高三数学摸底考试试题

广西壮族自治区柳州市2025届新高三摸底考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}23A x x =-<<，{}13B x x =∈-<≤N ，则A B =I （ ）． A ．{}0,1 B ．{}1,2 C ．{}0,1,2 D ．{}0,1,2,3 2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12i z =-，则12z z =（ ）． A ．5- B ．5 C ．8- D ．83．在等差数列{}n a 中，若25172048a a a a +++=，则11a =（ ）．A ．7B ．12C ．16D ．244．双曲线221416x y -=的一个顶点到渐近线的距离为（ ）．A B ．4 C D ．5．已知向量a r 与b r 的夹角为60︒，且(a =r ，1=r b ，则2a b -=r r （ ）．A B C ．4 D ．26．81x ⎫⎪⎭的展开式中常数项的系数为（ ） A ．70 B ．56 C ．28 D ．87．有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（ ） ．A ．40种B ．60种C ．80种D ．120种8．已知三棱锥O ABC -A ，B ，C 是球O 的球面上的三个点，且60ACB ∠=︒，AB =2AC BC +=，则球O 的表面积为（ ）． A ．36π B ．24π C ．12π D ．8π二、多选题9．已知随机事件A ，B 发生的概率分别为()0.2P A =，()0.6P B =，下列说法正确的是（ ）．A ．若()0.12P AB =，则A ，B 相互独立 B ．若A ，B 互斥，则A ，B 不相互独立C ．若()0.5P B A =，则()0.1P AB =D ．若A B ⊆，则()0.2P A B =10．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，令()()cos 2g x f x x =-，则下列说法正确的有（ ）．A ．()g x 的一个对称中心π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()g x 的对称轴方程为()ππ23k x k =+∈Z C ．()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．()g x 的单调递减区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 11．已知函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，若()()()22f x y f x f y xy ++=，则（ ）． A ．112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ B ．102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数D ．12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数三、填空题12．已知()ln f x x x =，则()f x 在点()()e,e f 处的切线斜率是．13．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c o s c o s 2c o s a B b A c C +=-，()9cos 11A B -=，则πsin 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 14．记实数12,,,n x x x L 的最小数为{}12min ,,,n x x x L ，若(){}2m i n 1,21,8f x x x x x =+-+-+，则函数()f x 的最大值为．四、解答题15．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，F 为AB 的中点．(1)求证：//CF 平面1AC E ；(2)求平面1AC E 与平面11B C E 夹角的余弦值．16．某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为1c ，2c ，3c ，…．(1)写出一个递推公式，表示1n c +与n c 之间的关系；(2)求1012310S c c c c =++++L 的值．（其中91.08 2.00≈，101.08 2.16≈，111.08 2.33≈） 17．如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n 次后质点位于位置n X ．(1)求()60P X =；(2)求()n E X ；(3)指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由．18．一动圆与圆2220x y x ++=外切，同时与圆222240x y x +--=内切，记动圆圆心的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程，并说明E 是什么曲线；(2)若点P 是曲线E 上异于左右顶点的一个动点，点O 为曲线E 的中心，过E 的左焦点F 且平行于OP 的直线与曲线E 交于点M ，N ，求证：2FM FN OP⋅u u u u r u u u r u u u r 为一个定值． 19．帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m ，n ，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111mm nn a a x a x R x b x b x +++=+++L L ，且满足：()()00f R =，()()00f R ''=，()()00f R ''''=，…，()()()()00m n m n f R ++=．注：()()f x f x ''''=⎡⎤⎣⎦，()()f x f x ''''''=⎡⎤⎣⎦，()()()4f x f x '=⎡''⎤⎣⎦'，()()()()54f x f x '⎡⎤=⎣⎦，…；()()n f x 为()()1n f x -的导数）．已知()()ln 1f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似为()1ax R x bx=+． (1)求实数a ，b 的值；(2)比较()f x 与()R x 的大小；(3)若()()()()11102h x mf x R x m =---≠有3个不同的零点，求实数m 的取值范围．。

四川省2025届新高三秋季入学摸底考试数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 96i2i i −+的虚部为（）A.7− B.6− C.7i− D.6i−2.已知等差数列{}n a 满足399,3a a ==，则12a =（ ） A 2−B.1C.0D.1−3.()ππsin 02αα−++= ，则tan α=（ ）A.B.C.D. 4.函数()240e 10x x x x f x x −≥= −+<，，，的极值点个数为（ ）A.0B.1C.2D.35.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计()95110P X ≤≤=（ ）A.532B.516C.1132D.3166.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集()*12N k A A A k ∈ ，，，，且12k A A A U = ，那么称子集族{}12k A A A ，，，构成集合U 的 一个.的k 划分.已知集合2{N |650}I x x x =∈−+<，则集合I 的所有划分的个数为（ ）A.3B.4C.14D.167.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A.278 B.274C.378D.3748.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为1，过点F 的直线1l 与C交于,M N 两点，过点M 作C 的切线2l 与,x y 轴分别交于,P Q 两点，则PQ ON ⋅=（）A.12B. 12−C.14D.14−二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知函数()()π3sin ,3cos 232x x f x g x=+=，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 与()g x 有相同的最小值C.直线πx =为()f x 图象的一条对称轴D.将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到()g x 的图像10.已知函数()()313f x x x f x =−′，为()f x 的导函数，则（ ）A.()00f ′=B.()f x 在()1,∞+上单调递增C.()f x 的极小值为23D.方程()12f x =有3个不等的实根 11.已知正方体1111ABCD A B C D −的体积为8，线段1,CC BC 的中点分别为,E F ，动点G 在下底面1111D C B A 内（含边界），动点H 在直线1AD 上，且1GE AA =，则（ ）A.三棱锥H DEF −的体积为定值B.动点GC.不存在点G ，使得EG ⊥平面DEFD.四面体DEFG 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知向量(7,12),(6,)a b x =−= ，若a b ⊥，则x =________.13.已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为________.14.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN =，则C 的离心率为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，2sin cos sin B A b A =. （1）求A 的值；（2）若ABC 的面积为√3，周长为6，求a 的值.16.如图，在四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 为正方形、SA ⊥平面ABCD M N ，，分别为棱SB SC，中点的（1）证明：//MN 平面SAD ;（2）若SA AD =，求直线SD 与平面ADNM 所成角正弦值17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，右焦点为F，点(在C 上.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点A 在直线():0l y kx m k =+≠上，若直线l 与C 相切，且FA l ⊥，求OA 值.18.已知函数()ln f x x x a =−+.（1）若0a =，求曲线yy =ff (xx )在xx =1处的切线方程；（2）若xx >0时()0f x <，求a 的取值范围；（3）若01a <≤，证明：当1x ≥时，()()1e1x af x x x −+≤−+.19.已知首项为1的数列{}n a 满足221144n n n n a a a a ++=++. （1）若20a >，在所有{}()14n a n ≤≤中随机抽取2个数列，记满足40a <的数列{}n a 的个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ；（2）若数列{}n a 满足：若存在5m a ≤−，则存在{}(1,2,,12k m m ∈−≥ 且)*m ∈N，使得4k m a a −=.（i ）若20a >，证明：数列{}n a 是等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S ；（ii ）在所有满足条件的数列{}n a 中，求使得20250s a +=成立的s 的最小值. 的的四川省2025届新高三秋季入学摸底考试数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 96i2i i −+的虚部为（）A.7− B.6− C.7i− D.6i−【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算化简得7i −，再根据虚部的定义即可求解．【详解】2296i 9i 6i 2i 2i 69i 2i 67i i i−−+=+=−−+=−−，则所求虚部为7−.故选：A ．2.已知等差数列{}n a 满足399,3a a ==，则12a =（ ）A.2− B.1C.0D.1−【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式求解即可.【详解】由399,3a a ==可得：93391936a a d −−===−−， 所以1293330a a d =+=−=， 故选：C3.()ππsin 02αα−++=，则tan α=（ ）A.B.C.D. 【答案】D 【解析】()ππsin 02αα−++=进行化简，再利用sin tan cos ααα=进行求解即可.()ππsin 02αα−++=，cos 0αα+=，因此可得sin tan cos ααα==，故选：D.4.函数()240e 10x x x x f x x −≥= −+< ，，，的极值点个数为（ ）A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】对分段函数中的每一段的函数分别探究其单调性情况，再进行综合考虑即得. 【详解】当0x ≥时，22()4(2)4f x x x x =−=−−，此时函数在[0,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，故此时函数有一个极小值点为2；当0x <时，()e 1x f x =−+，因()e <0xf x ′=−恒成立，故函数()f x 在(,0)−∞上单调递减，结合函数在[0,2]上单调递减，可知0不是函数的极值点. 综上，函数()f x 的极值点只有1个.故选：B.5.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计()95110P X ≤≤=（ ）A.532B.516C.1132D.316【答案】B 【解析】【分析】解法一，求出3(80)16P X <=，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案. 【详解】解法一：依题意，得15003(80)800016P X <==， 故()()135951108095(95)(80)21616P X P X P X P X ≤≤=≤≤=<−<=−=；解法二：数学成绩在80分至95分的有400015002500−=人， 由对称性，数学成绩在95分至110分也有2500人， 故()2500595110800016P X ≤≤==. 故选：B.6.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集()*12N k A A A k ∈ ，，，，且12k A A A U = ，那么称子集族{}12k A A A ，，，构成集合U 的 一个k 划分.已知集合2{N |650}I x x x =∈−+<，则集合I 的所有划分的个数为（ ）A.3B.4C.14D.16【答案】B 【解析】【分析】解二次不等式得到集合I ，由子集族的定义对集合I 进行划分，即可得到所有划分的个数. 【详解】依题意，{}{}{}2650152,3,4I x xx x x =∈−+<=∈<<=N N∣，I 的2划分为{}{}{}{2,3},{4},{2,4},{3},{3,4},{2}，共3个，I 的3划分为{}{}{}{}2,3,4，共1个，故集合I 的所有划分的个数为4. 故选：B.7.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A.278 B.274C.378D.374【答案】C的【解析】【分析】由圆台侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算；【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为12,r r ，则2212π4π,π25πr r ==，则122,5r r ==， 设圆台的母线长为l ，则()12π35πr r l +=，解得5l =，则圆台的高4h =，记外接球球心到上底面的距离为x ， 则()2222245x x +=−+，解得378=x . 故选：C.8.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为1，过点F 的直线1l 与C 交于,M N 两点，过点M 作C 的切线2l 与,x y 轴分别交于,P Q 两点，则PQ ON ⋅=（）A.12B. 12−C.14D.14−【答案】C 【解析】【分析】通过联立方程组的方法求得,P Q 的坐标，然后根据向量数量积运算求得PQ ON ⋅.【详解】依题意，抛物线2:2C x y =，即212y x =，则1,0,2y x F = ′，设221212,,,22x x M x N x，直线11:2l y kx =+，联立22,1,2x y y kx = =+得2210x kx −−=，则121x x =−. 而直线()21211:2x l y x x x −=−，即2112x y x x =−，令0y =，则12x x =，即1,02x P ，令0x =，则212x y =−，故210,2x Q − ，则211,22x x PQ =−−，故2212121244x x x x PQ ON ⋅=−−= . 故选：C的【点睛】求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来求得公共点的坐标.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知函数()()π3sin ,3cos 232x x f x g x=+=，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 与()g x 有相同的最小值C.直线πx =为()f x 图象的一条对称轴D.将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到()g x 的图像【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B ：根据解析式可得()f x 与()g x 的最小值；对于C ：代入求()πf ，结合最值与对称性分析判断；对于D ：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断.【详解】因为()()π3sin ,3cos 232x x f x g x=+=，对于选项A ：()f x 的最小正周期2π4π12T==，故A 正确； 对于选项B ：()f x 与()g x 的最小值均为3−，故B 正确；对于选项C ：因为()5π3π3sin362f ==≠±， 可知直线πx =不为()f x 图象的对称轴，故C错误；对于选项D ：将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后，得到()ππ3sin 3cos 3222x x f x g x+=+==，故D 正确. 故选：ABD. 10.已知函数()()313f x x x f x =−′，为()f x 的导函数，则（ ）A.()00f ′=B.()f x 在()1,∞+上单调递增C.()f x 的极小值为23D.方程()12f x =有3个不等的实根 【答案】BD 【解析】【分析】利用导数和导数的几何意义分别判断即可.【详解】因为()313f x x x =−，所以()21f x x ′=−，()01f ′=−，A 说法错误；令()0f x ′>解得1x <−或1x >，令()0f x ′<解得11x −<<，所以()f x 在(),1∞−−单调递增，在()1,1−单调递减，在()1,+∞单调递增，B 说法正确；()f x 的极大值点为1x =−，极大值()21132f −=>，极小值点为1x =，极小值()2103f =−<，C 说法错误；因为当x →−∞时，()0f x <，当x →+∞时，()0f x >，所以方程()12f x =有3个不等的实根，分别在(),1∞−−，()1,1−和()1,+∞中，D 说法正确；故选：BD11.已知正方体1111ABCD A B C D −的体积为8，线段1,CC BC 的中点分别为,E F ，动点G 在下底面1111D C B A 内（含边界），动点H 在直线1AD 上，且1GE AA =，则（ ）A.三棱锥H DEF −的体积为定值B.动点GC.不存在点G ，使得EG ⊥平面DEFD.四面体DEFG 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由题意可证1AD ∥平面DEF ，因此点H 到平面DEF 的距离等于点A 到平面DEF 的距离，其为定值，据此判断A ；对于B ，根据题意求出正方体边长及1C G 的长，由此可知点G 的运动轨迹；对于C ，建立空间直角坐标系，求出平面DEF 的法向量，假设点G 的坐标，求出EG 的方向向量，假设EG ⊥平面DEF ，则平面DEF 的法向量和EG 的方向向量共线，进而求出点G 的坐标，再判断点G 是否满足B 中的轨迹即可；对于D G 到平面DEF 的距离，求出距离的最大值即可.【详解】对于A ，如图，连接1BC 、1AD ，依题意，EF ∥1BC ∥1AD ，而1AD ⊄平面,DEF EF ⊂平面DEF ，故1AD ∥平面DEF ， 所以点H 到平面DEF 的距离等于点A 到平面DEF 的距离，其为定值，所以点H 到平面DEF 的距离为定值，故三棱维H DEF −的体积为定值，故A 正确； 对于B ，因为正方体1111ABCD A B C D −的体积为8，故12AA =，则2GE =，而11EC =，故1C G ，故动点G 的轨迹为以1C1111D C B A 内的部分，即四分之一圆弧，故所求轨迹长度为12π4×，故B 错误； 以1C 为坐标原点，11111,,C D C B C C 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,2,0,0,1,0,1,2D E F ，故()()2,0,1,0,1,1DE EF =−−=，设nn �⃗=(xx ,yy ,zz )为平面DEF 的法向量，则0,0,n EF n DE ⋅=⋅=故0,20,y z x z += −−= 令2z =，故()1,2,2n =−−为平面DEF 的一个法向量，设()()0000,,00,0G x y x y ≥≥，故()00,,1EG x y =− ，若EG ⊥平面DEF ，则//n EG ，则001122x y −==−−，解得001,12x y ==，但22003x y +≠， 所以不存在点点G ，使得EG ⊥平面DEF ，故C 正确； 对于D ，因为DEF为等腰三角形，故113222DEFS EF =⋅== ，而点G 到平面DEF 的距离0000222233EG n x y x y dn⋅++++==，令0x θ=，则0π,0,2y θθ=∈，则d≤，其中1tan 2ϕ=， 则四面体DEFG体积的最大值为1332×D 正确. 故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知向量(7,12),(6,)a b x =−= ，若a b ⊥，则x =________.【答案】72【解析】【分析】利用向量数量积的坐标公式计算即得. 【详解】由a b ⊥ 可得42120a b x ⋅−，解得，72x =. 故答案为：72.13.已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为________.【答案】5.5 【解析】【分析】由平均数的定义算出6x =，再由百分位数的定义即可求解.详解】依题意，357965x ++++=，解得6x =，将数据从小到大排列可得：3,5,6,7,9， 又50.42×=，则40%分位数为565.52+=. 故答案为：5.5.14.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN =，则C 的离心率为__________.【【解析】【分析】由题意可得21F M NF ⊥，由此求出1F M ，1230MF F ∠=，即可求出N 点坐标，代入by x a=，即可得出答案.【详解】不妨设点M 在第一象限，连接2F M ，则212,F M NF F M c ⊥=，故1F M ，1230MF F ∠=， 设()00,N x y ，因为1F M MN =，所以M 为1NF 的中点，112NF F M ==，故0y =.0sin30,cos302x c c ==⋅−=，将()2N c 代入b y x a =中，故b a =c e a =.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，2sin cos sin B A b A =. （1）求A 的值；（2）若ABC 的面积为√3，周长为6，求a 的值.【答案】（1）π3（2）2【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求出A 的值； （2）根据三角形的面积公式、余弦定理即可求出a 的值.【小问1详解】2sin cos sin sin A B A B A =，因为sin 0,sin 0A B ≠≠sin A A =，则tan A =， 因为()0,πA ∈，故π3A =. 【小问2详解】由题意1sin 2ABCS bc A == ，故4bc =.由余弦定理得222222cos ()3(6)12a b c bc A b c bc a =+−=+−=−−， 解得2a =.16.如图，在四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 为正方形、SA ⊥平面ABCD M N ，，分别为棱SB SC ，的中点（1）证明：//MN 平面SAD ;（2）若SA AD =，求直线SD 与平面ADNM 所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析； （2）12.【解析】【分析】（1）由题意易知//MN BC ，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意，,,AB AD AS 两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线SD 的方向向量与平面ADNM 的法向量,再通过空间角的向量求解即可. 【小问1详解】M N 、分别为,SB SC 的中点 //MN BC ABCD ∴ 为正方形//BC AD ∴//MN AD MN ∴ ⊄平面,SAD AD ⊂平面SAD//MN ∴平面SAD .【小问2详解】由题知SA ⊥平面,ABCD AB AD ⊥建立如图所示的空间直角坚标系，2SA AD ==设，则()()()()()0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,2,0S A D B C ,()()1,0,1,1,1,1M N ∴()0,2,2SD ∴=− ,()0,2,0AD = ,()1,0,1AM =设平面ADNM 的一个法向量为nn�⃗=(xx ,yy ,zz ) 则200n AD y n AM x z ⋅== ⋅=+=,令1,x =则0,1y z ==−, ()1,0,1n ∴=− 设直线SD 与平面ADNM θ,1sin cos ,2n SDn SD n SDθ⋅∴===⋅，所以直线SD 与平面ADNM 所成角的正弦值为12.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，右焦点为F，点(在C 上.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点A 在直线():0l y kx m k =+≠上，若直线l 与C 相切，且FA l ⊥，求OA 的值.【答案】（1）2212x y +=（2）OA=,【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及,,a b c 的关系式列出方程组，解之即得；（2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由Δ0=推得2221m k =+，又由FA l ⊥，写出直线FA 的方程，与直线l 联立，求得点A 坐标，计算2||OA ，将前式代入化简即得.【小问1详解】设FF (cc ,0)，依题意，22222131,24c a a b a b c =+==+解得222,1,a b ==故C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】如图，依题意FF (1,0)，联立22,1,2y kx m x y =+ +=消去y ，可得()222214220k x kmx m +++−=，依题意，需使()()2222Δ16421220k m k m =−+−=，整理得2221m k =+（*）.因为FA l ⊥，则直线FA 的斜率为1k −，则其方程为()11y x k=−−，联立1(1),y x k y kx m =−− =+ 解得221,1,1km x k k m y k −= + + = +即221,11km k m A k k −+ ++ 故()()()()()2222222222222222211(1)()11||1111k m km k m k m k m m OA k k kk ++−++++++====++++，将（*）代入得，22221222,11m k k k++==++故OA =. 18.已知函数()ln f x x x a =−+.（1）若0a =，求曲线yy =ff (xx )在xx =1处的切线方程；（2）若xx >0时()0f x <，求a 的取值范围；（3）若01a <≤，证明：当1x ≥时，()()1e1x af x x x −+≤−+.【答案】（1）10y +=（2）(),1−∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率即可得解；（2）利用导数求出函数单调性，得到极值，转化为极大值小于0即可得解； （3）转化为证明()1eln 10x ax x a −−−+−≥，构造关于a 的函数，利用导数求最小值，再由导数求关于x的函数的最小值，由不等式的传递性可得证. 【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x =−，则1()1f x x′=−，所以(1)0k f ′==，又(1)1f =−，所以切线方程为10y +=. 【小问2详解】()111xf x x x−=−=′，当01x <<时，()0f x ′>，()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x ′<，()f x 单调递减， 所以()(1)1f x f a ≤=−+，又()0f x <， 所以10a −+<，即1a <， 所以a 的取值范围为(),1∞−.【小问3详解】的由()()1e1x af x x x −+≤−+可得()1e ln 10x a x x a −−−+−≥，即证当01a <≤，1x ≥时，()1e ln 10x ax x a −−−+−≥，令()()1e ln 1x a g a x x a −=−−+−，则()()()()1e 111e 1x a x a g a x x −−−⋅−−−−′，由1x ≥可知，()0g a ′<，故()g a 在(]0,1上单调递减，所以()()1(1)1e ln x g a g x x −≥=−−，令()1()1eln x h x x x −=−−，则()11111()e 1e e x x x h x x x x x−−−=+−−=−′，当1x ≥时，1e 1x x −≥，11x≤，所以()0h x ′≥，故ℎ(xx )在[)1,+∞上单调递增，所以()(1)0h x h ≥=，所以()(1)()0g a g h x ≥=≥，即()1e ln 10x ax x a −−−+−≥，所以()()1e1x af x x x −+≤−+成立.【点睛】关键点点睛：本题第三问中，要证明不等式成立，适当转化为证明()1e ln 10x ax x a −−−+−≥成立，首先关键在于构造视为关于a 的函数()()1e ln 1x a g a x x a −=−−+−，由此利用导数求出()()1(1)1e ln x g a g x x −≥=−−，其次关键在于构造关于x 的函数()1()1e ln x h x x x −=−−，利用导数求其最小值.19.已知首项为1的数列{}n a 满足221144n n n n a a a a ++=++. （1）若20a >，在所有{}()14n a n ≤≤中随机抽取2个数列，记满足40a <的数列{}n a 的个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ；（2）若数列{}n a 满足：若存在5m a ≤−，则存在{}(1,2,,12k m m ∈−≥ 且)*m ∈N，使得4k m a a −=.（i ）若20a >，证明：数列{}n a 是等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S ；（ii ）在所有满足条件的数列{}n a 中，求使得20250s a +=成立的s 的最小值. 【答案】（1）分布列见解析，1（2）（i ）证明见解析，22n S n n =−（ii ）1520【解析】【分析】（1）根据递推关系化简可得14n n a a +=+，或1,n n a a +=−写出数列的前四项，利用古典概型即可求出分布列及期望；（2）（i ）假设数列{}n a 中存在最小的整数()3i i ≥，使得1i i a a −=−，根据所给条件 可推出存在{}1,2,,1k i ∈− ，使得41k i a a =+≤−，矛盾，即可证明；（ii ）由题意可确定1,5,9,,2017,2021,2025−−−−−− 必为数列{}n a 中的项，构成新数列{}n b ，确定其通项公式及5072025b =−，探求s a 与n b 的关系得解.【小问1详解】依题意，221144n n n n a a a a ++=++，故22114444a n n n a a a a ++−+=++，即()()22122n n a a +−=+，故14n n a a +=+，或1,n n a a +=− 因为121,0a a =>，故25a =；则:1,5,9,13;:1,5,9,9;:1,5,5,5;:1,5,5,1n n n n a a a a −−−−，故X 的可能取值为0,1,2，故()()()21122222222444C C C C 1210,1,2C 6C 3C 6P X P X P X =========， 故X 的分布列为故1210121636EX =×+×+×=. 【小问2详解】（i ）证明：由（1）可知，当2n ≥时，1n n a a −=−或124,5n n a a a −=+=； 假设此时数列{}n a 中存在最小的整数()3i i ≥，使得1i i a a −=−，则121,,,i a a a − 单调递增，即均为正数，且125i a a −≥=，所以15i i a a −=−≤−； 则存在{}1,2,,1k i ∈− ，使得41k i a a =+≤−，此时与121,,,i a a a − 均为正数矛盾，第17页/共17页 所以不存在整数()3i i ≥，使得1i i a a −=−，故14n n a a −=+.所以数列{}n a 是首项为1､公差为4的等差数列，则()21422n n n S n n n −=+⋅=−.（ii ）解：由20250s a +=，可得2025s a =−，由题设条件可得1,5,9,,2017,2021,2025−−−−−− 必为数列{}n a 中的项；记该数列为{}n b ，有()431507n b n n =−+≤≤；不妨令n j b a =，则143j j a a n +=−=−或1447j j a a n +=+=−+，均不为141;n b n +=−−此时243j a n +=−+或41n +或47n −或411n −+，均不为141s b n +=−−. 上述情况中，当1243,41j j a n a n ++=−=+时，32141j j n a a n b +++=−=−−=，结合11a =，则有31n n a b −=.由5072025b =−可知，使得20250s a +=成立的s 的最小值为350711520×−=.求解，第二问的关键在于对于新定义数列，理解并会利用一般的抽象方法推理，反证，探求数列中项的变换规律，能力要求非常高，属于困难题目.。

