2024届湖南省祁东县第一中学高三下学期开学摸底(文理合卷)数学试题

2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）01数 学本试卷共22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效。

4．考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题 每小题5分 共40分。

在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}232A x x =-≤ {}1,0,1,2,3B =- 则A B ⋂=（ ） A ．{}1,0,3- B ．{}0,1,3 C ．{}1,0,2,3- D ．{}1,1,2- 2．已知12i z =-+ 则z z =（ ） A ．34i 55- B ．34i 55-+ C ．43i 55-+ D ．43i 55- 3.已知()52345601234561(1)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++ 则3a 的值为（ ）A.-1B.0C.1D.24. 一个集合中含有4个元素 从该集合的子集中任取一个 则所取子集中含有3个元素的概率为（ ） A. 47 B. 35 C. 16 D. 145. 已知0x > 0y > 且26xy x y ++= 则2x y +的最小值为（ ）．A. 4B. 6C. 8D. 126. 已知3log 5a = 2log 8b =e c =则a b c 的大小关系为（ ）．A. a c b <<B. b<c<aC. c<a<bD. a b c << 7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明 后人称其为“赵爽弦图” 它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形 如图所示.在“赵爽弦图”中 若,,3BC a BA b BE EF === 则AE =（ ）A ．12162525a b -B ．16122525a b +C ．1292525a b +D ．9122525a b - 8．设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数 当[0,2)x ∈时 ()23,012,12x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<<⎩ 则5()2f -=（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．12 D ．14二、选择题：本题共4小题 每小题5分 共20分 在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求．全部选对的得5分 部分选对的得2分 有选错的得0分。

