广东省佛山市南海区2020届高三数学入学摸底考试试题 理 新人教A版

2020年3月南海区2020届高三年级综合能力测试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R ，集合122(1),{|20}A x y x B x x x -⎧⎫⎪⎪==-=-<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则()A B =R （ ）A ．(0,2)B ．(1,2]C ．[0,1]D ．(0,1]2．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ）A ．45B ．42C ．25D ．36 4．函数x xx y e e -=+的图象大致为（ ）5．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ）A ．0.02sin 360000y t =B ．0.03sin180000y t =C ．0.02sin181800y t =D ．0.05sin 540000y t = 6．已知,a b 为非零向量，“22a b b a =”为“a a b b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 7．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题 ①()g x 的值域为(0,1] ②()g x 的一个对称轴是12x π= ③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭④()g x 存在两条互相垂直的切线其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．右图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）A ．37B ．47 C ．57 D ．679．已知三棱锥,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积为（ ）A ．43πB ．4πC ．323πD ．10．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ）A ．17种B ．27种C ．37种D ．47种11．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 12．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x=交于点N ，3OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．抛物线24y x =上到其焦点F 距离为5的点有 个．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足2n n S a +=-，则数列{}n a 的通项n a = ．15．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是 ；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为 ．16．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α．①F ∃，使得11B F CD ⊥；②直线1B F 与直线BC所成角的正切值的取值范围是12⎤⎥⎣⎦； ③α与平面11CDD C所成锐二面角的正切值为④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个．其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）在ABC △中，,cos 43B C π∠==． （1）求cos A 的值；（2）点D 为边BC 上的动点（不与C 点重合），设AD DC λ=，求λ的取值范围．18．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，1,//,,2AB PA AB CD AB CD PAD ⊥=△是等边三角形，点M 在棱PC 上，平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面PCD ⊥平面PAD ；（2）若AB AD =，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；（3）设直线AM 与平面PBD 相交于点N ， 若AN PM AM PC =，求AN AM 的值．19．（本小题满分12分）某精密仪器生产车间每天生产n 个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N （单位：微米m μ），且相互独立．若零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X ，求(2)P X ≥及X 的数学期望EX ；（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已PA C D M知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设n 充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则 5049(33)0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P μσξμσ-<<+==⨯=．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>经过点(0,2)A -，离心率为3． （1）求椭圆M 的方程；（2）经过点(0,1)E 且斜率存在的直线l 交椭圆于,Q N 两点，点B 与点Q 关于坐标原点对称．连接 ,AB AN ．求证：存在实数λ，使得AN AB k k λ=成立．21．（本小题满分12分）已知2()(0)kx f x kx ek -=+> （1）当12x >时，判断函数()f x 的极值点的个数； （2）记21()()ln 2g x f x x m x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，若存在实数t ，使直线y t =与函数()g x 的图象交于不同的两点12(,),(,)A x t B x t ，求证：122m x x >．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知曲线M 的参数方程为1cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为22sin 2ρθ=-． （1）写出曲线M 的极坐标方程；（2）点A 是曲线N 上的一点，试判断点A 与曲线M 的位置关系．23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知0,a b a c d >≥≥≥，且ab cd ≥．（1）请给出,,,a b c d 的一组值，使得2()a b c d ++≥成立；（2）证明不等式a b c d ++≥恒成立．。

广东省佛山市普通高中届高三教学质量检测(一)理科数学本试卷共4页,21小题,总分值150分.考试用时120分钟. 本卷须知：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关工程.2.选择题每题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.一、选择题:本大题共8小题,每题5分,总分值40分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1．i 是虚数单位，m 、n ∈R ，且i 1i m n +=+，那么ii m n m n +=- A ．1- B ．1C ．i -D ．i2．以下函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为A ．y x =B ．sin y x =C ．x x y e e -=+D ．3y x =-3．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，那么{}n a 的前5项和5S =A ．10B ．15C ．20D ．304．“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R 〞是“01a ≤≤〞A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．一个体积为123的正三棱柱的三视图如以以下图， 那么这个三棱柱的左视图的面积为A. 36 B ．8 C ．38D ．126．点P 是抛物线24x y =上的一个动点，那么点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．172B ．5C ．22D ．927．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如以以下图，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是A ．31.6岁B ．32.6岁C ．33.6岁D ．36.6岁8．对于非空集合,A B ，定义运算：{|,}A B x x AB x A B ⊕=∈∉且，}|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=，其中d c b a 、、、满足a b c d +=+， 0ab cd <<，那么=⊕N MA. (,)(,)a d b c B.(,][,)c a b d C. (,][,)a c d b D.(,)(,)c a d b二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每题5分，总分值30分〕(一)必做题(9～13题)9．某三个社团的人员分布如下表〔每名同学只参加一个社团〕要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，那么a =_______________. 10．函数3sin sin()2y x x π=++的最小正周期是 ___________.11．不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，那么k 的值为__________.12．向量=a (,2)x ，=b (1,)y ，其中0,0x y >>.假设4=a b ，那么12x y+的最小值为 .13．对任意实数b a ,，函数|)|(21),(b a b a b a F --+=，如果函数2()23,f x x x =-++ ()1g x x =+，那么函数()()(),()G x F f x g x =的最大值等于 .(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14．〔坐标系与参数方程〕在极坐标系下，直线l 的方程为21)3cos(=-πθρ，那么点)2,1(πM 到直线l 的距离为__________.15.〔几何证明选讲〕如图，P 为圆O 外一点，由P 引圆O 的切线PA 与圆O 切于A 点，引圆O 的割线PB 与圆O 交于合唱社 粤曲社 书法社高一 45 30 a 高二 15 10 20 C APBC AC AB ⊥， 1,2==PC PA .那么圆O 的面积为 .三、解答题:本大题共6小题,总分值80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．〔此题总分值12分〕在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，满足2A C B +=，且1411)cos(-=+C B . 〔1〕求C cos 的值；〔2〕假设5=a ，求△ABC 的面积. 17．〔此题总分值14分〕如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2.〔1〕求证：平面PAC ⊥平面BEF ；〔2〕求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角 〔锐角〕的余弦值.18．〔此题总分值13分〕佛山某的场室统一使用“佛山照明〞的一种灯管，这种灯管使用寿命ξ〔单位：月〕服从正态分布2(,)N μσ，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.〔1〕求这种灯管的平均使用寿命μ；〔2〕假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下〔中途不更换〕，求至少两支灯管需要更换的概率.19．〔此题总分值12分〕圆221:(4)1C x y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，动点P 到圆1C ,2C 上点的距离的最小值相等.〔1〕求点P 的轨迹方程；〔2〕点P 的轨迹上是否存在点Q ，使得点Q 到点(22,0)A -的距离减去点Q 到点(22,0)B 的距离的差为4，如果存在求出Q 点坐标，如果不存在说明理由.20．〔此题总分值14分〕设a R ∈,函数()ln f x x ax =-.(1) 假设2a =，求曲线()y f x =在()1,2P -处的切线方程；(2) 假设()f x 无零点,求实数a 的取值范围；(3) 假设()f x 有两个相异零点12,x x ,求证: 212x x e ⋅>.21．〔此题总分值14分〕设*N n ∈，圆n C ：222(0)n n x y R R +=>与y 轴正半轴的交点为M，与曲线y =的交点为1(,)n N y n，直线MN 与x 轴的交点为(,0)n A a . (1)用n 表示n R 和n a ; (2)求证:12n n a a +>>; (3)设123n n S a a a a =++++,111123n T n =++++,求证:27352n n S n T -<<.年佛山市普通高中高三教学质量检测〔一〕数学试题〔理科〕参考答案和评分标准一、选择题：〔每题5分，共40分〕9．30 10．2π 11．1 12．94 13． 3 14．213- 15．π49 三、解答题:本大题共6小题,总分值80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．〔此题总分值12分〕 解：〔1〕∵2A C B +=，且A B C π++=，∴3B π=…………………1分∵1411)cos(-=+C B ,∴1435)(cos 1)sin(2=+-=+C B C B …………………3分 ∴()cos cos cos()cos sin()sin C B C B B C B B C B =+-=+++⎡⎤⎣⎦7123143521411=⨯+⨯-= …………………6分 〔2〕由〔1〕可得734cos 1sin 2=-=C C …………………8分 在△ABC 中，由正弦定理 AaB bC c sin sin sin == ∴8sin sin ==ACa c ,5sin ==aAb b …………………10分 三角形面积11sin 5822S ac B ==⨯⨯=…………………12分 17． 〔此题总分值14分〕〔1〕证明：∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ， ∴AC PB ⊥ …………………1分 由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥ …………………………2分又PB CB B= ，∴AC ⊥平面PBC …………………………3分注意到⊂BE 平面PBC， ∴AC BE ⊥ …………………………4分 BCPB = ,E为PC中点，∴BE PC ⊥ …………………………5分PC AC C=，BE ⊥平面PAC …………………………6分而⊂BE 平面BEF，∴BEF PAC 平面平面⊥ …………………………7分〔2〕方法一、如图，以B 为原点、BC 所在直线为x 轴、BP 为z 轴建立空间直角坐标系. 那么)1,0,1(,)2,0,0(,)0,2,2(,)0,0,2(E P A C …………………………8分1224(,,)3333BF BP PF BP PA =+=+=. …………………………10分设平面BEF 的法向量(,,)m x y z =. 由0,0m BF m BE ⋅=⋅=得0343232=++z y x ， 即02=++z y x (1)0=+z x (2)取1=x ，那么1,1-==z y ，(1,1,1)m =-. …………………………12分取平面ABC 的法向量为)1,0,0(=n 那么3cos ,3||||m n m n m n ⋅<>=-， 故平面ABC 与平面PEF 所成角的二面角〔锐角〕的余弦值为33. ……………14分方法二、取AF 的中点G ，AB 的中点M ，连接,,CG CM GM ，的中点为PC E ，AF PF =2，∴//EF CG . ……………8分BEFEF BEF CG 平面平面⊂⊄, ，∴//CG BEF 平面. ……………9分同理可证：BEFGM 平面//. 又CG GM G=， ∴//CMG BEF 平面平面.…………10分那么CMG 平面与平面ABC 所成的二面角的平面角〔锐角〕就等于平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角〔锐角〕ABC PB 底面⊥，2==BC AC ，⊂CM 平面ABC∴CM PB ⊥，∴CM AB ⊥ …………11分 又PBAB B =，∴CM ⊥平面PAB由于⊂GM 平面PAB ， ∴CM GM ⊥ 而CM 为CMG 平面与平面ABC 的交线， 又⊂AM 底面ABC ，⊂GM 平面CMGAMG∠∴为二面角ACM G --的平面角 …………12分根据条件可得2=AM ，33231==PA AG 在PAB ∆中，36cos ==∠AP AB GAM 在AGM∆中，由余弦定理求得36=MG …………13分 332cos 222=⋅-+=∠GM AM AG GM AM AMG故平面ABC 与平面PEF 所成角的二面角〔锐角〕的余弦值为33. …………14分 18．〔此题总分值13分〕 解：〔1〕∵2(,)N ξμσ，(12)0.8P ξ≥=，(24)0.2P ξ≥=，∴(12)0.2P ξ<=，显然(12)(24)P P ξξ<=> …………………3分由正态分布密度函数的对称性可知，1224182μ+==， 即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月； …………………5分 〔2〕每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为10.80.2-=， …………………6分假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，那么(4,0.2)B η， …………………10分故至少两支灯管需要更换的概率1(0)(1)P P P ηη=-=-=041314411310.80.80.2625C C =--⨯=〔写成≈0.18也可以〕. …………………13分 19．〔此题总分值13分〕解：〔1〕设动点P 的坐标为(,)x y ， 圆1C 的圆心1C 坐标为(4,0)，圆2C 的圆心2C 坐标为(0,2)， ……………………2分因为动点P到圆1C ,2C 上的点距离最小值相等，所以12||||PC PC =, ……………………3分即=，化简得23y x =-， ……………………4分因此点P的轨迹方程是23y x =-； ……………………5分〔2〕假设这样的Q 点存在，因为Q点到(A -点的距离减去Q点到B 点的距离的差为4， 所以Q点在以(A -和B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，即Q点在曲线221(2)44x y x -=≥上， ……………………9分又Q 点在直线:23l y x =-上， Q 点的坐标是方程组2223144y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩的解，……………………11分消元得2312130x x -+=，21243130∆=-⨯⨯<，方程组无解， 所以点P的轨迹上不存在满足条件的点Q . ……………………13分20．〔此题总分值14分〕 解：方法一在区间()0,+∞上,11()axf x a x x-'=-=. ……………………1分 〔1〕当2a =时，(1)121f '=-=-，那么切线方程为(2)(1)y x --=--，即10x y ++= …………3分〔2〕①假设0a <,那么()0f x '>,()f x 是区间()0,+∞上的增函数,(1)0f a =->,()(1)0a a a f e a ae a e =-=-<,(1)()0a f f e ∴⋅<,函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点. …………6分 ②假设a =,()ln f x x=有唯一零点1x =. …………7分③假设0a >,令()0f x '=得: 1x a=.在区间1(0,)a上, ()0f x '>,函数()f x 是增函数; 在区间1(,)a+∞上, ()0f x '<,函数()f x 是减函数; 故在区间()0,+∞上, ()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f a a a=-=--. 由1()0,f a <即ln 10a --<,解得:1a e>. 故所求实数a的取值范围是1(,)e+∞. …………9分 方法二、函数()f x 无零点⇔方程ln x ax =即ln xa x=在()0,+∞上无实数解 …………4分 令ln ()x g x x =，那么21ln ()xg x x -'= 由()0g x '=即21ln 0xx-=得：x e = …………6分在区间(0,)e 上, ()0g x '>,函数()g x 是增函数; 在区间(,)e +∞上, ()0g x '<,函数()g x 是减函数; 故在区间()0,+∞上,()g x 的极大值为1()g e e=. …………7分注意到(0,1)x ∈时，()(),0g x ∈-∞；1x =时(1)0g =；()1,x ∈+∞时，1()0,g x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故方程ln x a x =在()0,+∞上无实数解⇔1a e>. 即所求实数a 的取值范围是1(,)e+∞. …………9分 [注:解法二只说明了()g x 的值域是1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,但并没有证明.](3) 设120,x x >>12()0,()0,f x f x ==1122ln 0,ln 0x ax x ax ∴-=-=1212ln ln ()x x a x x ∴+=+,1212ln ln ()x x a x x -=-原不等式21212ln ln 2x x e x x ⋅>⇔+>12()2a x x ⇔+>121212ln ln 2x x x x x x -⇔>-+1122122()ln x x x x x x -⇔>+ 令12x t x =,那么1t >,于是1122122()2(1)ln ln 1x x x t t x x x t -->⇔>++. …………12分 设函数2(1)()ln 1t g t t t -=-+(1)t >, 求导得: 22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++ 故函数()g t 是()1,+∞上的增函数, ()(1)0g t g ∴>=即不等式2(1)ln 1t t t ->+成立,故所证不等式212x x e ⋅>成立. ……………………14分21．〔此题总分值14分〕解： (1)由点N 在曲线y =上可得1(N n , ……………………1分 又点在圆n C 上，那么222111(),n n n R R n n n +=+==……………………2分 从而直线MN 的方程为1n nx y a R +=, ……………………4分由点1(N n 在直线MN 上得: 11n na =,将n R =代入 化简得:11n a n =+……………………6分(2) 111n +>>,*1,12n n N a n ∴∀∈=+ ……………………7分又11111n n +>+>+111111n n a a n n +∴=+>++ ……………………9分(3)先证:当01x ≤≤时,11)12xx +≤+.事实上,不等式11)12xx +≤≤+22[11)]1(1)2xx x ⇔+≤+≤+22211)1)114x xx x x ⇔++≤+≤++2223)1)04x x x ⇔+≤≤后一个不等式显然成立,而前一个不等式2001x x x ⇔-≤⇔≤≤. 故当01x ≤≤时,不等式11)12xx +≤+成立.1111)12n n ∴+≤<+,……………………11分1132122n a n nn ∴≤=+<+(等号仅在n =1时成立)求和得: 3222n n n n T S n T +≤<+⋅27352nn S n T -∴<≤< ……………………14分。

