湖南省师大附中2019届高三数学摸底考试试题理

湖南师大附中 2019届高三摸底考试数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2＋i )z ＝2－i (i 为虚数单位)，则z 等于 A ．3＋4i B ．3－4iC .35＋45iD .35－45i 2．已知P ＝{x|x 2－5x ＋4＜0}，Q ＝{}x|y ＝4－2x ，则P ∩Q 等于A ．(1，4)B ．[2，4)C ．(1，2]D ．(－∞，2]3．已知两组样本数据{x 1，x 2，…，x n }、{y 1，y 2，…，y m }的平均数分别为h 和k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为A .h ＋k 2B .nh ＋mk m ＋nC .mh ＋nk m ＋nD .h ＋k m ＋n4．已知{a n }为等比数列，a 1>0，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 4＋a 7＋a 10等于 A ．－7 B ．－5 C ．5 D ．75．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD. 其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为A ．2或233B .6或233C ．2或 3D .3或 67．函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后关于y 轴对称，则φ的值是A ．0B .π6C .π3D .5π68．在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为A ．1－3π6 B ．1－3π12 C ．1－3π9 D ．1－3π189．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为 A .22π3 B .3π3 C .23π3 D .2π310．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为A .4π5B .3π4C ．(6－25)πD .5π411．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧e x，x ≤0，x 2＋ax ＋1，x ＞0，F(x)＝f(x)－x －1，且函数F(x)有2个零点，则实数a 的取值范围为A ．(－∞，0]B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)12．已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是 ①函数f(x)＝[)x －x 的值域是(]0，1； ②若{a n }是等差数列，则{}[)a n 也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{}[)a n 也是等比数列； ④若x ∈(1，2 018)，则方程[)x －x ＝12有2 017个根．A ．②④B ．③④C ．①③D ．①④选择题答题卡二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 13．从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为________．(结果用最简分数表示) 14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的取值为________．(注：一丈＝10尺)15.⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x)6展开式中x 2的系数为________．(结果用数字表示) 16．如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分11分)如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的动点(含端点)，记∠BAD ＝α，∠ADC ＝β. (1)求2cos α－cos β的最大值；(2)若BD ＝1，cos β＝17，求△ABD 的面积．已知正项等比数列{}a n 的公比为q ，且a 3＋a 4＋a 5＝716，3a 5是a 3，a 4的等差中项．数列{}b n 满足b 1＝1，数列{}()b n ＋1－b n ·a n 的前n 项和为2n 2＋n.(1)求数列{}a n 的通项公式； (2)求数列{b n }的通项公式．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)设Μ为ΑΒ中点，若BP →＝13PC →.求证：ΜΡ∥平面CΝΒ1；(2)设二面角Β－CΒ1－Ν大小为θ，求sin θ的值．某卫生监督检查部门对5家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的，且每家餐饮店整改前合格的概率是0.5，整改后复查合格的概率是0.8.计算：(1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率；(2)平均有多少家餐饮店必须整改；(3)至少关闭一家餐饮店的概率．(精确到0.01)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，若点P ⎝⎛⎭⎫22，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m(k ，m ∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的重心G 满足：F 1G →·F 2G →＝－59，求实数m 的取值范围．设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.(1)若f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；(2)若g(x)＝e x＋x2－f(x)，当a≤2时，证明：g(x)>0.湖南师大附中 2019届高三摸底考试 数学(理科)参考答案一、选择题1．D 【解析】由(2＋i)z ＝2－i ，得z ＝2－i 2＋i ＝（2－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝35－45i ，故选D.2．C 【解析】解x 2－5x ＋4＜0，即(x －1)(x －4)＜0，得1＜x ＜4，故P ＝(1，4)．Q 表示函数y ＝4－2x 的定义域，所以4－2x ≥0，所以x ∈(－∞，2]，即Q ＝(－∞，2]．故P ∩Q ＝(1，2]．故选C.3．B 【解析】因为样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ，{y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，所以第一组数据和为nh ，第二组数据和为mk ，因此把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为nh ＋mkm ＋n，故选B.4．B 【解析】由等比数列的性质可得a 5a 6＝a 4a 7＝－8，又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝－2，a 7＝4或a 7＝－2，a 4＝4，因为a 7＝a 1q 6>0，所以a 4＝－2，a 7＝4，a 7＝a 4q 3＝－2q 3＝4，所以q 3＝－2，所以a 1＝a 4q3＝1，a 10＝a 7q 3＝－8，所以a 1＋a 4＋a 7＋a 10＝－5，故选B.5．B 【解析】将展开图还原为几何体(如图)，因为E ，F 分别为P A ，PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面P AD ，E ∈平面P AD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF 平面PBC ，BC 平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面P AD 与平面BCE 不一定垂直，④错．故选B.6．A 【解析】由题意可知，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的倾斜角为30°或60°，则k ＝b a ，∴k ＝3或33，则e ＝c a ，∴e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2或233. 7．D 【解析】f (x )＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后得到的函数是g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，又g (0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝±1，得φ－π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋5π6(k ∈Z )，故选D.8．A 【解析】满足条件的正三角形ABC 如图所示：设边长为2，其中正三角形ABC的面积S △ABC ＝34×4＝ 3.满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S 阴影＝12π，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离大于1的概率P ＝1－3π6，故选A.9．D 【解析】设四棱锥为P －ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ＝PB ＝PC ＝PD ＝1的外接球的半径为R ，过P 作PO 1⊥底面ABCD ，垂足O 1为正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设球心为O ，连接AO ，由于AO ＝PO ＝R ，AO 1＝PO 1＝22，OO 1＝22－R ，在Rt △AOO 1中，⎝⎛⎭⎫22－R 2＋⎝⎛⎭⎫222＝R 2，解得R ＝22，V 球＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫223＝2π3. 10．A 【解析】设直线l ：2x ＋y －4＝0.因为|OC |＝12|AB |＝d 1，其中d 1为点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线．圆C 半径最小值为12d 2＝12×45＝25，其中d 2为点O 到直线l 的距离，圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝4π5.故选A. 11．B 【解析】因为F (x )＝f (x )－x －1，且函数F (x )有2个零点，即f (x )－x －1＝0有2个实数根，所以当x ≤0时，令e x －x －1＝0，解得x ＝0，此时只有一个实数根，当x ＞0时，令f (x )－x －1＝0，即x 2＋(a －1)x ＝0，即x [x －(1－a )]＝0，此时解得x ＝1－a ，要使得函数F (x )有2个零点，则1－a ＞0，所以a ＜1，故选B.12．D 【解析】当x ∈Z 时，[)x ＝x ＋1，f (x )＝[)x －x ＝x ＋1－x ＝1；当x Z 时，令x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)，则[)x ＝n ＋1，f (x )＝[)x －x ＝1－a ∈(0，1)，因此f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；0.9，1，1.1是等差数列，但[)0.9＝1，[)1＝2，[)1.1＝2不成等差数列；0.5，1，2是等比数列，但[)0.5＝1，[)1＝2，[)2＝3不成等比数列；由前分析可得当x ∈Z 时，f (x )＝1；当x Z ，x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)时，f (x )＝1－a ＝1－(x －n )＝n ＋1－x ，所以f (x＋1)＝f (x )，即f (x )＝[)x －x 是周期为1的函数，由于x ∈(1，2)时f (x )＝2－x ＝12，x ＝32，即一个周期内有一个根，所以若x ∈(1，2 018)，则方程[)x －x ＝12有2 017个根．①④正确，故选D.二、填空题13.35 【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为C 13C 12C 25＝35. 14．3 【解析】圆柱体体积公式V ＝πr 2h ，而由题意有V ＝112×(2πr )2×h ，所以π＝3.15．30 【解析】因为⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6＝1·(1＋x )6＋1x2·(1＋x )6，则(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2＝15x 2，1x 2·(1＋x )6展开式中含x 2的项为1x2·C 46x 4＝15x 2，故x 2的系数为15＋15＝30.16．5 【解析】令正三角形边长为3，则OB →＝(1，0)，OA →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，设直线AB 与OC 的交点为点D ，若OD →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝1.又由线性规划知识知当P 在C 点时，x＋y 有最大值，此时OP →＝5OD →，故x ＋y 的最大值是5.三、解答题17．【解析】(1)由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋π3，0≤α≤π3，故2cos α－cos β＝2cos α－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3， 故当α＝π6，即D 为BC 中点时，原式取最大值 3.5分 (2)由cos β＝17，得sin β＝437， 故sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫β－π3＝sin βcos π3－cos βsin π3＝3314，7分 由正弦定理AB sin ∠ADB ＝BD sin ∠BAD ， 故AB ＝sin βsin αBD ＝4373314×1＝83，9分 故S △ABD ＝12AB ·BD ·sin B ＝12×83×1×32＝233.11分 18．【解析】(1)依题意，a 3＋a 4＋a 5＝716，6a 5＝a 3＋a 4，则a 5＝116，a 3＋a 4＝38，得a 5q 2＋a 5q＝38， 即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－13(舍)，所以q ＝12，a 1＝1， ∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.5分(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )·a n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，则S n ＝2n 2＋n ，所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1（n ≥2）， 解得c n ＝4n －1.7分所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)·2n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)·2n －2，n ≥2，b n －b 1＝()b n －b n －1＋()b n －1－b n －2＋…＋()b 3－b 2＋()b 2－b 1＝(4n －5)·2n －2＋(4n －9)·2n －3＋…＋7·21＋3，9分设T n ＝3＋7·21＋…＋(4n －9)·2n －3＋(4n －5)·2n －2，2T n ＝3·2＋7·22＋…＋(4n －9)·2n －2＋(4n －5)·2n －1，所以，－T n ＝3＋4·21＋…＋4·2n －3＋4·2n －2－(4n －5)·2n －1，因此T n ＝(4n －9)·2n －1＋5，n ≥2，又b 1＝1，所以b n ＝(4n －9)·2n －1＋6.11分19．【解析】(1)证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形， 俯视图为直角梯形，∴BA ，BC ，BB 1两两垂直．且BC ＝4，BA ＝4，BB 1＝8，AN ＝4， 以BA ，BB 1，BC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图则N (4，4，0)，B 1(0，8，0)，C 1(0，8，4)，C (0，0，4)，∴M (2，0，0)．∵BP PC ＝13，∴P (0，0，1)，则MP →＝(－2，0，1)，设n 2＝(x ，y ，z )为平面NCB 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CN →＝0n 2·NB 1→＝0⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·（4，4，－4）＝0（x ，y ，z ）·（－4，4，0）＝0⎩⎨⎧x ＋y －z ＝0，－x ＋y ＝0， 取n 2＝(1，1，2)，∴MP →·n 2＝(－2，0，1)·(1，1，2)＝0，又PM 平面CNB 1，∴MP ∥平面CNB 16分(2)由(1)可知平面ΒCΒ1的一个法向量为BA →＝(4，0，0)，平面CΒ1Ν的法向量为n 2＝(1，1，2)，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n 2|BA →||n 2|＝（4，0，0）·（1，1，2）4×6＝66，∴sin θ＝306.12分 【注】本题只给出向量法，其他方法请参照标准酌情给分．