二次根式分母有理化综合训练

二次根式综合性大题训练（培优）1．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2√2=(1+√2)2，善于思考的康康进行了以下探索：设a+b√2=(m+n√2)2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2（有理数和无理数分别对应相等），∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样康康就找到了一种把式子a+b√2化为平方式的方法．请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b√3=(c+d√3)2，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若7−4√3=(e−f√3)2，且e、f均为正整数，试化简：7−4√3；（3）化简：√7+√21−√80．2．观察下列各式：①√1+13=2√13，②√2+14=3√14；③√3+15=4√15，…（1）请观察规律，并写出第④个等式：；（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：；（3）请证明（2）中的结论．3．观察下列各式：√1+112+122=1+11−12=112√1+122+132=1+12−13=116√1+132+142=1+13−14=1112请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）√1+142+152=（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3）利用上述规律计算：√5049+164（仿照上式写出过程）4．小明在解决问题：已知a=2+√3，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵a=12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∴a−2=−√3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√121+√119．（2）若a=√2−1．求：①求3a2﹣6a+1的值．②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1＝；2a2−5a+1a+2=．5．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如√m±2√n的化简，只要我们找到两个数a，b使a+b＝m，ab＝n，这样（√a）2+（√b）2＝m，√a•√b=√n，那么便有√m±2√n=√(√a±√b)2=√a±√b（a＞b），例如：化简√7+4√3．解：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（√4）2+（√3）2＝7，√4•√3=√12，∴√7+4√3=√7+2√12=√(√4)2+(√3)2=2+√3．由上述例题的方法化简：（1）√13−2√42；（2）√7−√40；（3）√2−√3．6．细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题：OA 22=(√1)2+1=2，S 1=√12（S 1是Rt △OA 1A 2的面积）；OA 32=(√2)2+1=3，S 2=√22（S 2是Rt △OA 2A 3的面积）； OA 42=(√3)2+1=4，S 3=√32（S 3是Rt △OA 3A 4的面积）；…（1）请用含有n （n 为正整数）的式子填空：OA n 2= ，S n ＝ ； （2）求1S 1+S 2+1S 2+S 3+1S 3+S 4+⋯+1S 99+S 100的值；（3）在线段OA 1、OA 2、OA 3、…、OA 2022中，长度为正整数的线段共有 条．7．已知a ，b 均为正整数．我们把满足{x =2a +3b y =3a +2b 的点P （x ，y ）称为幸福点．（1）下列四个点中为幸福点的是 ； P 1（5，5）；P 2（6，6）；P 3（7，7）；P 4（8，8） （2）若点P （20，t ）是一个幸福点，求t 的值；（3）已知点P （√m +1，√m −1）是一个幸福点，则存在正整数a ，b 满足{√m +1=2a +3b √m −1=3a +2b ，试问是否存在实数k 的值使得点P 和点Q （12a +k ，12b ﹣k ）到x 轴的距离相等，且到y 轴的距离也相等？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．8．阅读下列材料，并解答问题：①√2+√4=√4−√22=2−√22；②√4+√6=√6−√42=√6−22；③√6+√8=√8−√62=2√2−√62；④√8+√10=√10−√82=√10−2√22；……（1）直接写出第⑤个等式；（2）用含n（n为正整数）的等式表示你探索的规律；（3）利用你探索的规律，求√2+√4+√4+√6+√6+√8+⋯+√198+√200的值．9．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2．设a+b√2=(m+n√2)2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b√2的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b√3=（m+n√3）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝．（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+√5=（+√5）2；（3）化简√16−6√7−√11+4√710．数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=1 2（a+b+c）．这个公式称为“海伦公式”．数学应用：如图1，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高h2，求h1+h2的值；（3）如图2，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积．11．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如√5、√23、√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√5=√5√5×√5=35√5；（Ⅰ）√2 3=√2×33×3=√63（Ⅱ）√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1．（Ⅲ）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．√3+1还可以用以下方法化简：√3+1=√3+1=√3)22√3+1=√3+1)(√3−1)√3+1=√3−1．（Ⅳ）（1）请用不同的方法化简√5+√3．①参照（Ⅲ）式得√5+√3=．②参照（Ⅳ）式得√5+√3=．（2）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1．12．观察下列等式：①√2−1=√2+1；②√3−√2=√3+√2；③√4−√3=√4+√3；…，（1）请用字母表示你所发现的律：即√n+1+√n=．（n为正整数）（2）化简计算：1+√2+√2+√3+√3+√4+⋯+√2016+√2017．13．观察下列各式：√1+112+122=1+11−12=112；√1+122+132=1+12−13=116；√1+132+142=1+13−14=1112，…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：√1+172+182=＝；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：；③应用：计算√8281+1100．14．阅读下列解题过程：√2+1=√2−1)(√2+1)×(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2．请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．①√7+√6=；②√n+√n−1=；（2）应用：求√2+1+√3+√2+√4+√3+√5+√4+⋯+√10+√9的值；（3）拓广：√3−1−√5−√3+√7−√5−√9−√7=．15．观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：OA1＝1OA2=√12+12=√2；S1=12×1×1=12OA3=√2+12=√3；S2=12×√2×1=√22OA4=√3+12=√4；S3=12×√3×1=√32（1）推算出OA5＝；（2）若一个三角形的面积是3，则它是第几个三角形？（3）用含n（n是正整数）的等式表达上述面积变化规律，即S n＝；（4）求出s12+s22+s32+⋯⋯+s1002的值．。

