第5章功率谱估计的现代方法

第五章 功率谱估计§5.1 引言从第一章的讨论中，我们已经知道一个随机信号在各时间点上的值是不能先验确定的，它的每个实现(样本)往往是不同的，因此无法象确定信号那样可以用数学表达式或图表精确地表示它，而只能用它的各种统计平均量来表征它。

其中，自相关量作为时移的函数是最能较完整地表征它的特定统计平均量值。

而一个随机信号的功率谱密度(函数)，正是自相关函数的傅氏变换。

对于一个随机信号来讲，它本身的傅氏变换是不存在的，只能用功率谱密度来表征它的统计平均谱特性。

因此功率谱密度是一个随机信号的一种最重要的表征形式。

我们要在统计意义下了解一个随机信号，就要求知道(或估计)的它功率谱密度。

如果我们用)(m xx φ表示随机信号)(n x 的自相关函数，)(ωxx P 表示它的功率谱密度(以下简写成PSD)，则有[见式(1.56)]∑∞-∞=-=m mj xxxx e m P ωφω)()( (5.1)而其中[])()()(m n x n x E m xx +∆*φ(5.2)对于平稳随机过程，根据各态历经假设，集合的平均可以用时间的平均代替，于是上式可写成∑-=*∞→++=NNn N xx m n x n x N m )()(121lim )(φ (5.3)将式(5.3)代入式(5.1)得n j m NN n N xx xx e m n x n x N P P ωωω∑∑∞-∞=-=*∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)()(121lim )()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑∑∞-∞=+*-=-∞→m m n j N N n n j N e m n x e n x N )()()(121lim ωω 令m n l +=，上式可写成*∞-∞=---=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑∑l l j n j N N n N xx e l x e n x N P ωωω)()(121lim )(2)(121lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--=∞→∑n j N N n N e n x N ω (5.4)式(5.4)在∞→N 的极限情况下是不可能收敛的，这是因为对于无限时域的随机信号，它的傅氏变换是不存在的。

第6讲：功率谱估计的现代方法§6.1 AR 模型法谱估计假设一个随机过程可以由AR(p)刻画-=)(n x ∑=+-⋅pk n v k n x k a 1)()()(它的功率谱为2222)()1(1)(fpj fj AR ep a ea f P ππσ--+++=这里]|)([|22n v E =σ给出一组观测数据)}1(),1(),0({-N x x x 得到估计的参数集}ˆ),(ˆ),2(ˆ),1(ˆ{2σp a a a，得到一个估计的功率谱密度PSD 。

2122)(ˆ1ˆ)(ˆ∑=-+=pk fkj ARe k af P πσ§6.1.1最大熵谱估计（MESE ）假设已知)}(),1(),0({p r r r ，为了确定PSD ，外推 )2(),1(++p r p r ，有无穷多外推方法，一种原则是使信号熵最大，即有最大随机性。

对于高斯过程，熵可以表示成：⎰-⋅2121)(lndf f P C xx（1）（1）是熵表达式，C 是常数，由已知p+1个自相关值构成如下约束方程：p k k r df ef P fkj xx ,1,0)()(21212==⎰-π且知：∑+∞-∞=-⋅=k fkj xx ek r f P π2)()(用Lagrangian 乘积法构成目标函数。

⎰⎰∑--=+=2121212120)()(ln df ef P df f P S fkj xx pk ixx πλ并且求：0)(=∂∂k r S ,2,1||++=p p k经计算的得：1||0)(2+≥=⎰--p k df f P exx fmj πππ这隐含着：∑-=-=ppk fkj k xx ef P πλ2)(1和k k -=λλ*以确保)(f p xx 是实的。

即求得：∑-=-=ppk fkj k xx ef P πλ21)(上式带回p+1个约束方程，经过整理, 最后求得：2122)(1)(∑=-⋅+=pk fkj xx ek a f P πσ这里2σ和)(k a 必须满足：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅)(*)2(*)1(*)()2()1(p r r r p a a a R和：∑=+⋅+=pk k r k a r 12)()()0(σ这正是Yule-Walker 方程，由此得到结论：在Gaussian 随机过程情况下，最大熵估计和AR谱估计是一致的，在非Gaussian 情况下，这一结论并不成立。

功率谱估计引言：对信号和系统进行的分析研究、处理有两类方法：一类是在时域内进行，维纳滤波、卡尔曼滤波以及自适应滤波等都属于时域处理方法；另一类方法是频域研究方法。