广东省佛山市南海区2020届高三统一调研测试卷（一）数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}|28x A x N =∈≤，{0,1,2,3,4}B =，则A B =I （）A.{}0,1,2,3B.{}1,2,3C.{}0,1,2D.{}0,1,2,3,4 2.下列函数中与函数y x =（0x >）相同的是（）A.y x =B.lg y x =C.y x =D.lg 10x y =3.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S （）A.2B.7C.14 D .284.函数()1cos 1xx f e x ex -=+的图像大致是（） A. B.C. D.5.若,x y 满足不等式组250205x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则z y x =-的最小值是（）A.8-B.7-C.0D.56.执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（）A.2B.4C.5D.67.如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（）A.AC SB ⊥B.//AB 平面SCDC.SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D.AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角8.如图所示，ABC △中，2BD DC =u u u r u u u r ，点E 是线段AD 的中点，则AC =u u u r （）A.3142AC AD BE =+u u u r u u u r u u u rB.34AC AD BE =+u u u r u u u r u u u rC.5142AC AD BE =+u u u r u u u r u u u rD.54AC AD BE =+u u u r u u u r u u u r 9.已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则1223341n n a a a a a a a a +++++=L （） A.()1614n -- B.()1612n -- C.()32143n -- D.()32123n --10.关于函数()(1cos )cos tan2x x x f x =+，有下述四个结论： ①函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ②()f x 最小正周期为π③()f x 是奇的数④()f x 的定义域|()2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且 其中所有正确结论的编号是（）A.①②③ B .②④ C.①④ D.①③11.已知,,,,P A B C D 是球O 的球面上的五个点，在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为（）A.16π D. 12.甲乙二队进行篮球比赛，若有一队胜4场，比赛就结束，假设甲，乙二队在每场比赛中获胜的概率都是0.5，则所需比赛的场数的数学期望为（）A.4B.5.8125C.6.8125D.7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在复平面内，复数65i +与34i -+对应的向量分别是OA u u u r 与OB uuu r ，其中O 是原点，则向量AB u u u r 对应的复数为__________.14.已知ABC △中，5a =，8b =，60C =︒，则BC CA ⋅=u u u r u u u r __________.15.测量某一目标的距离时，所产生的随机误差X 服从正态分布()220,10N ，如果独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是__________.附参考数据： ()0.68P X μδμδ-<≤+=，()220.95P X μδμδ-<≤+=，()330.99P X μδμδ-<≤+= 20.1850.03=，30.1850.006=，20.8150.66=，30.8150.541=.16.已知F 是椭圆2212x y +=的右焦点，P 是椭圆上一动点，10,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则APF △周长的最大值为__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.在ABC △中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且满足5cos cos 4c a B b A ⎛⎫-=⎪⎝⎭. （1）若2sin 5A =，10a b +=，求a ；（2）若b =5a =，求ABC △的面积S .18.如图四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点.（1）证明//MN 平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.19.如图，已知直线l 与抛物线22y px =（0p >）交于,A B 点，且OA OB ⊥，（1）若OD AB ⊥交AB 于点D ，求点D 的轨迹方程；（2）求AOB △面积的最小值.20.甲乙二人轮流抛一枚均匀的骰子，甲先掷，一直到掷了1点，交给乙掷，而到乙掷出1点，再交给甲掷，井如此一直下去，若第n 次由甲掷骰子的概率为n P .（1）求12,P P ；（2）写出n P 与1n P -的递推关系式，并判断数列12n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是什么数列，并求n P ； （3）当n 足够大时，n P 趋近什么数，它的统计意义是什么？21.已知函数()ln a x ax f x x=+-，其中a 为常数. （1）若()f x 的图像在1x =处的切线经过点()3,4，求实数a ；（2）若01a <<，求证：202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭； （3）当函数存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O ，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是12,12,x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数） （1）求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于点M ，求以OM 为直径的圆的极坐标方程.23.[选修4-5：不等式选讲]已知定义在R 上的函数()()2121x x x f x =++-+-的最小值为s .（1）试求s 的值；（2）若,,a b c R +∈，且a b c s ++=.求证2223a b c ++≥.。

广东省佛山市南海区2020届高三统一调研测试卷（一）数学注意事项：1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}{}|28,0,1,2,3,4x A x N B =∈≤=，则A B =（ ）A. {}0,1,2,3B. {}1,2,3C. {}0,1,2D. {}0,1,2,3,4【答案】A【解析】∵集合{}|28x A x N =∈≤∴集合{}0,1,2,3A =∵集合{}0,1,2,3,4B =∴{}0,1,2,3A B ⋂=故选A.2. 下列函数中与函数y x =（0x >）相同的是（ ）A. y x =B. lg y x =C. y x =D. lg 10x y = 【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义对选项逐个进行分析即可得结果.【详解】y x =的定义域为R ，与y x =（0x >）的定义域不同，两函数不相同； lg y x =和y x =与y x =（0x >）解析式不同，两函数不相同；lg 10x y x ==的定义域为()0+∞，，与y x =（0x >）的解析式和定义域都相同，两函数相同．故选：D .【点睛】本题主要考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同，属于基础题.3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ）A. 28B. 14C. 7D. 2 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得1774()772a a S a +==，即可求出结果． 【详解】因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =，所以17747()7142a a S a +===， 故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题． 4. 函数1()cos 1xx e f x x e-=+的图像大致是（ ） A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：利用函数的奇偶性排除选项，利用函数通过的特殊点，排除选项，即可推出结果.详解：函数()1cos 1xxe f x x e -=+， 可得()()()11cos cos 11x x x x e e f x x x f x e e -----=-==-++， ∴函数是奇函数，排除B ，2x π=时，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，排除D ， 6x π=时，661061e f e πππ-⎛⎫=< ⎪⎝⎭+，对应点在第四象限，排除C. 故选：A.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 5. 若,x y 满足不等式组250205x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则z y x =-的最小值是（ ）A. 8-B. 7-C. 0D. 5【答案】B【解析】【分析】由题意作出其平面区域，将z y x =-化为y =x+z ，z 相当于直线y =x+z 的纵截距，由几何意义可得结果. 【详解】由题意作出不等式组250205x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩所表示平面区域：将z y x =-化为y =x+z ，z 相当于直线y =x+z 的纵截距，则由2505x y x +=⎧⎨=⎩解得52x y =⎧⎨=-⎩， 由图可知，当直线y =x+z 过()5,2B -时，直线在y 轴上的截距最小，故z y x =-的最小值是257--=-，故选：B .【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，根据几何意义是解题的关键，属于基础题.6. 执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】 根据题意，利用程序框图循环结构计算求得n 的值，可得答案.【详解】初始值n=0，执行程序依次为:2,2420?n n ==>否；4,21620?nn ==>否；6,26420?n n ==>是，循环结束，输出n=6故选D【点睛】本题主要考查了程序框图的循环结构判断求值，属于基础题.7. 如图，四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，SD⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ）A. AC⊥SBB. AB∥平面SCDC. SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D. AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角【答案】D【解析】试题分析：A 中由三垂线定理可知是正确的；B 中AB ，CD 平行，所以可得到线面平行；C 中设AC,BD 相交与O ，所以SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角分别为,ASO CSO∠∠ SA SC =所以两角相等，D 中由异面直线所成角的求法可知两角不等考点：1．线面平行垂直的判定；2．线面角，异面直线所成角8. 如图所示，ABC 中，BD 2DC =，点E 是线段AD 的中点，则AC (= )A. 31AC AD BE 42=+ B. 3AC AD BE 4=+ C. 51AC AD BE 42=+ D. 5AC AD BE 4=+ 【答案】C【解析】【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出． 【详解】如图所示，AC AD DC =+，1DC BD 2=，BD BE ED =+，1ED AD 2=，51AC AD BE 42∴=+． 故选C ． 【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A. ()1614n -- B. ()1612n -- C.()32123n -- D.()32143n -- 【答案】D【解析】【分析】先求出31()2n n a -=，再求出2511()2n n n a a -+=，即得解.【详解】由题得35211,82a q q a ==∴=.所以2232112()()22n n n n a a q ---==⨯=， 所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=. 所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10. 关于函数()(1cos )cos tan2x x x f x =+，有下述四个结论： ①函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ②()f x 最小正周期为π③()f x 是奇函数④()f x 的定义域|()2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭, 其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②③B. ②④C. ①④D. ①③ 【答案】D【解析】【分析】直接根据正切型函数的定义域可判断④，利用切化弦思想以及二倍角公式可将()f x 化简为()1sin 22f x x =，根据正弦型函数的性质可判断①②③. 【详解】要使()(1cos )cos tan 2x x x f x =+有意义，需满足,22x k k Z ππ≠+∈，解得2,x k k z ππ≠+∈，即函数的定义域为{}|2()x x R x k k Z ππ∈≠+∈,，故④错误； ∵()21(1cos )cos tan2cos cos tan 2sin cos cos sin 2222222x x x f x x x x x x x x =+===， ∵,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 则可得()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，故①正确； ∴结合函数的定义域可得()f x 最小正周期为2T π=，故②错误；又∵定义域关于原点对称，()()()1sin 22x x x f f =-=--， ∴()f x 是奇函数，故③正确；故选：D .【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.11. 已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为（ ）B. 3C.D. 16π【答案】A【解析】【分析】根据已知中的平行关系和长度关系可确定BC 中点E 为底面梯形的外接圆圆心，根据球的性质可知OE ⊥平面ABCD ，利用勾股定理构造出关于OE 和球的半径R 的方程，解方程求得R ，代入球的体积公式可求得结果.【详解】取BC 中点E ，连接,,AE DE BD//AD BC 且12AD BC EC == ∴四边形ADCE 为平行四边形 AE DC ∴=，又12DC BC = 12DE BC ∴= AE DE BE EC ∴===E ∴为四边形ABCD 的外接圆圆心设O 为外接球的球心，由球的性质可知OE ⊥平面ABCD作OF PA ⊥，垂足F ∴四边形AEOF 为矩形，2OF AE ==设AF x =，OP OA R ==则()22444x x +-=+，解得：2x = 4422R ∴=+=∴球O 的体积：346423V R π== 本题正确选项：A【点睛】本题考查棱锥外接球体积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，主要是根据球心与底面外接圆圆心连线垂直于底面的性质，通过勾股定理构造方程求得结果.12. 甲乙二队进行篮球比赛，若有一队胜4场，比赛就结束，假设甲，乙二队在每场比赛中获胜的概率都是0.5，则所需比赛的场数的数学期望为（ ）A. 4B. 5.8125C. 6.8125D. 7【答案】B【解析】【分析】先确定比赛需要的场数ξ的可能取值为4、5、6、7，求出相应的概率，即可求得数学期望..【详解】由题意可知，比赛需要的场数ξ的可能取值为4、5、6、7， ()441114228p ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3341111522224p C ξ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；()323511156222216p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()333611157222216p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴1155934567 5.812584161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==， 故选：B .【点睛】本题考查独立重复试验，理解n 次独立重复试验的模型与二项分布的区别， 能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关概率的计算，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在复平面内，复数65i +与34i -+对应的向量分别是OA 与OB ，其中O 是原点，则向量AB 对应的复数为__________.【答案】9i --【解析】【分析】根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出AB ，得到向量的代数形式的表示式即可.【详解】∵复数65i +与34i -+对应的向量分别是OA 与OB ，∴ 34659OB OA i i AB i =-=-+--=--，故答案为：9i --.【点睛】本题主要考查复数的几何意义，向量的线性运算，属于基础题.14. 在ABC ∆中，5a =，8b =，60C =︒，则BC CA ⋅的值为________．【答案】-20【解析】分析】在ABC ∆中，5a =，8b =，60C =︒则,120BC CA ︒<>=然后用数量积求值即可．【详解】解：||||cos ,58cos12020BC CA BC CA BC CA ︒⋅=⋅<>=⨯⨯=-.故答案为：20-．【点睛】本题考查平面向量的数量积，多数同学错误认为,60BC CA C <>=∠=︒，从而出错． 15. 测量某一目标的距离时，所产生的随机误差X 服从正态分布()220,10N ，如果独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是__________.附参考数据：()0.68P X μδμδ-<≤+=，()220.95P X μδμδ-<≤+=，()330.99P X μδμδ-<≤+=，20.1850.03=，30.1850.006=，20.8150.66=，30.8150.541=.【答案】0.994 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在()0,30内的概率，再求出测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率，根据对立事件的性质可得结果.【详解】由题意可知在一次测量中误差在()0,30内满足2X μδμδ-<<+， 其概率为()()()111220.950.680.815222p p X p X μδμδμδμδ=-<≤++-<≤+=⨯+=， 测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率为：()3310.8150.1850.006-==， ∴独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是10.0060.994-=， 故答案为：0.994.【点睛】本题主要考查正态分布概率的求法，n 次独立重复试验的模型，利用对立事件解决问题是解题的关键，属于中档题.16. 已知F 是椭圆2212x y +=的右焦点，P 是椭圆上一动点，10,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则APF 周长的最大值为__________.【解析】 【分析】根据椭圆的定义可将周长转化为|2AP a PF AF +-'+，当AP PF -'最大时，A 、P 、F '三点共线，即求出最大值. 