2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,5,6U A ==,{}1,2,3,5B =,则5∉（）A ．()U AB ðB ．()U B AðC ．A BD ．A B【答案】A【解析】由题设{4,6}U B =ð,故(){4,6}U B A =I ð,(){1,4,5,6}U B A =U ð,{1,2,3,4,5,6}A B = ,{1,5}A B = ,所以5∉()U A B ð,故选A.2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-,因为复数z 对应点在虚轴上,所以202a -=,解得2a =.故选B.3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778÷≈,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%÷≈,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为10.440.320.213%---≈,故A 错、B 错；经营净收入与转移净收入差为()57780.320.21636⨯-≈元,故C 错误； 财产净收入为57780.03173⨯≈元,故D 正确.故选D.4．已知a b ，是平面内两个非零向量,那么“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若a b ∥,则存在唯一的实数0μ≠,使得a b μ= ,故a b b b b λμλμλ+ =+=+,而()||||||||a b b b b λμλλμ++ ==+,存在λ使得λμλμ+=+成立,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的充分条件,若0λ≠且||||||a b a b λλ+=+ ,则a 与b λ 方向相同,故此时a b ∥,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的必要条件,故“a b ∥”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+”的充要条件,故选C.5．已知3sin 375︒≈,）A ．34B ．43C．4D．3【答案】B【解析】因为3sin 375︒≈,所以4cos375︒=≈,sin 82︒︒+=()()sin 53sin cos 53cos 53sin sin 4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-cos 45cos sin 53cos 5345︒︒︒︒=()()4sin 9037cos37453cos 9037sin 3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选B.6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1x y x =+C ．22(e e )1x x y x -+=+D ．32sin 1x xy x -+=+【答案】B【解析】4个选项中的函数定义域均为R,设该函数为()f x ,对于A,()()()()2211cos cos 44,,11x x x xf x f x f x f x x x -=-==--++,故21cos 41x x y x =+为奇函数,且()40f >,对于B,()()()222sin 2sin ,,11x x f x f x f x x x -=-==-++故()f x 为奇函数,()2sin 44017f =<,对于C,()()()()222(e e )2(e e ),,11x x x x f x f x f x f x x x --++=-==-++,故()f x 为偶函数,对于D,()()()3322sin sin ,11x x x x f x f x f x x x -+-=-==-++，故()f x 为奇函数,()64sin44117f -+=<-,由图知函数为奇函数,故排除C ；由()40f <,排除A,由()41f >-,排除D,故选B ．7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（）A ．54B．54-C．108-D．81-【答案】C【解析】如图,转动了45︒后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x ,,则有23x =,得到32x =-,由几何关系得：阴影部分的面积为21127(324S ==所以增加的面积为1271616(1084S S ===-故选C.8．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（）A．2⎫⎪⎪⎣⎭B．0,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎝⎦【答案】B【解析】设()00,P x y ,()0,M b ,因为2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PMx y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0b y b -≤≤,由题意知当0y b=-时,2PM 取得最大值,所以32b b c -≤-,可得222a c ≥,即212e <,则0e <≤．故选B ．9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】A【解析】点D 为BC 中点,在ABC 中,4AB AC ==,所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC 的“欧拉线”为AD ,因为点()1,3B -,点()4,2C -,所以31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭,因为直线BC 的斜率为32114+=---,所以AD 斜率为1,方程为1322y x -=-,即10x y --=,因为“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切所以圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+=的距离为=所以圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为=故选A.10.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（）A B C ．2πD ．2【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的半径122R ==如图,取1DD 的中点E ,连接,,AE PE BP ,易知四边形ABPE 为矩形,且平面α即为平面ABPE ,分别取11,AA BB 的中点,M N ,连接,,MN NP ME ,则易得四边形MNPE 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O 即为正方形MNPE 的中心,取ME 的中点1O ,连接1O O ,则11//,O O EP O O ⊄平面ABPE ,EP ⊂平面ABPE ,所以1//O O 平面ABPE ,故球心O 到平面APE 的距离与1O 到平面APE 的距离相等,过点1O 作1O H AE ⊥,垂足为H ,易知AB ⊥面11AA D D ,1O H ⊂面11AA D D ,故1AB O H ⊥,又AB ⋂,,AE A AB AE =⊂平面ABPE ,所以1O H ⊥平面ABPE ,又1O H =1sin 454O E ︒=,所以球心O 到平面APE 的距离为4,由球的性质知,截面圆的半径r =4==,所以截面圆的周长为2ππ2r =.故选D.11.若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为（）A ．12B ．1C ．e D ．2e 【答案】B【解析】设直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ,则11e x k =,且111e 11x k x +=+,所以11e 1xx =,221k x =,且222ln 11x k x +=+,所以22ln 1x x =,令()ln f x x x =,()1ln f x x '=+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0f x '<,()f x 单调递减,当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,且()10f =,()0,0x f x →→,所以当()0,1x ∈时,()0f x <,因为()222ln 1f x x x ==,()111e e 1x xf x ==,即()()12e 10x f x f ==>,所以()()121,,e 1,x x ∞∞∈+∈+,所以12=e x x ,故11221e 1xk k x =⋅=,故选B.12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是()A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑【答案】C【解析】因为()1f x +为偶函数,所以()()11f x f x +=-+①,所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称,因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②,又()()31f x g x -+=③,②+③得()()132f x f x -+-=④,即()()132f x f x +++=,即()()22f x f x +=-,所以()()()422f x f x f x +=-+=,故()f x 的周期为4,又()()13g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得()()132f x f x ++-=,故()f x 的图象关于点()2,1中心对称,且()21f =,故选项A 正确,由()()22f x f x +=-,()21f =可得()()01,41f f ==,且()()132f f +=,故()()()()12344f f f f +++=,故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑,因为()1f 与()3f 值不确定,故选项C 错误,因为()()31f x g x -+=,所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-,所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦,故()()()()01230g g g g +++=,故20230()50600i g i ==⨯=∑,所以选项D 正确,故选C .二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是__________.【答案】-15【解析】5555213C (3)C rr rr r rr T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令523-=r 得1r =,所以3x 的系数为511(3)C 15-=-.14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,则该时段内这200部宣传片中浏览量在(]0.9,1.8万次的个数约为______.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈）【答案】164【解析】因为浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,所以浏览量X （万次）的均值 1.5μ=,方差20.09σ=,0.3σ=,故()(1.2 1.8)0.6827P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,(22)(0.9 2.1)0.9545P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,故[]1(0.9 1.8)(1.2 1.8)(0.9 2.1)(1.2 1.8)0.81862P X P X P X P X <≤=<≤+<≤-<≤≈.故浏览量在(]0.9,1.8万次的作品个数约为2000.8186164⨯≈.15．如图,四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,AC 平分DAB ∠,π3ABC ∠=,33AB BC ==,则sin DAB ∠的值_______.【答案】14【解析】在ABC 中,π,3,13ABC AB BC ∠===,由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯2213123172=+-⨯⨯⨯=,所以AC .由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠,sinsin14BC ABCBACAC∠∠⋅==.即cos BAC∠=.又因为AC平分DAB∠,所以sin2sin cos14DAB BAC BAC∠∠∠==.16．已知抛物线24y x=的焦点为F,点,P Q在抛物线上,且满足π3PFQ∠=,设弦PQ的中点M到y轴的距离为d,则1PQd+的最小值为__________．【答案】1【解析】由抛物线24y x=可得准线方程为=1x-,设|||,0,,|(0)PF a QF b a b==>>,由余弦定理可得22222||||||2||||cosPQ PF QF PF QF PFQ a b ab=+-⋅∠=+-,由抛物线定义可得P到准线的距离等于PF,Q到准线的距离等于||QF,M为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线=1x-的距离为11(||||)()22PF QF a b+=+,则弦PQ的中点M到y轴的距离1()12d a b=+-,故2222222||()344(1)()()PQ a b ab a b abd a b a b+-+-=⨯=⨯+++,又2()0,20,4,a b a ba b ab++>>≤∴≤,则222223()()||441(1)()a ba bPQd a b++-≥⨯=++,当且仅当a b=时,等号成立,所以1PQd+的最小值为1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,四棱锥-P ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB CD∥,12AD DC AB==,且平面PAD⊥平面ABCD,PD AD⊥.(1)求证：BD PA ⊥；(2)PB 与平面ABCD 所成的角为30 ,求二面角--A PB C 的正弦值.【解析】（1）证明：取AB 的中点E ,连接CE ,则由题意知BCE 为正三角形,所以60ABC ∠= ,由等腰梯形知120BCD ∠= ,设2AD CD BC ===,则4AB =,23BD =,故222AD BD AB +=,即得90ADB ∠=o ,所以AD BD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ,PD AD ⊥,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,所以PD BD ⊥,因为AD PD D =I ,AD ,PD ⊂平面PAD ,所以BD ⊥平面PAD ,因为PA ⊂平面PAD ,所以BD PA ⊥.（2）由（1）得DA ,DB ,DP 两两垂直,以D 为坐标原点,DA ,DB ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,因为PD ⊥平面ABCD ,所以PB 平面ABCD 所成的角为30PBD ∠= ,设2AD CD BC ===,则23DB =2PD =,则()2,0,0A ,()002P ,,,()0,23,0B ,()3,0C -,则()2,0,2PA =-,()0,23,2PB =- ,()3,2PC =--,设平面PAB 的法向量为(),,m x y z=,则00PA m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即220320x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取3z =,则3,1,3m = ,设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ,则00PC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020a c c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,取c =则(n =,所以1cos ,7m n m n m n ⋅==,所以二面角A PB C --7=.18.（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否从{}n a 中选出以1a 为首项,以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能,请说明理由.【解析】（1）1n a +2428n n n S a a =+-当1n =时,211114284S a a a =+-=,即()21112800a a a --=>,得14a =或12a =-（舍去）.由2428n n n S a a =+-,……①得()21114282n n n S a a n ---=+-≥,……②-①②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-,化简得()()1120n n n n a a a a ----+=.因为0n a >,所以120n n a a ---=,()122n n a a n -=+≥,即数列{}n a 是以4为首项,2为公差的等差数列,所以()22n a n n *=+∈N .（2）存在.当114k a a ==,238k a a ==时,会得到数列{}n a 中原次序的一列等比数列()121,,,,,1m k k k a a a k = ,此时的公比2q =,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列{}n a 中；下面证明此时的公比最小：114k a a ==,假若2k a 取26a =,公比为6342=,则323492k a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭为奇数,不可能在数列{}n a 中.所以11422m m m k a -+=⋅=.又1222m m k m a k +=+=,所以21mm k =-,即{}n k 的通项公式为()12n n k n -=∈*N ,故()1212122121 (212212)n nn n T n n +-=-+-++-=-=---.19.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B 两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别,每首音乐只被一个AI 软件识别一次,并记录结果；方案二：对同一首歌,,A B 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A 组占23；在错误识别的音乐数中,B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii ）利用（i ）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI 软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243P P +=,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d K -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K x ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）（i ）依题意得22⨯列联表如下：正确识别错误识别合计A 组软件402060B 组软件202040合计6040100因为22100(40202020)25 2.778 3.841604060409K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,且()2 3.8410.05P K ≥=,所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii ）由（i ）得1221,32P P ==,故方案二在一次测试中通过的概率为2222122122222222221211214C 1C C C 1C C 332322329P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）方案二每次测试通过的概率为()()()()()()222212212221122212222122C 1C C C 1C C P P P P P P P P P =⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅1212833PP PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21212833PP PP =-+2124163927PP ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,所以当1249PP =时,P 取到到最大值1627,又1243P P +=,此时1223P P ==,因为每次测试都是独立事件,故n 次实验测试通过的次数(),X B n P ,期望值()16E X nP ==,因为1627p ≤,所以1627162716n p =≥⨯=所以测试至少27次,此时1223P P ==.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅ 为定值；(3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由．【解析】（1）由题可得1,2c a a ==,故可得2c =,则222413b c a =-=-=,故C 的标准方程为2213y x -=.（2）由（1）中所求可得点A ,2F 的坐标分别为()()1,0,2,0-,又双曲线渐近线为y =,显然直线PQ 的斜率不为零,故设其方程为2x my =+,m ⎛≠ ⎝⎭,联立双曲线方程2213y x -=可得：()22311290m y my -++=,设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则121222129,3131m y y y y m m +=-=--,()121224431x x m y y m +=++=--,()221212122342431m x x m y y m y y m --=+++=-；又直线AP 方程为：()1111y y x x =++,令12x =,则11321y y x =⋅+,故点M 的坐标为1113,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；直线AQ 方程为：()2211y y x x =++,令12x =,则22321y y x =⋅+,故点N 的坐标为2213,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；则22MF NF ⋅ 12123333,,221221y y x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭212212122299999313444414413131y y m m x x x x m m -=+⋅=+⋅--+++-+--9990449=+⋅=-故22MF NF ⋅ 为定值0.（3）当直线PQ 斜率不存在时,对曲线22:13y C x -=,令2x =,解得3y =±,故点P 的坐标为()2,3,此时290PF A ∠=︒,在三角形2PF A 中,223,3AF PF ==,故可得245PAF ∠=︒,则存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；当直线PQ 斜率存在时,不妨设点P 的坐标为(),x y ,2x ≠,直线2PF 的倾斜角为α,直线PA 的倾斜角为β,则2PF A πα∠=-,2PAF β∠=,假设存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立,即2παβ-=,则一定有()22tan tan tan tan 21tan βπααββ-=-==-,也即2221PA PF PA k k k -=-；又22PF y k x -=--；()()()22222221211111PA PA yy x k x y k x y x ++==-+--+；又点P 的坐标满足2213y x -=,则2233y x =-,故()()()()222222*********PA PA y x y x k k x y x x ++==-+-+-+()()()()221212242212y x y x yx x x x x ++===--++--+-2PF k =-；故假设成立,存在实数常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；综上所述,存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠恒成立.21.（12分）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭,其中,R a b ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在三个零点123,,x x x （其中123x x x <<）.（i ）若1a >,函数()1ln 2g x x x =+,证明：()102b g a a a<-<-；（ii ）若01a <<,证明：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时,01x <<11x a <<a x a >()f x '-0+0-()f x 极小值 极大值②若1a =时,()0f x '≤恒成立,()f x 单调递减,③若01a <<时0x a<<a 1<<a x 11x >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值 ④若0a ≤时,()0,1x ∈时,()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时,()()0,f x f x '>单调递增.综上所述,当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时,()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,(),1x a ∈,()f x 单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x f x ∞∈+单调递增.（2）（i ）由（1）知当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减.所以()f x 存在三个零点,只需()0f a >和()10f <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭,整理得()1ln 2b a g a a >+=且12b a <.此时,()11111ln ln 22222b g a a a a a a a a a a --+<--+-=--,令()1ln 2h a a a =--,易知()h a 在()1,+∞上单调递减有()()1102h a h <=-<,所以()102b g a a a <-<-.（ii ）由（1）知,当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,()(),1,x a f x ∈单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减所以12301x a x x <<<<<.若()f x 存在三个零点,只需()10f >和()0f a <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭,整理得11ln 22a b a a<<+,因为()2111ln 22a a f x x b x x x +=-+--+,设1t x =,则方程2111ln 022x a x b x x x +-+--+=,即为()2111ln 022a a t t x t b -+++-+=记123123111,,t t t x x x ===,则123,,t t t 为方程()2111ln 022a a t t t t b -+++-+=三个不同的根,设313111x t k t x a==>>.要证：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,即证：()()21313221138112381a a t t t t a a a a ++⎛⎫++--< ⎪++⎝⎭,即证：()()21321321138112381a a t t a a a a t t +++--<+++,而()21111111ln 022a a t t t t b -+++-+=且()23333111ln 022a a t t t t b -+++-+=,所以()()()22131313ln ln 102a t t t t a t t -+--+-=,所以131313ln ln 222t t t t a a t t -+--=-⨯-,即证：()()21321313ln ln 2113811381t t a a a t t a a a t t -++-⨯<-+++,即证：()()11323213ln1138110681t t t t a a t t a a ++++>-++,即证：()()221ln 11381101681k ka a k a a ++++>-++,记()()1ln ,11k k k k k ψ+=>-,则()2112ln 0(1)k k k k k ψ'⎛⎫=--> ⎪-⎝⎭,所以()k ψ在()1,+∞为增函数,所以()()k a ψψ>所以()()()()22221ln 1ln 113811113811011681681k ka aa a a a k a a a a a +++++++>+>--++++,设()()()()()221113811ln ,016181a a a a a a a a a ω-++=+<<+++,则()()6543222301412561413010(1)81a a a a a a a a a a a ω'++++++=>+++,所以()a ω在()0,1上是增函数,所以()()10a ωω<=所以()()()()221113811ln 06181a a a a a a a -+++<+++,即()()221ln 1138111681a aa a a a a ++++>-++所以若12301,a x x x <<<<,则()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；(2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2240x y x +-=,得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=,即4cos ρθ=．将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去,得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入,得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=,即2sin ρθ=．（2）由题得4cos OP α=,3π4cos 4sin 2OM αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,π2sin 2cos 2ON αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,4sin 2cos NM OM ON αα=+=+,因为OP MN ⊥,所以()()2114sin 2cos 4cos 24sin cos 2cos 22MPN S MN OP αααααα=⨯=+⋅=+△()()22sin 2cos 21222αααϕ=++=++≤,其中1tan 2ϕ=,π02ϕ<<,当π22αϕ+=,即π42ϕα=-时,MPN △的面积取得最大值2．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,a b ¹,0c >．(1)求m 和n ；(2)证明：a b +<【解析】（1）函数()1g x x =-的最小值为0m =,此时1x =,当1x >时,()121f x x x x =-+=-,当01x ≤≤时,()11f x x x =-+=,当0x <时,()121f x x x x =--=-+,函数()21,111,0112,0x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-<⎩,函数在(,0]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,当01x ≤≤时,()1f x =,所以函数()f x 的最小值为1n =,故0,1m n ==.（2）由（1）知0a b c ++=,1abc =,因为0a b c +=-<,10ab c=>,所以a<0,0b <,0a ->,0b ->,1()()a b c ab-+-==,又因为2()()()2a b ab a b a b --⎛⎫=--<≠ ⎪⎝⎭,所以212ab a b ⎛⎫> ⎪--⎝⎭,又1()()a b ab -+-=,所以3[()()]4a b -+->,所以()()a b -+->a b +<。

