湖南省师大附中2019届高三数学摸底考试试题理

2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试

数学(理科)

时量：120分钟满分：150分

得

分：第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1 •已知复数z满足(

2 + i)z = 2-i (i为虚数单位)，贝U z等于

A. 3 + 4i

B. 3—4i

3 4

C5+5i

2. 已知P= ｛x|x 2—5x + 4v0｝, Q= ｛x|y = 4 —2x｝，贝U P QQ 等于

A. (1 , 4)

B. [2 , 4)

C. (1 , 2]

D. (—3 2]

3. 已知两组样本数据｛x 1, X2,…,x n｝、｛y 1, y2,…,y m｝的平均数分别为h和k,则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为

h+ k nh + mk

A B.

2 m+ n

mh+ nk h+ k

C - D.-—

m+ n m+ n

4. 已知｛a n｝为等比数列，a1>0, a4 + a7= 2, a5a6=—8,贝U a1 + a4 + a7 + ae等于

A. —7

B.—5

C. 5

D. 7

5. 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形

ABCD为正方形，E, F分别为PA PD的

中点，在此几何体中，给出下面4个结论：

①直线BE与直线CF异面；

②直线BE与直线AF异面；

③直线EF//平面PBC；

④平面BCEL平面PAD.

其中正确的有

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

2 2 2 2

x y y x

6. 已知双曲线孑―孑=1(a>0 , b>0)以及双曲线?—孑=1(a>0 , b>0)的渐近线将第一象

2 2

限三等分，则双曲线％—書=1(a>0 , b>0)的离心率为

a b

A 2或孚

B 6或乎

C. 2 或(3 或J6

n

7. 函数f(x) = sin (2x +0 )(0 w $ w n )图像向右平移—个单位后关于y轴对称，贝U 0 的值是

A. 0

B.-6- D.

&在正三角形ABC内任取一点P,则点P到A, B, C的距离都大于该三角形边长一半

的概率为

A 1-脊B. 1—罟C -D 1—曙

9.底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为

A2^2n BC^/3n D^/1A

A 3

B 3

C 3

D 3

10 .在平面直角坐标系中，A, B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与

直线2x + y—4= 0相切，则圆C面积的最小值为

4 n 3 n

5 n

A—B—C (6 —2 ,5) n D —

e x, x<0,

11.已知函数f(x) = 2F(x) = f(x) —x —1,且函数F(x)有2个零点，

l x + ax + 1, x>0,

则实数a的取值范围为

A. ( —g, 0]

B. ( —g, 1)

C. [1 ,+g)

D. (0，+g)

12 .已知[x)表示大于x的最小整数，例如[3) = 4,[ —1.3) =—1，下列命题中正确的是

①函数f(x) = [x) —x的值域是(0, 1];

②若｛a n｝是等差数列，则｛[aj｝也是等差数列;

③若｛a n｝是等比数列，则｛[ a n) ｝也是等比数列；

1

④若x€ (1 , 2 018)，则方程[x) —x = 1有2 017个根.

A.②④

B.③④

C.①③

D.①④

选择题答题卡

第卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

13 .从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为.(结果用最简分数表示)

14 .《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二•术曰：周自相乘，以高

乘之，十二而一” •这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十

1

二而一•”就是说：圆堡壔（圆柱体）的体积V= （底面的圆周长的平方X高），则该问题中圆周率n的取值为__________ •（注：一丈=10尺）

15. H + 土（1 + X）6展开式中X2的系数为 ______ •（结果用数字表示）

16. 如图2, “六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点0且三组对边分别平行•点A, B是“六芒星”（如图1）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），

若0P= xOA+ yOB贝U x+ y的最大值是________

I钏六芒星I帅

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分11分）

如图，△ ABC是等边三角形，D是BC边上的动点（含端点），记/ BAD= a，/ ADC= 3 •（1）求2C0S a —COS 3的最大值；

1

⑵若BD= 1 , COS 3 = 7，求厶ABD的面积.