八年级数学下册 专题突破讲练 二次根式分母有理化及应用试题

二次根式专题题型一：二次根式的概念【例题1】当为实数时，下列各式，，，属于二次根式的有________个.【练一练】1. 下列式子中二次根式的个数有 （ ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（x ＞1）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2. 下列各式①；②；③；④；⑤，其中二次根式的个数有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型二：二次根式的意义（取值范围）【例题2】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1） （2）y=－；【练一练】 1. 若使二次根式有意义，则x 的取值范围是 ；2. 使式子x211-有意义的x 的取值范围为______________________； 3. 代数式x -9有意义时，实数x 的取值范围是__________________；4. 函数xx y 2+=的自变量x 的取值范围是_____________________； 5. 函数21-+=x x y 中，自变量x 的取值范围是___________________； 6. 若式子12112+-+-x x 在实数范围内有意义，则x 满足的条件是______________________.x ()2223,1,,,,x x x x x --y =2+x x 23-题型三：二次根式的性质（)0()(22≥==a a a a a ，） 【例题2】 1. 计算下列各式：(1)（3）（4）2. 已知a ，b ，c 在数轴上如图所示，化简：．3. 已知a 、b 都是实数，且b ，化简•＋1的结果是多少？【练一练】 1. =________. 若，则______.若=0，则=__________.2.若，则____________；若，则______________.3.已知，求的值为____________.4.若，则化简的结果是__________.5.已知c b a ,,为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= ．2-2)252(-2)2(2a a ---22x x -+-2(1)1x x--6. 已知实数x ，y 满足，求代数式的值.7.实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a+c|+﹣|﹣2b|．8.已知a,b,c 在数轴上的位置如右图所示，化简：题型四：二次根式的乘除；；；【例题3】(1) ×(2)× (3) (4)(5) （5）． （6）b ba b a x xb a -÷+⋅-54336222222013()x y +【练一练】（1） 21521)74181(2133÷-⨯ (2)·(-)÷(m ＞0，n ＞0)(3)-3÷()×(a ＞0). （4）243)2()()(a a a -÷-⋅-题型四：最简二次根式【例题4】1. 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).2. 已知0<<,a b3. 的整数部分是a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【练一练】 1. 化简：（1）= ．（2）111a a +=_________,（3）2411a a a+=___________.2.=_______________.3. 若9,4312a b ab a b ---和求的值.4. 2的整数部分为a ，小数部分为,b 求2222444a ba ab b -++的值.5. 若m m m m -⋅+=-+213)2)(13(成立，化简216942-++++-m m m m .题型五：同类二次根式【例题5】(1)如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（）A.-1B.0C.1D.2(2)如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是（）A.a=2，b=1B.a=1，b=2C. a=1，b=-1D. a=1，b=1(3)如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是（）A.a＝2，b＝1B.a＝1，b＝2C. a＝1，b＝-1D. a＝1，b＝1(4)若最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．【练一练】1.下列二次根式，不能与合并的是（）A． B ．C ． D.2.下列各组二次根式中是同类二次根式的是（）A．B． C． D．3. 与不是同类二次根式的是（）A. B. C. D.4．化简基础训练：__________；__________；__________；__________；__________；__________；__________；__________；5. 当_________.7.若最简二次根式与是同类二次根式，则.6无法合并，这种说法是__________的（填“正确”或“错误”）.113a=题型六：二次根式的混合运算【例题6】 1. 计算：(1)(2)2.已知x y ==求22x xy y -+的值.3. 计算：已知2310,x x -+=.【练一练】 1.(1)如果+=0，那么= (2)=_________. 2. 当_________. 3. 计算(1) (2)﹣a2+3a ﹣．)753)(753(-++-101100103103）（）（-+a =4. 已知x=，y=，求的值．5.若x，y为实数，且y=++．求﹣的值．。

