2021年高三入学摸底考试理科数学

2021年高三上学期摸底考试数学理试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号、座号”处填涂考生号、座位号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在学校、班级，以及自己的姓名填写在答题卷上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将试卷和答题卷一并交回．参考公式：圆锥的侧面积公式，其中是圆锥的底面半径，是圆锥的母线长.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）.A. B. C. D.2.已知，则（）.A. B. C. D.3.设，则“”是“直线与直线平行”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的全面积为（ ）. A. B. C. D.5.在△ABC 中，，，则△ABC 的面积为（ ）.A.3B.4C.6D.6.函数的零点所在的一个区间是（ ）. A. B. C. D.7.若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）. A. B. C.2 D. 8.若过点的直线与曲线和都相切，则的值为（ ）. A.2或 B.3或 C.2 D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．若复数满足，则复数的实部是 .10.的展开式中的常数项是 .（用数字作答）11.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是 . 12.已知实数满足，则的最大值 是 .13.在区间上随机取一个数，在区间上随机取一个数，则关于的方程有实根的概率是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 相交于点P ，若，，则的值为 . 15．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程是（为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，的最大值是1，最小正周期是，其图像经过点． （1）求的解析式；（2）设、、为△ABC的三个内角，且，，求的值．17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物一次购物量（件）1≤n≤3 4≤n≤6 7≤n≤9 10≤n≤12 n≥13 顾客数（人）20 10 5结算时间（分钟/人）0.5 1 1.5 2 2.5（1）确定与的值；（2）若将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间的分布列与数学期望；（3）在（2）的条件下，若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2分钟的概率.18.（本小题满分14分）如图，菱形的边长为4，，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求二面角的余弦值.19.(本小题满分14分)已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与的大小，并予以证明.20．（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上任意一点，且的最小值为.（1）求椭圆的方程； （2）动圆与椭圆相交于A 、B 、C 、D 四点，当为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积.21.(本小题满分14分)已知函数.（1）是否存在点，使得函数的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数的图像上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（2）定义2111221()()()()n n i i n S f f f f n n n n-=-==++⋅⋅⋅+∑，其中，求； （3）在（2）的条件下，令，若不等式对且恒成立，求实数的取值范围.xx 届越秀区高三摸底考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9.1 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16.（1）依题意得.由，解得.所以.因为函数的图像经过点，所以，即. 因为，所以.所以. （2）由（1）得，所以，.因为，所以，.因为为△ABC 的三个内角，所以()cos cos[()]cos()f C C A B A B π==-+=-+ .17.（1）依题意得，，，解得，. （2）该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的50位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为50的随机样本，将频率视为概率得， ，，， ，.所以的分布列为的数学期望为.（3）记“该顾客结算前的等候时间不超过2分钟”为事件A ，该顾客前面第位顾客的结算时间为，由于各顾客的结算相互独立，且的分布列都与的分布列相同，所以121212()(0.5(0.5)(0.5(1)(0.5( 1.5)P A P X P X P X P X P X P X ==⋅=+=⋅=+=⋅=)))121212(1(0.5)(1(1)( 1.5(0.5)P X P X P X P X P X P X +=⋅=+=⋅=+=⋅=)))0.20.20.20.40.20.20.40.20.40.40.20.20.44=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 为所求.18.（1）因为O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，所以.因为平面ABD ，平面ABD ，所以平面.（2）因为在菱形ABCD 中，，所以在三棱锥中，.在菱形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，，所以BD ＝4.因为O 为BD 的中点， 所以.因为O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，所以.因为，所以，即.因为平面ABC ，平面ABC ，，所以平面ABC . 因为平面DOM ，所以平面平面.（3）作于，连结DE .由（2）知，平面ABC ，所以AB .因为，所以平面ODE .因为平面ODE ，所以. 所以是二面角的平面角. 在Rt △DOE 中，，，，所以.所以二面角的余弦值为.19.