实变函数与泛函分析》课程改革摘要：本文探讨了《实变函数与泛函分析》课程内容改革，一是采用一维化方法从一维实数空间的测度论开始学习，二是采用测度的可数可加性⇒叶戈洛夫定理⇒有界收敛定理的学习路径学习测度论，可测函数和积分论的性质。
此教学方案突出课程核心内容，减轻了课程难度，适合数学类和相关专业学生学习。
关键词：一维化方法；测度论；学习路径中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-9324（2018）15-0068-02收稿日期：2017-09-22作者简介：简思綦（1980-），男，重庆市綦江区人，博士学位，研究方向为随机过程。
一、引言随着大学教育跟国际接轨，在笔者所在首都经济贸易大学，高年级数学课程越来越受到重视。
《实变函数与泛函分析》（简称实变课程）课程不仅是数学、统计类学生的必修课，也在经济、管理类学生中受到欢迎。
随着学生范围的扩大，有必要针对学生背景改革实变课程的教学内容和方法。
二、《实变函数与泛函分析》课程教学改革建议实变课程的主要内容是通过n 维欧式空间（简记为n 维空间）上Lebesgue 意义下测度、可测函数、积分论基本理论的学习，理解抽象测度论和n 维空间结构相互结合。
n 维空间上测度论是后继课程《测度论》和《随机过程》的基础，也是现代数学的基石。
由于测度论的抽象性，我们都是通过学习n 维空间上测度论过渡到抽象测度论。
n 维空间上测度论包括许多抽象测度论的内容，给出了抽象测度论具体实现的空间，也是对实数结构更加深入的认识。
采用教材[1]得到启发，笔者认为可以在两个大方面改善课程教学，第一个方面是在n 维空间测度论学习中首先学习一维实数空间、R 的测度论，从R 的测度论出发再深入学习n 维空间的测度论，第二个方面是在完成测度论学习后，采用抽象测度论的方法把测度、可测函数和积分论的性质联系在一起，具体学习路径是：测度的可数可加性⇒叶戈洛夫定理⇒有界收敛定理⇒Fatou 引理⇒Lebesgue 控制收敛定理。
实变函数与泛函分析要点
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载实变函数与泛函分析要点地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容实变函数与泛函分析概要第一章集合基本要求：理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。
掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。
会求已知集合的并、交、差、余集。
了解对等的概念及性质。
掌握可数集合的概念和性质。
会判断己知集合是否是可数集。
理解基数、不可数集合、连续基数的概念。
8、了解半序集和Zorn引理。
第二章点集基本要求：理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。
掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。
掌握聚点的性质。
掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。
会求己知集合的开集和导集。
掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。
会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。
了解Peano曲线概念。
主要知识点：一、基本结论：聚点性质§2 中T1聚点原则：P0是E的聚点 P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点存在E中互异的点列{Pn}，使Pn →P0 （n→∞）开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2：设A⊂B，则A⊂B， eq \o(\s\up 7(·),\s\do 4(Ａ)) ⊂eq \o(\s\up 7(·),\s\do 4(Ｂ)) ， eq \o(\s\up 8(－),\s\do4(Ａ)) ⊂ eq \o(\s\up 7(－),\s\do 4(Ｂ)) 。
T3：（A∪B）′=A′∪ B′.开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5）T1：对任何E⊂Rⁿ，Ė是开集，E´和 eq \o(\s\up 7(―),\s\do4(Ｅ)) 都是闭集。
实变函数与泛函分析基础(课堂PPT)
i 1
Ei
,{Ei
}两两不交的闭集族
.若f k
:
Ek
R为连续函数，
n
令f (x)
fk (x) : x Ek，则f
(
x)： k 1
Ek
R上的连续函数。
n
证明：取x0
k 1
Ek
,
0,
由于k0
N
,
使得：x0
k0，而f
k0
在Ek
上为连续的，
0
对此，1 0,
使
得：x
U
(
x0
,
1）
Ek
，必有
0
|
fk0 (x)
第四章 可测函数
第三节 可测函数的构造
1
可测函数 可测集E上的连续函数为可测函数。 简单函数是可测函数。 可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的极限。
问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？
2
鲁津定理 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 0, 闭集F E，
使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。
x 1处的任意去心邻域（1 ，1）（1，1 ） {x | f (x) g(x)}c {x | f (x) g(x)}
f (1 0) 0 f (1 0) 1。(矛盾）
15
5.设m(E) ,{ fk (x)}为E上可测函数，则
lim
n
fk
(x)
0, a.e.于E
0，有lim j
Ak
,
m( A)
m( k 1
Ak
)
lim
k
m( Ak
)
0, k0, k k0使得：| m( A) m( Ak ) | m( A Ak ) .
