第五章功率谱估计1-2节

第五章 功率谱估计§5.1 引言从第一章的讨论中，我们已经知道一个随机信号在各时间点上的值是不能先验确定的，它的每个实现(样本)往往是不同的，因此无法象确定信号那样可以用数学表达式或图表精确地表示它，而只能用它的各种统计平均量来表征它。

其中，自相关量作为时移的函数是最能较完整地表征它的特定统计平均量值。

而一个随机信号的功率谱密度(函数)，正是自相关函数的傅氏变换。

对于一个随机信号来讲，它本身的傅氏变换是不存在的，只能用功率谱密度来表征它的统计平均谱特性。

因此功率谱密度是一个随机信号的一种最重要的表征形式。

我们要在统计意义下了解一个随机信号，就要求知道(或估计)的它功率谱密度。

如果我们用)(m xx φ表示随机信号)(n x 的自相关函数，)(ωxx P 表示它的功率谱密度(以下简写成PSD)，则有[见式(1.56)]∑∞-∞=-=m mj xxxx e m P ωφω)()( (5.1)而其中[])()()(m n x n x E m xx +∆*φ(5.2)对于平稳随机过程，根据各态历经假设，集合的平均可以用时间的平均代替，于是上式可写成∑-=*∞→++=NNn N xx m n x n x N m )()(121lim )(φ (5.3)将式(5.3)代入式(5.1)得n j m NN n N xx xx e m n x n x N P P ωωω∑∑∞-∞=-=*∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)()(121lim )()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑∑∞-∞=+*-=-∞→m m n j N N n n j N e m n x e n x N )()()(121lim ωω 令m n l +=，上式可写成*∞-∞=---=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑∑l l j n j N N n N xx e l x e n x N P ωωω)()(121lim )(2)(121lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--=∞→∑n j N N n N e n x N ω (5.4)式(5.4)在∞→N 的极限情况下是不可能收敛的，这是因为对于无限时域的随机信号，它的傅氏变换是不存在的。

功率谱估计引言：对信号和系统进行的分析研究、处理有两类方法：一类是在时域内进行，维纳滤波、卡尔曼滤波以及自适应滤波等都属于时域处理方法；另一类方法是频域研究方法。

对于确定性信号，傅里叶变换是在频率分析研究的理论基础，但是在实际生活中大多数信号是随机信号，而随机信号的傅里叶变换是不存在的，在实际应用中，通常通过采集和观测平稳随机过程的一个抽样序列的一段（有限个）数据，根据这有限个已知的数据来估计随机过程的功率谱问题来对随机信号进行分析，这即是频率谱估计。

功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内通过用某种有效的方法来估计出其功率谱密度，从而得出信号、噪声及干扰的一些性质来，提取被淹没在噪声中的有用信号。

功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。

谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。

按照Weiner —Khintchine 定理，随机信号的功率谱和其自相关函数服从傅里叶变换关系，可以得出功率谱的一个定义，如公式（1）所示：()jwm m xx jw xx e m re P -∞-∞=∑=)( 公式（1）对于平稳随机信号，服从各态历经性，集合平均可以用时间平均来代替，可以推出功率谱的另一定义。

如公式（2）所示：()])(121[2lim ∑-=-∞→+=N N n jwn N jw xx e n x N E e P 公式（2）频率谱估计主要分为经典谱估计和现代谱估计，经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零,相当于数据加窗,主要方法有相关法和周期图法;现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱,主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的,应用最广的是AR 参数模型。

功率谱估计功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。

谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。

维纳滤波、卡尔曼滤波，可用于自适应滤波，信号波形预测等（火控系统中的飞机航迹预判）。

如果我在噪声中加入一个信号波形。

要完全滤波出我加入的信号波形，能够做到吗？如果知道一些信息，利用一个参考信号波形，可利用自适应滤波做到（信号的初始部分稍有失真）。

功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。

下面对谱估计的发展过程做简要回顾:英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。

后来，1822年，法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论。

该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础。

傅立叶级数提出后，首先在人们观测自然界中的周期现象时得到应用。

19世纪末，Schuster提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为“周期图”（periodogram）。

这是经典谱估计的最早提法，这种提法至今仍然被沿用，只不过现在是用快速傅立叶变换（FFT）来计算离散傅立叶变换（DFT），用DFT的幅度平方作为信号中功率的度量。

周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。

1927年，Yule提出用线性回归方程来模拟一个时间序列。

Yule的工作实际上成了现代谱估计中最重要的方法——参数模型法谱估计的基础。

Walker利用Yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列，得出Yule-Walker方程，可以说，Yule和Walker都是开拓自回归模型的先锋。

1930年，著名控制理论专家Wiener在他的著作中首次精确定义了一个随机过程的自相关函数及功率谱密度，并把谱分析建立在随机过程统计特征的基础上，即，“功率谱密度是随机过程二阶统计量自相关函数的傅立叶变换”，这就是Wiener—Khintchine定理。

第五章 离散随机信号的功率谱估计 5．1 离散随机信号的基本概念5.1.1 随机信号的基本概念 1、随机信号：凡是不能用明确的数学关系式描术，无法预测未来时 刻精确值的信号称为随机信号。

