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第四章—功率谱估计现代方法

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数字信号处理讲义-4现代功率谱估计

数字信号处理讲义-4现代功率谱估计


a3 (2302)1,/3/128。则可由AR模型参数获得功率谱Py(W)的估计值10 。
Y-W方程的L-D递推算法
➢ 一阶Y-W方程的解
Ry[0] Ry[1]
R Ryy[[1 0]]a11(1)012
解此方程得
a1 (1) Ry [1] Ry [0]
12Ry[0]Ry[1]a1(1)Ry[0]1(a1(1)2)
2 1
a2(1)Ry[0]R Ry2y[[1 0]] R Ryy2[[11]]Ry[2]a1(1)a2(2)a1(1)
2 2 202 1/3R /18y[0 ] R y[1 ]a 2 (1 ) R y[2 ]a 2 (2 )[1a2(2)2]1212
Y-W方程的L-D递推算法
➢ p阶Y-W方程的递推解
2021/3/18
11
Y-W方程的L-D递推算法
➢ 二阶Y-W方程的解
R Ryy[[10]]
Ry[1] Ry[0]
R Ryy[[12]]a21(1)022
Ry[2] Ry[1] Ry[0]a2(2) 0
a2(2)Ry[R0y2][R0y][2]Ry2[R1y]2[1]
Ry[2]a1(1)Ry[1]
4
参数模型法的基本思想
根据所研究信号的先验知识，对观测数据以外 的数据作出某种比较合理的假设。
假设信号是白噪声通过LTI系统产生的。由观测数 据估计LTI系统模型的参数。最后由LTI系统模型的参数得出 功率谱。
h[k]
h
y[k]
输入白噪声的自相关函数 Rh[n]2[n]
Py(W)H(ejW)22
2021/3/18
对于因果系统, p阶AR模型的自相关函数与R y[m n ]2[m ]m 0 ,1 , ,p
现代谱估计-有理谱估计

现代谱估计-有理谱估计


，随 SNR 的下降而降低，增大阶次会增加分辨率，
但可能出现伪峰且方差增大。
3、滑动平均谱估计
3.1 引言
MA 模型隐含了 k q 的自相关函数 rx k 0 ；可以直接得自相关函数可靠 估计，而不需要 MA 模型参数，得到功率谱估计。与 BT 法的区别：BT 法适用 于任何平稳过程、MA 谱估计仅适用于有限阶 MA 模型；BT 法中自相关函数最 大延迟人为确定，MA 谱估计中模型阶次决定最大延迟；BT 不保证谱的非负性， 而 MA 谱估计非负。 MA 模型适合表示无尖峰有深谷的谱，因此不是高分辨率估计。
自相关函数矩阵 Rx p 同时是 Hermition 矩阵和 Toeplitz 矩阵。
2.2.2 AR 过程的线性预测
2.2.2.1 平稳随机过程的线性预测 平稳随机过程的波形估计 最小均方误差准则，线性估计，Wiener-Hopf 方程，正交原理 滤波、预测、平滑 线性最优预测，m 阶一步前向线性预测，m 阶一步后向线性预测，及它们之 间的关系（系数成共轭关系，最小预测误差功率相等） 最优前向预测误差滤波器的最小相位特性 线性最优预测的按阶次递推关系——Levinson 算法 最小均方预测误差的性质（正交性，递推性）及格型结构实现 反射系数的物理含义（前向预测误差和后向预测误差之间相关系数的负值） 2.2.2.2 AR 过程最优线性预测的特殊性质 AR 过程可由求解线性预测系数来实现 若已知自相关函数，可由 Levinson 递推算法得到 AR 参数 AR 过程可用自相关函数、AR 参数和反射系数三组参数等价表示
1.4 经典谱估计和现代谱估计
经典谱估计中，都隐含了这样一个假设：对于未得到的样本数据或未估计出 的自相关函数，认为是零。但实际上这些值并不一定为零，正是由于这种不合理 假设使得经典谱估计较低的分辨率和较大的失真。现代谱估计，对于未得到的样 本数据或未估计出的自相关函数，并不是简单地作零处理，而是认为与得到的样 本数据服从同一模型，估计质量取决于参数估计质量和模型的准确性。 。这是现 代谱估计与经典谱估计最主要的区别。
第四章 功率谱估计