（1）当时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+- .又也适合上式，所以. （2）由（1）得，所以.因为①，所以②. 由①－②得，，所以121111112212122222212n n n n n n n n n T --+=+++⋅⋅⋅+-=-=--. 因为33222(2)(221)221212212(21)2n n n n nn n n n n n n T n n n n ++++--⎛⎫-=--=-= ⎪++++⎝⎭， 所以确定与的大小关系等价于比较与的大小.当时，；当时，； 当时，；当时，；……， 可猜想当时，.证明如下：当时，.综上所述，当或时，；当时，. 20.（1）因为P 是椭圆上一点，所以.在△中，，由余弦定理得()22121212122444122PF PF PF PF a PF PF PF PF +-⋅--==-⋅⋅. 因为，当且仅当时等号成立. 因为，所以.因为的最小值为，所以，解得. 又，所以.所以椭圆C 的方程为. （2）设，则矩形ABCD 的面积.因为，所以.所以2222222000003231632124332x S x y x x ⎛⎫⎛⎫==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为且，所以当时，取得最大值24.此时，.所以当时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为.21.（1）假设存在点，使得函数的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数的图像上，则函数图像的对称中心为. 由，得，即对恒成立，所以解得所以存在点，使得函数的图像上任意一点关于点M 对称的点也在函数的图像上. （2）由（1）得.令，则.因为1221()()(2)(2)n S f f f f n n nn=++⋅⋅⋅+-+-①， 所以1221(2)(2)()()n S f f f f n n n n=-+-+⋅⋅⋅++②，由①+②得，所以.所以.（3）由（2）得，所以.因为当且时，2()121ln ln 2n amnmn n ma n n ⋅>⇔⋅>⇔>-. 所以当且时，不等式恒成立.设，则. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 因为，所以， 所以当且时，. 由，得，解得.所以实数的取值范围是.]28210 6E32 渲30080 7580 疀|22043 561B 嘛33037 810D 脍u39819 9B8B 鮋20257 4F21 伡32313 7E39 縹26508 678C 枌.O &。

2020-2021学年高三下学期数学开学摸底考试（新课标全国卷理科）【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21220,log (1)0A xx x B x x ⎧⎫=-=+>⎨⎬⎩⎭∣∣，则A B ⋂=( ) A.(1,0)- B.(1,0]- C.(2,)+∞ D.[2,)+∞2.已知复数z 满足(1i)22i z -=--，则||z =( )A.2C.13.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点 P 在C 上,122PF PF =,则12cos F PF ∠等于( ) A.14B.35C.34D.454.设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A B C D ，，，四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是( )D ．5.根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程0.70.35y x =+,则实数,m n 应满足( )A.0.7 1.7n m -=B.0.7 1.5n m -=C.0.7 1.7n m +=D.0.7 1.5n m +=6.函数()432f x x x =-的图像在点()()1,1f 处的切线方程为( ) A.21y x =-- B.21y x =-+C.23y x =-D.21y x =+7.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为( ) A .15B .20C .30D .358.若cos(2π)α-=且π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin(π)α-=( )A. B.23- C.13- D.23±9.已知函数()π6f x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭在区间(),0ααα->［］上是增函数，则α的最大值是( ) A.π6B.π3C.π2D.5π610.在三棱锥P ABC -中,2,2,AB AC BC PA PB PC ======,若三棱锥P ABC -的顶点均在球O 的表面上，则球O 的半径为( )D.311.已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<，直线1x y +=与椭圆交于,P Q 两点，若OP OQ ⊥，则椭圆的离心率为( )12.设函数()f x 的定义域为R,满足(1) 2 ()f x f x +=,且当(0,1]x ∈时,()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞,都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是( )A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x y ,满足约束条件210501x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2244z x x y =-++的取值范围是 .14.已知向量,,|||2==a b a b ,且()-⊥a b a ,则向量 a 和 b 的夹角是____________,()⋅+=a a b _______________.15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。