例如 一台噪声发生噪发出的输出信号x(t) 随时间t 的变化过程就是一随机信号， 并把这一台噪声发生噪的输出叫作随 机信号的一个样本函数。

2、随机过程：若于个随机样本函数的集合叫随机过程。

对这个N 个样本的集合，在某一时刻t 1处的统计平均值m x (t 1)是可以求出的即m x (t 2) =∑=∞→Nk N tx N1)(1lim 1(5-1)随机过程的相关函数r x (t 1，t 1+m )r x (t 1，t 1+m ) = ∑=∞→+Nk k k N m t x t x N 111)()(1lim (5-2)3、平稳随机过程：平均值m x 和相关函数r x 都不随时间t 变化的过程叫平稳随机过程，即m x ( t 1)= m x ( t 2)=…， r x ( t 1，t 1+m)= r x ( t 2，t 2+m)=…。

4、各态历经：若无穷个样本函数在某一时刻t 1处的平均值与一个样本函数在整个时间轴上的平均值相等就叫做各态历经，这样就把无限个样本在某一时刻t 1处所经历的状态等同于某个样本函数在无限时间里经历的所有状态。

于是就可用时间的平均去代替集合的平均。

这时平均值和相关函数就变成m x =∑-=∞→1)(1limN n N n x N(5-3)r x (m)=∑-=∞→+1)()(1lim N n N m n x n x N (5-4)5、平稳各态历经序列只有功率谱的概念：平稳各态历经序列的持续期是无限的，即不绝对可和，就是乘上一个衰减因子也不绝对可和，因此付里叶变换和Z 变换都不存在。

这就决定了离散随机信号无频谱可言。

但一个平稳各态历经序列的相关函数r x 可作为付里叶变换，且可以作为r x 的付里叶变换就是功率P ()ωj e。

5. 功率谱的估计（周期图与窗函数）5.1. 随机信号的功率谱 5.1.1. 功率谱的定义由前面的讨论，我们知道，Fourier 变换是从频域上描述信号的基本工具。

在确定性信号的情况下，当信号是周期时，可以分解为傅氏级数，构成离散频谱。

当信号是非周期性的，只在有限时间段内有值，满足狄拉克绝对可积(平方可积)条件，可以通过傅立叶变换，获得频谱。

但是，对于随机信号，一般既不是周期的，又不是绝对可积的，因此，严格意义上，随机信号既不能进行傅氏级数分解，又不能进行傅氏变换。

为了解决这一困难，维纳首先提出了广义谐波分析的概念。

所谓广义谐波分析是指：随机信号的傅氏分析可以从极限意义上来讨论。

1. 广义谐波分析取随机信号)(t x 在有限时间内的（-T~+T ）的一段，并定义⎩⎨⎧+<<-=其他0)()(Tt T t x t x T 由于时间有限，所以)(t x T 存在傅氏变换，即)()(ωX t x FTT −→←取极限值，并就全部样本集合从总集意义上求平均值，便可以获得随机信号的功率谱定义如下：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=∞→T X E S T T x 2)(lim )(2ωω2. 维纳-辛钦定理可以证明，如果)(t x 是零均值的，上式又可以写成维纳-辛钦定理的形式，表示成自相关函数的傅氏变换。

即：⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰∞∞--∞∞-ωωπωττωωτωτd e S R d e R S j x x j x x)(21)()()(根据傅氏变换的卷积定理：2*)()()()(*)(ωωωT T T FT T T X X X t x t x =⋅−→←-亦即⎰∞∞--=ττωωτd e R X j T T )()(2式中dt t x t x dt t x t x R TT T T T T T ⎰⎰+-∞∞-+=+=ττττ)()()()()(因此[]ττωωτωτd dt t x t x E Te TX E S TT T T T j T T ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎰⎰+-∞→∞∞--∞→)()(21lim 2)(lim)(2注意到[][])(21)()2(21lim )(21lim )()(21lim )()(21lim )()(21lim τττττττττττττx T x T x T T T x TT x T T T T T T T T T R T R T T R dt T R dt R T dt t x t x E T dt t x t x E T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞→∞→+-∞→+-∞→+-∞→+-∞→⎰⎰⎰⎰所以ττωωτd e R S j x x -∞∞-⎰=)()(3. 随机过程的功率谱密度函数的三种定义(1) 自功率谱密度函数定义为随机过程的傅立叶频谱幅值平方的数学期望：{}2)(21),(ωωT x X E T T S ={}2)(21lim )(ωωT T x X E TS ∞→=(2) 自功率谱密度函数定义为随机过程的自相关函数的傅立叶变换：ττωωτd e R S j x x -∞∞-⎰=)()((3) 自功率谱密度函数在中心频率f 的带宽f ∆内的取值，定义为随机过程样本信号，通过中心频率为f ，带宽f ∆的带通滤波后的平均功率：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=∆⎰-∞→TT T T x dt f f t x T f f S 2),,(21lim ),( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=⎰-∞→→∆T TT T f x dt f f t x T f S 20),,(21lim lim )(5.1.2. 功率谱的性质1. 对称性对于实信号，由于)(τx R 是实偶函数，所以)(ωx S 也是实偶函数。