第四章 功率谱估计


N ˆxx (m)] var[r ( N m )2
N m 1 k 1 m N

2 [rxx (k ) rxx (k m)rxx (k m)]
此式表明，只有当 N m, N 时，估计量的方差才趋 于0，此估计是渐近一致估计。但是当 m N 时，方差将很大， 因此，这种方法在一般情况下不是一种好的估计方法。虽然是 无偏的，但不能算是一致的。 9
1 N m 1 ˆxx (m) r x ( n) x ( n m) N m n0
0 m N 1 1 N m 0
7
ˆxx (m) r ˆxx (m) r
也可写成一个表达式
1 N m 1 ˆxx (m) r x(n) x(n m) N m n 0
因为 r ˆxBiblioteka (m) 是无偏估计，两边取均值，得
Nm Nm (m)] ˆxx ˆxx (m)] E[r E[r rxx (m) rxx (m) N N 有偏估计
10
偏移量为
m (m)] ˆxx B rxx (m) E[r rxx (m) N
由 可见，只有当 m 0 时，r (m) 才是 ˆxx 无偏的，其它 m 都是有偏的，但当 N 时， B 0 ，因此
2. 有偏自相关函数的估计
(m) 表示，估计器为 ˆxx 有偏自相关函数用 r
1 N m 1 ( m) ˆxx r x ( n ) x ( n m) N n 0
估计性能分析： 估计量的偏差：
1 N m N 1
Nm (m) ˆxx ˆxx (m) r r N
jm ˆ (e ) r ˆ P ( m ) e BT xx j m
第6讲功率谱估计的现代方法

第6讲功率谱估计的现代方法

第6讲：功率谱估计的现代方法§6.1 AR 模型法谱估计假设一个随机过程可以由AR(p)刻画-=)(n x ∑=+-⋅pk n v k n x k a 1)()()(它的功率谱为2222)()1(1)(fpj fj AR ep a ea f P ππσ--+++=这里]|)([|22n v E =σ给出一组观测数据)}1(),1(),0({-N x x x 得到估计的参数集}ˆ),(ˆ),2(ˆ),1(ˆ{2σp a a a，得到一个估计的功率谱密度PSD 。

2122)(ˆ1ˆ)(ˆ∑=-+=pk fkj ARe k af P πσ§6.1.1最大熵谱估计（MESE ）假设已知)}(),1(),0({p r r r ，为了确定PSD ，外推 )2(),1(++p r p r ，有无穷多外推方法，一种原则是使信号熵最大，即有最大随机性。

对于高斯过程，熵可以表示成：⎰-⋅2121)(lndf f P C xx（1）（1）是熵表达式，C 是常数，由已知p+1个自相关值构成如下约束方程：p k k r df ef P fkj xx ,1,0)()(21212==⎰-π且知：∑+∞-∞=-⋅=k fkj xx ek r f P π2)()(用Lagrangian 乘积法构成目标函数。

⎰⎰∑--=+=2121212120)()(ln df ef P df f P S fkj xx pk ixx πλ并且求：0)(=∂∂k r S ,2,1||++=p p k经计算的得：1||0)(2+≥=⎰--p k df f P exx fmj πππ这隐含着：∑-=-=ppk fkj k xx ef P πλ2)(1和k k -=λλ*以确保)(f p xx 是实的。

即求得：∑-=-=ppk fkj k xx ef P πλ21)(上式带回p+1个约束方程，经过整理, 最后求得：2122)(1)(∑=-⋅+=pk fkj xx ek a f P πσ这里2σ和)(k a 必须满足：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅)(*)2(*)1(*)()2()1(p r r r p a a a R和：∑=+⋅+=pk k r k a r 12)()()0(σ这正是Yule-Walker 方程，由此得到结论：在Gaussian 随机过程情况下，最大熵估计和AR谱估计是一致的，在非Gaussian 情况下，这一结论并不成立。

