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22_AR谱估计的方法

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AR模型谱估计方法研究及其应用

AR模型谱估计方法研究及其应用

AR模型谱估计方法研究及其应用摘要数字信号处理(DSP)重要的应用领域之一，是建立在周期信号和随机信号基础上的功率谱估计。

在实际应用中往往不能获得具体信号的表达式,需要根据有限的数据样本来获得较好的谱估计效果，因而谱估计被广泛的应用于各种信号处理中[1]。

本论文研究了功率谱估计的几种常用的方法，包括经典谱估计和现代谱估计的各种方法，且对每种方法的估计质量做了数学推导，并给出仿真程序及仿真图。

经典法主要包括周期图法、自相关法，但这两种方法都存在缺陷，即认为观测数据之外的数据都为零，所以对经典法中的周期图法进行了加窗、平均等修正，因此提出了周期图法的改进方法；现代谱估计的方法分类比较多，AR模型法,MA 模型法和ARMA模型法是现代功率谱估计中最主要的参数模型，本论文着重讨论了AR模型参数法[2]。

同时论文将通过对经典谱估计和现代谱估计的实现方法及仿真图的比较，得出经典功率谱估计方法的方差性较差，分辨率较低，而现代谱估计的目标正是在于努力改善谱估计的分辨率，因此能得到较好的谱估计效果，为此应用更为广泛[3]。

关键字：数字信号处理，功率谱估计，周期图法，自相关法，AR模型法ABSTRACTDigital signal processing (DSP) important application of one of the field. Actually, we can’t get the expression of a specific signal, so we need to estimate the power spectral of a signal according to some sample data sequences.So spectrum estimation which is widely used in various signal processing.In this thesis, some common methods of Power Spectral Estimation, such as classical spectral estimation and modern spectral estimation, are studied. The quality of each estimation method is derived, simulation program and simulation figure is given. Classical methods of Power Spectral Estimation mainly include the Periodogram and the BT method. But both of them have a common drawback: the data sequences, beyond the area of the observed sequences, are all presumed to zero. So the Windows and the average method are introduced to improve the quality of the Periodogram. Therefore the improvement of The Periodogram estimation method is proposed. The classification of modern spectral estimation methods are more , AR，MA, and ARMA is the most important parameters of modern spectral estimation. This thesis will focus on discussion of AR model parameters method. At the same time , It can be seen from the comparison and realization of classical spectral estimation and modern spectral estimation, classical power spectrum estimation variance is poor, low resolution .The goal of modern spectral estimation is working to improve the resolution of spectral estimation, better results of the estimation of the power spectrum can be obtained, so it is applied more widely.Keywords: digital signal processing, Power Spectrum Estimation, The Periodogram, the BT methods，AR model目录摘要 (I)1 绪论 (1)1.1功率谱简介 (1)1.2经典谱估计 (2)1.3现代谱估计 (3)1.4功率谱估计应用及用途 (4)2 谱估计简介 (5)2.1随机信号简介 (5)2.2平稳随机信号 (7)2.3估计质量的评价标准 (10)3 现代谱估计 (12)3.1平稳随机信号的参数模型 (12)3.2 AR模型的正则方程与参数计算 (13)3.3 MA模型谱估计 (16)3.4 ARMA模型谱估计 (17)3.5 AR模型功率谱估计实验 (19)3.5.1、实验内容 (19)3.5.2、实验分析 (20)3.5.3、实验结果及分析 (20)3.5.4、实验思考 (24)3.5.5、实验源代码 (25)3.6 AR模型的应用 (30)3.7 小结 (36)4论文总结 (36)参考文献 (38)1 绪论1.1功率谱简介1.功率谱估计技术渊源流长，在过去的几十年获得了飞速的发展。