人教版八年级数学下册第十六章-二次根式专项攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1x的取值范围是（）A．5x≥B．5x<-C．5x≥-x>-D．52、实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简|a﹣b|）A．a B．﹣a C．2b D．2b﹣a3、实数a，b||+的结果为（）a bA．2a－b B．－3b C．b－2a D．3b4、下列二次根式中，最简二次根式是（）A B C D5、若01x <<，则2x ，x 1x ，这四个数中（ ）A ．1x 最大，2x 最小 B ．x 最大，1x 最小C ．2xD ．x 最大，2x 最小6、下列各式是最简二次根式的是（ ）A B C D7、下列计算正确的是（ ）．A B 4=CD8、实数a ，b a b -=（ ）A ．2a -bB ．bC ．-bD ．2a +b9、下列计算正确的是（ ）A 2=B 2=C D ．)112=10 ）A B C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1=x的取值范围是_______．2x的取值范围是___________．3、计算：2(-=______．4___________．5．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b√2=（m+n√2）2＝m2+2n2+2mn√2（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b√2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：【问题解决】（1）若a+b√5=（m+n√5）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝，b＝．（均用含m、n的式子表示）（2）若x+4√3=（m+n√3）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．【拓展延伸】（3）化简√5+2√6=．2、计算：√18−(π+2021)0+(12)−1．3、计算：（1）(√5+√3)(√5−√3)+2；（2）√24×√13−3√2÷√63．4、计算：−√3×(√6+3√3)．5、计算：（1）√27+(−13)2−|2−√3|；（2）√2−√3+|√2−√3|−√−83+（3.14﹣π）0； （3）解方程组{2π−π=1−3π+2π=3； （4）解不等式组{5π−3＜π+3π+12≤2π−1 ．---------参考答案-----------一、单选题1、D【解析】【分析】 根据二次根式被开方数是非负数列出不等式求解即可．【详解】50x +≥，解得，5x ≥-；故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是明确二次根式被开方数大于或等于0．2、A【解析】【分析】根据数轴可知0b a <<，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：由数轴可知：0b a <<，∴0a b ->，∴原式＝()a b b a ---=，故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的化简，解题的关键使根据数轴得出0b a <<，属于基础题型．3、B【解析】【分析】根据数轴上点的坐标特点，判断出可知b ＜a ＜0，且|b |＞|a|，所以a -2b ＞0，a +b ＜0，再把二次根式化简即可．【详解】解：根据数轴可知b ＜a ＜0，且|b |＞|a |，所以a -2b ＞0，a +b ＜0，||a b +a b +（a +b ）=a -2b -a -b=-3b ．故选：B ．a ≥0=a ；当a ＜0a ，解题关键是先判断所求的代数式的正负性．4、B【解析】【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：ABCD故选：B ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．5、A【解析】【分析】由01x <<，可知10x -<，01<<，先利用作差法求得()210x x x x -=->即2x x >，同理求得x <再由01x <<，01<<，得到01<<10x =<，由此即可得到答案．解：∵01x <<，∴10x -<，01<，∴()210x x x x -=->10<，∴2x x >，)10x =<，∴x <∵01x <<，01<<，∴01<<，10x =<，∴21x x x <<， 故选A ．【点睛】本题主要考查了实数比较大小，二次根式的运算，解题的关键在于能够利用作差法进行求解．6、D【解析】【分析】最简二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此依次分析即可．【详解】解：A 、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；C、被开方数含有开方开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；D、是最简二次根式，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式．7、D【解析】【分析】根据二次根式运算法则逐项判断即可．【详解】解：2，不符合题意；=故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则进行准确计算．8、C【解析】【分析】首先根据数轴上a 、b 的位置，判断出a b -、a 的符号，然后再进行化简．【详解】解：由图知：0a b <<；0a b -<，0a <；()()a b a a b a a b b ⎡⎤-=----=-+-=-⎣⎦，故选：C ．【点睛】本题考查了数轴，绝对值，二次根式的性质的应用，能正确去绝对值符号及化简二次根式是解题关键．9、D【解析】【分析】根据二次根式的四则运算法则依次计算即可判断．【详解】解：A 2=BCD 、)21112=-=，选项正确；故选：D ．【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．