现代功率谱估计

现代功率谱估计

现代功率谱估计
现代功率谱估计是一种使用现代信号处理技术来计算信号功率谱的方法。

功率谱表示信号在频率域上的能量分布情况，描述了信号在不同频率上的能量或功率的分布。

在现代信号处理中，有几种方法可以用于功率谱估计：
周期图法（Periodogram Method）：这是最简单的功率谱估计方法之一。

通过对信号进行傅里叶变换，然后取幅度的平方得到功率谱估计。

但是在实际应用中，可能需要对信号进行分段并对每个段进行周期图法计算，最后取平均值来获得更准确的估计结果。

Welch方法：这是一种常用的功率谱估计方法，它通过将信号分成多个段并对每个段进行周期图法计算，最后对所有段的结果进行平均来减小估计的方差，提高估计的准确性。

改进的周期图法：包括Bartlett、Hanning、Hamming等窗口函数来改进周期图法，减小泄漏效应leakage effect，提高频谱估计的分辨率和准确性。

自回归AR模型：利用信号的自相关性建立AR模型，然后通过这个模型来计算功率谱。

这种方法在非平稳信号和具有明显谱峰或特定频率成分的信号表现上较好。

这些现代功率谱估计方法可以根据不同的信号特点和应用需求选择合适的方法，并在工程、信号处理和科学领域有着广泛的应用。

功率谱估计报告范文

功率谱估计报告范文

功率谱估计报告范文
一、功率谱估计的原理
功率谱估计是用来估计信号的功率谱密度（PSD）。

功率谱密度是描述信号在不同频率上的功率分布情况，是信号频谱特征的重要指标之一、功率谱估计的目标是通过有限长的信号序列来估计信号的功率谱密度，从而得到信号的频谱特征。

二、功率谱估计的常用方法
1.周期图法
周期图法是通过信号的周期性来估计功率谱密度。

该方法将有限长的信号序列进行周期延拓，然后通过傅里叶变换或卷积运算得到功率谱密度估计。

2.自相关法
自相关法是通过信号的自相关函数来估计功率谱密度。

该方法先计算信号序列的自相关函数，然后通过傅里叶变换得到功率谱密度估计。

3.平均功率谱法
平均功率谱法是通过将信号序列分段并求取每段的功率谱密度，然后对各段的功率谱密度进行均值运算来估计信号的功率谱密度。

常用的平均功率谱法有Welch法和Bartlett法。

三、功率谱估计的实际应用案例
1.语音信号处理
2.无线通信
3.振动信号分析
总之，功率谱估计是分析信号频谱特征的常用方法，通过对有限长的信号序列进行处理，估计信号的功率谱密度。

功率谱估计可以应用于语音信号处理、无线通信以及振动信号分析等多个领域。

在实际应用中，根据信号特点和需求选择合适的功率谱估计方法，并结合其他信号处理技术进行综合分析。

《功率谱估计》课件

《功率谱估计》课件

《功率谱估计》 PPT课件
目录
• 引言 • 功率谱估计的基本原理 • 常见功率谱估计方法 • 现代功率谱估计方法 • 功率谱估计的性能评估 • 实际应用案例分析
01
引言
功率谱估计的定义
功率谱估计是对信号的频率内容进行描述的方法，通过分析信号在不同频率的功 率分布情况，可以了解信号的特性。
功率谱估计可以分为非参数方法和参数方法两类，其中非参数方法包括傅里叶变 换、Welch方法等，而参数方法则包括AR模型、MA模型、和ARMA模型等。
非参数模型
不假设信号的功率谱具有特定参数形式，而是直接从数据中估计功率谱。
03
常见功率谱估计方法
直接法
定义
直接法是通过测量信号的样本值，利用离散 傅里叶变换（DFT）直接计算信号的频谱。
特点
计算简单，但容易受到频率偏移和相位失真的影响 。
应用场景
适用于信号频率稳定且对相位精度要求不高 的场合。
间接法
THANKS
感谢观看
分辨率与假峰率
分辨率（Resolution）
衡量功率谱估计中能够区分两个相近频率成分的能力。分辨率越高，说明估计的功率谱能够更好地分 辨出相近的频率成分。
假峰率（False Peak Rate）
衡量估计的功率谱中出现的虚假频率峰的概率。假峰率越低，说明估计的功率谱中虚假频率峰的出现 概率越小。
06
特点
能够减小频谱泄漏效应，提高频 谱分辨率。
应用场景
适用于信号持续时间较短或需要 高分辨率频谱分析的场合。
最大熵法
定义
最大熵法是一种基于信息论的方法，通过最 大化熵函数来估计信号的功率谱。
特点
能够提供平滑且连续的功率谱估计，但计算 复杂度较高。
功率谱功率谱估计

