第三章 可测函数的知识要点与复习自测 一、可测函数的定义的知识要点： ◇ 体会可测函数从简单到一般的定义思想，并能根据这一思想，按可测集上的简单函数到非负可测函数再到一般可测函数的程序，正确写出可测函数的定义。 ◇ 掌握简单函数的四则运算性和复合运算性，并理解复合运算性中为什么必须要求内层函数是简单函数，才能保证复合之后的函数是简单函数。 ◇ 掌握非负可测函数与简单函数的极限关系（即非负可测函数的定义），仔细体会刻画非负可测函数的测度特征的特征定理的证明过程，掌握此定理证明中通过 对值域区间作不交区间分解（即21 01 [0,]{[ ,)}[,]22 m m m m k k k m -=++∞=??+∞），再借助逆象集导出可测集E 的有限不交可测分解的方法，即 2101 [0()][()][()]22m m m m k k k E E x f x E x f x E x f x m -=+=≤≤+∞=?≤
函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；
（2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根．
1.5 可测集与可测函数 1.5.1 可测集与可测函数 定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且 E X E ∈= R ， 则称(,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集(measurable set)。 特别地， 当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集； 当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集. 注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。 定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ?，f 是定义在E 上的有限实函数。若对一切实数c ，集 (){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈ 都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。特别地， 当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数； 当1(,)(,)X =R R B 时，称f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。 定理 1.5.1 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ?上的有限实函数。则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数,c d ，集 ()E c f d ≤< 是可测集。 证 设f 是可测函数，由于 ()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，而()E c f ≤和()E d f ≤都是可测集，所以 ()E c f d ≤<是可测集。
函数与极限测试题（一） 一、 填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。 二、 单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????， 则()lim x f x →∞ 为（ ） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在
例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、 求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、 确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。 五、 指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。 六、 设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、 设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明： 在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。 函数与极限测试题答案（一） 一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ； 二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==；
