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第5课时—最简二次根式与分母有理化

第5课时—最简二次根式与分母有理化

第十六章二次根式第5课时最简二次根式与分母有理化知识点1：最简二次根式的辨别【例1】下列二次根式是最简二次根式的是_______(填序号).12②√12；③√10；④√9；⑤√1.5；⑥√2a2；⑦√x2+1；⑧√a2+2a+1. 同步练习1. 在根式√3，√4x，35，√0.25，√20，最简二次根式的个数有____个．知识点2：化为最简二次根式【例2】判断下列二次根式是不是最简二次根式,若不是,请把它化成最简二次根式. （1）√30；（2）√28；（31 3（4）√0.5；（5）√4ab2.同步练习2.把下列二次根式化为最简二次根式：（1）√5×10=_____；（2）√72=_____；（3）√0.6=_____；（42 x知识点3：分母有理化【例3】将下列式子化为最简二次根式：（1）1√5；（2）√8；（3）√6−1√2.同步练习3. 将下列式子化为最简二次根式：（1）√12；（2115；（3）√10−√5√5.【课时过关】4. 下列二次根式中，最简二次根式是（）A.√4B.1 xC.√12aD.√x2+y25. 把43化为最简二次根式，结果是________.6.化简：（1）√40=_____；（2）√1.5=______.7.化简：（1）√8a3b=_____；（2）√b−a.8. 若a是正整数，√3a+6是最简二次根式，则a的最小值为___________. 【课时提升】9.若√2m+3和√32m−n+1都是最简二次根式，则m+n=____.a−b的被开方数相同，则a+b=____.10.已知：最简二次根式√4a+b与√23化为最简二次根式是____.11.把二次根式a√−1a。

二次根式的分母有理化课件

二次根式的分母有理化课件
二次根式的分母有理化课件
分母有理化的概念
通过有限的步骤将二次根式的分母转换为有理数，使得计算更简便。能够简 化二次根式的运算和推导过程。
分母有理化的步骤和方法
1
步骤一：找到不含开方的因式
将分母中的二次根式化简为不含开方的因式，如将√3转化为2√3/3。
2
步骤二：用适当的有理数乘以分母
将分母的每一项与适当的有理数相乘，使得分母中的二次根式消失，母的某些项
解决方法：仔细检查，确保每一项都被正确有 理化。
错误：未合并同类项
解决方法：整理分母，合并同类项，确保化简 后的分母正确。
错误：错误地进行有理化操作
解决方法：复查步骤，并进行适当的修正。
错误：计算错误
解决方法：仔细计算，避免粗心导致错误。
分母有理化的应用场景
1 高等数学
有理化分母是解决高等数 学中复杂方程和公式的关 键步骤。
2 物理学
在物理学中，有理化分母 的技巧可以简化力学和电 磁学等领域的计算。
3 工程学
在工程学中，有理化分母 的方法能够简化工程设计 和分析中的复杂计算。
分母有理化的练习题和解析
通过一系列练习题和解析，巩固对分母有理化的理解和应用。
结论和要点
分母有理化是解决二次根式运算和推导等问题的重要技巧，在高等数学和相 关学科中有广泛应用。
3
步骤三：化简分母
整理分母中的项，使得每个项都是有理数，如合并同类项。
分母有理化的实例演示
Example 1
有理化分母的步骤在解决二次方 程中起到关键作用。
Example 2
在将分数进行运算时，有理化分 母可以简化计算过程。
Example 3
在数学课堂中，有理化分母是一 个常见的考点。

二次根式 的性质4-分母有理化

二次根式 的性质4-分母有理化

成果应用
例1.化去下列各式分母中的根号
1 1
23 1 3
2 3 3 3
6
4 3 2
3 2
2 3 2
3 2 3 2
52 6
2 5
4 12 5
83
15 24
5 3
3 2
3 3 2
3
23
2
3 3 6 7
3 31 6 77
3 1
3 2
3
3
2
2 3
2
3 2
6 3 2
2 33 2
3 22 33 2 2 33 22 33 2
12 5 6 6
2 5 6 6
分母有理化
将分母中的根号化去，叫作分母有理化.
分母有理化
1 2 =
5 1
2 5 =
7 2
解：1 2 = 5 1
2 51
2
= 51 5 1
5 1 4
=
5 1 2
= 51 22
解：2 5 = 7 2
5 7 2 7 2 7 2
5 7 2 =
1
1
1
+
+
+
1
21 3 2 2 3 52 6 5
2 1 + 1 + 1 + 1 + 1
3 1 5 3 7 5 3 7 11 3
解：1 1 + 1 + 1 + 1 + 1
21 3 2 2 3 52 6 5
= 2 1+ 3 2+2 3+ 5 2+ 6 5
= 6 1
2 1 +
1
+
1