湖南省衡阳市祁东县2024届高三下学期考前仿真联考三数学试题一、单选题1．已知集合{1,5}A =，{1,3}B a =+，若A B =，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．2-D ．22．若数据123,,,,n x x x x L 的标准差为s ，则数据131x +，231x +，331x +，…，31n x +的标准差为（ ）A 1+BC ．31s +D ．3s3．对任意的实数x ，若6260126(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-L ，则0a 的值为（ ） A ．15 B ．6 C ．1 D ．204．已知点(2,0)F ，动圆P 过点F ，且与2x =-相切，记动圆圆心P 点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（ ）A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．212y x =5．已知圆锥SO （O 是底面圆的圆心，SP 、Q 为底面圆周上任意两点，则三棱锥O SPQ -体积的最大值为（ ）A B C ．D ．6．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b c =，D 为AC 的中点，sin 2sin b A ABD =∠，则BD =（ ）A．1 B C D ．27．在三角形ABC 中，点M 在平面ABC 内，且满足(,)BM BA BC λμλμ=+∈R u u u u r u u u r u u u r ，条件:3P AM MC =u u u u r u u u u r ，条件:221Q μλ-=，则P 是Q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在C 的左支上，2AF 交C 的右支于点B ，若1130F AB F BA ︒∠=∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C D二、多选题9．设α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A ．若m α⊥，m β⊥，则//αβB ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若//n α，m n ⊥，则m α⊥D ．若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥10．已知函数π()tan()0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为π2B ．sin ϕ=C ．函数()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．方程π()sin 2(0π)4f x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的解为3π8，7π8 11．已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，若函数(1)1g x +-是奇函数，函数(1)f x +是偶函数，(3)1f =，且()(1)2f x g x -+=.则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 图像关于直线2x =对称B ．函数()g x 为偶函数C ．4是函数()g x 的一个周期D ．361()36k g k ==∑三、填空题12．已知12i -是关于x 的方程20x px q ++=（其中p 、q 为实数）的一个根，则p q -的值为.13．已知圆22:4O x y +=，圆C 与x 轴相切于点(2,0)P ，与y 轴正半轴交于A ，B 两点，且||3AB =，则圆O 和圆C 的公共弦所在的直线方程为.14．我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为()()v x y u x =()()0,()1u x u x >≠，幂指函数在求导时可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数x y x =，()()()ln ln ln e e e (ln 1)x x x x x x x y x x '''⎡⎤'====+⎢⎥⎣⎦.若0a >，1a ≠，函数11()(0)2x xa g x x ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，若()22(2)g x x g x -+<，则实数x 的取值范围为.四、解答题15．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，已知平面ABC ⊥平面11BCC B ，AC BC ⊥，1224B C AC BC ===，1BB =(1)证明：1B C ⊥平面ABC ；(2)已知E 是棱1BB 的中点，求平面1C AE 与平面CAE 夹角的余弦值.16．生涯规划是对职业生涯乃至人生进行持续的系统的计划过程.高中选科分类是生涯规划的重要组成部分，生涯规划专业团队为某“乡村振兴县”的高中学生指导学生选科分类，生涯规划团队在该县的高一学生中随机抽取100名学生，进行选科类别与学生性别的关系研究，得到的统计数据如下列联表：（单位：名）(1)依据0.05α=的独立性检验，分析学生的性别是否对选科分类有影响；(2)生涯规划团队远过对随机抽取的100名学生中的男生的样本数据分析得到：首选物理，再选化学和地理的频率为37；首选历史，再选化学和地理的频率为13.以样本估计总体，频率估计概率，为进一步了解学生选科的情况，再从全校男生中用随机抽样的方法选取4名学生，记选取的4名男生中选化学和地理人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附22():()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.17．已知函数2()(1)e 1x f x x ax =--+.(1)当e a =时，求函数()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程；(2)若[0,)x ∈+∞，不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.18．已知椭圆22:12x C y +=. (1)已知MPQ V 的顶点均在椭圆C 上，若坐标原点O 为MPQ V 的重心，求点O 到直线PQ 距离的最小值；(2)已知定()00,N x y 在椭圆C 上，直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于A 、B 两点，若直线AB ，AN ，BN 的斜率均存在，且AN BN ⊥，证明：直线AB 过定点（坐标用0x ，0y 表示）. 19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =.(1)若2421n n n a S a =--，求数列{}n a 的通项公式； (2)若函数()2e x f x x =+，正项数列{}n a 满足：*1)()(n n a f a n +=∈N .（i ）证明：31n n S n ≥--；（ii ）证明：*2222234)1111(1)(1)(1)(1)2,5555nn n a a a a ++++≥∈N L .。