20．【解析】(1)每家餐饮店必须整改的概率是1－0.5＝0.5，且每家餐饮店是否整改是相互独立的．所以恰好有两家餐饮店必须整改的概率是P 1＝C 25×(1－0.5)2×0.53＝516.4分 (2)由题知，必须整改的餐饮店数ξ服从二项分布B (5，0.5)．从而ξ的数学期望是 E ξ＝5×0.5＝2.5，即平均有2.5家餐饮店必须整改.8分(3)某餐饮店被关闭，即该餐饮店第一次检查不合格，整改后经复查仍不合格，所以该餐饮店被关闭的概率是P 2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该餐饮店不被关闭的概率是0.9.由题意，每家餐饮店是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家餐饮店的概率是P 3＝1－0.95≈0.41.12分21．【解析】(1)由e ＝22，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋2y 2a 2＝1， 点P ⎝⎛⎫22，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，等价于点P 在椭圆上，∴12a 2＋32a 2＝1，∴a 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.5分 (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2－2＝0，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>01＋2k 2>m 2x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2①.7分设△AOB 的重心为G (x ，y )，由F 1G →·F 2G →＝－59，可得x 2＋y 2＝49.② 由重心公式可得G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 23，y 1＋y 23，代入②式，整理可得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝4(x 1＋x 2)2＋[k (x 1＋x 2)＋2m ]2＝4，③ 将①式代入③式并整理，得m 2＝（1＋2k 2）21＋4k 2，10分 则m 2＝（1＋2k 2）21＋4k 2＝1＋4k 41＋4k 2＝1＋44k 2＋1k 4.又由Δ>0可知k ≠0，令t ＝1k 2>0，∴t 2＋4t >0， ∴m 2>1，∴m ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).12分22．【解析】(1)解法1：f (x )的定义域为(－a ，＋∞)，f ′(x )＝2x 2＋2ax ＋1x ＋a方程2x 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－8.(ⅰ)若Δ<0，即－2<a <2，在f (x )的定义域内f ′(x )>0，故f (x )单调递增．(ⅱ)若Δ＝0，则a ＝2或a ＝－ 2.若a ＝2，x ∈(－2，＋∞)，f ′(x )＝（2x ＋1）2x ＋2. 当x ＝－22时，f ′(x )＝0，当x ∈⎝⎛⎭⎫－2，－22∪⎝⎛⎭⎫－22，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )单调递增．若a ＝－2，x ∈(2，＋∞)，f ′(x )＝（2x －1）2x －2>0，f (x )单调递增． (ⅲ)若Δ>0，即a >2或a <－2，则2x 2＋2ax ＋1＝0有两个不同的实根x 1＝－a －a 2－22，x 2＝－a ＋a 2－22. 当a <－2时，x 1<－a ，x 2<－a ，从而f ′(x )在f (x )的定义域内没有零点，故f (x )单调递增． 当a >2时，x 1>－a ，x 2>－a ，f ′(x )在f (x )的定义域内有两个不同的零点，即f (x )在定义域上不单调．综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.6分解法2：很显然f ′(x )不可能有连续零点，若f (x )为定义域上的单调函数，则f ′(x )≤0或f ′(x )≥0恒成立，又f ′(x )＝1x ＋a＋2x ，因为x ＋a >0， 所以f ′(x )<0不可能恒成立，所以f (x )为定义域上的单调函数时，只可能f ′(x )≥0恒成立，即1x ＋a ＋2x ≥0恒成立，即1x ＋a ＋2(x ＋a )－2a ≥0，即2a ≤1x ＋a ＋2(x ＋a )，而1x ＋a ＋2(x ＋a )≥22，所以2a ≤22，a ≤2，即实数a 的取值范围为a ≤ 2.解法3：由解法2可知x ∈(－a ，＋∞)，1x ＋a ＋2x ≥0恒成立，得2x 2＋2ax ＋1x ＋a≥0恒成立，即2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立，(ⅰ)当a ≤0时，－a －⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2≥0， 所以2x 2＋2ax ＋1>2a 2－2a 2＋1＝1，所以当a ≤0时2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立；(ⅱ)当a >0时，－a －⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2<0，所以(2x 2＋2ax ＋1)min ＝－a 22＋1， 所以－a 22＋1≥0时2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立，解得0<a ≤2，综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.(2)因为g (x )＝e x ＋x 2－f (x )＝e x －ln(x ＋a )，当a ≤2，x ∈(－a ，＋∞)时，ln(x ＋a )≤ln(x ＋2)，故只需证明当a ＝2时，g (x )>0.当a ＝2时，函数g ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增， 又g ′(－1)<0，g ′(0)>0，故g ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1，0)， 当x ∈(－2，x 0)时，g ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，g (x )取得最小值g (x 0)．由g ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0， 故g (x 0)＝e x 0－ln(x 0＋2)＝1x 0＋2＋x 0＝x 20＋2x 0＋1x 0＋2＝（x 0＋1）2x 0＋2>0，所以g (x )≥g (x 0)>0. 综上，当a ≤2时，g (x )>0.12分。

炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三摸底考试解析版数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设全集U ＝{}1，2，3，4，5，M ＝{}2，3，4，N ＝{}4，5，则()∁U M ∪N ＝(D )A .{}1B .{}1，5C .{}4，5D .{}1，4，5(2)复数z 与复数i (2－i )互为共轭复数(其中i 为虚数单位)，则z ＝(A ) A ．1－2i B ．1＋2i C ．－1＋2i D ．－1－2i(3)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为(A )A .13B .14C .15D .16(4)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝3，b ＝6，A ＝π3，则角B 等于(A )A .π4B .3π4 C . π4或3π4D . 以上都不对 (5)为得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象(D )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π8个单位D ．向左平移π8个单位 (6)设a ＝7－12，b ＝⎝⎛⎭⎫17－13，c ＝log 712，则下列关系中正确的是(B ) A ．c<b<a B ．c<a<b C ．a<c<b D ．b<c<a【解析】由题意得，c ＝log 712<0，又b ＝⎝⎛⎭⎫17－13＝713>7－12＝a>0，所以c<a<b ，故选B .(7)函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象大致为(D )【解析】由题意得，函数y ＝x sin x ＋cos x 是偶函数，当x ＝0时，y ＝1，且y′＝sin x ＋x cosx －sin x ＝x cos x ，显然在⎝⎛⎭⎫0，π2上，y ′>0，所以函数单调递增，故选D .(8)运行下图所示的程序框图，若输出结果为137，则判断框中应该填的条件是(B )A ．k>5B ．k>6C ．k>7D ．k>8【解析】第一次执行完循环体得到：S ＝1＋12＝32，k ＝2；第二次执行完循环体得到：S ＝32＋12×3＝53，k ＝3；第三次执行完循环体得到：S ＝53＋13×4＝74，k ＝4；第四次执行完循环体得到：S ＝74＋14×5＝95，k ＝5；第五次执行完循环体得到：S ＝95＋15×6＝116，k ＝6；第六次执行完循环体得到：S ＝116＋16×7＝137，k ＝7；输出结果为137，因此判断框中应该填的条件是k>6.(9)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，则异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值大小为(A )A .14B ．－14C .12D ．－12【解析】延长BA 到D ，使得AD ＝AC ，则ADA 1B 1为平行四边形， ∴AB 1∥A 1D ，∴∠DA 1C 就是异面直线AB 1和A 1C 所成的角， 又△ABC 为等边三角形，设AB ＝AA 1＝1，∠CAD ＝120°， 则CD ＝AC 2＋AD 2－2AC·AD cos ∠CAD＝1＋1－2×1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝3， A 1C ＝A 1D ＝2，在△A 1CD 中，cos ∠DA 1C ＝22＋22－322×2×2＝14.故选A .(其它的平移方法均可)(10)如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为(A )A ．2＋23＋ 6B ．4＋23＋ 6C ．4＋43＋ 6D ．2＋3＋ 6【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥P －ABC ，其中侧面PAB ⊥底面ABC ，在平面PAB 内，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，连接CD ，CD ⊥AD ，该几何体的表面积是S ＝12×1×2×2＋34×(22)2＋12×22×3＝2＋23＋ 6.(11)已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)与抛物线y 2＝2px(p>0)有相同的焦点F ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点M(－3，t)，|MF|＝1532，则双曲线的离心率为(C )A .22B .33C .52D . 5 【解析】依题意有－p 2＝－3，p ＝6，又|MF|＝1532，∴⎝⎛⎭⎫15322＝t 2＋62，∴t ＝±32，∴b a (－3)＝－32，b a ＝12，且a 2＋b 2＝c 2，e ＝52.故选C . (12)设D 是函数y ＝f(x)定义域内的一个子区间，若存在x 0∈D ，使f(x 0)＝－x 0，则称x 0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D 上存在次不动点，若函数f(x)＝ax 2－2x －2a －32在区间⎣⎡⎦⎤－3，－32上存在次不动点，则实数a 的取值范围是(B ) A ．(－∞，0) B .⎣⎡⎦⎤－14，0 C .⎣⎡⎦⎤－314，0 D .⎣⎡⎦⎤－314，－14 【解析】由题意，存在x ∈⎣⎡⎦⎤－3，－32，使g(x)＝f(x)＋x ＝ax 2－x －2a －32＝0，解得a ＝x ＋32x 2－2，设h(x)＝x ＋32x 2－2，则由h′(x)＝－x 2－3x －2（x 2－2）2＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝－2，且h(x)在(－3，－2)上递减，在⎝⎛⎭⎫－2，－32上递增，又h(－3)＝－314，h(－2)＝－14，h ⎝⎛⎭⎫－32＝0，所以h(x)在x ∈⎣⎡⎦⎤－3，－32的值域为⎣⎡⎦⎤－14，0，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0.第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．(13)已知向量a ＝(－1，1)，向量b ＝(3，t )，若b ∥(a ＋b )，则t ＝__－3__．(14)若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝__－79__．【解析】∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－79.(15)点P (a ，3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离等于4，且在2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则a 的值为__－3__．【解析】由题意⎩⎪⎨⎪⎧|4a －3×3＋1|5＝4，2a ＋3－3<0，解得a ＝－3.(16)已知直线l 经过点P ()－4，－3，且被圆()x ＋12＋()y ＋22＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是__x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0__．【解析】圆心()－1，－2，半径r ＝5，弦长为m ＝8，设弦心距是d ，则由勾股定理得r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫m 22，得d ＝3，若直线l 斜率不存在，则直线l 的方程为x ＋4＝0，此时圆心到l 的距离是3，符合题意；若直线l 斜率存在，则设直线l 的方程为y ＋3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k －3＝0，所以圆心到l 的距离是d ＝||－k ＋2＋4k －3k 2＋1＝3，解得k ＝－43，此时直线l 的方程是4x ＋3y ＋25＝0.综上，直线l 的方程是x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0.所以答案应填：x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)数列{}a n 的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1()n ≥1. (Ⅰ)求{}a n 的通项公式； (Ⅱ)求S n .【解析】(Ⅰ)由a n ＋1＝2S n ＋1可得a n ＝2S n －1＋1()n ≥2，2分 两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，a n ＋1＝3a n ()n ≥24分 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，6分故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.8分(Ⅱ) S n ＝1×（1－3n ）1－3＝3n 2－12.12分(18)(本小题满分12分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．(Ⅰ)求分数在[50，60)的频率及全班人数；(Ⅱ)求分数在[80，90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90)间矩形的高；(Ⅲ)若要从分数在[80，100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100)之间的概率．【解析】(Ⅰ)分数在[50，60)的频率为0.008×10＝0.08，2分由茎叶图知：分数在[50，60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.4分(Ⅱ)分数在[80，90)之间的频数为25－22＝3；频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高为325÷10＝0.012.7分(Ⅲ)将[80，90)之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100)之间的2个分数编号为b1，b2，8分在[80，100)之间的试卷中任取两份的基本事件为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)共10个，10分其中，至少有一个在[90，100)之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100)之间的概率是710＝0.7.12分(19)(本小题满分12分)如图，在三棱锥A －BCD 中，AD ＝DC ＝2，AD ⊥DC ，AC ＝CB ，AB ＝4，平面ADC ⊥平面ABC ，M 为AB 的中点．