21.3二次根式的乘除法 分母有理化

21.3二次根式的乘除法 分母有理化

将下列代数式分母有理化
2 3 5 2 3 5
( 2 3 5)( 2 3 5) 解：原式 ( 2 3 5)( 2 3 5)
2 15 6 2 6
10 6 2
计算
15 35 21 5 32 5 7
( 3 5)( 5 7) 解：原式 ( 3 5) ( 5 7)
（ ab ）的有理化因式是（ a + b ） b ）
（ a+ b ）的有理化因式是（ a -
有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用 a a a 来确定， 如： a与 a ， a b与 a b， a b 与 a b 等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。 如 a b 与 a b ， a b与 a b ， a x b y与a x b y 分别互为有理化因式。
a b
a b
a 0, b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相 除，作为商的被开方数
最简二次根式的定义
满足下列条件的二次根式，叫做最简二 次根式。 （1）被开方数中的各因式的指数都为1 （2）被开方数不含分母
辨析训练一
判断下列各式是否为最简二次根式？
（2） 12 × ）； （3） 30 x （ √ ）； （4） （1） （
平方差公式
2 2( a + b ) 2( a + b ) = = a- b a - b ( a - b )( a + b )
( a b) ( a b) ( a ) ( b) a b
2
2
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如 果它们的积不含有二次根式，我们就说这 两个二次根式互为有理化因式

5.2.3 二次根式的有理化

5.2.3 二次根式的有理化
二次根式的化简 分母有理化
合作交流
1.分母有理化：
把分母中的根号化去,使无理数分母变成 有理数,这个过程叫做分母有理化。
2.有理化因式：
两个含有根式（无理式）的代数式相乘， 如果它们的积为有理数（式），我们说 这两个代数式互为有理化因式.
如 2是 2的有理化式，3 1是 3－1的有理式.
例1.找出下列各式的有理化因式.
(3) a 1
(4) x2 1
(5) 27
(5) 3
(6)5 2 3 5 (6)5 2 3 5
例2.化简下列二次根式：
（1） 3 ，（2）3 2 ，（3） 1（, 4） 1
5 15
27 6
a
ห้องสมุดไป่ตู้
ab
5
3
a
a-b
例3.把下列各式有理化.
a
a-b
（1） 1 ，（2） 1 ，（3） 1 ，
3－1 3 1
课堂检测
1.写出下列各式的有理化因式：
（1） 3－ 2，（2） 2 5，（3）2 3－5 2.
2.把下列各式的分母有理化：
（1）－8 3 （2）3 2 （3） 5a （4） 2y 2
8
6 27 2a 10ay 2 xy 4xy
-2
（5）
64
，3（6）
12
xy
，（7）
1
.
7－ 11
2 3－3 2
33 2
- 7 - 11
- 2 3 3 2 6
- 1- 2 3
（4）
1
2
, (5)
3－ 5 1-
3 2
55 .
2 3
5 2- 3
47
a b a b a2 a2 a2- a-2

16.3.分母有理化(2)

16.3.分母有理化(2)
分子与分母中的因式分解直接约分什么方法让分母不带根号你会用什么方法分母不带根号你又会用我们把上面的过程叫做分母有理化如果分母是一个正实数的算术根只要分子分母同时乘上这个二次根式即可如果是一个二项式只要乘上一个二项式使分母变成平方差即可
1. 二次根式的除法有两种常用方法： a a （1）利用公式： = ( a ≥ 0，b > 0) b b （2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有 理化运算。 2. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化 简的二次根式先化简(能开出来的先开出来或分 子和分母先因式分解约分),再考虑如何化去分母 中的根号。 3.分母有理化 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
1、计算：
1 3 2 (1)9 45 3 2 ; 5 2 3
45 6;
2 1 (2) 18 4 ; 2 2 1
m m (4) mn n n ;
2 2;
(3) 3 3 2 6
3

