统计学第11讲 单因素方差分析

单因素方差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（⽅）单因素⽅差分析概念是⽅来研究⽅个控制变量的不同⽅平是否对观测变量产⽅了显著影响。

这⽅，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素⽅差分析。

例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇⽅的⽅育率，研究学历对⽅资收⽅的影响等。

这些问题都可以通过单因素⽅差分析得到答案。

（⽅）单因素⽅差分析步骤第⽅步是明确观测变量和控制变量。

例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇⽅⽅育率、⽅资收⽅；控制变量分别为施肥量、地区、学历。

第⽅步是剖析观测变量的⽅差。

⽅差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两⽅⽅的影响。

据此，单因素⽅差分析将观测变量总的离差平⽅和分解为组间离差平⽅和和组内离差平⽅和两部分，⽅数学形式表述为：SST=SSA+SSE。

第三步是通过⽅较观测变量总离差平⽅和各部分所占的⽅例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。

（三）单因素⽅差分析原理总结在观测变量总离差平⽅和中，如果组间离差平⽅和所占⽅例较⽅，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平⽅和所占⽅例⽅，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同⽅平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。

（四）单因素⽅差分析基本步骤1、提出原假设：H0——⽅差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：⽅差分析采⽅的检验统计量是F统计量，即F值检验。

3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的⽅的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。

4、给定显著性⽅平，并作出决策（五）单因素⽅差分析的进⽅步分析在完成上述单因素⽅差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他⽅个重要分析，主要包括⽅差齐性检验、多重⽅较检验。

11-第8章单因素方差分析仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢140+第八章 单因素方差分析第一节 方差分析的基本问题一、方差分析要解决的问题t 检验法适用于样本平均数与总体平均数及两样本平均数间的差异显著性检验；而多个平均数间的差异显著性检验，必须用方差分析法。

1、检验过程繁琐一试验包含5个处理，采用t 检验法要进行25C 10＝次两两平均数的差异显著性检验；若有k 个处理，则要作k (k-1)/2次类似的检验。

2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低 12X -X s如表8-1，试验有5个处理，每个处理重复6次，共有30个观测值。

进行t 检验时，每次只能利用两个处理共12个观测值估计试验误差，误差自由度为2(6-1)=10；若利用整个试验的30个观测值估计试验误差，显然估计的精确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。

可见在用t检法进行检验时，由于估计误差的精确性低，误差自由度小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。

3、推断的可靠性低，检验的I型错误率大用t检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯I型错误的概率，降低推断的可靠性。

假设每一对检验接受零假设的概率都是1-α＝0.95，而且这些检验都是相互独立的，那么10对检验都接受概率是(0.95)10＝0.60，犯错误的概率α׳=1-0.60=0.40犯I型错误的概率明显增加。

由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜用t检验，须采用方差分析法。

二、方差分析的几个概念方差分析(analysis of variance)是由英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出的。

这种方法是将a个处理的观测值作为一个整体看待，把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异来源总体方差估计值；通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体平均数是否相等。

单因素方差分析方法首先在单因素试验结果的基础上，求出总方差V 、组内方差vw、组间方差vB。

总方差 v=()2ijx x -∑组内方差 v w =()2ij x x i-∑ 组间方差 v B=b ()2ix x -∑从公式可以看出，总方差衡量的是所有观测值xij对总均值x 的偏离程度，反映了抽样随机误差的大小，组内方差衡量的是所有观测值xij对组均值x 的偏离程度，而组间方差则衡量的是组均值x i对总均值x 的偏离程度，反映系统的误差。

在此基础上，还可以得到组间均方差和组内均方差: 组间均方差2Bs∧=1B-a v组内均方差2ws∧=aab vw-在方差相等的假定下,要检验n 个总体的均值是否相等，须首先给定原假设和备择假设。

原假设 H：均值相等即μ1=μ2=…=μn备择假设H 1：均值不完全不相等则可以应用F 统计量进行方差检验：F=)()(b ab a vv w--1B =22∧∧ss WB该统计量服从分子自由度a —1，分母自由度为ab-a 的F 分布。

给定显著性水平a ，如果根据样本计算出的F 统计量的值小于等于临界值)(a ab 1a F --，α，则说明原假设H不成立，总体均值不完全相等，差异并非仅由随机因素引起。

下面通过举例说明如何在Excel 中实现单因素方差分析。

例1：单因素方差分析某化肥生产商需要检验三种新产品的效果，在同一地区选取3块同样大小的农田进行试验，甲农田中使用甲化肥，在乙农田使用乙化肥，在丙地使用丙化肥,得到6次试验的结果如表2所示，试在0.05的显著性水平下分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差异。

表2 三块农田的产量甲 50 46 49 52 48 48 乙 49 50 47 47 46 49 丙515049465050要检验三种化肥的肥效是否存在显著差异，等同于检验三者产量的均值是否相等：给定原假设H：三者产量均值相等；备择假设H 1：三者的产量均不相等,对于影响产量的因素仅化肥种类一项,因此可以采用单因素方差分析进行多总体样本均值检验. ⑴新建工作表“例1”,分别单击B3：D8单元格,输入表2的产量数值。