2021年高三上学期开学摸底考试数学（理）试题含答案第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1.已知集合，，则（）A． B． C． D．2.如果复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部互为相反数，那么等于（）A．-6 B． C． D．23.设等差数列的前项和为，若，则的值为（）A． 27 B．36 C．45 D．544.下列命题错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”B．若命题，则C．中，是的充要条件D．若向量满足，则与的夹角为钝角5.某几何体的三视图如上图所示（单位：），则该几何体的体积是（）A． B． C． D．6.若用下边的程序框图求数列的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（）A． B．C．D．7.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是（）A． B． C．D．8.已知实数满足约束条件，则的最小值是（）A． B．2 C． D．19. 若函数y＝（a＞0，且a≠1）的值域为{y｜0＜y≤1}，则函数y＝的图像大致是10.已知双曲线与抛物线相交于两点，公共弦恰过它们的公共焦点，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（）A． B． C． D．11.已知满足，，，则（）A． B． C． D．12.已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为．14.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是．15.已知两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有．16.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2021年高三数学摸底考试试题理【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。

试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。

突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

全面考查了考试说明中要求的内容。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1．已知集合，,则A．B． C．D．【知识点】集合的并集的求法.A1【答案解析】B 解析：因为集合，即，又因为，所以，故选B.【思路点拨】先化简集合，再求结果即可.【题文】2．设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则A. B. C. D.【知识点】复数的运算.L4【答案解析】A 解析：因为复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则，所以，故选A.【思路点拨】先利用已知条件求出再计算结果即可.【题文】3．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A．若则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【知识点】空间中的平行关系、垂直关系.G4、G5【答案解析】B 解析：对于选项A：m、n平行、相交、异面都有可能；选项B显然成立【思路点拨】利用空间中线面平行、垂直的判定与性质确定结论。

【题文】4．设等比数列的前n项和为，若则A．31 B．32 C．63 D．64【知识点】等比数列的性质；等比数列的前n项和． D3【答案解析】C 解析：由等比数列的性质可得成等比数列，即成等比数列，∴，解得63，故选A.【思路点拨】由等比数列的性质可得成等比数列，代入数据计算可得．【题文】5. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A．B． C．D．【知识点】函数的奇偶性与单调性.B3、B4【答案解析】D 解析：根据四个函数的图像获得正确选项。

2021年高三数学上学期第一次摸底考试试题理（含解析）新人教A版【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）集合A={x|log3（x-1）<1},B={x|},则(A)(1,2) (B)(1,4) (C)(-2,0) (D)(0,2)【知识点】交集及其运算．A1（x﹣1）＜1}={x|}={x|1＜x＜4}，【答案解析】A 解析：∵A={x|log3B={x|＜2﹣x＜1}={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：A．【思路点拨】利用交集的性质和不等式的性质求解．【题文】(2)命题“对任意的，都有”的否定是（A）对任意的，都有(B)存在，使（C）不存在，使（D）存在，使【知识点】命题的否定．A2【答案解析】B 解析：由全称命题的否定方法得：“对任意的x∈R，都有2x2﹣x+1≥0”的否定是“存在x0∈R，使得2x2﹣x+1＜0成立．故选B．【思路点拨】将量词改为“存在”，将结论否定当结论．由此得到原命题的否定．【题文】（3）曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（A）（B）（C）(D)【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程． B11【答案解析】D 解析：∵曲线y=，∴y′=×，切线过点（4，e2）∴f（x）|x=4=e2，∴切线方程为：y﹣e2=e2（x﹣4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=﹣e2，与y轴的交点为：（0，﹣e2），∴曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|﹣e2|=e2，故选D．【思路点拨】利用导数求曲线上点切线方程，求直线与x轴，与y轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积．【题文】(4)下列函数中是偶函数且在上单调递增的是（A）（B）（C）（D）【知识点】函数奇偶性的性质． B4【答案解析】D 解析：A，y=2﹣x定义域是{x|x≠0}，是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则A不符合；B，函数y=lnx的定义域是（0，+∞），则是非奇非偶函数，B不符合题意；C，函数y=x﹣2的定义域是{x|x≠0}，但在（0，+∞）单调递减，C不符合题意；D，y=|x|﹣1为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，D正确．故选：D．【思路点拨】根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．【题文】（5）“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【知识点】充要条件． A2【答案解析】A 解析：由得：当a＞0时，有1＜a，即a＞1；当a＜0时，不等式恒成立．所以⇔a＞1或a＜0，从而a＞1是的充分不必要条件．