22 AR谱估计的方法

22 AR谱估计的方法
2 n
(4.5.1)
实际上, 采用由时间平均代替集合平均的最小平方准则, 即
(4.5.2)
式中 n 的求和范围暂时未指定, 取决于下面要讨论的算法.
4.5.1
自相关法——Levinson 递推法
(1) 估计准则
假设信号 x(n) 的数据区间为 0 ≤ n ≤ N − 1 , 前向预测误差滤波器 的冲激响应为 h pi = −a pi (i = 0,1,", p ) , 则预测误差为
图 4.5.2
1 a p1 " a p , p −1 a pp
1 a p1 " a p , p −1 a pp
协方差法计算预测误差 e(n)的原理
( 三个不同时刻的计算状态: 每个参数都对应一个实际的数据值 )
(3) AR 系数 a pk 的求解
使用复梯度法使预测误差功率 ρ 达到最小, 可得 ˆ p1 ⎤ ⎡ c xx (1,1) c xx (1,2) " c xx (1, p ) ⎤ ⎡ a ⎡ c xx (1,0) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ c (2,1) c (2,2) " c (2, p ) ⎥ a ⎢ ⎥ ˆ xx xx ⎢ xx ⎥ ⋅ ⎢ p 2 ⎥ = − ⎢ c xx (2,0) ⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ # ⎥ # % # ⎢ ⎥ ⎢ˆ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a pp ⎦ ⎥ ⎣c xx ( p,1) c xx ( p,2) " c xx ( p, p )⎦ ⎣ ⎣c xx ( p,0)⎦
ˆ (m) , 再用 Levinson 算法求模型参 a) 利用 x(n) 求 R xx (m) 的估计 R xx
数的估计值;
b) 利用最小二乘方准则, 直接由信号时间序列 x(n) 计算 AR 模型

AR谱估计的方法

AR谱估计的方法
(4.5.7)
利用矢量及矩阵求导公式:
由式(4.5.5)求导直接可得:
T ( XA Y ) X A Y
min ˆ a R 0 xx p1
此 式 即 为 Yule-Walker 方 程 .( 参见清华胡广书 p311 及p345).
或者写成
ˆ( ˆ( ˆ R m ) a R m k ) , m 1 , 2 , 3 , , p xx pk xx
pe
pb N 1 b p n p 2 N 1 p n 0 pk k 1 p
(4.5.14)
1 e ( n )1 x ( n ) a x ( n k ) N p N p
2
(4.5.15)
2 最小预测误差平均功率是模型输入的白噪声的方差, 即 p w .
x(N1 )


x (N p 1 ) x(n)




x (np 1 )

x( p)


x (1) x (0)


x(N2 ) x(n p)
结束计 算
x(n1) x(n p)
x(p1)
开始计 算
1 a a a a p 1 p , p 1a pp 1 p 1 p , p 1a pp
ˆ( ˆ( ˆ a R p 1 ) R 1 ) p 1 xx xx ˆ ˆ( ˆ a R p 2 ) R ( 2 ) p 2 xx xx ˆ ˆ ˆ a R ( 0 ) R ( p ) pp xx xx
计算原理如图4.5.2所示.
特点:
x(n) ( 0 n N 1 ) 为回避“加窗处理”而引入的频谱卷积效应, 即避免在数据段

AR模型谱估计方法研究及其应用

AR模型谱估计方法研究及其应用

的功率谱密度。
Kalman滤波器的优点是能够实时处理数据，并且能够自适应
03
地调整估计精度。
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通 过最小化预测值与实际值之间的残差平方和来 估计模型参数。
在谱估计中，最小二乘法可以用于估计信号的 功率谱密度。
最小二乘法的优点是简单易用，但是它的估计 精度较低，可能会出现偏差。
VS
AR模型可以提取信号中的特征信息 ，从而实现信号的有效分类和识别 ，在语音识别、图像识别等领域有 着广泛的应用前景。
AR模型在信号检测中的应用
利用AR模型对信号进行检测，可以快速准确地检测出信号的 存在和变化情况，及时发现信号中的异常情况。
AR模型可以有效地提取信号中的突变信息，从而实现信号的 有效检测，在雷达、声呐、无线通信等领域有着广泛的应用 。
AR模型的优势
与其他频谱估计方法相比，AR模型具 有多个优点。首先，它可以更加准确 地估计信号的频谱特性，特别是当信 号的噪声水平较高时。其次，它可以 更加灵活地适应不同的信号和系统特 性，从而适用于更广泛的领域。此外 ，AR模型还具有计算复杂度低、易于 实现等优点。
研究内容与方法
研究内容
本文主要研究了AR模型谱估计方法的关键技术，包括 模型的建立、参数估计、性能分析和优化等。在此基 础上，本文还探讨了AR模型在信号处理中的应用，以 及其未来发展趋势和应用前景。
AR模型的参数估计可以采用多种方法，如 最小二乘法、卡尔曼滤波器等。
AR模型的一个重要应用是谱估计， 它可以用于估计信号的频谱特性。
kalman滤波器
01
Kalman滤波器是一种递归滤波器，它通过使用状态空间方法 来估计动态系统的状态变量。