【详解】∵APF 的周长为AP PF AF ++，而2PF a PF =-'，∴APF 的周长为2AP a PF AF +-'+，当A P PF F A '-='最大时，A 、P 、F '三点共线，如图所示，由题意得2a =1c =，F 点坐标为()10，，F '坐标为()10-，， 则APF 的周长最大为：||2AF AF a '++222211(10)0(10)02222⎛⎫⎛⎫=--+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭522【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分.17. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且满足5()cos cos 4c a B b A -=. （1）若2sin ,105A a b =+=，求a ； （2）若35,5b a ==，求ABC ∆的面积S . 【答案】（1）4a =；（2）15. 【解析】试题分析：本题是典型角正余弦定理解三角形问题，由于5c a cosB bcosA 4⎛⎫-=⎪⎝⎭是关于边的这里面次式，所以先统一角做．由（1）中知道a b 10+=，所以可以选择正弦定理，从而解出此三角形．由（2）b 35,a 5==及4cosB 5=.两边及一对角的题型，所以可以选择余弦定理． 试题解析： 因为5c a cosB bcosA 4⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以由正弦定理得5sinC sinA cosB sinBcosA 4⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即有5sinCcosB sinAcosB cosAsinB 4=+ ， 则5sinCcosB sinC 4=，因为sinC 0>，所以4cosB 5=. （1）由4cosB 5=，得3sinB 5=，因为2sinA 5=，所以a sinA 2b sinB 3==， 又a b 10+=，解得a 4=.（2）因为222b a c 2accosB,b 35,a 5=+-==，所以24525c 8c =+-， 即2c 8c 200--=，解得c 10=或c 2=-（舍去）， 所以1S acsinB 152== 18. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）8525．【解析】 【详解】 【分析】 试题分析：（Ⅰ）取的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形 AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT ∥，由此结合线面平行的判定定理可证；（Ⅱ）以 A 为坐标原点，AE 的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN 的方向向量与平面 PMN 的法向量的夹角的余弦值来求解AN 与平面 PMN 所成角的正弦值． 试题解析：（Ⅰ）由已知得. 取的中点T ，连接，由为中点知，.又，故=TN AM ∥，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥.因为平面，平面，所以平面. （Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且.以A 为坐标原点， AE 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，(0,2,4)PM =-， 5(2)PN =-，5(,1,2)2AN =. 设(,,)x y z =n 为平面 PMN 的一个法向量，则0,{0,n PM n PN ⋅=⋅=即 240,{520,y z x y z -=+-=可取(0,2,1)n =.于是85cos,25n ANn ANn AN⋅〈〉==.【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．19. 如图，已知直线l与抛物线22y px=（0p>）交于,A B点，且OA OB⊥，（1）若⊥OD AB交AB于点D，求点D的轨迹方程；（2）求AOB面积的最小值.【答案】（1）2220(0)x y px x+-=≠；（2）24p.【解析】【分析】（1）设点A 的坐标()11,x y ，点B 的坐标()22,x y ，点D 的坐标为()()000,0x y x ≠，由OA OB ⊥，得12120x x y y +=，由此入手能求出点D 的轨迹方程；（2）设出AO 的方程代入抛物线求得x 的值，进而表示出A 的坐标，同理可表示出B 的坐标，进而可表示出22||p OA k =，2||2OB pk =，利用面积公式求解即可. 【详解】（1）设点A 的坐标()11,x y ，点B 的坐标()22,x y ，点D 的坐标为()()000,0x y x ≠， 由OA OB ⊥，得12120x x y y +=，由已知，得直线l 的方程为220000y y x x x y =-++，又有2112y px =，2222y px =，()()22121222y y px px =，22121224y y x x p =，由12120x x y y +=得21240y y p +=，把220000y y x x x y =-++代入22y px =并消去x 得()2220000220x y py y p x y +-+=，得()22001202p x y y y x -+=，代入21240y y p +=，得()220000200x y px x +-=≠，故所求点D 的轨迹方程为2220(0)x y px x +-=≠. （2）设:OA y kx =，代入22y px =，得0x =，22p x k =，22||p OA k =，2||2OB pk =， AOB 面积2221241412k S OA OB p p k+==≥，当且仅当1k =±时，取等号， 所以AOB 面积的最小值为24p .【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查了面积的最值计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题.20. 甲乙二人轮流抛一枚均匀的骰子，甲先掷，一直到掷了1点，交给乙掷，而到乙掷出1点，再交给甲掷，井如此一直下去，若第n 次由甲掷骰子的概率为n P .（1）求12,P P ；（2）写出n P 与1n P -的递推关系式，并判断数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是什么数列，并求n P ； （3）当n 足够大时，n P 趋近什么数，它的统计意义是什么？ 【答案】（1）11p =，216p =；（2）()112263n n n p p -=+≥，12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，1121232n n P -⎛⎫=+⎪⎝⎭；（3）12，意义见解析. 【解析】 【分析】（1）直接根据规则，可求1p ，2p ，的值；（2））第1n -()2n ≥次由甲投掷而第n 次仍由甲投掷的概率是1 56n p -，第1n -次由乙投掷而第n 次由甲投掷的概率是()11 16n p --，两者相加可得n P 与1n P -的递推关系式，构造即可得12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列；（3）通过极限的思想可得n P 趋近12，其意义在于当n 足够大时，甲掷骰子和乙掷骰子的可能性基本相同 【详解】（1）由题意，11p =，256p =； （2）第1n -()2n ≥次由甲投掷而第n 次仍由甲投掷的概率是1 56n p -， 第1n -次由乙投掷而第n 次由甲投掷的概率是()11 16n p --于是()1111121+63566n n n n p p p p ----==+，()2n ≥所以1213231n n p p --=-，()2n ≥即1211232n n p p -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，()2n ≥， 故数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，23为公比的等比数列； 所以1112223n n P -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故1121232n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （3）当n 足够大时，11223n -⎛⎫⎪⎝⎭趋于0，则1121232n n P -⎛⎫=+⎪⎝⎭趋于12， 它的统计意义在于当n 足够大时，甲掷骰子和乙掷骰子的可能性基本相同.【点睛】本题考查概率知识的运用，考查数列通项的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.21. 已知函数()ln af x x ax x=-+，其中a 为常数. (1)若f (x )的图象在x =1处的切线经过点(3，4)，求实数a 的值；(2)若0<a <1，求证：202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭；(3)当函数存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围 【答案】（1）12- ；（2）详见解析；（3）1(0,)2 .【解析】【详解】试题分析：(1)根据导数的几何意义可得：，再结合斜率公式进而得出a 的值；(2)表示出223322()ln 2ln ln 22222a a a af a a a =-+=+--，然后构造函数32()2ln ln 22x g x x x =+--通过讨论函数的单调性证明2()02a f >；(3)将函数零点的问题转化为函数图像与轴交点个数的问题，通过导数讨论函数的单调性来解决. 试题解析：由题知0x > （Ⅰ）211()(1)f x a x x =-+'(1)12f a '∴=- 4(1)(1)231f f 又-==-'11222a a ∴-=∴=-（Ⅱ）223322()ln 2ln ln 22222a a a a f a a a =-+=+--，令32()2ln ln 22x g x x x =+--，则242222334(1)()22x x x g x x x x -+-=--='∴(0,1x ∈）时，()0,()g x g x '<单调递减， 故(0,1x ∈）时，1()(1)2ln 202g x g >=-->， ∴当01a <<时，2()02a f >（Ⅲ）22211()(1)ax x af x a x x x -+=='--+ ①00()0,()a f x f x '≤+∞>当时，在（，）上，递增，∴()f x 至多只有一个零点，不合题意； ②10()0,()2a f x f x ≥+∞'≤当时，在（，）上，递减， ∴()f x 至多只有一个零点，不合题意；③10()0,2a f x <'<=当时，令得12x x == 此时，()f x 在1(0,)x 上递减，12(,)x x 上递增，2(,)x +∞上递减，所以，()f x 至多有三个零点.因为()f x 在1(,1)x 递增，所以1()(1)0f x f <=，又因为2()02a f >，所以201(,)2ax x ∃∈，使得0()0f x =，又001()()0,(1)0f f x f x =-==，所以恰有三个不同零点：0,011,x x ，所以函数()f x 存在三个不同的零点时，a 的取值范围是1(0,)2. 考点：函数与导数综合应用.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O ，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 的参数方程是12,12,x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数） （1）求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于点M ，求以OM 为直径的圆的极坐标方程.【答案】（1）60x y +-=，2211616x y -=；（2）313cos 5sin ρθθ=+ 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换即可； （2）利用二元二次方程的解法求出M 的坐标，进一步求出圆的方程. 【详解】（1）直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭整理得cos cossin sin44ππρθρθ+=转换为直角坐标方程为22x y +=60x y +-=； 曲线C 的参数方程是1212x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）．两式平方相减可转换为直角坐标方程为2211616x y -=.（2）直线l 与曲线C 交于点M ，所以2260 16x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得13353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即135,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以OM 的中点坐标为135,66M ⎛⎫⎪⎝⎭，半径6r =， 整理得22135976618x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，转换为极坐标方程为2213597cos sin 6618ρθρθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：313cos 5sin ρθθ=+.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，二元二次方程组的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档型23. 已知定义在R 上的函数()()2121x x x f x =++-+-的最小值为s .（1）试求s 的值；（2）若,,a b c R +∈，且a b c s ++=.求证2223a b c ++≥.【答案】（1）3；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式可得当12x -≤≤时，12x x ++-的最小值为3，结合二次函数的性质即可得结果；（2）直接利用柯西不等式即可得结果.【详解】（1）由绝对值三角不等式可得：123x x ++-≥，当且仅当()()120x x +-≤，即12x -≤≤时取等号；由于()210x -≥，当且仅当1x =时取等号，故()()21213x x x f x =++--≥+，当且仅当1x =时取等号，故()3min f x =，即3s =.（2）由于3a b c ++=，由柯西不等式()()2222222111()9a b c a b c ++++≥++=， 即2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===取等号.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的性质，以及利用柯西不等式证明不等式，利用不等式求最值时注意取等号条件，属于中档题.。

广东省佛山市南海区2024届高三摸底测试数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2≤=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=04x x x B ，则A B ⋃=（）A.(]0,4 B.[]0,4 C.[]2,4 D.(],4∞-2.20.320.3,log 0.3,2这三个数的大小顺序是（）A.20.320.32log 0.3<< B.20.320.3log 0.32<<C.20.32log 0.30.32<< D.0.322log 0.320.3<<3.由成对样本数据()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅得到的经验回归方程为 y abx =+ ，则下列说法正确的是（）A.直线 y abx =+ 必过(),x y B.直线 y a bx =+ 至少经过()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅中的一点C.直线 y abx =+ 是由()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅中的两点确定的D.()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅这n 个点到直线 y abx =+ 的距离之和最小4.下列式子中正确的是（）A.()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ⎡⎤=--+⎣⎦B.sin sin 2cos sin 22θϕθϕθϕ+-+=C.tan tan tan()tan tan tan()αβαβαβαβ+=+++D.sin(2)sin 2cos()sin sin αββαβαα+-+=5.已知直线:10l x ay +-=是圆22:6210C x y x y +--+=的对称轴，过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为P ，则|PA |＝（）A.2B. C.7D.6.在()()()()()12345x x x x x +-+-+的展开式中，含3x 的项的系数是（）A.23- B.3- C.3D.157.在凸四边形ABCD 中，240BAD ADC ∠+∠=︒，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，EF =AB ，CD 为边分别画两个正方形α，β，再画一个长度、宽度分别为AB ，CD 的长方形γ，则所画三个图形α，β，γ的面积之和为（）A .7B.14C.21D.288.已知数列{}n a 对任意*k ∈N 满足143k k a a k ++=+，则12020a a +=（）A .4040B.4043C.4046D.4049二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x 是定义在R 上不恒为0的奇函数，()g x 是()f x 的导函数，则（）A.()()ff x 为奇函数B.()()g g x 为偶函数C.()()f g x 为奇函数D.()()g f x 为偶函数10.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（）A. B.C. D.11.已知函数()cos sin 2f x x x =，则（）A.()f xB.()f x 的图象与直线2y x =仅有三个交点C.()f x 的图象关于点()()π,0k k ∈Z 对称D.()f x 的图象关于直线()π2k x k =∈Z 对称12.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()12P A =，()23P B =，()34P A B +=，则（）A.()13P AB =B.()14P AB =C.()16P B A =| D.()12P A B =|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知复数z 与()212i z +-都是纯虚数，则z =______．14.已知直线l ：()0,0Ax By B A B +=>>，过点()0,1-作直线l l '⊥，则l '和l 的交点坐标为______．（用含A ，B 的式子表示）15.ABC ∆中，D 为边AC 上一点，BD 平分ABC ∠，且1AD =，2CD =，34BA BD ⋅= ，则BD =______．16.若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为4π3，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中13a =，11b =，22a b =，533a b =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）存在常数α，β使得对每一个正整数n 都有log n n a b αβ=+，求αβ+．18.如图，顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A ，B 是底面圆周上不同两点，线段AB 不过底面圆心O ，AB 的中点为Q ，OH PQ ⊥，垂足为H ，C 为PA 的中点．（1）求PCH ∠的大小；（2）求平面OCH 与圆锥底面的夹角．19.已知α，β为锐角，求证：“π2αβ+=”是“()22sin sin sin αβαβ+=+”成立的充要条件．20.某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统G 由3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为23，且每个电子元件能否正常工作是相互独立，若系统G 中有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修．（1）求系统需要维修的概率；（2）为提高系统G 正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率为p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作．问：p 满足什么条件时可以提高整个系统G 的正常工作概率？21.设动点M 与定点()(),00F c c >的距离和M 到定直线l ：4x c =的距离的比是2c ．（1）求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；（2）当c =M 的轨迹为Ω，动直线m 与抛物线Γ：24y x =相切，且与曲线Ω交于点A ，B ．求AOB 面积的最大值．22.已知函数()()2222e xf x ax x x =+-+．（1）证明：不论a 取何值，曲线()y f x =均存在一条固定的切线，并求出该切线方程；（2）若0为函数()f x 的极小值点，求a 的取值范围；（3）曲线()y f x =是否存在两个不同的点关于y 轴对称，若存在，请给出这两个点的坐标及此时a 的值，若不存在，请说明理由参考答案一、选择题1.【答案】B【解析】【分析】解不等式求出集合A 、B ，再求并集可得答案.【详解】集合{}{}204A x x =≤=≤≤，集合{}4004x B x x x x -⎧⎫=≤=<≤⎨⎬⎩⎭，则{}04A B x x ⋃=≤≤.2.【答案】C【解析】【分析】分别比较与中间值0和1的大小关系即可得答案.【详解】解：因为2000.30.31<<=，22log 0.3log 10<=，0.30221>=，所以20.32log 0.30.32<<，3.【答案】A 【解析】【分析】由求经验回归方程的方法最小二乘法可判断选项．【详解】解：由最小二乘法公式可知 y abx =+ ，所以经验回归方程必过(),x y ，故A 正确最小二乘法求出的经验回归方程不一定经过点，故BC 错误；最小二乘法保证的是竖直距离之和的绝对值最小，故D 错误.4.【答案】D【解析】【分析】利用两角和与差的正弦展开式化简可判断A ；利用两角和与差的正弦余弦展开式化简可判断B ；举反例可判断C ；利用两角和的正弦余弦展开式正余弦的二倍角公式化简可判断D.