功率谱功率谱估计


(3)去非平稳 为了进行频谱分析，可以构造出平稳随机信号， 方法是减去系统的变化趋势。对于线性或近似线性 增长的趋势项，可用多项式拟合的办法来去，对于 其它类型的趋势项可用滤波的方法来去除。
四、估计质量的评价
设a是广义平稳随机过程 x ( n) 的一个数字特征 ˆ 是a的一个估计 a 1、偏倚 ˆ ] E{a a ˆ } a E{a ˆ} b[a 它表示了估计值与实际值的接近程度。 ˆ ] 0, 叫无偏估计 b[a ˆ ] 0, 叫有偏估计 b[a 2、方差 2 ˆ ˆ var[a] E{[a E{a}] } 它表示了估计值相对估计均值的分散程度。
k 1
p q
h(n)
x(n)
若u(n)是一个方差为 的白噪声,则x(n)的功率谱 j 2 j 2 S x (e ) | H ( e ) |
2
B( z ) B (1 / z ) 或 S x ( z ) H ( z ) H (1 / z ) A( z ) A* (1 / z * )
最大熵 参数化 最小交叉熵 ……
三、随机信号分析的预处理
要讨论问题通常是零均值信号的谱估计问题， 一般信号都很少满足要求，所有需作预处理 (1)取样： 若信号未经取样，则在满足取样定理的 前提下取样可根据信号带宽的物理限制，粗略估计 取样间隔。 ~ (2)去均值 x ( n) x ( n) m x
H (z)
1 1 ak z k
k 1 p
称为AR模型
（ 3 ）若ak 和br均不为 0,
x( n) a k x( n k ) br u( n r ) H ( z )
k 1 r 0 p q

q
称为ARMA模型
功率谱估计方法综述

功率谱估计方法综述

功率谱估计方法综述：简介：随机信号的持续时间是无限长的，因此随机信号的总能量是无限的，因而随机过程的任意一个样本寒暑都不满足绝对可积条件，所以其傅里叶变换不存在。

尽管随机信号的总能量是无限的，但其平均功率却是有限的，因此，要对随机信号的频域进行分析，应从功率谱出发进行研究才有意义。

信号的功率谱密度描述随机信号的功率在频域随频率的分布。

功率谱估计(PSD)是用有限长的数据来估计信号的功率谱，即利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度。

背景：功率谱估计在实际工程中有重要应用价值，如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域，发挥了重要作用。

功率谱估计方法主要分为2大类：非参数化方法（又称经典功率谱估计）和参数化方法（又称现代功率谱估计）。

非参数化方法有相关函数法(BT法)、周期图法、平均周期图法、平滑平均周期图法等；而参数化谱估计有R模型法、移动平均模型法(简称MA模型法)、自回归移动平均模型法(简称ARMA模型法)、最大熵谱分析法(AR模型法)、Pisarenko谐波分解法、Prony 提取极点法、Prony谱线分解法以及capon最大似然法等，由于涉及许多复杂数学计算，在此未作详细数学推导，以下介绍几种常用的功率谱估计方法一、非参数化方法（经典法）经典功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗。

1、自相关法又称相关函数法(BT法)，根据维纳—辛钦定理：平稳随机过程的自相关函数和功率谱函数是一傅里叶变换对，对于平稳随机信号来说，其相关函数是确定性函数，故其功率谱也是确定的．这样可由平稳随机离散信号的有限个离散值，求出自相关函数，然后作Fourier变换，得到功率谱。