10、C【解析】【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断0a<，再根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．二、填空题1、34x≤<【分析】3040xx-≥⎧⎨-⎩＞，再解不等式组可得答案. 【详解】解：=3040xx-≥⎧∴⎨-⎩＞解30x-≥可得3,x≥解40x-＞可得4,x＜34,x∴≤＜∴ x的取值范围是3 4.≤＜x故答案为：34x≤＜【点睛】)a b≥＞”是解题的关键.0,02、2x≥【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】∴20x-≥，∴2x≥；故答案为2x≥．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．3、12【分析】根据二次根式的性质计算即可求解．【详解】解：222((2)4312-=-⨯=⨯=，故答案为：12．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．4、2.828【分析】=【详解】=≈⨯=．2 1.414 2.828故答案为：2.828【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．5、【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【详解】=故填【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并是解决本题的关键．三、解答题1、（1）m 2+5n 2，2mn ；（2）当m =1，n =2时，x=13；当m =2，n =1时，x =7；（3）√2+√3．【解析】【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m 、n 表示出a 、b ；（2）利用（1）中结论得到4＝2mn ，利用x 、m 、n 均为正整数得到{π=1π=2 或{π=2π=1，然后利用x ＝m 2+3n 2计算对应x 的值；（3）设√5+2√6=m +n √6，两边平方5+2√6=(π+π√6)2，可得{π2+6π2=5ππ=1消去n 得π4−5π2+6=0，可求m =√2或m=√3即可． 【详解】解：（1）设a +b √5＝（m +n √5）2＝m 2+5n 2+2mn √5（其中a 、b 、m 、n 均为整数）， 则有a ＝m 2+5n 2，b ＝2mn ；故答案为m 2+5n 2，2mn ；（2）∵π+4√3=(π+π√3)2=π2+3π2+2ππ√3∴4＝2mn ，∴mn ＝2，∵x 、m 、n 均为正整数，∴{π=1π=2 或{π=2π=1， 当m ＝1，n ＝2时，x ＝m 2+3n 2＝1+3×4＝13；当m ＝2，n ＝1时，x ＝m 2+3n 2＝4+3×1＝7；即x 的值为为13或7；（3）设√5+2√6=m +n √6，∴5+2√6=(π+π√6)2，∴{π2+6π2=52ππ=2， ∴π=1π，π2+6(1π)2=5，∴π4−5π2+6=0，∴（m 2-2）（m 2-3）=0，∴m =√2,m =√3，∴π=√22，π=√33． ∴{π=√2π=√3 或{π=√3π=√2∴√5+2√6=√2+√22√6=√2+√3，√5+2√6=√3+√33×√6=√3+√2． 故答案为√2+√3．【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．一元高次方程，二元方程组，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．2、3√2+1【解析】【分析】根据二次根式的化简、零指数幂的计算和负指数幂的计算得出结果．【详解】原式=3√2−1+2=3√2+1．【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是掌握各类运算法则．3、（1）4；（2）2√2−3√3【解析】【分析】（1）先计算乘法，然后计算加法，即可得到答案；（2）先计算乘法和除法，然后计算减法，即可得到答案．【详解】解：（1）原式＝5－3＋2＝4；（2）原式＝√24×13−3√2×√62＝√8−3√3＝2√2−3√3；【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则正确的进行计算．4、−3√2−9【解析】【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：原式=−√3×√6+(−√3)×3√3=−√3×6−3√3×3=−3√2−9．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握该知识点是解题关键．5、（1）4√3−189；（2）3−2√2；（3）{π=5π=9；（4）1≤π<32 【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质化简，有理数的乘方，绝对值的计算法则进行求解即可；（2）根据分母有理数，立方根，绝对值，零指数幂的计算法则求解即可；（3）利用加减消元法解方程即可；（4）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．【详解】解：（1）√27+(−13)2−|2−√3| =3√3+19−(2−√3) =3√3+19−2+√3 =4√3−189；（2）√2−√3+|√2−√3|−√−83+(3.14−π)0 √2+√3(√2−√3)(√2+√3)+√3−√2+2+1=√2+√32−3+√3−√2+3=−√2−√3+√3−√2+3=3−2√2；（3）{2π−π=1①−3π+2π=3②把①×2得：4π−2π=2③，用③+②得π=5，把π=5代入①得10−π=1，解得π=9，∴方程组的解为：{π=5π=9； （4）{5π−3<π+3①π+12≤2π−1② 解不等式①得：π<32，解不等式②得：π≥1，∴不等式组的解集为：1≤π<32．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，实数的运算，分母有理化等等，熟知相关计算法则是解题的关键．。