湖南省祁东县2023-2024学年下期高一期末统考试卷高一数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A.B.C. D.2.记的内角的对边分别为，已知，则（ ）A.B. C. D.3.给出下列四个结论：①经过两条相交直线，有且只有一个平面；②经过两条平行直线，有且只有一个平面；③经过三点，有且只有一个平面；④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面.其中正确结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.44.已知小王4次月考的数学成绩分别为125，116，120，131，则这些成绩的第75百分位数是（ ）A.122.5B.125C.128D.1315.从标有数字1，2，3，4的四张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字相邻的概率是（ ）A.B. C. D.6.某商品3~5月份在甲､乙､丙､丁四个地区的销量如下图所示，则在这四个地区中该商品3~5月份销量方差最小的为（）z i 12i z =-z =2i -+2i +2i --2i-ABC V ,,A B C ,,a b c 2,1,60a c B === A =π6π4π3π213231234A.甲地区B.乙地区C.丙地区D.丁地区7.已知方程的根分别为，则（ ）A.2B.0C. D.8.在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的最小值为（）B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则的外接圆的半径为4D.若10.在抛掷一个质地均匀的骰子的试验中，事件A 表示“出现小于5的奇数点数”，事件B 表示“出现不小于5的点数”，则下列结论正确的是（ ）A.B.C.D.事件或至少有一个发生的概率为11.如图1，一圆形纸片的圆心为O ，半径为，以O 为中心作正六边形ABCDEF ，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆O 上.现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台.若该正六310x -=123111,22x x x ==-=-1001001(12⎫⎛-+=⎪ ⎪⎝⎭10121012-1111A B C D A B C D -P 11A C Q 1B C P Q 11B C C B ABC V ,,A B C ,,a b c A B C >>0tan C <<A B >sin sin A B>150,2A a == ABC V 30,A C a == 3b =()16P AB =()()P AB P B =()()1P AB P A =-A B 23棱台的高为，则下列结论正确的是（ ）A.正六边形的边长为4B.该正六棱台的侧面积为C.D.该正六棱台的体积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.某中学高一年级有男生640人，女生480人.为了解该年级男､女学生的身高差异，应采用__________（从“简单随机”和“分层随机”中选一个最合适的填入）抽样.若样本容量为112，则应抽取的女生人数为__________.13.现用一枚甲型导弹和一枚乙型导弹各射击目标一次，则目标被击中的概率为.已知一枚甲型导弹击中目标的概率是，且甲､乙两种导弹是否击中目标互不影响，则一枚乙型导弹击中目标的概率是__________.14.已知点是的内心，，则面积的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知平面向量满足.（1）若，求的值；（2）若，求向量与夹角的大小.16.（15分）为了了解一片林木的生长情况，某科研机构成员随机检测了其中100棵树木的底部周长（单位：cm ，所得数据都在，按分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.ABCDEF 141523O ABC V 120,2A B C A C ∠== AOC V ,,a b c()()3,4,,8,4a b c λ==-= a∥b λ()()210a c a c +⊥+ ac )[]80,130[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130]（1）求图中的值；（2）估计这片林木中树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若这片林木有10000棵树木，估计这片林木中底部周长在内的树木的数量.17.（15分）记的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的周长.18.（17分）为普及防火救灾知识，某学校组织防火救灾知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手在第一轮比赛胜出后才能进入第二轮比赛.若其在两轮比赛中均胜出，则赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为，甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响，（1）比较甲､乙两人谁赢得比赛的概率大；（2）求甲赢得比赛且乙没赢得比赛的概率.19.（17分）如图，在四棱锥中，平面，平面平面分别为的中点.（1）证明：平面.（2）证明：.（3）若二面角，求三棱锥的体积.a [)90,110ABC V ,,A B C ,,a b c 42,3C A c a ==cos A 3a =ABC V 23,3411,23P ABCD -PA ⊥,,8,6ABCD AB AD AB AD PA ⊥===PBC ⊥,,PAC M N ,P B P D MN ∥ABCD BC AC ⊥C PB A --C PAD -高一数学试卷参考答案1.A 由，得，即，解得，所以.2.D 因为，所以.由，得.3.B 根据基本事实以及推论，易知①②正确.若三点共线，则经过三点的平面有无数多个，故③错误.若点在直线外，则确定一个平面，若点在直线上，则可有无数个平面，故④错误.4.C 将这些成绩从小到大排列为.因为，所以这些成绩的第75百分位数是.5.C 由题意可知，样本空间，共6种，卡片数字相邻的有，共3种，所以所求概率.6.D 由图可得，丁地区该商品3〜5月份销量最稳定，波动最小，故方差最小.7.B .8.C 取的中点，连接.设正方体的棱长为，则在中，为线段的中点，为的中点，所以为的中位线，所以.又因为平面，所以平面，则与平面所成的角为，则.由，得，所以要使与平面所成角的正弦值最小，则最小，可知当与点重合时，最大，此时，所以i 12i z =-()2i12i i z =-2i 2i i 2z -=-=+2i z =--2i z =-+21142122b =+-⨯⨯⨯b =2sin A =π2A =116,120,125,131475%3⨯=1251311282+=()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4=()()()1,2,2,3,3,43162P ==1001001005011(12(4i)22⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=---+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()992510050210010025124i 22(1)02⎫--+=+⨯-=⎪⎪⎭11B C H ,PH HQ 2a 111A B C V P 11A C H 11B C PH 111A B C V PH ∥11A B 11A B ⊥11B C C B PH ⊥11B C C B P Q 11B C C B PQH ∠tan PH PQH QH∠=1112PH A B a ==tan a PQH QH∠=P Q 11B C C B tan PQH ∠Q B QH ,QH PQ sin PH PQH PQ ∠==…9.ABD 对于A ，若，则，显然不成立，所以，则A正确.对于B ，因为，所以，故，B 正确.对于C ，设的外接圆的半径为，由，解得，C 错误.对于D ，因为，所以，由，得，D 正确.10.BCD 事件表示“出现的点数为1，3”，事件表示“出现的点数为5，6”，可知互斥，所以错误.事件表示“出现的点数为1，3”，所以，而，B 正确.由上知，所以，C 正确.因为，所以D 正确.11.ABD 如图1，设以为底边的等腰三角形的中位线为，连接，分别交于点，则分别为的中点.设，则①折叠后形成的正六棱台如图2所示，设上底面的中心为，连接，则.连接，则是正六棱台的高，即60C …180A B C ++> 060C << 0tan C <A B >a b >sin sin A B >ABC V r 22sin150r =2r =30A C == 120B = sin120b = 3b =A B ,A B ()()0,A PAB P =∅=AB ()2163P AB ==()2163P B ==()()142,363P AB P A ===()()1P AB P A =-()()()222663P A B P A P B ⋃=+=+=AB 11A B OA '11,A B A B ,M N ,M N 11,A B A B 2AB a =11,2sin60,A B a ON a MN ==⋅=111111A B C D E F 1O 1O M 1sin60O Ma =⋅=1O O 1O O 111111A B C D E F A B C D E F -1OO =过点作，垂足为，则平面，故在中，②.，所以正六棱台的上､下底面的边长分别为2和4，A 正确.该正六棱台的侧面积为B 正确.由必在线段上，连接，则均为外接球的半径，设为.由勾股定理得所以.又因为，所以，解得，则，所以C 错误.因为正六棱台上底面面积，所以所求体积，D 正确.12.分层随机；48 因为男､女学生的身高存在明显差异，所以应采取分层随机抽样的方法抽取样本.若样本容量为112，则应抽取的女生人数为.13.设一枚乙型导弹击中目标的概率是，由题意知，解得.14.因为点是的内心，，所以.由余弦定理得，所以M MG ON ⊥G MG ⊥ABCDEF 1MG OO ==Rt MNG V MN ===2a =111111A B C D E F A B C D E F -()12462⨯+⨯=1OO =2O 1O O 22111,,,O D O D O D O D 221,O D O D r 22222221211,,OO OD r O O O D r ⎧+=⎨+=⎩222221211OO OD OO OD +=+1122112,4OO OO OO O D OD =+===()22222242OOOO +=-+2OO =2222223542r OO OD =+=+=r =2126S =⨯=2246S =⨯=(13V =++⨯=48011248640480⨯=+45p ()214111315p ⎛⎫---= ⎪⎝⎭45p =2-O ABC V 120ABC ∠=1801201801502AOC ∠-=-=2222cos150AC OA OC OA OC =+-⋅，则的面积.15.解：（1）根据题意可得，解得.（2）由，得.因为，所以，所以，所以，又，所以.16.解：（1）由频率分布直方图可得，解得0.025.（2）设这片林木中树木底部周长的平均值为，则.（3）由频率分布直方图可知这片林木中树木的底部周长在内的频率是，则这片林木中底部周长在内的树木的数量是.17.解：（1）因为，所以.又，所以，则，因为，所以.（2）因为，所以.由余弦定理，得.整理得，解得或.当时，的周长为；当时，的周长为10.故的周长为或10.18.解：（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，(2242OA OC OC OA OC =++⋅+⋅…OA OC ⋅…AOC V 124S OA OC =⋅-…()384λ⨯-=6λ=-()()210a c a c +⊥+ ()()22210220100a c a c a a c a c c +⋅+=+⋅+⋅+= 5a == 210210a c +⋅=10a c ⋅=-101cos ,542a c a c a c ⋅-===-⨯[],0,πa c ∈ 2π,3a c =()0.0150.0200.0350.005101a ++++⨯=a =x 850.15950.251050.351150.21250.05102.5cm x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=[)90,110()0.0250.035100.6+⨯=[)90,110100000.66000⨯=2C A =sin 2sin cos C A A =43c a =4sin sin 3C A =42sin cos sin 3A A A =sin 0A >2cos 3A =3a =443c a ==2222cos a b c bc A =+-2291683b b =+-⨯2316210b b -+=73b =3b =73b =ABC V 2833b =ABC V ABC V 2831A =2A =“乙在第一轮比赛中胜出”，"乙在第二轮比赛中胜出”，则“甲赢得比赛”，，“乙赢得比赛”，.因为，所以甲赢得比赛的概率大.（2）设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，由（1）知，所以甲赢得比赛且乙没赢得比赛的概率为.19.（1）证明：连接.因为分别为的中点，所以为的中位线，则.因为平面平面，所以平面.（2）证明：过作交于.因为平面平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为平面平面，所以.因为，所以平面，又平面，所以.（3）解：过作交于，过作交于，连接.易得平面，则.因为，所以平面，则，得即为二面角的平面角，设，则.因为，所以.由，得，则.由，得，解得.1B=2B =12A A =()()()1212211323P A A P A P A ==⨯=12B B =()()()1212311434P B B P B P B ==⨯=1134>C =D =()()11,34P C P D ==111()()()1344P CD P C P D ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭BD ,M N ,P B P D MN PBD V MN ∥BD MN ⊄,ABCD BD ⊂ABCD MN ∥ABCD A AH PC ⊥PC H PBC ⊥PAC PBC ⋂PAC PC =AH ⊥PBC BC ⊂PBC AH BC ⊥PA ⊥,ABCD BC ⊂ABCD PA BC ⊥PA AHA ⋂=BC ⊥PAC AC ⊂PAC BC AC ⊥C CF AB ⊥AB F F FEPB ⊥PB E CE CF ⊥PAB CF PB ⊥,FE PB FE CF F ⊥⋂=PB ⊥CEF PB CE ⊥FEC ∠C PB A --tan FC FEC EF ∠==3EF x =F C =8,6AB PA ==10PB =BEF BAP V V ∽BF EFBP AP=5,85BF x AF x ==-BFC CFA V V ∽BF FC CF FA ==25x =的面积为，故.2856,5AF ACD =-⨯=V 168242⨯⨯=1624483CPADPCAD V V ==⨯⨯=。