2020-2021学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（人教版）易错03 二次根式分母有理化【典型例题】1．（2020·广东佛山市·==；==．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是1121===-；=== 模仿上例完成下列各小题：（1=______； （2=_______ （3n +++n 为正整数）． 【答案】（1==；（22===（3n +++n=+++11=．1【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【专题训练】一、解答题1．（2021·全国八年级）已知ab．（1）求a2﹣b2的值；（2）求a2﹣ab+b2．【答案】b解：（1）∵a∵a+b＝，a﹣b＝，∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝×＝（2））∵ab∵a﹣b＝，ab＝1，∵a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+ab＝（）2+1＝8+1＝9．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．2．（2020·忠县乌杨初级中学校八年级月考）阅读下面的问题：111⨯==；1⨯==试求：(1(2【答案】（1）原式1⨯76-（2）原式1⨯=【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的乘除，平方差公式，关键是掌握平方差运算法则．3．（2020·重庆涪陵区·八年级期末）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，团结一致、优势互补、取长补短、威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：+3）3）＝﹣433）这样的两个二次根式，它们的积不含根号，我们就称这两个二次根式互7+化去的过程叫分母有理化．解决问题：（1）+的一个有理化因式是，分母有理化结果是 ；（2【答案】解：（1）由题意可知：(434395+==+-（2）原式＝++2-13-24-3＝1．故答案为：（1）﹣，3【点睛】本题主要考查了二次根式的知识点，二次根式的运算是解题的关键．4．（2020·四川省宜宾市第二中学校九年级月考）阅读下列简化过程：1===；====……解答下列问题：（1）请用n（n为正整数）表示化简过程规律________；（2+⋯+；（3）设a=，b=c=，比较a，b，c的大小关系．【答案】（1==（2+1=+1=1=．（3）a ==2b ==+2c ==， 22>，a b ∴>， 又53>b c ∴>，c b a ∴>>．【得解】此题考查代数式计算规律探究，分母有理化计算，根据例题掌握计算的规律并解决问题是解题的关键．5．（2020·山东济南市·八年级期中）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．．． [理解应用]（1（2）若a 的小数部分，化简3a；（3【答案】（1＝22⨯（2）∵a 的小数部分，∵a ﹣1，∵3a ＝+3； （3＝122-++2+…+2 2019+-＝12-+【点睛】本题考查二次根式的化简，无理数的估算，以及数字的变化规律等知识，掌握分母有理化的方法是解决问题的关键． 6．（2020·河南洛阳市·九年级月考）阅读下面的材料，并解决问题．==1；==；…（1＝．（2）观察上述规律并猜想：当n=．（用含n的式子表示，不用说明理由）（3）请利用（2）的结论计算：①1)++⨯＝；②1)2020+⨯．【答案】（1＝2（2）11n n++＝1(1)(1)n nn n n n+-+++-＝1n+﹣n；（3）①+）×（+1））1）﹣12）1）1）1）＝4；②×1）﹣1）×1）1）×1）＝2020，【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键．7．（2021·全国八年级）阅读下列解题过程：1；2…则：（1（2（3的大小．【答案】==；解：（1310==-（2）由题意可知：==，（3>><，-，10-故答案为：（13（2【点睛】本题考查了分母有理化、平方差公式、二次根式的混合运算、实数大小比较，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．8．（2021·===-（1（2=________．（3+……=________（写出解答过程）．【答案】解：(1==(2==(32018+，=(2020++202011=-+++=2=-．答案为：【点睛】a=来确定；利用平方差公式确定：如a b=-，则互为有理化因式．会利用有理化因式进行化简计算是解题关键．9．（2021·211====-，()()22 ====-（1；（2【答案】解：(11222=++=()2<>>【点睛】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要是利用了平方差公式，有理化因式是符合平方差公式的特点的式子，即一项符号和绝对值相等，另一项符号相反绝对值相等．10．（2021·()()2233+===+--称为分母有理化．（1的有理化因式是________2的有理化因式是________．（2）将下列式子进行分母有理化：①=________；=________． （32013++．【答案】（1）7=，)221=，22，2．（2）==，1==．故答案为：；1．（3）原式)(12013=++++120131=++【点睛】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．11．（2020·重庆市第一一〇中学校八年级期中）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：1====，===（1=；=．（2100+++的值；（3101++的值．【答案】解：（1==-==（2）原式=1)(100-++++-（3）原式(101+101-++=12【点睛】本题考查了分母有理化和平方差公式的运用，找规律是解决此题的关键，注意有理化因式的确定．12．（2021·湖北十堰市·八年级期末）（1）观察探究：2212121212-===-=-⨯⨯⨯；====；1432===-=⨯．（2）尝试练习：（仿照上面化简过程，写出①的化简过程，直接写出②化简结果），；（3）拓展应用：①；②...+的值．【答案】（2）===98===⨯143-；（3）===1n n -+；②原式=1191 (21010)-+-=． 【点睛】本题主要考查了与实数有关规律题型，准确分析计算是解题的关键．。

