广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学理试题

汕头市金山中学2016-2017学年度第一学期摸底考试高三理科数学试题卷本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合(){}(){},|1,,|42A x y y xB x y y x==+==-，则A B=（）A．(){}1,2 B．()1,2 C．{}1,2 D．()(){}1,2,1,2--2．如果复数212bii-+（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．6- B．23- C．23D．23．已知命题p：在ABC∆中，若BCAB<，则AC sinsin<；命题q：已知Ra∈，则“1>a”是“11<a”的必要不充分条件。

在命题qpqpqpqp∧⌝∨⌝∨∧)(,)(,,中，真命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．执行如图所示程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值集合是（）A．{}1,2,3,4,5 B．{}1,2,3,4,5,6 C．{}2,3,4,5 D．{}2,3,4,5,65．已知数列{}{},n na b，满足113a b==，113,nn nnba a n Nb*++-==∈，若数列{}nc满足nn ac b=，则2017c=（）A．20169B．201627C．20179D．2017276．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2，则正（主）视图的面积等于（）A．2 B．92C．32D．37．已知ba,为同一平面内的两个向量，且2,1(==，若2+与ba-2垂直，则a与b的夹角为（）第4题图A ．0B ．4π C ．32π D ．π 8．已知函数()2cos2g x x =，若在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“()g x ≥率为（ ） A ．14B ．13C ．16D ．239．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ）种A ．18B ．24C ．36D ．7210．已知()f x 是定义在R 上的增函数，函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，若对任意的,x y R ∈，等式()30f y f-+=恒成立，则yx的取值范围是（ ） A．2⎡⎢⎣⎦ B．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C．1,2⎡⎢⎣⎦ D ．[]1,311．已知点A 是抛物线()2:20M y px p =>与圆()222:4C x y a +-=在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离为a ，若抛物线M 上一动点到其准线的距离与到圆心C 的距离之和的最小值为2a ，O 为坐标原点，则直线OA 被圆C 所截得的弦长为（ ） A ．2B． C．3 D．612．若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),e -∞B ．(),e +∞C ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．求值421x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰= ． 14．如果3nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是 。

2013-2014学年度第一学期高三期中考联考理科数学试题命题人：潮州金山中学本试卷共4页，21题，满分150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。

2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。

3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（满分40分）1.已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，则（ ）A ．1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在B ．1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意C ．1>∈⌝x cos R x p ，使：存在D ．1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意2.已知a ÎR 且0a ¹，则“11<a”是 “a >1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 右3.设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤4．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ）5. 若,x y满足约束条件2100408x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩,则43z x y =+的最小值为（ )A ．20B ．22C ．24D ．28P6. 将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A ．1sin 2y x =B ．1sin()22y x π=-C.1sin()26y x π=-D.sin(2)6y x π=-7. 已知定义在R 上的周期为2的偶函数)(x f ，当[]1,0∈x 时,22)(x x x f -=,则 )(x f在区间[]2014,0内零点的个数为（ ） A ．3019B ．2020C ．3021D ．30228．在△ABC 中，E 、F 分别为AB ，AC 中点．P 为EF 上任一点，实数x ，y 满足PA +x PB +y PC =．设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=，则当λ2·λ3取最大值时，2x +y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．－32D ．32二、填空题（满分30分）（一）必做题: 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答． 9．在====∠∆AC BC AB A ABC 则中，若,7,5,120010．函数46y x x =-+-的最小值为11．设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=，则55a b +=_____ 12．若函数()y f x =的图象与函数xy 4=的图象关于直线y x =对称，则函数()y f x =的解析式为__________________13．定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间b][，a 上存在)(00b x a x <<，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是b][，a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点。

广东省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1)分类汇编1：集合一、选择题1 ．(广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题 ）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 （ ） A ．{|01}x x << B ．{}21<<x x C ．{}20<<x x D ．{|2}x x > 【答案】B2 ．(广东省深圳市宝安区2014届高三上学期调研测试数学理试卷)已知集合{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,2,3,4},{3,4,5},P Q ==则()U P C Q = （ ）A ．{1,2,3,4,6,}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}【答案】D3 ．（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题 ）已知集合{}9|7|＜-=x x M ,{}2|9N x y x ==-，且N M 、都是全集U 的子集,则下图韦恩图中阴影部分表示的集合( )A ．{}23-≤-＜x xB ．}{23-≤≤-x xC ．}{16≥x xD ．}{16＞x x【答案】B4 ．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学(理）试题)设集合},02|{},,02|{22R x x x x N R x x x x M ∈=-=∈=+=，则=⋃N M ( )A ．}0{B ．}2,0{C ．}0,2{-D ．}2,0,2{-【答案】D5 ．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）（2013广东）设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【答案】D6 ．（广东省广州市仲元中学2014届高三数学（理科）10月月考试题）己知集合[0,)M =+∞，集合{2N x x =>或}1x <-,U R =,则集合UM C N ⋂=( ）A ．{}|02x x <≤B ．{}|02x x ≤<C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|02x x <<【答案】C7 ．（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）已知全集U R =,集合{}Z x x x A ∈≤=,1|， {}02|2=-=x x x B ,则图中的阴影部分表示的集合为（ )A ．{}1-B ．{}2C ．{}2,1D ．{}2,0【答案】B8 ．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B = （ ）A ．{0,2,4}--B ．{0,2,4}-C ．{0,2,4}D ．{0,1,2}【答案】D9 ．（2013-2014学年广东省(宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）设U=R ，集合2{|2,},{|40}xA y y x RB x Z x==∈=∈-≤,则下列结论正确的是 ( )A ．(0,)AB =+∞ B ．(](),0UCA B =-∞C ．(){2,1,0}UCA B =--D ．(){1,2}UCA B =【答案】C10．(广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则 （ ）A ．N M ⊆B ．N M =C ．}3,2{=N MD ．)4,1(=N M 【答案】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ,故}3,2{=N M ，故选 C ．11．(广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C12．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第二次月考测试数学（理)试题）已知集合2{|10},{|0},A x xB x x x =+>=-<则=B A（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|11}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|10}x x -<<【答案】C13．（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题)已知集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<,则A B ⋃= （ ）A ．{0}x x >B ．{1}x x >C ．{12}x x <<D ．{02}x x <<【答案】A14．（广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题）若集合}1|{2<=x x M ,1{|}N x y x==,则N M = （ ）A ．NB ．MC ．φD ．{|01}x x <<【答案】解析:D ．M =｛|x —1〈x<1｝, N={|x 0x >}NM ={|01}x x <<15．（广东省兴宁市沐彬中学2014届上期高三质检试题 数学（理科））设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ )A ．{2}-B ．{2}C ．{2,2}-D ．∅【答案】A16．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学（理)试题）已知集合}2,1,0{},1,0,1{=-=N M ，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．}1,0{B ．}1,0,1{-C ．}2,1{-D ．}2,1,0,1{-【答案】C17．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期期中考试数学(理）试题）设集合2{103A x x x =+-≥0},{1B x m =+≤x ≤21}m -，如果有AB B =，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．(,3]-∞B ．[3,3]-C ．[2,3]D ．[2,5]【答案】A18．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试(一）数学理试题）若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<,则集合A B = ( ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x <<【答案】D19．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题）设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的S b a ∈,,对于有序元素对()b a ,,在S 中有唯一确定的元素b a *与之对应),若对任意的S b a ∈,,有b a b a =**)(，则对任意的S b a ∈,,下列等式中不．恒成立的是 ( )A ．[]()a b a a b a =****)(B ．b b b b =**)(C ．a a b a =**)(D ．[]b b a b b a =****)()(【答案】C20．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“※”如下：当,m n 都为正偶数或正奇数时，m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时,m ※n =mn 。