由于随机序列{X(n)}的自相关函数R(n)=E[X(n)X(n+m)]定义在离散点m上，设取样间隔为错误！未找到引用源。

现代谱估计课件

现代谱估计课件


N 1
E[Rˆx (m)]e jm
m( N 1)
N 1 m( N 1)
Rx
(m)
N
| N
m
|
e
jm
令w(m)为三角窗
w(m)
(N
|
m 0,
|)
/
N
,
| m | N 1 else
E[Sˆx (e j )] [Rx (m)w(m)]e jm m
E[Sˆx (e j )]
1
2
Sx (e j ) W (e j )
pxx3=abs(fft(xn(515:768),Nsec).^2)/Nsec; %第三段功率谱
pxx4=abs(fft(xn(769:1024),Nsec).^2)/Nsec; %第四段功率谱
Pxx=10*log10((pxx1+pxx2+pxx3+pxx4)/4); %平均得到整个序
列功率谱
f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx); %给出功率谱对应的频率
)
2
sin N
N (1
2
sin 1
2
2 2
)
2
令1=2=
2
4 x
[1
(
sin N )2 ] N sin
当N时，频谱估计方差2不趋向于零，而趋 18
向于
4 x
，因此经典频谱估计不是一致估计
经典谱估计的方差
若取1= 2k/N，2=2l/N，k、l是整数，则有：
Cov[ Sˆ x
5
0
-5 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
现代谱估计
现代信号处理经典的功率谱估计

现代信号处理经典的功率谱估计

《现代信号处理》姓名：李建强学号：2专业：电子科学与技术作业内容：在MATLAB平台上对一个特定的平稳随机信号进行经典功率谱估计和现代功率谱估计的比较一、前言功率谱估计是信息学科中的研究热点,在过去的30多年里取得了飞速的发展。

在许多工程应用中，它能给出被分析对象的能量随频率的分布情况。

平滑周期图是一种计算简单的经典方法，它的主要特点是与任何模型参数无关，但估计出来的功率谱很难与信号的真是功率谱相匹配。

与周期图方法不同，现代谱估计主要是针对经典谱估计(周期图和自相关法)的分辨率低和方差性能不好的问题而提出的。

其使用参数化的模型，能够给出比周期图方法高得多的频率分辨率。

其内容极其丰富，涉及的学科和领域也相当广泛，按是否有参数大致可分为参数模型估计和非参数模型估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等;后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。

二、总体概述本次实验分别使用经典的功率谱估计（如周期图法）与AR模型法对某一特定的平稳随机信号进行其功率谱估计，由图像得到信号的频率。

利用MATLAB平台，直观形象地观察并比较二者估计效果的区别，以便于加深对功率谱估计的理解和掌握。

三、具体的实现步骤1、经典法功率谱估计周期图法又称直接法，它是从随机信号x(n)中截取N长的一段，把它视为能量有限的真实功率谱的估计的一个抽样。

1.1、实现步骤（1）、模拟系统输出参数x(n)=A*sin(2πf1*n)+B*sin(2πf2*n)，包括序列长度N（128或512或1024，加性高斯白噪声（AGWN）功率一定，设置A，B，f1，f2，n的值。

（2）、应用周期图法（不加窗）对信号的功率谱密度进行估计，使用直接法在MATLAB 平台上进行编程实现。

（3）、输出相应波形图，进行观察，记录。

1.2 MATLAB源代码实现clear all; %清除工作空间所有之前的变量close all; %关闭之前的所有的figureclc; %清除命令行之前所有的文字n=1:1:128; %设定采样点n=1-128f1=0.2; %设定f1频率的值0.2f2=0.213; %设定f2频率的值0.213A=1; %取定第一个正弦函数的振幅B=1; %取定第一个正弦函数的振幅a=0; %设定相位为0x1=A*sin(2*pi*f1*n+a)+B*sin(2*pi*f2*n+a); %定义x1函数，不添加高斯白噪声x2=awgn(x1,3); %在x1基础上添加加性高斯白噪声，信噪比为3,定义x2函数temp=0; %定义临时值，并规定初始值为0temp=fft(x2,128); %对x2做快速傅里叶变换pw1=abs(temp).^2/128; %对temp做经典功率估计k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(1); %输出x1函数图像plot(w/pi/2,pw1) %输出功率谱函数pw1图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x(n)添加高斯白噪声后的,周期图法功率频谱分析');grid;%-------------------------------------------------------------------------pw2=temp.*conj(temp)/128; %对temp做向量的共轭乘积k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(2);plot(w/pi/2,pw2); %输出功率谱函数pw2图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x（n）自相关法功率谱估计');grid;1.3 matlab仿真图形（1）、用直接法，功率谱图像,采样点N=128。