故应选：A【思路点拨】可以把不等式“”变形解出a的取值范围来，然后再作判断，具体地来说，两边同乘以分母a要分类讨论，分a＞0，a＜0两类来讨论，除了用符号法则，这是解答分式不等式的另一种重要方法．【题文】（6）若，则下列不等式成立的是（A）（B）（C）（D）【知识点】不等式的基本性质．E1【答案解析】C 解析：b=，a=，则ab=，b2=，故A不正确；a2=，ab=，故D不正确；log=﹣2，log=﹣1，故B不正确；∵0＜b＜a＜1，2＞1，∴2b＜2a＜2，故选：C．【思路点拨】取特殊值，确定A，B，D不正确，0＜b＜a＜1，2＞1，利用指数函数的单调性，可得C正确．【题文】（7）如图，已知直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积y是时间x的函数，这个函数的图象大致是(A) (B) (C) (D)【知识点】直线与圆相交的性质．H4【答案解析】B 解析：观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求，故选B【思路点拨】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项。

图12021年高三数学摸底考试试卷 理说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷 （选择、填空题 满分70分）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． ⒈已知集合，，则A ．B ．C ．D ． ⒉若复数 是纯虚数（是虚数单位），则实数A ．B ．C ．D ．或 ⒊已知平面向量，，若，则实数A ．B ．C ．D ． ⒋已知点，，则线段的垂直平分线的方程是A ．B ．C ．D ． ⒌设、，若，则下列不等式中正确的是A ．B ．C ．D ．⒍如图1，、分别是正方体中、上的动点（不含端点），则四边形的俯视图可能是A ．B ．C ．D ．⒎已知函数，则该函数是A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减⒏如右图，矩形内的阴影部分由曲线及直线与 轴围成，向矩形内随机投掷一点， 若落在阴影部分的概率为，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ．二．填空题（本大题高三数学（理科）摸底考试试卷 第1页（共4页）共7小题，考生作答6小题，满分30分）． (一)必做题（9～13题） ⒐ （填“”或“” ）． ⒑在中，，，，则 ．⒒设是R 上的奇函数，。

当时，有，则 ． ⒓若，满足约束条件，则的最大值是 ．⒔已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线：和 距离之和的最小值为 ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题．）⒕（坐标系与参数方程选做题）直线与曲线相交，截得的弦长为_ ．⒖（几何证明选讲选做题）如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= ．第Ⅱ卷（解答题 满分80分）三．解答题（本大题共6题，满分80分。

2021年高三上学期摸底考试数学（理）试题 含答案本卷共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题：1．已知集合 M= ，集合为自然对数的底数），则=（ ） A ． B ． C ． D ．2．命题“x ∈R ，x 2－x+l<0”的否定是 A ． x ∈R,x 2一x+1≥0B ．x ∈R,x 2 －x+1>0C ． x ∈R,x 2－x+l ≥0 D ． x ∈R,x 2－x+l>0 3．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10= (A) 12 (B) 16 (C)20 (D)24 4．若的值为 A ． -1 B ． C ．l D ．2 5.三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为（ ）.A. 4B. 4C. 3D. 2 6．定义在上的可导函数，当时，恒成立，，则的大小关系为 （ ） A ． B ． C ． D ．7、若、为双曲线: 的左、右焦点，点在双曲线上，∠=，则到轴的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（ ） A ． B ． C ． D ．9、在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集DABC主视图左视图{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（ ）A ．B ．C ．D ． 10、已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．11、在三棱锥S －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝，SA ＝SC ＝2，AC 的中点为M ，∠SMB 的余弦值是，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A. B. C. D.12、设定义在上的函数，若关于的方程 有3个不同实数解、、，且，则下列说法中错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题。

2021年高三开学摸底考试数学理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1．设全集,集合,,则=A．B．C．D．2．抛物线的准线方程为A. B. C. D.3. 复数A. B. C. D.4. 在等差数列中，，则此数列的前项的和等于A. B. C. D.5. 若m、n为两条不重合的直线，、β为两个不重合的平面，则下列结论正确的是A. 若m、n都平行于平面，则m、n一定不是相交直线；B. 若m、n都垂直于平面，则m、n一定是平行直线；C. 已知、β互相垂直，m、n互相垂直，若m⊥，则n⊥β；D. m、n在平面内的射影互相垂直，则m、n互相垂直.6. 如图，该程序运行后输出的结果为B．21C．28D．367. 曲线在点处的切线方程为A. B.C. D.8. 下列命题: (1) 命题的否定是“”;(2) 已知是“”的必要不充分条件;(3) 若，则不等式成立的概率是 . 其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 的展开式中的系数等于的系数的4倍，则n 等于 A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 10. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，则下列判断错误．．的是A ．DB 1⊥平面ACD 1 B ．BC 1∥平面ACD 1 C ．BC 1⊥DB 1D ．