广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三上学期期中联考理数学试卷（解析版）一、选择题1）【答案】C【解析】C.考点：全称命题的否定2）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：是 B.考点：1.分式不等式的解法；2.充分必要条件3集合为（）A. B. C.【答案】B【解析】试题分析：由图象知，图中阴影部分所表示的集合由于故B. 考点：1.新定义；2.集合的基本运算4）【答案】A 【解析】A.考点：1.二次函数；2.导数5）A.20B.22C.24D.28 【答案】B【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域如下图所示，作直线B.考点：线性规划 6，再将）【答案】C【解析】C.考点：三角函数图象变换7．） A.3019 B.2020 C.3021 D.3022【答案】D 【解析】D.考点：1.函数的周期性；2.函数的奇偶性；3.函数的零点8）A.B.C.【答案】D【解析】的高为，因此，即，由于当此时中点为相反向量，且D.考点：1.基本不等式；2.平面向量的基底表示二、填空题9【解析】试题分析：，由余弦定理A即考点：余弦定理10的最小值为 .【解析】显然，解法二：考点：含绝对值的不等式11．【解析】试题分析：是和的等差中项，故考点：等差数列的性质12．解析式为 .【解析】试题分析：由反函数考点：反函数的定义13个均值点.例的平均值函数是它的均值点.现有函数的取值范围是 .【解析】试题分析：由题意知，存在1使得，即考点：1.新定义；2.参数分离法14为半径的圆的方程是 .【解析】为圆心，为半径的圆的方程是，展开得化为极坐标方程得i nθ，化简得或考点：1.极坐标与直角坐标的转化；2.圆的标准方程【解析】试题分析：由⊙，由切割线定理得所以直径，由垂径定理知，设x ，由相交弦定理得，即x ，由勾股定理得，故有，解得，考点：1.切割线定理；2.相交弦定理；3.勾股定理；4.射影定理三、解答题16（1（2.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）的零点的集合；（2）利用向量的数量积的定义将函解析式化简为视为一个整体，调递增区间.试题解析：（1sin 20x =，（2)x a b =⋅-π=，即函数考点：1.平面向量的数量积；2.函数的零点；3.三角函数的周期性；4.三角函数的单调性 17（1 （2. 【答案】（1（2【解析】试题分析：（1（2）在（1前提下，然后利用正弦函数的图象确.试题解析：（1，（2<()3<≤f x考点：1.正弦定理；2.三角形的面积公式；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值18（1（2【答案】（1），；（2），【解析】试题分析：（1（2然后在（1试题解析：（1（2考点：1 2.分组求和法19////.（1（2/（精确到1辆/小时）【答案】（1（2//小时.【解析】试题分析：（1（2）利用（1，然后分别求. 试题解析：（1（2此时函数在处取得最大值，即3>即当车流密度为//小时.考点：1.函数解析式；2.分段函数的最值20（1（2（3.【答案】（1（2）详见解析；（3【解析】试题分析：（1（2）利性质，引入函从而为，构造新函数x，（3）将.试题解析：（1（2，故函数在上单调递增，所以故函在取得极小值，亦即最小值，即，（3，，故函数在上单调递减，所以考点：1.导数的几何意义；2.含绝对值的不等式；3.命题的理解；4.参数分离法21（1（2【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）并对导数进行因式分解，然后对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，（2）先于此同时，利用分析法将所数利用导数进行证明.试题解析：（1)2aax--=，由于，（2因所当且仅，.所以原题得证.考点：1.分类讨论法；2.函数的单调区间；3.函数不等式。

高三第一学期文科数学摸底考试命题：袁明星—、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.A.第一象限B.第二象限C.第三象跟D.第四象限2. 若集合}822|{2≤<∈=+x Z x A ，}02|{2>-∈=x x R x B ，则)(B C A R 所含的元素个数为A. OB. 1C. 2D. 33. 某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐 与健康”的调查，为此将学生编号为1、2、…、60，选取的这6名学生的编号可能是A. 1,2,3,4,5,6B. 6，16，26，36，46，56C. 1,2，4，8，16，32D. 3,9,13 ,27,36,544 已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x ±4y=0,则该双曲线的标准方程为5.设l 、m 是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面,有下列命题：①l//m,m ⊂a,则l//a ② l//a,m//a 则 l//m ③a 丄β，l ⊂a ，则l 丄β ④l 丄a ，m 丄a,则l//m其中正确的命题的个数是A. 1B. 2C.3D. 46.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是 A ．6 B ．10 C ．91 D ．927. 已知等比数列{a n }，且a 4+a 8=-2,则a 6(a 2+2a 6+a 10）的值 为A. 4B. 6C. 8D. -98. 设曲线()()f x x m R =∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为9. 巳知点(x,y)在ΔABC 所包围的阴影区域内(包含边界),若的取值范围为11. 已知正三棱锥P-ABC 的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为 A 4π B, 12π12. 已知函数2(1)(0)()2x f f f x e x x e '=⋅+⋅-，若存在实数m 使得不等式 2()2f m n n ≤-成立，则实数n 的取值范围为A. [)1-,1,2⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ B. (]1,1,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C. (]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. [)1-,0,2⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分a13.已知向量(1,2),(,1)a b x ==，2,2u a b v a b =+=-,且 u ∥v ，则实数x 的值是____15. 已知点P (x ,y )在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取得最小值时，过点P 引圆16. 已知12,F F 分别是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点,P 是椭圆上一点（异于左、右顶点），过点P 作12F PF ∠的角平分线交x 轴于点M ，若2122PM PF PF =⋅，则该椭圆的离心率为三 、解 答 题 : 本大题共6小 题 ，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足BD（1）求角C 的大小；（2）若bsin （π﹣A ）= acosB ，且，求△ABC 的面积．18. (本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ADC=90°，AD ∥BC ，BC=CD=AD=1，PA ⊥平面ABCD ，PA=2AD ，E 是线段PD 上的点，设PE=λPD，F 是BC 上的点，且AF ∥CD（Ⅰ）若λ=，求证：PB ∥平面AEF（Ⅱ）三棱锥P ﹣AEF 的体积为时，求λ的值．19. (本小题满分12分）已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品．现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量的平均数与中位数的大小； （结果精确到小数后1位）（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于57万元的概率.20. (本小題满分12分）轴不重合的直线l 交椭圆于A,B 两点.(I)若ΔABF 2为正三角形，求椭圆的标准方程；21 (本小题满分14分）已知函数f （x ）=x 2+1，g （x ）=2alnx+1（a ∈R ） （1）求函数h （x ）=f （x ）-g （x ）的极值；（2）当a=e 时，是否存在实数k ，m ，使得不等式g （x ）≤ kx+m ≤f （x ）恒成立？若存在，请求实数k ，m 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22〜23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中 ，以 原 点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为: θθρcos sin 2=(I)求曲线C 的直角坐标方程；求|AB|的值。