4.2-4实变函数与泛函分析 可测函数
进一步 f(x)在
E ( E E ) ( En )
n 1
上可测。
第四章 可测函数
第四节 可测函数的收敛性 依测度收敛
子列 Riesz定理
f n f a.e.于E
叶果洛夫 逆定理
叶果洛夫定理 mE<+∞
Lebesgue定理
mE<+∞ f n f于E
子列
f n f a.u.于E
1 n
， 存在闭集
En E
1 m ( E E ) 使 且 n n f(x)在En 连续，当
令E En， 然 f(x)在 En上可测， n1
从而m( E E) 0
则m( E E) m( E En ) 1 n 0(n )
从而 f(x)在 E E 上可测，
若f n f a.e.于E ，则f n f 于E
Riesz定理
若 f n f于E 于E,则必有{fn}的子列 {fnk} ，使得 f nk f a.e.于E
子列 Riesz定理
f n f a.e.于E
叶果洛夫 逆定理 叶果洛夫定理 mE<+∞
Lebesgue定理
mE<+∞
f n f于E
1
一致收敛是函数列很重要的性质, 能保证极限过程和一些运 算的可交换性。但一般而言，收敛的函数列不一定一致收敛, 然而是基本上(a.e.)一致收敛的（叶果洛夫定理） 。
几乎处处收敛与一致收敛（叶果洛夫定理）
Th:设mE<+∞，fn在E上可测，f几乎处处有限，
若f n f a.e.于E ，则fn在E上a.e.一致收敛于f.
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rQ
a-g(x)
r
f(x)
证明中利用了 Q是可数集和 反之 ( E[ f r ] E[ g a r ] ) E[ f a g ]也成立 R中的稠密集 rQ 两个性质
从而E[ f a g ] ( E[ f r ] E[ g a r ] )
n1
推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数 （连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。
例1： R1上的可微函数f(x)的导函数f `(x)是可测函数
gn(x)
证明：由于
f (x 1 f ( x x) f ( x) n ) f ( x) f ' ( x) lim lim 1 x o n x n
证明：要证f( g(x))是可测函数，只要证对任意a， E[f g>a]={x| f( g(x))>a}可测即可,
{x| f( g(x))>a}= (f g)-1((a,+∞)) = g-1(f-1((a,+∞)))
( ai , bi ) f-1((a,+∞)) = i
g 1 ((ai , bi )) ( g 1 (( ai , bi )))
i
E[ ai g bi ]为可测集 再由g可测，可知 E[ fg a ] i
注：f(x)是R上可测函数，g(x)是R上连续函数，f( g(x))不一定 是可测函数（利用Cantor函数构造，参见：《实变函数》， 周民强，p114)
例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f( g(x))是可 测函数。
E, E1 可测，
则f(x)限制在E1上也是可测函数；
(2).
En , f(x)限制在E 上是可测函数， 若 En 1 n
则f(x)在E上也是可测函数。
E1[ f a] E[ f a] E1
E[ f a] En[ f a]
n1
⑵ th4.可测函数类关于四则运算封闭
n n
再利用lim f n 和 lim f n 是可测函数即可
n n
注意：函数列收敛与函数列收敛于f的不同.