二次根式混合计算练习(附答案)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March二次根式混合计算1．计算题 （1）（2）．2．计算：()218(12)(12)5023212322．3．619624322+-+ 127-48+12+7524．计算：（2323）＋()20101-()2π-－121-⎪⎭⎫⎝⎛5．计算(π－3)0－)12)(12(-+＋2312-+6、计算：)13(9-0+)322(2818)212(2----+27．计算（20141+ ）（211+＋321+＋431+＋…＋201420131+）8．×) 212-⎛⎫⎪⎝⎭－－3|.9．计算：4832426-÷+⨯.10．计算：(1)31322185150; (2)(5-26)×(2-3);(3)(123)(123); (4)(12-481)(231-45.0).11．计算：（1）- （2）4÷12、计算36)22(2)2(2+--- （1）327-＋2)3(-－31-13、计算： （12（2）14、33364631125.041027-++--- .11(24)2(6)28--+15、已知,3232,3232+-=-+=y x 求值：22232y xy x +-.16、计算：⑴ ()()24632463+- ⑵ 20(3)(3)2732π++-+-17、计算（1）﹣× （2）（6﹣2x ）÷3．20．计算：1312248233⎛÷ ⎝3631222⎝21．计算22．（1）)235)(235(-++- （2）)52453204(52+-22．计算：（1）(222122763 （2）(3523352323．化简：（1）83250+ （2）2163)1526(-⨯-（3）（2)23()123)(123-+-+； （4）12272431233()?24．计算(1)2543122÷⨯ （2）（3）231|21|27)3(0++-+-- （4）11545+204555245（5）()()201211+8π236+22-+-⨯－（）（6）4832426-÷+⨯（7）20121031(1)5()27(21)2----+ （8）113123482732-（92225(7)(3)- （10）21(232)8(3325)(335)3+（11）5.081232+-； （12）32212332a a a ⨯÷ （13）)2332)(2332(-+ （14）18282-+（15）3127112-+（16）0)31(33122-++参考答案 1．（1）﹣；（2）．【解析】试题分析：（1）先把各个二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算． 解：（1）=3﹣2+﹣3=﹣；（2）=4××=．2．32-【解析】试题分析：先将所给的各式化简成整数或最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．试题解析：原式125282632=-+--32=-考点：二次根式的计算． 【答案】766【解析】试题解析：解：619624322+-+ 26626463 ＝(26626463+⎭56266＝766考点：二次根式的加减点评：本题主要考查了二次根式的加减运算.首先把二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式. 4．0 【解析】试题分析：根据实数的运算法则进行计算即可救出答案. 试题解析：12010)21()2()1()32)(32(----++- π=234-⨯+- =0考点：实数的混合运算. 5．(2) 【解析】试题分析：(1)先计算零次幂、二次根式化简、去绝对值符号、把括号展开，然后进行合并即可求解．（2）把二次根式化成最简二次根式后，合并同类二次根式即可． （1）原式；(2)原式=12⨯ =考点：实数的混合运算；2．二次根式的混合运算． 6．.【解析】试题分析：先进行二次根式的化简，财进行乘除运算，最后合并同类二次根式即可求出答案.试题解析：原式=2913⨯-+9213283=++-+-+=考点: 实数的混合运算. 7．2013. 【解析】试题分析：根据分母有理化的计算，把括号内各项分母有理化，计算后再利用平方差公式进行计算即可得解． 试题解析：（1+211+＋321+＋431+＋…＋201420131+）=（1+=（1+1）=2014-1=2013. 考点: 分母有理化． 8．2 【解析】解：原式＝)2＋1－⎛⎫＝2＋1＝3－3＋2＝29．1＋114【解析】解：原式＝4－(3－＋4＝4－3＋＝1＋11410．（1）342；（2）112-93；（3）-4-26；（4）8-364. 【解析】（1）利用2a (a ≥0)，ab =ab(a ≥0≥0)化简；（2）可以利用多项式乘法法则，结合上题提示计算； （3）利用平方差公式；（4）利用多项式乘法公式化简.11．（12 【解析】试题分析：（1）先把二次根式化成最简二次根式之后，再合并同类二次根式即可求出答案；（2）先把二次根式化成最简二次根式之后，再进行二次根式的乘除法运算.试题解析：（1）-原式24=---4=；（2）4原式=310⨯考点: 二次根式的化简与计算. 12．【解析】试题分析：先进行二次根式的化简，再合并同类二次根式即可求出答案. 试题解析: 36)22(2)2(2+---=考点: 二次根式的化简求值.13．（1；（2）1--【解析】 试题分析：(1)把二次根式进行化简后，再合并同类二次即可得出答案；（2）先利用平方差公式展开后，再利用完全平方公式计算即可.试题解析：（122=+2==；（2）27=-78=--1=--考点: 二次根式的化简.14．（1）1 （2）114- 【解析】解： （1）327-+2)3(-－31-=.11--33-=+）（ （2）33364631125.041027-++---=1111300.5.244---++=- 15．385【解析】解:因为 xy y x xy y xy x y xy x +-=++-=+-22222)(2242232，38)32)(32()32()32)(32()32(3232323222=-+---++=+---+=-y x ， 1)3232)(3232(=+--+=xy ， 所以3851)38(2232222=+⨯=+-y xy x .16．．【解析】试题分析：先化成最简二次根式,再进行计算．试题解析：-224-⨯22--=考点：二次根式化简．17．．【解析】试题分析：先化成最简二次根式,再进行计算．试题解析：-= 考点：二次根式化简．18．(1)22; (2)6- 【解析】试题分析：(1)根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答案.(2)分别根据平方、非零数的零次幂、二次根式、绝对值的意义进行计算即可得出答案.试题解析：(1) ()()24632463+-22=- =54－32=22.（2）20(2π+312=+--6=-考点: 实数的混合运算.19．（1）1；（2）13【解析】试题分析：先把二次根式化简后，再进行加减乘除运算，即可得出答案. 试题解析：=32=-1=；（2）2÷2()2x=-÷=÷=13=. 考点: 二次根式的混合运算.20．143． 【解析】试题分析：先将二次根式化成最简二次根式,再算括号里面的,最后算除法．试题解析：⎛÷ ⎝÷=143=． 考点：二次根式运算．21．0.【解析】试题分析： 根据二次根式运算法则计算即可..⎝考点：二次根式计算.；（2）10.22．（1）【解析】试题分析：(1)把括号内的项进行组合，利用平方差公式进行计算即可得到答案；（2）把二次根式化简后，合并同类二次根式，再进行计算即可求出答案．试题解析：（1）)2(-++-5)(33522=-5=-+55=（2）)54(5-202+3245=10==考点: 二次根式的混合运算.23．（1）18-（2）33.【解析】试题分析：（1）根据二次根式化简计算即可;（2）应用平方差公式化简即可.试题解析：（1）(=-.18（2）(((22=-=-=.451233考点：二次根式化简.24．（1）9；（2）-【解析】试题分析：（1）先去分母，再把各二次根式化为最简二次根式，进行计算；（2）直接利用分配律去括号，再根据二次根式乘法法则计算即可． 试题解析：（1）原式92=； （2）原式==-．考点：二次根式的混合运算；25．. 【解析】试题分析：二次根式的加减，首先要把各项化为最简二次根式，是同类二次根式的才能合并，不是同类二次根式的不合并；二次根式的乘除法公式)0,0m n ≥≥)0,0m n ≥>，需要说明的是公式从左到右是计算，从右到左是二次根式的化简，并且二次根式的计算要对结果有要求，能开方的要开方，根式中不含分母，分母中不含根式.试题解析：解: 原式=18-1＋3－. 考点：二次根式的计算.26．6-【解析】试题分析：根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可．试题解析：22431233266233623662)?()()考点：二次根式的混合运算．27．（1）2103.（2）4. 【解析】试题分析：掌握二次根式的运算性质是解题的关键.一般地，二次根式的乘法：ab b a =•），（00≥≥b a ；二次根式的除法：b a ba =），（00b a ≥；二次根式的加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.计算时，先算乘除法，能化简的根式要先进行化简再计算，最后计算加减法，即合并同类项即可.试题解析：解：（1）原式=2514334⨯⨯ 1024334⨯⨯= =2103 （2）原式8523+--=4=考点：1、二次根式的化简；2、实数的运算.28．-．【解析】试题分析： 本题涉及零指数幂、二次根式的化简、分母有理化、绝对值化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．试题解析：原式=11-+=-考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．分母有理化．29．2+.【解析】试题分析：根据运算顺序化各根式为最简二次根式后合并即可.试题解析：原式1511322=⋅=+=+=+. 考点：二次根式运算.30．2.【解析】试题分析：针对有理数的乘方，二次根式化简，零指数幂，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果. 试题解析：原式12=-.考点：1.实数的运算；2.有理数的乘方；3.二次根式化简；4.零指数幂；5.负整数指数幂.31．32-22.【解析】 试题分析：二次根式的乘法法则：)0,0(≥≥=⨯b a ab b a ，二次根式除法法则：)0,0( b a ba b a ≥=÷，二次根式的乘除计算完后要化为最简二次根式，然后进行加减运算，二次根式加减的实质是合并同类二次根式. 试题解析：32-2234-223248-32426=+=÷+⨯.考点：二次根式的混合运算.32．（1）0；（2）【解析】试题分析：（1）原式=152310-++-=；（2）原式==．考点：1．实数的运算；2．二次根式的加减法．33．（1）1；（2）7-【解析】试题分析：（1）解：原式=5－7+3=1；（2）解：原式14(2720)--7- 考点：二次根式的混合运算．34．①、24；②、a 31 【解析】试题分析：根据二次根式的混合运算的法则结合二次根式的性质依次计算即可. 试题解析：①、242222245.081232=+-=+-； ②、=⨯÷32212332a a a a a a a a 3146132232131122=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯. 考点：实数的运算35．（1）-3）6；（4）6-【解析】试题分析：本题主要考查根式的根式的混合运算和0次幂运算.根据运算法则先算乘除法，是分式应该先将分式转化为整式，再按运算法则计算。