DC BA NMABC DB 1C 1头市金山中学2014届高三摸底考试 文数试题（2013年8月）一、选择题 (本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)⒈已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U I 等于（ ）A ]3,1[- B {}|34x x x 或≤≥C ．)1,2[--D ． )4,2[-⒉抛物线28y x =的焦点到准线的距离是A ． 1 B. 2 C ．4 D ．8 ⒊若iz 213+=（i 表示虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限⒋已知向量(,1)a x =v ，(3,6)b =v，且a b ⊥v v ，则实数x 的值为 ( )A ．12 B ． 2 C ．2- D ．21- ⒌已知变量x ，y 满足约束条件11.10 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z=x+2y 的最小值为A ．3 B.1 C.-5 D.-6⒍在区间[]0,1上随机取一个数x ，则事件“1cos22x≤π”发生的概率为（ ）A ．32B ．π2C ．21D ．317．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、1C 截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图（或称正视图）为（ ） ，⒏执行如图2所示的程序图，若输入n 的值为6， 则输出s 的值为A ．105B ．16C ．15D ．140 50 60 70 80 速度频率组距（km/h ）0.05 0.04 0.03 0.02 0.01⒐定义在R 上的偶函数)(x f 满足)2()(x f x f +=-，且在]0,1[-上单调递增，设)3(f a =，)21(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是（ ）Ａ．c b a >> Ｂ．b c a >> Ｃ．ac b >> Ｄ．a b c >>⒑集合}5,4,3,2,1,0{=S ，A 是S 的一个子集，当A x ∈时，若有A x ∉-1，且A x ∉+1，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集A 的个数是 A ．5 B ． 6 C ．7 D ．8二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分)（一）必做题（11－13题）⒒共有400辆汽车通过某一段公路时的速度如右图所示， 则速度在)70,50[的汽车大约有 _____辆．⒓已知等比数列{n a }中，各项都是正数，且2312,21,3a a a 成等差数列，则=57a a ⒔已知函数2()lg(1)f x x ax a x =-+-的定义域为(1,)+∞，则实数a 的取值范围为(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） ⒕（几何证明选讲选做题）AB 是圆O 的直径，EF 切圆O 于C ，AD EF ⊥于D ， 2AD =，6AB =，则AC 的长为 ．⒖（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别是cos ρθ=和sin ρθ=的两个圆的圆心距是 ．三﹑解答题（本大题共6小题，共80分）⒗（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求(0)f 的值； （2）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈0,2,2,0πβπα，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求()βα+cos 的值．⒘（本小题满分12分）已知0m >，p ：()()150x x +-≤，q ：11m x m -≤≤+． ⑴ 若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；⑵若5m =，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围. ⒙（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，111,21n n naa a a +==+)n N *∈（． （1）求证：数列}1{na 为等差数列； （2）设211n n b a =+ ，数列}{2+n n b b 的前n 项和n T ，求证：43<n T ． ⒚（本小题满分14分）如图，已知 DE ⊥平面 ACD , DE / / AB ，△ ACD 是正三角形， AD = DE 2=AB=2 ，且 F 是 CD 的中点． ⑴求证：AF //平面 BCE ；⑵求证：平面 BCE ⊥平面 CDE . ⑶求ABED C ABF C V V --:的值.⒛（本小题满分14分）如图，设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C 的左、右焦点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的任意一点，且21F PF ∆的面积最大值为1． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线12:,:l y kx m l y kx n =+=+，若1l 、2l 均与椭圆C 相切，证明：0m n +=；（3）在（2）的条件下，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到12,l l 的距离之积恒为1？若存在，请求出点B 坐标；若不存在，请说明理由．21. （本小题满分14分）已知函数⎩⎨⎧≥<+++-=)1(,ln )1(,)(23x x a x c bx x x x f 的图象过点)2,1(-，且在点))1(,1(--f 处的切线与直线015=+-y x 垂直. ⑴求实数c b ,的值；⑵求)(x f 在e e ](,1[-为自然对数的底数）上的最大值；⑶对任意给定的正实数a ，曲线)(x f y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？高三摸底考文科数学答题卷高三（ ）班 姓名 学号 评分 一、选择题（本大题共10道小题，每小题5分，满分50分。