AR双谱估计的Matlab实现

AR双谱估计的Matlab实现

AR双谱估计的Matlab实现何莹【摘要】The fundamental rule of AR model bispectrum estimation is introduced. The realization of bispectrum estimation based on Matlab is researched. The source program is given out in the paper. Moreover an simulative experiment is given out to show that this method is efficient.%根据AK双谱估计的基本原理，对其Matlab实现方法进行研究，给出了AIK模型双谱估计的Madab实现．最后给出一个仿真测试实例，仿真结果表明了该方法的有效性．【期刊名称】《韶关学院学报》【年(卷),期】2012(033)010【总页数】4页(P40-43)【关键词】双谱;AR模型;Matlab【作者】何莹【作者单位】韶关学院物理与机电工程学院,广东韶关512005【正文语种】中文【中图分类】TN911双谱估计在通信、雷达、机械学、生物医学、电磁学、地球物理学、流体动力学、故障诊断等领域具有广泛的应用［1］.双谱提供了比功率谱更好的特性［2-3］，它可以检验信号偏离高斯分布的程度，能保留信号的相位信息，并能自动抑制加性高斯噪声的影响等，是分析非高斯信号、非因果、非最小相位系统的主要工具. Matlab是一种以矩阵运算为基础的交互式的可视化软件系统环境，集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，为科学研究、工程设计及众多学科领域提供了一种简捷、高效的编程工具.用MATLAB对信号进行双谱估计和分析，其实现方法非常方便、简单.1 双谱基本理论设{x(n)}为零均值、实平稳随机信号，其三阶累积量c3x(m1,m2)定义为：其双谱定义为三阶累积量的二维傅里叶变换，即有：其中，|ω1|≤π,|ω2|≤π,|ω1+ω2|≤π［1］.在实际应用中由于可供处理的观测信号一般都是具有有限长度的，因此无法精确应用式(2)求解随机过程的双谱，而只能对双谱进行估计.AR模型法在观测数据较短的情况下就可获得高分辨率的双谱估计，是双谱估计的常用方法之一.设零均值采样数据{x(n)}（n=1,2,…,M）由以下p阶AR模型表示：式中w(n)为零均值、具有有限的非零累积量γ3e的高阶白噪声.对（3）式求三阶自相关，可得如下的正则方程［4］：上式可用矩阵表示为：矩阵R是把(4)式的各个方程按m(m=0,…,p)从小到大、而在m相同时n(n=0,…,m)由小到大排列而形成的.由于R不是方阵，因此方程组（4）只能在最小二乘意义下用伪逆运算求解.其中三阶累积量c3x(m1,m2)可由下式估计：式中：k1=max(1,1-m1,1-m2)，k2=min(M,M-m1,M-m2).对应（3）式的{x(n)}的双谱为：2 AR双谱的Matlab实现在Matlab环境中要进行双谱估计必须根据算法编写相应的函数文件.在实际应用中，AR模型的阶次p一般是未知的，阶次的选择是必须要解决的问题.AR模型阶次确定主要有奇异值分解法和双谱互相关法等，具体可参考文献［1］，在此不作讨论.要获得序列{x(n)}的AR双谱估计，可按以下步骤实现.首先估计序列的三阶累积量，其函数文件定名为cumulant.m，其中参数p为模型阶次:计算出三阶累积量后可由式(5)计算模型参数ak，实现式(5)计算的函数文件命名为ARpara.m：其中参数n1为系统输入高阶白噪声的非零累积量γ3e.模型参数ak获得后，即可由式(7)计算序列的双谱（具体文件省略）.3 仿真分析及结论用给定的观测数据进行仿真实验，给定的AR模型为：x(i)-1.5x(i-1)+0.8x(i-2)=w(i)，参数为(1,-1.5,0.8).采用上述方法进行参数估计，为了有效地减少c3x(m1,m2)的估计方差，将输出数据分成10段，每段的覆盖系数为0.5，估计结果为（1.00,-1.496 6±0.049 4,0.789 9±0.040 2），可见AR模型能很好地辨识系统参数，图1给出了该信号的AR双谱幅度图.图1 AR双谱图根据AR双谱估计的基本原理，就其Matlab的实现方法进行研究，并给出Matlab实现的源程序.由本文分析可知，用Matlab对信号进行双谱估计和分析，可以很方便和很迅速地得出有关结论.参考文献:［1］张贤达.时间序列分析—高阶统计量方法［M］.北京：清华大学出版社，1996.［2］姚天任，孙洪.现代数字信号处理［M］.武汉：华中理工大学出版社，1999. ［3］ ColisWB，WhitePR,HammondJK.Higher-orderspectra：Thebispectrumandtrispectrum［J］.MechanicalSystemandSignalProcessing，1998，12(3)：375-395.［4］ Swami A,Mendel J M.Identifiability of the AR parameter estimaters of an ARMA process using cumulants［J］.IEEE Trans AutomaticControl,1992(37)：268-273.。