2024-2025学年广东省珠海市高三（上）第一次摸底数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U={x|x>0}，集合A={x|1<x<2}，则∁U A=( )A. (−∞,1]∪[2,+∞)B. (0,1]∪[2,+∞)C. (−∞,1)∪(2,+∞)D. (0,1)∪(2,+∞)2.复数z=10−3+i(i为虚数单位)，z的共轭复数为( )A. −3−iB. −3+iC. 3−iD. 3+i3.在△ABC中，D是BC上一点，满足BD=3DC，M是AD的中点，若BM=λBA+μBC，则λ+μ=( )A. 54B. 1 C. 78D. 584.已知点A(−1,0)，B(0,3)，点P是圆(x−3)2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最小值为( )A. 6B. 112C. 92D. 6−1025.一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体.这3个几何体的体积从小到大之比为( )A. 1：3：2B. 1：3：4C. 3：2：23D. 3：2：66.已知函数f(x)={2 x− a,x≤0log12(|x|+1)−a,x>0，(a∈R)在R上没有零点，则实数a的取值范围是( )A. (1,+∞)∪{0}B. (0,+∞)C. (−∞,0]D. (−∞,1]7.函数f(x)=23sin2(ωx)+sin(2ωx+2π3)，其中ω>0，其最小正周期为π，则下列说法错误的是( )A. ω=1B. 函数f(x)图象关于点(π3,3)对称C. 函数f(x)图象向右移φ(φ>0)个单位后，图象关于y轴对称，则φ的最小值为5π12D. 若x∈[0,π2]，则函数f(x)的最大值为3+18.若不等式bx+1≤e−x−ax2对一切x∈R恒成立，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，则a+b的取值范围是( )A. (−∞,−1]B. (−∞,−1)C. (−∞,1]D. (−∞,2)二、多选题：本题共3小题，共18分。

河北省唐山市第二中学2024-2025学年高三上学期开学摸底演练考试数学试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}21x B y y ==+，则A B =I （ ）A ．(]1,2B ．(]0,1C ．[]1,2D ．[]0,22．已知i 为虚数单位，若2i1iz =+，则z z ⋅=（ ） A ．−2B ．2C ．2i -D ．2i3．已知非零向量,a b r r 满足a b a b +=-r r r r ，则a b -r r 在b r方向上的投影向量为（ ）A ．a -rB ．b -rC ．a rD ．b r4．若sin()2cos )4αααπ++，则sin 2α=（ ） A ．35-B ．45C ．45-D ．355．已知数列{}n a 满足1,,22,,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若已知164a =，那么20S 的值为（ ） A ．322B ．295C ．293D ．2706．如图，圆台的上、下底面半径分别为1r ，2r ，且12212r r +=，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．72πD ．100π7．已知过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，点A ，B 在C 的准线上的射影分别为点1A ，1B ，线段AB 的垂直平分线l 的倾斜角为120o ，若114A B =，则p =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．48．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f xy f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1二、多选题9．下列命题中正确的是（ ）A ．数据1,1,2,4,5,6,8,9-的第25百分位数是1B ．若事件M N ､的概率满足()()()()0,1,0,1P M P N ∈∈且()()1P NM P N +=∣，则M N ､相互独立C ．已知随机变量1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭:，若()215D X +=，则5n =D ．若随机变量()23,,(2)0.62X N P X σ~>=，则(34)0.12P X <<=10．已知函数32()f x x mx =-，2x =是函数()f x 的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）A ．3m =B ．函数()f x 在区间(1,2)-上单调递减C ．过点(1,2)-能作两条不同直线与()y f x =相切D ．函数[()]2y f f x =+有5个零点 11．如图，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是AB 的中点，点,PF 为空间内两点，且[][]()1,,0,1,0,1BP BC BB BF tBC t λμλμ=+∈=∈u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则（ ）A ．若1D F ⊥平面11AC D ，则点F 与点B 重合B ．设1D P P 的轨迹长度为π2C ．平面11CDE 与平面11A D ED ．若12t =，则平面1D EF三、填空题12．已知曲线()ln 1f x x x =-在1x =处的切线l 与圆22:(1)9C x y -+=相交于A 、B 两点，则||AB =．13．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，则第4次传球后球在甲手中的概率为.14．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过1F 与双曲线C 的左支和右支分别交于,A B 两点，12BF BF ⊥．若x 轴上存在点Q 满足23BQ AF =u u u r u u u u r，则双曲线C的离心率为．四、解答题15．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6a =，sin sin 2B Cb a B +=． (1)求角A 的大小；(2)M 为△ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点D ，且AM =△ABC 的面积．16．如图，在三棱台111ABC A B C -中，AB ⊥平面11B BCC ，3AB =，11112BB B C CC ===，4BC =．(1)求证：11AA B C ⊥；(2)求平面11B BCC 与平面11A ACC 夹角的余弦值． 17．已知函数(),()x f x ax e a R =+∈． (1)试讨论函数()f x 的单调性； (2)若[0,)x ∈+∞，()ln1ef x x ≥+恒成立，求a 的取值范围．18．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b ，H ⎛ ⎝⎭是C 上一点.(1)求C 的方程.(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k .证明：①12k k 为定值；②点M 在定直线上.19．已知有穷数列{}n a 的各项均不相等，将{}n a 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{}n p ，称{}n p 为{}n a 的“序数列”.例如，数列1a ､2a ､3a 满足132a a a >>，则其“序数列”{}n p 为1､3､2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”.(1)若数列32x -､56x +､2x 的“序数列”为2､3､1，求实数x 的取值范围； (2)若项数均为2021的数列{}n x ､{}n y 互为“保序数列”，其通项公式分别为1223nn x n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2n y n tn =-+（t 为常数），求实数t 的取值范围； (3)设1n n a q p -=+，其中p ､q 是实常数，且1q >-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若当正整数3k ≥时，数列{}n a 的前k 项与数列{}n S 的前k 项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p ､q 满足的条件.。