2014-2015学年广东省汕头市金山中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合，，则M∩N=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2]2．（5分）已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数周期为π，其图象的一条对称轴是x=，则此函数的解析式可以为（）A．y=sin（+）B．y=sin（2x+）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（2x﹣）4．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A．=﹣B．∥C．=2D．⊥5．（5分）方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）6．（5分）已知向量、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）A．3 B．2 C．D．17．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，+∞）8．（5分）设向量=（a1，a2），=（b1，b2），定义一种向量积：⊗=（a1，a2）⊗（b1，b2）=（a1b1，a2b2）．已知向量=（，4），=（，0），点P在y=cosx 的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则y=f（x）在区间[，]上的最大值是（）A．4 B．2 C．D．二、填空题：（本大题共5小题，作答6小题，每小题5分，共30分.）必做题（9～13题）9．（5分）函数y=的定义域为．10．（5分）图中阴影部分的面积等于．11．（5分）已知是R上的减函数，则a的取值范围是．12．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．13．（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．二.选做题（14、15题，只能从中选做一题，两题都选只计算14题得分）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，PA=，PB=1，则∠PAB=．（坐标系与参数方程选做题）15．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．求点M到曲线C上的点的距离的最小值．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（Ⅰ）请写出上表的x1、x2、x3，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x）的图象，P、Q 分别为函数g（x）图象的最高点和最低点（如图），求∠OQP的大小．17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a的最小值．18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t≥，求u=xlnx，x∈[1，e]的取值范围及函数y=f（u+t）的最值．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣4n+4，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，令b n=，T n=b121+b222+b323+…+b n2n，求T n；（3）设各项均不为零的数列{c n}中，所有满足c i•c i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c n}的变号数．令c n=1﹣（n为正整数），求数列{c n}的变号数．20．（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；（Ⅱ）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；（Ⅲ）过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．21．（14分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．2014-2015学年广东省汕头市金山中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合，，则M∩N=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2]【解答】解：由题意，，∴M∩N={x|﹣1≤x＜2}∩{x|x＞﹣1}=（﹣1，2），故选：C．2．（5分）已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α=+2π，β=，满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立，若当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件，故选：D．3．（5分）函数周期为π，其图象的一条对称轴是x=，则此函数的解析式可以为（）A．y=sin（+）B．y=sin（2x+）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（2x﹣）【解答】解：∵函数的周期为π，∴ω=2，A不正确；函数的图象的一条对称轴是x=，∴2x﹣=，y=sin（2x﹣）取得最大值，故选：D．4．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A．=﹣B．∥C．=2D．⊥【解答】解：由+=得若=﹣=，即，则向量、共线且方向相反，因此当向量、共线且方向相反时，能使+=成立，对照各个选项，可得B项中向量、的方向相同或相反，C项中向量向量、的方向相同，D项中向量、的方向互相垂直．只有A项能确定向量、共线且方向相反．故选：A．5．（5分）方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）【解答】解：令f（x）=ln（x+1）﹣，而f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，∴方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（1，2），故选：B．6．（5分）已知向量、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）A．3 B．2 C．D．1【解答】解：因为、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，所以42﹣4•+2=10，即||2﹣2||﹣6=0，解得||=3或||=﹣（舍），故选：A．7．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，+∞）【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．8．（5分）设向量=（a1，a2），=（b1，b2），定义一种向量积：⊗=（a1，a2）⊗（b1，b2）=（a1b1，a2b2）．已知向量=（，4），=（，0），点P在y=cosx 的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则y=f（x）在区间[，]上的最大值是（）A．4 B．2 C．D．【解答】解：设=（x0，y0），=（x，y），由题意可得y0=cosx0，=（x，y）=+=+（，0）=（，4y0）+（，0）=（，4y0），即x=，y=4y0；即x0=2x﹣，y0=y．∴y=cos（2x﹣），y=4cos（2x﹣）．∵点Q在y=f（x）的图象上运动，∴f（x）=4cos（2x﹣）．当时，，∴当时，f（x）取得最大值为4，故选：A．二、填空题：（本大题共5小题，作答6小题，每小题5分，共30分.）必做题（9～13题）9．（5分）函数y=的定义域为（2，+∞）．【解答】解：要使函数f（x）有意义，则log2x﹣1＞0，即log2x＞1，解得x＞2，故函数的定义域为{x|x＞2}，故答案为：{x|x＞2}或（2，+∞）10．（5分）图中阴影部分的面积等于1．【解答】解：根据题意，该阴影部分的面积为=x3=（13﹣03）=1故答案为：111．（5分）已知是R上的减函数，则a的取值范围是．【解答】解：由函数f（x）为单调递减函数可得，g（x）=（3a﹣1）x+4a在（﹣∞，1]，函数h（x）=log a x在（1，+∞）单调递减，且g（1）≥h（1）∴∴故答案为：12．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．【解答】解：∵，====||=，∴||=1，||=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案为：13．（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围是[15，+∞）．【解答】解：由于表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，因实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．∵不等式恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．由函数的定义域知，x＞﹣1，∴f′（x）=﹣2x＞1 在（1，2）内恒成立．即a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．由于二次函数y=2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，故x=2时，y=2x2+3x+1 在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15，故答案为[15，+∞）．二.选做题（14、15题，只能从中选做一题，两题都选只计算14题得分）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，PA=，PB=1，则∠PAB=30°．【解答】解：连接OA，则OA⊥PA．∵PA是圆O的切线，∴PA2=PB•PC，∵PA=，PB=1，∴PC=3，∴PO=2，OA=1，∴sin∠PAB=，∴∠PAB=30°．故答案为：30°．（坐标系与参数方程选做题）15．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．求点M到曲线C上的点的距离的最小值5﹣．【解答】解：由曲线C的参数方程（α为参数），化成普通方程为：（x﹣1）2+y2=2，圆心为A（1，0），半径为r=，由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最小值为|MA|．故答案为：5﹣．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（Ⅰ）请写出上表的x1、x2、x3，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x）的图象，P、Q 分别为函数g（x）图象的最高点和最低点（如图），求∠OQP的大小．【解答】解：（Ⅰ）由表可知，+φ=，+φ=，解得，ω=，φ=．由x1+=0、x2+=π、x3+=2π，得，，．∴；（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数，∵P、Q分别为该图象的最高点和最低点，∴．∴OP=2，PQ=4，，∴．∴．17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=（cos2xcos+sin2xsin）+（1+cos2x）=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1，（3分）∵﹣1≤cos（2x+）≤1，即cos（2x+）最大值为1，∴f（x）的最大值为2，（4分）要使f（x）取最大值，cos（2x+）=1，即2x+=2kπ（k∈Z），解得：x=kπ﹣（k∈Z），则x的集合为{x|x=kπ﹣（k∈Z）}；（6分）（Ⅱ）由题意，f（B+C）=cos[2（B+C）+]+1=，即cos（2π﹣2A+）=，化简得：cos（2A﹣）=，（8分）∵A∈（0，π），∴2A﹣∈（﹣，），则有2A﹣=，即A=，（10分）在△ABC中，b+c=2，cosA=，由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc=4﹣3bc，（12分）由b+c=2知：bc≤=1，当且仅当b=c=1时取等号，∴a2≥4﹣3=1，则a取最小值1．（14分）18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t≥，求u=xlnx，x∈[1，e]的取值范围及函数y=f（u+t）的最值．【解答】解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣a，y=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=，由题意可得l1，l2的斜率相等，即，则a=1，∴f（x）=x2﹣x，f（2）=22﹣2=2；（2）u=xlnx，当x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，则u的取值范围是：0≤u≤e；又y=f（u+t）=u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，由t有u=≤0，即函数在[0，e]上单调递增；y min=y|u=0=t2﹣t，，综上：当t时，；．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣4n+4，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，令b n=，T n=b121+b222+b323+…+b n2n，求T n；（3）设各项均不为零的数列{c n}中，所有满足c i•c i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c n}的变号数．令c n=1﹣（n为正整数），求数列{c n}的变号数．【解答】解：（1）∵，∴S1=1…（1分）又当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣5…（3分）所以…（4分）（2）∵，∴b n=n，…（5分）…（6分），∴…（9分）（3）解法一：由题设…（10分）∵n≥3时，，∴n≥3时，数列{c n}递增…（12分）∵，由，可知a4•a5＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；又∵c1=﹣3，c2=5，c3=﹣3，即c1•c2＜0，c2•c3＜0，∴此处变号数有2个．…（13分）综上，数列{c n}共有3个变号数，即变号数为3．…（14分）解法二：由题设…（10分）n≥2时，令；又∵c1=﹣3，c2=5，∴n=1时也有c1•c2＜0．…（13分）综上得：数列{c n}共有3个变号数，即变号数为3．…（14分）20．（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；（Ⅱ）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；（Ⅲ）过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）因为，即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x（2分）设⊙M的半径为r，则，所以⊙M的方程为（x﹣2）2+y2=4（5分）（Ⅱ）设P（x，y）（x≥0），则=x2﹣3x+2+y2=x2+x+2（8分）所以当x=0时，有最小值为2（10分）（Ⅲ）以点Q这圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦（11分）设点Q（﹣1，t），则QS2=QM2﹣4=t2+5，所以⊙Q的方程为（x+1）2+（y﹣t）2=t2+5（13分）从而直线ST的方程为3x﹣ty﹣2=0（*）（14分）因为一定是方程（*）的解，所以直线ST恒过一个定点，且该定点坐标为（16分）21．（14分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．【解答】（1）解：函数f（x）=x2+a（x+lnx）的导数f′（x）=2x+a（1+），f（1）=1+a，f′（1）=2+2a，则函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为y﹣（1+a）=（2+2a）（x﹣1），即y=（1+a）（2x﹣1）；（2）解：①a=0时，f（x）=x2，因为x＞0，所以点（x，x2）在第一象限，依题意，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0；②a＞0时，由对数函数性质知，x∈（0，1）时，lnx∈（﹣∞，0），alnx∈（﹣∞，0），从而“∀x＞0，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0”不成立；③a＜0时，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得，设，g′（x）=+，则g（x）≥g（1）=﹣1，从而，﹣1＜a＜0；综上所述，常数a的取值范围﹣1＜a≤0．（3）证明：直接计算知，设函数g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，，，当a＞e（e﹣1）2或时，＜0，因为y=g（x）的图象是一条连续不断的曲线，所以存在ξ∈（1，e），使g（ξ）=0，即ξ∈（1，e），使f′（ξ）=；当时，g（1）、g（e）≥0，而且g（1）、g（e）之中至少一个为正，由均值不等式知，，等号当且仅当时成立，所以g（x）有最小值，且，此时存在ξ∈（1，e）（或），使g（ξ）=0．综上所述，∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．。