专题16.7 二次根式的加减（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.特别说明：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)特别说明：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.特别说明：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.特别说明：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、二次根式➽➼概念➽➼同类二次根式✭✭分母有理化1．判断下列二次根式中哪些是同类二次根式：举一反三：【变式1a的值．【点拨】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义，即“被开方数相同的几个最简二次根式是同类二次根式”正确解答的前提．【变式2】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)(2)2．【阅读材料】把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．．=【理解应用】(1) 化简： ∵∵ (2)2020++ 2020++【点拨】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键．举一反三：【变式1)3x x ≤【变式2【点拨】本题考查根式的运算，解题的关键是熟练掌握根式的运算及根式分母有理化．类型二、二次根式➽➼二次根式的加减运算-+-+．3．计算：38|32|12举一反三：【变式1】计算：6-【变式2】计算：(1)(2) )011+类型三、二次根式➽➼二次根式的混合运算4．计算下列各式．(1)1)举一反三：．【变式1|1【分析】先运用二次根式乘法法则计算，并化简二次根式，去绝对值符号，最后合并同类二次根式即可．【点拨】本题考查二次根式的混合运算，化简绝对值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式2】计算：(1)1 (2))21+．类型四、二次根式➽➼二次根式的化简求值5．解答下列各题(1) 已知2x =，2y =．求22x xy y ++的值．(2) 若2y =，求y x 的平方根．【答案】(1) 19; (2) 3±.【分析】（1）分别求出22,,x y xy ，再代入到代数式求值即可；举一反三：【变式1】已知x =y 22205520x xy y ＋＋的值．【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键．【变式2】已知3x =+3y =-(1) x y +=______；x y -=______；xy =______．(2) 根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算式子223x xy y x y -+--的值．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值问题，正确对所求式子变形是解本题的关键．类型五、二次根式➽➼应用6．阅读材料并回答问题肖博睿同学发现如下正确结论：材料一：若0A B ->，则A B >；若0A B -=，则A B =；若0A B -<，则A B <；材料二：完全平方公式：（1）()2222a ab b a b ++=+；（2）()2222a ab b a b -+=-．(1)(2) 2912x x ++___________()2______2=+；(3) 试比较142x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭与()2y x y -的大小（写出相应的解答过程）． ）解：又32>(322-）解：根据题意，）解：4又()22x y -142x x y ⎛- ⎝【点拨】本题考查利用作差法解代数式比较大小，整式混合运算、合并同类项、完全平方公式因式分解、平方式的非负性等知识，读懂材料，掌握作差法比较代数式大小的方法是解决问题的关键．举一反三：【变式1】设一个三角形的三边分别为a ，b ，c ，p =12（a +b +c ），则有下列面积公式：S S (1) 一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；(2)任选以上一个公式求这个三角形的面积．解题的关键．【变式2】某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为m，宽为1)m．(1)长方形ABCD的周长是多少？(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为2元的地砖，5/m要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？答：购买地砖需要花费660元．【点拨】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．。