三棱锥P-ACD 1的体积与P 点位置有关11. 已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长为2的等边三角形，则的 值为A ．B ．C ．D ．12. 设函数的定义域为D ，如果对于任意的，存在唯一的，使得成立（其中C 为常数），则称函数在D 上的“算术均值”为C ，则下列函数在其定义域上的“算术均值”可以为2的函数是 A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．若一个几何体的三视图如右，则这个几何体的表面积为14. 已知f(x)是R 上的偶函数，且在(－,0]上是减函数，则 不等式f(x)≤f(3)的解集是 15. 已知向量且 则的 最小值为16. 当对数函数的图象至少经过区域内的一个点时，实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设锐角△ABC 的三内角的对边长分别为a 、b 、c ，已知b 是a 、c 的等比中项，且. (1) 求角的大小； (2) 若，求函数的值域.CDA B C D 1111P xy EF G O18．（本小题满分12分）设是一个公差为2的等差数列，成等比数列.(1) 求数列的通项公式；(2) 数列满足，设的前n项和为，求.19．（本小题满分12分）一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片。

2021年高三上学期摸底数学试卷（理科）含解析一、填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知复数z=i（i﹣3）（i是虚数单位），则复数z的虚部为．2．集合P={（x，y）|x+y=0}，Q={（x，y）|x﹣y=2}，则P∩Q=．3．不等式4x﹣2x+2＞0的解集为．4．已知函数y=log2（ax﹣1）在（1，2）单调递增，则a的取值范围为．5．随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a1，a2，…，an，若n=4，a1=195，a2=197，a3=193，，a4=199，，则如图所示的程序框图输出的S= ．6．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，且函数图象关于点对称，则函数解析式为．7．对于直线m，n，和平面α，β，γ，有如下四个命题：（1）若m∥α，m⊥n，，则n⊥α（2）若m⊥α，m⊥n，则n∥α（3）若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ（4）若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β其中正确命题的序号是．8．直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是．9．命题p：已知椭圆+=1（a＞b＞0），F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线﹣=1（a＞b＞0），F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作∠F1PF2的的垂线，垂足为M，则OM的长定值为．10．设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=．11．已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为．12．设点（a，b）在平面区域D={（a，b）||a|≤1，|b|≤1}中均匀分布出现，则双曲线的离心率e满足1＜e＜的概率为．13．设点O是△ABC的三边中垂线的交点，且AC2﹣2AC+AB2=0，则的范围是．14．设函数f（x）=ln，其中a∈R，对于任意的正整数n（n≥2），如果不等式f（x）＞（x ﹣1）lnn在区间[1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为．二、解答题（本题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，求比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ．16．如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB．D、E分别为棱C1C、B1C1的中点．（1）求点E到平面ADB的距离；（2）求二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值；（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1DB？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．17．为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元．（每平方米平均综合费用=）．（1）求k的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？18．已知函数f（x）=4sinxcos（x+）+（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．19．已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e=，且过点P（1，1）．（1）求椭圆的方程；（2）若点A（x0，y0）为圆x2+y2=1上任一点，过点A作圆的切线交椭圆于B，C两点，求证：CO⊥OB（O为坐标原点）．20．函数f（x）=+lnx是[1，+∞）上的增函数．（Ⅰ）求正实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数g（x）=x2+2x，在使g（x）≥M对定义域内的任意x值恒成立的所有常数M 中，我们把M的最大值M=﹣1叫做f（x）=x2+2x的下确界，若函数f（x）=+lnx的定义域为[1，+∞），根据所给函数g（x）的下确界的定义，求出当a=1时函数f（x）的下确界．（Ⅲ）设b＞0，a＞1，求证：ln＞．xx学年江苏省盐城市学富镇时杨中学高三（上）摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知复数z=i（i﹣3）（i是虚数单位），则复数z的虚部为﹣3．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】先将z化为代数形式，再求出虚部即可．【解答】解：z=i（i﹣3）=﹣1﹣3i，复数z的虚部为﹣3．故答案为：﹣3．2．集合P={（x，y）|x+y=0}，Q={（x，y）|x﹣y=2}，则P∩Q={（1，﹣1）} ．【考点】交集及其运算．