陕西省西安中学2025届高三摸底考试数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}42<=xx A ，{}31<<-∈=x N x B ，则=B A （）A.{}21<<-x x B.{}1,0 C.{}1 D.{}31<<-x x 2.下列说法正确的是（）A.若0>>b a ，则22bcac > B.若b a >，则22ba >C.若0<<b a ，则22b ab a >> D.若b a <，则ba 11>3.已知R b a ∈,，则“b a >”是“20242024b a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.随机变量ξ的分布列如下表：若()0=ξE ,则()=ξD （）A.21 B.31 C.41 D.615.若命题“[]3,1-∈∃x ，022≤--a x x ”为真命题，则实数a 可取的最小整数值是（）A.1- B.0C.1D.36.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而已疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：3010.02lg ,9956.199lg ,0086.2102lg ≈≈≈）.A.85B.100C.150D.2257.某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一名老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（）A.124B.246C.114D.1088.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<+-+-≥+=1,321,2x a ax ax x a a x f x（0>a 且1≠a ），若函数()x f 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.⎥⎦⎤ ⎝⎛320， B.⎦⎤ ⎝⎛231， C.[)∞+，2 D.[)∞+，3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列运算结果为1的有（）A.814121-e e e B.5lg 2lg +C.213298- D.2log 4log 3log 432⨯⨯10.设0,0>>b a ，12=+b a ，则（）A.ab 的最大值为81B.224b a +的最小值为21C.ba 21+的最小值为8 D.ba42+的最小值为2211.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则下列说法中正确的有（）A.从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为32B.从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为356C.从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4D.从甲袋中任取2个球并放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为145三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在612⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 二项式展开式中，常数项为.13.已知样本321,,x x x 的平均数为2，方差为1，则232221,,x x x 的平均数为.14.定义：()(){}x g x f N ⊗表示不等式()()x g x f <的解集中整数解之和.若()x x f 2log =，()()212+-=x a x g ，()(){}6=⊗x g x f N ，则实数a 的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题各15分，第18,19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知二次函数()x f y =的图象过点()3,1-，且不等式()07<-x x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛141，.（1）求()x f 的解析式；（2）设()()mx x f x g -=，若()x g 在()4,2上是单调函数，求实数m 的取值范围.16.甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立.已知甲答对每题的概率均为p ，乙答对每题的概率均为q （10<<<q p ），且某道题两人都答对的概率为103，都答错的概率为51.（1）求q p ,的值；（2）乙回答3题，记乙的积分为X ，求X 的分布列和期望()X E .17.随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线，某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调查，得到如下表的统计数据：（1）根据表中数据，依据01.0=α的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？（2）现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式及数据：()()()()()d b c a d c b a bc ad n ++++-=22χ，其中d c b a n +++=.18.已知函数()()2212m mx f x-++=.（1）当2=m 时，求()x f 的值域；（2）若()x f 的最小值为3-，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若不等式()82-≤ax f x有实数解，求实数a 的取值范围.19.创新是民族的灵魂，某大型企业对其产品进行研发与创新，根据市场调研与模拟，得到研发投入x （亿元）与研发创新的直接收益y（亿元）的数据统计如下：当170≤<x 时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：8.111.4ˆ+=x y；模型②：4.143.21ˆ-=x y ；当17>x 时，确定y 与x 满足的线性回归方程为：a x y+-=7.0ˆ.（1）根据下列表格中的数据，比较当170≤<x 时模型①、②的决定系数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测该企业对产品创新改造的投入为1亿元时的直接收益.（附：刻画回归效果的决定系数()()∑∑==---=n i ini i iy y yyR 12122ˆ1，1.417≈，决定系数数值越大，说明拟合效果越好）.（2）为鼓励科技创新，当研发的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，你叫研发改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.（附：()()()∑∑∑∑====---=-⋅-=n i ini i ini i ni i i x n x y y x xx n x yx n yx b1211221ˆ，x by a ˆ-=）（3）研发改造后，该公司F 产品的效率X 大幅提高，X 服从正态分布()201.052.0，N ，公司对研发团队的奖励方案如下：若F 产品的效率不超过50%，不与奖励；若F 产品的效率超过50%但不超过53%，每件F 产品奖励2万元；若F 产品的效率超过53%，每件F 产品奖励5万元.求每件F 产品获得奖励的数学期望.（附：随机变量ξ服从正态分布()2,σμN ，则()6826.0=+≤<-σμσμx P ，()9544.022=+≤<-σμσμx P ）参考答案一、选择题二、选择题三、填空题12.6013.514.⎥⎦⎤⎝⎛-0,423log 2四、解答题15.解：（1）∵不等式()07<-x x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛141，，∴41和1为关于x 的方程()07=-x x f 的两根，且二次函数()x f y =的开口向上，则可设()()1417-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x a x x f ，()0>a ，即()()x x x a x f 7141+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，由()x f 的图象过点()31，-，可得()()31711411=-⨯+--⎪⎭⎫⎝⎛--a ，解得4=a ，∴()()x x x x f 71414+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，即()1242++=x x x f .（2）∵()()()12412422+-+=-++=-=x m x mx x x mx x f x g 对称轴82mx --=，∵()x g 在()4,2上是单调函数，∴282≤--m 或482≥--m，解得18≤m 或34≥m ，即实数m 的取值范围为(][)∞+∞-，，3418 .题号12345678答案BCDAABCB16.解：（1）由题意得()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<=-=10511103q p q p pq ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5321q p .（2）由题意知，X 的所有取值为0,40,80,120，则()12585310303=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==C X P ；()125365315340213=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅==C X P ；()125545315380223=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==C X P ；()1252753120333=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，故X 的分布列为：17.解：（1）零假设0H ：周平均锻炼时长与年龄无关联，由22⨯列联表中的数据，可得()01.022635.6256.101302702002005012080150400χχ=>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=，根据小概率值01.0=α的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联.（2）抽取的8人中，轴平均锻炼时长少于5小时的有2200508=⨯人，不少于5小时的有62001508=⨯人，则X 所有可能的取值为1,2,3，∴()2831381622===C C C X P ；()28152382612===C C C X P ；()14533836===C C X P ，∴随机变量X的分布列为：∴数学期望()491453281522831=⨯+⨯+⨯=X E .18.解：（1）设t x=2，∵2=m ，∴()0,322>-+=t t y ，其对称轴方程为：2-=t ，故函数在()∞+，0上单调递增，当0=t 时，1=y ，故所求值域为()∞+，1.（2）∵函数()()2212m mx f x-++=的最小值为3-，02>x ，当0≥m 时，()x f 在R 上单调递增，没有最小值；当0<m 时，可知m x-=2时，y 取得最小值21m -；即213m -=-，解得2-=m 或2=m （舍去），综上，2-=m .（3）由题意，不等式()82-≤a x f x 有实数解，即()823222-≤--ax x，可得42921-+≥x x a ，要使不等式有解，只需min42921⎪⎭⎫⎝⎛-+≥x x a 即可，∵692292=≥+x x，当且仅当3log 2=x 时等号成立，∴2464292min=-=⎪⎭⎫⎝⎛-+xx，∴21≥a ，解得210≤<a ，即实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛210，.19.解：（1）由表格中的数据，有2.794.182>，即()()∑∑==->-7127122.794.182i i i i y y y y ，∴模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，∴当17=x 亿元时，研发改造直接收益的预测值为：93.724.141.43.214.14173.21=-⨯≈-⨯=y （亿元），（2）由已知可得：355432120=++++=-x ，∴23=x ，2.75665.785.860=++++=-y ，∴2.67=y ，∴3.83237.02.677.0=⨯+=+=x y a ，∴当17>x 亿元时，y 与x 满足的线性回归方程为3.837.0ˆ+-=x y，当20=x 亿元时，研发改造直接收益的预测值为3.693.83207.0ˆ=+⨯-=y，当20=x 亿元时，实际收益的预测值为3.79103.69=+亿元＞72.93亿元，∴研发改造投入20亿元时，公司的实际收益更大.（3）∵()9544.002.052.002.052.0=+<<-X P ，∴()9772.029544.0150.0=+=>X P ，()0228.029544.0150.0=-=≤X P ，∵()6826.001.052.001.052.0=+<<-X P ，∴()1587.026826.0153.0=-=>X P ，∴()8185.01587.09772.053.050.0=-=<<X P ，设每件F 产品获得奖励为Y （万元），则Y 的分布列为：∴每件F 产品获得奖励的期望值为：()4305.21587.058185.020228.00=⨯+⨯+⨯=Y E （万元）.。

陕西省安康市2024-2025学年高三上学期开学学情摸底考试数学试题一、单选题1．设集合{}{}21,3,2,1,M a N a =+=，若{}1,4M N =I ，则a =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．2±2．已知复数z 满足23i z z +=+，则3iz+=（ ） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -3．已知平面向量()()3,4,,3a b m ==r r ．若向量2a b -r r 与a b +r r 共线，则实数m 的值为（ ） A ．3B ．94C ．32D ．344．已知()()cos f x x a x =+为奇函数，则曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程为（ ） A ．ππ0x y +-= B ．ππ0x y -+=C ．π0x y -+=D ．0x y +=5πsin()4αα=-，则22sin 2cos αα-=（ ）A ．34B ．12C ．14-D ．12-6．已知直线l 经过点()2,0-且斜率大于0，若圆22:20C x y x +-=的圆心与直线l 上一动点l 的斜率为（ ）A B C D 7．风筝的发明是中国古代劳动人民智慧的结晶，距今已有2000多年的历史.风筝多为轴对称图形，如图.在平面几何中，我们把一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形.在筝形ABCD 中，对角线BD 所在直线为对称轴，ABC V 是边长为2的等边三角形，ACD V 是等腰直角三角形.将该筝形沿对角线AC 折叠，使得2BD =，形成四面体ABCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．17π3C ．16π3D ．4π8．在平面直角坐标系xOy 中，A 为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左顶点，M 为双曲线C 上位于第一象限内的一点，点M 关于y 轴对称的点为N ，记,MAN MOx αβ∠=∠=，若tan tan 3αβ=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BC D 1二、多选题9．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件1A =“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件2A =“摸出的两个球的编号都大于2”，事件3A =“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ） A ．事件1A 与事件2A 是互斥事件 B ．事件1A 与事件3A 是对立事件C ．事件1A 与事件3A 是相互独立事件D ．事件23A A I 与事件13A A ⋂是互斥事件10．在平面直角坐标系xOy 中，一动点从点0M 开始，以πrad/s 2的角速度逆时针绕坐标原点O 做匀速圆周运动，s x 后到达点M 的位置．设1(2A ，记2()||x A M ϕ=，则（ ） A ．ππ()43cos()23x x ϕ=--B ．当203x =时，()ϕx 取得最小值 C ．点5(,4)3是曲线()y x ϕ=的一个对称中心 D ．当[0,4)x ∈时，()ϕx 的单调递增区间为410[,]3311．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且22()()()f x y f x f y xy x y +=+++，当0x >时，33()f x x >，且(3)12,(3)10f f =='，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 为偶函数B ．4(1)3f -=-C ．()f x 在R 上单调递增D ．20241π(sin )30362i f i ='=∑三、填空题12．2824(3)x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中9x 的系数为．（用数字作答）13．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,1,a b A B C ==△，则c =．14．已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆2221:C x y b +=，圆2222:C x y a +=，点()1,1P ，射线OP 交圆1C ，椭圆C ，圆2C 分别于点,,R S T ，若圆1C 与圆2C 围成的图形的面积大于圆1C 的面积，则2||OR OTOS ⋅的取值范围是．四、解答题15．某农场收获的苹果按,,A B C 三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且,,A B C 三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1(1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A 级苹果的概率；(2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A ，B ，C 三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A 级苹果有X 箱，求X 的分布列与数学期望．16．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且31211,42a a a ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)令22log n n b a =-，记112211n n n n n S a b a b a b a b --=++++L ，求n S ．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，M 在棱CD 上且2,3CM MD AB ==，2,BC PM PD ==⊥平面ABCD ，在棱PB 上存在一点Q 满足//CQ 平面PAM ．(1)证明：平面PCD ⊥平面PBC ； (2)求平面PAB 与平面ACQ 夹角的余弦值．18．已知动圆的圆心在x 轴上，且该动圆经过点()()()4,0,,0,0,x y -． (1)求点(),x y 的轨迹C 的方程；(2)设过点()1,0E -的直线l 交轨迹C 于,A B 两点，若()0,4,A x G 为轨迹C 上位于点,A B 之间的一点，点G 关于x 轴的对称点为点Q ，过点B 作BM AQ ⊥，交AQ 于点M ，求A M A Q ⋅的最大值．19．定理：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上的图象是连续不断的曲线，在开区间(,)a b 内每一点存在导数，且()()f a f b =，那么在区间(,)a b 内至少存在一点c ，使得()0f c '=这是以法国数学家米歇尔·罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用．(1)设()(1)(2)(4)f x x x x x =---，记()f x 的导数为()f x '，试用上述定理，说明方程()0f x '=根的个数，并指出它们所在的区间；(2)如果()f x 在闭区间[,]a b 上的图象是连续不断的曲线，且在开区间(,)a b 内每一点存在导数，记()f x 的导数为()f x '，试用上述定理证明：在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-；(3)利用（2）中的结论，证明：当0a b <<时，2()e e e a ba b a b a b ++<+．（e 为自然对数的底数）。

吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}213A x x =-≤，{}240B x x x =∈-≤N ，则A B =I （ ）A ． 0,2B ． 0,2C ．{}0,1,2D ．{}1,22．已知1tan 2α=，则sin cos sin 3cos αααα-=+（ ） A ．23B ．17-C ．12D ．12-3．已知角α的终边经过点5π5πsin ,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A ．B C ．D 4．若函数()3ln f x a x x x=+-既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(B ．((),-∞-⋃+∞C ．(,-∞-D ．()+∞5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3e 1e 1x x f x -=-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 有两个零点B ．当0x >时，()e 3e 1x x f x -=-C ．()0f x >的解集是(),ln 3-∞-D ．m ∀∈R ，0x ∃∈R ，使得()0f x m =6．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()10f =，()()f x f x '>，则不等式()0f x >的解集为（ ） A ．()0,∞+B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()()0,11,+∞U7．已知34m =，44m a -=，22m b -=，则下列说法正确的是（ ）A ．a b <B ．a b >C ．a b =D ．a b =-8．若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（ ）A ．11e+B ．e 1-C ．1D ．e二、多选题9．若0b a >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a ba b +<< B ．11a b< C ．222log log log 22a b a b ++< D ．()22b a b a ->-10．已知π2sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．π1cos 239α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C ．5π2cos 63α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D ．若()0,πα∈，cos α=11．定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()=2f x f x --，当(]1,0x ∈-时，()1f x x =--，则下列说法正确的是（ ）A ．()10f =B ．2027122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．函数()()31y f x x =--的所有零点之和为5D ．()0.11e 1ln 1.1f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭三、填空题12．已知某扇形的圆心角为120°，弧长为2πcm ，则此扇形的面积为2cm .13．已知函数2231,0()ln(3),0x x f x x ax x +⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩，()()30f f -=，则实数a 的值为. 14．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为“局部奇函数”.若函数()14972x x f x m +=-⋅-在定义域R 上为“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为.四、解答题15．已知数列{}n a 满足：11a =，()*12n n a a n +=+∈N ，数列{}n b 为单调递增等比数列，22b =，且1b ，2b ，31b -成等差数列. (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设2log n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .16．已知函数()2e e x xf x x =+-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)当[]1,0x ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值.17．师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与投入的成本30x （单位：元）满足如下关系：()2343,02,332,2 5.1x x W x x x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪+⎩，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为()f x （单位：元）.(1)求()f x 的函数关系式；(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?18．已知函数()()e ln xf x x a a x =--，a ∈R .(1)当e a =时，求函数()f x 的单调区间与极值；(2)若函数()f x 有2个不同的零点1x ，2x ，满足2121e 2e x xx x >，求a 的取值范围.19．对于数列{}n x ，若0M ∃>，对任意的*n ∈N ，有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的.当正整数n 无限大时，若n x 无限接近于常数a ，则称常数a 是数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为lim n n x a →+∞=.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.(1)证明：对任意的1x ≥-，*n ∈N ，()11nx nx +≥+恒成立； (2)已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式为：11nn a n ⎛+⎫ ⎪⎝⎭=，111n n b n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n ∈N .（i ）判断数列{}n a ，{}n b 的单调性与有界性，并证明；（ii ）事实上，常数e lim lim n n n n a b →+∞→+∞==，以e 为底的对数称为自然对数，记为ln x .证明：对任意的*n ∈N ，()1111ln 11nnk k n k k==<+<+∑∑恒成立.。