对于确定性信号，傅里叶变换是在频率分析研究的理论基础，但是在实际生活中大多数信号是随机信号，而随机信号的傅里叶变换是不存在的，在实际应用中，通常通过采集和观测平稳随机过程的一个抽样序列的一段（有限个）数据，根据这有限个已知的数据来估计随机过程的功率谱问题来对随机信号进行分析，这即是频率谱估计。

功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内通过用某种有效的方法来估计出其功率谱密度，从而得出信号、噪声及干扰的一些性质来，提取被淹没在噪声中的有用信号。

功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。

谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。

按照Weiner —Khintchine 定理，随机信号的功率谱和其自相关函数服从傅里叶变换关系，可以得出功率谱的一个定义，如公式（1）所示：()jwm m xx jw xx e m re P -∞-∞=∑=)( 公式（1）对于平稳随机信号，服从各态历经性，集合平均可以用时间平均来代替，可以推出功率谱的另一定义。

如公式（2）所示：()])(121[2lim ∑-=-∞→+=N N n jwn N jw xx e n x N E e P 公式（2）频率谱估计主要分为经典谱估计和现代谱估计，经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零,相当于数据加窗,主要方法有相关法和周期图法;现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱,主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的,应用最广的是AR 参数模型。

现代谱估计方法分析刘传辉（绵阳职业技术学院 信息工程系，四川 绵阳 621000）摘要：谱分析是信号分析的一种工具。

功率谱估计就是基于有限的数据寻找信号、随机过程或系统的频率成分。

它表示随机信号频域的统计特征，有着明显的物理意义，是信号处理的重要研究内容。

研究随机信号在频域的功率分布情况，即功率谱密度或功率谱，功率谱估计有着广泛的应用。

关键词：功率谱；信号分析；信号处理；Matlab ；Simulink中图分类号： 文献标识码：Modern Spectral Estimation MethodsLiu Chuan Hui(Dept. of Information Engineering, Mian yang vocational and technical college , Mang Yang 621000,China)Abstract : Sp ectral analysis is a tool for signal analysis. Power spect rum est imat ion is based on limit ed dat a looking for signals, the frequency of random process or system components. It said random signal frequency-domain stat istical characterist ics, t here is a clear physical meaning, is an important signal processing research content. Of random signals in the frequency domain, power distribution, that is t he power spectral density or power spect rum. Power spectrum estimation has been widely used.Keywords: Power spectrum; Signal Analysis ; Signal Processing; Matlab ；Simulink0、引言随机信号一般不能用明确的数学关系式来描述，也无法预测其未来瞬间的精确值，对于这些随机性质的数据只能用概率和统计平均的方法来描述，比如均值、均方差、相关函数以及功率谱密度函数等，一个平稳随机信号的功率谱密度叫做谱估计。

功率谱估计功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。

谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。

维纳滤波、卡尔曼滤波，可用于自适应滤波，信号波形预测等（火控系统中的飞机航迹预判）。

如果我在噪声中加入一个信号波形。

要完全滤波出我加入的信号波形，能够做到吗？如果知道一些信息，利用一个参考信号波形，可利用自适应滤波做到（信号的初始部分稍有失真）。

功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。

下面对谱估计的发展过程做简要回顾:英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。

后来，1822年，法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论。

该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础。

傅立叶级数提出后，首先在人们观测自然界中的周期现象时得到应用。

19世纪末，Schuster提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为“周期图”（periodogram）。

这是经典谱估计的最早提法，这种提法至今仍然被沿用，只不过现在是用快速傅立叶变换（FFT）来计算离散傅立叶变换（DFT），用DFT的幅度平方作为信号中功率的度量。

周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。

1927年，Yule提出用线性回归方程来模拟一个时间序列。

Yule的工作实际上成了现代谱估计中最重要的方法——参数模型法谱估计的基础。

Walker利用Yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列，得出Yule-Walker方程，可以说，Yule和Walker都是开拓自回归模型的先锋。

1930年，著名控制理论专家Wiener在他的著作中首次精确定义了一个随机过程的自相关函数及功率谱密度，并把谱分析建立在随机过程统计特征的基础上，即，“功率谱密度是随机过程二阶统计量自相关函数的傅立叶变换”，这就是Wiener—Khintchine定理。