二次根式分母有理化综合训练分母有理化： 在进行二次根式的运算时，如遇到132+这样的式子，还需要进一步的化简： ()()()1313)13213)1321313)13213222-=--=--=-+-=+（（（，这种化去分母中根号的运算叫分母有理化.笔记：分母有理化的方法把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含_____________.1、按要求填空： （1）把21分母有理化,分子分母应同时乘以_______,得到________;（2）把531+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; （3）把1541+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; （4）把2371+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________;注意：()()b a b a b a -=-+2、分母中含有根号的二次根式分母有理化：（1）121 （2）231 （3）541（4）52（5） 812（6）3273、较为复杂的分母有理化练习：（1）321+ （2）23321- （3）32347++（4）3211-+ （5）ab ab b a - （6）b a b a --4、计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．7、观察以下各式：343412323112121-=+-=+-=+，，利用以上规律计算：()12019201820191341231121+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++ 7、阅读下面问题：12)12)(12()121211-=-+-⨯=+（2323)(23(23231-=-+-=+）252)52)(5(25251-=-+-=+试求：（1）n n ++11（n 为正整数）的值.（2）利用上面所揭示的规律计算：201620151201520141431321211++++++++++8、阅读下面问题： 12)12)(12()12(1121-=-+-⨯=+；;23)23)(23(23231-=-+-=+34)34)(34(34341-=-+-=+.……试求：（1）671+的值；（2）17231+的值；（3）n n ++11（n 为正整数）的值.。