现代谱估计


∑δ
2 i jj j
v ( v ij ) ，式中 v ij = ⎡ ⎣v ( i, j ) , v ( i + 1, j ) ,..., v ( i + p, j ) ⎤ ⎦
H
∧ −( p )
T
4. 求 S
的逆 S
−( p )
，使用最小二乘法得 x i ,TLS = S
( i, i + 1) / S −( p ) (1,1)
Gdarboux 07.10.2 1
现代谱估计
2
ARMA 谱估计：ARMA 谱估计利用已知道的观测数据 x ( i ) , i = 0,1,...N − 1. 来估计其 功率谱密度 Px ( z ) = σ
2
B( z) A( z)
p
2 2
，需要知道激励噪声的方差 σ ，AR，MA 的阶数和参数，
2
∑ a x ( n − i ) = ∑ b e ( n − j ) ， e ( n ) ∼ ℵ( 0,σ ) ，平稳解 x ( n ) = ∑ h e ( n − i ) ，
2
i =0 i j =1 j i =−∞ i
p
q
∞
Px ( z ) = σ
2
B( z) A( z)
2 2
，加性白噪声中的 AR(p) 过程为 AR(p,p)过程….
1 J⎡ ⎣ P (ω ) ⎤ ⎦ = 2π
⎡∧ 1 lnP (ω ) d ω + ∑ λk ⎢ R x ( k ) − ∫ ⎢ 2π k =− p −π ⎢ ⎣
π
p
π
−π
∫ P(w)e
jwk
P (ω ) =
1
k =− p

(周围)现代信号处理基础04-现代功率谱估计(上)

2 k 0 p
for m 0
重庆邮电大学通信学院
AR谱估计的性质1：隐含着自相关函数的外推
k R (m - k ), ˆ 2 (m) = a
k 0 2 p p
for m 0 for m 0 0 1) (设a
(m) k R (m - k ), ˆ (m)- a R
AIC(k )
使上式最小化的阶数k即为最优阶数。AIC准则得到模型阶 数一般偏高。
(3) 判别自回归传输函数（CAT）准则
CAT(k ) N ˆ (其中 2 j） N j
2 j
最小化上式得最优阶数。
重庆邮电大学通信学院
AR模型法功率谱估计：
性能分析：
精确分析很困难，只能给出大样本理论的近似关系。 估值的均值（N，p ）：
AR模型法功率谱估计：
求解方法：
模型阶数p不确定时数学上很难处理，因此先假定p， 求模型参数。 阶数p已知时对模型两边同求某种统计特征以将随机 变量转化为确定性的量。 对各种阶数下的模型进行比较应用某种准则选出最 好的模型( )。
重庆邮电大学通信学院
AR模型法功率谱估计：
AR(p)模型的Yule - Walker方程组：
上式假设了滤波器H ( z)是因果的，且h(0) 1, 故有h* (-m) (m) for m 0
右边：
(m) z - m } a m * R (m) a k R (m - k ) ˆ ( z) -1{ A R
m- k 0