石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|15A x x =∈≤<R ，{}2|340B x x x =∈--<R ，则A B = （）A ．(]1,1-B ．()1,4-C ．[)1,4D ．[)1,52．已知复数z 满足(1i)23i z +=+，则复数z 的虚部为（）A ．12B ．52C ．12-D ．52-3．已知平面向量a ，b 满足()2⋅-=a a b ，且1=a ，2=b ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．6πB ．23πC ．3πD ．56π4．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（）A ．3B ．3C ．3D ．5．已知sin()2cos()αβαβ+=-，4tan tan 3αβ+=，则tan tan αβ⋅=（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-6．若数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，490a a +>，110S <，则n S 的最小值为（）A ．5S B ．6S C ．7S D ．8S 7．已知双曲线22:148x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过坐标原点的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若112F A F B =，则AB =（）A ．B ．C ．D ．48．已知函数()F x 为定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上单调递减，满足212(log )(log )2(3)f a f a f -≤，则实数a 的取值范围为（）A ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,8D ．[)8,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知实数a ，b ，c 满足0a b c >>>，则下列选项正确的是（）A ．a c ab c b+>+B ．lg0a cb c->-C ．b ca b a c>--D ．a b ++>10．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>，则下列说法正确的是（）A ．当3ω=时，()f x 在47,99ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．若12()()2f x f x -=，且12min2x x π-=，则函数()f x 的最小正周期为πC ．若()f x 的图象向左平移12π个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，则ω的最小值为3D ．若()f x 在[]0,2π上恰有4个零点，则ω的取值范围为2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．如图，曲线C 过坐标原点O ，且C 上的动点(,)P x y 满足到两个定点1(,0)F a -，2(,0)(0)F a a >的距离之积为9，则下列结论正确的是（）A ．3a =B ．若直线y kx =与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为[)1,+∞C ．12PF F △周长的最小值为12D ．12PF F △面积的最大值为92三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．在等比数列{}n a 中，11a =，23464a a a ⋅⋅=，则5a =____________．13．已知函数231,0()44,0x x x f x x x⎧-+-≥⎪=⎨+<⎪⎩，若y x =与()y f x =的图象相切于A 、B 两点，则直线AB的方程为____________．14．金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成____________部分（用数字作答）．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为2且位于x 轴上方的点，A 到抛物线焦点的距离为52．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点F 的直线l 交抛物线C 于B 、D 两点（异于O 点），连接OB 、OD ，若12OBF ODF S S =△△，求BD 的长．16．（本小题满分15分）如图，在直四棱柱ABCD A B C D ''''-中，13A G A D '''=，AB BC ⊥，1AB =，BC =，2BD =．（1）设过点G 、B 、D 的平面交直线A B ''于点M ，求线段GM 的长；（2）若AC BD ⊥，当二面角B AC D ''--为直二面角时，求直四棱柱ABCD A B C D ''''-的体积．17．（本小题满分15分）在ABC △中，AB =，AC =，点D 在边BC 上，且BD CD =．（1）若2BAD π∠=，求BC 的长；（2）若3BAC π∠=，点E 在边AC 上，且12AE EC =，BE 与AD 交于点M ，求cos AMB ∠．18．（本小题满分17分）已知函数e ()xf x x=．（1）当0x >时，求函数()f x 的最小值；（2）设方程21()x f x x +=的所有根之和为T ，且(,1)T n n ∈+，求整数n 的值；（3）若关于x 的不等式()ln e 1f x ax a x ≥-+-恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分17分）母函数（又称生成函数）就是一列用来展示一串数字的挂衣架．这是数学家赫伯特·维尔夫对母函数的一个形象且精妙的比喻．对于任意数列012,,,,n a a a a ，即用如下方法与一个函数联系起来：2012()n n G x a a x a x a x =++++ ，则称()G x 是数列{}n a 的生成函数．例如：求方程1210100t t t =+++ 的非负整数解的个数．设此方程的生成函数为210()(1)G x x x =+++ ，其中x 的指数代表(1,2,3,,10)i t i = 的值．210()(1)n n n G x x x a x +∞==+++=∑ ，则非负整数解的个数为100a ．若2()1f x x x =+++ ，则23()xf x x x x =+++ ，可得(1)()1x f x -=，于是可得函数()f x 的收缩表达式为：1()1f x x=-．故101000111001001010101()((1)()()()1G x x C x C x C x x----==-=-+-++-+- （广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式）则10010010010109(10)(11)(101001)10910810100!100!a C C --⨯-⨯⨯--+⨯⨯⨯==== 根据以上材料，解决下述问题：定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12ki i ka =≤∑，不同的“规范01数列”个数记为m b ．（1）判断以下数列是否为“规范01数列”；①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1．（2）规定01b =，计算1b ，2b ，3b ，4b 的值，归纳数列{}m b 的递推公式；（3）设数列{}m b 对应的生成函数为2012()m m F x b b x b x b x =+++++ ①结合()F x 与2()F x 之间的关系，推导()F x 的收缩表达式；②求数列{}m b 的通项公式．石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测数学答案一、单选题：1-5CABCD6-8BAD 二、多选题：9．BCD10．ABD11．AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．1613．340x y +-=14．23四、解答题：本题共5小题，共77分。

广西桂平市2025届高三开学摸底考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知点()1,2到抛物线2:C x my =准线的距离为4，则m 的值可能为（ ）A ．8B ．8-C ．24D ．24-(1)若2FH HG =uuur uuur ，证明：EF (2)求平面1D EF 与平面ABCD 16．为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的理得到如下列联表：男学生女学生喜欢跳绳3535不喜欢跳绳1020综上所述，()f x 不可能只1个极值点，故A 错误；B 项，当()f x 有极值点时,()0f x ¢=有解，则224124(3)0a b a b D =-=-³，即230a b -£.由A 项知，当230a b -=时，()f x 在R 上单调递增，不存在极值点；故23a b >，故B 正确；C 项，当0a b ==时，3()f x x c =+，3()f x x c -=-+，所以()()2f x f x c +-=，则曲线()f x 关于(0,)c 对称，即存在a ，使得点()()0,0f 为曲线y =f (x )的对称中心，故C 正确；D 项，不等式()0f x <的解集为()(),11,2¥-È，由A 项可知仅当230a b ->时，满足题意.则(1)0f =且(2)0f =，且()f x 在1x =处取极大值.即108420a b c a b c +++=ìí+++=î，则有3726b ac a =--ìí=+î，故32()(37)26f x x ax a x a =+-+++，2()32(37)f x x ax a ¢=+-+，设正方体棱长为3，则()10,0,3D 可得()(13,1,1,0,3,2EF D F =-=-uuu r uuuu r 设平面1D EF的法向量为m =(令2y =得3z =，53x =，故m =r 且平面ABCD 的法向量为(0,0,1n =r如图设点00(,)M x y ，因点M 既故得：000033y x x my n ì=ïíï=-î，解得，ìïïíïïîx my n =-ìx (m当n 为奇数时，4232303033n n n c c n T T c n T T n c <++£-Þ<--£-Þ-£-+L ，又因为121,1n n c c ++³£，所以231,1c c ³£，所以233312n T T n c n n -£-+£-+=-，所以得22n T T n +£+.【点睛】关键点点睛：该题为数列新概念题，第一问和第二问,按照其概念计算即可；第三问,需要建立新的递推公式，得到一个找到数列不同项之间的关系，然后建立不等式求解即可.。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[1,3]上单调递增，则a的取值范围是（）A. a > 1B. a < 1C. a ≤ 1D. a ≥ 12. 已知函数y = (2x - 1)^2 + 3，则该函数的对称轴是（）A. x = 0B. x = 1C. y = 3D. x = 1/23. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 1，S3 = 6，则数列{an}的公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知复数z = 3 + 4i，则|z - 2i|的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 55. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值为（）A. √3/2B. √2/2C. 1/2D. √3/36. 若直线l的方程为x + 2y - 3 = 0，则该直线与x轴的交点坐标为（）A. (3, 0)B. (0, 3)C. (1, 2)D. (2, 1)7. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则f(x)的定义域为（）A. (-1, +∞)B. (-∞, -1)C. [0, +∞)D. [1, +∞)8. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点坐标为（）A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 3)D. (2, 2)9. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|，则f(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 310. 若等比数列{bn}的公比为q，且b1 = 2，b2 = 4，则q的值为（）A. 2B. 1/2C. 4D. 1/4二、填空题（每题5分，共50分）11. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an = _______。

12. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x = 0处的导数f'(0) = _______。