填空题1. 使式子4x -有意义的条件是 。

【答案】x ≥4【分析】二次根号内的数必须大于等于零，所以x-4≥0，解得x ≥42. 当__________时，212x x ++-有意义。

【答案】-2≤x ≤21【分析】x+2≥0，1-2x ≥0解得x ≥－2，x ≤21 3. 若11m m -++有意义，则m 的取值范围是 。

【答案】m ≤0且m ≠﹣1【分析】﹣m ≥0解得m ≤0，因为分母不能为零，所以m ＋1≠0解得m ≠﹣14. 当__________x 时，()21x -是二次根式。

【答案】x 为任意实数【分析】﹙1－x ﹚2是恒大于等于0的，不论x 的取值，都恒大于等于0，所以x 为任意实数5. 在实数范围内分解因式：429__________,222__________x x x -=-+=。

【答案】﹙x 2＋3﹚﹙x ＋3﹚﹙x －3﹚，﹙x －2﹚2【分析】运用两次平方差公式：x 4－9＝﹙x 2＋3﹚﹙x 2－3﹚＝﹙x 2＋3﹚﹙x ＋3﹚﹙x－3﹚，运用完全平方差公式：x 2－22x ＋2＝﹙x －2﹚26. 若242x x =，则x 的取值范围是 。

【答案】x ≥0【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2x ≥0，解得x ≥07. 已知()222x x -=-，则x 的取值范围是 。

【答案】x ≤2【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2－x ≥0，解得x ≤28. 化简：()2211x x x -+的结果是 。

【答案】1－x【分析】122+-x x ＝2)1(-x ，因为()21-x ≥0，x ＜1所以结果为1－x9. 当15x ≤时，()215_____________x x -+-=。

【答案】4【分析】因为x ≥1所以()21-x ＝1-x ，因为x ＜5所以x －5的绝对值为5－x ，x －1＋5－x ＝410. 把1a a-的根号外的因式移到根号内等于 。

二次根式分母有理化及应用一、分母有理化1. 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2. 有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式a=ba-与ba-等分别互为有理化因式；②两项二次根式：利用平方差公式来确定，如：a+与a-，，。