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面ADC ；(Ⅱ)求点A 到平面DMC 的距离．【解析】(Ⅰ)∵AD ＝DC ＝2且AD ⊥DC ， ∴AC ＝CB ＝22，又AB ＝4，满足AC 2＋BC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC .4分∵平面ABC ⊥平面ADC ，BC 平面ABC ，平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ADC .6分(Ⅱ)取AC 中点N ，连接MN ，DN ，DM ，CM在Rt △ADC 中，DN ⊥AC 且DN ＝2，又平面ABC ⊥平面ADC ， ∴DN ⊥平面ABC .在△ABC 中，MN ∥BC 且MN ＝12BC ＝2，由(Ⅰ)知BC ⊥平面ADC ，则MN ⊥平面ADC ，又∵DN 平面ADC ，∴MN ⊥DN ，即DM ＝DN 2＋MN 2＝2，8分在△ABC 中，AC ＝BC ＝22，AB ＝4，∴CM ＝2，∴S △DMC ＝34×4＝ 3.10分设点A 到平面DMC 的距离为h ，则由V A －DMC ＝V D －AMC ， 得13×S △DMC ×h ＝13×S △AMC ×DN ， 解得h ＝263，∴点A 到平面DMC 的距离为263.12分(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切．(Ⅰ)求椭圆C 标准方程；(Ⅱ)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使EA →2＋EA →·AB →为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．【解析】(Ⅰ) 由e ＝63， 得c a ＝63，即c ＝63a ， ①又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且与直线2x －2y ＋6＝0相切，所以a ＝622＋（2）2＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.4分(Ⅱ)由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1y ＝k （x －2）得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1·x 2＝12k 2－61＋3k 2，8分根据题意，假设x 轴上存在定点E (m ，0)，使得 EA →2＋EA →·AB →＝EA →·(EA →＋AB →)＝EA →·EB →为定值，则有EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2) ＝(x 1－m )·(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2)＝(k 2＋1)·12k 2－61＋3k 2－(2k 2＋m )·12k 21＋3k2＋(4k 2＋m 2) ＝（3m 2－12m ＋10）k 2＋（m 2－6）3k 2＋110分要使上式为定值，即与k 无关，则应3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，即m ＝73，此时EA →·EB →＝m 2－6＝－59为定值，定点为⎝⎛⎭⎫73，0.12分 (21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12ax 2－(a 2＋b )x ＋a ln x (a ，b ∈R )．(Ⅰ)当b ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)当a ＝－1，b ＝0时，证明：f (x )＋e x >－12x 2－x ＋1(其中e 为自然对数的底数)．【解析】 (Ⅰ)当b ＝1时，f (x )＝12ax 2－(1＋a 2)x ＋a ln xf ′(x )＝ax －(1＋a 2)＋a x ＝（ax －1）（x －a ）x 1分当a ≤0时，x －a >0，1x>0，ax －1<0f ′(x )<0此时函数f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间2分当a >0时，令f ′(x )＝0x ＝1a或a①当1a ＝a (a >0)，即a ＝1时， 此时f ′(x )＝（x －1）2x≥0(x >0)此时函数f (x )单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间3分②当0<1a<a ，即a >1时，此时在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(a ，＋∞)上函数f ′(x )>0， 在⎝⎛⎭⎫1a ，a 上函数f ′(x )<0，此时函数f (x )单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a 和(a ，＋∞)；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，a .4分③当0<a <1a，即0<a <1时，此时函数f (x )单调递增区间为(0，a )和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，1a .6分 (Ⅱ)证明：当a ＝－1，b ＝0时，f (x )＋e x >－12x 2－x ＋1，只需证明：e x－ln x －1>0，(法一)设g (x )＝e x －ln x －1(x >0)， 问题转化为证明x >0，g (x )>0，由g ′(x )＝e x －1x ， g ″(x )＝e x ＋1x2>0，∴g ′(x )＝e x －1x为(0，＋∞)上的增函数，且g ′⎝⎛⎭⎫12＝e －2<0，g ′(1)＝e －1>0.8分 ∴存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，使得g ′(x 0)＝0，e x 0＝1x 0， ∴g (x )在(0，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上递增.10分∴g (x )min ＝g (x 0)＝e x 0－ln x 0－1＝1x 0＋x 0－1≥2－1＝1，∴g (x )min >0，∴不等式得证.12分 (法二)先证：x －1≥ln x (x >0)，令h (x )＝x －1－ln x (x >0)，∴h ′(x )＝1－1x ＝x －1x＝0x ＝1，∴h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∴h (x )min ＝h (1)＝0，∴h (x )≥h (1)x －1≥ln x ．8分 ∴1＋ln x ≤1＋x －1＝x ln(1＋x )≤x ，∴e ln(1＋x )≤e x ，10分∴e x ≥x ＋1>x ≥1＋ln x ，∴e x >1＋ln x ， 故e x －ln x －1>0.12分请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2αy ＝sin 2α(α是参数)，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝1sin θ－cos θ.(Ⅰ)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线C 1上的任意一点P 到曲线C 2的最小距离，并求出此时点P 的坐标. 【解析】(Ⅰ) 由题意知，C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，1分 C 2的直角坐标方程为y ＝x ＋1. 5分(Ⅱ)设P (1＋cos 2α，sin 2α)，则P 到C 2的距离d ＝22|2＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4|，当cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－1，即2α＝3π4＋2k π(k ∈Z )时，d 取最小值2－1，此时P 点坐标为⎝⎛⎭⎫1－22，22.10分(23)(本小题满分10分)选修4－5: 不等式选讲 设函数f (x )＝|2x －a |＋a .(Ⅰ) 若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下，若存在实数n ，使得f (n )≤m －f (－n )恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)由f (x )≤6，得a －6≤2x －a ≤6－a (a <6)， 即其解集为{x |a －3≤x ≤3}，3分由题意知f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，所以a ＝1.5分 (Ⅱ) 原不等式等价于，存在实数n ，使得m ≥f (n )＋f (－n )＝|1－2n |＋|1＋2n |＋2恒成立， 即m ≥[|1－2n |＋|1＋2n |＋2]min ，8分而由绝对值三角不等式，|1－2n |＋|1＋2n |≥2， 从而实数m ≥4.10分。

2019届湖南师范大学附属中学高三第二次高考模拟数学(理)试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N =B ．M NC ．N MD ．M N ⋂=∅2．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2)B ．2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(2,0)-3．如果等差数列128,,,a a a L 的各项都大于零，公差0d ≠，则正确的关系为（ ） A ．1845a a a a > B ．1845a a a a < C ．1845a a a a +>+D ．1845a a a a =4．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ） A ．256B ．256-C ．32D ．32-5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60的同学有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．9006．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）A ．34B ．78C ．1516D ．23247．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．112B ．115C ．118D ．1148．下列图象可以作为函数()2xf x x a=+的图象的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知点集{}(,)M x y xy =，则平面直角坐标系中区域M 的面积是（ ） A ．1B ．34π+C ．πD ．22π+10．已知向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r 的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP AB ⊥u u u r u u u r ，OP xa yb =+u u ur r r ，则x ，y 的值分别为（ ）A ．15，45B ．43，13- C ．45，15D ．13-，4311．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===,而对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）A B ．3C ．D ．212．已知0a >，函数()()ln 1x af x e x a -=-+- (x >0)的最小值为0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．φ13．定积分()11xx ee dx ---=⎰________.14．()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）15．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线222:4C x y -=有相同的右焦点2F ，点P 是椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的公共点，若22PF =，则椭圆1C 的离心率等于_______.16．已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，且11a b m =，224a b =，338a b =，4416a b =，则m =________.17．已知在ABC V 中，D ，E 分别为边AB ，BC 的中点，2AB AC AB AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r.（1）若2AB AC AB CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，且ABC V 的面积为AC 的长；（2）若BC =，求线段AE 长的最大值.18．如图1，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，1AD =，2BC =，E 为CD 上一点，F 为BE 的中点，且1DE =，2EC =，现将梯形沿BE 折叠(如图2)，使平面BCE ⊥平面ABED .（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE .（2）能否在边AB 上找到一点P (端点除外)使平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦值？若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由. 19．近期，西安公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，y a bx =+与x y c d =⋅（,c d 均为大于零的常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y 与x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠，有13的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n （n ∈+N ）年才能开始盈利，求n 的值. 参考数据：其中其中lg i i v y =，7117i i v v ==∑，参考公式：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，L ，(,)n n u v ，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-⋅=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 20．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线20x y +-=相切. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同的交点M ，N 时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =u u u u r u u u r ？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 21．已知函数()ln f x x =，()x g x e =. （1）设函数21()()2h x f x x ax =++(a R ∈)，讨论a R ∈的极值点个数； （2）设直线l 为函数()f x 的图像上一点00(,())A x f x 处的切线，试探究：在区间(1,)+∞上是否存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切.22．在平面直角坐标系中，将曲线1C 向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为4cos ρα=.（1）求曲线2C 的参数方程；（2）直线l的参数方程为122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，求曲线2C 上到直线l 的距离最短的点的直角坐标.23．设()f x x 1x 1=-++ . (1)求()f x x 2≤+ 的解集; (2)若不等式()a 12a 1f x a+--≥,对任意实数a 0≠恒成立,求实数x 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】化简集合2|,4k M x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解. 【详解】由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数， 所以集合,M N 的关系为N M .故选：C . 【点睛】本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2．A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，复数2(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，所以23020a a >⎧⎨->⎩，解得02a <<，即实数a 的取值范围是2). 