5.可测函数与简单函数的关系
M
m
M
M m | n ( x) f ( x) | n1 2
m 可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限
P82.函数的正部与负部.
n n m n
( x) inf{ f n ( x)}
lim sup f n ( x) inf sup{ f m ( x)} lim inf f n ( x) sup inf{ f m ( x)}
n n m n
E[ a] E[ f n a]
n1
E[ a] E[ f n a]
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,
则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x), 1/g(x), cg(x), |g(x)|
仍为E上的可测函数。（可见p80证法）
a-g(x) r f(x)
证明 ：只要证a R, E[ f g a] E[ f a g ]可测，
注： 若 ( x)
c
i 1 i n i 1
n
Ei
( x)为简单函数，
则f ( ( x)) f (ci ) Ei ( x)仍为E上简单函数。
6：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性
即th6： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测
即 0, 0, 使得f (O( x0 , ) ) O( f ( x0 ), )
f(x) 在 x0 [a, b] 处连续(对闭区间端点则用左或右连续)
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数
证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
对 f ( x) a, x 0, 使得f (O( x, x ) E) O( f ( x), ) (a,)
E E [ f a] n 1 1 [f a ] n E E [ f a] n 1 1 [f a ] n
证明：利用 (1)与(4),(2)与(3)互为余集，及
E E E [a f b ] [ f a] [ f b]
对前面等式的说明
E[ f a] E[ f a 1 ] ( E[ f a 1 ] )
E[ f 2 a ] {
E E[ f
a]
E[ f
a]
a 0 a 0
再利用f(x)g(x) ={(f(x)+g(x))2 - (f(x) -g(x))2}/4即可
⑶
TH5.可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。
若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。
( x) sup{ f n ( x)}
另证：若g(x)是E上的可测函数,则g(x)总可表示成 n ( x) 一列简单函数 {n ( x)} 的极限 g ( x) lim n
因为f(x)连续，故
f ( g ( x)) f ( lim n ( x)) lim f ( n ( x))
n n
所以f( g(x))是简单函数列的极限，故为可测函数
n1Байду номын сангаас
n
n1
n
( a-1/n
[
a ( a [ a+1/n
E[ f a] E[ f a 1 ] ( E[ f a 1 ] )
n1
n
n1
n
3.可测函数常见类
结论2.简单函数是可测函数
n
可测函数 a R, E[ f a]可测
若 E E ( Ei 可测且两两不交），f(x)在 每个Ei上取常值 ci，则称f(x)是E上的简单函数；
从而f `(x)是一列连续函数（当然是可测函数） 的极限，故f `(x)是可测函数. 利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.
例 2. 设{fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和发散 点全体是可测集.
f n lim f n ] 证明：发散点全体为 E[lim n n
收敛点全体为 E[lim f n lim f n ]
对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，f ( x)在x0 (a, b)处连续
若 lim f ( x) f ( x0 )
x x0
( ) (
)
(
)
即 0, 0,当| x x0 | 时，有 | f ( x) f ( x0 ) |
即 0, 0,当x O( x0 , ) 时，有f ( x) O( f ( x0 ), )
2.可测函数的等价描述
TH1：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测 ( 即(1) a R, E[ f a]可测)
(2) a R, E[ f a]可测 (3) a R, E[ f a]可测 (4) a R, E[ f a]可测 (5) a, b R, a b, E[a f b]可测(充分性要求 | f ( x) | )
即O( x, x ) E E[ f a]
令G O( x , x )
xE[ f a ]
f(x0)+ε f(x0) f(x0)-ε a
则G为开集，当然为可测集，且
xE[ f a ] xE[ f a ]
x 另外G E ( O( x , x ) ) E (O( x, x ) E ) E[ f a ]
０
()
反之也有E[ f a ] ( O( x , x ) ) E G E
xE[ f a ]
故E[ f a] G E为可测集
例1. P79.