湖南省祁东县第一中学2024届数学高一第二学期期末教学质量检测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在ABC ∆中，若4,5,AB AC ==BCD ∆为等边三角形（,A D 两点在BC 两侧），则当四边形ABDC 的面积最大时，BAC ∠=（ ） A ．56πB ．23π C ．3π D ．2π 2．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 4的值为( )． A ．4B ．8C ．15D ．313．已知不等式20x ax b ++<的解集是{}12x x -<<，则a b +=( ) A ．3-B ．1C ．1-D ．34．某几何体的三视图如图所示，其外接球体积为（ ）A ．24πB ．86πC ．6πD ．6π5．已知角终边上一点，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．6．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ B ．12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥7．已知函数f （x ）2233x x log x x ⎧=⎨≥⎩，＜，，则f [f （2）]＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．29．已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=； ②2()f x x =； ③()xf x e =；④()f x x =，则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①②④D ．②③④10．已知平面向量a ，b 的夹角为23π，3a =，2b =，则向()()2a b a b +⋅-的值为（ ） A ．－2B ．133-C ．4D ．331+二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

湖南省祁东育县2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．62 B ．3 C ．2 D ．32．已知复数12iz i-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭3．已知双曲线C ：2214x y -=，1F ，2F 为其左、右焦点，直线l 过右焦点2F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若223AF BF =，则直线l 的斜率为( ) A ．1B ．2-C ．1-D ．24．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）A ．2014年我国入境游客万人次最少B ．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C ．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D ．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差5．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ）A ．98B ．78C ．12D ．62566．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线交两渐近线于,M N 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈，且625λμ=，则该双曲线的离心率为( ) A ．324B ．5212C ．312 D ．56127．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y=+（ ）A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值8．已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为（ ） A ．22B ．1C ．0D ．2-9．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤 B ．少1斤C ．多13斤 D ．少13斤 11．已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为( )A ．B ．C ．D ．12．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b ab aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省衡阳市祁东县2024届高三第三次联考数学试题一、单选题1．若集合{}3A x =，{}|31,B x x n x ==-∈N ，则A B ⋂=（ ）A ．∅B ．{}3,6,9C ．{}2,5,8D ．{}1,2,5,8- 2．双曲线22142y x m m-=的渐近线方程为（ ）A ．y x =B ．y =C ．2y x =±D ．12y x =± 3．已知π1cos 53α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则11πsin 210α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79B ．79-CD ．9- 4．在研究变量x 与y 之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据()()112255,,,,,(,),(6,28),(0,28)x y x y x y L 利用此样本数据求得的经验回归方程为7ˆ101667y x =+，现发现数据()6,28和()0,28误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为ˆ4yx m =+，且51140i i y ==∑则m =（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．205．函数()π21f x x x =-+零点的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．如果方程0(),F x y =能确定y 是x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程0(),F x y =中，把y 看成x 的函数()y y x =，则方程可看成关于x 的恒等式()(),0F x y x =，在等式两边同时对x 求导，然后解出()y x '即可．例如，求由方程221x y +=所确定的隐函数的导数y '，将方程221x y +=的两边同时对x 求导，则220x y y '+⋅=（()y y x =是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得(0)x y y y'=-≠．那么曲线ln 2xy y +=在点()2,1处的切线方程为（ ）A ．310x y -+=B ．350x y +-=C ．350x y --=D ．2370x y +-=7．如图，正四棱台容器1111ABCD A B C D -的高为12cm ，10cm AB =，112cm A B =，容器中水的高度为6cm ．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm ，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（ ）A B C D 8．设1F ，2F 是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若22AF BF ⊥，53a AB =，则C 的离心率为（ ）A B ．35 C ．25 D二、多选题9．已知复数z ，1z ，2z 均不为0，则下列说法正确的是（ ）A ．若复数z 满足2R z ∈，且20>z ，则R z ∈B ．若复数z 满足1R z∈，则R z ∈ C ．若12R z z +∈，则12R z z ∈D ．若复数1z ，2z 满足12R z z ∈，则12R z z ∈10．已知ABC V 内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c O 为ABC V 的重心，1cos ,25A AO ==，则（ ） A ．1144AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r B ．3AB AC ⋅≤u u u r u u u rC ．ABC V 的面积的最大值为D ．a 的最小值为11．已知函数()f x 和函数()g x 的定义域均为R ，若()22f x -的图象关于直线1x =对称，()()11g x f x x =++-，()()12g x f x x ++-=+，且()00f =，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 为偶函数B ．()()4g x g x +=C ．若()f x 在区间()0,1上的解析式为2()log (1)=+f x x ，则()f x 在区间()2,3上的解析式为2()1log (1)f x x =--D ．201()210i g i ==∑三、填空题12．已知0a >，过点(,)A a a 恰好只有一条直线与圆E ：22420x y x y +-+=相切，则=a ，该直线的方程为．13．4名男生和2名女生随机站成一排，每名男生至少与另一名男生相邻，则不同的排法种数为．14．在长方体1111ABCD A B C D -中，15,3,4AB AD AA ===，平面//α平面11A ABB ，则α截四面体11ACD B 所得截面面积的最大值为．四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且{}2n S n +也是等差数列．(1)求数列{}n a 的公差；(2)若11a =-，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11CBB C ⊥平面ABC ．(1)证明：1BB ⊥平面ABC ．(2)若AB BC ⊥，1AB BC CC ==，求直线BC 与平面11A BC 所成角的正弦值．17．小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A 类题和B 类题，小张回答A 类题正确的概率为0.9，小张回答B 类题正确的概率为0.45．已知题库中B 类题的数量是A 类题的两倍．(1)求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；(2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k 个（0k =，1，2，L ，10）的概率为k P ，则当k 为何值时，k P 最大？18．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，已知点F 到圆22:(3)1E x y ++=上一点的距离的最大值为6.(1)求抛物线C 的方程.(2)设O 是坐标原点，点()2,4,,P A B 是抛物线C 上异于点P 的两点，直线,PA PB 与y 轴分别相交于,M N 两点（异于点O ），且O 是线段MN 的中点，试判断直线AB 是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.19．已知函数()()e ,ln x f x mx g x x m x =-=-．(1)是否存在实数m ，使得()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调区间相同？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)已知12,x x 是()f x 的零点，23,x x 是()g x 的零点．①证明：e m >，②证明：31231e x x x <<．。