3. 分母有理化的方法与步骤二、两种特殊有理化方法1. 分解约简法：可以利用因式分解进行有理化。

6====；2. 配方约简法：利用完全平方公式配方，再和分母约分。

分母有理化：22222222++⨯===+总结：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

分母中含有中分子分母同乘以分母中含有例题1 )12013)(201220131341231121(+++++++++ =（ ）A. 2010B. 2011C. 2012D. 2013解析：此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算。

答案：解：)12013)(201220131341231121(+++++++++=)12013)(20122013342312(+-++-+-+-=2013－1 =2012。

故选C 。

点拨：考查二次根式的分母有理化。

主要利用了平方差公式，所以一般来说，二次根式的有理化因式是符合平方差公式特点的式子。

例题2 与212171-最接近的整数是（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8解析：将原式进行分母有理化，再进行估算。

答案：解：原式=832171⨯-22)8(83231+⨯-=2)83(1-=831-=83+=223+≈5.828。

与6最接近。

故选B 。

点拨：考查了无理数的估算，先利用完全平方公式将分母化简，再进行分母有理化是解题的关键。

有理化在方程中的应用示例 已知225x -－215x -＝2，则225x -+215x -的值为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 6解析：根据题意，225x -－215x -＝2，变形为225x -＝2+215x -，两边平方得x 2=1243，代入求值即可。

二次根式专项训练-最简有理数分母有理化二次根式专项训练 - 最简有理数分母有理化概述本文档旨在提供一个专项训练，帮助学生掌握最简有理数分母有理化的技巧。

最简有理数分母有理化是解决二次根式中分母中包含根号的问题，使其变为有理数的过程。

问题描述下面是一系列的问题，每个问题都涉及到最简有理数分母有理化。

请仔细阅读问题，并给出解答。

1. 分解下列各式中的因式：$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$。

2. 将分数$\frac{1}{\sqrt{2}}$进行分母有理化。

3. 将分数$\frac{3}{\sqrt{3}}$进行分母有理化。

4. 将分数$\frac{4}{\sqrt{5}}$进行分母有理化。

解答1. $\sqrt{2}$的因式分解为$\sqrt{2}$本身。

$\sqrt{3}$的因式分解为$\sqrt{3}$本身。

$\sqrt{5}$的因式分解为$\sqrt{5}$本身。

2. 分数$\frac{1}{\sqrt{2}}$的分母有理化过程如下：$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$3. 分数$\frac{3}{\sqrt{3}}$的分母有理化过程如下：$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$4. 分数$\frac{4}{\sqrt{5}}$的分母有理化过程如下：$\frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$小结最简有理数分母有理化是解决二次根式中分母中包含根号的问题的方法，将其转化为有理数，从而便于计算和简化。