小学非连续性文本阅读专项练习题 一、问题探究。 留守儿童近半因父母外出打工导致生活质量下降，精神上和心理上承受着巨大的压力。为了关爱留守儿童的健康成长，某校团委开展了“走近留守儿童”的主题活动，通过同学之间结对子的形式，帮助留守生走出心灵阴影，健康快乐成长。请你参加本次活动，并完成下列任务。 ⑴下面是学生拟写的活动主题词，作为主持人，你选用哪一个更贴切?请简要说明理由。 ①让世界充满爱②明天更美好③手拉手，心连心 选项：。（只填序号） 理由：。 ⑵下面是同学们搜集的某高校研究机构对我省留守儿童的情况调查表，请你从中提炼两则信息。 福建省留守儿童抑郁情绪调查表 ① ② ⑶为了开展好这次活动，请你设计两种活动形式。 示例：给留守生集体过生日 ① ② 二、根据材料，完成练习： 材料一微博是一种网络技术应用。它篇幅短小，每条不超过l40个字，甚至可以三言两语。它代表了个人最真实的即时言论，人们可以用微博发布信息、发表评论、讨论问题、转发跟帖。无论是用电脑还是用手机，只要能上网，人们就可以像发短信一样发微博，非常方便。 材料二教育部、国家语委在向社会发布((2010年中国语言生活状况报告》时，称2010年是中国的“微博元年”。截止到2011年2月，腾讯、新浪两大门户网站微博注册用户均超过1亿。在微博上“人人都有麦克风”，普通人用微博维权，用微博问政；政府也开通微博，了解民意。微博正释放着它推进社会生活各个领域发生变革的巨大潜能。 (1)从材料一中摘录出4个能概括“微博”主要特点的词语。 (2)结合两则材料的内容，写出右边这幅画的寓意。 三、仔细观察右边的漫画，完成下列题目。 1. 说说它的含义： 2.请设计一条广告语： 四、阅读： 公元 1613年5月19日，明代大旅行家、地理学家和文学家徐霞客开始游历名山大川。他从浙江宁海出发，以三十多年时间，东渡普陀，北历燕翼，南涉闽粤，西北直攀太华之巅，西南远达云贵边陲，足迹及于当时14省，写下了60 余万字的《徐
基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：（1）若在点连续，则在点必有极限 )(x f 0x )(x f 0x x →（2）若在点有极限，则在点必连续 )(x f 0x x →)(x f 0x （3）若在点无极限，则在点一定不连续 )(x f 0x x →)(x f 0x x =（4）若在点不连续，则在点一定无极限。 )(x f 0x x =)(x f 0x x →其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若，则下列说法正确的是（ C ） a x f x x =→)(lim 0A 、在处有意义 B 、)(x f 0x x =a x f =)(0 C 、在处可以无意义 D 、可以只从一侧无限趋近于)(x f 0x x =x 0 x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续 0x 0x B 、函数在点处连续，则)(x f 0x )lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数有)(x f )()(lim 00 x f x f x x =→4、已知，则的值是（ C ）x x f 1)(= x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0A 、 B 、 C 、 D 、21x x 21x -x -5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、 B 、 C 、 D 、1lim 0=→x x x 1)1(21lim 21=--→x x x 111lim 1=---→x x x 0lim 0=→x x x 6、，则的值分别为（ A ）51lim 21=-++→x b ax x x b a 、A 、 B 、 C 、 D 、67和-67-和67--和6 7和7、已知则的值是（ C ）,2)3(,2)3(-='=f f 3)(32lim 3--→x x f x x A 、 B 、0 C 、8 D 、不存在4-8、（ D ） =--→33lim a x a x a x
人教部编版小学语文四年级阅读训练 非连续性文本阅读 （一）金嗓子喉片 【药品名称】金嗓子喉片 【主要成分】薄荷脑、金银花、西青果、桉（ān）油、石斛（hú）、罗汉果、橘红、八角茴香油。辅料为：蔗糖、葡萄糖浆。 【功能主治】疏风清热，解毒利咽，芳香辟秽。适用于改善急性咽炎所致的咽喉肿痛，干燥灼热，声音嘶哑等症状。 【规格】每片重2克。 【用法用量】含服，一次1片，一日6次。 【注意事项】 1.忌烟酒、辛辣、鱼腥食物。 2.不宜在服药期间同时服用温补性中药。 3.孕妇慎用。糖尿病患者、儿童应在医师指导下服用。 4.脾虚大便溏（tánɡ）者慎用。 5.属风寒感冒咽痛者，症见恶寒发热、无汗、鼻流清涕者慎用。 6.服药3天症状无缓解，应去医院就诊。 7.如正在服用其他药品，使用本品前请咨询医师或药师。 【贮藏】密封，置阴凉干燥处。 【有效期】36个月 1.判断正误，对的打“√”，错的打“×”。 （1）吃了金嗓子喉片，不能吸烟、喝酒。（）
（2）妈妈吃了金嗓子喉片后，随手把它放在桌子上。（）（3）爸爸在服用温补性中药时不宜服用金嗓子喉片。（）2.两岁的小明感冒了，嗓子疼，发烧，流清鼻涕，妈妈给他吃了一粒金嗓子喉片。妈妈这样做对吗？为什么？ _________________________________________________________ _________________________________________________________ 3.奶奶嗓子疼得十分难受，于是她一次服用了3片金嗓子喉片，一天服用了6次。奶奶这样做对吗？为什么？ _________________________________________________________ （二）甲骨文 材料一 ①河南安阳的中国文字博物馆里，4D电影《甲骨文》向观众展示了甲骨文的产生、发展和演变历程。甲骨文多是刻在龟甲或牛肩胛（jiǎ）骨上的文字，被誉为中国最早的“图书馆”和“档案库”。它的发现，在中国史乃至世界史上，都是浓墨重彩的一笔。 ②殷商时期，上至国家大事，下至私人生活，都要占卜，预知吉凶，并将所问之事刻于甲骨。这里用到的甲骨，多是乌龟的腹骨、背甲和牛的肩胛骨。刻字甲骨真实记录了殷商的历史。公元前11世纪殷商灭亡，甲骨文开始了长达3000余年的沉寂。 ③19世纪中叶，安阳小屯村偶有农民耕地翻到了被刻画过的骨头。历经千年，甲骨文终于重见天日。最初，发现甲骨时只是作为中药使用，直到1899年才被有意识地作为甲骨文的载体收藏。1899年