湖南省衡阳师范学院祁东附属中学2023届高三下学期考
前适应性考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
三、填空题
四、解答题
17．如图，在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，过点A 作AD AB ^，交
线段BC 于点D ，且3AD DC ==，sin sin sin sin b C a A b B c C =--.
(1)求BAC Ð；(2)求
ABC V 的面积
.
18．为进一步加强学生的文明养成教育，推进校园文化建设，倡导真善美，用先进人物的先进事迹来感动师生，用身边的榜样去打动师生，用真情去发现美，分享美，弘扬美，某校以争做最美青年为主题，进行“最美青年”评选活动，最终评出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生。

学校准备从这10位“最美青年”中每次随机选出一人做事迹报告.
(1)若每位“最美青年”最多做一次事迹报告，记第一次抽到女生为事件A ，第二次抽
到男生为事件B ，求()P B ，()|P B A ；
(2)根据不同需求，现需要从这10位“最美青年”中每次选1人，可以重复，连续4天。

湖南省祁东县第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U A B ⋃ð为（）A ．{}0,2,3,4B ．{}4C ．{}1,2,4D ．{}0,2,42．命题“存在实数x,，使x >1”的否定是（）A ．对任意实数x,都有x >1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x,都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤13．已知()211f x x -=+，则()5f =（）A ．37B ．35C ．26D ．294．设,a b R ∈，则“1111a b <--”是“1a b >>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．“双11”就要到了，电商的优惠活动很多，某同学借助于已学数学知识对“双11”相关优惠活动进行研究.已知2021年“双11”期间某商品原价为a 元，商家准备在节前连续2次对该商品进行提价且每次提价10%，然后在“双11”活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%.该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格a 元相比（）A ．相等B ．略有提高C ．略有降低D ．无法确定6．已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}14x x -<<，则不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为（）A ．213x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．｛1x x >或23x <-｝C ．413x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．｛1x x <或43x >｝7．已知函数2,1(),1x m x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若1((52f f =，则m =（）A ．-4B ．-1C ．-4或-1D ．-4或14-8．定义：min{,}x y 为实数x ，y 中较小的数，已知22min ,9b h a a b ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是（）A ．16B ．13C D 二、多选题9．下列各组中表示同一函数的是（）A ．()||,()f x x g x ==B ．(),()f x x g x ==C ．21()1,()1x f x x g x x -=+=-D ．2()()f x g x x ==10．图中矩形表示集合U ，A ，B 是U 的两个子集，则阴影部分可以表示为（）A ．()U A BðB ．()B A B ðC ．()U U A B ⎡⎤⋂⎣⎦痧D ．()A B A⋃ð11．下列说法正确的有（）A ．已知0,0a b >>，1a b +=，则1a b ab+的最小值为2B ．当0x >2≥C ．设,a b ÎR ，则“1ab a b +≠+”的充要条件是“a ，b 都不为1”D ．集合{}2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =-=，全集U =R ，若()R U A B ⋃=ð，则m的集合为11{,}23-三、填空题12．《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表(部分):个人所得税税率(工资、薪金所得适用)级数全月应纳所得额税率(%)1不超过1500元的部分32超过1500元至4500元的部分103超过4500元至9000元的部分204超过9000元至35000元的部分255超过35000元至55000元的部分30上表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去3500元后的余额.如果某人月工资、薪金收入为10000元,那么他应纳的个人所得税为元.13．已知1)23f x =+，则()f x的解析式为.14．已知Z a ∈，关于的一元二次不等式280x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是.（写出一个可能值）四、解答题15．已知集合{}{}{}3,17,1A x x B x x C x x a =≥=≤≤=≥-.(1)求,A B A B(2)()(),A B A B ⋃⋂R R 痧；(3)若C A A =U ，求实数a 的取值范围.16．如图，某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为2200m 的十字形地域，计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为4200元2/m ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元2/m ；再在四个空角（图中四个三角形）铺草坪，造价为80元2/m .(1)设总造价为S （单位：元），AD 长为x （单位：m ），求出S 关于x 的函数关系式；(2)当AD 长取何值时，总造价S 最小，并求这个最小值.17．函数()f x =A ，{}2|230B x x x =-++≥.(1)记()M A B Z =⋂⋂，其中Z 为整数集，写出M 的所有子集；(2){}|121P x a x a =-<<+，且P B =∅ ，求实数a 的取值范围.18．已知一次函数()f x 过定点()0,1.(1)若()13f =，求不等式()4f x x≤解集.(2)已知不等式()4f x x ⋅>的解集是(),b a ，求2+a b 的最小值.19．已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,3，且不等式20ax bx c ++≤的解集为{}13x x ≤≤.(1)求()f x 的解析式：(2)若()()()24g x f x t x =--在区间[]1,2-上有最小值2，求实数t 的值.。

湖南省衡阳市（新版）2024高考数学人教版摸底(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题不等式的解集为（）A．B．C．D．或，第(2)题设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则A．B．C．D．第(3)题设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题二次三项式化为完全平方式为（）A．B．C．D．第(5)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(6)题已知，则（）A．B．C．D．第(7)题命题，：方程无实根，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．第(8)题若，恒成立，则的最大值为A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题射击作为一项综合运动项目，不仅需要选手们技术上的过硬，更需要他们在临场发挥时保持冷静和专注.第19届亚运会在我国杭州举行，女子10米气步枪团体决赛中，中国队以1896.6环的成绩获得金牌，并创造新的亚洲纪录.决赛中，中国选手黄雨婷、韩佳予和王芝琳在最后三轮比赛中依次射击，成绩（环）如下：黄雨婷韩佳予王芝琳第4轮105.5106.2105.6第5轮106.5105.7105.3第6轮105106.1105.1则下列说法正确的是A．三轮射击9项成绩极差为1.5B．三轮射击成绩最好的一轮是第五轮C．从三轮射击成绩来看，黄雨婷射击成绩最稳定D．从三轮各人平均成绩来看，韩佳予表现更突出第(2)题已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为，则（）A．该圆台的体积为B．该圆台外接球的表面积为C．用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16D．挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为第(3)题三棱锥中，平面，，记，，，则下列正确的是（）A．B．C．D．若，则与平面所成的角为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为坐标原点，其右支上存在一点，满足的平分线过线段的中点，且，则双曲线的离心率为______．第(2)题数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”．它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率．由，取3为弱率，4为强率，得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，……．若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推，已知，则________；________．第(3)题已知两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1,2,3，乙袋中有4个小球编号为1,2,3，4，若从两个袋中各取出1球，则取出的两个小球编号相同的概率为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知.（1）若，讨论的单调性；（2），，求实数的最小值.第(2)题如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，平面PDC，且，，．(1)若M，F分别是PA，BC的中点，求证：．(2)求二面角的余弦值．第(3)题在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角A；(2)若，的面积为，求边BC的中线AD的长.第(4)题在中，现有下列四个条件：①；②；③；④．(1)①②两个条件可以同时成立吗？请说明理由；(2)请选择上述四个条件中的三个，使有解，并求的面积．第(5)题已知函数.(1)当时，解不等式；(2)若，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.。