初二数学分母有理化练习题除法中出现的分数的分母有理化是数学中一个重要的概念。

在初二数学学习中，理解和掌握分母有理化的方法和技巧对学生来说非常重要。

本文将提供一些初二数学分母有理化练习题，以帮助学生巩固知识和提高解题能力。

1. 分母有理化练习题1）已知一个分数的分母是√3 + √2，试将该分数的分母有理化。

解析：根据分母有理化的原理，我们将分母的有理化公式乘以该分数的共轭形式即可。

即：(√3 - √2) * (√3 + √2) = 3 - 2 = 1所以，该分数的分母有理化后为1。

2）将分数1/ (√2 - √5) 的分母有理化。

解析：同样地，根据公式乘以共轭形式。

(√2 + √5) * (√2 - √5) = 2 - 5*(-1) = 2 + 5 = 7所以，该分数的分母有理化后为7。

3）分母有理化练习题：a) 将分数1/ (√3 - √7) 的分母有理化。

b) 将分数1/ (√5 + √6) 的分母有理化。

c) 将分数1/ (√6 - 2√2) 的分母有理化。

2. 总结与归纳通过以上练习题的训练，我们可以总结出分母有理化的方法和技巧：a) 分母有理化的关键是通过乘以共轭形式，消去分母中的根式。

b) 共轭形式是指将分母中的加号变为减号，或将减号变为加号。

c) 其中，乘以共轭形式之后，分子将会出现两个数的积，且分母会化为一个有理数。

3. 实际应用分母有理化不仅仅是数学理论知识，它在实际应用中也有很多用途。

例如，在物理学中，分母有理化可以帮助我们计算电阻、电容等相关问题，从而解决实际的电路问题。

4. 总结本文提供了初二数学分母有理化的练习题，通过这些练习题的训练，可以帮助学生巩固分母有理化的方法和技巧。

同时，分母有理化也是一个重要的数学概念，在物理学等实际应用中具有很大的意义。

希望本文对初二数学学习有所帮助，并能够提高学生的解题能力和数学思维能力。

2020-2021学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（人教版）易错03二次根式分母有理化【典型例题】1．（2020·广东佛山市·平洲一中八年级月考）阅读下列运算过程，并完成各小题：；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：；===模仿上例完成下列各小题：（1）______；（2）_______（31n++（为正整数）．【专题训练】一、解答题1．（2021·全国八年级）已知a＝，b＝．（1）求a2﹣b2的值；（2）求a2﹣ab+b2．2．（2020·忠县乌杨初级中学校八年级月考）阅读下面的问题：；1⨯==试求：(1)； (2)3．（2020·重庆涪陵区·八年级期末）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，团结一致、优势互补、取长补短、威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（+3）（﹣3）＝﹣4，像（+3）和（﹣3）这样的两个二次根式，它们的积不含根号，我们就称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如（）与（）也互为有理化因式．于是，下面二次根式除法可以这样运算：＝＝7+4．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程叫分母有理化．解决问题：（1）2+3的一个有理化因式是，分母有理化结果是；（2）计算：+．4．（2020·四川省宜宾市第二中学校九年级月考）阅读下列简化过程：1 ===；；；……解答下列问题：（1）请用n（n为正整数）表示化简过程规律________；（2（3）设，，，比较a，b，c的大小关系．5．（2020·山东济南市·八年级期中）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．例如：化简．解：＝＝﹣．[理解应用]（1）化简：；（2）若a是的小数部分，化简；（3）化简：++…+．6．（2020·河南洛阳市·九年级月考）阅读下面的材料，并解决问题．﹣1；；…（1）观察上式并填空：＝．（2）观察上述规律并猜想：当n是正整数时，．（用含n的式子表示，不用说明理由）（3）请利用（2）的结论计算：①＝；②．7．