二次根式计算——分母有理化

高考数学中的根式化简中的分母有理化高考中的数学根式化简是一项非常重要的考点，而在这个过程中，分母有理化也是一个关键环节。

分母有理化在解题中有着重要的应用，而且不难掌握。

在这篇文章中，我们将深入探讨分母有理化的概念、方法以及实例。

一、分母有理化的概念分母有理化是指将一个分式的分母化为含有有理数的多项式。

有理数是指可以表示成有限小数、无限循环小数和整数的数字。

这个过程可以将分母的无理数转化为有理数，从而方便进行后续的计算和化简。

二、分母有理化的方法在进行分母有理化的过程中，我们需要注意以下几点方法：1.有理数的平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)该公式可以用于分母有理化中，因为它可以将分母中的平方差式进行化简。

例如，对于分式1/(√3-√2)，我们可以通过平方差公式将分母化简：=1/（√3-√2）×（√3+√2）/（√3+√2）=（√3+√2）/（√3²-√2²）=（√3+√2）/（1）=√3+√22.有理化分母当分母中含有双曲函数或其他特殊函数时，我们可以尝试有理化分母。

例如，对于分式1/(sinx-cosx)，我们可以尝试进行有理化分母，得到：=1/（sinx-cosx）×（sinx+cosx）/（sinx+cosx）=（sinx+cosx）/（sinx²-cosx²）=（sinx+cosx）/（sin²x-cos²x）=（sinx+cosx）/（1-2cos²x）3.共轭对于含有二次根式的分母，我们可以使用有理化共轭的方法进行化简。

例如，对于分式2/(3-2√2)，我们可以使用共轭的方法进行分母有理化：=2/（3-2√2）×（3+2√2）/（3+2√2）=2（3+2√2）/（9-8）=2（3+2√2）/1=2（3+2√2）三、分母有理化的实例以下是一些常见的分母有理化实例：1.将分式1/（√5-2）化简：=1/（√5-2）×（√5+2）/（√5+2）=（√5+2）/（5-4）=（√5+2）2.将分式2/（3-√2）化简：=2/（3-√2）×（3+√2）/（3+√2）=2（3+√2）/（9-2）=2（3+√2）/73.将分式1/（sinπ/6-cosπ/6）化简：=1/（sinπ/6-cosπ/6）×（sinπ/6+cosπ/6）/（sinπ/6+cosπ/6）=（sinπ/6+cosπ/6）/（sin²π/6-cos²π/6）=（sinπ/6+cosπ/6）/（1-2cos²π/6）=（sinπ/6+cosπ/6）/（1-√3）=（sinπ/6+cosπ/6）×（1+√3）/（1-√3）×（1+√3）=（sinπ/6+cosπ/6）×（1+√3）/（1-3）=（sinπ/6+cosπ/6）×（1+√3）/-2=（√2/2+√6/2）×（1+√3）/-2=-(√2/2+√6/2)×（1+√3）结语：分母有理化是高中数学中非常重要的考点，也是日常生活中数学运用的一部分。

二次根式分母有理化及应用一、分母有理化1. 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2. 有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a ⋅=来确定，如：a a 与，a b a b ++与，b a -与b a -等分别互为有理化因式；②两项二次根式：利用平方差公式来确定，如：a b +与a b -，a b a b +-与，a x b y a x b y +-与等分别互为有理化因式。

3. 分母有理化的方法与步骤二、两种特殊有理化方法1. 分解约简法：可以利用因式分解进行有理化。

分母有理化：()232323166233212186623---====---；2. 配方约简法：利用完全平方公式配方，再和分母约分。

分母有理化： ()()222232232374323232323++⨯⨯++===++++。

总结：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

根号内含有分数或分式根号内分子、分母同乘以能使分母开方的数21中根号内分子分母同乘以2；271中根号内分子分母同乘以3，而不是27分母中含有根式 分子分母同乘以能使分母化为整式的根式21中分子分母同乘以2，321中分子分母同乘以3而不是23分母中含有根式的和（差）分子分母同乘以有理化因式 能构成平方差的形式例题1 )12013)(201220131341231121(+++++++++ =（ ）A. 2010B. 2011C. 2012D. 2013解析：此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算。

答案：解：)12013)(201220131341231121(+++++++++=)12013)(20122013342312(+-++-+-+-=2013－1 =2012。

二次根式运算法则二次根式运算法则是指在进行二次根式的加减、乘除运算时所遵循的一些规则和方法。

掌握了这些规则，可以帮助我们简化和求解二次根式的运算，提高计算的准确性和效率。

一、二次根式的加减法则1. 同类项相加减法则对于同类项的二次根式，可以直接对其系数进行相加或相减。

例如：√2 + √3 = √2 + √32√5 - 3√5 = -√52. 不同类项的相加减法则对于不同类项的二次根式，不能直接进行相加或相减。

需要通过化简的方式将其转化为同类项，然后再进行运算。

例如：√2 + 2√3 = √2 + 2√3(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - √6二、二次根式的乘除法则1. 二次根式的乘法法则二次根式的乘法运算可以通过将根号内的数相乘，并合并同类项的方式进行。