广东省2025届高三摸底测试（8月份）数学（答案在最后）注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2log ,1A y y x x ==>，{}2,1x B y y x -==>，则A B = （）A.∅B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,1 D.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知等边三角形ABC 的边长为1，那么BC AC AC AB AB BC ⋅+⋅+⋅=（）A.32B.32-C.12-D.123.已知()1sin cos ,0,π5ααα+=∈，则2cos22sin 1tan2ααα+=-（）A.717-B.247-C.1-D.24.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.若直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（）A.//αβ，//l αB.α与β相交，且交线平行于lC.αβ⊥，l α⊥ D.α与β相交，且交线垂直于l5.移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流.如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，现有一个10人的“群”，其中一人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有（）A.56种B.120种C.84种D.210种6.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x 的图象在点A (1，f (1))处的切线方程为y ＝4x －3，则函数y ＝f (x )的极大值为（）A .1B.527-C.-2527D.－17.已知抛物线2:8C y x =，圆22(2):4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是A.1324M M M M ⋅ B.14FM FM ⋅C.1234M M M M ⋅ D.112FM M M ⋅8.已知函数()f x 是定义域为R 的函数，()()20f x f x ++-=，对任意1x ，[)21,x ∈+∞()12x x <，均有()()210f x f x ->，已知a ，b ()a b ≠为关于x 的方程22230x x t -+-=的两个解，则关于t 的不等式()()()0f a f b f t ++>的解集为（）A.()2,2- B.()2,0- C.()0,1 D.()1,2二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设,A B 两点的坐标分别是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，设直线AM BM ､的斜率分别为12k k ､，下列说法正确的是（）A.当1249k k =-时，点M 的轨迹是椭圆的一部分B.当1249k k =时，点M 的轨迹是双曲线的一部分C.当122k k -=时，点M 的轨迹是抛物线的一部分D.当122k k +=时，点M 的轨迹是椭圆的一部分10.已知函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，令()()()g x f x f x =-'，则下列说法正确的是（）A.π26g ⎛⎫=⎪⎝⎭B.函数()g x 图象的对称轴方程为()11ππ12x k k =+∈Z C.若函数()()2h x g x =+的两个不同零点分别为12,x x ，则12x x -的最小值为π2D.函数()g x 的图象上存在点P ，使得在点P 处的切线斜率为−211.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，()2f z z =就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数()f z 之后，对任意一个复数0z ，通过计算公式()1n n z f z +=，n ∈N 可以得到一列值012,,,,,n z z z z ⋅⋅⋅⋅⋅⋅．如果存在一个正数M ，使得n z M <对任意n ∈N 都成立，则称0z 为()f z 的收敛点；否则，称为()f z 的发散点．则下列选项中是()2f z z =的收敛点的是（）A.2B.i- C.1i- D.13i 22-三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知ABC V 的三个内角分别为,,A B C ，若sin ,sin ,sin A B C 成等差数列，则角B 的取值范围是__________.13.中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E 对应的是正四棱台中间位置的长方体，,,,B D H F 对应四个三棱柱，A C I G ,,,对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为__________.14.袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的数学期望__________．四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知A ，B ，C 为ABC V 的三个内角，向量(22sin ,sin cos )m A A A =-+与(sin cos ,1sin )n A A A =-+ 共线，且0AB AC ⋅> .（1）求角A （2）求函数22sincos 22B C B y -=+的值域.16.如图，已知四边形ABCD 和四边形ABEF 都是边长为1的正方形，且它们所在的平面互相垂直.M N ､两点分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<.（1）当M N ､分别为AC BF ､的中点时，求证：MN ∥平面BCE ；（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值.17.一般地，我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.（1）请用上述定义证明反比例函数1y x=的图象是双曲线；（2）利用所学的知识，指出双曲线(0)ky k x=>的焦点坐标与渐近线方程；（3）我们知道，双曲线(0)ky k x=>上的任意一点到0x =与0y =的距离之积是常数，即xy k =.探讨双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的任意一点是否有类似结论，若有，写出结论并证明；若没有，则说明理由.18.冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数）（1）求这40名学生测试成绩的平均分x 和标准差s ；（2）假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N （μ，2σ），用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ.利用估计值估计，高三学生体能达标预测是否“合格”；（3）为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为23，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.附：①n 个数的方差2211()n i i s x x n ==-∑；②若随机变量Z ～N （μ，2σ），则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9974P Z μσμσ-<<+=.19.对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T ，()2f x x =都不是“T 同比不减函数”；（2）若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围；（3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．广东省2025届高三摸底测试（8月份）数学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2log ,1A y y x x ==>，{}2,1x B y y x -==>，则A B = （）A.∅ B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,1 D.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】{}()2log ,10,A y y x x ==>=+∞ ，{}12,10,2xB y y x -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，因此，10,2A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：D.2.已知等边三角形ABC 的边长为1，那么BC AC AC AB AB BC ⋅+⋅+⋅=（）A.32B.32-C.12-D.12【答案】D 【解析】【分析】利用向量的数量积定义即可求解.【详解】因为等边三角形ABC 的边长为1，所以111cos6011cos6011cos1202BC AC AC AB AB BC ⋅+⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故选：D.3.已知()1sin cos ,0,π5ααα+=∈，则2cos22sin 1tan2ααα+=-（）A.717-B.247-C.1-D.2【答案】A 【解析】【分析】先根据同角三角函数的基本关系，求sin ,cos ,tan ααα的值，再用倍角公式求tan 2α，再利用二倍角的余弦公式化简即可求值.【详解】由1sin cos 5αα+=及()22sin cos 1,0,πααα+=∈，得434sin ,cos ,tan 553ααα==-=-.所以22tan 24tan21tan 7ααα==-，所以222cos22sin cos sin 71tan21tan217αααααα++==---.故选：A4.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.若直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（）A.//αβ，//l αB.α与β相交，且交线平行于lC.αβ⊥，l α⊥D.α与β相交，且交线垂直于l【答案】B 【解析】【分析】假设//αβ得到矛盾，确定α与β相交，设a αβ⋂=，过直线n 一点，作//b m ，设b 与n 确定的平面为γ，根据l γ⊥，a γ⊥得到答案.【详解】若//αβ，则由m ⊥平面α，n ⊥平面β，可得//m n ，这与m ，n 是异面直线矛盾，故α与β相交，A 错误；设a αβ⋂=，过直线n 一点，作//b m ，设b 与n 确定的平面为γ.因为l m ⊥，所以l b ⊥，又l n ⊥，b 与n 相交，,b n γ⊂，所以l γ⊥，因为m α⊥，所以b α⊥，又a α⊂，所以a b ⊥r r，因为n β⊥，所以a β⊂，a n ⊥，又b 与n 相交，,b n γ⊂，所以a γ⊥，又因为l α⊄，l β⊄，所以l 与a 不重合，所以//l a ，B 正确，D 错误；因为//l a ，l α⊄，a α⊂，所以//l α，C 错误.故选：B.5.移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流.如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，现有一个10人的“群”，其中一人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有（）A.56种B.120种C.84种D.210种【答案】C 【解析】【分析】简单的组合问题，直接求解就可以了.【详解】由于“群里”总共10人，其中1人发了信息，3人能看到信息，所以这9人中有3人与发信息的人是好友，所以“好友”关系的可能情况有39C 84=（种）.故选：C6.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x 的图象在点A (1，f (1))处的切线方程为y ＝4x －3，则函数y ＝f (x )的极大值为（）A.1B.527-C.-2527D.－1【答案】A 【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义求得a 的值，再根据导数的正负判断极值点，求得极大值.【详解】由由题意得2()321f x x ax +'=-,故(1)3214f a '=+-=，则1a =，所以2()321f x x x '=+-，令2()3210f x x x '=+-=，则11x =-，213x =，当1x <-或13x >时，()0f x '<；当113x -<<时，()0f x '>，故函数()f x 在1x =-时取得极大值为(1)1111f -=-++=，故选：A.7.已知抛物线2:8C y x =，圆22(2):4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是A.1324M M M M ⋅ B.14FM FM ⋅C.1234M M M M ⋅ D.112FM M M ⋅【答案】C 【解析】【详解】【分析】由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得2222(48)40(0)k x k x k k -++=≠，设111422(,),(,)M x y M x y ，则21212248,4k x x x x k++==．过点14,M M 分别作直线:2l x '=-的垂线，垂足分别为,A B ，则11422,2M F x M F x =+=+．对于A ，13241412(2)(2)(4)(4)M M M M M F M F x x ⋅=++=++12124()16x x x x =+++，不为定值，故A 不正确．对于B ，14121212(2)(2)2()4FM FM x x x x x x ⋅=++=+++，不为定值，故B 不正确．对于C ，12341412(2)(2)4M M M M M F M F x x ⋅=--==，为定值，故C 正确．对于D ，1121111(2)(2)FM M M M F M F x x ⋅=⋅-=+，不为定值，故D 不正确．选C ．点睛：抛物线定义的两种应用：（1）当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M 满足定义，它到准线的距离为d ，则|MF |＝d ，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；（2）利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．8.已知函数()f x 是定义域为R 的函数，()()20f x f x ++-=，对任意1x ，[)21,x ∈+∞()12x x <，均有()()210f x f x ->，已知a ，b ()a b ≠为关于x 的方程22230x x t -+-=的两个解，则关于t 的不等式()()()0f a f b f t ++>的解集为（）A.()2,2- B.()2,0- C.()0,1 D.()1,2【答案】D 【解析】【分析】由题可得函数()f x 关于点()1,0对称，函数()f x 在R 上单调递增，进而可得()()01f t f >=，利用函数的单调性即得.【详解】由()()20f x f x ++-=，得()10f =且函数()f x 关于点()1,0对称．由对任意1x ，[)21,x ∈+∞()12x x <，均有()()210f x f x ->，可知函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．又因为函数()f x 的定义域为R ，所以函数()f x 在R 上单调递增．因为a ，b ()a b ≠为关于x 的方程22230x x t -+-=的两个解，所以()2Δ4430t =-->，解得22t -<<，且2a b +=，即2b a =-．又()()20f x f x ++-=，令x a =-，则()()0f a f b +=，则由()()()0f a f b f t ++>，得()()01f t f >=，所以1t >．综上，t 的取值范围是()1,2.故选：D ．二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设,A B 两点的坐标分别是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，设直线AM BM ､的斜率分别为12k k ､，下列说法正确的是（）A.当1249k k =-时，点M 的轨迹是椭圆的一部分B.当1249k k =时，点M 的轨迹是双曲线的一部分C.当122k k -=时，点M 的轨迹是抛物线的一部分D.当122k k +=时，点M 的轨迹是椭圆的一部分【答案】ABC【解析】【分析】设s ，求出1k 和2k ，每个选项代入公式判断.【详解】设s ，则12,11y y k k x x ==+-，当1249k k =-时，即2241119y y y x x x ⋅==-+--，有()229114y x x +=≠±，故A 正确；当1249k k =时，有()229114y x x -=≠±，故B 正确；当122k k -=时，222111y y y x x x --==+--，即()211y x x =-+≠±，故C 正确；当122k k +=时，222111y y xy x x x +==+--，即()211xy x x =-≠±显然不是椭圆，故D 错误.故选：ABC10.已知函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，令()()()g x f x f x =-'，则下列说法正确的是（）A.π26g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.函数()g x 图象的对称轴方程为()11ππ12x k k =+∈Z C.若函数()()2h x g x =+的两个不同零点分别为12,x x ，则12x x -的最小值为π2D.函数()g x 的图象上存在点P ，使得在点P 处的切线斜率为−2【答案】ACD【解析】【分析】根据图象，先求出函数()f x 的解析式，进一步可求()g x 的解析式，通过函数性质的分析逐项进行判定.【详解】由图象可知2A =，设()f x 的最小正周期为T ，又2πππ3642T ω-==，解得1ω=，由图可得ππ2cos 266f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，即()π2cos 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此()π2sin 6f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭'，所以()πππ2cos 2sin 6612g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.即可得π26g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确；令πππ122x k +=+（)k ∈Z ，解得()5ππ12x k k =+∈Z ，所以函数()g x 图象的对称轴方程为()5ππ12x k k =+∈Z ，故B 错误；令()()20h x g x =+=，即可得()2g x =-，解得()111π2π3x k k =-∈Z ，()2227π2π6x k k =+∈Z 可得()12213π2π2x x k k -=+-，当211k k -=-时，12x x -的最小值为π2，故C 正确；易知()π12g x x ⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭'，因此存在点P ，使得在P 点处的切线斜率为−2，故D 正确.故选：ACD11.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，()2f z z =就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数()f z 之后，对任意一个复数0z ，通过计算公式()1n n z f z +=，n ∈N 可以得到一列值012,,,,,n z z z z ⋅⋅⋅⋅⋅⋅．如果存在一个正数M ，使得n z M <对任意n ∈N 都成立，则称0z 为()f z 的收敛点；否则，称为()f z 的发散点．则下列选项中是()2f z z =的收敛点的是（）A. B.i - C.1i - D.1i 22-【答案】BD【解析】【分析】根据计算公式()21n n n z f z z +==结合收敛点的定义判断即可.【详解】对A ，由21n n z z +=2，4，16…不合题意，故A 错误；对B ，由21n n z z +=可得数列i -，1-，1，1…则存在一个正数2M =，使得n z M <对任意n ∈N 都成立，满足题意，故B 正确；对C ，由21n n z z +=可得数列1i -，2i -，4-，16…不满足题意，故C 错误；对D ，由21n n z z +=可得数列i 11,1,1i 22222222i,----+--…因为11111i 222222i i 22i ----=-=+==-，存在一个正数2M =，使得n z M <对任意n ∈N 都成立，满足题意，故D 正确；故选：BD三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知ABC V 的三个内角分别为,,A B C ，若sin ,sin ,sin A B C 成等差数列，则角B 的取值范围是__________.【答案】π0,3⎛⎤ ⎝⎦【解析】【分析】根据已知条件运用等差数列性质以及正弦定理得到，运用余弦定理和重要不等式即可求解.【详解】由等差中项公式和正弦定理得2sin sin sin 2B A C b a c =+⇔=+，由余弦定理得()()222222224()32cos 288a c a c a c ac a c b B ac ac ac +-++-+-===，()2222326212cos 882a c acac ac a c ac B ac ac +--+≥⇒=≥= ，当且仅当a c =时，等号成立，又∈0,π及cos y x =在0,π内单调递减，故π0,3B ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦13.中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E 对应的是正四棱台中间位置的长方体，,,,B D H F 对应四个三棱柱，A C I G ,,,对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为__________.【答案】28【解析】【分析】令四棱锥的底面边长为a ，高为h ，三棱柱的高为b ，由四个三棱柱的体积之和与四个四棱锥的体积之和，可得23a h =和6abh =，则有2b a =，求出中间长方体的体积，即可得该正四棱台的体积.【详解】如图，令四棱锥的底面边长为a ，高为h ，三棱柱的高为b ，依题意，四棱锥的体积为2113a h =，即23a h =，三棱柱的体积为132ahb =，即6abh =，因此2,b a =于是长方体的体积22412V b h a h ===，所以该正四棱台的体积为1241228++=.故答案为：2814.袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的数学期望__________．【答案】32##1.5【解析】【分析】由古典概型概率计算公式列方程求得黑球个数，从而可根据超几何分布的数学期望公式进行求解.【详解】若黑球数小于2，则至少得到一个白球的概率为1，矛盾，设有()2n n ≥个黑球，则()22101C 711C 909n n n P -=-=-=，解得52n =≥满足题意，由题意白球的个数为X 服从超几何分布，所以随机变量X 的数学期望为()10533102M E X n N -=⋅=⨯=.故答案为：32.四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知A ，B ，C 为ABC V 的三个内角，向量(22sin ,sin cos )m A A A =-+ 与(sin cos ,1sin )n A A A =-+ 共线，且0AB AC ⋅> .（1）求角A（2）求函数22sincos 22B C B y -=+的值域.【答案】（1）π3（2）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标表示可得(22sin )(1sin )(sin cos )(sin cos )A A A A A A -+=+-，进而得23sin 4A =，即可求解π3A =.（2）根据余弦的二倍角公式以及余弦的和差角公式化简得11sin cos 22y B B =+-，然后根据辅助角公式得π1sin 6y B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，进而根据角的范围就可求解值域.【小问1详解】由题意，知(22sin )(1sin )(sin cos )(sin cos )A A A A A A -+=+-，整理，得()22221sin sin cos A A A -=-，即2222sin 2sin 1A A -=-，解得23sin 4A =.已知A 为ABC V 的内角，所以3sin 2A =，由0AB AC ⋅> ，知A 为锐角，所以π3A =.【小问2详解】由（1）及题意知2π3B C +=，所以2ππ312sin cos 1cos cos 1sin cos 23322B y B B B B B ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1sin 6B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭又2π03B <<，所以πππ<662B -<-，所以1πsin 126B ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，因此122y <<，故函数22sin cos 22B C B y -=+的值域为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.16.如图，已知四边形ABCD 和四边形ABEF 都是边长为1的正方形，且它们所在的平面互相垂直.M N ､两点分别在正方形对角线AC 和BF上移动，且(0CM BN a a ==<<.（1）当M N ､分别为AC BF ､的中点时，求证：MN ∥平面BCE ；（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）先证线线平行，推出线面平行.（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的方法解决问题.【小问1详解】如图：连接,CE AE ，M N ､分别为AC AE ､的中点，MN ∴∥CE ，又MN ⊄平面,BCE CE ⊂平面BCE .//MN ∴平面BCE .【小问2详解】因为四边形ABCD 是正方形，所以BA BC ⊥;又四边形ABEF 是正方形，所以BA BE ⊥，又平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，所以BE ⊥平面ABCD .BA ，⊂BC 平面ABCD ，所以BA BE BC ､､所在直线两两垂直.故可以B 为坐标原点，BA BE BC ､､所在直线分别为x 轴､y 轴､z轴建立空间直角坐标系.则()0,0,0B ,()22221,0,0,,0,1,,,02222A M a a N a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.0,,122MN a a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭，MN ∴=.2a ∴=时，min ||2MN = .当M N ､分别为AC BF ､的中点时，MN 的长最小，所以1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.取MN 的中点G ，连接AG BG ､，则111,,244G ⎛⎫ ⎪⎝⎭.,,AM AN BM BN G == 为MN 的中点，,AG MN BG MN ∴⊥⊥，即AGB ∠是平面MNA 与平面MNB 所成二面角.设平面MNA 与平面MNB 的夹角为α.111111,,,,,244244GA GB ⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.1cos 3GA GB GA GB α⋅∴== .∴所求夹角的余弦值为13.17.一般地，我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.（1）请用上述定义证明反比例函数1y x =的图象是双曲线；（2）利用所学的知识，指出双曲线(0)k y k x=>的焦点坐标与渐近线方程；（3）我们知道，双曲线(0)k y k x =>上的任意一点到0x =与0y =的距离之积是常数，即xy k =.探讨双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的任意一点是否有类似结论，若有，写出结论并证明；若没有，则说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）焦点：(12,F F ；准线：0x =和0y =（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义判定函数1y x =的图象是双曲线.（2）根据双曲线的对称轴平分双曲线的渐近线求焦点坐标.（3）采用类比的方法猜测结论，再结合点到直线的距离公式证明.【小问1详解】证明：观察图象可知若函数1y x =的图象是双曲线，则它一定是等轴双曲线，且x 轴､y 轴是1y x =图象的渐近线，直线y x =是双曲线的对称轴，它与双曲线1y x=的两个交点()()121,1,1,1A A --是双曲线的两个顶点，实轴长2a =.两焦点坐标为(12,F F .设点s 在函数1y x =的图象上，则1y x =，即1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，（i ）当0x >时，12x x+≥，所以12PF PF -=112x x x x ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（ii ）当0x <时，从而12x x+≤-，同理，有21PF PF -=.因此，无论点s 在第一象限或者在第三象限，均有||12PF PF -=（小于12F F ）.综上，函数1y x=的图象是双曲线.【小问2详解】函数(0)k y k x =>的图象是以(12,F F 为两焦点，实轴长2a =的双曲线，两渐近线方程分别为0x =和0y =.【小问3详解】因为0x =与0y =是双曲线(0)k y k x=>的两条渐近线，有xy k =.类似地：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的任意一点到它的两条渐近线的距离之积是常数.证明：设()11,D x y 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点，则有22222211b x a y a b -=.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=.于是点D=222222112222b x a y a b a b a b -=++，结论成立.18.冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数）（1）求这40名学生测试成绩的平均分x 和标准差s ；（2）假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N （μ，2σ），用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ.利用估计值估计，高三学生体能达标预测是否“合格”；（3）为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为23，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.附：①n 个数的方差2211()n i i s x x n ==-∑；②若随机变量Z ～N （μ，2σ），则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9974P Z μσμσ-<<+=.【答案】（1）74x =，7s ≈；（2）合格；（3）225.【解析】【分析】（1）根据平均数、方差、标准差的计算公式进行求解即可；（2）根据题中所给的公式进行求解即可；（3）根据独立事件和条件概率的公式进行求解即可.【小问1详解】702480167440x ⨯+⨯==，第一组学生的方差为()2222221122412470424s x x x ⎡⎤=++⋅⋅⋅+-⨯=⎣⎦；解得()22221224241670x x x ++⋅⋅⋅+=+；第二组学生的方差为()222222225264011680616s x x x ⎡⎤=++⋅⋅⋅+-⨯=⎣⎦；解得()2222252630163680x x x ++⋅⋅⋅+=+.这40名学生的方差为()()22222222122425264014040s x x x x x x x ⎡⎤=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-⎣⎦()()222124167016368040744840⎡⎤=+++-⨯=⎣⎦，所以7s =≈；【小问2详解】由74x =，7s ≈，得μ的估计值74μ=，σ的估计值7σ=.()()2260880.9544P X P X μσμσ-<<+=<<=，∴()()10.954460880.02282P X P X -<=≥==.从而高三年级1000名学生中，不合格的有10000.022823⨯≈（人），又23505%10001000<=，所以高三年级学生体能达标为“合格”；【小问3详解】设王强在这轮比赛得3分为事件A ，他以4:2的比分获胜为事件1A ，他以4:3的比分获胜为事件2A .则()3231562121603333P A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3332672123203333P A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；所以()()127800()3P A P A P A =+=，设王强前3局比赛获胜的事件为B ，则()32337212212643333333P AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()64280025P AB P B A P A ===∣.19.对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T ，()2f x x =都不是“T 同比不减函数”；（2）若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围；（3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）22k π≥（3）存在，4T ≥【解析】【分析】（1）取特殊值使得()()f x f x T ≤+不成立，即可证明；（2）根据“T 同比不减函数”的定义，sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，分离参数k ，构造函数，转化为k 与函数的最值关系，即可求出结果；（3）去绝对值化简函数()f x 解析式，根据“T 同比不减函数”的定义，取1x =-，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立，求出T 的范围，然后证明对任意的x R ∈，()()f x T f x +≥恒成立，即可求出结论.【详解】证明：（1）任取正常数T ，存在0x T =-，所以00x T +=，因为()()()()2000f x f T T f f x T =-=>=+，即()()f x f x T ≤+不恒成立，所以()2f x x =不是“T 同比不减函数”.（2）因为函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，所以()2f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，即sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，()2sin cos 4x x x k πππ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≥=对一切x R ∈成立.所以max4x k πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪≥= ⎪ ⎪⎝⎭.（3）设函数()11f x x x x =+--+是“T 同比不减函数”，()()()()211121x x f x x x x x ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩，当1x =-时，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立，所以13T -+≥，所以4T ≥，而另一方面，若4T ≥，（Ⅰ）当(],1x ∈-∞-时，()()()112f x T f x x T x T x T x +-=+++--++-+112T x T x T =++--++-因为()()1111x T x T x T x T +--++≥-+--++2=-，所以()()220f x T f x T +-≥--≥，所以有()()f x T f x +≥成立.（Ⅱ）当∈−1,+∞时，()()()211f x T f x x T x x x +-=+--+--+211T x x =---++因为()()11112x x x x +--≥-+--=-，所以()()220f x T f x T +-≥--≥，即()()f x T f x +≥成立.综上，恒有有()()f x T f x +≥成立，所以T 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.。