2013-2014学年度第二学期高三三模联考理科数学试题命题学校：潮州金山中学 本试卷共 4 页， 21 题，满分150 分。

考试时间为120 分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。

2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。

3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答 案无效。

参考公式 :s1 222标准差公式：x 1 x x 2 xx n xn一、选择题（满分40 分）i （）1. i 是虚数单位，i1A ．1 1 i B ．1 1iC ．1 1iD ．1 1 i2 2222 22 22. 命题“若 α =，则 tan α =1”的逆否命题是（ ）4A. 若 α ≠，则 tan α ≠ 1B.若 α =，则 tan α ≠144C. 若 tan α ≠ 1，则 α ≠D.若 tan α≠ 1，则 α =443. ABC 中，若 sin 2 A sin 2B sin 2C ，则ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4．下列四个命题中，正确的是（ ）A ．已知命题 p : xR, tan x 1 ；命题q : x, 2 x1 0 ．则命题“ p q ”是真命题R xB ．已知服从正态分布N 0, 2 ，且 P2 2 0.4 ，则 P 2 0.3C ．设回归直线方程为y2 2.5x ，当变量 x 增加一个单位时， y 平均增加 2 个单位D ．已知直线 l 1 : ax 3y 1 0,l 2 : x by1 0 , ，则 l 1 l2 的充要条件是 a 3b 5. 已知向量 a 1, cos, b 1,2 cos 且 ab , 则 cos 2=（）A ． 1B ．0C． 1D ．2 6. 在等差数列 { a n } 中，已知 a 322a 916，则该数列前 11 项和 S 11 （）(A)58(B)88(C)143 (D)176x y 3 07. 若函数 y2x 图像上存在点（ x ， y ）满足约束条件x 2 y 3 0 ，则实数 m 的最大x m值为（ ）A．1B.2C.3D.122f （ x）构成的集合：x1, x2R 且8．对于正实数，记 M为满足下述条件的函数x2＞ x1,有-（ x2-x1）＜f（ x2）-f（ x1）＜（ x2- x1）.下列结论正确的是（）A. 若f ( x)M 1 , g( x)M 2 , 则f( x)g (x)M 12B. 若f ( x)M 1 , g( x)M 2 ,且1＞2，则 f ( x) g ( x) M 1 2C.若f (x)M 1 , g( x)M 2 ,则f( x)g( x)M 12D. 若f (x）M1, g( x)M 2且 g( x)0,则 f ( x)M 1g( x)2二、填空题（满分30 分）（一）必做题 : 第 9 至 13 题为必做题 ,每道试题考生都必须作答．9．从一堆苹果中任取 5 只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127则该样本标准差s（克）（用数字作答）．10．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.开始输入 m , n求m除以 n的余数 rm nn r 第（ 10）题图r0 ?否是输出 m11.如图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．若输入m 11077 ，n2014，则输出m．（注：框图中的的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”）结束第（ 11 ）题图12．过抛物线y24x 的焦点F的直线交抛物线于A, B 两点，点O是原点，若AF 3 ，则 AOB 的面积为.13．非空集合G关于运算满足：（ 1）对任意a、b G ，都有 a b G ；（2）存在 c G ，使得对一切 a G ，都有 a c c a a ，则称G关于运算为“融洽集” 。