AR模型谱估计.

AR模型谱估计.

• • • • •
AR模型法的仿真 YuleWalker 方程 采样频率为200Hz, 采样点数为50和200时, 采 用YuleWalker 方程的仿真图。 当采样点数为50时, 在频率为40Hz处的谱峰明 显向左偏移, 且在频率为60~ 70Hz之间出现了虚 假谱峰。当采样点数为200时, 谱峰回到40Hz处, 且虚假谱峰的幅度变小。因此YuleWalker 方程 的性能可通过增加采样点数来解决。
• 递推公式为:
• Burg算法 • 用Burg算法进行功率谱估计时令前后向预测误差 功率之和最小,即对前向序列误差和后向序列误差 前后都不加窗,使用LevinsonDurbin递推可快速的 求解AR系数。Burg算法与自相关法不同,它是使序 列x(n)的前后向预测误差功率之和:
最小。在上式中,当阶次由1至p时,
AR模型 全极点：该模型现 在的输出是现在的 输入和过去p个输 出的加权和。
• • • • • • • • • • •
经常使用的参数模型是线性模型, 其中以有理分式 型应用最为普遍, 有理分式模型一般表现为自回归动均 模型, 即ARMA模型, 自回归模型( AR模型) 和动均模 型( MA模型) 都是YuleWalker 模型的特殊情况。事 实上, 白噪声序列通过全极点型、全零点型滤波器会分 别产生AR, MA和ARMA过程。在这三种参数模型 中, AR模型得到了普遍应用, 因为AR模型的参数计 算是线性方程, 比较简单, 与建立在外推自相关函数时 保持原概率空间的最大熵法是等价的, 同时很适合表示 很窄的频谱, 在作谱估计时, 由于具有递推特性所以所 需的数据较短; 而MA模型表示窄谱时一般需要数量很多 的参数; ARMA模型虽然所需的参数数量最少, 但 • 参数估计的算法是非线性方程组, 其运算远比AR模型 • 复杂, 故AR模型参数估计是重点。