[a,b]上的连续函数和单调函数都为可测函数。
4.可测函数的性质
th3.可测函数关于子集、并集的性质
即(1)若f(x)是E上的可测函数,E1
若m (E[f≠g])=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立, 记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）
证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g]，则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测 ，
另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ， 进一步g(x)在E=E1 ∪E2上也可测 。
任取x E[ f a g ] , 则f ( x) a g ( x) 从而r Q, 使f ( x) r a g ( x) 即x ( E[ f r ] E[ g a r ] )
rQ
任取x E[ f a g ] , 则f ( x) a g ( x) 从而r Q, 使f ( x) r a g ( x) 即x ( E[ f r ] E[ g a r ] )
i 1 i
f ( x) ci Ei ( x)
i 1
n
E ( x)
i
1 xEi 0 xE Ei
注2：Dirichlet函数是简单函数
0 1
TH2.可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数
设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 x0 E 处连续 若 0, 0, 使得f (O( x0 , ) E) O( f ( x0 ), )
rQ
从而E[ f a g ] ( E[ f r ] E[ g a r ] )可测
rQ
类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 E[ f g ] 为可测集。
若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) g(x)仍为E上的可测函数
a-g(x)
r
f(x)
证明中利用了 Q是可数集和 反之 ( E[ f r ] E[ g a r ] ) E[ f a g ]也成立 R中的稠密集 rQ 两个性质
从而E[ f a g ] ( E[ f r ] E[ g a r ] )
n1
推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数 （连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。
例1： R1上的可微函数f(x)的导函数f `(x)是可测函数
gn(x)
证明：由于
f (x 1 f ( x x) f ( x) n ) f ( x) f ' ( x) lim lim 1 x o n x n
证明：要证f( g(x))是可测函数，只要证对任意a， E[f g>a]={x| f( g(x))>a}可测即可,
{x| f( g(x))>a}= (f g)-1((a,+∞)) = g-1(f-1((a,+∞)))
( ai , bi ) f-1((a,+∞)) = i
g 1 ((ai , bi )) ( g 1 (( ai , bi )))
i
E[ ai g bi ]为可测集 再由g可测，可知 E[ fg a ] i
注：f(x)是R上可测函数，g(x)是R上连续函数，f( g(x))不一定 是可测函数（利用Cantor函数构造，参见：《实变函数》， 周民强，p114)
例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f( g(x))是可 测函数。
E, E1 可测，
则f(x)限制在E1上也是可测函数；
(2).
En , f(x)限制在E 上是可测函数， 若 En 1 n
则f(x)在E上也是可测函数。
E1[ f a] E[ f a] E1
E[ f a] En[ f a]
n1
⑵ th4.可测函数类关于四则运算封闭
n n
再利用lim f n 和 lim f n 是可测函数即可
n n
注意：函数列收敛与函数列收敛于f的不同.
5.可测函数与简单函数的关系
M
m
M
M m | n ( x) f ( x) | n1 2
m 可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限
P82.函数的正部与负部.