汕头市金山中学2014届高三摸底考试(答案修正版)理数试题（2013年8月）第I 卷（选择题 共40分）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若全集U R =,集合{}{}01,022<-=<+--=x x N x x x M ,则下图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．(],1-∞B ．()1,+∞C ．(),2-∞-D ．(2,1)-2.如果b iia =+-23,Rb a ∈,, 则a 等于（ ） A. 6- B. 6 C. 3 D. 4-3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A.x y 1-=B. x xy 221-⎪⎭⎫ ⎝⎛= C. x y sin = D. x x y +=34.函数())21(log 2+-=ax x x f a 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,0 B. ()()2,11,0⋃ C. ()2,1 D.()+∞,25.已知b a ,为异面直线,⊥a 平面α,⊥b 平面β.直线l 满足βα⊄⊄⊥⊥l l b l a l ,,,,则（ ） A. α与β相交,且交线平行于l B. βα//,且α//l C.α与β相交,且交线垂直于l D. βα⊥,且β⊥l6.函数()1log 25.0-=x x f x的零点个数为（ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D. 47. 平面直角坐标系上有两个定点B A ,和动点P ，如果直线PA 和PB 的斜率之积为定值()0≠m m ，则点P 的轨迹不可能是（ ）(下列轨迹的一部分)A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8.设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的S b a ∈,，对于有序元素对()b a ,，在S 中有唯一确定的元素b a *与之对应)，若对任意的S b a ∈,，有b a b a =**)(，则对任意的S b a ∈,，下列等式中不．恒成立的是 ( ) A. []()a b a a b a =****)( B. b b b b =**)(C. a a b a =**)(D. []b b a b b a =****)()(第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分.将答案填在答案卷的相应的横线上.（一）必做题（9~13题）10.已知,3212+=⎪⎭⎫⎝⎛-x x f 且()6=m f ，则=m ***** . 11.若函数()x f 的导函数()342+-='x x x f ,则函数()x f +1的单调减区间是 ***** . 12.在等比数列{}n a 中,21=a 且27644a a a =,则3a 的值是 ***** .13.今有直线0=++m y x ()0>m 与圆222x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原≥+，则实数m 的取值范围是 ***** . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知圆θρcos 4=的圆心为A ,点)43,26(πB , 则线段AB 的长为 ***** . 15.(几何证明选讲选做题)如图所示, 过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于D C ,两 点,AB 切⊙O 于B ,弦MN过CD 的中点P , 已知,6,4==AB AC 则=⋅NP MP ***** .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题12分）已知函数()2cos()(0,0)f x x ωϕωϕ=+>-π<<的最小正周期为π，其图象的一条对称轴是直线8x π=． 1)求()f x 的表达式；2)若⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα且25148-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+παf ，求⎪⎭⎫⎝⎛2αf 的值.17．（本题12分）已知函数()y f x =和()y g x =的图象关于y 轴对称，且2()24f x x x =- 1）求函数()y g x =的解析式；2）解不等式()()|1|2f xg x x +≤-；18.（本题14分）如图，在平行四边形ABCD 中，BC AB 2=＝2，.120︒=∠ABC M 、N 分别为线段CD AB ,的中点，连接DM AN ,交于点O ，将△ADM 沿直线DM 翻折成△DM A '， 使平面DM A '⊥平面BCD ，F 为线段C A '的中点。