【分析】根据题意，P∩Q即由集合P={（x，y）|x+y=0}与Q={（x，y）|x﹣y=2}表示的直线的交点，可得，解之即可得出答案．【解答】解：由集合P={（x，y）|x+y=0}，Q={（x，y）|x﹣y=2}，∴，解得，∴P∩Q={（1，﹣1）}，故答案为：{（1，﹣1）}．3．不等式4x﹣2x+2＞0的解集为（2，+∞）．【考点】指数型复合函数的性质及应用．【分析】不等式即22x＞2x+2，利用指数函数的单调性及特殊点可得2x＞x+2，由此求得不等式4x﹣2x+2＞0的解集．【解答】解：不等式4x﹣2x+2＞0，即22x＞2x+2，即2x＞x+2，即x＞2，故不等式4x﹣2x+2＞0的解集为（2，+∞），故答案为（2，+∞）．4．已知函数y=log2（ax﹣1）在（1，2）单调递增，则a的取值范围为[1，+∞）．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】由题意可得a＞0且a×1﹣1≥0，由此解得a的取值范围．【解答】解：∵函数y=log2（ax﹣1）在（1，2）上单调递增，∴a＞0且a×1﹣1≥0，解得a≥1，故a的取值范围为[1，+∞），故答案为[1，+∞）．5．随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a1，a2，…，a n，若n=4，a1=195，a2=197，a3=193，，a4=199，，则如图所示的程序框图输出的S=196．【考点】循环结构．【分析】利用循环框图，推出循环计算的规律，然后求出输出的结果．【解答】解：随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a1，a2，…，a n，若n=4，a1=195，a2=197，a3=193，，a4=199，…，第1次循环：s=，i=2；第2次循环：s=，i=3；第3次循环：s==，i=4；第4次循环：s=，i=5；规律是求循环次数的平均数，当i=5≤4不满足判断框，结束循环，输出结果为=196．故答案为：196．6．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，且函数图象关于点对称，则函数解析式为y=sin（2x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】通过函数的周期求出ω，利用对称轴求出φ，即可求出函数的解析式．【解答】解：因为函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，所以，所以ω=2，因为函数图象关于点对称，所以0=sin（2×+φ），因为0＜φ＜π，所以φ=．所以函数的解析式为：y=sin（2x+）．故答案为：y=sin（2x+）．7．对于直线m，n，和平面α，β，γ，有如下四个命题：（1）若m∥α，m⊥n，，则n⊥α（2）若m⊥α，m⊥n，则n∥α（3）若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ（4）若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β其中正确命题的序号是（4）．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由直线m，n，平面α，β，γ，知：若m∥α，m⊥n，，则n与α相交、平行或n ⊂α；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α；若α⊥β，γ⊥β，则α与γ相交或平行；若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β．【解答】解：由直线m，n，平面α，β，γ，知：若m∥α，m⊥n，，则n与α相交、平行或n⊂α，故（1）不正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故（2）平正确；若α⊥β，γ⊥β，则α与γ相交或平行，故（3）不正确；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，∵n⊂β，∴α⊥β，故（4）正确．故答案为：（4）．8．直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是[﹣，0] ．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2，故当弦长大于或等于2时，圆心到直线的距离小于或等于1，解此不等式求出k的取值范围．【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN=2≥2，故d ≤1，即≤1，化简得8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故答案为[﹣，0]．9．命题p：已知椭圆+=1（a＞b＞0），F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线﹣=1（a＞b＞0），F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作∠F1PF2的内角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长定值为a．【考点】类比推理．【分析】根据椭圆中的结论，利用角平分线的性质与椭圆的定义，可类比双曲线中的相应结论．【解答】解：点F2关于∠F1PF2的外角平分线PM的对称点Q在F1P的延长线上∵F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M∴|F1Q|=|PF1|+|PF2|=2a（椭圆长轴长），又OM是△F2F1Q的中位线，故|OM|=a；不妨设点P在双曲线右支上，点F1关于∠F1PF2的内角平分线PM的对称点Q在PF2的延长线上当过F2作∠F1PF2的内角平分线的垂线，垂足为M时，|F2Q|=|PF1|﹣|PF2|=2a，又OM 是△F2F1Q的中位线，故|OM|=a；故答案为：内角平分线，a10．设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=8．【考点】等差数列的性质；等比数列的通项公式．【分析】由S3，S9，S6成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用等比数列的前n项和公式化简，得到关于q的关系式，再利用等比数列的性质化简a2+a5=2a m的左右两边，将得到的关于q的关系式整理后代入，即可得出m的值．【解答】解：∵S n是等比数列{a n}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，∴2S9=S3+S6，即=+，整理得：2（1﹣q9）=1﹣q3+1﹣q6，即1+q3=2q6，又a2+a5=a1q+a1q4=a1q（1+q3）=2a1q7，2a m=2a1q m﹣1，且a2+a5=2a m，∴2a1q7=2a1q m﹣1，即m﹣1=7，则m=8．