湖南省衡阳市（新版）2024高考数学部编版摸底(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，则（）A．1B．－1C．D．第(2)题在黑板上从左到右写2，0，2，3四个数，对两个相邻的数，每次用右边的数减左边的数的差填在这两数中间，从3开始到最左边的2为止，称为填一次.比如填第一次：2，-2，0，2，2，1，3，其中划线部分是填的右边的数减左边的数的差.则这样填2023次之后，黑板上所有数的和是（）A．2023B．2025C．2028D．2030第(3)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(4)题中国是世界上著名的文明古国之一，为世界文化和科技繁荣谱写了绚丽的篇章，陶瓷的制作工艺及发展，更是其中闪耀的一颗明珠．随着近代科学技术的发展，近百年来又出现了许多新的陶瓷品种．如图为一款陶瓷茶杯，杯盖可以使水温瞬间变成左右并保持恒温状态，将茶杯里面的茶水倒入杯盖中即可饮用到的温水．该款茶杯的杯身内部空间可看作上、下底面直径分别为，，高为的圆台；杯盖内部空间可看作底面直径为，高为的圆锥．若茶杯中装满茶水，则最多可倒满几杯盖?（）A．8B．7C．6D．5第(5)题集合，集合，则（）A．B．C．D．第(6)题设为无穷数列.若存在正整数，使得对任意正整数，均成立，则称为“-低调数列”.有以下两个命题：①是-低调数列当且仅当；②若存在，使得为2-低调数列，则.那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①､②都是真命题D．①､②都是假命题第(7)题“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(8)题在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，，，，均与底面垂直，且，点E、F分别为线段、的中点，记该几何体的体积为，平面将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知的展开式中含有常数项，则的可能取值为（）A．4B．6C．8D．10第(2)题下面四个命题中的真命题为（）A．若复数满足，则B．若复数满足，则C．若复数，满足，则D．若复数，则第(3)题已知f(x)是定义在R上的奇函数，若且，则)的值可能为（）A．－2B．0C．2D．4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，若，则______．第(2)题已知以C为圆心的圆．若直线（a，b为正实数）平分圆C，则的最小值是______；设点，若在圆C上存在点N，使得∠CMN＝45°，则的取值范围是______．第(3)题棱长为6的正方体内有一个棱长为a的正四面体，且该四面体可以在正方体内任意转动，则a的最大值为______四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题2021年春节，由贾玲导演的春节档电影《你好，李焕英》总票房已突破50亿元，影片的感人情节引起同学们广泛热议.开学后，哈三中团委在高二年级中(其中男生200名，女生150名)，对是否观看该影片进行了问卷调查，各班男生观看人数统计记为组，各班女生观看人数统计记为组，得到如图的茎叶图.（1）根据茎叶图补全列联表；观看没观看合计男生200女生150合计350（2）判断是否有的把握认为观看该影片与性别有关？0.050.0250.0050.0013.841 5.0247.87910.828，.第(2)题如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中点．（1）求证：AD∥平面PBC；（2）求证：AB⊥平面PAD第(3)题在花语中，四叶草象征幸运.已知在极坐标系下，方程对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”.（1）当“四叶草”中的时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标；（2）已知为“四叶草”上的点，求点到直线距离的最小值以及此时点的极坐标.第(4)题已知函数在处的切线与直线平行．(1)求的单调区间；(2)当时，恒有成立，求k的取值范围．第(5)题已知定义在上的函数.(1)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)若的最小值为，设，满足，求证：.。

湖南省衡阳市（新版）2024高考数学统编版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(2)题在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（）A．B．C．D．第(3)题已知点A为抛物线上的动点，以点A为圆心的圆M与y轴相切，抛物线的焦点为F，线段与圆M相交于点P，则（）A．4B．2C．1D．第(4)题已知点为抛物线上异于原点的动点，为的焦点.若，则直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题设全集，集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（）A．B．C．D．第(7)题已知函数，若，则ab的最小值为（）A．B．C．D．第(8)题已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则周长的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知、是曲线上不同的两点，为坐标原点，则（）A．B．C．线段PQ的长度的最大值为D．当均不在轴上时，过点分别作曲线的两条切线与，且当时，与之间的距离记为，则的取值范围为第(2)题已知复数，，，则下列说法中正确的有（）A．若，则或B．若，则C．若，则D．若，则第(3)题下列说法正确的为（）A．在回归模型的残差分析中，决定系数越接近1，意味着模型的拟合效果越好B．数据的标准差为，则数据的标准差为C．已知随机变量，若，则D．在装有3个黑球，2个红球的袋子中随机摸出两个球，则摸出的两个球“均为黑球”与“均为红球”是对立事件三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题试写出曲线与曲线的一条公切线方程________.第(2)题已知函数的图像关于点成中心对称，则函数在上的单调递增区间为________.第(3)题在平面直角坐标系内，若直线绕原点逆时针旋转后与圆有公共点，则实数的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知是递增的等比数列，，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.第(2)题已知函数，.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得和互为相反数，求的取值范围.第(3)题已知数列的前项和为，且，.（1）求，的值；（2）证明：数列为等差数列，并求出其通项公式；（3）求数列的前项和.第(4)题已知等差数列中，，为的前项和，且也是等差数列.(1)求；(2)设，求数列的前项和.第(5)题在直角坐标系中，曲线C的参数方程是（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)已知点的坐标为，直线交曲线的同支于两点，求的取值范围.。

湖南省衡阳市（新版）2024高考数学人教版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在等差数列中，，．记，则数列（）．A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项第(2)题设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x0），则=A．B．C．D．第(3)题已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则第(4)题已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.则在上的值域为（）A．B．C．D．第(5)题某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（）A．44~56周岁人群理财人数最多B．18~30周岁人群理财总费用最少C．B理财产品更受理财人青睐D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高第(6)题已知双曲线()，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，过点作轴的垂线交于点，若与的面积相等(为坐标原点)，则的离心率为（）A．B．C．D．第(7)题已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（）A．B．C．D．第(8)题如图，点D、E分别AC、BC的中点，设，，F是DE的中点，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分处（为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（）A．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是B．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是C．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1D．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是第(2)题已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（）A．椭圆的焦距为B．椭圆的短轴长为C．的最小值为D．过点的圆的切线斜率为第(3)题下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（）A．B．已知，则等式对任意正整数都成立C．设，则的个位数字是6D．等式对任意正整数都成立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为1，则球的表面积为___________.第(2)题2021年全国有部分省推行“”新高考模式，选择性考试科目中，首选科目成绩直接以原始成绩呈现；再选科目化学、生物、政治、地理成绩以等级赋分转换后的等级成绩呈现.等级赋分以30分作为赋分起点，满分为100分，将考生每门再选科目考试的原始成绩从高到低划定为，，，，五个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，13%和2%.转换基数为实际参加该再选科目考试并取得有效成绩的人数.转换时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到100~86分、85~71分、70~56分、55~41分、40~30分五个等级分数区间，根据转换公式计算，四舍五入得到考生的等级成绩.等级赋分转换公式为，，分别表示某等级原始分数区间的下限和上限；，分别表示相应等级的赋分区间的下限和上限；表示考生的原始成绩，表示考生转换后的等级成绩.考生原始成绩正好为原始分数区间上限或下限时，不需要按转换公式计算，相应的赋分区间的上限或下限分数即为该考生的等级成绩.某校的一次统考中，甲同学选考科目生物成绩原始分91分，属于档，这次原始成绩的档的最低分90分，最高分100分，则甲同学赋分后的生物成绩约为____________.第(3)题已知平面向量，满足，，则向量，夹角的余弦值为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题随着高考制度的改革，某省即将实施“语数外+3”新高考的方案，2019年秋季入学的高一新生将面临从物理（物）、化学（化）、生物（生）、政治（政）、历史（历）、地理（地）六科中任选三科（共20种选法）作为自己将来高考“语数外+3”新高考方案中的“3”某市为了顺利地迎接新高考改革，在某高中200名学生中进行了“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种学习模拟选课数据统计如下表：序号12345678910组合物化生物化政物化历物化地物生政物生历物生地物政历物政地物历地学科人数20人5人10人10人5人15人10人5人0人5人1112131151617181920合计化生政化生历化生地化政历化政地化历地生政历生政地生历地政历地5人……………10人5人…25人200人为了解学生成绩与学生模拟选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析(1)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人要学习生物的概率：(2)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，记这3人中要学习地理的人数为x，求随机变量X的分布列和数学期望.第(2)题已知和是椭圆的左、右顶点，直线与椭圆相交于M，N两点，直线不经过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线与直线的斜率之积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线OM与椭圆的另外一个交点为，直线与直线相交于点，直线PO与直线相交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程．第(3)题在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)已知点的极坐标为，设曲线和直线交于M，N两点，求的值.第(4)题近年来，某地区积极践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念年年初至年年初，该地区绿化面积（单位：平方公里）的数据如下表：年份年份代号绿化面积（1）求关于的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区年年初的绿化面积，并计算年年初至年年初，该地区绿化面积的年平均增长率约为多少.（附：回归直线的斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，）第(5)题某射击运动员进行射击训练，已知其每次命中目标的概率均为．(1)若该运动员共射击6次，求其在恰好命中3次的条件下，第3次没有命中的概率；(2)该运动员射击训练不超过n（）次，当他命中两次时停止射击（射击n次后，若命中的次数不足两次也不再继续），设随机变量X为该运动员的射击次数，试写出随机变量X的分布列，并证明．。