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以 ()x f 与()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞→n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2 020=????? ? ?? ??==-→→→x x x x x x x x x
8、 01sin lim lim 1 sin lim 0 00=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1sin lim 0 →不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =??? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 0 0lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y = 的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x 1 =在0=x 处不连续 ∴函数()x f x 1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题： 1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）； （２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ?? ≠≠+∈??? ? ） ； （３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10< 务必重视非连续性文本试题 （一）语文综合性学习。（8分） 请阅读右边的“图书漂流活动”海报，回答以下问题。 【取标题】图书漂流活动海报副标题还空着，请你取个别致而吸引人的标题。(2分) 图书漂流—— 【读信息】根据海报内容，下列哪一项说法不对？（）（3分） A．本次活动是为了响应“世界读书日”而举办的。 B．4月23日之后，图书漂流现场活动便结束了。 C．教材和教辅类用书不能捐赠。 D．凡是向图书馆捐赠三本图书，便可获得一张捐赠纪念卡。 注意： 1.捐赠图书要求：非教材、辅助类用书，无不良内容。 2.凡在4月6日至4月23日期间向图书馆捐赠三本及以上图书，可获得图书馆制作的捐赠纪念卡一张。 【改病句】两点“注意”里，其中一点是病句，请找出，并写出修改意见。（3分） 第_____点是病句，修改意见_________ ____________________________________ （二）美林药品说明书 【美林药品名称】商品名：美林 【美林性状】美林为橙色混悬液，味甜，有调味剂的芳香。 【美林适应症】用于儿童普通感冒或流行性感冒引起的发热。也用于缓解儿童轻至中度疼痛。 【美林用法用量】口服。12岁以下小儿用量见下表： （1）少数病人可出现恶心、呕吐、胃烧灼感或轻度消化不良、胃肠道溃疡及出血、头晕、耳鸣、视力模糊、嗜睡、下肢水肿或体重骤增。 （2）罕见皮疹、过敏性肾炎、肾病综合征、肾功能衰竭、支气管痉挛等。 【美林注意事项】 （1）美林为对症治疗药，不宜长期或大量使用，用于止痛不得超过5天，用于解热不得超过3天，症状不缓解，请咨询医师或药师。 （2）有下列情况患者慎用：支气管哮喘、肝肾功能不全、凝血机制或血小板功能障碍。 （3）下列情况患者应在医师指导下使用：有消化性溃疡史、胃肠道出血、高血压。 （4）1岁以下儿童应在医师指导下使用。 （5）不能同时服用其他含有解热镇痛药的药品（如某些复方抗感冒药）。 （6）如服用过量或出现严重不良反应，应立即就医。 （7）对美林过敏者禁用，过敏体质者慎用。 （8）美林性状发生改变时禁止使用。 （9）请将美林放在儿童不能接触的地方。 （10）如正在使用其他药品，使用美林前请咨询医师或药师。 （以上说明书有删减，精准说明书请参看药品包装） 6.【美林注意事项】第7条“对美林过敏者禁用，过敏体质者慎用。”改为“对美林过敏者慎用，过敏体质者禁用。”可以吗？为什么？（4分） 7. 依据说明书，下列做法正确的一项是（）（3分） A．半夜，张小明体温39℃，妈妈倒出清澈如水的美林，喂小明。 B．陈琳感冒发热，吃了999复方抗感冒颗粒，又吃了美林。 C．王方身体发烧，早上七点半他喝了美林去上学，十二点回家喝了一次，下午五点到家又喝了一次，十点钟睡觉前又喝了一次。 第一章 函数与极限 （A ） 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2 x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 （1）2 11 x y -= ； （2）x y sin = ； （3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ； （2）2)(,)(x x g x x f == ； （3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1(2 2 x x y -= ； （2）3 2 3x x y -= ； 可测函数与连续函数 实变大作业 2011/4/27 可测函数与连续函数 【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。 【关键词】：可测函数、连续函数、关系 这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。 