3 3 2 6 ;
2
9 6 2;
n 1;
2 1 2
3 3 3


5 3 4 3
3
3 3 6 3 6
5 3 3
3 2
2 3
3 2 3
2 2
4
2
5 3 2
2
5 2 5 3 2 3 2
25 30 3 18

2
1
43 30 3
( m )2 ( n )2 m n
m -n ( m + n )( m （） 3 = m+ n m+ n
n)
= ( m-
n)
将下列各式分母有理化

分母有理化

老张讲数学
分母有理化
分母有理化
1、定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化
2、有理化因式：两个含有二次根式的非零代数 式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们 说这两个二次根式互为有理化因式。
分母有理化
3、有理化因式的确定方法： （1）单项二次根式：利用 a a a来确定
如： a与 a , a b与 a b, a b与 a b 等分别为互为有理化因式
（2）利用平方差公式来确定 如：a b与a b , a b与 a b ,
a x b y与a x b y等
分别互为有理化因式
分母有理化
4、分母有理化的步骤： （1）先将分子与分母化成最简二次根式 （2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式， 将分母中的根号化去
（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式
分母有理化
5、一般常见有理化因式： （1）a 的有理化因式为 a （2）a b的有理化因式为a b
(3)a n b的有理化因式为a n b
(4) a b的有理化因式为 a b
(5)m a n b的有理化因式为m a n b
分母有理化
1、 3 3 1
你 来
2、 1
练
4 33 2
3、 m (m n) m n
4、 2 5 2 3

分母有理化及最简二次根式


综合练习题
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} - sqrt{6}}$。
解析
首先将分子分母同乘以$sqrt{3} + sqrt{6}$，得到$frac{(sqrt{3} + sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})}{(sqrt{3} - sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})} = frac{3 + 2sqrt{18} + 6}{3 - 6} = frac{-9sqrt{2}}{3} = -sqrt{2}$。
04
练习题与解析
基础练习题
题目
化简二次根式$frac{1}{sqrt{2}}$。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3}}{sqrt{6}}$。
解析
首先将分母有理化，即分子分母同乘以$sqrt{2}$， 得到$frac{1}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$。
根式。
判断被开方数的因式是否为整式
03
检查被开方数的因式是否为整式，若不是整式则不是最简二次
根式。
化简技巧
提取公因式法
将根号内的多项式进行因式分解，提取公因式，简化根式。
分母有理化法
通过乘以共轭式的方法，将分母化为有理数，从而简化根式。
分子有理化法
在分子或分母有理化时，有时需要采用分子有理化的方法，即将分 子或分母同时乘以共轭因子，以简化根式。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{5}}{sqrt{5} + 2sqrt{5}}$。
VS

八年级数学下册第16章 微专题4 二次根式的分母有理化


(2)
1 6＋
5分母有理化得：__6_－___5_；
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微专题4 二次根式的分母有理化
(3)计算：2－1
－ 2
4 2.
解：2－1
－ 2
42＝(2－
2＋ 2 2)(2＋
2)－2
2
＝24＋－22－2 2
＝1＋ 22－2 2
＝1－32 2.
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微专题4 二次根式的分母有理化 3．【教材改编】阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与
∴ 2024－ 2023＜ 2022－ 2021.
返回导航
谢谢观看
2n－1；
返回导航
微专题4 二次根式的分母有理化
解：原式＝ (
3＋13)－( 13－1)＋(
5＋
5－ 3)(
3 5－
＋ 3) (
7＋
7－ 5)(
5 7－
＋…＋ 5)
2n＋1－ 2n－1 ( 2n＋1＋ 2n－1)( 2n＋1－ 2n－1)
＝12( 3－1＋ 5－ 3＋ 7－ 5＋…＋
2n＋1－ 2n－1)＝12( 2n＋1－1)；
个二次根式互为有理化因式，于是二次根式的除法可以这样解：如 1 ＝ 2
1× 2×
2＝ 2
22，22＋－
33＝((22－＋
3)(2＋ 3)(2＋
33))＝7＋4
3，像这样通过分子、分母同
乘一个式子，把分母中的根号化去叫做分母有理化．
1 (1)3
2的有理化因式是__2_，2＋
3的有理化因式是_2_－___3_.(写出一个即可)
运算时，我们有时会碰到形如 3 ， 5
32＋1的式子，其实我们还可以将其进一
步化简：