n n m n
( x) inf{ f n ( x)}
lim sup f n ( x) inf sup{ f m ( x)} lim inf f n ( x) sup inf{ f m ( x)}
n n m n
E[ a] E[ f n a]
n1
E[ a] E[ f n a]
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,
则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x), 1/g(x), cg(x), |g(x)|
仍为E上的可测函数。（可见p80证法）
a-g(x) r f(x)
证明 ：只要证a R, E[ f g a] E[ f a g ]可测，
注： 若 ( x)
c
i 1 i n i 1
n
Ei
( x)为简单函数，
则f ( ( x)) f (ci ) Ei ( x)仍为E上简单函数。
6：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性
即th6： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测
即 0, 0, 使得f (O( x0 , ) ) O( f ( x0 ), )
f(x) 在 x0 [a, b] 处连续(对闭区间端点则用左或右连续)
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数
证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
对 f ( x) a, x 0, 使得f (O( x, x ) E) O( f ( x), ) (a,)
E E [ f a] n 1 1 [f a ] n E E [ f a] n 1 1 [f a ] n
证明：利用 (1)与(4),(2)与(3)互为余集，及
E E E [a f b ] [ f a] [ f b]
对前面等式的说明
E[ f a] E[ f a 1 ] ( E[ f a 1 ] )
E[ f 2 a ] {
E E[ f
a]
E[ f
a]
a 0 a 0
再利用f(x)g(x) ={(f(x)+g(x))2 - (f(x) -g(x))2}/4即可
⑶
TH5.可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。
若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。
( x) sup{ f n ( x)}
另证：若g(x)是E上的可测函数,则g(x)总可表示成 n ( x) 一列简单函数 {n ( x)} 的极限 g ( x) lim n
因为f(x)连续，故
f ( g ( x)) f ( lim n ( x)) lim f ( n ( x))
n n
所以f( g(x))是简单函数列的极限，故为可测函数
n1Байду номын сангаас
n
n1
n
( a-1/n
[
a ( a [ a+1/n
E[ f a] E[ f a 1 ] ( E[ f a 1 ] )
n1
n
n1
n
3.可测函数常见类
结论2.简单函数是可测函数
n
可测函数 a R, E[ f a]可测
若 E E ( Ei 可测且两两不交），f(x)在 每个Ei上取常值 ci，则称f(x)是E上的简单函数；
从而f `(x)是一列连续函数（当然是可测函数） 的极限，故f `(x)是可测函数. 利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.
例 2. 设{fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和发散 点全体是可测集.
f n lim f n ] 证明：发散点全体为 E[lim n n
收敛点全体为 E[lim f n lim f n ]
对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，f ( x)在x0 (a, b)处连续
若 lim f ( x) f ( x0 )
x x0
( ) (
)
(
)
即 0, 0,当| x x0 | 时，有 | f ( x) f ( x0 ) |
即 0, 0,当x O( x0 , ) 时，有f ( x) O( f ( x0 ), )
2.可测函数的等价描述
TH1：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测 ( 即(1) a R, E[ f a]可测)
(2) a R, E[ f a]可测 (3) a R, E[ f a]可测 (4) a R, E[ f a]可测 (5) a, b R, a b, E[a f b]可测(充分性要求 | f ( x) | )
即O( x, x ) E E[ f a]
令G O( x , x )
xE[ f a ]
f(x0)+ε f(x0) f(x0)-ε a
则G为开集，当然为可测集，且
xE[ f a ] xE[ f a ]
x 另外G E ( O( x , x ) ) E (O( x, x ) E ) E[ f a ]
０
()
反之也有E[ f a ] ( O( x , x ) ) E G E
xE[ f a ]
故E[ f a] G E为可测集
例1. P79.
[a,b]上的连续函数和单调函数都为可测函数。
4.可测函数的性质
th3.可测函数关于子集、并集的性质
即(1)若f(x)是E上的可测函数,E1
若m (E[f≠g])=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立, 记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）
证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g]，则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测 ，
另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ， 进一步g(x)在E=E1 ∪E2上也可测 。
任取x E[ f a g ] , 则f ( x) a g ( x) 从而r Q, 使f ( x) r a g ( x) 即x ( E[ f r ] E[ g a r ] )
rQ
任取x E[ f a g ] , 则f ( x) a g ( x) 从而r Q, 使f ( x) r a g ( x) 即x ( E[ f r ] E[ g a r ] )
i 1 i
f ( x) ci Ei ( x)
i 1
n
E ( x)
i
1 xEi 0 xE Ei
注2：Dirichlet函数是简单函数
0 1
TH2.可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数
设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 x0 E 处连续 若 0, 0, 使得f (O( x0 , ) E) O( f ( x0 ), )
rQ
从而E[ f a g ] ( E[ f r ] E[ g a r ] )可测
rQ
类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 E[ f g ] 为可测集。
若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) g(x)仍为E上的可测函数