一、基本概念 1、几乎处处： 给定一个可测集E，假如存在E的一个子集E1，m E?E1=0，且使得性质P 在E1上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。 2、可测函数： 设E??是Lebesgue可测集，f是E上的实值函数。假如对于任意实数C E f>C=x∈E:f x>C 都是可测集，则称f是E上的Lebesgue可测函数（简称f是E上的可测函数）。 3、几乎处处有限的可测函数： 设E??是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集E1， m E?E1=0，f在E1上有限，假如对于任意实数C E f>C=x∈E:f x>C 都是可测集，则称f是E上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数 4、连续函数： 设D??，f是定义于D的函数，x∈D，假如 lim y→x,y∈D f y=f x 则称f沿D在x连续；假如f沿D内任意一点都连续，则称f沿D连续。 5、预备定理、引理 定理2.2设 f 是一个紧集， { f n}n≥1是一列沿 F连续的函数。若f n在 F上一致收敛于 f，则 f 也沿 F 连续。 定理2.3（Egoroff）设 f 和f n(n≥1)都是测度有限的集 D 上的几乎处处有限的可测函数。若f n在 D 上几乎处处收敛于 f，则对任何 ε>0，有 D 的闭子集 F，使 m D? F <ε，并且f n在 F 上一致收敛于 f。 引理2.1设 F 是 R中的闭集，函数 f 沿 F 连续，则 f 可以开拓成 R 上的连续函数f?，并且sup x∈R| f?x|=sup x∈R| f x|。 引理2.2设 f是可测集 D 上的简单函数。则对任何ε>0，有沿 D连续的函数f?使 m {f≠f?} <ε。 二、可测函数和连续的关系 1、连续函数的可测性 定理1可测集上的连续函数都是可测函数。 证明:对任意a∈R，设x∈E f>a，则由连续性假设，存在x的某邻域U x，使U x∩E?E f>a。因此，令G=U(x) x∈E(f>a)，则： G∩E=U(x) x∈E(f>a)∩E=U(x) x∈E(f>a) ∩(f>a) 反之，显然有E f>a?G，因此： E f>a?G∩E f>a?G∩E 从而： E f>a=G∩E f>a 但G是开集（因为它是一族开集这并），而E为可测集，故其交G∩E仍为可测集，即E f>a为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。 但可测函数不一定连续例例： 可测函数Dirichlit函数在0,1上处处间断 2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性 引理1：设F是R中的闭集，函数f没F连续，则f可以开拓成R的连续函数f?，并且： sup x∈R f?(x)=sup x∈R f(x) 证明：此时F c=(a n,b n)是开集，其中开区间族(a n,b n)两两不相交。今定义 非连续性文本练习 1．2008年北京奥组委决定圣火传递途径龙岩（龙岩是一个地区的名称）。为了迎接这举世瞩目的盛况，更为了体现和平、友谊和全民参与的主旨，某班级组织同学对100位师生进行“奥运知多少”社会调查，现将调查结果列表如下： 人数内容 奥运圣火途径龙岩奥运理念奥运吉祥物了解程度 完全知道50 55 60 知道一些，但不完全32 35 35 完全不了解18 10 5 ①从这份调查统计表中，你发现了什么问题 ．．？ ②请针对调查中存在的问题提一条建议。 2．学校组织“名著阅读”活动，了解初中生的课外名著阅读情况，以下是对100位初中生进行调查后的结果： 《西游记》《水浒》《鲁滨逊漂流记》《钢铁是怎样炼成的》读过原著的 24人 29人 56人 48人 看过影视的 98人 83人 21人 16人 从表格内容中反映出同学们“名著阅读”存在的问题有： 其一，其二， 针对这些问题，你提出一点建议： （3）请从以上几部名著中任选一位你最喜欢的人物作简略介绍。 人物（名字）： 主要性格特征： 相关的一个故事情节（不少于50字）： 3.2006年12月20日,教育部、国家体育总局和团中央联合发出通知,要求从2007年开始,开展全国亿万学生阳光体育运动。某班级同学收集了以下两则材料,准备在发言中用这两则材料引导全班同学认识开展阳光体育运动的迫切性。请你帮助他们从下面两则材料中各提取一条信息,让他们的发言具有针对性。 材料一 内容 范围视力不良率 初中生高中生大学生 全国58.07% 76.02% 82.68% 北京市62.12% 77.88% 86.42% 材料二 根据有关部门2005年的调查,北京市学生身高、体重、胸围等持续增长,但肺活量、速度、力量等却持续下降。中学生血压偏高的比例超过一半,学生肥胖率比5年前增长了 第四章 可测函数 教学目的： 1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质. 2.掌握通过Egoroff 定理证明Lusin 定理,它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好的连续函数逼近. 3.掌握几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛，以及几种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解. 重点难点： 1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性. 2.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征. 3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.