2025届高三秋季开学摸底考试（三）数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22,,60A yy x x B x x x ==∈=-≤Z ∣∣，则A B = （）A.{}0,1,4 B.{}1,2,3 C.{}3,4,5 D.{}0,3,62.已知向量()()2,1,,1a b t ==，若a b b ⋅= ，则t =（）A.12-B.0C.12D.13.已知π,(0,)2αβ∈，且cossin22tan cos sin 22ββαββ+=-，则2αβ-=（）A.π8 B.π4 C.π2D.π4.图中的花盆可视作两个圆台的组合体，其上半部分的圆台上､下底面直径分别为30cm 和26cm，下半部分的圆台上､下底面直径分别为24cm 和18cm，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角均相等，若上半部分的圆台的高为8cm，则该花盆的总高度为（）A.16cmB.18cmC.20cmD.24cm 5.“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知过点()2,0C 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，且2,AC CB O = 为坐标原点，则AOB V 的面积为（）A.2B.4C.6D.87.已知等差数列{}n a 中，1343,5a a a =+=.记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，则数列{}n b 的前2024项和为（）A.4965B.4964C.1893D.18928.已知三棱锥A BCD -中，AC =其余各棱长均为2,P 是三棱锥A BCD -外接球的球面上的动点，则点P 到平面BCD 的距离的最大值为（）A.6B.3 C.16+ D.13二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.2023年我国居民消费价格月度涨跌幅度的数据如图所示，对于这组数据，下列说法正确的是（）A.极差为2.6B.平均数约为0.24C.中位数为0D.众数只有0.3-和010.已知函数()()()*sin ,0πf x x ωϕωϕ=+∈<<N 的图象关于直线5π12x =对称，最小正周期2π,2π3T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则（）A.()2πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()2πcos 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.()g x 在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增11.已知函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞ ，若()()()()()f x f y f x f y f xy +-=，且()f x 在()0,∞+上单调递增，()11f -<，则（）A.()10f = B.()10f -= C.()f x 是奇函数D.()0,1x f x ∀≠<三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数z 满足2(2)4z +=-，则z =__________.13.设991002m =⨯，则m 被7除的余数为__________.14.已知P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上任意一点，(0,)A ，若3PA b ≥恒成立，则C 的离心率的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在ABC V 中，D 为边BC 上一点，且12,3CD AD AC ADC ∠===.（1）求CD ；（2）若sin 3B =，求BD .16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为(1,0)F -，过点F 且不与x 轴重合的动直线与C 交于,P Q 两点，且当PQ x ⊥轴时，3PQ =.（1）求C 的方程；（2）若()()2,0,3,0D R --，直线,DP DQ 分别与直线3x =-交于点,M N ，证明：MR NR ⋅为定值.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 为等边三角形，平面11A ACC ⊥平面ABC ，四边形11A ACC 为菱形，160,2,A AC AB F ∠==为1BB的中点.（1）证明：1AC ⊥平面1A CF ；（2）求直线FC 与平面11A FC 所成角的正弦值.18.已知函数()e x f x ax b =+的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为2e e y x =-.（1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若关于x 的方程()(ln )f x x x m -+=有两个正根1212,()x x x x <，证明：12)()(23f x f x +>.19.在一个不透明的口袋中装有2个黑球和2个白球，每次从口袋中随机取出1个球，再往口袋中放入1个白球，取出的球不放回，像这样取出1个球再放入1个白球称为1次操作，重复操作至口袋中4个球均为白球后结束.假设所有球的大小､材质均相同，记事件“n 次操作后结束”为n A ，事件n A 发生的概率为n p .（1）求第1次操作取出黑球且3次操作后结束的概率；（2）求数列{}n p 的通项公式；（3）设1nn kk E kp==∑，证明：6n E <.2025届高三秋季开学摸底考试（三）数学试题答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22,,60A yy x x B x x x ==∈=-≤Z ∣∣，则A B = （）A.{}0,1,4 B.{}1,2,3 C.{}3,4,5 D.{}0,3,6【答案】A【分析】根据一元二次不等式解法求得集合B ，再根据集合的描述法表示即可求得A B ⋂.【详解】解不等式260x x -≤可得{}|06B x x =≤≤；又{}2,A yy x x ==∈Z ∣可知集合A 是所有整数的平方构成的集合，在区间[]0,6范围内只有0,1,4是整数的平方，因此可得{}0,1,4A B = .2.已知向量()()2,1,,1a b t ==，若a b b ⋅= ，则t =（）A.12-B.0C.12D.1【答案】B【分析】根据向量数量积的坐标表示以及模长公式解方程即可求得结果.【详解】由()()2,1,,1a b t == 可得21a b t ⋅=+，且b = ，所以210t +=>，解得0t =.3.已知π,(0,)2αβ∈，且cossin22tan cos sin 22ββαββ+=-，则2αβ-=（）A.π8 B.π4 C.π2D.π【答案】C【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式，结合正切函数的单调性求解即得.【详解】由π(0,2β∈，得cos 02β>，由cossin 22tan cos sin22ββαββ+=-，得1tanπ2tan tan()421tan 2ββαβ+==+-，而ππ(0,(0,)224βα∈∈，则πππ(,4242β+∈，因此π42βα=+，所以π22αβ-=.4.图中的花盆可视作两个圆台的组合体，其上半部分的圆台上､下底面直径分别为30cm 和26cm，下半部分的圆台上､下底面直径分别为24cm 和18cm，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角均相等，若上半部分的圆台的高为8cm，则该花盆的总高度为（）A.16cmB.18cmC.20cmD.24cm【答案】C【分析】利用组合体的轴截面以及三角形相似即可得出该花盆的总高度.【详解】截取组合体的轴截面，作,AB BC ED EF ⊥⊥，如下图所示：易知302622BC -==，AB 即为上半部分的圆台的高，所以8AB =，又因为两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角均相等，所以ABC DEF :△△；可得BC EFAB DE=，易知241832EF -==，所以83122AB EF DE BC ⋅⨯===.因此该花盆的总高度为()128cm 20cm +=.5.“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据对数函数和一次函数的单调性，再结合复合函数“同增异减”的判断法则求得对应的a 的取值范围即可得出结论.【详解】易知()()log 2a f x a x =-的定义域为(),2a -∞，且函数2y a x =-为单调递减函数；根据复合函数单调性可知若函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增，可得0121a a <<⎧⎨≥⎩，解得112a ≤<；显然112a a ⎧⎫|≤<⎨⎬⎩⎭是{}|01a a <<的真子集，所以“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的必要不充分条件.6.已知过点()2,0C 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，且2,AC CB O = 为坐标原点，则AOB V 的面积为（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【分析】根据给定条件，设出直线AB 方程，与抛物线方程联立求出点,A B 的纵坐标差即可得解.【详解】显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 方程为2x ty =+，1122()A x y B x y ,,(,)，由224x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2480y ty --=，则12124,8y y t y y +==-，由2AC CB =，得122y y =-，解得1224y y =-=或1224y y =-=-，则12||6y y -=，所以AOB V 的面积为121||||62S OC y y =⋅-=.7.已知等差数列{}n a 中，1343,5a a a =+=.记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，则数列{}n b 的前2024项和为（）A.4965 B.4964C.1893D.1892【答案】A【分析】求出等差数列{}n a 的通项公式，再分析数列{}n b 的各项取值，求其前2024项和.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则123a d +=，1235a d +=，解得11a d ==，则n a n =，于是[][]lg lg n n b a n ==，当19n ≤≤时，0n b =；当1099n ≤≤时，1n b =；当100999n ≤≤时，2n b =；当10002024n ≤≤时，3n b =，所以数列{}n b 的前2024项和为09190290031025=4965⨯+⨯+⨯+⨯.8.已知三棱锥A BCD -中，AC =其余各棱长均为2,P 是三棱锥A BCD -外接球的球面上的动点，则点P 到平面BCD 的距离的最大值为（）A.6B.3 C.16+ D.13【答案】D【分析】先给出鳄鱼模型公式的证明，然后利用其求出外接球半径，再结合球的截面性质求解即可.【详解】首先，我们来证明求解外接球半径的鳄鱼模型，我们给定三棱锥P ABC -，设12,O O 分别是,ABP ABC 的外心，设外接球球心为O ，M 是AB 的中点，作1O M AB ⊥，2O M AB ⊥，所以12O MO ∠是二面角P AB C --的平面角，设12O MO α∠=，设12,O M m O M n ==，AB l =，作1OO ⊥面PAB ，2OO ⊥面ABC ，在四边形12OO MO 中，可得12π2OO M OO M ∠=∠=，所以12,,,O O M O 四点共圆，且设四边形12OO MO 的半径为r ，所以2OM r =，连接12,O O OM ，由正弦定理得122sin O O r α=，设12O O c =，故sin cOM α=，而在12MO O △中，由余弦定理得2222cos c m n mn α=+-，连接OA ，所以OA OB =，由三线合一性质得OM AB ⊥，因为M 是AB 的中点，所以2l BM =，设OA OB R ==，由勾股定理得2222sin 4c l R α=+，所以222222cos sin 4m n mn l R αα+-=+，即鳄鱼模型得证，而在本题中，对于三棱锥A BCD -，AB l =，找ABD △中心为1O ，BCD △中心为2O ，找BD 中点为M ，作AM BD ⊥，CM BD ⊥，所以12O MO ∠是二面角A BD C --的平面角，设12O MO α∠=，因为AC =，三棱锥其余各棱长均为2，所以2AB =，由勾股定理得AM CM AC ===ACM △是等边三角形，所以12π3O MO ∠=，设133O M m ==，233O M n ==，代入公式中得21111241333323494R +-⨯⨯=+=，所以133R =，设外接球的球心为O ，而三棱锥其余各棱长均为2，故BCD △是等边三角形，由正弦定理得BCD △12332=，设球心到面BCD 的距离为d ，所以2222313()33d +=)，解得13d =，所以点P 到平面BCD 的距离的最大值为1133+，故D 正确.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是证明鳄鱼模型的正确性，然后利用其求解外接球半径，再利用球的截面性质得到所要求的最值即可．二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.2023年我国居民消费价格月度涨跌幅度的数据如图所示，对于这组数据，下列说法正确的是（）A.极差为2.6B.平均数约为0.24C.中位数为0D.众数只有0.3-和0【答案】AB【分析】利用平均数，中位数，众数，极差的定义逐个选项分析即可.【详解】首先，我们把数据从小到大排列，得到0.5,0.3,0.3,0.2,0.0,0.0,0.1,0.1,0.2,0.7,1.0,2.1----，所以极差为2.10.5 2.6-(-)=，故A 正确，平均数为0.00.00.10.10.20.7 1.0 2.10.20.30.30.50.2412+++++++----≈，故B 正确，中位数为0.00.10.052+=，故C 错误，众数有0.3-，0.0，0.1，故D 错误.10.已知函数()()()*sin ,0πf x x ωϕωϕ=+∈<<N 的图象关于直线5π12x =对称，最小正周期2π,2π3T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则（）A.()2πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()2πcos 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.()g x 在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】ACD【分析】根据正弦函数图象的对称轴和周期的取值范围可求得函数()f x 的解析式，利用平移规则以及诱导公式可得出()g x 表达式，再根据余弦函数单调性可求得其值域，利用整体代换可求得()g x 的单调递增区间.【详解】依题意由2π,2π3T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得2π2π2π3ω<<，解得13ω<<，又*ω∈N 可知2ω=；将5π12x =代入可得5ππ2π,Z 122k k ϕ++⨯∈=，又因为0πϕ<<可得2π3ϕ=;因此可得()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即A 正确；对于B,将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，得到函数()π2π5ππππsin 2sin 2sin 2cos 21236323g x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此B 错误；对于C，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时可得ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据余弦函数性质可得π1cos 21,32x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，可得C 正确；对于D，令Z ππ2π22π,3k x k k -+≤+≤∈，解得2ππππ,Z 36k x k k ≤--+≤+∈；易知当0k =时，可得()g x 在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，即D 正确.11.已知函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞ ，若()()()()()f x f y f x f y f xy +-=，且()f x 在()0,∞+上单调递增，()11f -<，则（）A.()10f =B.()10f -=C.()f x 是奇函数D.()0,1x f x ∀≠<【答案】ABD【分析】根据给定条件，结合赋值法计算判断ABC；结合选项C 的结论，分段探讨()f x 的取值情况判断D.【详解】对于A，令0,1x y >=，得()(1)()(1)()f x f f x f f x +-=，则(1)[1()]0f f x -=，由()f x 在(0,)+∞上单调递增，得()f x 不恒为1，因此(1)0f =，A 正确；对于B，令1x y ==-，得(1)(1)(1)(1)(1)f f f f f -+----=，则(1)[2(1)]0f f ---=，而)(11f -<，因此(1)0f -=，B 正确；对于C，(,0)(0,)x ∀∈-∞+∞ ，取1y =-，则()(1)()(1)()f x f f x f f x +---=-，即有()()f x f x =-，因此函数()f x 是偶函数，又1x >时，()(1)0f x f >=，则函数()f x 不是奇函数，C 错误；对于D，(,0)(0,)x ∀∈-∞+∞ ，令1y x =，则11()()()()(1)0f x f f x f f x x+-==，当01x <<时，()(1)0f x f <=；当1x >时，101x <<，1()0f x <，1()1()1111()1()1f x f x f f x x==+<--，因此(0,),()1x f x ∀∈+∞<，当(,0)x ∈-∞时，(0,)x -∈+∞，()()1f x f x =-<，所以0,()1x f x ∀≠<，D 正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数z 满足2(2)4z +=-，则z =__________.【答案】【分析】求出方程的复数根，再利用复数模的意义计算即得.【详解】由2(2)4z +=-，得22i z =-±，所以||z ==.13.设991002m =⨯，则m 被7除的余数为__________.【答案】2【分析】依题意可将m 改写成()3310071⨯+的形式，再由二项展开式可得m 被7除的余数为2.【详解】易知()()99333333310021002100810071m ===⨯⨯⨯⨯+=，根据二项式定理展开可得()33033013213213233033333333337C 71C 71C 71C 711=++⋅⋅⋅+++；所以()03301321321323303333333933931100C 71C 71C 71C 02107=⨯++⨯+⋅⋅⋅+()0330132132132333333100C 71C 71C 71100=⨯++⋅⋅⋅++，即可得m 被7除的余数与100被7除的余数相同，所以1007142÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以m 被7除的余数为2.14.已知P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上任意一点，(0,)A ，若3PA b ≥恒成立，则C 的离心率的最大值为__________.【答案】3【分析】根据给定条件，求出2||PA 的最小值并建立不等式，求解不等式即可得解.【详解】设00(,)P x y ，双曲线C 的半焦距为c ，离心率为e ，则2222002a x y a b=+，于是2222222200002||()8a PA x y y a y b b=+-=++-+223422222200022222287()7c c b y c b y c b b b c c =-++=--+422287b c b c ≥-++，当且仅当30222b y c=时取等号，依题意，42222879b c b b c-++≥，整理得2222(2)(4)0c b c b +-≥，解得224c b ≥，即2224()c c a ≥-，解得3c a ≤，因此13c a <≤，即13e <≤所以C 的离心率的最大值为233.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在ABC V 中，D 为边BC上一点，且12,3CD AD AC ADC ∠===.（1）求CD ；（2）若sin 3B =，求BD .【答案】（1）6；（2）3.【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理列式解方程即得.（2）由（1）的信息，利用正弦定理、余弦定理求解即得.【小问1详解】设AD x =，则2CD x =，由余弦定理可得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，即222133443x x x =+-⨯，得3x =，所以26CD x ==.【小问2详解】由1cos 3ADC ∠=，得1cos 3ADB ∠=-，则22sin 3ADB ∠=.由正弦定可得sin sin AB ADADB B=∠，解得223sin 3sin AD ADB AB B ∠⨯===.由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB ∠=+-⨯，即22150BD BD +-=，而0BD >，所以3BD =.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为(1,0)F -，过点F 且不与x 轴重合的动直线与C 交于,P Q 两点，且当PQ x ⊥轴时，3PQ =.（1）求C 的方程；（2）若()()2,0,3,0D R --，直线,DP DQ 分别与直线3x =-交于点,M N ，证明：MR NR ⋅为定值.【分析】（1）根据给定条件，列出关于,a b 的方程组求解即得.（2）设出直线PQ 的方程，与C 的方程联立，结合韦达定理求出MR NR ⋅的值即可.【小问1详解】由焦点()1,0F -，得221a b -=，由222211x x yab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得||y a =，则23a=，联立解得224,3a b ==，所以C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】依题意，直线PQ 不垂直于y 轴，设直线PQ 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =-，由2213412x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得22(34)690t y ty +--=，则21212269,4433t y y t y t y -+==++，直线DP 的方程为11(2)2y y x x =++，令3x =-，得点M 的纵坐标111121M y y y x ty --==++，同理得点N 的纵坐标221N y y ty -=+，所以12122121212||||||||||(1)(1)()1M N y y y y MR NR y y ty ty t y y t y y ⋅===+++++2222222299934||96|9634413434t t t t t t t t -+===-+++-++++∣，为定值.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 为等边三角形，平面11A ACC ⊥平面ABC ，四边形11A ACC 为菱形，160,2,A AC AB F ∠==为1BB 的中点.（1）证明：1AC ⊥平面1A CF ；（2）求直线FC 与平面11A FC 所成角的正弦值.【分析】（1）取AC 的中点E ，利用面面垂直的性质，线面垂直的性质、判定推理即得.（2）以点E 为原点建立空间直角坐标系，求出平面11A FC 的法向量，利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】设11AC AC O ⋂=，取AC 的中点E ，连接,,OE OF BE ，则//OE 111,2A A OE A A =，又//BF 111,2A A BF A A =，则//BF ,OE BF OE =，四边形EOFB 为平行四边形，于是//EB OF ，平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面,ABC AC BE AC =⊥，则BE ⊥平面11A ACC ，所以FO ⊥平面11A ACC ，而1A C ⊂平面11A ACC ，因此1FO AC ⊥，由四边形11A ACC 为菱形，得11AC A C ⊥，又11,,FO A C O FO A C =⊂ 平面1A CF ，所以1AC ⊥平面1A CF .【小问2详解】依题意，1A AC △为等边三角形，连接1A E ，1A E AC ⊥，平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，1A E ⊂平面11A ACC ，则1A E ⊥平面ABC ，以点E 为原点，1,,EB EC EA的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，则1113(0,1,0),3),(0,2,3),3,)22C A C F ，1111313(0,2,0),3,,),(3,,)2222A C A F FC ==-=- ，设平面11A FC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11113302220A F n x y z AC ny ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，取1x =，得(1,0,2)n =，设直线FC 与平面11A FC 所成的角为θ，则|2315sin |cos ,|5||||2|5FC n FC n FC n θ⋅=〈〉==⨯，所以直线FC 与平面11A FC 所成角的正弦值为155.18.已知函数()e x f x ax b =+的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为2e e y x =-.（1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若关于x 的方程()(ln )f x x x m -+=有两个正根1212,()x x x x <，证明：12)()(23f x f x +>.【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义及给定切线求出,a b .（2）由（1），利用导数求出函数()f x 的单调区间即可.（3）方程()(ln )f x x x m -+=变形为()ln ()f x f x m -=，利用方程根的意义换元构造函数，利用导数推理证明不等式.【小问1详解】函数()e x f x ax b =+，求导得()(1)e x f x a x '=+，由()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为2e e y x =-，得(1)2e 2e(1)e e f a f a b ==⎧⎨=+='⎩，所以1,0a b ==.【小问2详解】由（1）知()e ,()(1)e x x f x x f x x '==+，由()0f x '>，得1x >-，由()0f x '<，得1x <-，所以()f x 在(,1)∞--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增.【小问3详解】由e (ln )x x x x m -+=，得()ln ()f x f x m -=，令1122(),()t f x t f x ==，依题意，1122ln ln t t mt t m-=⎧⎨-=⎩，则2211ln t t t t =-，设21t u t =，由（2）知()f x 在(0,)+∞上单调递增，则210t t >>，1u >，由212211ln t u t t t t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得12ln 1ln 1u t u u u t u ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，于是1212(21)ln (221)()u u f x f x t t u ++=+=-，要证当1u >时，(21)ln 31u uu +>-，即证(21)ln 3(1)0u u u +-->，令()(21)ln 3(1),1h u u u u u =+-->，求导得1()2ln 1h u u u=+-'，令1()2ln 1,1p u u u u =+->，求导得221()0u p u u -=>'，函数()p u ，即()h u '在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h u h ''>=，函数()h u 在(1,)+∞上单调递增，则当1u >时，()(1)0h u h >=，即(21)ln 31u uu +>-成立，所以12)()(23f x f x +>.19.在一个不透明的口袋中装有2个黑球和2个白球，每次从口袋中随机取出1个球，再往口袋中放入1个白球，取出的球不放回，像这样取出1个球再放入1个白球称为1次操作，重复操作至口袋中4个球均为白球后结束.假设所有球的大小､材质均相同，记事件“n 次操作后结束”为n A ，事件n A 发生的概率为n p .（1）求第1次操作取出黑球且3次操作后结束的概率；（2）求数列{}n p 的通项公式；（3）设1nn kk E kp==∑，证明：6n E <.【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式计算即得.（2）利用互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率公式列式，再利用等比数列前n 项和公式求解即得.（3）由给定条件，利用错位相减法求和，再结合数列单调性及不等式性质推理即得.【小问1详解】用i B 表示第i 次操作取出黑球，i W 表示第i 次操作取出白球，131231313()()24432P B A P BW B ==⨯⨯=.【小问2详解】依题意，121110,248p p ==⨯=，当3n ≥时，若n 次操作后结束，则前()1n -次操作中，有一次取出黑球，其余()2n -次均取出白球，则1231123112311231()()()()n n n n n n n n n p P BW W W B P W B W W B P WW B W B P WW W B B ----=++++ 223342113113113113111()()()()()()()24424424424424n n n n n -----=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯ 12311131()1331132[()()1][()1]322222212n n n n n n n ----++-=⨯+++=⨯=⨯-- ，经检验，12,p p 均满足该式，所以113[()1]22n n n p -=⨯-.【小问3详解】由（2）知111]13131[()1][()()22242n n n n n p ---=⨯-=⨯-，则1111131[(()]242nn k k n k k E k k --===⨯-∑∑.设101211()123,01nk n k S q kqq q q n q q --===⨯+⨯+⨯++⨯<<∑ ，则()123123nqS q q q q n q =⨯+⨯+⨯++⨯ ，从而()01211111()(111n n nn n q q S q q q q qn q n q n q q q q---=++++-⨯=-⨯=-+⨯--- ，因此211()()(1)11nq S q n q q q=-+⨯---，则11113311()16(416)(),()4(24)()4422nn k n k nk k k n k n --===-+⨯=-+⨯∑∑，于是()()31628()2()42nnn E n n =-+⨯++⨯，而312820,()()042nnn n +>+>>>，所以6n E <.。