故选：A . 【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力. 3．B 【解析】 【分析】先根据等差中项的性质，可排除C ，再利用作差比较，即可得到答案. 【详解】根据等差数列的性质，可得1845a a a a +=+，所以C 不正确；又由218451111(7)(3)(4)120a a a a a a d a d a d d -=+-++=-<，所以1845a a a a <.故选B . 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及作差比较法的应用，着重考查了推理与运算能力. 4．B 【解析】 【分析】根据题设条件，求得113a a +的值，进而得出68a a +的值，再利用指数幂的运算，即可求解. 【详解】由题意，等差数列{}n a 的前13项和为52， 可得1131313()522a a S +==，解得1138a a +=，又由等差数列的性质，可得681138a a a a +=+=， 所以688(2)(2)256a a +-=-=.故选：A . 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力. 5．A 【解析】根据频率分布直方图得到支出在[)50,60的同学的频率，利用频数除以频率得到n . 【详解】由频率分布直方图可知，支出在[)50,60的同学的频率为：0.03100.3⨯=301000.3n ∴== 本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率、频数和总数的问题，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -，该几何体的体积为1111711132228⎛⎫-⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ 故选B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 7．D 【解析】先得到随机抽取两个不同的数共有28种，再得出选取两个不同的数，其和等于20的共有2中，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，在不超过20的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19，共有8个数，随机选取两个不同的数，共有2828C =种，其中随机选取的两个不同的数，其和为20的有31720,71320+=+=，共有2种， 所以概率为212814P ==. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用组合数的公式求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 8．C 【解析】当a <0时,如取a =−4,则()24xf x x =- 其定义域为：{x |x ≠±2}，它是奇函数，图象是③，所以③选项是正确的；当a >0时，如取a =1，其定义域为R ，它是奇函数，图象是②。

绝密★启用前2019届湖南省长沙市湖南师范大学附中高三下学期考前演练（六）数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．若复数z 满足33i z z +=+，则z 的实部为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：A设出复数的代数形式，结合条件建立方程，解方程可得实部. 解：设,,z a bi a b R =+∈，则22i 33i a z z a b b +=+++=+， 所以223,3a b b a =++=，解得3,1b a ==.故选：A. 点评：本题主要考查复数的相关概念，待定系数法是首选方法，侧重考查数学运算的核心素养.2．已知集合()12log 1A x y x ⎧⎫⎪⎪==-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，201x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则（ ） A ．A B B ．B AC ．A B =D ．A B =∅I答案：C分别化简集合,A B ,根据集合的关系得出选项. 解：由()12log 10x -≥得011x <-≤，即(1,2]A =；由201x x -≤-得12x <≤，即(1,2]B =; 所以A B =. 故选：C. 点评：本题主要考查集合间的关系，化简集合为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3．()932x -的展开式中不含3x 项的系数的和为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C利用二项式展开式的通项公式先求出含3x 项的系数，再求出所有项的系数，然后可得结果. 解：()932x -的展开式的通项公式为()99331992()=12r rrrrr rr TC x C x --+=--，令33r =可得90933992(1)T C x x =-=-， 令1x =可得所有项的系数和为：()93211-=.所以展开式中不含3x 项的系数的和为：1(1)2--=. 故选：C. 点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式特定项求解的关键是通项公式，系数和的求解方法是赋值法，侧重考查数学运算的核心素养.4．正方形ABCD 的边长为2，在正方形内任取一点P ，则它到A ，B 两点的距离均小于2的概率为（ ） A ．142π- B ．182π- C ．184π-D ．12π- 答案：C表示出到A ，B 两点的距离均小于2的区域面积，利用几何概型可求答案. 解：如图，到A ，B 两点的距离均小于2的区域为图中阴影部分，由2,2AE BE AB ===可得45EAF ∠=︒.在扇形EAF 中，弓形EF 表示的面积为：()()2211222sin242442πππ⨯⨯-⨯=-, 所以阴影部分的面积为：()122[121]12422ππ⨯⨯⨯-+-=-； 而正方形的面积为4，所以所求概率为112484π-π=-. 故答案为：C. 点评：本题主要考查几何概型，准确求出满足条件的几何度量是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.5．以下命题：（1）已知三个不同的平面α，γ，β，若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；（2）若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行；（3）若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直；（4）设直线m 与平面α相交但不垂直，则在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直.错误的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：D结合图象及反例，逐项验证，（1）中,αβ可能平行也可能相交，（2）（3）中两条直线可能平行，也可能相交，还可能异面，（4）中平面α内有无数直线与直线m 垂直. 解：对于（1），若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行也可能相交，所以不正确； 对于（2），若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能平行，也可能相交，还可能异面，如图，所以不正确；对于（3），由（2）可知两条直线可能垂直，所以不正确；对于（4），直线m 与平面α相交但不垂直，则在平面α内有无数直线与直线m 垂直，且这些直线相互平行，所以不正确； 故选：D. 点评：本题主要考查空间直线及平面位置关系的判定，利用空间图形结合空间想象力可得，侧重考查直观想象的核心素养.6．若函数()tan sin f x a x x =+在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C．⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ D．,⎛-∞ ⎝⎦答案：A先求解导数，利用()0f x '≥恒成立结合分离参数法可求. 解：()sin sin cos a xf x x x=+Q ， ()2cos 0cos a f x x x '∴=+≥对,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 3cos a x ∴≥-对,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 31cos 38a π∴≥-=-， 故选：A. 点评：本题主要考查三角函数的单调性，利用单调性求解参数时，常利用导数进行转化，转化为恒成立问题进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.7．若实数x ，y 满足22x -≤≤，22y -≤≤，则1z x x y =-+-的取值范围为（ ） A ．[]0,1 B ．[]0,3C ．[]0,5D ．[]0,7答案：D对绝对值进行分类讨论去掉绝对值，结合线性规划的知识求解. 解：当1,x x y ≥≥时，则有12222x x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩，21z x y =--，作出可行域如图，由图可得z 在点()1,1A 处取到最小值，在点()2,2B -处取到最大值，所以[0,5]z ∈；当1,x x y ≥<时，则有12222x x y x y ≥⎧⎪<⎪⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩，1z y =-，作出可行域如图，由图可得(0,1]z ∈；当1,x x y <≥时，则有12222x x y x y <⎧⎪≥⎪⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩，1z y =-，作出可行域如图，由图可得(0,3]z ∈；当1,x x y <<时，则有12222x x y x y <⎧⎪<⎪⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩，21z y x =-+，作出可行域如图，由图可得(2,2),(1,1)A B -，所以(0,7]z ∈； 综上可得，[0,7]z ∈. 故选：D. 点评：本题主要考查利用线性规划知识求解最值，把含义绝对值的目标式进行转化是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，() 2.1D X =，()()46P X P X =<=，则p =（ ） A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3答案：A利用二项分布的方差公式可得p 的值，利用条件()()46P X P X =<=进行取舍，然后可得结果. 解：由题意X 服从二项分布(10,)B p ，()10(1) 2.1D X p p =-=，即310p =或710p =；由()()46P X P X =<=得()()644466101011C p p C p p -<-，即12p >； 所以0.7p =. 故选：A. 点评：本题主要考查二项分布，明确二项分布的期望及方差的计算公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.9．等边三角形ABC 的边长为6，D 、E 为BC 边上两点，且2DE =，则AD AE ⋅u u u r u u u r的取值范围为（ ）。

湖南师大附中2019届高三第四次模拟考试数学(理科)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，先求得集合，进而得到集合，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，可知，则，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知复数，给出下列四个结论：①；②；③的共轭复数；④的虚部为.其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由题意，根据复数，利用模的公式和复数的运算、及共轭复数的概念等，即可逐一判定，得到答案.【详解】由已知，则，，，的虚部为1.所以仅结论②正确，故选B.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，复数的模、共轭复数的概念及复数的运算法则，其中熟记复数的相关概念和复数的运算法则是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.若向量与满足，且，，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. -1 D.【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件求得，再由向量在方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】利用向量垂直的充要条件有：，∴，则向量在方向上的投影为,故选B.【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得.如图，这是一个把进制数（共有位）化为十进制数的程序框图，执行该程序框图，若输入的，，分别为5，1203，4，则输出的（）A. 178B. 386C. 890D. 14303【答案】A【解析】【分析】根据题设的程序框图，得到该程序的计算功能，即可求解，得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出.故选A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，得到该程序框图的计算功能是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.若，则（）A. 0B. 1C. 32D. -1【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令，可得．故本题答案选．6.若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，判定目标函数过点时取得最小值，即可求解，得到答案.【详解】画出可行域如图阴影部分所示，当目标函数过点时取得最小值，由得，则，解得.故选C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．7.气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8则肯定进入夏季的地区有（）A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①【答案】B【解析】试题分析：由统计知识①甲地：个数据的中位数为，众数为可知①符合题意；而②乙地：个数据的中位数为，总体均值为中有可能某一天的气温低于，故不符合题意，③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为．若由有某一天的气温低于则总体方差就大于，故满足题意，选C考点：统计初步8.平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，则直线与直线所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，得到，在根据正方形的性质，即可求解.【详解】如图所示，平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，平面平面，∴，又∵，则直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角为为.故选D.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解问题，其中解答中，着重考查了.9.对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（）A. 2022B. 1011C. 2020D. 1010【答案】B【解析】【分析】由题意，根据，得到，进而求得，作差即可求解.【详解】由，得，①，②①-②得，即，，所以.故选B.【点睛】本题主要考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，其中解答中根据新定义，化简得，进而得，新作差化简、运算是解答的关键，同时此类问题需要认真审题，合理利用新定义是解答此类问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10.在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】。

湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（五）数学试题 文本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数6－5i ，－2＋3i 对应的点分别为A 、B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是(C)A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2－iD ．4＋i【解析】复数6－5i 对应的点为A (6，－5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2，3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2，－1)，故点C 对应的复数为2－i ，选C.2．设命题p ：－6≤m ≤6，命题q ：函数f (x )＝x 2＋mx ＋9(m ∈R )没有零点，则p 是q 的(B)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】函数f (x )＝x 2＋mx ＋9(m ∈R )没有零点，则Δ＝m 2－36<0，即－6<m <6，显然，q 可以推出p ，而p 不能推出q ，故选B.3．点P (a ，3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离等于4，且在2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则a 的值为(C)A ．3B ．7C ．－3D ．－7【解析】由题意⎩⎪⎨⎪⎧|4a －3×3＋1|5＝4，2a ＋3－3<0，解得a ＝－3.选C.4．已知函数f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝x 13，则在(－2，0)上，下列函数中与f (x )的单调性相同的是(C)A ．y ＝－x 2＋1B ．y ＝|x ＋1|C ．y ＝e |x |D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0x 3＋1，x <0【解析】由已知得f (x )在(－2，0)上单调递减，所以答案为C.5．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(D) A ．57＋24π B ．57＋15π C ．48＋15π D ．48＋24π【解析】本题为圆锥与直四棱柱的组合体．注意表面积分为三部分，圆锥侧面展开图，即扇形面积5×6π2＝15π；圆锥底面圆，S ＝πr 2＝9π；直四棱柱侧面积，3×4×4＝48，总面积为48＋24π.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线离心率等于(A)A.355 B.62C.32D.55【解析】圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0圆心为C (3，0)，半径为2，由已知C 到直线y ＝bax 的距离为2，可得9a 2＝5c 2，可得e ＝355.故选A.7．将参加夏令营的400名学生编号为：001，002，…，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且随机抽得的号码为003，这400名学生分住在三个营区，从001到180在第一营区，从181到295在第二营区，从296到400在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为(A)A ．18，12，10B ．20，12，8C ．17，13，10D ．18，11，11【解析】根据系统抽样特点，抽样间隔为40040＝10，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N .由题意可知，第一营区可分为18个小组，每组抽取1人，共抽取18人，由第二营区的编号为181到295，可知181≤10k ＋3≤295，k ∈N ，可得18≤k ≤29，因此第二营区应有12人，第三营区有10人，所以三个营区被抽中的人数分别为18，12，10.8．已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB 、BC 分别是3＋2，3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于(D)A.32 B.34 C.32或 3 D.32或34【解析】由条件AB ＝3，BC ＝1，由3sin C ＝1sin 30°，得sin C ＝32.∴C ＝60°或120°，∴B ＝90°或30°，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝32sin B ＝32或34.故选D.9．右图中，x 1，x 2，x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当x 1＝6，x 2＝9，p ＝8.5时，x 3等于(C)A ．11B ．10C ．8D ．7【解析】x 1＝6，x 2＝9，|x 1－x 2|＝3≤2不成立，即为“否”，所以再输入x 3；由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式|x 3－x 1|<|x 3－x 2|知，点x 3到点x 1的距离小于点x 3到x 2的距离，所以当x 3<7.5时，|x 3－x 1|<|x 3－x 2|成立，即为“是”，此时x 2＝x 3，所以p ＝x 1＋x 32，即6＋x 32＝8.5，解得x 3＝11>7.5，不合题意；当x 3≥7.5时，|x 3－x 1|<|x 3－x 2|不成立，即为“否”，此时x 1＝x 3，所以p ＝x 3＋x 22，即x 3＋92＝8.5，解得x 3＝8>7.5，符合题意，故选C.10．A (a ，1)，B (2，b )，C (4，5)为坐标平面内三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，则a ，b 满足的关系式为(A)A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝14【解析】由OA →与OB →在OC →方向上的投影相同可知：OA →·OC →|OC →|＝OB →·OC →|OC →|4a ＋5＝8＋5b 4a－5b ＝3.故选A.11．已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围为(B)A ．(3，4)B ．(2，＋∞)C ．(2，5)D ．(3，22)【解析】做出f (x )的图象，可知m ≤0时，直线y ＝mx 与f (x )只有一个交点，不符题意；当m >0时y ＝mx 与y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x(x ≤0)总有一个交点，故y ＝mx 与y ＝12x 2＋1(x >0)必有两个交点，即方程12x 2＋1＝mx (x >0)必有两不等正实根，即方程x 2－2mx ＋2＝0必有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－8>0x 1＋x 2＝2m >0，x 1x 2＝2>0，解得m ∈(2，＋∞)，选B.12．已知方程x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则a 2＋b 2的取值范围是(D)A ．(5，＋∞)B ．[5，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞)【解析】设f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由抛物线的离心率为1，知f (1)＝1＋a ＋b ＋c ＝0故c ＝－1－a －b ，所以f (x )＝(x －1)[x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1]．另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故g (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1有两个分别属于(0，1)和(1，＋∞)的零点．故有g (0)>0且g (1)<0，即a ＋b ＋1>0且2a ＋b ＋3<0.运用线性规划知识可求得a 2＋b 2∈(5，＋∞)．故选D.选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．设直线l ：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＝0(m ∈R )与圆(x －1)2＋y 2＝8交于A 、B 两点，C 为圆心，且△ABC 面积等于4，则实数m ＝__－12或－72__．【解析】设CA ，CB 的夹角为θ，∴S △ABC ＝12r 2sin θ＝4sin θ＝4，∴θ＝π2，此时圆心C 到直线l 的距离为2，∴|4m －1|（m －1）2＋（2m ＋1）2＝2m ＝－12或m ＝－72.14．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是__－4<m <2__．【解析】因为(x ＋2y )⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋⎝⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y＝8，所以m 2＋2m <8，解得－4<m <2.15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，过点A 向∠BAD 所在区域等可能任作一条射线AP ，已知事件“射线AP 与线段BC 有公共点”发生的概率为13，则BC 边的长为．【解析】因为P ＝∠BAC ∠BAD ＝13，∠BAD ＝90°，则∠BAC ＝30°，所以BC AB ＝tan 30°＝33.因为AB ＝3，则BC ＝ 3.16．函数y ＝f (x )图象上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k A ，k B ，规定φ(A ，B )＝|k A －k B ||AB |2叫做曲线y ＝f (x )在点A 、B 之间的“平方弯曲度”．设曲线y ＝ex＋x 上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1－x 2＝1，则φ(A ，B )的取值范围是__⎝ ⎛0，2__．【解析】y ＝e x ＋x 的导数为y ′＝e x＋1，k A ＝e x 1＋1，k B ＝e x 2＋1，φ(A ，B )＝|k A －k B ||AB |2＝|e x 1－e x 2|（x 1－x 2）2＋（e x 1－e x 2＋x 1－x 2）2＝|e x 1－e x 2|1＋（e x 1－e x 2＋1）2，x 1－x 2＝1，可得x 1＞x 2，e x 1＞e x 2，可令t ＝e x 1－e x 2，可设f (t )＝t 1＋（t ＋1）2，t ＞0，f ′(t )＝1＋（t ＋1）2－2t （t ＋1）（1＋（t ＋1）2）2＝2－t2（1＋（t ＋1）2）2，当0＜t ＜2时，f ′(t )＞0，f (t )递增；当t ＞2时，f ′(t )＜0，f (t )递减．则当t ＝2处f (t )取得极大值，且为最大值21＋（2＋1）2＝2－12.则φ(A ，B )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2－12. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：(1)作出散点图：(2)根据上表数据用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^(精确到0.01)； (3)根据经验，观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为100，则该学生是否需要进行心理疏导？其中b ^＝错误!错误!＝91，错误!＝错误!－错误!错误!. 【解析】(1)4分(2)x －＝16(6＋5＋4＋3＋2＋1)＝3.5，y －＝16(55＋63＋72＋80＋90＋99)＝76.5，x － y －＝267.75，b ^＝1 452－6×267.7591－6×3.52≈－8.83，a ^＝76.5＋8.83×3.5≈107.41， 所以线性回归方程为y ＝－8.83x ＋107.418分(3)x ＝2时，y ＝－8.83×2＋107.41≈89.74，∵10089.74≈1.11<1.12，为轻度焦虑，故该学生不需要进行心理疏导.12分18．(本题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ，AB ＝2AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且PE ED ＝BFFA＝λ(λ>0)．(1)证明：EF ∥平面PBC ；(2)是否存在实数λ，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°？若存在，试求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解析】(1)作EH ∥AD 交PA 于点H ，连接HF ，∵EH ∥AD ，∴PE ED ＝PHHA.1分又∵PE ED ＝BF FA ＝λ，∴PH HA ＝BFFA，∴FH ∥PB .2分又∵EH ∥AD ，FH ∩HE ＝H ， ∴平面EFH ∥平面PBC .4分∵EF 平面EFH ，∴EF ∥平面PBC .6分(2)存在实数λ＝5，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°.7分其理由如下：假设存在实数λ，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°， ∵AB ∥CD ，∴∠AFE 为异面直线EF 与CD 所成角，∴∠AFE ＝60°.8分 过点E 作EQ ⊥AD 交AD 于点Q ，连接FQ ， ∵PA ＝AD ，AB ＝2AD ， ∴设AD ＝1，又∵PE ED ＝BFFA＝λ，AF ＝DE ＝21＋λ，AQ ＝λ1＋λ，EQ ＝11＋λ，10分 ∵FQ 2＝AF 2＋AQ 2＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ2＋⎝⎛⎭⎪⎫λ1＋λ2＝2＋λ2（1＋λ）2， ∵EF 2＝EQ 2＋FQ 2＝2＋λ2（1＋λ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ2＝3＋λ2（1＋λ）2， ∴Rt △FAE 中，cos ∠AFE ＝cos 60°＝AF EF ，∴14＝23＋λ2，∴λ＝ 5.∴存在实数λ＝5，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°.12分19．(本题满分12分)在等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{}a n 中落入区间(9m ，92m)内的项的个数记为b m ，求数列{}b m 的前m 项和S m .【解析】(1)因为{}a n 是一个等差数列，a 3＋a 4＋a 5＝84， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，即a 4＝28，设数列{}a n 的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9.2分 由a 4＝a 1＋3d ，得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.4分所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8，n ∈N *.6分(2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ，则9m ＋8<9n <92m＋8，7分因此9m －1＋89≤n ≤92m －1＋89，8分 故得b m ＝92m －1－9m －1，9分于是S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1) ＝9×（1－81m）1－81－1×（1－9m）1－9＝92m ＋1－10×9m＋180.12分20．(本题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点是F 1、F 2，左右顶点是A 1、A 2，离心率是22，过F 2的直线与椭圆交于两点P 、Q (不是左、右顶点)，且△F 1PQ 的周长是42，直线A 1P 与A 2Q 交于点M .(1)求椭圆的方程；(2)(ⅰ)求证直线A 1P 与A 2Q 交点M 在一条定直线l 上；(ⅱ)N 是定直线l 上的一点，且PN 平行于x 轴，证明：|PF 2||PN |是定值．【解析】(1)设椭圆的焦距是2c ，据题意有：⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝22，4a ＝42a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.3分(2)(ⅰ)由(1)知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，F 2(1，0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋1，代入椭圆方程得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，易知Δ＝4m 2＋4(m 2＋2)＝8m 2＋8>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，y 1>y 2，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2y 2－y 1＝－（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝－22m 2＋2m 2＋2，5分直线A 1P 的方程是：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2) ①，直线A 2Q 的方程是：y ＝y 2x 2－2(x －2) ②，7分设M (x ，y )，既满足①也满足②，则x ＝2·x 2y 1＋x 1y 2＋2（y 2－y 1）x 1y 2－x 2y 1＋2（y 2＋y 1）＝2·2my 1y 2＋（y 1＋y 2）＋2（y 2－y 1）2（y 1＋y 2）＋（y 2－y 1）＝2·－2m m 2＋2－2m m 2＋2－222m 2＋2m 2＋2－22m m 2＋2－22m 2＋2m 2＋2＝2·4m ＋222m 2＋222m ＋22m 2＋2＝2， 故直线A 1P 与A 2Q 交点M 在一条定直线l ：x ＝2上.10分(ⅱ)设N (2，t )，P (x 1，y 1)，x 1∈(－2，2)，则|PN |＝2－x 1， ∴|PF 2||PN |＝（x 1－1）2＋y212－x 1＝（x 1－1）2＋1－x 222－x 1＝12（x 1－2）22－x 1＝22.12分21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－a ln x －x (a ≠0)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若a >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )图象上的任意两点(x 1<x 2)，记直线AB 的斜率为k ，求证：f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23>k .