（2021·全国八年级）阅读下列解题过程：＝＝；＝＝；＝＝＝2﹣；…则：（1）＝；＝；（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子＝；（3）利用上面的规律：比较﹣与﹣的大小．8．（2021·全国八年级）把二次根式的分母中的根号去掉，叫做二次根式的分母有理化．例如：===-（1）请仿照例题将分母有理化；（2）直接写出________．（3）化简……________（写出解答过程）．9．（2021·()22111====-，====-（1）请运用上面的运算方法计算：；（2）利用上面的规律，比较与的大小．10．（2021·3===-述解题过程中，与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．（1）的有理化因式是________；的有理化因式是________．（2）将下列式子进行分母有理化：①________；②________．（32013++．11．（2020·重庆市第一一〇中学校八年级期中）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：111====，则，，（1）请直接写出下列式子的值：；．（21100+++的值；（31101 ++12．（2021·湖北十堰市·八年级期末）（1）观察探究：①；②；③．（2）尝试练习：（仿照上面化简过程，写出①的化简过程，直接写出②化简结果）①，②；（3）拓展应用：①化简：；②计算的值．。

第04讲二次根式的加减与分母有理化【知识梳理】一、二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．二、分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．【考点剖析】题型一：二次根式的加减一．填空题（共7小题）1．（2022秋•浦东新区期中）计算：＝．2．（2022秋•普陀区校级期中）计算：﹣＝．3．（2022秋•虹口区校级期中）化简：+（5≤x≤8）＝．4．（2022秋•嘉定区月考）计算：﹣＝．5．（2022秋•宝山区期中）计算：＝．6．（2022秋•虹口区校级月考）化简：+（1＜x＜2）＝．7．（2022秋•虹口区校级月考）计算：＝．二．解答题（共17小题）8．（2022秋•静安区校级期中）已知y＝﹣，化简+﹣．9．（2022秋•嘉定区期中）计算：+﹣m．10．（2022秋•宝山区期中）计算：（6﹣）﹣（+）．11．（2022秋•宝山区期中）计算：﹣（﹣）．12．（2022秋•浦东新区期中）计算：．13．（2022秋•嘉定区校级月考）计算：+﹣2x2．14．（2022秋•虹口区校级月考）计算：﹣．15．（2022秋•嘉定区月考）计算：．16．（2022秋•闵行区校级期中）计算：．17．（2022秋•徐汇区校级期中）计算：（x＞0 ）．18．（2022秋•徐汇区校级期末）计算：2+﹣12．19．（2022秋•徐汇区期末）（+2）﹣（﹣）20．（2022秋•徐汇区校级期中）计算：6﹣﹣（4﹣）．21．（2022秋•黄浦区月考）计算：．22．（2022秋•浦东新区校级月考）计算：．23．（2022秋•宝山区期中）计算：4mn﹣（﹣m）（n＞0）．24．（2022秋•宝山区校级期中）计算：+3﹣+3．题型二：分母有理化一．选择题（共2小题）1．（2022秋•奉贤区校级期中）的一个有理化因式是（）A．B．C．D．2．（2022秋•浦东新区校级月考）二次根式的一个有理化因式是（）A．B．+C．﹣D．2二．填空题（共10小题）3．（2022秋•徐汇区校级期中）的倒数是．4．（2022秋•徐汇区期末）计算：＝．5．（2022秋•长宁区校级期中）分母有理化：＝．6．（2022秋•虹口区校级期中）写出a+b的一个有理化因式：．7．（2022秋•嘉定区期中）若两个代数式M与N满足M•N＝﹣1，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是．8．（2022秋•普陀区期中）2+的有理化因式可以是．（只需填一个）9．（2022秋•虹口区校级月考）设x＝，y＝，当t为时，代数式20x2+62xy+20y2＝2022．10．（2022秋•奉贤区校级期中）不等式x＞2+2x的解集是．11．（2021秋•松江区期末）不等式的解集是．12．（2022秋•奉贤区期中）的有理化因式可以是．三．解答题（共1小题）13．（2022秋•宝山区校级期中）已知：x＝，y＝，求x2+xy+y2的平方根．【过关检测】一、单选题n a ++=（n 八年级校考期中）m二、填空题“”三、解答题。