【详解】对于A ，()()1sin sin 2αβαβ⎡⎤--+⎣⎦()1sin cos sin cos sin cos sin cos 2αββααββα=---cos sin αβ=-，故A 错误；对于B ，2cossin22θϕθϕ+-2cos sin 2222θϕθϕ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos cos sin sin sin cos cos sin 22222222θϕθϕθϕθϕ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2cos cos sin cos 2sin sin sin cos 22222222θϕθϕθϕθϕ=-2cos cos cos sin 2sin sin cos sin 22222222θϕθϕθϕθϕ-+22cos sin sin sin 22ϕθθϕ=-22cos sin sin sin 22θϕϕθ-+sin sin θϕ=-，故B 错误；对于C ，若π3αβ==，则ππtan tan tan tan 33αβ+=+=()()2πππ2πtan tan tan tan tan tan tan tan3333αβαβαβ+++=+=-≠-C 错误；对于D ，sin()cos()sin αβαβα+-+22sin 2cos cos 2sin 2cos cos 2sin sin sin αβαβαβαβα+=-+cos 2sin 2cos cos 2cos cos 2sin sin sin αβαβαβαβα=+-+2cos 2sin cos 2sin 2sin sin 2sin sin sin sin αβαβαβαβαα+=+=()cos 2sin 1cos 2sin sin αβαβα+-=sin sin βα=，故D 正确.5.【答案】C【解析】【分析】由题可知圆心C 及半径2r =，结合条件可知直线l 经过圆心()3,1，进而得出点A 的坐标，然后根据圆的切线长公式即得.【详解】由题可得圆C 的标准方程为：()()22319x y -+-=，可知圆心C 的坐标()3,1，半径为3r =，因为直线:10l x ay +-=是圆22:6210C x y x y +--+=的对称轴，所以直线l 经过圆心()3,1，则310a +-=，解得2a =-，故()4,2A --，由于过点()4,2A --作圆C 的一条切线，切点为P ，7PA ∴==.6.【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得，5个因式中，3个因式选择x ，2个因式选择常数，即可求解.【详解】由组合知识可知，含3x 的求解，需要从5个因式中，3个因式选择x ，2个因式选择常数，则含3x 的项的系数是()()()()()()()()45353425232415141312-⨯+⨯+⨯-+-⨯+-⨯+-⨯-+⨯+⨯-+⨯+⨯-=23-.7.【答案】D【解析】【分析】连接,BD 取BD 的中点G ,连接,EG FG ,构造EGF ，在EGF 中，再利用余弦定理转化得2228AB CD AB CD ++⨯=，从而得解.【详解】如图，延长BA 与CD 交于点,P 由240BAD ADC ∠+∠=︒，得60,BPC ∠=︒连接,BD 取BD 的中点G ,连接,EG FG ,则由三角形中位线定理知，1111//,,//,,1202222EG AB EG AB FG CD FG CD EGF ==∠=︒,在EGF △中，由余弦定理得22272cos EF EG FG EG FG EGF ==+-⋅∠22()()()()2222AB CD AB CD=++⨯,即2228,AB CD AB CD ++⨯=所以三个图形α，β，γ的面积之和为28.8.【答案】B【解析】【分析】根据数列{}n a 的递推公式可知相邻的奇数项或者偶数项成等差数列，写出2020a 的表达式即可求出结果.【详解】由143k k a a k ++=+可得()21413k k a a k +++=++；两式相减可得24k k a a +-=；即相邻的奇数项或者偶数项成等差数列，且公差为4，所以可得20202220201440362a a a ⎛⎫=+-⨯=+⎪⎝⎭，即12020124036a a a a +=++；当1k =时，21437a a +=+=，因此12020740364043a a +=+=.二、选择题9.【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，得到()g x 为偶函数，再结合函数的奇偶性的定义及判定方法，逐项判定，即可求解【详解】根据题意，可得()()g x f x '=，因为()f x 为奇函数，可得()()f x f x -=-，可得()()f x f x ''-=-⎡⎤⎣⎦，即()()f x f x ''--=-，即()()g x g x =-，所以()g x 为偶函数，由()()(())(())ff x f f x f f x -=-=-，即(())f f x 为奇函数，所以A 正确；由()()(())g g x g g x -=，即(())g g x 为偶函数，所以B 正确；由()()()()f g g x x f -=，所以()()f g x 为偶函数，所以C 错误；由()()()()()()g f x g f x g f x -=-=，所以()()g f x 为偶函数，所以D 正确.10.【答案】BCD【解析】【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A ，OQ ∥AB ，OQ 与平面MNQ 是相交的位置关系，故AB 和平面MNQ 不平行，故A 错误；对于选项B ，由于AB ∥CD ∥MQ ，结合线面平行判定定理可知AB ∥平面MNQ ，故B 正确；对于选项C ，由于AB ∥CD ∥MQ ，结合线面平行判定定理可知AB ∥平面MNQ ：故C 正确；对于选项D ，由于AB ∥CD ∥NQ ，结合线面平行判定定理可知AB ∥平面MNQ ：故D 正确；11.【答案】AC【解析】【分析】令[]sin ,1,1t x t =∈-，则()[]322,1,1g t t t t =-∈-，对()g t 求导，得到()g t 的单调性，比较()313g g ⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭可判断A ；()f x 与2y x =为奇函数，只需求()f x 的图象与直线2y x =在()0,∞+上的交点个数，设()cos sin 22F x x x x =-，对()F x 求导可得()0F x <在()0,∞+上恒成立，可判断B ；由()()2π0f x f x k +-+=可判断C ；取特值可判断D .【详解】对于A ，()()223cos sin 22sin cos 2sin 1sin 2sin 2sin f x x x x x x x x x ===-=-，令[]sin ,1,1t x t =∈-，所以令()[]322,1,1g t t t t =-∈-，()226g t t '=-，令()0g t '>，解得：3333t -<<，令()0g t '<，解得：331,133t t -<<-<<，所以()g t 在33,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在331,,,133⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，()10g -=，333343223339g ⎛⎫⎛=⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()13g g ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭，所以()f x ，故A 正确；对于B ，()()()()cos sin 2cos sin 2f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 为奇函数，而2y x =也为奇函数，故要求()f x 的图象与直线2y x =在R 上的交点个数，只需判断()f x 的图象与直线2y x =在()0,∞+上的交点个数即可，设()cos sin 22F x x x x =-，()sin sin 22cos cos 22sin sin 2cos cos 2cos cos 22F x x x x x x x x x x x =-+-=-'++-cos3cos cos 220x x x =+-≤，所以()F x 在()0,∞+上单调递减，而()00F =，所以()0F x <在()0,∞+上恒成立，即()f x 与2y x =的图象在()0,∞+上没有交点，所以()f x 与2y x =的图象在(),0∞-上也没有交点，又()00F =，故()F x 在R 上有且仅有一个零点0x =.则()f x 的图象与直线2y x =只有一个交点，故B 错误.对于C ，()()()()2πcos sin 2cos 2πsin 2πf x f x k x x x k x k +-+=+-+-+()()cos sin 2cos sin 2x x x x =+--cos sin 2cos sin 20x x x x =-=，故()f x 的图象关于点()()π,0k k ∈Z 对称，故C 正确；对于D ，取1k =，()()()()πcos πsin πcos sin f x x x x x f x -+=-+-+=-=-，()f x 的图象关于不关于直线π2x =对称，故D 错误.12.【答案】BC【解析】【分析】利用和事件的概率公式可得()512P AB =，进而求得()14P AB =，即A错误，B 正确；由条件概率计算公式计算可知C 正确，D 错误.【详解】由()23P B =可知()21133P B =-=，又()()()()34P A B P A P B P AB +=+-=可得()112P AB =，由()()()P AB P AB P A +=可得()512P AB =，所以A 错误；由()()()P AB P AB P B +=可知，()14P AB =，所以B 正确；由条件概率公式可得()()()1112162P AB P B A P A ===|，即C 正确；又()()()P AB P AB P B +=可得()14P AB =，同理()()()134283P ABP A B P B ===|，即D 错误.【点睛】方法点睛：求解概率计算问题时互斥事件概率的加法公式要灵活变形应用，结合概率性质即可得出结论.三、填空题13.【答案】i-【解析】【分析】设复数i,(R,0)z a a a =∈≠，得到()2212i 1(22)i z a a +-=-+-，结合()212i z +-都是纯虚数，列出方程组，即可求解.【详解】由复数z 是纯虚数，可设复数i,(R,0)z a a a =∈≠，可得()()22212i i 12i 1(22)i z a a a +-=+-=-+-，因为()212i z +-都是纯虚数，可得210220a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得1a =-，所以i z =-.14.【答案】2222222,AB B A B A B A ⎛⎫- ⎪++⎝⎭【解析】【分析】先求出直线l '，再求出l '和l 的交点坐标.【详解】因为直线l ：()0,0Ax By B A B +=>>，直线l l '⊥，所以设:0l Bx Ay C '-+=，又因为l '过点()0,1-，则0A C +=，则C A =-，所以:0l Bx Ay A '--=，则0Ax By B Bx Ay A +=⎧⎨--=⎩，解得：2222222AB x B A B A y B A ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故l '和l 的交点坐标为：2222222,AB B A B A B A ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.15.【答案】1【解析】【分析】由角平分线定理设,2AB x AC x ==，由34BA BD ⋅= 结合数量积定义可得32BC BD ⋅= ，再表示出3122BA BD BC =- ，代入34BA BD ⋅= ，即可得出答案.【详解】因为BD 平分ABC ∠，且1AD =，2CD =，设ABD CBD θ∠=∠=，由角平分线定理可得：AD AB DC AC =，即12ABAC=，所以设,2AB x AC x ==，因为34BA BD ⋅= ，则3cos 4BA BD θ⋅= ，所以3cos 4x BD θ⋅= ，所以3cos 2cos 2BC BD BC BD x BD θθ⋅=⋅=⋅= ，又因为()11312222BA BD DA BD CD BD BD BC BD BC =+=+=+-=- ，又因为23131322224BA BD BD BC BD BD BC BD ⎛⎫⋅=-⋅=-⋅= ⎪⎝⎭，所以231332224BD -⨯=，所以1BD = .16.【答案】8π.【解析】【分析】根据题意求得内切球的半径解得11r =，结合AOE ACF ∽，得到r =π4[(2)4]32V h h =-++-，结合基本不等式得出圆锥的底面半径r =.【详解】设圆锥的内切球的半径为1r ，可得2144ππ33r =，解得11r =，再设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ，如图所示，由AOE ACF ∽，可得OE AO CF AF =，即1r =，解得r =所以圆锥的体积221ππ4π8ππ[(2)4]4)33(2)3233h V r h h h h ===-++≥⋅=--，当且仅当422h h -=-时，即4h =时，等号成立，此时r =，母线长为l ==此时圆锥的表面积为22ππππ8πrl r +=⨯=.四、解答题17.【答案】（1）63n a n =-；19n n b -=（2）3αβ+=+【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n a 的公比为q ，由条件先求出公差和公比，得出数列的通项公式；（2）再由条件可得log 963log 9ααβ=⎧⎨-=-+⎩，解方程可得出答案.【小问1详解】设{}n a 的公差为()0d d ≠，{}n b 的公比为q .由13a =，11b =，22a b =，533a b =．则()23334d qd q +=⎧⎨+=⎩，解得6d =，9q =.所以()()1136163n a a n d n n =+-=+-=-，1119n n n b b q --=⋅=.【小问2详解】由log n n a b αβ=+，可得：163log 9n n αβ--=+对一切正整数n 都成立.于是，63log 9log 9n n ααβ-=-+，则log 963log 9ααβ=⎧⎨-=-+⎩，即log 9636αβ=⎧⎨-=-+⎩，即log 963αβ=⎧⎨=⎩，解得：33α=，3333βαβ=⇒+=+.18.【答案】（1）π2PCH ∠=（2）π4【解析】【分析】（1）根据圆锥的几何特征，由线面垂直的判定定理可证明AP ⊥平面OCH ，即可得PCH ∠为直角；（2）建立空间直角坐标系，由（1）中的结论可求得两平面的法向量，利用空间向量即可求得平面OCH 与圆锥底面的夹角为π4.【小问1详解】根据题意连接,,OB OQ BP ，如下图所示：由圆锥的轴截面是等腰直角三角形可知OA OP =；易知,PA PB OA OB ==，又因为Q 为AB 的中点，所以,PQ AB OQ AB ⊥⊥；PQ OQ Q ⋂=，,PQ OQ ⊂平面OPQ ，所以AB ⊥平面OPQ ，又OH ⊂平面OPQ ，所以AB OH ⊥，又OH PQ ⊥，AB PQ Q ⋂=，,AB PQ ⊂平面PAB ，所以OH ⊥平面PAB ，又AP ⊂平面PAB ，所以OH AP ⊥；又C 为PA 中点，且OA OP =，所以OC AP ⊥；OC OH O ⋂=，,OC OH ⊂平面OCH ，所以AP ⊥平面OCH ，CH ⊂平面OCH ，可得AP CH ⊥，因此PCH ∠为直角；即π2PCH ∠=.【小问2详解】以O 为坐标原点，OA 在圆锥底面内的垂线为x 轴，,OA OP 分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：不妨设1OA =，则1OP =，则()()()0,0,1,0,1,0,0,0,0P A O 显然圆锥底面的一个法向量为()0,0,1OP =，由（1）可知AP即为平面OCH 的一个法向量，()0,1,1AP =-uu u r 设平面OCH 与圆锥底面的夹角为θ，[)0,πθ∈则2cos cos ,2OP AP OP AP OP AP θ⋅===，可得π4θ=；即平面OCH 与圆锥底面的夹角为π4.19.【答案】答案见解析【解析】【分析】先证充分性再证必要性即可．【详解】由π2αβ+=得π2αβ=-，所以222222πsin sin sin sin cos sin 12αβββββ⎛⎫+=-+=+= ⎪⎝⎭，()ππsin sin sin 122αβββ⎛⎫+=-+== ⎪⎝⎭，所以()22sin sin sin αβαβ+=+，所以充分性成立；因为()22sinsin sin =sin cos sin cos αβαβαββα+=++，所以()()sin sin cos sin sin cos 0ααβββα-+-=，若sin cos 0αβ->，即πsin cos sin 2αββ⎛⎫>=-⎪⎝⎭，因为α，β为锐角，得π2β-为锐角，π2α-为锐角，所以π2αβ>-，即π2βα>-，所以πsin sin cos 2βαα⎛⎫>-=⎪⎝⎭，即sin cos βα>，此时()()sin sin cos sin sin cos 0ααβββα-+-=不成立；若sin cos 0αβ-<，即πsin cos sin 2αββ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，因为α，β为锐角，得π2β-为锐角，π2α-为锐角，所以π2αβ<-，即π2βα<-，所以πsin sin cos 2βαα⎛⎫<-=⎪⎝⎭，即sin cos βα<，此时()()sin sin cos sin sin cos 0ααβββα-+-=不成立；故有πsin cos sin 2αββ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以π2αβ=-，所以π2αβ+=，所以必要性成立；故“π2αβ+=”是“()22sin sin sin αβαβ+=+”成立的充要条件．20.【答案】（1）727（2）21p <<【解析】【分析】（1）电路需要维修有以下两种情形：情形一：电路中没有电子元件可以正常工作.情形二：电路中有且仅有一个电子元件可以正常工作.由n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式，再结合并事件的概率公式即可求出系统需要维修的概率.(2)把整个系统G 的正常工作概率用含p 的代数表示出来最终解不等式即可，至于去表示整个系统G 的正常工作概率的时候，具体可以分为以下三种情形：情形一：电路中有且仅有3个电子元件正常工作.情形二：电路中有且仅有4个电子元件正常工作.情形三：电路中有且仅有5个电子元件正常工作.【小问1详解】记事件{}B =电路中没有电子元件可以正常工作，事件{}C =电路中有且仅有一个电子元件可以正常工作事件{}A G =系统需要维修，显然事件B 与事件C 互斥，则由题意可知()()()()31310133222167C 1C 1333272727P A P A B P A P B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋃=+=-+-=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以系统需要维修的概率为727.【小问2详解】记{}M G =系统正常工作，{}3S =电路中有且仅有个电子元件正常工作，{}4Q =电路中有且仅有个电子元件正常工作，{}5R =电路中有且仅有个电子元件正常工作，则由题意可知()()()()()3232131221230211222323232222228246C C 1C 1C 1C 1C 1133333272727P S p p p p p p p p ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-⋅-+-⋅=-+-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()32322131222232322221612C C 1C 1C 13332727P Q p p p p p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-⋅=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()332223228C C 327P R p p ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭且显然事件S 、事件Q 、事件R 两两互斥，则()()()()()P M P S Q R P S P Q P R =⋃⋃=++,将()()(),,P S P Q P R 分别代入并整理得()22889927P M p p =-++.由（1）可知系统G 原来的正常工作概率为()()()20127P P A P A Ω-=-=，若新增两个电子元件后整个系统G 的正常工作概率提高了，则有不等式228820992727p p -++>成立，解得22p -<<,考虑实际意义知1p <.综上当21p <<时，可以提高整个系统G 的正常工作概率.21.【答案】（1）答案见解析（2【解析】【分析】（1）根据题意得到方程，分2c =，02c <<和2>c 三种情况，得到轨迹方程及轨迹的形状；（2）直线m 斜率不存在，不合要求，设直线:m x ky b =+，联立24y x =，由Δ0=得到2b k =-，联立22142x ky bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，由根的判别式大于0求出201k <<+，设()()1122,,,A x y B x y得到两根之和，两根之积，表达出ABCS=，换元后构造()(2tf t t -=，求导后得到极值和最值，求出答案.【小问1详解】设(),M x y2c =，化简得2222444c x y c -+=-，0c >，当2c =时，0y =，轨迹为一条直线；当02c <<时，222144x y c +=-，此时轨迹为焦点在x 轴上的椭圆；当2>c 时，222144x y c -=-，此时轨迹为焦点在x 轴上的双曲线；综上：当2c =时，轨迹方程为0y =，轨迹为一条直线，当02c <<时，轨迹方程为222144x y c +=-，轨迹为焦点在x 轴上的椭圆；当2>c 时，轨迹方程为222144x y c -=-，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线；【小问2详解】当c =2214:2x y +=Ω，当直线m 斜率不存在时，又与24y x =相切，故此时直线:0m x =，此时,,O A B 三点共线，不合要求，舍去，设直线:m x ky b =+，联立24y x =得2440y ky b --=，由216160k b ∆=+=得2b k =-，显然0b <，联立22142x ky bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()2222240k y kby b +++-=，由()()222244240k b k b ∆=-+->，结合2b k =-，解得201k <<+，设()()1122,,,A x y B x y ，则212122224,22kb b y y y y k k -+=-=++，设直线:m x ky b =+与x 轴交于点D ，则(),0D b ，则()2164222422122222122121+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-+-=-⋅=∆k b k kb b y y y y by y OD SABC-=，将2b k =-代入得ABCS=因为201k <<+，令22k t +=，则23t <<+，(2ABCt St-=，设()(2tf t t -=，则设()(2tf t t -=，则()f t '=()()232221282262368t t t t t t t t +-+-=--+--+=-()()()()()3222836222432t t t t t t t t ⎡⎤⎡⎤-+-+-+-+-+==-+--=23t <<+，当24t <<时，()0f t '>，当43t <<时，()0f t '<，故()f t 在()2,4t ∈上单调递增，在(4,3t ∈+上单调递减，故()f t 在4t =处取得极大值，也是最大值，故ABC S最大值为(424-=圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．