【解析】(1)f ′()x ＝2x －a x －1＝2x 2－x －ax()x >0，1分 ①当a ≤－18时，2x 2－x －a ≥0恒成立，即f ′()x ≥0恒成立，故函数f ()x 的单增区间为()0，＋∞，无单减区间.2分 ②当－18<a <0时，f ′()x >02x 2－x －a >0，解得：x >1＋1＋8a 4或x <1－1＋8a 4，∵x >0，∴函数f ()x 的单增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋8a 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋8a 4，＋∞，单减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋8a 4，1＋1＋8a 4.4分 ③当a >0时，由f ′()x >0解得：x >1＋1＋8a 4或x <1－1＋8a4.∵x >0，而此时1－1＋8a4≤0，∴函数f ()x 的单增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋8a 4，＋∞，单减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋8a 4.6分 (2)证明：∵f ′()x ＝2x －a x－1，∴f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23＝2()x 1＋2x 23－3a x 1＋2x 2－1，由题，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝()x 21－x 22－a ()ln x 1－ln x 2－()x 1－x 2x 1－x 2＝()x 1＋x 2－a lnx 1x 2x 1－x 2－1，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23－k ＝2()x 1＋2x 23－()x 1＋x 2－3a x 1＋2x 2＋a lnx 1x 2x 1－x 2 ＝x 2－x 13－3ax 1＋2x 2＋a lnx 1x 2x 1－x 2，8分注意到x 2－x 13>0，故欲证f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23>k ，只须证明a lnx 1x 2x 1－x 2>3a x 1＋2x 2.因为a >0，故即证lnx 1x 2x 1－x 2>3x 1＋2x 2ln x 1x 2<3()x 1－x 2x 1＋2x 2ln x 1x 2<3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋29分 令x 1x 2＝t ∈()0，1，g ()t ＝ln t －3()t －1t ＋2， 则g ′()t ＝1t－9()t ＋22＝()t －1()t －4t ()t ＋22>0，故g ()t 在()0，1上单调递增．所以g ()t <g ()1＝0，即ln t <3()t －1t ＋2，即：ln x 1x 2<3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋2，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23>k .12分请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

湖南师大附中2019届高考模拟卷(二)理科综合能力测试时量：150分钟 满分：300分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

其中第Ⅱ卷33－38题为选考题，其他题为必考题。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H ～1 B ～11 C ～12 O ～16 Na ～23 Cu ～64第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

7．用N A 表示阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是(A)A ．78 g 过氧化钠中含有N A 个阴离子B ．2.24 L 甲烷气体中含有0.4N A 个C —H 键C ．0.1 mol 熔融NaHSO 4能电离产生1N A 个SO 2－4离子D ．将1 mL 0.1 mol/L FeCl 3溶液滴入沸水中可生成含有1.0×10－4N A 个Fe(OH)3胶粒的胶体8．下列说法正确的是(B)A ．糖类俗称碳水化合物，其组成都符合通式C m (H 2O)nB ．天然蛋白质是高分子化合物，其水解产物氨基酸具有两性C ．生物柴油和传统柴油成分相同，可以实现能源替代，大力发展生物柴油对控制城市大气污染具有重要的战略意义D ．淀粉发酵酿酒的原理可以表达为(C 6H 10O 5)n ＋4nH 2O ――→酒化酶3nC 2H 5OH ＋3nO 2↑9．2018年12月26日，北京交通大学东校区2号楼实验室内学生进行垃圾渗滤液污水处理科研试验时发生爆炸。

经核实，事故造成3名参与实验的学生死亡。

实验规则千万条，安全第一条，下列说法正确的是(C)A ．实验室发生火灾时，应尽快用水扑灭B ．实验室中金属钠应置于煤油中保存，白磷应置于干燥容器中妥善保管C ．皮肤被碱灼伤时，应先用大量水冲洗，并用一定浓度的硼酸溶液淋洗D ．蒸馏时，为了避免有机溶剂挥发危害人体健康，应用塞子堵住尾接管的排气口10．关于下列溶液的说法不正确的是(C)A ．亚硫酸氢钠和碳酸氢钠的中性混合溶液中：c(Na ＋)>c(HRO －3)＋c(RO 2－3)(R 表示“C”或“S”)B ．等体积等物质的量浓度的NaClO(aq)与NaCl(aq)中离子总数：N 前<N 后C ．常温下，将一定量的醋酸钠和盐酸混合后，溶液呈中性，则混合溶液中： c(Na ＋)>c(Cl －)>c(CH 3COOH)D ．常温下，物质的量浓度相等的①(NH 4)2CO 3、②(NH 4)2SO 4、③(NH 4)2Fe(SO 4)2三种溶液中水的电离程度：①＞③＞②【解析】A.由物料守恒可知c(Na ＋)＝c(HRO －3)＋c(RO 2－3)＋c(H 2RO 3)，故A 正确；B.两溶液中c(Na ＋)相等，NaCl 溶液中c(H ＋)大于NaClO 溶液中的c(H ＋)，由电荷守恒可知NaCl 溶液中离子总数大于NaClO 溶液中离子总数；C.该中性溶液为CH 3COONa 、CH 3COOH 和NaCl 的混合溶液，由溶液呈中性可知水的电离不受影响，即CH 3COONa 和CH 3COOH 对水电离造成的影响相互抵消，则CH 3COOH 的量即为所加HCl 的量，故c(Cl －)＝c(CH 3COOH)；D.NH ＋4、CO 2－3都促进水的电离，而且两者相互促进，NH ＋4、Fe 2＋都能促进水的电离。

湖南师大附中2019届高三月考试卷(六)数 学(理科)审题：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{4，2，a －1}，B ＝{0，－2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{2}，则实数a 满足的集合为(D )A ．{1}B ．{－1}C ．{－1，1}D ． 2．已知复数z 满足z ＋||z ＝3＋i ，则z ＝(D )A ．1－iB ．1＋i C.43－i D.43＋i3．下列说法正确的是(D ) A ．命题“x 0∈[]0，1，使x 20－1≥0”的否定为“x ∈[]0，1，都有x 2－1≤0”B ．命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0”及它的逆命题均为真命题C ．命题“在锐角△ABC 中，sin A<cos B ”为真命题D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”4．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两)．问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为(C)A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，745．已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f(log 0.53)，b ＝f ()log 25，c ＝f ()2＋m 则a ，b ，c 的大小关系为(B)A ．a<b<cB ．a<c<bC ．c<a<bD ．c<b<a6．学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有(D)A ．70种B ．140种C ．840种D ．420种7．已知(x ＋1)5＋(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，则a 7＝(B) A ．9 B ．36 C ．84 D ．2438．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤2，x ≤－1，则x ＋yy 的取值范围是(B)A.⎣⎡⎦⎤12，23B.⎝⎛⎦⎤0，23C.⎝⎛⎦⎤－1，－13D.⎣⎡⎦⎤32，2 9．正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为(C)A.13B.12C.33D.3210．如图所示，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是(C)A ．(2，6)B ．(6，8)C ．(8，12)D ．(10，14)11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(3，0)，B(1，2)，D(3，2)，动点P 满足OP →＝λOA →＋μOB →，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，2]，λ＋μ∈[1，2]，则点P 落在三角形ABD 里面的概率为(A)A.12B.33C.32D.2312．已知函数f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，46π3，若函数F(x)＝f(x)－3的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1<x 2<x 3<…<x n ，则x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －1＋x n ＝(C)A.1 276π3 B ．445π C ．455π D.1 457π3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为．14．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x 3＋f′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，f(x)，则f′(1)＝__0__． 15．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P －ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为__80π3__．16．已知在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，AC ⊥CD ，AC ＝CD ，则四边形ABCD 的面积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设b n ＝a n2n －1＋2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【解析】(1)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1， 两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n ，2分则a n ＋12n －32·a n2n －1＝1， 即a n ＋12n ＋2＝32⎝⎛⎭⎫a n 2n －1＋2.∴b n ＋1＝32b n ，(n ≥2)，4分 当n ＝1时，2S 1＝a 2－22＋1，且S 1＝a 1＝1，则a 2＝5， ∴b 1＝a 120＋2＝3，b 2＝a 221＋2＝92，满足b 2＝32b 1，∴b n ＋1＝32b n ，(n ∈N *)．故数列{b n }是首项为3，公比为32的等比数列，即b n ＝3·⎝⎛⎭⎫32n －1.6分 (2)由(1)知b n ＝a n 2n －1＋2＝3⎝⎛⎭⎫32n －1，∴a n ＝3n －2n ，则1a n ＝13n －2n ，8分 当n ≥2时，⎝⎛⎭⎫32n>2，即3n －2n >2n， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －1<32.11分 当n ＝1时，1a 1＝1<32，上式也成立．综上可知，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.12分18．(本题满分12分)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1.(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为θ()θ≤90°，试求cos θ的取值范围．【解析】(1)在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，所以AB ＝2，2分 所以AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos 60°＝3， 所以AB 2＝AC 2＋BC 2，所以BC ⊥AC.4分因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ， BC 平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE.6分(2)建立以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系如图所示， 令FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，1，0)，M (λ，0，1)， 所以AB →＝(－3，1，0)，BM →＝(λ，－1，1)， 设n 1＝(x ，y ，z)为平面MAB 的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BM →＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0，取x ＝1，所以n 1＝(1，3，3－λ)，9分因为n 2＝(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量．所以cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝11＋3＋（3－λ）2×1＝1（λ－3）2＋4.因为0≤λ≤3，所以当λ＝0时，cos θ有最小值77， 当λ＝3时，cos θ有最大值12.所以cos θ∈⎣⎡⎦⎤77，12.12分19．(本题满分12分)如图，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的左、右顶点为A 1，A 2，上、下顶点为B 1，B 2，记四边形A 1B 1A 2B 2的内切圆为C 2.(1)求圆C 2的标准方程；(2)已知圆C 2的一条不与坐标轴平行的切线l 交椭圆C 1于P ，M 两点．(ⅰ)求证：OP ⊥OM ；(ⅱ)试探究1OP 2＋1OM 2是否为定值．【解析】(1)因为A 2，B 1分别为椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的右顶点和上顶点，则A 2，B 1坐标分别为(2，0)，(0，1)，可得直线A 2B 1的方程为：x ＋2y ＝2.2分则原点O 到直线A 2B 1的距离为d ＝21＋22＝25，则圆C 2的半径r ＝d ＝25， 故圆C 2的标准方程为x 2＋y 2＝45.4分(2)(i)可设切线l ：y ＝kx ＋b(k ≠0)，P(x 1，y 1)，M(x 2，y 2)，将直线PM 方程代入椭圆C 1可得⎝⎛⎭⎫14＋k 2x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，由韦达定理得： ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2kb 14＋k 2，x 1x 2＝b 2－114＋k2，则y 1y 2＝(kx 1＋b)(kx 2＋b)＝k 2x 1x 2＋kb(x 1＋x 2)＋b 2＝－k 2＋14b 214＋k 2，6分又l 与圆C 2相切，可知原点O 到l 的距离d ＝|b|k 2＋12＝25，整理可得k 2＝54b 2－1，则y 1y 2＝1－b 214＋k 2，所以OP →·OM →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，故OP ⊥OM.8分(ii)由OP ⊥OM 知S △OPM ＝12||OP ||OM ，①当直线OP 的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，此时1OP 2＋1OM 2＝54； ②当直线OP 的斜率存在时，设OP ：y ＝k 1x 代入椭圆方程可得x 24＋k 21x 2＝1，则x 2＝41＋4k 21，故OP 2＝x 2＋y2＝(1＋k 21)x 2＝4（1＋k 21）1＋4k 21，10分同理OM 2＝4⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－1k 121＋4⎝⎛⎭⎫－1k 12＝4（k 21＋1）k 21＋4， 则1OP 2＋1OM 2＝1＋4k 214（1＋k 21）＋k 21＋44（1＋k 21）＝54. 