现代功率谱估计
现代功率谱估计是一种使用现代信号处理技术来计算信号功率谱的方法。

功率谱表示信号在频率域上的能量分布情况，描述了信号在不同频率上的能量或功率的分布。

在现代信号处理中，有几种方法可以用于功率谱估计：
周期图法（Periodogram Method）：这是最简单的功率谱估计方法之一。

通过对信号进行傅里叶变换，然后取幅度的平方得到功率谱估计。

但是在实际应用中，可能需要对信号进行分段并对每个段进行周期图法计算，最后取平均值来获得更准确的估计结果。

Welch方法：这是一种常用的功率谱估计方法，它通过将信号分成多个段并对每个段进行周期图法计算，最后对所有段的结果进行平均来减小估计的方差，提高估计的准确性。

改进的周期图法：包括Bartlett、Hanning、Hamming等窗口函数来改进周期图法，减小泄漏效应leakage effect，提高频谱估计的分辨率和准确性。

自回归AR模型：利用信号的自相关性建立AR模型，然后通过这个模型来计算功率谱。

这种方法在非平稳信号和具有明显谱峰或特定频率成分的信号表现上较好。

这些现代功率谱估计方法可以根据不同的信号特点和应用需求选择合适的方法，并在工程、信号处理和科学领域有着广泛的应用。

功率谱估计的方法
功率谱估计是信号处理中常用的一种方法，用于分析信号在频域内的特点，通常可以分为以下几种方法：
一、经典方法
1.傅里叶变换法：将时域信号通过傅里叶变换变换到频域，然后计算功率谱密度。

2.自相关法：通过自相关函数反映信号的统计平稳性，然后通过傅里叶变换计算功率谱密度。

3.周期图法：将信号分解为若干个周期波形，然后对每个周期波形进行傅里叶变换计算周期功率谱，最后汇总得到整个信号的功率谱。

二、非经典方法
1. 时-频分析法：如短时傅里叶变换（STFT）、小波变换等，将信号分解为时域和频域两个维度的分量，从而可以分析信号在时间和频率上的变化。

2. 基于协方差矩阵的特征值分解法：通过建立协方差矩阵，在张成空
间中求解特征向量，从而达到计算信号功率谱的目的。

3. 基于频率锁定法：如MUSIC法、ESPRIT法等，是一种利用特定信号空间中的特定模式进行处理的方法。

以上方法各有特点，根据实际需求选择不同的方法可以得到相应的功率谱估计结果。

功率谱估计浅谈摘要：介绍了几种常用的经典功率谱估计与现代功率谱估计的方法原理，并利用Matlab对随机信号进行功率谱估计，对两种方法做出比较，分别给出其优缺点。

关键词：功率谱；功率谱估计；经典功率谱估计；现代功率谱估计前言功率谱估计是从频率分析随机信号的一种方法,一般分成两大类:一类是经典谱估计;另一类是现代谱估计。

由于经典谱估计中将数据工作区以外的未知数据假设为零，这相当于数据加窗，导致分辨率降低和谱估计不稳定。

现代谱估计则不再简单地将观察区外的未知数据假设为零，而是先将信号的观测数据估计模型参数，按照求模型输出功率的方法估计信号功率谱，回避了数据观测区以外的数据假设问题。

周期图、自相关法及其改进方法(Welch)为经典(非参数)谱估计方法, 其以相关和傅里叶变换为基础,对于长数据记录较适用,但无法根本解决频率分辨率低和谱估计稳定性的问题,特别是在数据记录很短的情况下,这一问题尤其突出。

以随机过程的参数模型为基础的现代参数法功率谱估计具有更高的频率分辨率和更好的适应性,可实现信号检测或信噪分离,对语音、声纳雷达、电磁波及地震波等信号处理具有重要意义,并广泛应用于通信、自动控制、地球物理等领域。

在现代参数法功率谱估计方法中,比较有效且实用的是AR模型法，Burg谱估计法,现代谱估计避免了计算相关,对短数据具有更强的适应性,从而弥补了经典谱估计法的不足,但其也有一些自身的缺陷。

下面就给出这两类谱估计的简单原理介绍与方法实现。

经典谱估计法经典法是基于传统的傅里叶变换。

本文主要介绍一种方法：周期图法。

周期图法由于对信号做功率谱估计，需要用计算机实现，如果是连续信号，则需要变换为离散信号。

下面讨论离散随机信号序列的功率谱问题。

连续时间随机信号的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换对，即：()()j x x S R e d +∞-Ω-∞Ω=⎰τττ若()x R m 是()x R Ω的抽样序列，由序列的傅里叶变化的关系，可得()()j j n x x m S e R m e ωω∞-=-∞=∑即()j x S e ω与()x R m 也是一对傅里叶变换对。