22.【答案】（1）证明见解析；2y =；（2）()0,a ∈+∞；（3）不存在；答案见解析．【解析】【分析】（1）求出导数()f x '，求出与a 无关的导数值，得切点及斜率，从而得切线方程；（2）在导函数()f x '中，令()xg x xe =，由导数得出1x ≥-时，()0g x '≥，()g x 递增，(0)0g =，然后按0a =，0a >，a<0分类讨论，确定0是极小值点，得结论．（3）设()()222e xx x h x =-+，由（2）可知函数()h x 在R 上单调递增，用反证法证明即可．【详解】（1）()()2222222e 2e xxf x ax x x x ax x '=+-++-=+，易得()00f '=，()02f =均与a 无关，所以不论a 取何值，曲线()y f x =都存在固定切线为2y =．（2）()()22e 2exxf x ax x x a x '=+=+，设()xg x xe =，则()()1xg x x e '=+，当1x ≥-时()0g x '≥，即函数()g x 在[)1,-+∞上单调递增，且()00g =．①当0a =时()2e 0xf x x '=≥，函数()f x 在R 上单调递增，无极值，不符；②当a<0时，由函数()g x 得性质可知：存在1>0x ，当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，与0为函数()f x 的极小值点矛盾，不符；21③当0a >时，由函数()g x 得性质可知：存在20x <，当()2,0x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，又因为当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以0为函数()f x 的极小值点，符合．综上有()0,a ∈+∞．（3）不存在，理由如下：设()()222e xx x h x =-+，由（2）可知函数()h x 在R 上单调递增，假设曲线()y f x =存在两个不同的点关于y 轴对称，设其坐标分别为()00,x y ，()00,x y -，其中00x ≠．由()()00f x f x =-得：()()00h x h x =-，与()h x 在R 上单调递增矛盾，所以曲线()y f x =不存在两个不同的点关于y 轴对称．【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，导数与极值．解题关键掌握导数与单调性的关系，极值的定义．0x 是函数的极小值点除必须有()00='x f 外还必须在0x 左侧()00<'x f ，0x 右侧()00>'x f .。

绝密★启用前广东省佛山市普通高中2020届高三年级上学期第一次高考模拟考试数学(理)试题（解析版）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内,复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求出复数所对应点的坐标得答案．【解答】解：∵＝,∴在复平面内,复数对应的点的坐标为（2,1）,位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0},B＝{x||x|＞1},则A∩B＝（）A．（﹣2,﹣1）B．（﹣1,1）C．（0,1）D．（1,2）【分析】可以求出集合A,B,然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2},B＝{x|x＜﹣1或x＞1},∴A∩B＝（1,2）．故选：D．【点评】本题考查了描述法、区间的定义,一元二次不等式和绝对值不等式的解法,交集的运算,考查了计算能力,属于基础题．3．（5分）已知x,y∈R,且x＞y＞0,则（）A．cos x﹣cos y＞0B．cos x+cos y＞0C．lnx﹣lny＞0D．lnx+lny＞0【分析】根据题意,结合函数的单调性分析选项A、C,可得A错误,C正确,对于B、D,利用特殊值分析可得其错误,综合即可得答案．【解答】解：根据题意,依次分析选项：对于A,y＝cos x在（0,+∞）上不是单调函数,故cos x﹣cos y＞0不一定成立,A错误；对于B,当x＝π,y＝时,cos x+cos y＝﹣1＜0,B不一定成立；对于C,y＝lnx在（0,+∞）上为增函数,若x＞y＞0,则lnx＞lny,必有lnx﹣lny＞0,C正确；对于D,当x＝1,y＝时,lnx+lny＝ln＜0,D不一定成立；故选：C．【点评】本题考查函数单调性的应用,涉及实数大小的比较,属于基础题．4．（5分）函数f（x）的图象向左平移一个单位长度,所得图象与y＝e x关于y轴对称,则f（x）＝（）A．e﹣x+1B．e﹣x﹣1C．e x﹣1D．e x+1【分析】根据函数图象变换关系,利用逆推法进行求解即可．【解答】解：y＝e x关于y轴对称的函数为y＝e﹣x,然后向右平移一个单位得到f（x）,得y＝e﹣（x﹣1）,即f（x）＝e﹣x+1,故选：A．【点评】本题主要考查函数图象变换,结合条件进行逆推法是解决本题的关键．比较基础．5．（5分）希尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出,先作一个正三角形,挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形）,然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,我们用白色代表挖去的面积,那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点,则落在黑色区域的概率为（）A．B．C．D．【分析】我们要根据已知条件,求出第3个大正三角形的面积,及黑色区域的面积,代入几何概型计算公式,即可求出答案．。

广东省佛山市普通高中2020届高三教学质量检测(一)理科数学本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知i 是虚数单位，m 、n ∈R ，且i 1i m n +=+，则iim n m n +=- A ．1- B ．1C ．i -D ．i2．下列函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为A ．y x =B ．sin y x =C ．x x y e e -=+D ．3y x =-3．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前5项和5S =A ．10B ．15C ．20D ．304．“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”是“01a ≤≤”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示， 则这个三棱柱的左视图的面积为A. 36 B ．8 C ．38D ．126．已知点P 是抛物线24x y =上的一个动点，则点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．172 B ．5 C ．22 D ．927．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是A ．31.6岁B ．32.6岁C ．33.6岁D ．36.6岁8．对于非空集合,A B ，定义运算：{|,}A B x x A B x A B ⊕=∈∉U I 且，已知}|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=，其中d c b a 、、、满足a b c d +=+，0ab cd <<，则=⊕N MA. (,)(,)a d b c UB.(,][,)c a b d UC. (,][,)a c d b UD.(,)(,)c a d b U二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）(一)必做题(9～13题)9．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则a =_______________. 10．函数3sin sin()2y x x π=++的最小正周期是 ___________.11．已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为__________.12．已知向量=a (,2)x ，=b (1,)y ，其中0,0x y >>.若4=g a b ，则12x y+的最小值为 .13．对任意实数b a ,，函数|)|(21),(b a b a b a F --+=，如果函数2()23,f x x x =-++ ()1g x x =+，那么函数()()(),()G x F f x g x =的最大值等于 .(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线l 的方程为21)3cos(=-πθρ，则点)2,1(πM 到直线l 的距离为__________.15.（几何证明选讲）如图，P 为圆O 外一点，由P 引圆O 的切线PA 与圆O 切于A 点，引圆O 的割线PB 与圆O 交于合唱社 粤曲社 书法社高一 45 30 a 高二 15 10 20 CAPBC 点.已知AC AB ⊥， 1,2==PC PA .则圆O 的面积为 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，满足2A C B +=，且1411)cos(-=+C B . （1）求C cos 的值；（2）若5=a ，求△ABC 的面积. 17．（本题满分14分）如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=o，2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2.（1）求证：平面PAC ⊥平面BEF ；（2）求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角 （锐角）的余弦值.18．（本题满分13分）佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ（单位：月）服从正态分布2(,)N μσ，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.（1）求这种灯管的平均使用寿命μ；（2）假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率.19．（本题满分12分）已知圆221:(4)1C x y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，动点P 到圆1C ,2C 上点的距离的最小值相等.（1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 的轨迹上是否存在点Q ，使得点Q 到点(22,0)A -的距离减去点Q 到点(22,0)B 的距离的差为4，如果存在求出Q 点坐标，如果不存在说明理由.20．（本题满分14分）设a R ∈,函数()ln f x x ax =-.(1) 若2a =，求曲线()y f x =在()1,2P -处的切线方程；(2) 若()f x 无零点,求实数a 的取值范围；(3) 若()f x 有两个相异零点12,x x ,求证: 212x x e ⋅>.21．（本题满分14分）设*N n ∈，圆n C ：222(0)n n x y R R +=>与y 轴正半轴的交点为M，与曲线y =的交点为1(,)n N y n，直线MN 与x 轴的交点为(,0)n A a . (1)用n 表示n R 和n a ; (2)求证:12n n a a +>>;(3)设123n n S a a a a =++++L ,111123n T n =++++L ,求证:27352nnS n T -<<.2020年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：（每题5分，共40分）9．30 10．2π 11．1 12．94 13． 3 14．213- 15．π49三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分） 解：（1）∵2A C B +=，且A B C π++=，∴3B π=…………………1分∵1411)cos(-=+C B ,∴1435)(cos 1)sin(2=+-=+C B C B …………………3分 ∴()cos cos cos()cos sin()sin C B C B B C B B C B =+-=+++⎡⎤⎣⎦7123143521411=⨯+⨯-= …………………6分 （2）由（1）可得734cos 1sin 2=-=C C …………………8分 在△ABC 中，由正弦定理 AaB bC c sin sin sin == ∴8sin sin ==ACa c ,5sin ==aAb b …………………10分 三角形面积11sin 58222S ac B ==⨯⨯⨯=…………………12分 17． （本题满分14分）（1）证明：∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ， ∴AC PB ⊥ …………………1分 由90BCA ∠=o，可得CB AC ⊥ …………………………2分又ΘPB CB B=I ，∴AC ⊥平面PBC …………………………3分注意到⊂BE 平面PBC， ∴AC BE ⊥ …………………………4分 BCPB =Θ,E为PC中点，∴BE PC ⊥ …………………………5分ΘPC AC C=I ，BE ⊥平面PAC …………………………6分而⊂BE 平面BEF，∴BEF PAC 平面平面⊥ …………………………7分（2）方法一、如图，以B 为原点、BC 所在直线为x 轴、BP 为z 轴建立空间直角坐标系. 则)1,0,1(,)2,0,0(,)0,2,2(,)0,0,2(E P A C …………………………8分1224(,,)3333BF BP PF BP PA =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . …………………………10分设平面BEF 的法向量(,,)m x y z =u r.由0,0m BF m BE ⋅=⋅=u r u u u r u r u u u r 得0343232=++z y x ，即02=++z y x (1)0=+z x (2)取1=x ，则1,1-==z y ，(1,1,1)m =-u r. …………………………12分取平面ABC 的法向量为)1,0,0(=n则3cos ,||||m n m n m n ⋅<>=-u r ru r r u r r ，故平面ABC 与平面PEF 所成角的二面角（锐角）的余弦值为33. ……………14分方法二、取AF 的中点G ，AB 的中点M ，连接,,CG CM GM ，的中点为PC E Θ，AF PF =2，∴//EF CG . ……………8分BEFEF BEF CG 平面平面⊂⊄,Θ，∴//CG BEF 平面. ……………9分同理可证：BEFGM 平面//. 又CG GM G=I ， ∴//CMG BEF 平面平面.…………10分则CMG 平面与平面ABC 所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）已知ABC PB 底面⊥，2==BC AC ，⊂CM 平面ABC ∴CM PB ⊥，∴CM AB ⊥ …………11分 又PB AB B =I ，∴CM ⊥平面PAB 由于⊂GM 平面PAB ， ∴CM GM ⊥ 而CM 为CMG 平面与平面ABC 的交线， 又⊂AM Θ底面ABC ，⊂GM 平面CMGAMG∠∴为二面角ACM G --的平面角 …………12分根据条件可得2=AM ，33231==PA AG 在PAB ∆中，36cos ==∠AP AB GAM 在AGM∆中，由余弦定理求得36=MG …………13分 332cos 222=⋅-+=∠GM AM AG GM AM AMG故平面ABC 与平面PEF 所成角的二面角（锐角）的余弦值为33. …………14分 18．（本题满分13分）解：（1）∵2(,)N ξμσ:，(12)0.8P ξ≥=，(24)0.2P ξ≥=， ∴(12)0.2P ξ<=，显然(12)(24)P P ξξ<=> …………………3分由正态分布密度函数的对称性可知，1224182μ+==， 即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月； …………………5分 （2）每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为10.80.2-=， …………………6分假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，则(4,0.2)B η:， …………………10分故至少两支灯管需要更换的概率1(0)(1)P P P ηη=-=-=041314411310.80.80.2625C C =--⨯=（写成≈0.18也可以）. …………………13分 19．（本题满分13分）解：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ， 圆1C 的圆心1C 坐标为(4,0)，圆2C 的圆心2C 坐标为(0,2)， ……………………2分因为动点P 到圆1C ,2C 上的点距离最小值相等，所以12||||PC PC =, ……………………3分即=，化简得23y x =-， ……………………4分因此点P的轨迹方程是23y x =-； ……………………5分（2）假设这样的Q 点存在，因为Q点到(A -点的距离减去Q点到B 点的距离的差为4， 所以Q点在以(A -和B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，即Q点在曲线221(2)44x y x -=≥上， ……………………9分又Q 点在直线:23l y x =-上， Q 点的坐标是方程组2223144y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩的解，……………………11分消元得2312130x x -+=，21243130∆=-⨯⨯<，方程组无解， 所以点P的轨迹上不存在满足条件的点Q . ……………………13分20．（本题满分14分） 解：方法一在区间()0,+∞上,11()axf x a x x-'=-=. ……………………1分 （1）当2a =时，(1)121f '=-=-，则切线方程为(2)(1)y x --=--，即10x y ++= …………3分（2）①若0a <,则()0f x '>,()f x 是区间()0,+∞上的增函数,(1)0f a =->Q ,()(1)0a a a f e a ae a e =-=-<, (1)()0a f f e ∴⋅<,函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点. …………6分 ②若a =,()ln f x x=有唯一零点1x =. …………7分③若0a >,令()0f x '=得: 1x a=.在区间1(0,)a上, ()0f x '>,函数()f x 是增函数; 在区间1(,)a+∞上, ()0f x '<,函数()f x 是减函数; 故在区间()0,+∞上, ()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f a a a=-=--. 由1()0,f a <即ln 10a --<,解得:1a e>. 故所求实数a的取值范围是1(,)e+∞. …………9分 方法二、函数()f x 无零点⇔方程ln x ax =即ln xa x=在()0,+∞上无实数解 …………4分 令ln ()x g x x =，则21ln ()xg x x -'= 由()0g x '=即21ln 0xx-=得：x e = …………6分在区间(0,)e 上, ()0g x '>,函数()g x 是增函数; 在区间(,)e +∞上, ()0g x '<,函数()g x 是减函数; 故在区间()0,+∞上,()g x 的极大值为1()g e e=. …………7分注意到(0,1)x ∈时，()(),0g x ∈-∞；1x =时(1)0g =；()1,x ∈+∞时，1()0,g x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故方程ln x a x =在()0,+∞上无实数解⇔1a e>. 即所求实数a 的取值范围是1(,)e+∞. …………9分 [注:解法二只说明了()g x 的值域是1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,但并没有证明.](3) 设120,x x >>12()0,()0,f x f x ==Q 1122ln 0,ln 0x ax x ax ∴-=-=1212ln ln ()x x a x x ∴+=+,1212ln ln ()x x a x x -=-原不等式21212ln ln 2x x e x x ⋅>⇔+>12()2a x x ⇔+>121212ln ln 2x x x x x x -⇔>-+1122122()ln x x x x x x -⇔>+ 令12x t x =,则1t >,于是1122122()2(1)ln ln 1x x x t t x x x t -->⇔>++. …………12分 设函数2(1)()ln 1t g t t t -=-+(1)t >, 求导得: 22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++ 故函数()g t 是()1,+∞上的增函数, ()(1)0g t g ∴>=即不等式2(1)ln 1t t t ->+成立,故所证不等式212x x e ⋅>成立. ……………………14分21．（本题满分14分）解： (1)由点N 在曲线y =上可得1(N n , ……………………1分 又点在圆n C 上，则222111(),n n n R R n n n n+=+==, ……………………2分 从而直线MN的方程为1n nx y a R +=, ……………………4分由点1(N n 在直线MN 上得: 11n na +=,将n R =代入 化简得: 11n a n =++……………………6分(2)111n +>>Q,*1,12n n N a n ∴∀∈=++> ……………………7分又11111n n +>+>+Q, 111111n n a a n n +∴=+>++=+ ……………………9分(3)先证:当01x ≤≤时,11)12xx +≤≤+.事实上,不等式11)12xx +≤≤+22[11)]1(1)2xx x ⇔+≤+≤+22211)1)114x x x x x ⇔++≤+≤++2223)1)04x x x ⇔+≤≤后一个不等式显然成立,而前一个不等式2001x x x ⇔-≤⇔≤≤. 故当01x ≤≤时,不等式11)12xx +≤≤+成立.1111)12n n ∴+≤<+,……………………11分1132122n a n n n ∴≤=+++(等号仅在n =1时成立)求和得: 3222n n n n T S n T +≤<+⋅27352nn S n T -∴<≤< ……………………14分。