AR模型的功率谱估计方法及在故障检测中的应用


２ ． Ｙ ａ ｎ ｓ ｈ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｑ ｉ ｎ ｈ ｕ ａ ｎ ｇ ｄ ａ ｏ Ｈ ｅ ｂ ｅ ｉ ０ ６ ６ ０ ０ ４，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ａｉ ｍｉ ｎ ｇ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｏ ｆ ｆ ａ ｕ ｌ ｔ ｆ ｅ ａ ｔ ｕ ｒ ｅ ｅ ｘ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｒ ｏ ｔ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｍａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｒ ｙ，ｄ ｙ ｒ ｖ ａ ｃ ｕ ｕ ｍ ｐ ｕ ｍｐ ｗａ ｓ ｒ ｅ ｇ ａ ｒ ｄ ｅ ｄ ａ ｓ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｅ ｒｃ ａ ｈ
Ｙ Ａ０ Ｚ ｈ ｉ ｆ ｅ ｉ ．Ｊ Ｉ ＡＮＧ Ｗａ ｎ ｌ ｕ 。Ｚ ＨＵ Ｙｏ ｎ ｇ
（ １ ． Ｈ ｅ ｂ ｅ ｉ Ｒ ａ ｄ ｉ ｏ ａ ｎ ｄ ｒ Ｉ Ｖ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｓ ｈ ｉ ｊ ｉ ａ ｚ ｈ ｕ ａ ｎ ｇ Ｈ ｅ ｂ ｅ ｉ ０ ５ ０ ０ ９ ０ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ；
２ ０ １ ３年 ３ 月 第４ １ 卷 第 ５期
机床与液压
Ｍ ＡＣＨＩ ＮＥ Ｔ Ｏ０Ｌ ＆ ＨＹＤＲＡＵＬ Ｉ ＣＳ
Ｍａ Ｌ ２ ０１ ３
Ｖｏ １ ． ４ １ Ｎｏ ． ５
Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ — ３ ８ ８ １ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ５ ． ０ ４ ５
ｏ ｐ ｔ ｉ ｍｕ ｍ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｗ ａ ｓ ｄ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍｉ ｎ ｅ ｄ ．Ｔ ｈ ｅ ＡＲ ｐ ｏ ｗ ｅ ｒ ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｒ ｕ ｍ ｗ ａ ｓ ｃ ｌｃ ａ ｕ ｌ ａ ｔ ｅ ｄ ．Ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｒ ｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ ｂ ｅ ａ ｒ ｉ ｎ ｇ ｗａ ｓ ｉ ｄ ｅ ｎ ｔ ｉ ｉ ｆ ｅ ｄ ．Ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ — ｐ ｅ ｒ ｉ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｌ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ￣ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ ｕ ｓ ｅ ｄ ｔ ｏ ｅ ｘ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｆ ａ ｕ ｌ ｔ ｆ ｅ ａ ｔ ｕ ｒ ｅ￣ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｙ ｅ ｆ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｌ ｙ ．Ｉ ｔ ｉ ｓ ａ ｖ ｌｉ ａ ｄ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｆ ｏ ｒ ｆ ａ ｕ ｌ ｔ ｄ ｅ ｔ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ

MATLAB中AR模型功率谱估计中AR阶次估计的实现

MATLAB中AR模型功率谱估计中AR阶次估计的实现在MATLAB中，AR模型功率谱估计是一种用于信号分析的方法，它基于自回归（AR）模型建立。

在进行AR模型功率谱估计之前，首先需要确定AR模型的阶次。

本文将介绍AR阶次估计的实现方法。

AR模型是一种线性预测模型，用于描述时间序列的统计特性。

AR模型用过去的观测值来预测当前的观测值，其数学表达式为：X(t)=a(1)*X(t-1)+a(2)*X(t-2)+...+a(p)*X(t-p)+e(t)其中，X(t)表示当前时刻的观测值，p表示AR模型的阶次，a(1),a(2),...,a(p)表示AR模型的系数，e(t)表示误差项。