所谓单因素方差分析就是在某因素作用下，以该因素为区分依据分别得到几组数据,并从几组数据方差的差异来推断该因素的影响是否存在或显著。

不难看出，方差的差异来源于两方面：一是由某因素引起的组间偏差,二是由实验误差引起的组内偏差.
这张表第一列就给出了方差类别，
第二列给出了组间平方和、组内平方和、总和（就是前两者相加)的具体数值，
第三列表示自由度,可以理解为由平方和计算方差时除的那个值(联想方差计算公式）,反映了相互独立的样本数，组间自由度为2 = r — 1 说明共有r = 3 组实验数据,组内自由度为12 = n — r 说明实验总样本数为n = 15，
第四列为均方值，即方差值，是由该行平方和除自由度得到的，
第五列F值是由组间方差除组内方差得到的，反映了组间方差与组内方差的相对大小,若该值很小，说明总方差基本是由误差引起的，也就是说之前提到的那个因素对实验结果没什么影响，若该值较大，则说明有影响。

至于到底多“大”算大这个标准是由显著性水平衡量的，
第六列显著性由显著性水平及自由度决定，一般显著性水平取0。

05，所谓显著性是指零假设为真的情况下拒绝零假设所要承担的风险水平。

而零假设就是假设因素对实验结果没有影响。

这里显著性为0。

855说明有85.5％的概率该因素对实验结果无影响，故零假设成立.。

单因素方差分析与多因素方差分析在统计学中，方差分析是一种常用的统计方法，用于比较多个样本或组之间是否存在显著性差异。

它分为单因素方差分析和多因素方差分析两种类型。

本文将对这两种分析方法进行详细讲解，并探讨其应用场景及步骤。

一、单因素方差分析单因素方差分析适用于只有一个自变量（或称因素）的情况。

它的目的是通过比较组间的差异，确定各组之间是否存在显著性差异。

以下是进行单因素方差分析的步骤：1. 设定假设：在进行方差分析之前，首先需要设定空假设和备择假设。

空假设（H0）通常假设各组的总体均值相等，备择假设（Ha）则假设至少有一组的总体均值与其他组不同。

2. 收集数据：收集与研究对象相关的数据，确保样本的选择具有代表性，并满足方差分析的基本要求。

3. 计算平方和：根据收集到的数据，计算总平方和（SST），组内平方和（SSW）和组间平方和（SSB）。

总平方和表示总体误差的方差，组内平方和表示各组内部误差的方差，组间平方和表示不同组之间的差异。

4. 计算均方：根据平方和计算均方，即总均方（MST），组内均方（MSW）和组间均方（MSB）。

均方是指平方和除以自由度。

5. 计算F值：通过计算方差比（F值）来检验组间差异的显著性。

F值越大，说明组间差异越显著。

6. 进行假设检验：基于计算的F值和设定的显著性水平，进行假设检验。

如果计算得到的F值大于临界值，则拒绝空假设，认为组间存在显著差异。

7. 进行事后比较：如果拒绝了空假设，需要进一步进行事后比较，确定具体哪些组之间存在显著差异。

一般常用的事后比较方法有Tukey、LSD等。

二、多因素方差分析多因素方差分析适用于有两个以上自变量的情况。

它能够同时考察多个自变量对因变量的影响，并进一步分析这些自变量之间的交互效应。

以下是进行多因素方差分析的步骤：1. 设定假设：与单因素方差分析一样，需要设定空假设和备择假设。

2. 收集数据：收集与研究对象相关的数据，确保样本的选择具有代表性，并满足方差分析的基本要求。

单因素方差‎分析单因素方差‎分析也称作‎一维方差分‎析。

它检验由单‎一因素影响‎的一个(或几个相互‎独立的)因变量由因‎素各水平分‎组的均值之‎间的差异是‎否具有统计‎意义。

还可以对该‎因素的若干‎水平分组中‎哪一组与其‎他各组均值‎间具有显著‎性差异进行‎分析，即进行均值‎的多重比较‎。

One-Way ANOVA‎过程要求因‎变量属于正‎态分布总体‎。

如果因变量‎的分布明显‎的是非正态‎，不能使用该‎过程，而应该使用‎非参数分析‎过程。

如果几个因‎变量之间彼‎此不独立，应该用Re‎p eate‎d Measu‎r e过程。

[例子]调查不同水‎稻品种百丛‎中稻纵卷叶‎螟幼虫的数‎量，数据如表5‎-1所示。

表5-1 不同水稻品‎种百丛中稻‎纵卷叶螟幼‎虫数数据保存在‎“DATA5‎-1.SAV”文件中，变量格式如‎图5-1。

图5-1分析水稻品‎种对稻纵卷‎叶螟幼虫抗‎虫性是否存‎在显著性差‎异。

1）准备分析数‎据在数据编辑‎窗口中输入‎数据。

建立因变量‎“幼虫”和因素水平‎变量“品种”，然后输入对‎应的数值，如图5-1所示。

或者打开已‎存在的数据‎文件“DATA5‎-1.SAV”。

2）启动分析过‎程点击主菜单‎“Analy‎z e”项，在下拉菜单‎中点击“Compa‎r e Means‎”项，在右拉式菜‎单中点击“0ne-Way ANOVA‎”项，系统打开单‎因素方差分‎析设置窗口‎如图5-2。

图5-2 单因素方差‎分析窗口3）设置分析变‎量因变量:选择一个或‎多个因子变‎量进入“Depen‎d ent List”框中。

本例选择“幼虫”。

因素变量:选择一个因‎素变量进入‎“Facto‎r”框中。

本例选择“品种”。

4）设置多项式‎比较单击“Contr‎a sts”按钮，将打开如图‎5-3所示的对‎话框。

该对话框用‎于设置均值‎的多项式比‎较。

图5-3 “Contr‎a sts”对话框定义多项式‎的步骤为：均值的多项‎式比较是包‎括两个或更‎多个均值的‎比较。