八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习专题09 分母有理化一、单选题1A ．3BC ．D ．2．如果a =2b =，那么a 与b 的关系是（） A ．0a b +=B ．a b =C ．1a b=D ．a b <3．下列计算正确的是（）A =BC ．D=24．下列运算中，错误的是（）A =B2=C ．=D 3=-5．已知，a+b+ab 的值为（）A ．B ．C ．-5D ．36．下面计算中正确的是（ ）A =B ．（2=36 C 1= D ．7．下列各组中互为有理化因式的是（）A B ．2-2CD8( )A1. B1CD9时，甲、乙两位同学的解答如下：()x y-==()()()22x y-=--.22-===关于解答过程，下列说法正确的是（）.A．两人都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错10．下列运算中错误的是 ( )AB2C．＋D＝411A．2 B．C．12D．212===；小娟：7===．对于两位同学的解法，正确的判断是（）A．小燕、小娟的解法都正确B．小燕的解法正确，小娟的解法不正确C．小燕、小娟的解法都不正确D．小娟的解法正确，小燕的解法不正确13．若a、b，则a和b互为（）A．倒数B．相反数C．负倒数D．有理化因式14．已知a=1+则a与b的关系是( )A．互为相反数B．互为倒数C．相等D．互为负倒数15．下列计算正确的是（）．A=B．3=C．(21-=D1=16．下列式子中，与互为有理化因式的是（）A．B．C+D17A．B．2C．12D．218．若a、b，则a和b互为（）A．倒数B．相反数C．负倒数D．有理化因式19．某海防哨所O发现在它的西南方向A处有一艘船，向正东AC方向航行，当船行驶到距离A处400米的B处时，测得船位于海防哨所的南偏东30°方向，则BO的长为（）A．200B．400C．200D．40020．若x ，2y =，则x 与y 的关系是（） A ．x y >B ．x y =C ．x y <D ．1xy =21A B CD22．已知a =，b=，那么a 与b 的关系为( ) A ．互为相反数B ．互为倒数C ．相等D ．a 是b 的平方根23．计算（1-）﹣（1+ ）A ．12B C D ．224．下列说法中，正确的是（）AB ．方程23x x =的解是x =C ．方程2(3)16x -=的解为7=±xD ．若方程20ax bx a -+=有两个实数根，则这两实数根互为倒数25))1111==)))1112⎡⎤=+=⎣⎦)))1113⎡⎤=++=⎣⎦从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：)···的值为（）A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020260=，那么yx的值为（）A ．1B ．-1C ．5D ．5-27==5=，④2=-；其中运算正确的有（）． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个28．已知a =2b =a 与b 大小关系是（） A ．a b ≥B ．a b ≤C ．a b <D ．a b =29．已知，在ABC 中，D 是BC 边上一点，30,45ABC ADC ∠=∠=．若D 是BC 边的中点，则ACB ∠的度数为（）A ．95°B ．100°C ．105°D ．110°30．已知三个数2，4如果再添加一个数，使这四个数成比例，则添加的数是（）．A ．B ．2C ．D ．，2或31．下列运算正确的有（）个.①6-==7==2=④=⑤=5==A ．1B ．2C ．3D ．432．已知a =，b =，则a 与b 的大小关系是（）．A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．无法确定33．已知1a =，b =a 与b 的关系为（） A ．a b = B ．1ab = C ．=-a b D ．1ab =-34．若a =，2b =+a b 的值为（）A ．12B ．14CD 35．已知√3+√2<x <√5−√3，那么满足上述条件的整数x 的个数是（）. A ．4B ．5C ．6D ．736．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：7==+x =>，故0x >，由22332x==-=，解得x=，即=（）A．5+B．5+C．5D．5-37．若a＝3235++，b＝2+610-，则ab的值为（）A．12B．14C．321+D38．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2=a；（32；（4）（5）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题39．化简：=______．40=__________．41=______．42=_______．43=______．44=_______．45．已知函数()f x =，那么()5f =______．46的有理化因式是___________．47=_________．48．2的一个有理化因式是__________．49．实数2_____． 50．已知x =a 是x 整数部分，b 是x 的小数部分，则ba=______．51=______．52_____________．53．不等式(21x -<的解集是____________．54．关于x >+_________．55．不等式1x ≤的解集是__________56．已知11,x y ==，则22232x xy y ++的值是_____．57．已知函数y ＝1xx -，当x 时，y ＝_____． 58．已知a b ==，则223a ab b -+的值为__________．59＝__． 60．已知a，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____．61．已知x =，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______三、解答题 62．计算（12|--；（225|2-．6311()(34---6465．化简并求值：2256•32m m m m m m m -+⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，其中m =66(33)+；1016(3.5)2π-⎛⎫-- ⎪⎝⎭67．先化简，再求值：2321(2)236m m m m m -++-÷++，其中1m =. 68．计算：(1)(2)已知2x =，2y =+，求22x xy y ++的值. 69．观察下列等式：第一个式：1a ==第二个式：2a ==第三个式：3a ==按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第四个等式：a 4=___________=_________ ； （2）利用以上规律计算：a 1+a 2+a 3+…+a 11；（3）求+的值。