2020年3月南海区2020届高三年级综合能力测试理科数学参考答案1．答案：D 解析：12(1){|1},{|1}A x y x x y x x A x x -⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-===>∴=⎨⎬⎨⎪⎪⎩⎩⎭R ≤ð， 2{|20}{|(2)0}{|02}B x x x x x x x x =-<=-<=<<，()(0,1]A B ∴=R I ð．2．答案：B 解析：设i (,)z a b a b =+∈R ，则i 48i z z a b +=++=+，64,68i 88a a zb b ⎧=-⎧⎪+=∴⇒∴=-+⎨⎨==⎩⎪⎩，所以复数z 在复平面内所对应的点在第二象限．3．答案：D 解析：192899()9()9(210)36222a a a a S ++⨯-+====．4．答案：A 解析：设()x x x f x e e -=+，则()()x xxf x f x e e ---==-+，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除B ，C ，且当x →+∞时，()0x xxf x e e-=→+，排除D ，选A ． 5．答案：C 解析：由12f T ωπ==，可知若12()f nf n *=∈N ，则必有12()n n ωω*=∈N ，故选C ．6．答案：B 解析：若22a b b a =r r r r 成立，则22a b b a =r r r r ，则向量a r 与b r的方向相同，且22a b b a =r r r r ，从而a b =r r ，所以a b =r r ；若a a b b =r r r r ，则向量a r 与b r的方向相同，且22a b =r r ，从而a b =r r ，所以a b =r r ．所以“22a b b a =r r r r”为“a a b b =r r r r ”的充分必要条件．7．答案：C解析：2121cos 21cos 21112()sin ()cos 222262x x f x x g x x πππ⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎝⎭==−−−−−−→==--+ ⎪⎝⎭向右平移个单位， cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭Q ，()g x ∴的值域为[0,1]，①错误；当12x π=时，206x π-=，所以12x π=是函数()g x 的一条对称轴，②正确；当3x π=时，262x ππ-=，所以()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭，③正确； ()sin 2[1,1]6g x x π⎛⎫'=-∈- ⎪⎝⎭，则121212,,()1,()1,()()1x x g x g x g x g x ''''∃∈=-=⋅=-R ，则()g x 在1x x =和2x x =处的切线互相垂直，④正确．8．答案：D 解析：窗花的面积为21241140-⨯=，其中小正方形的面积为5420⨯=， 所以所求概率1402061407P -==．9．答案：A解析：AB =PB h =，则由2PA PB =2h =，解得1h =，可将三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体，则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R，则22,1R R ===， 所以外接球的体积34433V R ππ==． 10．答案：C解析：所有可能的情况有3464=种，其中最大值不是4的情况 有3327=种，所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种．11．答案：B解析：b a >Q ，所以离心率c e a ==>圆222()x c y a -+=是以(,0)F c 为圆心，半径r a =的圆，要使得经过点T所作的圆的两条切线互相垂直，必有TF =，而焦点(,0)F c 到双曲线渐近线的距离为b，所以TF b =≥，即ba所以c e a ==所以双曲线12．答案：解析：设M 设()ln 3g t t t =+，则22()33g t t t t '=-=，当03t <<时，()0,()g t g t '<单调递减，当3t >时， ()0,()g t g t '>单调递增，所以min 1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，且221120,(1)033e g g e ⎛⎫=-+>=> ⎪⎝⎭，1()ln 03g t t t∴=+=有两个不同的解，所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2． 13．答案：2解析：设符合条件的点00(,)P x y ，则00015,4,4PF x x y =+=∴==±，所以符合条件的点有2个．14．答案：112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭解析：当1n =时，1111221S a a a +==-⇒=-，由2n n S a +=-，可知当2n ≥时，112n n S a --+=-，两式相减，得120n n a a --=，即11(2)2n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为12的等比数列，所以112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．15．答案：13,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦，132- 解析：由(2)1628210f λ=---≥，解得132λ-≤． 当n 为奇数时，cos 1n π=-，由32()2710f n n n n λ=+--≥，得2127n n nλ+-≤， 而函数21()27g n n n n=+-为单调递增函数，所以min ()(1)8g n g ==，所以8λ≤． 当n 为偶数时，cos 1n π=，由32()2710f n n n n λ=---≥，得2127n n nλ--≤，设21()27(2)h x x x x x =--≥，则212,()470x h x x x '∴=-+>Q ≥，()h x ∴单调递增，min 13()(2)2h x h ∴==-．所以132λ-≤，综上可知，若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为132-．16．答案：①②③④解析：取CD 中点G ，连接EG ，则1//EG A B ，所以平面1A BE 即为平面1A BGE ，取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得111//,//B M BG B N A E ，从而平面1//B MN 平面1A BGE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ，平面1B MN 即为平面α．①取F 为MN 中点，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故①正确；②设正方体的棱长为2，当点F 为MN 中点时，直线1B F 与直线BC所成角最小，此时12C F =，11111tan C F C B F B C ∠==，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时111tan 2C B F ∠=，所以直线1B F 与直线BC所成角的正切值的取值范围是142⎤⎥⎣⎦，②正确； ③取F 为MN 中点，则1111,,MN C F MN B F B FC ⊥⊥∴∠即为α与平面11CDD C 所成的锐二面角，11111tan B CB FC C F∠==，所以③正确；④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中， 平面ABCD ，平面1111A B C D ，平面11BCC B ， 平面11ADD A 与平面α所成的角相等，所以④正确．17．解：（1）在ABC △，cos C =，所以2sin 3C ==.…………………………1分 所以 cos cos cos sin sin cos cos 4444A C C C C πππππ⎛⎫⎛⎫=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223236=-= (5)分 （2）由（1）可知cos 06A =<，所以2A π>．因为sin sin AD DC C DAC =∠，所以sin 2sin 3sin AD C DC DAC DACλ===∠∠．……………………8分 因为0DAC BAC <∠∠≤，所以 sin (0,1]DAC ∠∈．…………11分ABCDD 1A 1B 1C 1EGMNF CAB所以2,3λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭………………………………12分18．解析：（1）证明：取AD 中点为O ，连接PO ． PAD △是等边三角形，所以PO AD ⊥． 因为PAD ABCD ⊥平面平面且相交于AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO DC ⊥．因为//,AB CD AB PA ⊥，所以CD PA ⊥．因为PO PA P =I 在平面PAD 内，所以CD PAD ⊥平面． 所以PCD PAD ⊥平面平面．………… 3分（2）以O 为原点，过O 作AB 的平行线OF ，分别以OA , OF ，OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系．设2AB AD ==，则(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,4,0)C -，P ．………… 5分因为M 在棱PC上，可设[](1)(,4)),0,1OM t OP tOC t t t t =-+=--∈u u u u r u u u r u u u r，所以(1,4))AM t t t =---u u u u r．设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r，因为(2,2,0),(1,4,BC PC =-=-u u u r u u u r，所以22040x y x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令1x =，可得11x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即n =r ．设直线AM 与平面PBC 所成角为θ，所以sin cos ,AM n AM n AM n θ⋅===u u u u r ru u u u r r u u u u r r ． 可知当110t =时， sin θ；…………8分（3）设2,AD DC m ==，则有(1,,0)P C m -，得(1,,PC m =-u u u r ．设AN PMk AM PC==，那么,PM k PC AN k AM ==u u u u r u u u r u u u r u u u u r，所以(,,)PM k mk =-u u u u r．所以(,))M k mk k --．因为(1,0,0),(1,))A AM k mk k =---u u u u r所以．22,(,(1))AN k AM AN k k mk k ==---u u u r u u u u r u u u r因为所以．所以22(1,(1))N k k mk k --+-．又因为(1,0,0),1,,02m D B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以22(2,(1))DN k k mk k =--+-u u u r ．(1,0,2,,02m PD DB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，设平面PDB 的法向量为(,,)n x y z =r，有0202x m x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩x =令1x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩,1n m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r …………10分 因为N 在平面PDB 内，所以DN n ⊥u u u r r ．所以0DN n ⋅=u u u r r．所以222)(1)0k k mk k m--++⋅-=．即2210k k +-=， 所以12k =或者1k =-（舍），即12AN AM =………………………………………………………12分19．解（1）1495050(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C =-=-==-⋅⋅-=≥，由于X 满足二项分布，故0.0013500.065EX =⨯= …………--5分（2）由题意可知不合格率为250，若不检查，损失的期望为252()2602020505E Y n n =⨯⨯-=-，若检查，成本为10n ，由于522()1020102055E Y n n n n -=--=-，当n 充分大时，2()102005E Y n n -=->所以为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有零件． ………………………………12分 20．解：（1）由题意可知2b =，3c a =，又由222a c b -=，得a c == 所以椭圆M 的方程为22164x y +=；……………4分（2）证明：设直线l 的方程为为：1y kx =+，联立221164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元可得：22(23)690k x kx ++-=，设1122(,),(,)Q x y N x y则有12122269,2323k x x x x k k+=-=-++ (8)因为121222,AQ AN y y k k x x ++==， 所以2222121212Q 1212223()92232A ANy y k x x k x x k k k k k x x x x +++++⋅=⋅==+--=-又因为点B 与点Q 关于原点对称，所以11(,)B x y --，即112AB y k x -+=-， 则有21112111224AQ ABy y y k k x x x +-+-⋅=⋅=--22所以23AQ ABk k ⋅=-，所以AQ AN AN AB AQ AB k k k k k k ⋅==⋅所以存在实数3λ=，使AN AB k k λ=（2）解法二：证明：设直线l 的方程为为：联立221164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元可得：22(23)k x +则有12122269,2323k x x x x k k+=-=-++……………8分 121223x x k x x +∴=，12123()2x x kx x +=，222AN y k x +=，112AB y k x -=， 所以1212121121121221211221223()3(2)(3)393233()(2)(1)32AN ABx x x k y x kx x kx x x x x x x k x y x kx kx x x x x x +-++++======+---+-，所以存在实数3λ=，使AN AB k k λ=成立．………………12分 21．解析：（1）当12x >时，'()(2)kxf x k x e -=-，(())(2)0kx f x k ke -''=+>，所以()f x '在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增．所以21()(1)02kf x f k e -⎛⎫''>=-> ⎪⎝⎭．所以()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，所以函数()f x 没有极值点；…………………………………4分（2）22()()ln (1)ln kxg x f x x m x k x m x e -=+-=+-+，存在实数t ，使直线y t =与函数()g x 的图象交于不同的两点12(,),(,)A x t B x t ，即存在121,,2x x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭且12x x <，使12()()g x g x =．……… 6分由12()()g x g x =可得：21222121(ln ln )(1)()()kx kx m x x k x x ee ---=+-+-，12x x <，由（1）可知21()()f x f x >，可得：212221()kx kx e e k x x --->--．所以222121(ln ln )m x x x x->-，即22212122ln x x m x x ->．……………………8分 下面证明222112212ln x x x x x x ->,只需证明：221221112ln x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>． 令211x s x =>,则证：212ln s s s ->，即12ln 0s s s -->．……………………………………10分 设1()2ln h s s s s=--，那么22(1)()0s h s s -'=>． 所以()(1)0h s h >=．所以122mx x >，即122m x x >．………12分 22．解析：（1）曲线M 的极坐标方程是12ρ=．………………………………………4分（2）当3π4θ=时，线段OA 取得最小长度为22332sin(2π)4=-⨯．…………………………6分因为曲线M 是以原点为圆心，半径为12的圆，所以 12OA >． 所以点A 与曲线M 的位置关系是点A 在曲线M 外．………10分23．解析：（1）2,1,1,1a b c d ====-．（答案不唯一）………………………………4分（2）证明：由题意可知，0a ≠． 因为a c d ≥≥，所以()()0a c a d --≥． 所以2()0a c d a cd -++≥，即2()a cd c d a ++≥．……-7分 因为0a b >≥，所以cd a c d a ++≥．因为ab cd ≥，所以 cdb a≥． 所以cda b a c d a+++≥≥．………………10分。

2020年广东省佛山市南海区高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2+x −2≥0}，B ={x|y =√2x +1}，则(∁R A)∩B =( )A. {x|−2<x <1}B. {x|−12⩽x <1} C. {x|−12⩽x <2}D. {x|−12<x <1}2. 已知复数z 在复平面对应点为(−1,1)，则|z |=( )A. 1B. −1C. √2D. 03. 已知等差数列{ a n }的前n 项和为S n ，若a 2+a 6=14，则S 7=( )A. 13B. 35C. 49D. 634. 函数f(x)=e x −e −xx 2的图象大致为( )A.B.C.D.5. 如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(−π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=12sin(2t +π2)，则当t =0时，角θ的大小及单摆频率是( )A. 12，1π B. 2，1π C. 12，π D. 2，π6. 已知非零向量a ⃗ ,b ⃗ ，给定p ：∃λ∈R ，使得a⃗ =λb ⃗ ,q ：|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |+|b ⃗ |，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.将函数的图象向右平移π12个单位，得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的是()A. g(5π12)=1B. g(x)在区间[5π12,3π4]上单调递减C. x=−π12是g(x)图象的一条对称轴D. (π8,0)是g(x)图象的一个对称中心8.如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形，直角三角形两直角边的比为1：2，小正方形的边长为2，作出小正方形的内切圆，现在大正方形内随机取一点，则此点取自圆内部分的概率为()A. π8B. π12C. π20D. π259.如图所示，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=√2，则三棱锥P−ABC外接球的体积是()A.B.C.D. 2π10.4个不同的小球放入编号为1、2、3的3个盒子中，放法种数为()A. 4B. 24C. 64D. 8111.已知点P(1,2)在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线上，则C的离心率是()A. √2B. √3C. √52D. √512.已知函数f(x)=x2−lnx (x≥√22)，函数g(x)=x−1，直线y=t分别与函数f(x)，g(x)的图象交于点A，B，则|AB|的最小值为()A. 12B. √22C. 1D. √2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线y=14x2上到焦点的距离等于6的点的坐标为______ ．14.若S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n−1(n∈N∗)，则S6等于________．15.已知g(x)=λx+sinx在区间[−1,1]上是减函数，且g(x)≤t2+λt+1在x∈[−1,1]上恒成立，则实数t的取值范围是________。