吉林省东北师范大学附属中学2025届高三上学期第二次摸底考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A ={x ∈N|−2<x⩽1}，B ={x |lg (x +2)<1}，则A ∩B =( )A. {−1,0,1}B. {0,1}C. {−1,1}D. {−1}2.已知y =f′(x )是y =f (x )的导函数，则“f′(x 0)=0”是“x 0是函数y =f (x )的一个极值点”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数f (x )={0,x =0x−sin x ln |x|,x ≠0的图象大致为( )A. B.C. D.4.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳的排放量达到峰值a(亿吨)后开始下降，其二氧化碳的排放量S(亿吨)与时间t(年)满足函数关系式S =ab t ，若经过5年，二氧化碳的排放量为4a5(亿吨).已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为a4(亿吨)，则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？(参考数据：lg2≈0.3)( )A. 28B. 29C. 30D. 315.已知α∈(π2,π)，且3cos 2α−sin α=2，则( )A. cos(π−α)=23 B. tan(π−α)=24 C. sin (π2−α)=53 D. cos (π2−α)=546.已知向量a=(1,0),b=(1,23)，则向量a+b在向量a上的投影向量为( )A. (2,23)B. 2C. aD. 2a7.已知定义在R上的可导函数f(x)，对∀x∈R，都有f(−x)=e2x f(x)，当x>0时f(x)+f′(x)<0，若e2a−1f(2a−1)≤e a+1f(a+1)，则实数a的取值范围是( )A. [0,2]B. (−∞,−1]∪[2,+∞)C. (−∞,0]∪[2,+∞)D. [−1,2]8.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,▵ABC的面积为S，则Sa2+4bc的最大值为( )A. 216B. 28C. 91516D. 91532二、多选题：本题共3小题，共18分。

广西钦州市2025届高三上学期10月摸底考试数学试卷一、单选题1．若集合{}2A x x =>，{}23B y y =<<，则（）A ．AB =∅ B ．A B A= C ．A B B= D ．A B A= 2．曲线3113y x =+在点()3,8--处的切线斜率为（）A ．9B ．5C ．8-D ．103．若向量()2,5AB = ，(),1AC m m =+，且A ，B ，C 三点共线，则m =（）A ．23-B ．23C ．32-D ．324．在四棱锥P ABCD -中，“//BC AD ”是“//BC 平面PAD ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．π4π3π3πcos isin cos isin 551010⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．1B ．iC ．1-D ．i-6．已知双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 右支上一点，O 为坐标原点，Q 为线段1PF 的中点，T 为线段1QF 上一点，且QT OQ =，则1FT =（）A ．3BC ．4D ．57．定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()202f x x ≤-的解集为（）A ．)13⎛⎤-+ ⎥⎝⎦ ∞B ．(11,,033⎡⎫⎡⎫--⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ ∞C ．{})103⎛⎤-+ ⎥⎝⎦ ∞D ．(11,,033⎡⎤⎡⎫--⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭∞8．若数列{}n a 、{}n b 满足121a a ==，11+=-+n n b a n ，13+=-+n n b a n ，则数列{}n n a b +的前50项和为（）A ．2500B ．2525C ．2550D ．3000二、多选题9．广西壮族自治区有7个市区的面积大于1.3万平有千米，这7个市区为南宁市（22100平方千米）、柳州市（18596平方千米），桂林市（27800平方千米），百色市（36300平方千米），河池市（33500平方千米），来宾市（13411平方千米），崇左市（17332平方千米），这7个市区的面积构成一组数据，则（）A ．这组数据的极差为22889平方千米B ．这组数据的中位数对应的市区为桂林市C ．这组数据的第40百分位数对应的市区为柳州市D ．这组数据中，大于1.8万平方千米的频率为5710．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为π2π3π3-⨯=.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB =）A ．在四面体1ABCD 中，点A 的曲率为11π12B ．在四面体1ABCD 中，点1D 的曲率大于7π6C ．四面体1ABCD 外接球的表面积为12πD ．四面体1ABCD 11．已知函数()sin2cos4f x x x =+，则（）A ．()f x 的最大值为54B ．()f x 的最小正周期为π2C ．曲线()y f x =关于直线()πZ 4k x k =∈轴对称D ．当[]0,πx ∈时，函数()()1617g x f x =-有9个零点三、填空题12．11lglg 25+=.13．()6()x y x y +-的展开式中，各项系数之和为，43x y 项的系数为.14．两条都与y 轴平行的直线之间的距离为6，它们与抛物线24y x =和圆()2244x y ++=分别交于点A ，B 和C ，D ，则AB CD ⋅的最大值为.四、解答题15．在ABC V 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且222a b ab c +=+，sin sin =bc A C .(1)求C ；(2)求c 的最小值.16．在六面体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，1111//////AA BB CC DD ，且底面ABCD 为菱形.(1)证明：BD ⊥平面12ACC A .(2)若1172==AA CC ，60BAD ∠= ，12AB BB ==.求平面1111D C B A 与平面ABCD 所成二面角的正弦值.17．已知函数1()ln f x ax x a=-+.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在最大值，且最大值小于0，求a 的取值范围.18．甲、乙两个口袋都装有3个小球（1个黑球和2个白球）.现从甲、乙口袋中各取1个小球交换放入另外一个口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），交换小球n 次后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为n p ，恰有1个黑球的概率为n q .(1)求1p ，1q ；(2)求2p ，2q ；(3)求数列{}n q 的通项公式，并证明131520ni i q =-<∑.19．若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”.(1)证明：椭圆224122554y x +=为“质朴椭圆”.(2)是否存在实数m ，使得椭圆()22103636x ym m+=<<为“质朴椭圆”？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由.(3)设斜率为2的直线l 经过椭圆()222:1039x y C b b+=<<的右焦点，且与C 交于A ，B 两点，6011AB =，试问C 是否为“质朴椭圆”，说明你的理由.。