故答案为：811．已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为4+4．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosB，将B的度数，以及AC，即b的值代入，整理后再利用基本不等式求出ac的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值及sinB的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：∵∠B=45°，AC=b=4，∴由余弦定理cosB=得：=，∴ac=a2+c2﹣16≥2ac﹣16，即（2﹣）ac≤16（当且仅当a=c时取等号），∴ac≤=8（2+）=16+8，∴△ABC面积S=acsinB≤（16+8）×=4+4，则△ABC面积的最大值为4+4．故答案为：4+412．设点（a，b）在平面区域D={（a，b）||a|≤1，|b|≤1}中均匀分布出现，则双曲线的离心率e满足1＜e＜的概率为．【考点】双曲线的简单性质；几何概型．【分析】根据双曲线的离心率e满足1＜e＜，可得．利用平面区域D={（a，b）||a|≤1，|b|≤1}的面积为4，，a＞b＞0围成区域的面积为，即可求得结论．【解答】解：∵双曲线的离心率e满足1＜e＜∴∵平面区域D={（a，b）||a|≤1，|b|≤1}的面积为4，，a＞b＞0围成区域的面积为∴双曲线的离心率e满足1＜e＜的概率为故答案为：13．设点O是△ABC的三边中垂线的交点，且AC2﹣2AC+AB2=0，则的范围是[﹣，2）．【考点】三角形五心；平面向量数量积的运算．【分析】先利用余弦定理，确定AB，AC，利用向量的数量积，化简，再利用配方法确定其范围，即可得到结论．【解答】解：设圆的半径为R，∠AOB为α，∠AOC为β，则AB2=AO2+BO2﹣2AO×BOcosα=2R2﹣2R2 cosα，AC2=AO2+CO2﹣2AO×COcosβ=2R2﹣2R2cosβ∴==R2 cosα﹣R2cosβ=∵AC2﹣2AC+AB2=0，∴∵AC2﹣2AC=﹣AB2＜0，0＜AC＜2∴∴的范围是[﹣，2）故答案为：[﹣，2）．14．设函数f（x）=ln，其中a∈R，对于任意的正整数n（n≥2），如果不等式f（x）＞（x ﹣1）lnn在区间[1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为{a|a＞} ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据题意，将原不等式等价变形为：（1﹣a）n x＜1x+2x+3x+…+（n﹣1）x，再变量分离得到1﹣a＜（）x+（）x+（）x+…+（）x，原不等式在区间[1，+∞）上有解，即1﹣a 小于右边的最大值．根据指数函数的单调性得到右边的最大值，最后结合n≥2即可得到实数a的取值范围．【解答】解：不等式f（x）＞（x﹣1）lnn，即ln＞lnn x﹣1，∵对数的底e＞1，∴原不等式可化为1x+2x+3x+…+（n﹣1）x+n x a＞n x，移项得（1﹣a）n x＜1x+2x+3x+…+（n﹣1）x，因为n是正整数，所以两边都除以n x，得：1﹣a＜（）x+（）x+（）x+…+（）x，…（*）不等式f（x）＞（x﹣1）lnn在区间[1，+∞）上有解，即（*）式的右边的最大值大于1﹣a，∵g（x）=（）x+（）x+（）x+…+（）x 在[1，+∞）上是一个减函数，∴当x=1时，g（x）的最大值为+++…+=•=，因此1﹣a＜，得实数a的取值范围是a＞1﹣，结合n≥2得a＞，故答案为：{a|a＞}．二、解答题（本题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，求比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，所以随机变量ξ的所有可能的取值为2，4，6，利用随机变量的定义及独立事件同时发生的概率公式求出每一个随机变量取值时对应的随机事件的概率，在有离散型随机的期望公式求出期望．【解答】解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有，，P（ξ=6）=1﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=4）=，故．16．如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB．D、E分别为棱C1C、B1C1的中点．（1）求点E到平面ADB的距离；（2）求二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值；（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1DB？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），D（0，0，1），E（1，0，2）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1），，，设平面ADB的法向量为得：可取法向量为，则点E到平面ADB的距离．（2）A1（0，2，2），E（1，0，2），D（0，0，1）可得，，设平面A1ED的法向量为，则，平面A1BD的法向量为，则，所以，即求二面角E﹣A1D﹣B的余弦值为．（3）假设存在点F，坐标为（0，y，0），则，EF⊥平面A1DB得，F（0，1，0），F即为AC中点．【解答】解：（1）如图所示，以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴建立空间直角坐标系，由C1C=CB=CA=2可得C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），D（0，0，1），E（1，0，2）．则，，设平面ADB的法向量为得即则取法向量为，则点E到平面ADB的距离．（2）A1（0，2，2），E（1，0，2），D（0，0，1）可得，，设平面A1ED的法向量为，故可令，A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），可得，，设平面A1BD的法向量为，故可令，∴，即求二面角E﹣A1D﹣B的余弦值为；（3）假设存在点F，坐标为（0，y，0），则，EF⊥平面A1DB得，即，∴F（0，1，0）F即为AC中点．17．为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元．（每平方米平均综合费用=）．（1）求k的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出每幢楼为5层时的所有建筑面积，算出所有建筑费，直接由每平方米平均综合费用=列式求出k的值；（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n），同样利用题目给出的每平方米平均综合费用的关系式列出f （n）的表达式，然后利用基本不等式求出f （n）的最小值，并求出层数．