例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - 3 = -12. 二次根式的除法法则二次根式的除法运算可以通过将根号内的数相除，并合并同类项的方式进行。

例如：√6 ÷ √2 = √3(√6 + √2) ÷ √2 = (√6 + √2) × (√2 ÷ √2) = √3 + 1三、二次根式的化简法则对于复杂的二次根式，可以通过化简的方法将其简化为更简单的形式。

常用的化简法则有以下几种：1. 合并同类项法则将同类项的二次根式合并为一个二次根式。

例如：√2 + √2 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 提取公因数法则将二次根式中的公因数提取出来，使其成为一个单独的因子。

例如：2√2 + 3√2 = 5√24√5 + 6√5 = 10√53. 有理化分母法则将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号消去。

例如：1/√2 = √2/21/√3 = √3/3四、二次根式的运算顺序在进行二次根式的复合运算时，需要注意运算的顺序。

一般按照先乘除后加减的原则进行。

专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（原卷版）第一部分 典例精析+变式训练类型一 分母有理化技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。

典例1（2021秋•曲阳县期末）把√3a √12ab 化去分母中的根号后得（ ） A ．4bB ．2√bC ．12√bD ．√b 2b 变式训练1．（2022春•东莞市期中）化简：√8= ． 2．（2021春•龙山县期末）把√12√2a 化成最简二次根式，结果是 ． 技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母典例2（2022春•乳山市期末）【材料阅读】 把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．例如：化简√2+1． 解：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1．上述化简的过程，就是进行分母有理化．【问题解决】（1）化简2−√3的结果为： ；（2）猜想：若n 是正整数，则√n+1+√n 进行分母有理化的结果为： ； （3）若有理数a ，b 满足√2−1+√2+1=2√2−1，求a ，b 的值．变式训练 1．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：2+√5= ．2．（2022秋•牡丹区期末）若3−√7的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2+（1+√7）ab ＝ ．技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简典例3 化简：3332变式训练：1.化简： 2224(2)24x x x x x技巧4 分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。

典例4 （2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值√x+√y +√xy+y √x−√y，其中x ＝5，y =15． 针对训练：化简： （1y （24323技巧5 裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。

24．观察下面式子的化简过程：√6√2+√3+√5=√6+3)−5√2+√3+√5=√2+√3)2√5)2√2+√3+√5=√2+√3−√5．化简√10√5+√13+√8，并将这一问题作尽可能的推广．变式训练：12235(23)(35)类型二分子有理化典例6（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：√7−√6=(√7−√6)(√7+√6)√7+√6=1√7+√6．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较√7−√6和√6−√5的大小．可以先将它们分子有理化．如下：√7−√6=√7+√6√6−√5=√6+√5．因为√7+√6＞√6+√5，所以√7−√6＜√6−√5．再例如：求y=√x+2−√x−2的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=√x+2−√x−2=√x+2+√x−2．当x＝2时，分母√x+2+√x−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较3√2−4和2√3−√10的大小；（2）求y=√1+x−√x的最大值．针对训练1．（青羊区校级期中）已知a=√2−1，b＝3﹣2√2，c=√3−√2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b2．（2020秋•武侯区校级月考）计算：（1）比较√15−√14和√14−√13的大小；（2）求y=√x+1−√x−1+3的最大值．第二部分 专题提优训练1．（2022秋•绥化期末）化简√21√3的结果是 ． 2．（2021秋•阳城县期末）化简√8√20的结果是 ． 3．（2021秋•徐汇区校级期中）化简：√x−3−1= ． 4．（2021春•宁阳县期末）化简√12= ，√2−1= ． 5．（2012秋•珙县校级月考）化简：2−√3= ． 6．（2021春•江城区期末）化简√2√27的结果是 ． 7．（2022秋•宝山区校级期中）已知：x =√3+√2√3−√2，y =√3−√2√3+√2，求x 2+xy +y 2的平方根．8．（2022春•普陀区校级期末）计算：√5−√5−1．9．（2021秋•浦东新区校级月考）计算：√32+√3−1+√3．10．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．如：√2+1√2−1=√2+1)(√2+1)(√2−1)(√2+1)=3+2√2． 除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．如：化简√2+√3√2−√3．解：设x =√2+√3−√2−√3，易知√2+√3＞√2−√3，故x ＞0．由于x 2＝（√2+√3√2−√3）2＝2+√3+2−√3−2√(2+√3)(2−√3)=2．解得x =√2，即√2+√3−√2−√3=√2根据以上方法，化简：√23+2√2+√√−√√11．（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+√3）（2−√3）＝1，（√5+√2）（√5−√2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中√3=√3√3×√3=√33√32−√3=√3)(2+√3)(2−√3)(2+√3)=7+4√3．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4+√7的有理化因式可以是，3√2分母有理化得．（2）计算：①1+√2+√2+√3+√3+√4+⋯+√1999+√2000．②已知：x=√3−1√3+1，y=√3+1√3−1，求x2+y2的值．12．（2022春•钢城区期末）阅读下列解题过程：√2+1=√2−1)(√2+1)×(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2．请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．①√7+√6=；②√n+√n−1=；（2）应用：求√2+1+√3+√2+√4+√3+√5+√4+⋯+√10+√9的值；（3）拓广：√3−1−√5−√3+√7−√5−√9−√7=．13．（2021春•广饶县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简√3+√2 解：√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2材料二：化简√a +2√b m ，n ，使m 2+n 2＝a ，并且mn ＝b ，那么√a ±2√b =√m 2+n 2±2mn =√(m ±n)2=m ±n ．例如：化简√3±2√2解：√3±2√2=√(√2)2+12+2√2=√(√2+1)2=√2+1【理解应用】（1）填空：化简√5+√3√5−√3的结果等于 ． （2）计算：①√7−2√10；②√2+1+√3+√2+2+√3+⋯+√2020+√2019+√2021+√2020．14．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：√7−√6=√7−√6)(√7+√6)√7+√6=√7+√6． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较√7−√6和√6−√5的大小可以先将它们分子有理化如下：√7−√6=√7+√6，√6−√5=√6+√5． 因为√7+√6＞√6+√5，所以，√7−√6＜√6−√5．再例如，求y =√x +2−√x −2的最大值、做法如下：解：由x +2≥0，x ﹣2≥0可知x ≥2，而y =√x +2−√x −2=√x+2+√x−2． 当x ＝2时，分母√x +2+√x −2有最小值2．所以y 的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题：（1）比较√15−√14和√14−√13的大小；（2）求y =√x +1−√x −1+3的最大值．。