综上可知：1OP 2＋1OM 2＝54为定值.12分 20．(本题满分12分)中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2 000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人．这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100分)，结果如下表所示：否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？(2)的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率； ②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为ξ，求Eξ.参考数据：参考公式：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.【解析】(1)列联表如下：2分等高条形图如图：4分通过图形可判断学习先修课与优等生有关系，又K 2＝2 000（60×1 560－140×240）2300×1 700×200×1 800≈39.216>6.635，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.6分 (2)①p ＝20300×0.9＋55300×0.8＋105300×0.6＋70300×0.5＋50300×0.4＝0.6.8分②设获得某高校自主招生通过的人数为ξ，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫150，35， P(x ＝k)＝C k 150⎝⎛⎭⎫35k ⎝⎛⎭⎫25150－k，k ＝0，1，2，…，150，10分所以Eξ＝150×35＝90.12分21．(本题满分12分)设函数f(x)＝x 22－aln x －12，a ∈R .(1)若函数f(x)在区间[]1，e (e ＝2.718 28…为自然对数的底数)上有唯一的零点，求实数a 的取值范围；(2)若在[1，e](e ＝2.718 28…为自然对数的底数)上存在一点x 0，使得f ()x 0<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)f′(x)＝x －a x ＝x 2－ax，其中x ∈[1，e]，①当a ≤1时，f ′(x)≥0恒成立，f(x)单调递增，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意．②当a ≥e 2时，f ′(x)≤0恒成立，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意.3分③当1<a<e 2时，1≤x<a 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴f(a)<f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，a]上有唯一的零点，当a<x ≤e 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，∴当f(e)<0时符合题意，即e 22－a －12<0，∴a>e 2－12时，函数f(x)在区间[1，a]上有唯一的零点；∴a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≤1或a>e 2－12.6分 (2)在[1，e]上存在一点x 0，使得f ()x 0<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，等价于x 0＋1x 0－aln x 0＋a x 0<0在[1，e]上有解，即函数g(x)＝x ＋1x －aln x ＋ax在[]1，e 上的最小值小于零．g ′()x ＝1－1x 2－a x －a x 2＝x 2－ax －a －1x 2＝()x ＋1()x －a －1x 2，8分①当a ＋1≥e 时，即a ≥e －1时，g ()x 在[]1，e 上单调递减，所以g ()x 的最小值为g ()e ，由g ()e ＝e ＋1＋a e －a<0可得a>e 2＋1e －1，∵e 2＋1e －1>e －1，∴a>e 2＋1e －1；②当a ＋1≤1时，即a ≤0时，g ()x 在[]1，e 上单调递增，所以g ()x 的最小值为g ()1，由g ()1＝1＋1＋a<0可得a<－2；10分③当1<a ＋1<e 时，即0<a<e －1时，可得g ()x 的最小值为g ()a ＋1，∵0<ln ()a ＋1<1，∴0<aln ()a ＋1<a ，g ()a ＋1＝a ＋1＋1a ＋1－aln ()a ＋1＋aa ＋1＝a ＋2－aln(a ＋1)>2，所以g ()1＋a <0不成立．综上所述：可得所求a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.12分(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l ：θ＝α(α∈[0, π), ρ∈R )与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求|OM|的最大值．【解析】(1)曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝22，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.5分 (2)联立θ＝α和ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0，得ρ2＋2ρ(cos α－sin α)－2＝0， 设A(ρ1, α)，B (ρ2, α)，则ρ1＋ρ2＝2(sin α－cos α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，由|OM|＝|ρ1＋ρ22|，得|OM|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤2，当α＝3π4时，|OM|取最大值 2.10分23．(本题满分10分)选修4—5: 不等式选讲 已知函数f ()x ＝||x ＋a ＋||x －2.(1)当a ＝1时，求不等式f ()x ≥7的解集；(2)若f ()x ≤||x －4＋||x ＋2a 的解集包含[]0，2，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时， f ()x ＝⎩⎨⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x<2，2x －1，x ≥2，当x ≤－1时，由f ()x ≥7得－2x ＋1≥7，解得x ≤－3； 当－1<x<2时， f ()x ≥7无解；当x ≥2时，由f ()x ≥7得2x －1≥7，解得x ≥4， 所以f ()x ≥7的解集为(]－∞，－3∪[)4，＋∞.5分(2)f ()x ≤||x －4＋||x ＋2a 的解集包含[]0，2等价于||x ＋a －||x ＋2a ≤||x －4||－x －2在[]0，2上恒成立，当x ∈[]0，2时，||x ＋a －||x ＋2a ≤||x －4||－x －2＝2等价于(||x ＋a －||x ＋2a )max ≤2恒成立，而||x ＋a －||x ＋2a ≤||（x ＋a ）－（x ＋2a ）＝||a ，∴||a ≤2，故满足条件的a 的取值范围是[]－2，2.10分。

湖南师大附中2019届高三月考试卷(一)数 学(理科)时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z ＝x ＋y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，若y1－i＝x ＋i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于(D)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】由已知，y ＝(1－i)(x ＋i)＝x ＋1＋(1－x )i ，则y ＝x ＋1，且1－x ＝0，即x ＝1，y ＝2.所以z －＝x －y i ＝1－2i ，所对应的点(1，－2)位于第四象限，选D.2．已知向量a 与b 的夹角是π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(3a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为(B)A.32 B ．－32 C.23 D ．－23【解析】由已知，(3a ＋λb )·a ＝0，即3a 2＋λb ·a ＝0，所以3＋2λ＝0，即λ＝－32，选B.3．下列说法中正确的是(C)A ．若样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的平均数为10B ．用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60C ．某种圆环形零件的外径服从正态分布N (4，0.25)(单位：cm)，质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为5.6 cm ，则这批零件不合格D ．对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有95%的人可能患肺病【解析】对于A ，若x 1，x 2，…，x n 的平均数为5，则2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的平均数为2×5＋1＝11，所以说法错误；对于B ，由抽取的号码可知样本间隔为11，则对应的人数为11×5＝55人．若该班学生人数为60，则样本间隔为60÷5＝12，所以说法错误．对于C ，因为μ＝4，σ＝0.5，则(u －3σ，u ＋3σ)＝(2.5，5.5)，因为5.6(2.5，5.5)，则这批零件不合格，所以说法正确．对于D ，有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指对该样本所得结论：“吸烟与患肺病有关系”有95%的正确性，所以说法错误．选C.4．已知⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n (n ∈N *)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x项的系数是(A)A ．－84B ．84C ．－24D ．24【解析】由已知，2n ＝128，得n ＝7，所以T r ＋1＝C r 7(2x 2)7－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·27－r C r 7x14－3r. 令14－3r ＝－1，得r ＝5，所以展开式中含1x项的系数为(－1)527－5C 57＝－84，选A.5.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )在R 上单调递增，若a ，b ，c成等差数列，且b ＞0，则下列结论正确的是(A)A ．f (b )＞0，且f (a )＋f (c )＞0B ．f (b )＞0，且f (a )＋f (c )＜0C ．f (b )＜0，且f (a )＋f (c )＞0D ．f (b )＜0，且f (a )＋f (c )＜0【解析】由已知，f (b )＞f (0)＝0.因为a ＋c ＝2b ＞0，则a ＞－c ，从而f (a )＞f (－c )＝－f (c )， 即f (a )＋f (c )＞0，选A.6．设x 为区间[－2，2]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y 值落在区间⎣⎡⎦⎤12，3内的概率为(C)A.34B.58C.12D.38【解析】因为当x ∈[－2，0]时，y ＝2x ∈⎣⎡⎦⎤14，1；当x ∈(0，2]时，y ＝2x ＋1∈(1，5]．所以当y ∈⎣⎡⎦⎤12，3时，x ∈[－1，1]，其区间长度为2，所求的概率P ＝24＝12，选C. 7．已知函数f (x )＝sin 2x －2sin 2x ＋1，给出下列四个结论：(B)①函数f (x )的最小正周期是2π；②函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，5π8上是减函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称；④函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.①因为ω＝2，则f (x )的最小正周期T ＝π，结论错误．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π8，5π8时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，5π8上是减函数，结论正确．③因为f ⎝⎛⎭⎫π8＝2为f (x )的最大值，则f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，结论正确．④设g (x )＝2sin 2x ，则g ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ≠f (x )，结论错误，选B.8.已知命题p ：若a ＞2且b ＞2，则a ＋b ＜ab ；命题q ：x >0，使(x －1)·2x＝1，则下列命题中为真命题的是(A)A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )【解析】若a ＞2且b ＞2，则1a <12且1b <12，得1a ＋1b <1，即a ＋b ab <1，从而a ＋b ＜ab ，所以命题p 为真．因为直线y ＝x －1与函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象在(0，＋∞)内有唯一交点，则方程x －1＝⎝⎛⎭⎫12x 有正数解，即方程(x －1)·2x ＝1有正数解，所以命题q 为真，选A.9．已知实数x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则z ＝2|x |－|y |的最大值为(D) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【解析】令|x |＝a ，|y |＝b ，则⎩⎨⎧a ＋b ≤1，a ≥0，b ≥0，且z ＝2a －b .作可行域，平移直线l ：b ＝2a －z ，由图知，当直线l 过点(1，0)时，直线l 的纵截距最小，从而z 为最大，且z max ＝2×1－0＝2，选D.10．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，AB ⊥AD ，BD ⊥CD .将该四边形沿对角线BD 折成一个直二面角A ―BD ―C ，则四面体ABCD 的外接球的体积为(B)A.23πB.32π C ．2π D ．3π【解析】如图，因为平面ABD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，则CD ⊥平面ABD ，从而CD ⊥AB . 因为AB ⊥AD ，则AB ⊥平面ACD ，从而AB ⊥AC ，所以BC 是外接球的直径．在Rt △BDC 中，BC ＝BD 2＋CD 2＝3，则球半径R ＝32.所以外接球的体积V ＝43π⎝⎛⎭⎫323＝32π，选B.11．设双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，若双曲线上存在点M 满足|MF 1|＝2|MO |＝2|MF 2|，则双曲线的离心率为(C)A ．6B ．3 C. 6 D. 3【解析】过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，因为|MO |＝|MF 2|，则A 为OF 2的中点，所以|AF 2|＝c2，|AF 1|＝3c 2.设|MF 2|＝m ，则|MF 1|＝2m .在Rt △MAF 1中，|MA |2＝4m 2－94c 2.在Rt △MAF 2中，|MA |2＝m 2－c 24，则4m 2－94c 2＝m 2－c24，即3m 2＝2c 2.因为|MF 1|－|MF 2|＝2a ，则m ＝2a ，所以3×(2a )2＝2c 2，即c 2＝6a 2，所以e ＝ca＝6，选C.12．对于给定的正整数n ，设集合X n ＝{1，2，3，…，n }，A X n ，且A ≠记I (A )为集合A 中的最大元素，当A 取遍X n 的所有非空子集时，对应的所有I (A )的和记为S (n )，则S (2 018)＝(D)A ．2 018×22 018＋1B ．2 018×22 017＋1C ．2 017×22 017＋1D ．2 017×22 018＋1【解析】对于集合X n ，满足I (A )＝1的集合A 只有1个，即{1}；满足I (A )＝2的集合A 有2个，即{2}，{1，2}；满足I (A )＝3的集合A 有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；…；满足I (A )＝n 的集合A 有2n －1个，所以S (n )＝1＋2·2＋3·22＋…＋n ·2n －1.