16.3.3分母有理化


原式的倒数 1 1 7 3
5 7 3 5
2
原式 7 3 2
最强大脑：
( ) ( ) 1.计算
- 2002
3 +2
- 2003
3- 2 .
2.已知a - b = 3 + 2,b - c = 3 - 2,
求a2 +b2 +c2 - ab - bc - ac的值.
3.已知a2 +b2 - 4a - 2b +5 = 0,
2 x- 3 y 2 x - 3 y 分母有理化因式是 2 x + 3 y
2 x + 3 y (2 x + 3 y )(2 x + 3 y )
(1)
=
2 x - 3 y (2 x - 3 y )(2 x + 3 y )
(2 x + 3 y )2 4x + 9y + 6 xy
=
=
(2 x )2 - (3 y )2
2( a + b) = 2( a + b)
a - b ( a - b)( a + b)
a- b
（ a - b）（? a b）=（ a）2 - （ b）2 = a - b
设P是一个含有根式的代数式，Q是一个 不等于0的代数式，如果PQ的乘积不再含 有根式，则称Q是P的 有理化因式，P 也 是Q 的有理化因式 （ a - b）的有理化因式是（ a + b）
(1) 3 3 1
3 3 2
(2) 1
4 33 2
4 33 2
30
(3) m-n (m n) m n m n
(4) 2 5 2 3
例
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5
探究（二）
5
1
如何化简
2 1
1
( 2 1)
2 1
2 1 ( 2 1)( 2 1)
1
问题2：如何将
分母有理化有理化？
x y
1
( x y)
x y
x y ( x y )( x y ) x y
6
化去根号中的分母：
6
3
（1） 3 1
（2）
4
1 33
2
（3）
m m
n
n
(m
n)
解：
（1） 3 3( 3 1) 3 3
中的分母?
a ab ab ab ab
b bb b2
b2 b
4
化去根号中的分母：
4
(1) 2 (2) 2 1 (3) 2 y (x 0, y 0)
3
3 3x
解:(1) 2 23 6
3 33 3
(2) 2 1 7 7 3 21 3 3 33 3
(3) 2y 2 y 3x 6xy 3x 3x 3x 3x
3 1 ( 3 1)( 3 1) 2
（2） 4
1 33
2 (4
(4 33
3 3 2)(4
2) 3 3
4 2)
3 3 30
2
（3）
m m
n
n
(
(m n)( m n) m n)( m n)
(m n)( m mn
n)
m
n
（第三小题还有其他方法吗？） 7
三、能力拓展
7
1、（口答）说出下列各式的一个有理化因式：
5 3 2 a b x 1 x 1 x 1 x2
2、化简： （1） 1 2 3
3 1 2 3
（2） x 1 x x 1 x
x 1 x x 1 x
8
8
3、计算： 1 1 1 1
1
1 2 2 3 3 4
98 99 99 100
4、已知x 1
，求
x
1
2
4
x
1
4
的值
2 1
x x
9
9
小结
怎样化去被开方数中的分母 怎样化去分母中的根号 二次根式的最后结果应满足： (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数中不含分母;
(3)分母中不含有根号.
10
知识象一艘船 让它载着我们
驶向理想的……
11
二次根式的分母 有理化
1
1
新知探究:
探究（一）
如何去掉 1 中被开方数中的分母呢?
3
分析：
1 1 3 3
3
33 3
2
2 思考与探索 1.练习题：化简下列各式
(1)
3
3
42
(2) 1 2 2 8 16 4
(3) 1 a
1 a
ห้องสมุดไป่ตู้aa
a a a2 a
3
由此你能的得到一般结论吗? 3
当a≥0,b>0时,怎样化去 a b