p
故有：
k R (m - k ), ˆ (m) = a
重庆邮电大学通信学院
现代谱估计
算法基础 以随机过程或信号的的参数模型为基础,故称为参数模型法 或参数法 历史沿革
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2.经典法都是取一个长为N的取样序列，除此之外的序列值 都看成0，相当于在进行FFT前对无限长的数据序列进行了 加窗处理（加了一个有限宽的矩形窗）。我们知道：矩形 窗的频谱主瓣不是无限窄，且有旁瓣存在，这就造成了能 量向旁瓣中“泄漏”，且使分辨率降低，产生假的谱峰。
• 尽管有三种改进方法（Bartlett法、Welch法和Nattall法） 仍不能从根本上解决问题，这也促进了功率谱估计现代方 法的研究和应用。
4.1功率谱估计的经典方法
• 一、功率谱概念：一个离散平稳随机过程，在时域用自协 方差序列或者自相关序列描述。在频域中，是用功率谱来 描述的。 • 功率谱反映随机过程的功率密度随频率变化的规律。—— 功率密度谱
• 而实际中，我们只能观测到有限个数据，它们往往是随机 过程的一个取样序列中的一般数据，我们必须根据这些数 据来估计随机过程的功率谱，也就是说从有限长信号中估 计出来。
• 现代谱估计技术始于60年代，有自回归法（AR）、线性预 测法（LP）和最大熵（ME）法等三种互相等效的方法和最 大似然法（ML法）。
• 目前现代谱估计研究仍侧重于一维谱分析，其它如多维谱 估计，多通道谱估计，和高阶谱估计等的研究正在兴起， 理论也在不断完善和发展中。
4.2谱估计的参数模型方法
• 通常人们或多或少地掌握了关于被估计过程的某些先验知 识，从而有可能对这做出某些合理的假定。例如为它建立 一个准确或至少近似的模型，而不必象经典谱估计法那样 认为凡未观测到的数据等于零，这就从根本上丢弃了对数 据序列加窗的隐含假设。 一、模型法步骤： 以参数模型为基础的谱估计方法一般按三个步骤进行： ① 设模型 ；② 算法 ；③ 再计算谱 ⒈为被估计的随机过程确定一个合理的模型，当然这有赖于 对些随机过程的理论分析的实验研究。 ⒉根据观测数据估计模型的参数 各种算法研究。 ⒊用估计得到的模型参数计算功率谱。（PS）
• 2.估计方差
Var [a] E{[a E(a)]2 }



• 表示各次估计值相对估计均值的分散程度。 • 方差小意味着单次估计的结果为估计量的均值的概率大。 它与估计的偏差不同，若是无偏的，则说明单次估计取真 值的概率大，也只有小方差无偏估计的质量好。B和 Var [a] 要同时考虑。 • 3.估计的均方误差 定义： D[a ] E[( a a ) 2 ] 不难证明 D[a] Var [a] B 2 ，我们认为均方误差较小的估计， 质量更好些。 若有： lim D[ a ] 0 ，称 a 是a的一致估计，显然一致估
计包含了偏差和方差都渐近0。
N
• 功率谱估计的方法很多，但分为二类：一类是经典法，另 一类是现代方法 • 经典方法主要包括有自相关法（也称间接法）和周期图法 （又称直接法）下面分别简单说明一下。 三、自相关法：（理论基础是维纳——率钦定理） 即：对于一平稳离散随机信号来说，它的自相关函数 与它的功率谱S xx ( )之间构成一对付里叶变换：
h(0) lim H ( z ) lim (1 a k z k ) 1 1 根据初值定理： z z
k 1 p
p ak Rxx (m k ) 2 Rxx (m) k p 1 ak Rxx (m k ) k 1
S xx ( )
m M


M
ˆ R xx (m)e jm | N 1 |M

可以证明，对于固定延迟 m ， R xx (m)是Rxx (m) 的一致估计。 四、周期图——直接法 1 N 1|m| ˆ 由式 Rxx (m) N x(n) x(n m) 可见：式子右端，实际上是 n 0 x(n)与x(-n)的卷积运算，若x(n)的傅立叶变换为 X (e j ) ， 则x(-n)的傅立叶变换为 Z * (e jw ) 对上式两端去傅立叶变换：
1 1 j j j 2 S xx ( w) X (e ) X * (e ) X (e ) N N

• 将上式的 e j 在单位圆上等间隔取值得：
1 S xx (e ) X N e N 1 2 S xx (k ) X N (k ) N
2 j k N 2 j k N
l 0

h(l ) E[u (n l )u (n m)]
l 0

h(l ) Ruu (m l )
l 0

l 0
m0 0 h(l ) (m 1) h( m) 2 m0 h(0)
2 2
h(n)因果 n 0 h(n) 0 h(m)在m 0时为0
MA(q) --模型（阶滑动平均模型）
(除外 b0 1 ，所有MA系数=0)
• 2.当都为极点时，模型为：
1 H ( z) 1 A( z )
S xx ( Z ) 2 1 A( z )
2
p