南海区2020届高三摸底测试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|28},{0,1,2,3,4}xA xB =∈=N ≤，则A B =I （ ） A ．{0,1,2,3} B ．{1,2,3}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3,4}1．答案：A解析：{|28}{|3}{0,1,2,3},{0,1,2,3,4},{0,1,2,3}xA x x xB A B =∈=∈==∴=N N I ≤≤． 2．下列函数中与函数(0)y x x =>相同的是（ ） A ．y x = B ．lg y x =C ．y x =D ．lg 10xy =2．答案：D解析：由对数恒等式log a N aN =，可得lg 10x y x ==，且0x >，故选D3．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．2B ．7C ．14D ．283．答案：C解析：因为数列{}n a 为等差数列，所以4563a a a a +=+，又因为5632a a a +=+，所以42a =， 则7477214S a ==⨯=．4．函数1()cos 1xxe f x x e-=+的图象大致是（ ）4．答案：A解析：()f x 的定义域为R ，且11()cos()cos ()11x x xx e e f x x x f x e e -----=-==-++，故()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除B ；当0x >时，1xe >，故101x xe e -<+，所以当02x π<<时，cos 0,()0xf x ><，当322x ππ<<时，cos 0,()0x f x <>，故选A ．5．若,x y 满足不等式组250205x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≥≤，则z y x =-的最小值是（ ）A ．8-B ．7-C ．0D ．55．答案：B解析：作可行域为如图所示的OAB △，其中(5,2),(5,10)A B -，显然z y x =-在点(5,2)A -处取得最小7．如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．AC SB ⊥B ．//AB 平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角7．答案：D解析：选项A ，由,,AC BD AC SD BD SD D AC ⊥⊥=⇒⊥I 平面SBD ，所以AC SB ⊥，A 正确； 选项B ，由//,AB CD AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，所以//AB 平面SCD ，B 正确；选项C ，设AC BD O =I ，则SA 与平面SBD 所成的角为ASO ∠，SC 与平面SBD 所成的角为CSO ∠，因为SAC △为等腰三角形，且O 为AC 的中点，所以ASO CSO ∠=∠，C 正确； 选项D ，因为//AB CD ，所以AB 与SC 所成的角为SCD ∠，是一个锐角，由DC ⊥平面SAD ，可得DC SA ⊥，即DC 与SA 所成的角为直角，故D 不正确．8．如图所示，ABC △中，2BD DC =u u u r u u u r ，点E 是线段AD 的中点，则AC =u u u r（ ）A ．3142AC AD BE =+u u u r u u u r u u u rB ．34AC AD BE =+u u u r u u u r u u u rC ．5142AC AD BE =+u u u r u u u r u u u rD ．54AC AD BE =+u u u r u u u r u u u r8．答案：C解析：()111151222242AC AD DC AD BD AD BE ED AD BE AD AD BE ⎛⎫=+=+=++=++=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r． 9．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则1223341n n a a a a a a a a +++++=L （ ） A ．16(14)n-- B ．16(12)n--C ．32(14)3n --D ．32(12)3n -- 9．答案：C解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则23325221111,,28222n n n n a q q a a qa ---⎛⎫⎛⎫==∴=∴=⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则32251111222n n n n n a a ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故1{}n n a a +是首项为8，公比为14的等比数列， 所以1223341181432(14)1314n n n n a a a a a a a a -+⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦++++==--L ．ABCD SA BCDE10．关于函数()(1cos )cos tan 2xf x x x =+，有下述四个结论 ①函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ②()f x 的最小正周期为π ③()f x 是奇函数 ④()f x 的定义域为,2x x x k k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z 且 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③B ．②④C ．①④D ．①③10．答案：D解析：2sin12()(1cos )cos tan 2cos cos 2sin cos cos sin cos sin 222222cos 2xx x x x f x x x x x x x x x =+=⋅⋅=== 由,22x k k ππ≠+∈Z ，可得2,x k k ππ≠+∈Z ，解析：因为PA ⊥面ABCD ，所以是圆柱模型，圆柱的高4h PA ==，四边形ABCD 是一个等腰梯形，其外接圆半径2r =，设外接球半径为R ，则R ==，则球的体积3433V R π==．BC12．甲乙二队进行篮球比赛，若有一队胜4场，比赛就结束，假设甲、乙二队在每场比赛中获胜的概率都是0.5，则所需比赛的场数的数学期望为（ ） A ．4B ．5.8125C ．6.8125D ．712．答案：B解析：设所需比赛的场数为X ，则X 可取4，5，6，7，433432333356111111(4)2,(5)2,28222411151115(6)2,(7)2.2221622216P X P X C P X C P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯===⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以1155934567 5.812584161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯==．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．在复平面内，复数65i +与34i -+对应的向量分别是OA u u u r 与OB uuu r ，其中O 是原点，则向量AB u u u r对应的复数为 ． 13．答案：9i --解析：(6,5),(3,4),(9,1)OA OB AB OB OA ==-=-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以向量AB u u u r对应的复数为9i --．14．已知ABC △中，5a =，8b =，60C =︒，则BC CA ⋅=u u u r u u u r．14．答案：20-解析：向量BC uuu r 和向量CA u u u r的夹角为120︒，所以1cos120cos12058202BC CA BC CA ab ⎛⎫⋅=⋅︒=︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ．bacABC15．测量某一目标的距离时，所产生的随机误差X 服从正态分布2(20,10)N ，如果独立测量3次，至少有一次测量误差在(0,30)内的概率是 ． 附参考数据：()0.68,(22)0.95,(33)0.99P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<+=-<+=-<+=≤≤≤， 23230.1850.03,0.1850.006,0.8150.66,0.8150.541====．15．答案：0.994解析：测量一次，误差在(0,30)内的概率为11(2)(22)()0.4750.340.81522P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+=-<++-<+=+=≤≤则测量三次，至少有一次测量误差在(0,30)内的概率是331(10.815)10.18510.0060.994--=-=-=．16．已知F 是椭圆2212x y +=的右焦点，P 是椭圆上一动点，10,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，则APF △周长的最大值为（1）若2sin ,105A a b =+=，求a ； （2）若5b a ==，求ABC △的面积S ． 17．解：(1) 5cos cos 4c a B b A ⎛⎫-=⎪⎝⎭Q ∴由正弦定理可得5sin sin cos sin cos 4C A B B A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即有5sin cos sin cos cos sin 4C B A B A B =+ 则5sin cos sin 4C B C = 43sin 0,cos ,sin 55C B B >∴==Q ----------------3分2sin 5A =Q ，sin 2sin 3a Ab B ∴== 又10,4a b a +=∴=.----------------7分(2) 2222cos ,5b a c ac B b a =+-==Q245258c c ∴=+-，即28200c c --=，解得，10c =或2c =-（舍去）--------10分1sin 152S ac B ∴==.----------------12分 18．（本小题满分12分）（2016新课标Ⅲ）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （1）证明//MN 平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．18．解析：（1）由已知得223AM AD ==，取BP 的中点T ，连接,AT TN ， 由N 为PC 中点知//TN BC ，122TN BC ==．又//AD BC ，故TN AM P ，四边形AMNT 为平行四边形，于是//MN AT ．PNM ABD因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB ． （2）取BC 的中点E ，连接AE ，由AB AC =得AE BC ⊥，从而AE AD ⊥，且AE === 以A 为坐标原点，AE u u u r的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -由题意知，(0,0,4)P ，(0,2,0)M，2,0)C，2)N ，(0,2,4)PM =-u u u u r，2)PN =-u u u r，2)2AN =u u u r ，设(,,)n x y z =r 为平面PMN 的法向量，则00n PM n PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u rr u u u r，即24020x z x y z -=⎧+-=，可取(0,2,1)n =r，于是cos ,25n AN n AN n AN ⋅==⋅r u u u r r u u u r r u u u r ． 所以直线AN 与平面PMN19．（本小题满分12分）如图，已知直线l 与抛物线（1）若OD AB ⊥交AB （2）求AOB △19（1）设点D 的坐标为(),x y ，直线OA 的斜率为k ，直线OA 的方程为(0)y kx k =>.-------1分解方程组22,.y px y kx ⎧=⎨=⎩得22,2.p x kp y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,0.x y =⎧⎨=⎩-------2分所以点A 的坐标为222,p p k k ⎛⎫⎪⎝⎭-------3分 由于OA OB ⊥，用1k-替换k 得点B 的坐标为2(2,2)pk pk --------4分 AB 的斜率为222221.2112ppkk k p k pk k k k+==----------5分 又因为OD AB ⊥所以21.1y k x k⋅=-- 直线AB 的方程为222(2)1k y pk x pk k+=---------6分 即22(2)xy pk x pk y+=-- 22222y pky x pk x +=-+由21.1y k x k⋅=--得2yk xk x =-，2222pyk pxk px =-，-------7分 代入上式得2220(0).y x px x +-=≠-------8分（2）OA =分2OB pk =分 △AOB面积222111222k OA OB pk p p k k k +⎛⎫=⋅===+ ⎪⎝⎭-------11分 24.p ≥-------12分20．（本小题满分12分）甲乙二人轮流抛一枚均匀的骰子．甲先掷，一直到掷了1点，交给乙掷，而到乙掷出1点，再交给甲掷， 并如此一直下去．而第n 次由甲掷骰子的概率为n P ． （1）求12,P P ；（2）写出n P 与1n P -的递推关系式，并判断数列12n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是什么数列，并求n P ； （3）当n 足够大时，n P 趋近什么数，它的统计意义是什么？ 20.（1）1P 是第1次由甲掷骰子的概率，由已知条件得1 1.P =-------1分2P 是第225.6=-------2分（2）第n 第1n -所以()11151.6663n n n n P P P P ---=+-=+-------7分由112.63n n P P -=+得1121232n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-------8分12n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，公比为23的等比数列.-------9分 1112223n n P -⎛⎫-= ⎪⎝⎭1112.223n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-------10分（3）当n 足够大时，由指数函数的图像知123n -⎛⎫⎪⎝⎭趋近0，P .-------11分它的统计意义是当n .----12分 21．（本小题满分12分） 已知函数()ln af x x ax x=+-，其中a 为常数． （1）若()f x 的图象在1x =处的切线经过点(3,4)，求实数a ；（2）若01a <<，求证：202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭；（3）当函数存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围． 21（1）函数()ln ,af x x ax x=+-得(1)0f a a =-= 21()af x a x x'=--，(1)12f a '=--------1分 ()f x 的图像在1=x 处的切线的方程为(12)(1)y a x =--，()f x 的图像在1=x 处的切线经过点(3,4)，所以4(12)(31)a =--得12a =-.-------2分 （2）223322ln 2ln ln 2.2222a a a a f a a a ⎛⎫=+-=-+- ⎪⎝⎭设32()2ln ln 2.2a g a a a =-+- 2422223443().22a a a g a a a a --'=--=-------3分 因为,10<<a 所以4440,30.a a -<-<-------4分所以()0.g a '<所以函数()g a 在(0,1)为减函数.因为,10<<a 所以()(1)g a g > 3(1)ln 20.2g =->所以20.2a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭-------5分 （3）函数()ln ,a f x x ax x=+-所以2221()(0).a ax x a f x a x x x x -+-'=--=>-------6分 1当0a ≤时，在(0,)+∞上，()0,()f x f x '>是增函数，所以()f x 至多只有一个零点，不合题意.-------7分2当12a ≥时，在(0,)+∞上，()0,()f x f x '≤是减函数，所以()f x 至多只有一个零点，不合题意.-------8分3当102a <<时，令()0f x '=得121122x x a a == 此时，()f x 在1(0,)x 上是减函数，在12(,)x x 上是增函数，在2(,)x +∞上是减函数所以()f x 至多有三个零点.-------9分因为()f x 在1(,1)x 上是增函数，所以1()(1)0,f x f <= 又因为20.2a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭所以存在201,2a x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()0.f x =-------10分又001()0,(1)0.f f x f x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭所以()f x 恰有三个不同的零点001,1,x x -------11分 所以()f x 存在三个不同的零点时，a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.-------12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O ，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 的参数方程是12,12.x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数） （1）求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于点M ，求以OM 为直径的圆的极坐标方程．22（1）根据cos ,sin x y ρθρθ== 由234cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πρx得cos sin 22ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭6x y +=-------2分所以直线l 的直角坐标方程为6x y +=.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.12,12t t y t t x 2222221142,42x t y t t t ⎛⎫⎛⎫=++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-------4分 2216.x y -=所以曲线C 的普通方程为2216.x y -=-------5分 （2）解方程组226,16.x y x y +=⎧⎨-=⎩得83x y -= 解得135,.33x y ==-------7分所以点M 的坐标为135,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，-------8分 以OM 为直径的圆的直角坐标方程为1350.33x x y y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即221350.33x y x y +--=-------9分 以OM 为直径的圆的极坐标方程为135cos sin 0.33ρθθ--=-------10分 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知定义在R 上的函数2()12(1)f x x x x =++-+-的最小值为s ．（1）试求s 的值；（2）若,,a b c +∈R ，且a b c s ++=．求证：2223a b c ++≥．23.（1）2()12(1).f x x x x =++-+-当1x <-时，2()42,f x x x =-+其最小值为7.……1分当12x -≤≤时，2()(1)3,f x x =-+其最小值为3.……2分 当2x >时，2(),f x x =其最小值为4.……3分综上所述， 3.s =……4分 或者画图（2）,,a b c R +∈，且3a b c ++= 2()9a b c ++=……5分2222229a b c ab ac bc +++++=……6分2222222,2,2,a b ab a c ac b c bc +++≥≥≥……7分222222222.a b c ab ac bc ++++≥……8分2222223332229a b c a b c ab ac bc +++++++=≥……9分所以222 3.a b c ++≥……10分。

广东省佛山市2020届高三数学上学期第一次模拟考试试题 理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项：1. 答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目．2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4. 请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在复平面内，复数ii215+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知集合A = {x| x2- x - 2 < 0} ， B = {x| | x |> 1}，则 A ∩B = （ ）A ． (-2, -1)B ． (-1,1)C ． (0,1)D ． (1, 2)3.已知 x , y ∈ R ，且 x > y > 0 ，则（）A. cos x - cos y > 0B. cos x + cos y > 0 C ． l n x - ln y > 0 D ． l n x + ln y > 04.函数 f (x )的图像向左平移一个单位长度，所得图像与 y = e x 关于y 轴对称，则 f (x ) = （） A.1+-x eB.1--x eC.1-x eD.1+x e5.希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶 点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个 “中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ） A.53 B.169 C.167 D.52 6.已知等比数列}{n a 满足24,363121=-=-a a a a ，则使得n a a a 21取得最大值的n 为（） A ． 3B ． 4C ． 5D ． 67.已知α为锐角，53cos =α则=-)4tan(απ（ ）8.已知双曲线C:12222=-by a x ，O 为坐标原点，直线a x =与双曲线C 的两条渐近线交于A, B 两点，若△OAB 是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（）9.地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW ，达到 114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值B ．10 年来全球新增装机容量连年攀升C ．10 年来中国新增装机容量平均超过 20GWD ．截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过31 10.已知函数12121)(+++=x x f x，且3)2()(2>+a f a f ，则a 的取值范围是（ ）11.已知函数 f (x ) = sin x + sin(πx )，现给出如下结论： ① f (x )是奇函数 ② f (x )是周期函数 ③ f (x )在区间(0, π) 上有三个零点 ④f (x ) 的最大值为 2 其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 412.已知正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的侧棱长为4 ，底面边长为 2 ，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA 1 , BB 1 ,CC 1分别交于点 M , N , Q ，若△ MNQ 为直角三角形，则△ MNQ 面积的最大值为（ ）第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22～23 为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种．（用数字作答）14.在△ ABC 中， AB = 2 ， AC = 3 ， P 是边 BC 的垂直平分线上一点，则 AP ⋅ BC =。