【解答】解：（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5平方米，所有建筑费用为[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10，所以，1270=，解之得：k=50．（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n），由题设可知f （n）==+25n+825≥2+825=1 225（元）．当且仅当=25n，即n=8时等号成立．答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元．18．已知函数f（x）=4sinxcos（x+）+（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换进行化简，得到f（x）=2sin（2x+），再利用正弦函数的周期性可求得f（x）的最小正周期；（Ⅱ）x∈⇒2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的单调性质即可求得f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．【解答】解：（Ⅰ）=…=…所以…（Ⅱ）因为，所以…所以，所以﹣1≤f（x）≤2，当，即时，f（x）min=﹣1，当，即时，f（x）max=2，…19．已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e=，且过点P（1，1）．（1）求椭圆的方程；（2）若点A（x0，y0）为圆x2+y2=1上任一点，过点A作圆的切线交椭圆于B，C两点，求证：CO⊥OB（O为坐标原点）．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆的切线方程；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆方程，根据e=，可得a2=3b2，利用椭圆过点P（1，1），可得，从而可求椭圆的方程；（2）由题意可求得切线方程为x0x+y0y=1．①若y0=0，则切线为x=1（或x=﹣1），求得B、C的坐标，从而可得CO⊥OB；②当y0≠0时，切线方程为x0x+y0y=1，与椭圆联立并化简，利用韦达定理，证明x1x2+y1y2=0即可．【解答】（1）解：由题意，设椭圆方程为∵e=，∴，∴a2=3b2∵椭圆过点P（1，1），∴∴a2=4，∴椭圆的方程为；（2）证明：由题意可求得切线方程为x0x+y0y=1①若y0=0，则切线为x=1（或x=﹣1），则B（1，1），C（1，﹣1），∴CO⊥OB（当x=﹣1时同理可得）；②当y0≠0时，切线方程为x0x+y0y=1，与椭圆联立并化简得∴x1+x2=，设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1x2+y1y2===0∴CO⊥OB20．函数f（x）=+lnx是[1，+∞）上的增函数．（Ⅰ）求正实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数g（x）=x2+2x，在使g（x）≥M对定义域内的任意x值恒成立的所有常数M 中，我们把M的最大值M=﹣1叫做f（x）=x2+2x的下确界，若函数f（x）=+lnx的定义域为[1，+∞），根据所给函数g（x）的下确界的定义，求出当a=1时函数f（x）的下确界．（Ⅲ）设b＞0，a＞1，求证：ln＞．【考点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当函数单调递增时，其导数大于等于0恒成立求参数的范围（Ⅱ）求下确界就是求函数的最小值利用导数求函数的最值（Ⅲ）证明不等式就是求最值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，f′（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，∴a≥对x∈[1，+∞）恒成立，又≤1，∴a≥1，故正实数a的取值范围为a≥1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=1时，函数f（x）是定义域[1，+∞）上的增函数，故f（x）min=f（1）=0，f（x）≥M恒成立∴M≤f（x）min=0，∴M的最大值为0，∴当a=1时函数f（x）的下确界为0．答：当a=1时函数f（x）的下确界是0；（Ⅲ）证明：取x=，∵a＞1，b＞0，∴＞1，由（Ⅰ）知f（x）=+lnx在[1，+∞）上是增函数，∴f（）＞f（1）=0，∴+ln＞0，即ln＞．xx年1月2日pNA35354 8A1A 訚22406 5786 垆20982 51F6 凶26955 694B 楋i {38311 95A7 閧。

秘密★启用前2021年高三上学期开学摸底考试理科数学试题 含答案数学试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. =( ).A. 1B. 0C. -1D. 22. 已知集合{}Z n n N x x M n ∈≤≤=>-=且1321},03|{2，则( ).A. B. C. D.3. 已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是( ).A. B. C. D.4. 已知，则函数的零点位于区间( )内.A. B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)5. 若)1(,2)]([,21)(-+=-=g x x f g x x f x 则的值为( ).A.1B.3C.D.6 6. 的内角、、所对的边是、、. 若，则内角A =( ).A.30°B. 45°C.60°D. 90°7. 下列说法中错误．．的是( ). A. “”是“”的必要不充分条件.B. 若命题： . 则：，.C. 若为假命题，则也为假命题.D. 命题“若，则”是真命题.8. 某正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)的正视图和俯视图如右图所示.若它的体积为，则它的侧视图面积为( ).A. B.3 C.2 D. 49. =︒︒-︒︒-)200sin(80sin 160cos )10sin(( ).A. B. C. D.10. 在区间内随机抽取两个数x 和y ，恰好满足的概率是( ).A. B. C. D.11. (原创)在直角坐标系中，A 、B 分别是轴和轴上的动点，若以线段AB 为直径的圆C 与直线相切，则圆C 面积的最小值为( ).A. B. C. D.12. (原创)已知，若对任意三个实数，均存在一个以为边长的三角形，则实数的取值范围是( ).A. B. C. D.第II 卷（非选择题，共90分）第13 ~ 21题为必考题，每个小题考生都必须作答。