湖南省衡阳市（新版）2024高考数学人教版摸底(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于A．B．C．D．第(2)题已知复数z满足，则（）A．B．2C．D．4第(3)题设x，y满足约束条件则的最大值是（）A．-3B．-6C．-7D．12第(4)题已知，q：任意，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(5)题等比数列满足，，则（）A．B．C．1D．2第(6)题已知复数满足，则对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(7)题羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（）A．B．C．D．第(8)题已知，，是直线上不同的三点，点在外，若，则（）A．3B．2C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知定义在上的函数满足：对，且，则以下结论正确的为（）A．B．C．D．第(2)题已知向量，，则下列说法正确的是（）A．B．与的夹角为C．D．在上的投影向量为第(3)题如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（）A．B．C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有______．第(2)题若函数，且，则__________.第(3)题已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则______；四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为等边三角形．(1)求证：；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．第(2)题记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的面积为，且．(1)证明：；(2)求的外接圆的半径．第(3)题网购是目前很流行也很实用的购物方式.某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，随机抽取100名顾客进行问卷调查，根据顾客对该购物网站评分的分数（满分：100分），按分成5组，得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计顾客对该购物网站的评分的中位数（结果保留整数）；(2)若采用分层抽样的方法从对该购物网站的评分在和内的顾客中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人中恰有1人对该购物网站的评分在内的概率.第(4)题已知数列的首项，且满足，的前项和为.(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)在数列中，，，求数列的通项公式及.第(5)题如图，在正三棱柱中，分别为的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.。

湖南省衡阳市（新版）2024高考数学部编版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(2)题在中，则的最小值为（）A．14B．16C．18D．20第(3)题若，，…，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（）A．，B．，C．，D．，第(4)题已知函数满足，则的取值可能为（）A．6B．8C．10D．12第(5)题已知复数，则复数的实部为（）A．B．C．1D．第(6)题命题“”的否定是A．B．C．D．第(7)题已知角的终边经过点，则（）A．B．C．D．第(8)题如图，在正方体中，P为棱AD上的动点．给出以下四个命题：①；②异面直线与所成角的取值范围为；③有且仅有一个点P，使得平面；④三棱锥的体积是定值．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知正三棱柱的底面边长为，高为，记异面直线与所成角为，则（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则第(2)题甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，下列说法正确的是（）A．B．C ．数列是等比数列D．的数学期望第(3)题已知函数是在区间上的单调减函数，其图象关于直线对称，且，则的值可以是（）A．4B．12C．2D．8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在复平面内，复数z所对应的点为，则___________．第(2)题如图，在中，是边上一点，，则__________；的面积为___________．第(3)题若展开式中各项的系数之和为96，则展开式中的系数为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数().（1）讨论函数的单调性（2）若函数的图像经过点，求证：().第(2)题四川省凉山州各种特产、小吃尤其丰富，凉山州会理市羊肉粉早在清代中叶就名扬遐迩．凡来会理市品尝过会理市羊肉粉的人，无不交口称赞．尤其在冬季，吃一碗滚烫的羊肉粉，浑身暖和．羊肉粉的主要原料是羊肉和米粉制作有特殊的讲究，要选择山坡放养，体重在八九十斤左右的黑山羊宰杀，将羊头、羊腿、羊蹄、羊油、羊下水全部放进能装一、两百斤的大铁锅，掺上几里路运来优质山泉水，加上老姜、花椒、胡椒、白扣，等佐料，先要猛火烧开，用漏瓢捞出汤上面的泡沫，再用中火慢慢炖，时间达六、七个小时熬制呈乳白色米汤-样的原汤；羊肉粉的米线，是用会理农村本地产的稻谷跟大米制作出来，韧性好，饭粒不生硬，入口柔和，口味有大米的天然芳香；米粉要经过特殊处理：将水烧开，放入米粉，烧开捞起，放入冷水里（不停换水，直至冷却）．会理市某羊肉粉店每天早晨处理好当天的米粉，以12元碗的价格售出，每碗获利5元，当天卖不出的米粉则每碗亏损2元，该店记录了30天的日需求量（单位：碗），整理如下表：日需求量8090100110频数51078(1)以样本估计总体，求该店米粉日需求量的平均数；(2)以30天记录的日需求量的频率为概率，该店每天准备100碗米粉，记该店每天获得的利润为Y（单位：元），写出Y的所有可能值，并估计Y低于450元的概率．第(3)题如图，已知和抛物线是圆上一点，M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点．（1）当直线与圆相切，且时，求点的坐标；（2）过P作抛物线的两条切线分别为切点，求证：存在两个，使得面积等于．第(4)题已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；（2）讨论函数零点的个数；（3）若存在两个不同的零点，求证：.第(5)题已知椭圆C：的离心率为，且过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若.试问：△ABP的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.。

湖南省衡阳市2024年数学（高考）部编版摸底(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（）A．样本中不愿意选该门课的人数较多B．样本中男生人数多于女生人数C．样本中女生人数多于男生人数D．该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数第(2)题为了得到的图象，只需将函数的图象（）A ．向左平移个单位B．向右平移个单位C ．向左平移个单位D．向右平移个单位第(3)题设集合，集合，那么等于( )A．B．C．D．第(4)题关于x的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公式为和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力（单位：MPa），K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度（单位：）．水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量．当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，保护对象的保护面积S为，保护对象的设计喷雾强度W为时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（参考数据：）（）A．4个B．5个C．6个D．7个第(6)题明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”．如图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为（）A．B．C．D．第(7)题在直三棱柱中，，，为该三棱柱表面上一动点，若，则点的轨迹长度为（）A．B．C．D．第(8)题已知函数，若，则实数的取值范围是A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

湖南省衡阳市（新版）2024高考数学人教版摸底(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数在处有极值，则等于（）A．B．16C．或16D．16或18第(2)题将4个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的概率为（）A．B．C．D．第(3)题现有甲､乙两人参加射箭比赛，成绩如下：甲：，乙：，则下列说法错误的是（）A．甲的射箭成绩的中位数为61.5B．乙的射箭成绩的平均数为78C．甲的射箭成绩的方差为26D．乙的射箭成绩的标准差为第(4)题设为虚数单位，复数满足，则的虚部是( )A．-1B．i C．-2D．-2i第(5)题已知复数满足，则的虚部为（）A．i B．C．1D．第(6)题已知函数，.若对于图象上的任意一点，在的图象上总存在一点，满足，且.则实数（）A．B．C．2D．4第(7)题双曲线的焦距为4，圆与双曲线及的一条渐近线在第一象限的交点分别为，，若点的纵坐标是点纵坐标的2倍，则的方程为（）.A．B．C．D．第(8)题已知三棱锥底面ABC是边长为2的等边三角形，顶点S与AB边中点D的连线SD垂直于底面ABC，且，则三棱锥S－ABC外接球的表面积为（）A．B．C．12πD．60π二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（）A．存在切点使得为直角B．直线过定点C．的取值范围是D．面积的取值范围是第(2)题已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．离心率的取值范围为B．当离心率为时，的最大值为C．存在点使得D．的最小值为1第(3)题已知的展开式中的所有项的二项式系数之和为64，记展开式中的第项的系数为，二项式系数为，，则下列结论正确的是（）A．数列是等比数列B．数列的所有项之和为729C．数列是等差数列D．数列的最大项为20三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人，如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于_____．第(2)题若对恒成立，则实数m的取值范围是___________.第(3)题已知，，P是圆O：上的一个动点，则的最大值为_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且满足．（1）求抛物线的方程；（2）已知斜率为2的直线与抛物线交于，两点，若，，成等差数列，求该数列的公差．第(2)题已知双曲线的方程为：，左右焦点分别为，是线段的中点，过点作斜率为的直线，l与双曲线的左支交于两点，连结与双曲线的右支分别交于两点.(1)设直线的斜率为，求的取值范围.(2)求证：直线过定点，并求出定点坐标.第(3)题已知椭圆Γ：的左､右焦点分别为，，点在Γ上，动直线l交Γ于B，C两点，且与y轴交于点D.当直线l经过点时，四边形的周长为8.(1)求Γ的标准方程；(2)若是的垂心，求.第(4)题已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若，求的取值范围.第(5)题国内某知名连锁店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效展开，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前7天参加抽奖活动的人数进行统计，表示开业第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：123456758810141517经过进一步的统计分析，发现与具有线性相关关系.(1)根据上表给出的数据，用最小二乘法，求出与的线性回归方程；(2)若该分店此次抽奖活动自开业始，持续10天，参加抽奖的每位顾客抽到一等奖（价值200元奖品）的概率为，抽到二等奖（价值100元奖品）的概率为，抽到三等奖（价值10元奖品）的概率为，试估计该分店在此次抽奖活动结束时送出多少元奖品？参考公式：，。