i 0
2
p
a i z i
x ( n) q k x ( n k ) u ( n)
x 在大多数应用中，x(n)是实信号： (n) x * (n) （*共轭）
n 1 R xx (m) lim N x(n) x(m n) N 2 N 1 n
一般只能观测到随机信号一个取样时间序列的有限个取 样值（例如N个值），表示为： x N (n) {x(0), x(1), , x( N 1)}
k 1
p
AR( p) 模型，即P阶自回归模型
2
=
1 a i z i
i 1
or
S xx (e jw )
2
A(e )
jw 2

p i 1
2
1 a i e jwi
2
三、Wold分解定理： • 内容：任何广义平衡随机过程可分解成一个完全随机的部 分和一个确定的部分。（所谓确定随机过程是指可根据无 限个过去取样值，完全预测的随机过程。） • Wold分解定理的一个推论是：如果功率谱完全是连续的， 那么任何ARMA or AR过程，可以用一个无限阶的MA过程表 示。 • Kolmogorov定理也有类似结论：任何ARMA or MA过程可以 用一个无限阶的AR过程表示。

m0 m0
这就是AR模型的 Yule-Walker方程。
二、求解
为求出AR模型参数： 2 和a1 , a 2 , a p可先从上式中选择m 0的P 个方程，解出 {a1 , a 2 ,, a p }，再代入 m 0 的方程，求 a 2 。 也可以解方程组：
第四章 • • • • • •
功率谱估计的现代方法
4.1从经典谱估计到现代谱估计 4.2谱估计的参数模型方法 4.3AR模型的Yule-Walker方程 4.4Levinson-Durbin算法 4.5AR模型的稳定性及其阶的确定 4.6AR谱估计的性质
• • • • •
4.7格型滤波器 4.8AR模型参数提取方法 4.9AR谱估计的异常现象及其补救措施 4.10MA和ARMA模型谱估计 4.11白噪声中正弦波频率估计
4.3 AR模型的Yule-Walker方程
以AR模型为基础的谱估计： S xx ( z )
S xx (e )
j
2
A( z ) A * (1 / z*)
2
or
2
A(e )
j 2

p n 1
2
1 a n e j n
Hale Waihona Puke 来计算这就需要知道P，P个AM系数以及模型的激励源的方差 2。为 此，必须把这些参数和已知（or估计到的）自相关函数联系 起来这就是著名的Yule-Walker方程。
自相关函数只能由这N个取样数据来估计，自相关法是常 用的一种估计方法。
• ①
自相关法步骤： 首先由 x N (n) 估计出
ˆ ( m) 1 R xx N

R xx (m )
N 1|m|

n 0
x N ( n ) x N ( n m)
②
再对 R xx (m) 求其傅立叶变换，即得x(n)的功率谱：
• 二、估计理论中的几个基本概念 • 设a是广义平稳随机信号x(n)的一个特征量（可以是均值 方差，自相关出数or功率谱）。a 是我们得到的估计值， 也是一个随机变量，那么 a 对a估计的质量（近似程度） 可以从以下一个方面考虑：
• 1.估计的偏差（也叫偏倚）用B表示 ˆ 定义为： B E[a] a 表示估计量a 的均值E[ a 与真值a之差。 ] 若B=0的估计为无偏估计，反之为有偏估计 若 Nlim B 0 为渐近无偏估计（N为观测数据的个数）。我 们总希望，估计是无偏的or渐近无偏的是高质量的估计。
该模型的输出和输入间满足差分方程：
x(n) a k x(n k ) bl (ngl) 0 0) (a
K 1 l 0
p
q
• 输出功率谱和输入功率谱之间满足：
S xx ( Z ) 2 H ( z )
2
jw 2
或：
B (e ) S xx (e ) H (e ) A(e jw )
a k R xx (m k ) E[ x(n)u (n m)]
k 1
p
设AR模型的冲激响应是h(n)，在方差 的白噪声序列 u(n) 作用下产生输出x(n):
2
x(n) h(l )u (n l )
l 0

设h(n)是因果的
x(n)
u(n)
h(n)
E[ x(n)u (n m)] E{[ h(l )u (n l )]u (n m)}

2
简记为：
可以用FFT快速计算——周期图法。 X （k） N 五、经典法的缺点 不管数据记录多长（N多大），周期图法和自相关法都不 是功率谱的良好估计，主要因为存在以下两个难以克服的 固有缺点：