确定AR模型的阶次是进行AR模型功率谱估计的第一步。

一般来说，阶次越高，AR模型对原始数据的逼近程度越好，但也需要考虑计算复杂度和过拟合的问题。

常用的AR阶次估计方法有自相关函数法、偏自相关函数法和最小描述长度准则（MDL）法等。

首先介绍自相关函数法。

该方法基于信号的自相关函数来确定AR模型的阶次。

自相关函数可以用MATLAB中的xcorr函数计算得到。

调用xcorr函数时，需要指定输入信号和最大延迟，并设置参数'coeff'，使输出的自相关函数按归一化方式呈现。

通过观察自相关函数的衰减情况，可以估计AR模型的阶次。

常用的阶次估计标准是自相关函数的返回值第一个小于1/e的点对应的延迟。

其次介绍偏自相关函数法。

该方法基于信号的偏自相关函数来确定AR模型的阶次。

偏自相关函数可以用MATLAB中的parcorr函数计算得到。

调用parcorr函数时，同样需要指定输入信号和最大延迟，并设置参数'coeff'。

通过观察偏自相关函数的衰减情况，可以估计AR模型的阶次。

常用的阶次估计标准是偏自相关函数的返回值第一个小于1/e的点对应的延迟。

最后介绍最小描述长度准则（MDL）法。

该方法基于MDL准则来确定AR模型的阶次。

AR模型功率谱估计及Matlab实现

轡南昌大学卖脸掖告学生姓名：_ 学号： _________ 专业班级：________________实验类型：口验证□综合口设计口创新实验日期： _________________ 实验成绩：—一、实验名称基于AR模型的功率谱估计及Matlab实现二、实验目的1•了解现代谱估计方法，深入研究AR模型法的功率谱估计2.利用Matlab对AR模型法进行仿真三、实验原理1•现代谱估计现代功率谱估计以信号模型为基础，如下图所示为x(n)的信号模型，输入口噪声3(n)均值为0,方差为x(n)的功率谱可由下式计算：%(凶)=圈H(』3)|2如果通过观测数据估计出信号模型的参数，信号功率谱就可以按上式计•算出来, 这样估计功率谱的问题就变成III观测数据估计信号模型参数的问题。

2.功率谱估计的步骤：(1)选择合适的信号模型；(2)根据x(n)有限的观测数据，或者有限个自相关函数估讣值，估计模型的参数；(3)计算模型的输出功率谱。

3•模型选择选择模型主要考虑是模型能够表示谱稣、谱谷和滚降的能力。

对于尖稣的谱，选用具有极点的模型，如AR、ARMA模型；对于具有平坦的谱邮和深谷的信号，可以选用MA模型；既有极点又有零点的谱应选用ARMA模型，应该在选择模型合适的基础上，尽量减少模型的参数。

4.AR模型功率谱估计在实际中，AR模型的参数估计比较简单，对其有充分的研究，AR模型功率谱估计乂称为自回归模型，它是一个全极点的模型，要利用AR模型进行功率谱估可以通过列文森(Levenson)递推算法山Yiile-Walker方程求AR模型的参数。

4.MATLAB中AR模型的谱估计的函数说明：1. Pynlear 函数：功能：利用Yiile-Walker方法进行功率谱佔计.格式：Pxx=Pyiilear(x,ORDER,NFFT)[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT)[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs)Pynlear(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)说明：Pxx =Pyulear(x,ORDER,NFFT)中，采用Yiile—Walker 方法估计序列x 的功率谱，参数ORDER用来指定AR模型的阶数，NFFT为FFT算法的长度，默认值为256,若NFFT为偶数，则Pxx为(NFFT/2+1)维的列矢量，若NFFT为奇数，则Pxx 为(NFFT +1)/2维的列矢量；当x为复数时，Pxx长度为NFFT。

现代谱估计-有理谱估计


c 2 ，强相合
自回归传递函数(CAT)准则 CAT m
1 m N i N m ，选择 AR 模型阶 ˆ N ˆm N i 1 N i
次使得由该模型得到的最小预测误差功率估计与理想的最小预测误差功率的差 值最小。 在样本较短时，一般取 N/2~N/3。
2.6 AR 参数估计和 AR 功率谱估计的渐近统计特性
大样本渐近统计特性，各种 AR 参数估计方法有相同的渐近统计特性
ˆ, ˆ 2 是渐近无偏强一致估计， N a a ˆ 和 AR 参数估计的渐近统计特性： a
ˆ aa ˆ, ˆ 2 是渐 的分布都收敛于高斯分布；如果 u n 服从高斯分布， a N 2 2 ˆ
p
q
这种描述 y n 的线性模型叫做自回归滑动平均模型(ARMA 模型)， 那么 y n 的功率谱就可以表示为
Py H e
2 j