由错位相减法，得S (n )＝(n －1)2n ＋1，所以S (2 018)＝2 017×22 018＋1，选D. 二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝__－79__．【解析】sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π3＋π2＝cos 2⎝⎛⎭⎫α－π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α－π3－1＝－79.14．如图，在△ABC 中，AD →＝13DC →，P 是线段BD 上一点，若AP →＝mAB →＋16AC →，则实数m 的值为__13__． 【解析】因为AD →＝13DC →，则AC →＝4AD →，所以AP →＝mAB →＋23AD →.因为B ，P ，D 三点共线，则m ＋23＝1，所以m ＝13.15．已知函数f (x )＝|2x －1|－a ，若存在实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝－1，则a 的取值范围是__(1，2)__．【解析】令f (x )＝－1，则|2x －1|＝a －1.据题意，直线y ＝a －1与函数y ＝|2x －1|的图象两个不同的交点，由图可知，0＜a －1＜1，即1＜a ＜2.16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且S n ＝4－⎝⎛⎭⎫1＋2n a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是a n ＝__n2n －1__．【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫1＋2n －1a n －1－⎝⎛⎭⎫1＋2n a n ，则⎝⎛⎭⎫2＋2n a n ＝⎝⎛⎭⎫1＋2n －1a n －1，即a n n ＝a n －12（n －1），所以数列{a n n }是首项为1，公比为12的等比数列，则a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，即a n ＝n2n －1. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分． 17．(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°.(1)若BC ＝22，求∠CBD 的大小；(2)设△BCD 的面积为S ，求S 的取值范围．【解析】(1)在△ABD 中，因为AB ＝4，AD ＝2，∠BAD ＝60°，则BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以BD ＝2 3.(3分)在△BCD 中，因为∠BCD ＝120°，BC ＝22，BD ＝23，由BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，得sin ∠CDB ＝BC sin ∠BCD BD ＝22sin 120°23＝22，则∠CDB ＝45°.(5分)所以∠CBD ＝60°－∠CDB ＝15°.(6分) (2)设∠CBD ＝θ，则∠CDB ＝60°－θ.在△BCD 中，因为BC sin （60°－θ）＝BDsin 120°＝4，则BC ＝4sin(60°－θ)．(8分)所以S ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝43sin(60°－θ)sin θ＝43⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θsin θ＝3sin 2θ－23sin 2θ＝3sin 2θ－3(1－cos 2θ)＝3sin 2θ＋3cos 2θ－3 ＝23sin(2θ＋30°)－ 3.(11分)因为0°＜θ＜60°，则30°＜2θ＋30°＜150°，12<sin(2θ＋30°)≤1，所以0<S ≤ 3.故S 的取值范围是(0，3]．(12分) 18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点．(1)求证：AD ⊥PB ；(2)若二面角A －PB －C 的大小为45°，求三棱锥P －ABC 的体积． 【解析】(1)在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝4＋16－2×2×4×cos 120°＝28，则BC ＝27. 因为D 为BC 的中点，则BD ＝CD ＝7.(2分)因为AD →＝12(AB →＋AC →)，则AD →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(4＋16＋2×2×4×cos 120°)＝3，所以AD ＝ 3.(4分) 因为AB 2＋AD 2＝4＋3＝7＝BD 2，则AB ⊥AD .(5分)因为P A ⊥底面ABC ，则P A ⊥AD ，所以AD ⊥平面P AB ，从而AD ⊥PB .(6分)(2)解法一：因为AD ⊥平面P AB ，过点A 作AE ⊥PB ，垂足为E ，连结DE . 则DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A －PB －C 的平面角．(8分) 在Rt △DAE 中，由已知，∠AED ＝45°，则AE ＝AD ＝ 3.(9分) 在Rt △P AB 中，设P A ＝a ，则PB ＝AB 2＋P A 2＝4＋a 2.(10分) 因为AB ×AP ＝PB ×AE ，则2a ＝4＋a 2×3，即 4a 2＝3(4＋a 2)，解得a 2＝12，所以P A ＝a ＝2 3.(11分)所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×P A ＝13×12×2×4×sin 120°×23＝4.(12分)解法二：分别以直线AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设P A ＝a ，则点B (2，0，0)，D (0，3，0)，P (0，0，a )．所以BD →＝(－2，3，0)，BP →＝(－2，0，a )．(8分) 设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·BP →＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋3y ＝0，－2x ＋az ＝0. 取x ＝3，则y ＝2，z ＝23a ，所以m ＝⎝⎛⎭⎫3，2，23a .(9分)因为n ＝(0，1，0)为平面P AB 的法向量，则|cos 〈m ，n 〉|＝cos 45°＝22，即|m ·n ||m |·|n |＝22. 所以27＋12a2＝22，解得a 2＝12，所以P A ＝a ＝2 3.(11分) 所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×P A ＝13×12×2×4×sin 120°×23＝4.(12分)19．(本小题满分12分)有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7得到如下频数分布表：送餐单数38 39 40 41 42 甲公司天数10 10 15 10 5 乙公司天数10 15 10 10 5(1)从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题： (ⅰ)求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；(ⅱ)小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由．【解析】(1)由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，则P (A )＝C 330C 350＝29140.(3分)(2)(ⅰ)设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则当n ＝38时，X ＝38×6＝228；当n ＝39时，X ＝39×6＝234；当n ＝40时，X ＝40×6＝240； 当n ＝41时，X ＝40×6＋7＝247；当n ＝42时，X ＝40×6＋14＝254. 所以X 的分布列为X 228 234 240 247 254p 15 310 15 15 110(7分)E ()X ＝228×15＋234×310＋240×15＋247×15＋254×110＝238.6.(9分)(ⅱ)依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.2＋40×0.3＋41×0.2＋42×0.1＝39.8，(10分) 所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.8＝239.2元，(11分) 因为238.6<239.2，所以小张应选择甲公司应聘．(12分) 20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，且直线y ＝bax 与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率为k 且不过原点的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1，k ，k 2成等比数列，推断|OA |2＋|OB |2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【解析】(1)因为抛物线y 2＝43x 的焦点为(3，0)，则c ＝3，所以a 2－b 2＝3.(2分)因为直线bx －ay ＝0与圆(x －5)2＋y 2＝5相切，则5bb 2＋a2＝5，即a 2＝4b 2.(4分)解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的方程是x24＋y 2＝1.(5分)(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆方程，得x 2＋4(kx ＋m )2＝4，即(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.(7分)由已知，k 2＝k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2，则k 2x 1x 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，即km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，所以－8k 2m 24k 2＋1＋m 2＝0，即(1－4k 2)m 2＝0.因为m ≠0，则k 2＝14，即k ＝±12，从而x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝2m 2－2.(10分)所以|OA |2＋|OB |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝x 21＋(kx 1＋m )2＋x 22＋(kx 2＋m )2＝(k 2＋1)(x 21＋x 22)＋2km (x 1＋x 2)＋2m 2＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋2km (x 1＋x 2)＋2m 2. ＝54[4m 2－2(2m 2－2)]－2m 2＋2m 2＝5为定值．(12分) 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －a (x －1)，a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)若存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)＜0，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )有两个不同零点x 1，x 2，证明：x 1＋x 2＞x 1x 2. 【解析】(1)解法一：f ′(x )＝e x －a .(1分)①若a ≤0，因为e x >0，则f ′(x )>0，此时f (x )在R 上单调递增． 当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞f (1)＝e ＞0，不合题意．(2分)②若a ＞0，由f ′(x )>0，得e x >a ，即x ＞ln a ，则f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (ln a )＝e ln a －a (ln a －1)＝a (2－ln a )．(4分)据题意，⎩⎪⎨⎪⎧ln a >1，a （2－ln a ）<0，则ln a ＞2，即a >e 2，所以a 的取值范围是(e 2，＋∞)．(5分)解法二：当x ∈(1，＋∞)时，由f (x )＜0，得e x<a (x －1)，即a >e x x －1.(1分)设g (x )＝e xx －1(x >1)，据题意，当x ∈(1，＋∞)时，a ＞g (x )能成立，则a >g (x )min .(2分)因为g ′(x )＝e x （x －1）－e x （x －1）2＝（x －2）ex（x －1）2(x >1)，(3分)则当x ＞2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当1＜x ＜2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．(4分) 所以g (x )min ＝g (2)＝e 2，故a 的取值范围是(e 2，＋∞)．(5分)(2)由题设，f (x 1)＝f (x 2)＝0，即⎩⎨⎧e x 1＝a （x 1－1），e x 2＝a （x 2－1），则e x 1·e x 2＝a 2(x 1－1)(x 2－1)，即e x 1＋x 2＝a 2(x 1x 2－x 1－x 2＋1)．(7分)要证x 1＋x 2＞x 1x 2，只要证e x 1＋x 2<a 2，即证x 1＋x 2<2ln a ，即证x 1<2ln a －x 2.(8分) 不妨设x 1＜x 2，由(1)可知，a >e 2，且x 1＜ln a ＜x 2，从而2ln a －x 2＜ln a .因为f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，所以只要证f (x 1)>f (2ln a －x 2)，即证f (x 2)>f (2ln a －x 2)．(9分) 设h (x )＝f (x )－f (2ln a －x )，则h ′(x )＝f ′(x )＋f ′(2ln a －x )＝e x －2a ＋e 2ln a －x ＝e x ＋a 2e x －2a ≥2e x·a 2ex －2a ＝0，所以h (x )在R 上单调递增．因为x 2＞ln a ，则h (x 2)>h (ln a )＝f (ln a )－f (ln a )＝0， 即f (x 2)－f (2ln a －x 2)>0，即f (x 2)>f (2ln a －x 2)，所以原不等式成立．(12分)(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t(t 为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，点P 在曲线C 1上，其极角为π4，点Q 为曲线C 2上的动点，求线段PQ 的中点M 到直线l 的距离的最大值．【解析】(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入，得 曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.(3分)由⎩⎨⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t ，得x ＋2y ＝3，所以直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0.(5分)(2)由题设，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，其直角坐标为(2，2)．(7分)设点Q (2cos α，sin α)，则PQ 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos α，1＋12sin α.(8分) 点M 到直线l 的距离d ＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|5＝105⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤105.所以点M 到直线l 的距离的最大值为105.(10分) 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|，其中a 为实常数．(1)若函数f (x )的最小值为3，求a 的值；(2)若当x ∈[1，2]时，不等式f (x )≤|x －4|恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≥|(x＋a)－(x－2)|＝|a＋2|，(3分)当且仅当(x＋a)(x－2)≤0时取等号，则f(x)min＝|a＋2|.令|a＋2|＝3，则a＝1或a＝－5.(5分)(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝|x＋a|＋2－x，|x－4|＝4－x.由f(x)≤|x－4|，得|x＋a|＋2－x≤4－x，即|x＋a|≤2，即―2≤x＋a≤2，即―x－2≤a≤－x＋2.所以(－x－2)max≤a≤(－x＋2)min.(8分)因为函数y＝－x－2和y＝－x＋2在[1，2]上都是减函数，则当x＝1时，(－x－2)max＝－3；当x＝2时，(－x＋2)min＝0，所以a的取值范围是[－3，0]．(10分)。