专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（原卷版）第一部分 典例精析+变式训练类型一 分母有理化技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。

典例1（2021秋•曲阳县期末）把√3a√12ab化去分母中的根号后得（ ） A ．4b B ．2√b C ．12√b D ．√b 2b变式训练1．（2022春•东莞市期中）化简：√8= ．2．（2021春•龙山县期末）把√12√2a化成最简二次根式，结果是 ． 技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母 典例2（2022春•乳山市期末）【材料阅读】把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化． 例如：化简√2+1．解：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1．上述化简的过程，就是进行分母有理化． 【问题解决】 （1）化简2−√3的结果为： ；（2）猜想：若n 是正整数，则√n+1+√n进行分母有理化的结果为： ；（3）若有理数a ，b 满足√2−1+√2+1=2√2−1，求a ，b 的值．变式训练1．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：2+√5= ．2．（2022秋•牡丹区期末）若3−√7的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2+（1+√7）ab ＝ ．技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简 典例3 化简：3332变式训练： 1.化简：2224(2)24x x x x x技巧4 分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。

典例4 （2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值√x+√y+√xy+y √x−√y，其中x ＝5，y =15．针对训练：化简：（1y （24323技巧5 裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。

24．观察下面式子的化简过程：√6√2+√3+√5=√6+3)−5√2+√3+√5=√2+√3)2√5)2√2+√3+√5=√2+√3−√5．化简√10√5+√13+√8，并将这一问题作尽可能的推广．变式训练： 12235(23)(35)类型二分子有理化典例6（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：√7−√6=(√7−√6)(√7+√6)√7+√6=1√7+√6．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较√7−√6和√6−√5的大小．可以先将它们分子有理化．如下：√7−√6=1√7+√6，√6−√5=1√6+√5．因为√7+√6＞√6+√5，所以√7−√6＜√6−√5．再例如：求y=√x+2−√x−2的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=√x+2−√x−2=4√x+2+√x−2．当x＝2时，分母√x+2+√x−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较3√2−4和2√3−√10的大小；（2）求y=√1+x−√x的最大值．针对训练1．（青羊区校级期中）已知a=√2−1，b＝3﹣2√2，c=√3−√2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b2．（2020秋•武侯区校级月考）计算：（1）比较√15−√14和√14−√13的大小；（2）求y=√x+1−√x−1+3的最大值．第二部分 专题提优训练1．（2022秋•绥化期末）化简√21√3的结果是 ． 2．（2021秋•阳城县期末）化简√8√20的结果是 ． 3．（2021秋•徐汇区校级期中）化简：√x−3−1= ． 4．（2021春•宁阳县期末）化简√12= ，√2−1= ．5．（2012秋•珙县校级月考）化简：2−√3= ．6．（2021春•江城区期末）化简√2√27的结果是 ． 7．（2022秋•宝山区校级期中）已知：x =√3+√2√3−√2，y =√3−√2√3+√2，求x 2+xy +y 2的平方根．8．（2022春•普陀区校级期末）计算：√5−√5−1．9．（2021秋•浦东新区校级月考）计算：√32+√3−1+√3．10．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法． 如：√2+1√2−1=√2+1)(√2+1)(√2−1)(√2+1)=3+2√2． 除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． 如：化简√2+√3−√2−√3．解：设x =√2+√3√2−√3，易知√2+√3＞√2−√3，故x ＞0．由于x 2＝（√2+√3−√2−√3）2＝2+√3+2−√3−2√(2+√3)(2−√3)=2． 解得x =√2，即√2+√3−√2−√3=√2 根据以上方法，化简：√23+2√2+√√−√√11．（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+√3）（2−√3）＝1，（√5+√2）（√5−√2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如√3=√3√3×√3=√33，√32−√3=√3)(2+√3)(2−√3)(2+√3)=7+4√3．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4+√7的有理化因式可以是，3√2分母有理化得．（2）计算：①1+√2+√2+√3+√3+√4+⋯+√1999+√2000．②已知：x=√3−1√3+1，y=√3+1√3−1，求x2+y2的值．12．（2022春•钢城区期末）阅读下列解题过程：√2+1=√2−1)(√2+1)×(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2．请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．①√7+√6=；②√n+√n−1=；（2）应用：求√2+1+√3+√2+√4+√3+√5+√4+⋯+√10+√9的值；（3）拓广：√3−1−√5−√3+√7−√5−√9−√7=．13．（2021春•广饶县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简√3+√2解：√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2材料二：化简√a +2√b 的方法：如果能找到两个实数m ，n ，使m 2+n 2＝a ，并且mn ＝b ，那么√a ±2√b =√m 2+n 2±2mn =√(m ±n)2=m ±n ． 例如：化简√3±2√2解：√3±2√2=√(√2)2+12+2√2=√(√2+1)2=√2+1 【理解应用】（1）填空：化简√5+√3√5−√3的结果等于 ．（2）计算： ①√7−2√10； ②√2+1+√3+√2+2+√3+⋯+√2020+√2019+√2021+√2020．14．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：√7−√6=√7−√6)(√7+√6)√7+√6=√7+√6．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较√7−√6和√6−√5的大小可以先将它们分子有理化如下：√7−√6=√7+√6，√6−√5=√6+√5． 因为√7+√6＞√6+√5，所以，√7−√6＜√6−√5． 再例如，求y =√x +2−√x −2的最大值、做法如下： 解：由x +2≥0，x ﹣2≥0可知x ≥2，而y =√x +2−√x −2=√x+2+√x−2．当x ＝2时，分母√x +2+√x −2有最小值2．所以y 的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较√15−√14和√14−√13的大小； （2）求y =√x +1−√x −1+3的最大值．。

二次根式专项训练-最简分数分母有理化简介本文档将提供关于二次根式最简分数分母有理化的专项训练。

了解如何将二次根式中的分数分母有理化是解决相关问题的关键。

分母有理化概述二次根式是形如√a的数，其中a为非负实数。

在二次根式中，如果分母包含二次根式，则称为分母含二次根式的二次根式分数。

有理化分母是将分母含二次根式的二次根式分数转化为分母只含有理数的形式。

这样做的目的是为了更方便地进行计算和简化。

最简分数分母有理化方法以下是最简分数分母有理化的方法步骤：1. 将二次根式分母中的含二次根式部分提取出来。

2. 将提取出来的含二次根式部分乘以该部分的共轭形式。

共轭形式是将二次根式中的加减号互换得到的。

3. 将乘积作为新的分母，并将整个二次根式分数乘以一个合适的因式，使得分母变为有理数。

4. 化简结果。

示例以下示例演示了如何最简分数分母有理化：例1：将分数$\frac{1}{\sqrt{2}}$的分母有理化。

解：1. 提取出来的含二次根式部分为$\sqrt{2}$。

2. 共轭形式为$-\sqrt{2}$。

3. 新的分母为$-\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = -2$。

将整个分数乘以$\frac{-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}$。

4. 最简化结果为$\frac{-\sqrt{2}}{-2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

例2：将分数$\frac{3}{\sqrt{3} - 2}$的分母有理化。

解：1. 提取出来的含二次根式部分为$\sqrt{3} - 2$。

2. 共轭形式为$\sqrt{3} + 2$。

3. 新的分母为$(\sqrt{3} - 2) \cdot (\sqrt{3} + 2) = 3 - 2\sqrt{3} +2\sqrt{3} - 4 = -1$。

将整个分数乘以$\frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} +2}$。

4. 最简化结果为$\frac{3(\sqrt{3} + 2)}{-1} = -3(\sqrt{3} + 2)$。