广东省汕头市金山中学2014届高三（上）开学摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，那么集合A∩（∁U B）等于（）A．[﹣1，3] B．{x|x≤3或x≥4}C．[﹣2，﹣1）D．[﹣2，4）考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据全集U=R求出B的补集为空集，求出A与B补集的交集即可．解答：解：∵U=R，B={x|x＜﹣1或x＞4}，∴∁U B={x|﹣1≤x≤4}，∵A={x|﹣2≤x≤3}，∴A∩（∁U B）={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]．故选A点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1B．2C．4D．8考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先根据抛物线的方程求出p的值，即可得到答案．解答：解：由y2=2px=8x，知p=4，又焦点到准线的距离就是p．故选C．点评：本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．3．（5分）若（i表示虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：直接利用复数的除法运算把给出的复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求．解答：解：=．所以复数Z对应的点为，位于第四象限．故选D．点评：本题考查阿勒复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法与几何意义，是基础题．4．（5分）（2012•东莞市模拟）已知向量，，且，则实数x的值为（）A．B．﹣2 C．2D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：因为向量，，且，所以根据向量垂直的坐标表示可得方程，进而解方程即可得到答案．解答：解：因为向量，，且，所以可得3x+6=0，∴x=﹣2，故选B．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握利用向量的坐标表示解决向量的夹角、求模、共线与垂直等问题，并且加以正确的计算．5．（5分）（2012•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3B．1C．﹣5 D．﹣6考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先画出线性约束条件的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值解答：解：不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由得A（﹣1，﹣2）z=x+2y可化为直线，可看做斜率为﹣，截距为的动直线，则数形结合可得当该直线过点A（﹣1，﹣2）时，z取得最小值，∴z min=﹣1+2×（﹣2）=﹣5点评：本题主要考查了线性规划的思想和方法，二元一次不等式表示平面区域的知识，数形结合解决问题的思想方法，属基础题6．（5分）在区间[0，1]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．考点：复合三角函数的单调性；几何概型．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据当x∈[0，1]时[0，1]，且在区间[0，]上，结合几何概型计算公式加以计算，即可得到所求事件的概率．解答：解：∵x∈[0，1]时，∈[0，]∴当x∈[0，1]时，[0，1]在区间[0，]上，∈[0，]，可得因此，事件“”发生的概率为P==故选：D点评：本题给出区间[0，1]上随机取一个数x，求函数值小于或等于的概率，着重考查了余弦函数的图象与性质和几何概型计算公式等知识，属于基础题．7．（5分）（2011•怀柔区一模）如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图（或称正视图）为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；图表型．分析：由三视图的定义知，此物体的主视图应该是一个正方形，在作三视图时，能看见的线作成实线，被遮住的线作成虚线，由此规则判断各个选项即可．解答：解：对于选项A，由于只是截去了两个角，此切割不可能使得正视图成为梯形．故A 不对；对于B，正视图是正方形符合题意，线段AM的影子是一个实线段，相对面上的线段DC1的投影是正方形的对角线，由于从正面看不到，故应作成虚线，故选项B正确．对于C，正视图是正方形，符合题意，有两条实线存在于正面不符合实物图的结构，故不对；对于D，正视图是正方形符合题意，其中的两条实绩符合斜视图的特征，故D不对．故选B．点评：本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，高考中有逐步加强的趋势．8．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1考点：循环结构．专题：计算题；压轴题．分析：本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1），由此能够求出结果．解答：解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．故选S．点评：本题考查当型循环结构的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（﹣x）=f（2+x），且在[﹣1，0]上单调递增，设a=f（3），，c=f（2），则a，b，c大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：先根据条件推断出函数为以2为周期的函数，根据f（x）是偶函数，在[﹣1，0]上单调递增推断出在[0，1]上是减函数．减函数，进而利用周期性使a=f（3），b=f（），c=f（2）=f（0）进而利用自变量的大小求得函数的大小，则a，b，c的大小可知．解答：解：由条件f（﹣x）=f（2+x），可以得：f（x+2）=f（﹣x）=f（x），所以f（x）是周期函数．周期为2．又因为f（x）是偶函数，所以图象在[0，1]上是减函数．a=f（3）=f（1+2）=f（1），b=f（）=f（﹣2）=f（2﹣）=f（）c=f（2）=f（0）0＜＜1所以c＞b＞a．故选D．点评：本题主要考查了函数单调性，周期性和奇偶性的应用．考查了学生分析和推理的能力．10．（5分）集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x﹣1∉A，且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是（）A．4B．5C．6D．7考点：交、并、补集的混合运算．专题：新定义．分析：由S={0，1，2，3，4，5}，结合x∈A时，若有x﹣1∉A，且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案．解答：解：∵S={0，1，2，3，4，5}，其中不含“孤立元”的集合4个元素必须是：共有{0，1，3，5} {0，1，4，5}{0，2，3，5}{0，2，4，5}{1，2，4，5} 共5个那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是5个．故选B．点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，我们要根据定义列出满足条件列出所有不含“孤立元”的集合，及所有三元集的个数，进而求出不含“孤立元”的集合个数．二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分）必做题（11-13题）；选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）11．（5分）400辆汽车通过某一段公路时的速度如图所示，则速度在[50，70）的汽车大约有320 辆．（注：本题中速度的单位为km/h）考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：根据已知中的频率分布直方图，我们可以计算出时速在[50，70）的数据对应的矩形高之和，进而得到时速在[50，70）的数据的频率，结合样本容量为400，即可得到时速在[50，70）的数据的频数，即时速在[50，70）的汽车的辆数．解答：解：由于时速在[50，70）的数据对应的矩形高之和为0.03+0.05=0.08 由于数据的组距为10故时速在[50，70）的数据的频率为：0.08×10=0.8故时速在[50，70）的数据的频数为：0.8×400=320故答案为：320．点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，其中频率=矩形高×组距=是解答此类问题的关键．12．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且成等差数列，则= 9 ．考点：等比数列的通项公式；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的公比，由已知列式求出公比，代入即可得到答案．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，由成等差数列，得3a1+2a2=a3即．所以q2﹣2q﹣3=0，解得q=﹣1（舍），q=3．所以．故答案为9．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等不数列的性质，是基础的运算题．13．（5分）已知函数的定义域为（1，+∞），则实数a 的取值范围为（﹣∞，4] ．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：给出的函数的定义域为两部分的交集，而对数部分有意义的x的取值集合为（1，+∞），只要根式内部的代数式大于等于0的解集包含（1，+∞）即可，然后利用二次不等式的解集包含（1，+∞）列式求解a的范围．解答：解：因为函数的定义域为（1，+∞），所以（1，+∞）是不等式x2﹣ax+a≥0的解集的子集．则△=（﹣a）2﹣4a≤0①，或②．解①得，0≤a≤4．解②得，a＜0．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，4]．故答案为（﹣∞，4]．点评：本题考查了对数函数的定义域，考查了数学转化思想方法，训练了“三个二次”结合求解参数的范围，是中档题．14．（5分）（2010•广东模拟）AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC长为．考点：圆的切线的性质定理的证明；相似三角形的性质．专题：计算题；压轴题．分析：在圆中线段利用由切割线定理证得∠ACD=∠ABC，进而利用直角三角形相似的判定得到三角形相似，得比例式求得AC即可．解答：解：连接AC、BC，则∠ACD=∠ABC，又因为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ACD～△ACB，所以，解得AC=．故填：．点评：此题考查的是圆的切线的性质定理的证明、直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质定理，属于基础题．15．