一方面, L 可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式. 4.依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系.Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁. §4.1 可测函数及相关性质 由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数—— Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构. 设f 是可测集D 上的函数,若对任何R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 记 =α D 是可测集,则称f 是可测集D 上的可测函数. 我们知道,f 在D 上连续?R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 、{}α<∈)(:x f D x 都是开集.所以由可测函数的定义,区间D 上的连续函数f 是可测函数. 又如:设E 是D 的可测子集.则E 上的特征函数为 =)(x f )(x E λ???=0 1 E D x E x -∈∈ 函数与极限测试题（一） 一、 填空题 二、 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 三、 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 四、 3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。 五、 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则 ()f x 的间断点为x =_____。 六、 单选题 七、 1、当0x →时，变量 211 sin x x 是（ ） 八、 A 、无穷小 B 、无穷大 九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 十、 2、设函数()bx x f x a e = +在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） 十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） 十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则 ()lim x f x →∞ 为（ ） 十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在 十九、 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+=+ ++ 二十、 求下列极限 二十一、 1、 2 241lim sin x x x x x +-+、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 函数单元测试（A ） 一、填充题： 1、设的定义域为[]1,0，则)2(+x f 的定义域是________________。 2、1sin )(,)(2 +==x x q x x f ，则[]=)(x q f ________,()[]=x f q __________。 3、设()2212 ++=+x x x f ，则()=x f _____________。 4、 ()_________ )2(_________,)4(,1 ,01 ,sin =-=?????≥=ππf f x x x x f π。 5、已知函数()x f 是偶函数，且在()+∞,0上是减函数，则函数()x f 在()0,∞-上必 是____________函数。 6、设x v v u u y arccos , 1 ,3 =+==，则复合函数()_____________==x f y 。 7、______________,cos sin )(2 2其周期为设函数x x x f -=。 二、选择题： 1、函数??? ??? ? > ≤+=2,sin 2,)1ln()(ππx x x x x f 则) 4(π f 等于（ ） （A ） ) 41ln(π + （B ）22 （C ）2π （D ）4π 2、设x e x g x x f ==)(,)(2，则=)]([x g f （ ） （A ）2 x e （B ）x e 2 （C ）2 x x （D ）x e 3、设函数()x f 的定义域是]1,0[，则()2 x f 的定义域是（ ） （A ）[-1，1] （B ）[0，1] （C ）[-1，0] （D ）（- ∞，+∞） 4、函数()x x x f -+=1010是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函 数 （C ）非奇非偶函 （D ）既是 奇函数又是偶函数 5、函数()[]2 13arcsin +=x y 的复合过程是（ ） ()()13sin ,sin ,(D) 13,arcsin ,)(13,arcsin B) ( 13arcsin ,)(2222+===+===+==+==x v v u u y x v v u u y C x u u y x u u y A 6、3 4x y -=的反函数是（ ） ()()33334(D) 4C) ( 4(B) 4)(x y x y x y x y A -=-=-=-= 7、下列函数中为基本初等函数的是（ ） 1 23)()( )15arctan()()( 0,10 ,0)()( 1)ln()()(-=+=???