2

2
ห้องสมุดไป่ตู้
B e j A e j
2
当 a l 0, l 1, 2,
p 时，有
1.4 经典谱估计和现代谱估计
经典谱估计中，都隐含了这样一个假设：对于未得到的样本数据或未估计出 的自相关函数，认为是零。但实际上这些值并不一定为零，正是由于这种不合理 假设使得经典谱估计较低的分辨率和较大的失真。现代谱估计，对于未得到的样 本数据或未估计出的自相关函数，并不是简单地作零处理，而是认为与得到的样 本数据服从同一模型，估计质量取决于参数估计质量和模型的准确性。 。这是现 代谱估计与经典谱估计最主要的区别。
2.5 模型阶次选择
阶次太低， 会平滑真实功率谱， 较大偏差， 可能使谱峰无法分辨； 阶次太高， 会是估计参数太多，谱估计方差性能下降，出现伪峰。 真正的 AR 过程，预测误差功率随阶次的增加而下降，达到真实阶次后便不 再下降。但在有限样本下，预测误差功率会随着阶次的增加单调地趋于零，对于 非 AR 过程，同样如此。因此不能简单地将预测误差功率的减少作为确定阶次的 方法，还要考虑阶次增加带来的模型参数增加引起谱估计方差的增大。 N m ˆ m ，过相合 最终预测误差(FPE)准则 FPE m N m
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k p
N 1
(4.5.12)
注意: 模型参数包括:
由式(4.5.10) (4.5.12)即可解出AR模型参数估值和功率谱. ˆ ˆ ˆ ˆ2 {a p1 , a p 2 , , a pp ; w } (4) 说明 式(4.5.10)和(4.5.12)构成协方差方程. 由于式中 c xx ( j , k ) 不能表示为 ( j k ) 的函数, 所以协方差矩阵不是Toeplitz矩阵, 不能采用Levinson递推法求解. b) 协方差函数有两个变量, 故适合于非平稳随机信号. c) 这种方法类似于自相关法, 但其分辨率优于自相关法, 并可有效地估计 正弦信号频率. 2.修正协方差法 (1)估计准则
e(n) x(n) h pi x(n i) a pi x(n i)
i 1 i 0
p
p
,
a p0 1
(4.5.3)
上式表明, e(n)是 x(n)与 a pi 的卷积, 其长度为 N p . 因此,式(4.5.2)可具体 表示为
1 N
N p 1 n 0
(4.5.10)
协方差矩阵
式中
c xx ( j , k ) 1 x (n j ) x(n k ) N p n p
N 1
(4.5.11)
称为协方差函数. 白噪声的方差为
ˆ2 ˆ ˆ w min c xx (0,0) a pk c xx (0, k )
ˆ x (n) b pk x(n k )
b k 1 p

前向预测
n p 1 n p 1







{x(n 1), x(n 2),, x(n p)} 预测的, 因此, 后向预测值
n p
后向预测

n 2 n 1 n
实际中, 总是利用同一组数据来同时实现前向和后向预测的(见图).即利用 x(n), x(n 1), {
m 1,2,3,, p
(4.5.8a)
最小预测误差功率(即白噪声方差)为
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ min R xx (0) a pk R xx (k )
2 w k 1 p
(4.5.8b)
式(4.5.8)即为Yule-Walker方程. 由此可见, 自相关法 也是基于解Yule-Walker方程的一种方法. Levinson-durbin递推法是求解Yule-Walker方程的高 效算法, 具体方法见§3.3.
将式(4.5.5)对 a 求导并令其等于零(复梯度法), 可得
ˆ ˆ R xx (0) R xx (1) ˆ ˆ R xx (0) R xx (1) ˆ ˆ R xx ( p 1) R xx ( p 2)

ˆ ˆ ˆ R xx (1) Rxx ( p 1) a p1 ˆ ˆ ˆ R xx ( p 2) a p 2 R xx (2) ˆ (0) a pp ˆ ( p) ˆ Rxx R xx
| e( n ) |
2
1 N
N p 1 p n 0
a
i 0
2 pi
x(n i ) min
用时间平均代替集合平 均; 用最小平方代替最 小均方.
.
(4.5.4)
(2)预测误差 e(n)的计算
式(4.5.3)的计算原理如图4.5.1所示. 由于 e(n) 的长度大于 x (n)的长度, 因此计算中需对 x (n)的两端补零. 这 相当于长度为 N 点的已知数据 x (n), 是由无限长数据 x(n) ( n )经 加窗后得到的.
(4.5.14)利用前向预测公式:
ˆ x( n) a pk x( n k )
k 1
p
(4.5.15)利用后向预测公式:
ˆ x ( n) a x ( n k ) pk
k 1
p
关于式(4.5.14)和(4.5.15)的说明:
求和范围与协方差法相同, 即为 p n N 1 后向预测是利用某一时刻n 以后的 p个值, 即 为
§4.5 AR谱估计的方法
引言
（1）主要方法 本节要解决的问题是: 如果不知道 x(n) 的自相关函数 Rxx (m) , 而只知道它 的N个观测数据 x (n) , n 0,1,, N 1 , 如何求 AR模型的参数? 通常有下列两类方法:
ˆ a) 利用 x(n) 求Rxx (m) 的估计Rxx (m) , 再用Levinson算法求模型参数的估计
1 N 1 m x(n) x(n m), ˆ ( m) N R xx n 0 R (m), ˆ xx m 0,1,2, , p m ( p 1), ( p 2), , (1)
(4.5.6)
ˆ 可见, Rxx (m) 是有偏自相关估计.
4.5.2 协方差法与修正协方差法
1.协方差法 (1)估计准则