高三数学试题（答案在最后）第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足()1i 2z +=，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算计算得到1i z =-，即可判断.【详解】由()1i 2z +=可得，22(1i)1i 1i 2z -===-+，即复数z 在复平面内对应的点为(1,1)Z -在第四象限.故选：D.2.在ABC V 中，2,CD DB AE ED == ，则CE =（）A.1163AB AC -B.1263AB AC -C.1536AB AC -D.1133AB AC -【答案】C 【解析】【分析】结合图形，利用向量的加减数乘运算，将待求向量用基向量AB 和AC表示即得.【详解】如图所示，由题意，1112()2223CE CA CD AC CB=+=-+⨯1115()2336AC AB AC AB AC =-+-=-.故选：C.3.已知直线y ax =与曲线()()ln f x x b =+相切于点()()0,0f ，则a b +的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意，得出切点为()0,0，进而求得1b =，得到()()ln 1f x x =+，结合导数的几何意义，得到1a =，进而得到答案.【详解】由题意，直线y ax =与曲线()()ln f x x b =+相切于点()()0,0f ，即切点为()0,0，所以ln 0b =，解得1b =，所以()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，可得()01f '=，即切线的斜率为1k =，所以1a =，所以2a b +=.故选：B.4.已知椭圆22:14x y C λ+=（0λ>且4λ≠），则“C 的离心率22e =，是8λ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆离心率定义，对参数λ的取值进行分类讨论，分别判断充分性和必要性即可.【详解】椭圆22:14x y C λ+=（0λ>且4λ≠），当C 的离心率2e =，若04λ<<，有2e ==，解得2λ=，即充分性不成立；当8λ=时，得椭圆22:184x y C +=，此时离心率为2e ===，即必要性成立.所以“C 的离心率2e =，是8λ=”的必要不充分条件.故选：B.5.若1为函数()()()21f x x x a =--的极大值点，则实数a 的取值范围是（）A.(),0-∞ B.(),1-∞ C.()1,+∞ D.()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得()()()1321f x x x a '=---，结合1x =是函数()f x 的一个极大值点，得出不等式2113a +>，即可求解.【详解】由函数()()()21f x x x a =--，可得()()()1321f x x x a '=---，令()0f x '=，可得1x =或213a x +=，因为1x =是函数()f x 的一个极大值点，则满足2113a +>，解得1a >，所以实数a 的取值范围为()1,+∞.故选：C.6.若sin140tan 40λ︒-︒=，则实数λ的值为（）A.2- B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式和化切为弦将已知式化成sin 40cos40sin 40λ︒︒=︒+︒，再运用二倍角公式和辅助角公式化简即可求得λ的值.【详解】由sin140tan 40λ︒-︒=sin 40sin 40cos40λ︒︒-=︒即sin 40cos40sin 40λ︒︒=︒+︒，即1sin802sin(4060)2sin802λ=+= ，因sin800> ，解得4λ=.故选：D.7.设函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是奇函数，()23f x +是偶函数，则()5f =（）A.0B.1- C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】根据函数性质，结合“赋值法”求函数值.【详解】因为函数()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，令0x =得：()()11f f =-⇒()10f =；因为()23f x +为偶函数，所以()()2323f x f x -+=+，令1x =得：()()15f f =，所以()50f =.故选：A8.已知O 为坐标原点，抛物线2:2C y x =的焦点为F ，2OM ON OF =-=-，过点M 的直线l 与C 交于A ，B 两点，且()01MA MB λλ=<<，直线BN 与C 的另一个交点为P ，若直线AN 与PM 的斜率满足3AN PM k k =，则AB =（）A.2B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】由题意得(1,0),(1,0)M N -，则可设直线:1l x my =-，直线:1BN x ny =+，分别与抛物线方程联立，设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，由韦达定理可得31y y =-，31x x =，结合3AN PM k k =，可解得11,x y 的值，从而可得m 的值，再利用弦长公式即可求解.【详解】由题意得1(,0)2F ，2OM ON OF =-=- ，(1,0),(1,0)M N ∴-，设直线:1l x my =-，直线:1BN x ny =+，联立221y x x my ⎧=⎨=-⎩，得2220y my -+=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则12122,2y y m y y +==，联立221y x x ny ⎧=⎨=+⎩，得2220y ny --=，则23232,2y y n y y +==-，则31y y =-，则31x x =，故311131,111AN PM y y yk k x x x ===--++，由3AN PM k k =，得1111311y y x x -=⋅-+，解得21111,212x y x ===，则11132x m y +==±，故2AB ==.故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.抛掷一枚质量均匀的骰子两次．记事件A =“第一次抛出的点数是1”，事件B =“两次抛出的点数不同”，事件C =“两次抛出的点数之和是8”，事件D =“两次抛出的点数之和7”，则（）A.A 与D 相互独立B.B 与D 相互独立C.()2|15P C B =D.()13P C D =【答案】AC 【解析】【分析】根据独立事件的概率公式可判断AB 的正误，根据条件概率的计算公式可求()|P C B ，从而可判断C 的正误，根据互斥事件的概率公式可求()P C D ，故可判断D 的正误.【详解】对于A ，由题设有()161666P A ⨯==⨯，()61666P D ==⨯，()166P AD =⨯，故()()()P AD P A P D =，故,A D 相互独立，故A 正确.对于A ，由题设有()655666P B ⨯==⨯，()61666P BD ==⨯，故()()()P BD P B P D ≠，故,B D 不相互独立，故B 错误.对于C ，()()()4236|5156P P BC P B C B ===，故C 正确.对于D ，由题设,C D 互斥，故()()()511166636P C D P C P D =+=+=⨯ ，故D 错误，故选：AC.10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱1DD 的中点，P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的动点，则（）A.三棱锥111B A D P -的体积为定值B.直线1//B E 平面1A BDC.当11A P AC ⊥时，1A P AC ⊥D.直线1B E 与平面11CDD C 所成角的正弦值为23【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，将三棱锥111B A D P -转换成111P A B D -后易得其体积为定值；对于B ，建系后，证明1B E与平面1A BD 的法向量不垂直即可排除B 项；对于C ，设出(,,0)P m n ，利用110AC A P ⋅=证得m n =，再计算1AC A P ⋅，结果不为0，排除C 项；对于D ，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】对于A ，如图1，因111111111111113326B A D P P A B D A B D V V S --==⨯=⨯= ,故A 正确；对于B ，如图2建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,0,)2D B A BE ,于是，111(1,1,0),(1,0,1),(1,1,2DB DA B E ===--- ，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z = ，则10n DB x y n DA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可取(1,1,1)n =--r ，由1111(1,1,1)(1,1,)110222n B E ⋅=--⋅---=-++=≠ 知n 与1B E 不垂直，故直线1B E 与平面1A BD 不平行，即B 错误；对于C ，由上图建系，则1(0,1,1)(1,0,0)(1,1,1)AC =-=- ,(0,1,0)(1,0,0)(1,1,0)AC =-=-,因P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的动点,不妨设(,,0)P m n ，则,[0,1]m n ∈，1(1,,1)A P m n =--，由题意，11(1,1,1)(1,,1)110AC A P m n m n n m ⋅=-⋅--=-+-=-=，即m n =，于是(,,0)P m m ，此时1(1,1,0)(1,,1)110AC A P m m m m ⋅=-⋅--=-+=≠ ，故1A P 与AC不垂直，即C 错误；对于D ，由图知平面11CDD C 的法向量可取为(1,0,0)m = ，因11(1,1,)2B E =--- ，设直线1B E 与平面11CDD C 所成角为θ，则111||12sin |cos ,|33||||12B E m B E m B E m θ⋅=<>===⋅⨯，故D 正确.故选：AD.11.已知点(),A m n 在圆22:4O x y +=外，过点A 作直线AM ，AN 与圆O 相切，切点分别为M ，N ，若60MAN ∠=︒，则（）A.8mn ≤ B.221498m n +≥C.[]91,17m +-∈D.当,0m n >742≤【答案】ACD 【解析】【分析】根据相切关系可得2216m n +=，根据不等式即可判断AD ，利用不等式的乘“1”法即可判断B ，根据三角换元即可结合三角函数的性质求解C.【详解】由于AM ，AN 与圆O 相切，且60MAN ∠=︒，故120MON ∠=︒,60MOA ∠=︒，由2MO =,得4AO =，故22164m n +=>，符合题意，故22162mn m n +=≥，即8mn ≤，当且仅当228m n ==等号成立，故A 正确，()22222222221411414195516161616n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+≥+≥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当223223n m ==时等号成立，B 错误，令4sin ,4cos m n θθ==，则[]π94sin 98sin 91,173m θθθ⎛⎫+-=+-=+-∈ ⎪⎝⎭，C 正确，当,0m n >时,()2222162m n m n mn mn m n +=++=+⇒+=，由于8mn ≤，故522m n +=≤==，由于2+≤≤742+≤，当且仅当m n ==等号成立，故D 正确，故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量()2~2,3N ξ，若()()321P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为________．【答案】2【解析】【分析】根据正态分布的对称性求解.【详解】由题意得，32122a a -++=⨯，解得2a =．故答案为：213.已知函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 的导函数，()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则正实数ω的取值范围为__________．【答案】50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】求导，即可根据余弦函数的单调性求解.【详解】由题意得，()πcos 6x x f ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππππ,6662x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，只需πππ62ω+≤，解得503ω<≤故答案为：50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦14.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集()*122,,,,k A A A k k ≥∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称无序子集组12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分．已知集合106x I x x -⎧⎫=∈≤⎨⎬-⎩⎭N ，则集合I 的所有划分的个数为___________．【答案】51【解析】【分析】化简集合，再由新定义及组合知识分类求解即可.【详解】由题意得，{}{}N 161,2,3,4,5|I x x =∈≤<=，共有5个元素，则2划分有1255C C 15+=个，3划分有15512432C C C 2C 25+=个，4划分有25C 10=个，5划分有1个，所以共有划分的个数为51个．故答案为；51四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在ABC V 中，内角,,A B C 满足()sin sin sin B A B C +-=．（1）求A ；（2）若ABC V 的外接圆半径为2，且1cos cos 6B C =-，求ABC V 的面积．【答案】（1）π3A =（2）3【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦化简后可得1cos 2A =，故可求A ；（2）根据三角变换可得1sin sin 3B C =，故可求面积.【小问1详解】在ABC V 中，πC A B =--，∴()sin sin C A B =+，∵()sin sin sin B A B C +-=，∴()()sin sin sin B A B A B +-=+，则sin sin cos cos sin sin cos cos sin B A B A B A B A B +-=+化简得sin 2cos sin B A B =．又sin 0B ≠，∴1cos 2A =，又∵0πA <<，∴π3A =．【小问2详解】∵π3A =，∴2π3B C +=，∴()1cos 2B C +=-．即1cos cos sin sin 2B C B C -=-，又1cos cos 6B C =-，∴111sin sin 263B C =-=记内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，∵ABC V 的外接圆半径2R =，∴由正弦定理可得21sin sin 2243b c bc B C R R R =⋅==，∴163bc =，∴1116sin 22323ABC S bc A ==⨯⨯= .16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，CAB CBA ∠=∠，()1,01BC AC BM BA λλ⊥=<<．（1）求AB 的长；（2）若二面角1B B C M --λ的值．【答案】（1）AB =（2）12λ=【解析】【分析】（1）证明⊥BC 平面11ACC A ，则有BC AC ⊥，由2CA CB ==，求得AB =（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系，向量法表示二面角1B B C M --的余弦值，可求出λ的值．【小问1详解】三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ，CB ⊂平面ABC ，所以1CC CB ⊥．又1BC AC ⊥，111CC AC C ⋂=，11,CC AC ⊂平面11ACC A ，所以⊥BC 平面11ACC A ，因为AC ⊂平面11ACC A ，所以BC AC ⊥，而CAB CBA ∠=∠，故2CA CB ==，故AB =．【小问2详解】由1CC ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，以C 为原点，1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxy z ，因为12CA CB CC ===，所以()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2C A B B ，故()2,2,0BA =- ，因为1)0(BM BA λλ=<<，故()2,22,0M λλ-．易知()1,0,0m =是平面1BCB 的法向量．因为()()12,22,0,0,2,2CM CB λλ=-=．设 =s s 是平面1CMB 的法向量、所以100n CM n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()2220220x y y z λλ⎧+-=⎨+=⎩，取1x λ=-，得,y z λλ=-=，所以()1,,n λλλ=--，因为二面角1B B C M --2，故余弦值为33，则23cos ,31321m n m n m n λλ⋅===⨯-+，解得12λ=.17.已知O 为坐标原点，12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点，直线4:3l y x=与E 交于A ，B 两点，220F A F B =⋅﹒（1）求E 的离心率；（2）M 为E 上一点（不在x 轴上），过2F 作12F MF ∠平分线的垂线，垂足为N ，若1ON =，求12AF F 的面积．【答案】（15（2）4【解析】【分析】（1）根据向量关系计算点的坐标，再代入求出方程解出离心率即可；（2）结合图形特征，再应用面积公式计算.【小问1详解】由题意得，直线43y x =与双曲线两交点A ，B 关于原点对称，不妨设点A 在第一象限，由220F A F B =⋅，得22F A F B ⊥，设()2,0F c ，则24,tan 3OA c AOF =∠=，所以2243sin ,cos 55AOF AOF ∠=∠=，则34,55A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程，得222291612525c c a b-=，即()2222291612525c c a c a -=-，化简得222169251e e e -=-，即42950250e e -+=，因为1e >，所以25e =，则e =，即双曲线E ．【小问2详解】因为点2F 关于12F MF ∠的平分线MN 的对称点G 在1MF 或1MF 的延长线上，所以1122F G MF MF a =-=，又ON 是21F F G 的中位线，所以ON a =，因为1ON =，所以1a =，因为e =，所以双曲线E 的方程为2214y x -=，所以c =，则3545,55A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．又12||2F F c ==，所以121425AF F S =⨯=△．18.已知函数()2sin f x x x =-．（1）若函数()F x 与()f x 的图象关于点π,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，求()F x 的解析式；（2）当[]0,πx ∈时，()f x m ≤，求实数m 的取值范围；（3）判断函数()()()11g x x f x =++在π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭的零点个数，并说明理由．【答案】（1）()π22sin F x x x =+--（2）π,3⎫-+∞⎪⎭（3）零点个数为1，理由见解析【解析】【分析】（1）结合函数的对称中心求出函数解析式；（2）根据给定区间恒成立求参转化为最值问题；（3）先把方程转化，再构造新函数，应用导函数得出单调性结合零点存在定理得出结果.【小问1详解】由题意得，()()()()2π22sin πππ22sin F x f x x x x x =--=--+-=+--．【小问2详解】由题意得，()[]2co ,πs 1,0f x x x '=-∈，令()'0f x =，解得π3x =，所以当π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>；当π,π3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x <′，所以()f x 在π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()f x的最大值为π3π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭，由于[]0,πx ∈时，()f x m ≤，所以实数m的取值范围为π,3⎫+∞⎪⎭【小问3详解】令()0g x =，则()()12sin 10x x x +-+=，整理得12sin 01x x x -+=+，令()12sin 1h x x x x =-++，则()()212cos 11h x x x '=--+，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '<．所以()h x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又()πππ1π1112sin 20,π2sinπππ0ππ2222π1π11122h h ⎛⎫=-+=-+>=-+=-+< ⎪++⎝⎭++，所以由零点存在性定理得，()h x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点．当[)π,x ∈+∞时，()12sin 2π101h x x x x =-+<-+<+，此时函数无零点．综上所述，()h x 在π,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上存在唯一零点，即函数()g x 在π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的零点个数为1．19.定义：从数列{}n a 中随机抽取m 项按照项数从小到大的顺序依次记为12,,,m k k k a a a ()12m k k k <<< ，将它们组成一个项数为m 的新数列{}n b ，其中()1,2,,i i k b a i m == ，若数列{}n b 为递增数列，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”；（1）已知数列{}n a 满足42,1,3,52,2,4,6n n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，数列{}n b 是{}n a 的“3项递增衍生列”，写出所有满足条件的{}n b ﹔（2）已知数列{}n a 是项数为m 的等比数列，其中3m ≥，若数列{}n b 为1，16，81，求证：数列{}n b 不是数列{}n a 的“3项递增衍生列”；（3）已知首项为1的等差数列{}n a 的项数为14，且141105ii a==∑，数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”，其中114m ≤≤．若在数列{}n b 中任意抽取3项，且均不构成等差数列，求m 的最大值．【答案】（1）{}n b 为1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】（1）先列出数列的前6项，根据“3项递增衍生列”，可列出满足条件的所有数列.（2）利用“反证法”证明数列不是数列的“3项递增衍生列”.（3）先明确数列的各项，再根据“m 项递增衍生列”的概念分析数列的构成特点，可求数列的最大项数.【小问1详解】由题意得，数列为1，8，3，4，5，2，若是数列的“3项递增衍生列”，且1345<<<，则为1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5﹒【小问2详解】设等比数列的公比为q ．假设数列是数列的“3项递增衍生列”，则存在1231k k k m ≤<<≤，使1231,16,81k k k a a a ===，所以31212131,k k k k k k k k a a qa a q --==，则312116,81k k k k q q --==，所以()3116221log 81log 81log 3*log 16q q k k k k -===-．因为*2131,k k k k --∈N ，所以3121k k k k --为有理数，但2log 3为无理数，所以（*）式不可能成立．综上，数列不是数列的“3项递增衍生列”．【小问3详解】设等差数列的公差为d ．由14111491105ii aa d ==+=∑，又11a =，所以1d =，故数列为1，2，3，4，5，L ，14﹒令i i k b a =，因为数列中各项均为正整数，故313k k a a -≥﹔（若312k k a a -=，则123,,k k k a a a ，成等差数列）同理533k k a a -≥，且5331k k k k a a a a -≠-，所以513k k a a -≥，同理957k k a a -≥，且9551k k k k a a a a -≠-，所以9115k k a a -≥，这与已知条件矛盾，所以8i k ≤，此时可以构造数列为1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三项均不构成等差数列．综上所述，m 的最大值为8．【点睛】关键点点睛：数列新定义问题，解决的关键有两点：一是紧抓新数列的定义，如题目中“m 项递增衍生列”条件的使用，是解题的入手点；二是应用数列的单调性或等差等比通项特性等重要性质构造等量或不等关系解决问题.。

陕西省“天一大联考”2025届高三上学期开学学情摸底考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.甲、乙两支足球队比赛，两队踢平的概率为16，甲队获胜的概率为12，则乙队获胜的概率为( )A. 23B. 12C. 13D. 162.已知复数z =−1−2i ，则z 2+2z =( )A. 3−8iB. 3C. −5−8iD. −53.已知实数x ，y 满足x 2+y 2=6x ，则y 的最小值为( )A. −3B. −2C. 0D. 34.在(2−1x )5的展开式中，1x 的系数为( )A. 160B. 80C. −80D. −1605.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c sin B +b cos C =a ，则B =( )A. π4B. π3C. 2π3D. 3π46.在数列{a n }中，a 1=1，a n +1a n =n ，记{a n }的前n 项和为S n ，则S 6−2S 5+S 4=( )A. 80B. 96C. 112D. 1287.设a =81，b =4π，c =π4，已知log 23>1.58，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a8.已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F ，准线l 交x 轴于E 点，A ，B 分别为C 与l 上的点，且|AF|=|BF|，|BE|=4 3，则△AEF 与△BEF 的面积的比值为( )A. 1B.32 C.2 33D. 32二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，AB 是圆的一条动直径，P 为正六边形边上的动点，则PA ⋅PB 的可能取值为( )A. 9B. 11C. 13D. 1510.已知函数f(x)=e x −x ，g(x)=x−ln x ，则( )A. f(x)在(0,+∞)上单调递增B. g(x)在(0,+∞)上单调递增C. ∀x∈(1,+∞)，f(x)−g(x)>0D. ∀x∈(0,+∞)，f(x)+g(x)>211.已知椭圆C:x28+y24=1的左焦点为F，左、右顶点分别为A1，A2，直线l:x=t(|t|<22)与C交于P，Q两点，与x轴交于点D，则( )A. 满足∠A1PA2=2π3的点P有4个B. DA1⋅DA2=2DP⋅DQC. 当FP⋅FQ取最小值时，|DF|=13D. 当△PFQ的周长最大时，|PQ|=22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。