初中数学二次根式的混合运算专项训练题4（附答案详解）1．计算（1（2）(1-+；（3）÷（40(12．计算（1）(2(2+（2（33-（4）11 201922 ()π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭3．计算：（1（2）2-．4．计算：（1）+1）（）（22-52-6．计算：（1）（2）2(17．计算：（1）1 201901 (1)1(3)3π-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭（2（3）（4)21+8．（1 （2）解方程组：215x y y x +=⎧⎨=-⎩9．计算（10(⎛÷- ⎝；（2（3-；（4）1-⎫÷；（531)(1+；（6）2；10．计算：（1（2（3）÷（4）2(1(1-+--．11 12．计算：（1）118863--⨯ （2）(5481263)3+-÷（3）2(21)(21)(32)+---13．计算：（1—6）×2+1214．计算（1）18322-+ （2）27506⨯÷（3）()()()23223322331+-+- （4）()238127232+---+- 15．计算：（1）223+(2)-；（2）33791627184-+--； （3）|3﹣2|﹣|﹣2+1|+|1﹣22|．16．计算：（1）61266-+； （2）22(5)(2)81-+--；（3）118(1)326⨯--； （4）2(32)(32)(12)+-++．17．计算（1）32527-（2）()3335+- 18．计算：2÷×． 1932331+一样的式子，这3353333=⨯2236333⨯==⨯，(()()23131313131-==-++-以上这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：（1）化简：53+； （2）若a 是2的小数部分，求3a 的值； （3）矩形的面积为35+1，一边长为5﹣2，求它的周长．20．计算： （1）2(2)|13|+-（2）233627(2)-+-21．计算：（1）13×2． （2）(1243)3-÷．22．计算：（3+2）（3-2）+2(2)-23．计算：218+612-56+3 24．计算（1）3111658224-+ （2）(232)(232)-+++ 25．计算：(. 263912532-．27．计算（115455； （2）231)32)(32)+．28．计算：（1）()()23222a b b -⋅-；（2 29．计算：（1）2011)2-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭（221)- 30．计算（1）2(（2）2(3(1+++（3）()35223x x -<+（4）121132x x +++≥参考答案1．（1（2）7-；（3）2+（4【解析】【分析】（1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）利用平方差公式展开计算即可；（3）根据二次根式的除法运算法则计算即可；（4）根据二次根式的乘除法则、0指数幂的定义运算即可．【详解】（1==（2）(1-+221=-18=-7=-；（3）÷=2=（40(1÷121=÷== 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．2．（1）1-；（2；（3）1；（4）5+【解析】【分析】（1）利用平方差公式计算即可；（2）化成最简二次根式，利用二次根式的乘法运算法则计算，再合并即可；（3）先进行二次根式的除法运算，然后合并即可；（4）首先计算乘方、开方、绝对值、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【详解】+（1）(2(2222=-=-54=-；1（2=+=；2（33=3=-43=；1（4）11 201922 ()π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭212++=5=+【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．3．（1）（2）【解析】【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．【详解】解：（1）原式；（2）原式+3-（2-3）+1．【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．利用乘法公式计算是解决（2）小题的关键．4．（1；（2）6．【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则，去括号，同类二次根式合并化简即可；（2）根据二次根式的混合运算法则，先算除法和利用完全平方公式计算，进一步化简合并即可．【详解】（1）原式22+=；（2）原式3(63)=-396=+=故答案为：6．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算法则，完全平方公式的应用，注意计算结果化成最简． 5．﹣3【解析】【分析】根据二次根式的混合运算顺序，先对各项利用二次根式的乘除化简，再用加减法进行计算即可．【详解】((22222⎡⎤⎡--+-⨯⎢⎥⎢⎣⎦⎣5(243)(29=+---3=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，解决本题的关键是熟练运用公式．6．（1）（2）4．【解析】【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先根据二次根式的乘法法则和完全平方公式计算，然后化简后合并即可．【详解】解：（1）原式＝-=（2）原式＝(13)44-=+=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．7．（1；（2）-（3）3-；（4）4+.【解析】【分析】（1）分别根据−1的奇数次幂等于−1，绝对值的意义、任何非零数的零次幂等于1，负整数指数幂的运算法则计算即可；（2）根据二次根式的运算法则和立方根的性质计算即可；（3）根据平方差公式以及二次根式的性质计算即可；（4）根据二次根式的运算法则以及完全平方公式计算即可．【详解】解：（1）原式＝3111-+=-；（2）原式＝44-=-（3）原式＝7553--=-；（4）原式＝44+=+【点睛】本题主要考查了实数的运算以及二次根式的运算，熟记相关运算法则是解答本题的关键．8．（1）5；（2）23 xy=⎧⎨=-⎩【解析】【分析】（1）根据二次根式的除法法则运算；（2）利用代入消元法解方程组．【详解】解：（1235 =+=；（2）215x yy x+=⎧⎨=-⎩①②，把②代入①得：2x+x﹣5＝1，解得x＝2，把x＝2代入②得y＝2﹣5＝﹣3，所以方程组的解为23 xy=⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了二次根式的除法运算以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键．9．（1）-5；（2）7-；（3）；（4）3-；（5）11-；（6）18-+【解析】【分析】（1）先算括号里的，再算乘法，最后算减法；（2）先用二次根式的性质化简各项，再作加减法；（3）先去括号，再计算加减法；（4）利用乘法分配律计算即可；（5）先化简各项，再作加减法；（6）利用多项式的乘法法则计算即可.【详解】解：（1）原式=(1--=1⎛-⎝=41--=-5；（2）原式=16=241++=7-；（3）原式==（4）原式=()2=)2=3-（5）原式4612-+=11-；（6）原式=(62+=322+=)2232⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=18-+.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序，注意运算律和乘法公式的运用.10．（1）（2）（3（4）27-+ 【解析】【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除法运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的除法和减法运算；（4）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．【详解】解：（1-=（2）2÷（3）6÷6（4）2(1(1-+--=120(8---=120--=27-+【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．11．4.【解析】【分析】先进行二次根式化简和乘除运算，然后再进行加减即可.