（2009•长宁区二模）极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程为ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间的距离公式求解即得．解答：解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣x=0，其圆心是A（，0），由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故答案为：．点评：本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等基本方法，我们要给予重视．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知函数，x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）直接将x=0代入即可求得结果；（2）由函数解析式化简已知两等式求出sinα与c osβ的值，由α与β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与sinβ的值，将所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）…（3分）（2），即…（5分），即…（8分）∵，…（9分）∴，…（10分）∴…（12分）点评：此题考查了两角和与差公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．17．（12分）（2010•海门市模拟）已知命题p：（x+1）（x﹣5）≤0，命题q：1﹣m≤x≤1+m （m＞0）．（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：（1）首先整理出P命题的解，根据p是q的充分条件，得到p的解集是q的解集的子集，写出解的两端数字之间的关系，得到不等式组，解不等式组，得到结果．（2）首先根据“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p与q一真一假，对于两个命题的一真一假进行讨论，把得到的两个结果求两个解集的交集．解答：解：（1）解出p：﹣1≤x≤5，∵p是q的充分条件，∴[﹣1，5]是[1﹣m，1+m]的子集∴，得m≥4，∴实数m的取值范围为[4，+∞）（2）当m=5时，q：﹣4≤x≤6．依题意，p与q一真一假，p真q假时，由，得x∈∅p假q真时，由，得﹣4≤x＜﹣1或5＜x≤6∴实数m的取值范围为[﹣4，﹣1）∪（5，6]点评：本题考查命题的真假与应用，是一个中档题目，这种题目考查的知识点一般比较多，是一个易错题，注意命题中涉及到的其他的知识点．18．（14分）已知数列{a n}中，（n∈N*）．（1）求证：数列为等差数列；（2）设，数列{b n b n+2}的前n项和T n，求证：．考点：数列与不等式的综合；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由变形可得：，易得数列为等差数列；（2）结合（1）中结论，可求出数列{b n b n+2}的通项公式，进而利用裂项相消法求出数列{b n b n+2}的前n项和T n后，易得答案．解答：证明：（1）由得：且，…（2分）所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，…（3分）（2）由（1）得：；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）由得：，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）从而：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）则 T n=b1b3+b2b4+…+b n b n+2==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查的知识点是等差数列的确定，数列求和，数列与不等式的综合应用，其中（1）的关键是由已知得到，（2）的关键是由裂项相消法求出数列{b n b n+2}的前n项和T n19．（14分）如图，已知DE⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，且F是CD的中点．（1）求证：AF∥平面 BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面 CDE．（3）求V C﹣ABF：V C﹣ABED的值．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）取CE中点P，连结FP、BP证明AF∥BP，利用直线与平面平行的判定定理证明AF∥平面 BCE；（2）通过证明BP⊥平面CDE，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面BCE⊥平面CDE．（3）利用转化思想V C﹣ABF=V B﹣ACF求出几何体的体积，然后求出V C﹣ABED的值，即可得到比值．解答：（本小题满分14分）解：（1）证明：取CE中点P，连结FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．…（2分）又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．…（4分）（2）证明：∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．…（7分）又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．…（8分）又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．…（9分）（3）∵DE∥ABDE⊥平面ACD∴AB⊥平面ACD∴AB是三棱锥B﹣ACF的高，V C﹣ABF=V B﹣ACF=…（11分）取AD中点Q，连结CQ∵DE⊥平面 ACD，DE⊂平面ABED，∴平面ACD⊥平面ABED，∵△ACD为正三角形，∴CQ⊥AD，平面ACD∩平面ABED=AD CQ⊂平面 ACD，∴CQ⊥平面ABED，∴CQ是四棱锥C﹣ABED的高…（12分）V C﹣ABED=…（13分）故V C﹣ABF：V C﹣ABED=…（14分）点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及面面垂直的判定，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于中档题．20．（14分）（2013•揭阳一模）如图，设点F1（﹣c，0）、F2（c，0）分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l1：y=kx+m，l2：y=kx+n，若l1、l2均与椭圆C相切，证明：m+n=0；（3）在（2）的条件下，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B坐标；若不存在，请说明理由．考直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）设出P点坐标，得到向量的坐标，由代入得到关于x的函析：数关系式，求出其最小值，由最小值等于0得到c的值，则a2可求，所以椭圆C的方程可求；（2）把两条直线方程分别和椭圆方程联立，由判别式等于0得到m与k和n与k的关系，进一步证出m+n=0；（3）假设在x轴上存在定点B，使点B到l1，l2的距离之积恒为1，由点到直线的距离公式求出点B到l1，l2的距离，代入后利用等式恒成立求出B点的横坐标．解解：（1）设P（x，y），则有，答：.．由最小值为0，得1﹣c2=0，所以c=1，则a2=b2+c2=1+1=2，∴椭圆C的方程为；（2）把y=kx+m代入椭圆，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣2=0，∵直线l1与椭圆C相切，∴△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，化简得m2=1+2k2，把y=kx+n代入椭圆，得（1+2k2）x2+4nkx+2n2﹣2=0，∵直线l2与椭圆C相切，∴△=16k2n2﹣4（1+2k2）（2n2﹣2）=0，化简得n2=1+2k2，∴m2=n2，若m=n，则l1，l2重合，不合题意，∴m=﹣n，即m+n=0；（3）设在x轴上存在点B（t，0），点B到直线l1，l2的距离之积为1，则，即|k 2t 2﹣m 2|=k 2+1，把1+2k 2=m 2代入并去绝对值整理，得k 2（t 2﹣3）=2或k 2（t 2﹣1）=0， k 2（t 2﹣3）=2不满足对任意的k ∈R 恒成立；而要使得k 2（t 2﹣1）=0对任意的k ∈R 恒成立则t 2﹣1=0，解得t=±1；综上所述，满足题意的定点B 存在，其坐标为（﹣1，0）或（1，0）．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．21．（14分）已知函数f （x ）=的图象过点（﹣1，2），且在点（﹣1，f （﹣1））处的切线与直线x ﹣5y+1=0垂直． （1）求实数b ，c 的值；（2）求f （x ）在[﹣1，e]（e 为自然对数的底数）上的最大值；（3）对任意给定的正实数a ，曲线y=f （x ）上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题． 分析：（1）求出x ＜1时的导函数，令f （﹣1）=2，f′（x ）=﹣5，解方程组，求出b ，c 的值．（2）分段求函数的最大值，利用导数先求出﹣1≤x＜1时的最大值；再通过对a 的讨论，判断出1≤x≤e 时函数的单调性，求出最大值，再从两段中的最大值选出最大值． （3）设点P 的横坐标为m （不妨设m ＞0），则由题意可得点Q 的横坐标为﹣m ，且﹣m ＜0．由题意可得OP⊥OQ，即K 0P •K OQ =﹣1．分0＜m ＜1和m≥1两种情况，分别检验，从而得出结论．解答： 解：（1）由题意可得，当x ＜1时，f′（x ）=﹣3x 2+2x+b ，f′（﹣1）=﹣3﹣2+b=b﹣5．由（ b ﹣5 ）（）=﹣1，可得b=0，故 f （x ）=﹣x 3+x 2+c ． 把点（﹣1，2）代入求得 c=0． 综上可得b=0，c=0． （2）由以上可得，当﹣1≤x＜1时，f′（x ）=﹣x （3x ﹣2）．解f′（x ）＞0得0＜x ＜．解f′（x ）＜0得1≥x＞或x ＜0．∴f（x）在（﹣1，0）和（，1）上单调递减，在（0，）上单调递增，从而f（x）在x=处取得极大值为f（）=．又∵f（﹣1）=2，f（1）=0，∴f（x）在[﹣1，1）上的最大值为2．当1≤x≤e时，f（x）=alnx，当a≤0时，f（x）≤0．当a＞0时，f（x）在[1，e]单调递增；∴f（x）在[1，e]上的最大值为a．∴a≥2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为2．（3）设点P的横坐标为m（不妨设m＞0），则由题意可得点Q的横坐标为﹣m，且﹣m ＜0．当0＜m＜1时，点P（m，﹣m3+m2），点 Q（﹣m，m3+m2），由K0P•K OQ=﹣1，可得（﹣m2+m）（﹣m2﹣m）=﹣1，m无解．当m≥1时，点P（m，alnm），点 Q（﹣m，m3+m2），由K0P•K OQ=﹣1，可得•（﹣m2﹣m）=﹣1，即 alnm=．由于a为正实数，故存在大于1的实数m，满足方程 alnm=．故曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，曲线对应的函数在切点处的导数值为切线的斜率；求分段函数的性质时应该分段去求体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于难题．。