1 x(n) a pk x(n k ) N p n p k 1
N 1 p 2
(4.5.9)
注意:
本算法仍采用前向预测误差 e(n) , 其求和范围是 p n N 1 . (2)预测误差功率 e(n)计算
计算原理如图4.5.2所示.
特点:
x(n 为回避“加窗处理”而引入的频谱卷积效应, 即避免在数据段 ) (0 n N 1)
以外补零, 本算法“规定”在第一个数据 ) x (0 当 x( N 1) a p 0 ( 1)
最后一个数据 移至
a pp 移至
位置时开始计算; 而
e(n)
时结束计算. 计算 N 1 时仅使用了已获 得的观测数据, 未在数据两端补零, 因此, 实际长度为 .
2 N 1 N 1 p 2
pe
(4.5.14)
2
pb
1 e bp (n) N 1 p N p n p
2
N 1
N 1 p

n 0
x ( n) a x ( n k ) pk
k 1
p
(4.5.15)
2 最小预测误差平均功率是模型输入的白噪声的方差, 即 p w .
.
ˆ ˆ a pi R xx (i j )a pj Na T R xx a
i , j 0
时引入的, 见式(4.5.6).
式中, a [1, a p1 ,, a pp ]T—— AR模型参数的 p 1 维列矢量; ˆ R xx ——由取样自相关函数 R (m) (其中 m i j )构成的取样自相关矩 ˆ xx 阵. 自相关函数估计为
1 a p1 a p, p1 a pp
1 a p1 a p, p1 a pp
系 数 长 度 p+1 点
1 a p1 a p, p1 a pp
1 a p1 a p, p1 a pp
图4.5.1 自相关法计算预测误差e(n)的原理
由图可见, 当数据长度 N p 1 时(通常都是满足的), 计算 e(n)的求和范 围是0 p. (3) AR系数 a pk 的求解 由式(4.5.4), 得
0

0


数据长度N 点 x ( n 1 p ) x ( 0) 0 x( N 1) x(n)

0


00x(n 1) x(n p)
最后一个数据刚进 入预测误差滤波器, 以后将补零进入. 最后一个数据 移出预测误差 滤波器
第一个数据移入预测误差滤波器,前 向补零
x( N 1)


x( N p 1)


x(n)



x(n p 1)

x( p)

x(1) x(0)


x( N 2) x(n p)
结束计 算
x(n 1) x(n p)
x( p 1)
开始计 算
1 a p1 a p, p1 a pp
1 a p1 a p, p1 a pp
1 a p1 a p, p1 a pp
图4.5.2 协方差法计算预测误差e(n)的原理 ( 三个不同时刻的计算状态: 每个参数都对应一个实际的数据值 )
(3) AR系数 a pk 的求解 使用复梯度法使预测误差功率 达到最小, 可得
c xx (1,1) c xx (1,2) c (2,1) c (2,2) xx xx c xx ( p,1) c xx ( p,2) ˆ c xx (1, p) a p1 c xx (1,0) ˆ c (2,0) c xx (2, p) a p 2 xx ˆ c xx ( p, p) a pp c xx ( p,0)
使用前向和后向预测误差功率平均值最小准则, 即
p 0.5( pe pb ) min
式中,
(4.5.13)
pe和 pb是前向和后向预测误差功率, 分别表示为
1 e pf (n) N 1 p x(n) a pk x(n k ) N p n p n p k 1
值;
b) 利用最小二乘方准则, 直接由信号时间序列 x(n) 计算AR模型参数. 本节介绍以下三种方法:
—自相关法(Levinson法, 或Yule-Walker法);
—协方差法及修正协方差法; —Burg法.
——第二类方法: 先估计反射系数 第一类方法: 由 先估计自相关函数
以上方法都是基于线性预测原理, 根据估计准则建立求解AR系数的数学