【详解】解：原式=4=＝4．【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．12．（1）0；（2）16；（3）4．【分析】（1）先同时化简二次根式及乘法计算，再合并同类二次根式；（2）先化简二次根式并合并，再计算除法即可；（3）同时运算平方差公式及完全平方公式计算，再合并同类项.【详解】=-=-=．解：（1）原式0=+-÷==；（2）原式16=---=-+=．（3）原式21(5154【点睛】此题考查二次根式的混合运算，正确化简二次根式，掌握正确的运算顺序是解题的关键.13【解析】【分析】原式各项化为最简二次根式后，先算乘法后算加减，合并可得到结果．【详解】解：原式【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（1）0；（2）15；（3）10-（4）6-【解析】【分析】（1）根据二次的加减运算法则即可；（2）根据二次根式的乘除法则即可；（3）根据二次根式的混合运算法则即可；（4）根据二次根式、立方根、绝对值的性质即可．解：（1）原式=0=，（2）原式3515==⨯=，（3）原式=((2231-+-=181231-+-=10-（4）原式=9322--+-=6【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．15．（1）5；（2）﹣1；（3．【解析】【分析】（1）根据开平方的运算进行计算即可得；（2）根据开平方和开立方的运算进行化简，然后进行加减计算即可；（3）根据绝对值概念可知，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，进行化简计算即可．【详解】（1＝3+2＝5，故答案为：5．（2＝4﹣3﹣12﹣32＝﹣1，故答案为：-1．（3）|﹣|+1|+|1﹣|﹣1【点睛】本题考查了实数的混合运算法则，开平方，开立方的化简求值，去绝对值符号的化简，注意化简时符号的问题．16．（1）1（2）-2；（3）（4）10+【解析】【分析】（1）先进行二次根式的除法运算，再进行加减运算即可；（2）先根据二次根式的性质进行化简，再进行加减运算即可；（3）先化简二次根式，再根据乘法分配律去括号，最后进行加减运算即可；（4）先利用乘法公式进行计算，然后进行二次根式的加减运算即可．【详解】==解：（1）原式11=+-=-；（2）原式5292=--=（3）原式6（4）原式921210=-++=+【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握基本运算法则是解题的关键．17．(1)2；(2)【解析】【分析】(1)根据算术平方根和立方根的定义化简各数，然后再进行减法运算即可； (2)先去括号，然后再进行加减运算即可. 【详解】 (1)32527- =5-3=2； (2)()3335+- =3335+- =435-.【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.18．24．【解析】【分析】直接利用二次根式乘除运算法则计算得出答案．【详解】解：原式=4÷×3=8×3=24． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．19．（153（2）2；（3）5【解析】【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；（2）根据题意，可以得出a 2﹣1，可以求得所求式子的值；（3）根据题意，可以求得矩形的另一边长，从而可以求得该矩形的周长．【详解】解：（12＝22（2）∵a∴a﹣1，∴3a）3+1）＝； （3）∵矩形的面积为2，∴=）＝， ∴该矩形的周长为：（2）×2＝ 答：它的周长是【点睛】本题考查估算无理数的大小、二次根式的混合运算、二次根式的应用，解题关键是明确它们各自的计算方法．20．（1）（2）5【解析】【分析】（1）首先计算乘方和求绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．（2）首先计算开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】（1）2|1+＝1＝（26﹣3+2＝5【点睛】此题主要考查了实数运算，正确把握相关定义是解题关键．21．（1）3；（2）-2．【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的乘法法则，进行化简，得出答案；（2）先化简二次根式，进而计算得出答案．【详解】（1；（2）原式＝（﹣＝﹣2．【点睛】本题主要考查二次根式的性质和运算法则，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．22．1【解析】【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式分别化简得出答案．【详解】解：原式=3-4+2=1．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．23．【解析】【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】解：原式-5【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题24．（1）8622-;（2）342+【解析】【分析】（1）首先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算，然后进行加减计算即可．【详解】（1）原式=8622-（2）原式22(22)(3)342=+-=+【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.25．7-2【解析】【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算即可．【详解】原式＝＝7﹣2． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．26．3-【解析】【分析】直接利用算术平方根以及绝对值的性质、立方根的性质分别化简得出答案．【详解】 3912532-33此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．27．（1）5；（2）． 【解析】【分析】（1）根据二次根式的运算法则计算即可得答案；（2）利用完全平方公式及平方差公式，根据二次根式的运算法则计算即可得答案．【详解】（1（2）21)2)+【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式及运算法则是解题关键． 28．（1）484a b - ；（2）43． 【解析】【分析】（1）先运用幂的乘方进行计算，再运用同底数幂的乘法进行计算即可解答；（2）运用平方根和立方根的运算法则进行计算即可解答．【详解】解：（1）()()()()23224264824==4a b b a b b a b -⋅-⋅--；（2423-+．本题考查了幂的乘方、平方根和立方根的运算法则，准确计算是解题的关键．29．（15；（2）12【解析】【分析】（1）根据二次根式，零次幂，负指数幂与立方根的运算法则进行计算；（2）根据二次根式的除法与完全平方公式展开计算．【详解】（1）2011)2-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭141⨯-5（221)-1(101)--1101-+=12【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握二次根式，零次幂，负指数幂与立方根的运算是解题的关键．30．（1）-（2）10+（3）3x >-；（4）5x ≥-【解析】【分析】（1）先化简二次根式，然后合并同类项，即可得到答案.（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后合并同类项即可；（3）先去括号，然后移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；（4）先去分母，去括号，然后移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；解：（1）2(-=22--=-；（2）2(3(1+++=9212-++=10+（3）()35223x x -<+，∴3546x x -<+，∴39x -<，∴3x >-；（4）121132x x +++≥， ∴2(12)63(1)x x ++≥+，∴24633x x ++≥+，∴5x ≥-.【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算.。