≥=+=x x f D x x f C x x x f B x x f A π 阅读下面的文字,完成4-6题。 材料一随着深化改革和“双创”热潮对人才就业市场的影响加深,一向手捧“铁饭碗”的公务员 群体,也渐渐开始将职业发展由以往的体制内融入到多元化的就业市场中。对此,全球最大的职场社交平台LinkedIn(领英)针对当前我国公务员的跳槽情况,围绕公务员“下海”职业流向和发展状况等核心数据进行统计,对公务员群体多元化就业发展趋势做出了观察。领英的数据显示,在2006~2015这十年间,公务员跳槽前的职级多以初级为主,科员高达53%。以工作年限区分,工作0~3年的公务员占到了37%,工作3~6年的公务员占到了23%。 如今,公务员群体由体制中到市场中的职业发展轨迹已不再是少数。扎实的教育和工作背景,让公务员这个群体越来越具备“复合型人才”的特质。同时,对于传统“铁饭碗”就业观的颠覆,也加强了公务员群体的人才流动和互通。公务员跳槽的热门目标行业分别为:金融(12.7%)、法律/会计/咨询(12.2%)、政府/社会组织(11.5%)、互联网(9.6%)、房地产/建筑(8.9%)。房地产、金融等热门行业受政策法规的影响较大,这些行业更需既懂政策、又懂行业的复合型人才,以帮助企业更顺滑地遵从政府部门的相关法规政策。以往公务员从体制中“走出来”,通常会选择与之前经验高度一致的行业。凭借多年所积累的经验和人脉,公务员可在这些相关行业里表现得如鱼得水。但事实上,如今的公务员跳槽目标行业与就业大环境中的热门行业高度吻合。这充分说明公务员跳槽群体更加注重个人能力和价值的体现。 领英的数据中,公务员跳槽前的职级多以初级为主。其中科员高达53%,科级正职、科级副职分别以18%、13%紧随其后。由此可见,初级公务员更有动力选择跳槽,在更为广阔的职场空间实现自我价值。 在对已经跳槽的公务员群体的追踪中,领英的数据显示,处级干部转型后,在市场化的职业环境中晋升总监及高管的比例最高。同时,正科级干部担任经理、总监的人数较多,而科员多以从事初级职位为主。这一结果也从侧面印证了当前市场化就业环境对于体制内转行职场人的认可和接纳。 (《光明网》2016年6月21日) 材料二“公考热”曾经席卷全国,而与此同时,智联招聘发布的《2016春季人才流动分析报告》却让人看到了一个不一样的公务员群体。调查报告显示,2016年春节跳槽人群最活跃的竟然是公务员,跳槽数量更比去年增加超三成。公务员“跳槽热”是否真的来临?这又是喜是忧? 其实,从党的十八大以来,中央大力反腐,并出台各项规定与禁令。公务员便逐渐地褪去了“光环”、逐步走下了“神坛”。随着养老金“双轨制”的废除,改革的不断深入,公务员越来越市场化,这是社会进步的必然趋势。 从社会市场经济的发展来看,公务员“跳槽热”的到来有其“必然性”,这对社会发展与进步是相当有利的,一定程度上激活了公务员这个群体,也激活了社会人才市场,有利于人才资源的合理分配,使社会全面和谐发展。 当然,公务员“跳槽热”也必然会引发担忧,公务员作为管理者与服务者,需要具有较高的综合 素质,而公务员跳槽过于频繁,则有可能对公务员队伍建设造成负面影响,有可能破坏公务员群体的 整体性,也有可能降低公务员群体的服务水平,从这个层面来看,公务员跳槽热的到来令人担忧,值得重视。 无论是喜还是忧,公务员跳槽或许离“跳槽热”还有一段距离,但是公务员开始跳槽已经是不争的事实,这也是改革与社会发展的趋势。既然发展的是市场经济,就应让市场更多地去决定,更多地遵循市场自身的发展规律,少一些过度的解读,相信最终势必会达到“多赢”的状态。 (《人民网》2016年5月27日) 极限和连续试题（A 卷） 1.选择题（正确答案可能不止一个）。 （1）下列数列收敛的是（ ）。 A. n n x n n 1) 1(--= B. n x n n 1)1(-= C. 2 sin πn x n = D. n n x 2= （2）下列极限存在的有（ ）。 A. x x sin lim ∞ → B. x x x sin 1lim ∞→ C. 121lim 0-→x x D. 121lim 2+∞→n n （3）下列极限不正确的是（ ）。 A. 2)1(lim 1=+-→x x B. 11 1lim 0=+→x x C. ∞=-→2124lim x x D. +∞=+→x x e 2 lim （4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（ ）。 A. )0(12 →--x x B. )0(sin →x x x C. )(+∞→-x e x D. )0()1sin 2(12→-+x x x x （5）如果函数.0;0;0,1sin ,,sin 1)(>= （1）)13(lim 231+-→x x x ； （2）)523(lim 2 2 -+-→x x x ； （3）)311(lim 0-+→x x ； （4）x x x x +-→223lim ； （5）38lim 23--→x x x ； （6）4 16lim 24--→x x x ； （7）121lim 221---→x x x x ； （8）2 2lim 2--→x x x ； （9）x x x 11lim 0-+→； （10）x x x cos lim ∞→； （11）x x x x x --+∞→33313lim ； （12）x x x x x --+∞→44513lim ； （13）x x x x x --+∞→43133lim ； （14）1 139lim 23--+∞→x x x x ； （15）x x x 33sin lim 0→. 3.设2320()21013(1)1x x f x x x x x -
(完整word版)四年级非连续性文本阅读试题
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