佛山市南海区2023届高三摸底测试数 学本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1ln |{<=x x A ，}4,2,1,0,2{-=B ，则B A =( ) A ．}1{B ．}2,1{C ．}4,2,1{D ．}2,1,0{ 2．已知向量)3,1(=a ，则下列向量中与a 垂直的是( ) A ．(0，0) B ．(-3，-1) C ．(3，1)D ．(-3，1)3．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边过点)2,1(--P ，则αα2sin sin 2+=( )A ．85B ．58 C ．55D ．552 4．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，)6,(~21μN X ，X N Y ).2,(~22μ 和Y 的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是( ) A ．6)(=X DB ．21μμ>C ．)38()38(≤<≤Y P X PD ．)34()34(≤<≤Y P X P5．对于常数”“0,<ab b a 是“方程122=+by ax 对应的曲线是双曲线”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若1>>n m ，n m a ln ln ⋅=，)ln ln (21n m b +=，2ln nm c +=，则( )A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<7．在下列函数中，最小正周期为π且在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π为减函数的是( ) A ．|2|sin )(x x f =B ．⎪⎭⎫⎝⎛+=62cos )(πx x f C ．|cos |)(x x f = D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42tan )(πx x f 8．已知函数xe x xf )3()(-=，若经过点),0(a 且与曲线)(x f y =相切的直线有三条，则( )A ．e a -<<-3B ．e a ->C ．3-<aD ．3-<a 或e a ->二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列关于复数i iz (12-=为虚数单位）的命题，其中真命题为( ) A ．2||=z B ．i z z +=-12C ．z 的共轭复数为i +-1D ．z 的虚部为110．两个等差数列}{n a 和}{n b ，其公差分别为21,d d ，其前n 项和分别为n n T S ,，则下列命题中正确的是( )A ．若}{n S 为等差数列，则112a d =B ．若}{n n T S +为等差数列，则021=+d dC ．若}{n n b a 为等差数列，则021==d dD ．若*N b n ∈，则}{n b a 为等差数列，且公差为21d d +11．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，点P 在侧面C C BB 11（包含边界）内运动，则下列结论正确的有( ) A ．直线⊥1BD 平面D C A 11 B ．二面角B CD B --1的大小为2π C ．过三点D A P ,,1的正方体的截面面积的最大值为22a D ．三棱锥D C A B 111-的外接球半径为a 312．已知随机变量X 的取值为不大于)(*N n n ∈的非负整数，它的概率分布列为X 0 1 2 3 … np0p 1p 2p 3p …n p其中),,3,2,1,0(n i p i =满足]1,0[∈i p ，且.10=∑=ii p定义由X 生成的函数)(,)(332210x g x p x p x p x p x p p x f n n i i +++++++= 为函数)(x f 的导函数. )(X E 为随机变量X 的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X ，此时由X 生成的函数为)(1x f ，则( ) A ．)2()(g X E =B ．215)2(1=f C ．)1()(g X E =D ．4225)2(1=f 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．事件A 的优势比定义为)()(A P A P ．如果32)(=A P ，则事件A 的优势比是 ．14．已知圆的方程为122=+y x ，抛物线的方程为x y 382=，则两曲线的公共切线的其中 一条方程为 .15．设函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值为M ，最小值为m ，则m M += .16．设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过1F 的直线与Γ交于Q P ,两点，若||||212F F PF =，且||4||311QF PF =，则椭圆Γ的离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列}{n a 的首项531=a ，)(143*1N n a a a n n n ∈+=+. (1)求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21n a 为等比数列; (2)记nn a a a T 11121+++= ，若20<n T ，求n 的最大值．18．（12分）已知ABC ∆的外接圆半径2=R 且三个角的正弦值C B A sin ,sin ,sin 成等比数列． (1)求B 的取值范围；(2)求ABC ∆的面积的最大值． 19．（12分）在如图所示的圆柱MN 中，AB 为圆M 的直径，D C ,是上的两个三等分点，GB FC EA 、、都是圆柱MN 的母线．(1)求证：//FM 平面ADE ；(2)若1=BC ，已知直线AF 与平面ABCD 所成的角为30°，求二面角C FB A --的余弦值．20．(12分)汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展．某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：年份t2017 2018 2019 2020 2021 年份代码)2016(-=t x x1 2 3 4 5 销量y ／万辆1012172026(1)统计表明销量y 与年份代码x 有较强的线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w 名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．①若95=w ，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用(1)中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p ，若将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为)(p f ，求当w 为何值时，)(p f 最大．附：a x by ˆˆ+=为回归方程，.ˆˆ,ˆ2211x b y axn xy x n yx b ini ii ni -=-⋅-=∑∑== 21．（12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线)0(2:2>=Γp py x 的焦点为F ，抛物线Γ上不同两点N M ,同时满足下列三个条件中的两个：①||||||MN FN FM =+；②68||||||===MN ON OM ；③直线MN 的方程为.6p y =(1)请分析说明两点N M ,满足的是哪两个条件？并求抛物线Γ的标准方程；(2)过抛物线Γ的焦点F 的两条倾斜角互补的直线AB 和CD 交抛物线Γ于D C B A ,,,，且C A ,两点在直线BD 的下方，求证：直线BC AD ,的倾斜角互补并求直线BC AD ,的交点坐标． 22．（12分）已知函数.1ln )(ax x ex a x x f -++= (1)若2=a ，试判断函数)(x f 的零点的个数；(2)若不等式0)(≥x f 对),1(∞+∈x 恒成立，求a 的最小值.数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．214．)2(33+=x y 15．2 16．75四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解析】(1)由条件得n nnn n n a a a a a a 21231421211--+=--+ …………………………………1分n nnnn a a a a a 213614--+= …………………………………2分3121321=--=nn n n a a a a . …………………………………3分 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21n a 为等比数列．……………………………………4分 (2)11312121-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n n a an⎪⎭⎫⎝⎛-=31 ………………………………5分nn a ⎪⎭⎫⎝⎛-=3121 …………………………………6分 2311211121nn n n a a a T ⎪⎭⎫⎝⎛--=+++= …………………………………7分当10=n ，202311201010<⎪⎭⎫⎝⎛--=T ，……………………………8分当11=n ，20231320231122023112211111111>⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T ，…………………9分 所以10=n . ………………………………10分18．【解析】(1)由条件C A B sin sin sin 2⋅=由正弦定理得ac b =2………………………………1分由余弦定理acacc a ac b c a B 22cos 22222-+=-+= ………………………………3分因为ac c a 222≥+，……………………………………3分所以212cos =≥ac ac B ，……………………………5分 则600≤<B ………………………………6分(2)设B ac S ABC sin 21=∆，……………………………7分B b S ABC sin 212=∆……………………………8分因为42sin ==R Bb，B b sin 4=，…………………………………9分.33238sin 833=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=∆B S ABC…………………………………12分19．【解析】(1)如图，连结MD MC ,．因为D C ,是半圆的两个三等分点，所以.60=∠=∠=∠CMB DMC AMD ……………………………………1分 又MD MC MB MA ===，所以BMC CMD AMD ∆∆∆,,均为等边三角形，…………………………2分所以CM DC AD AM ===，所以四边形ADCM 为平行四边形，……………………3分 所以AD CM //，……………………………………4分又因为⊂/MC 平面⊂AD ADE ,平面ADE ，所以//MC 平面ADE . ………………5分 因为FC EA ,都是圆柱MN 的母线，所以FC EA ||.又因为⊂/FC 平面⊂AE ADE ,平面ADE ，所以//FC 平面ADE ．又⊂FC CM ,平面FCM ，且C FC CM = ，所以平面//FCM 平面ADE ，又⊂FM 平面ADE ，所以||FM 平面ADE ． …………………………6分(2)连结FC AC ,是圆柱MN 的母线，所以⊥FC 圆柱MN 的底面，所以FAC ∠是直线FC 与平面ABCD 所成的角，即 30=∠FAC . 因为AB 是圆M 的直径，所以 90=∠ACB ，在ABC Rt ∆中，.1,60==∠︒BC ABC所以360tan =⋅=︒BC AC ．所以在ABCRt ∆中，.130tan =⋅= AC FC ……………………………7分以C 原点，分别以CF CB CA ,,所在的直线为x 轴y 轴z 轴建立空间直角坐标系.xyz C - 如图所示，则)1,0,0(),0,1,0(),0,0,3(F B A ，……………………………8分所以，)0,1,3(-=AB ，)1,0,3(-=AF ，……………………………9分设平面AFB 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0AF n AB n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0303z x y x ，令1=x ，得3==z y ，平面AFB 的一个法向量为)3,3,1(=n ，………………………10分 又因为平面BCF 的法向量为)0,0,1(=m ， 所以.7771||||,cos ==⋅>=<n m n m n m .………………………………11分所以二面角C FB A --的余弦值为77. …………………………………12分20．【解析】(1)由题意得3554321=++++=x2951=∑=ii ni yx ，445551735295ˆ2211=-⨯⨯-=-⋅-=∑∑==xn xy x n yx bini ii ni ，………3分.55175262017121012==++++=∑=ni i x y .53417ˆˆ=⨯-=-=x b y ay 关于x 的线性回归方程为54+=x y 令5054>+=x y ，得25.11>x ，所以最小的整数为12，2016+12=2028 所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆．…5分(2)①由题意知，该地区200名购车者中女性有200-95-45=60名故其中购置新能源汽车的女性车主的有60-20=40名．所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为.178454040=+ (6)分所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为178，预测该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆，因此预测该地区2020年购置新能源汽车的女性车主的人数为5.1533178≈⨯万人 ………………………7分 ②由题意知，1350,4545≤≤+=w w p ，则)2(10)1()(3452335p p p p p C p f +-=-= …………………………8分)385(10)385(10)('22234+-=+-=p p p p p p p f …………………………9分)35)(1(102--=p p p当⎪⎭⎫⎝⎛∈53,0p 时，知0)('>p f 所以函数)(p f 单调递增 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,53p 时，知0)('<p f 所以函数)(p f 单调递减 ………………………10分所以当)(53p f p =取得最大值.62521653153532335=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛C f ………………………11分 此时534545=+w 解得30=w 所以当30=w 时)(p f 取得最大值625216．………………12分21．【解析】(1)若同时满足①②：由①||||||MN FN FM =+，可得MN 过焦点⎪⎭⎫⎝⎛2,0P F ，当||||ON OM =时p MN 2||=而p NN p ON OM 2||25||||==/==所以不同时①②成立．…2分 若同时满足①③由①||||||MN FN FM =+，可得MN 过焦点⎪⎭⎫⎝⎛2,0p F ，因为直线MN 的方程为p y 6=，不可能过焦点⎪⎭⎫⎝⎛2,0p F ，所以①③不同时成立．……………………4分只能同时满足条件②③，因为②68||||||===MN ON OM ，且直线MN 的方程为p y 6=，所以的方程2126=p 解得22=p ．所以抛物线Γ的标准方程为y x 242=………………6分(2)设过抛物线Γ的焦点F 的两条倾斜角互补的直线AB 和CD 的方程分别为2p kx y +=，2pkx y +-=（即为2+=kx y ，),2+-=kx y 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==.2,242kx y y x ，和方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==.2,242kx y y x …………………………5分得)2(242+=kx x ，08242=--kx x所以k x x B A 24=+，8-=⋅B A x x ，同理k x x D C 24-=+，8-=⋅D C x x ，………8分 所以0=+++D C B A x x x x ，设直线BC AD ,的方程为11b x k y +=，22b x k y +=，由方程组⎩⎨⎧+==.,24112b x k y y x 和方程组⎩⎨⎧+==,,2422b x k y y x …………………………………9分得)(24112b x k x +=，0242411.2=--b x k x所以k x x D A 24=+，124b x x D A -=⋅， 同理224k x x B C =+，224b x x B C -=⋅，所以0242421=+=+++k k x x x x D C B A 得021=+k k ．所以直线BC AD ,的倾斜角也互补 …………………………10分 由0=+++D C B A x x x x ，124b x x D A =⋅，8-=⋅B A x x ，8-=⋅D C x x ， 得088=-+-++DA D A x x x x 0)(8)(=⋅+-++DA D A D A x x x x x x081)(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+D A D A x x x x 024811=--b21-=b同理22-=b …………………………………11分 直线BC AD ,同过点)2,0(-P ，所以直线BC AD ,相交于定点)2,0(-P . ………………………………12分22．【解析】(1)x x e x x x e x x f 12212121)('-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--+=………………………………1分 令)(')(x f x h =，则x e x x h 122)('2+⎪⎭⎫ ⎝⎛--= ……………………………2分0>x ，1>∴x e ，110<<x e0121<-<-x e， 022<-x.02212<--∴xe x 得)('xf 在),0(+∞上是减函数．………………………………3分011)1('>-=e f ，01)411()2('2<--+=ef ，)('x f ∴在)2,1(存在零点0x ，即0)('0=x f ，210<<x)(x f ∴在),0(0x 为增函数，在),(0∞+x 为减函数．……………………4分01)1(>=ef ， 2111211e e ee f e-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛110<<e，11>e e ，111<ee01111121<--+-ee e e01<⎪⎭⎫ ⎝⎛∴e f)(x f 在),0(0x 为增函数，且01)1(<⎪⎭⎫⎝⎛⋅e f f ，)(x f ∴在),0(0x 有一个零点．……5分212)(e ee ef e -++= ,8.42,8.27.2<+<<e e 22>>e e e ，211<e e ，3.512<++e ee ， 8.67.0224)7.02(7.2222=⨯⨯+>+=>e ，.012)(2<-++=∴e ee ef e )(x f 在),0(0x 为增函数，01x <，.0)1()(0>>f x f )(x f 在),(0∞+x 为减函数，0)(<e f ，0)()(0<∴e f x f ，)(x f ∴在),(0∞+x 有一个零点，)(x f ∴在定义域内有两个零点． ……………………6分(2)当1>x 时，0)(≥x f ，当0=a 时，011>-+x ex 显然成立，下面讨论0<a 时 即ax x x a ex +-≥+ln 1，…………………………7分 考察函数x ex x h 1)(+= x ex h 11)('-=知)(x h 在),0(∞+为增函数． .ln ln ln )ln (ln ln a x x a x x a e x a e x a x a h a+-=+-=+-=- …………………………8分第11页 即)ln ()(x a h x h -≥，…………………………9分 当1≥x ，1,0><x a ，0ln >-∴x a x a x ln -≥ ……………………………10分 0ln >xxx a ln -≥∴ ……………………11分 考察x x x g ln )(-=，2)(ln 1ln )('x x x g --=)(x g 在区间),1(e 是增函数，在区间),(∞+e 上是减函数，)(x g 的最大值为e e ee g -=-=ln )(，a e a ∴-≥∴,的最小值为.e - …………12分。