内容 基本要求 略高要求较高要求二次根式的化简和运算 理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）板块一 二次根式的乘除最简二次根式：a 0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 二次根式的乘法法则a b ab 0a ≥，0b ≥） 二次根式的除法法则a a bb =（0a ≥，0b >）利用这两个法则时注意a 、b ab a b =a 、b 都非负，否则不成立， (7)(5)(7)(5)-⋅---一、二次根式的加减1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 合并同类二次根式：(x x a b x +=+【例1】 35a -3a +是可以合并的二次根式，则____a =。

【例2】 a ）A ．2aB ．23aC ．3aD ．4a中考要求例题精讲二次根式基本运算、分母有理化【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式：【例3】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）．【例4】若最简二次根式a2b-的值．a【巩固】若a b，的值是（），为非负数，a a bA．02a b，或11==，D．20====，a b==a b，B．11a b，C．02==a b【例5】已知最简根式a a,b的值（）A．不存在B．有一组C．有二组D．多于二组【巩固】若a a，b为整数，则a=______，b=________；【例6】=的整数解有组.…这1999是同类二次根式的共有多少个？2.二次根式的加减【例7】【例8】【巩固】-【例9】3【例10】计算：+【巩固】计算：-【例11】 计算：-【巩固】+-【例12】 先化简后求值。

二次根式专项训练-最简有理数分母有理化二次根式专项训练 - 最简有理数分母有理化概述本文档旨在提供一个专项训练，帮助学生掌握最简有理数分母有理化的技巧。

最简有理数分母有理化是解决二次根式中分母中包含根号的问题，使其变为有理数的过程。

问题描述下面是一系列的问题，每个问题都涉及到最简有理数分母有理化。

请仔细阅读问题，并给出解答。

1. 分解下列各式中的因式：$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$。

2. 将分数$\frac{1}{\sqrt{2}}$进行分母有理化。

3. 将分数$\frac{3}{\sqrt{3}}$进行分母有理化。

4. 将分数$\frac{4}{\sqrt{5}}$进行分母有理化。

解答1. $\sqrt{2}$的因式分解为$\sqrt{2}$本身。

$\sqrt{3}$的因式分解为$\sqrt{3}$本身。

$\sqrt{5}$的因式分解为$\sqrt{5}$本身。

2. 分数$\frac{1}{\sqrt{2}}$的分母有理化过程如下：$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$3. 分数$\frac{3}{\sqrt{3}}$的分母有理化过程如下：$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$4. 分数$\frac{4}{\sqrt{5}}$的分母有理化过程如下：$\frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$小结最简有理数分母有理化是解决二次根式中分母中包含根号的问题的方法，将其转化为有理数，从而便于计算和简化。