计算机图形学第6章

拟合：
在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的 曲线曲面达到某些设计要求。
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6.1.5 曲线的连续性


构造复杂曲线时，可以首先构造一些简单的自由 曲线,然后将这些简单曲线段连接成复杂曲线。 拼接条件：首先必须有连接点，其次必须在连接 点处平滑过渡，即需要满足连续性条件。 连续性条件有两种：参数连续性和几何连续性。
第二篇 几 何
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第6章 曲线与曲面
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6.1 基础知识

自由曲线和曲面发展过程 自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。 1963年，美国波音，弗格森提出使用参数三次方程来构造曲面 1964-1967年，美国MIT，孔斯用封闭曲线的四条边界来定义曲面 1971年，法国雷诺汽车，Bezier提出用控制多边形来定义曲线和曲面 1974年，美国通用汽车，戈登和里森菲尔德, B样条理论用于形状描 述 1975年，美国锡拉丘兹大学，佛斯普里尔提出有理 B样条 80年代，皮格尔和蒂勒, 将有理B样条发展成非均匀有理B样条， NURBS方法

二阶参数连续性（记作C2） 指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶 和二阶导数。
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6.1.5 曲线的连续性—几何连续性


几何连续性只要求导数成比例，而不是相等。 零阶几何连续性（记作 G 0）： 与零阶参数连续性相同，即相邻两个曲线段 在交点处有相同的坐标。
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6.1.5 曲线的连续性—几何连续性
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6.1.6 三次Hermite样条曲线

给出端点坐标、端点坐标的切矢量，即： P(0),P(1), P’(0),P’(1)
根据条件，得出方程：
P (0) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P (1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 2 P '(0) 3a3t 2a2t a1 a1 P '(1) 3a3 2a2 a1
矩阵形式：
P0 0 P1 1 P 0 ' 0 P 1' 3
0 0 1 1 1 1 0 1 0 2 1 0
1
0 1 0 2
0 1 1 1
1 a3 a2 1 0 a1 0 a0
拟合型
对已经存在的离散点列构造出尽可能光滑 的曲线，用以直观（而忠实）地反映出实 验特性、变化规律和趋势等。
设计型
设计人员对其所设计的曲线并无定量的
概念，而是在设计过程中即兴发挥。
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6.1.1 曲线的表示
曲线的表示方法
参数表示
非参数表示 显示表示 隐式表示
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6.1.6 三次Hermite样条曲线
例1：给定9个型值点，其中起始点和终止点是同一个点，从而其特 征多边形是一个首尾相接的封闭多边形，具体坐标位置如下： （100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）, （420,200）,（420,300）,（220,280）,（100,300） 假定各点处的一阶导数数值如下： （70,-70）, （70,-70）, （70,-70）,（70,-70）, （70,70）, （70,70）, （-70,70）,（-70,70）, （70,-70） 用Hermite插值方法绘制曲线。 解：p0=(100,300) p1=(120,200) p0’=(70,-70) p1’=(70,-70) For(t=0;t<=1;t=t+0.1)或 For(t=0;t<=1;t=t+0.01)或
• 控制点 用来控制或调整曲线形状的特殊点（不一定在曲线上） • 插值点
在型值点或制点之间插入的一系列点。
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6.1.2 插值

插值

给定一组有序的数 据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线 顺序通过这些数据 点，称为对这些数 据点进行插值，所 构造的曲线称为插 值曲线。
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三次参数样条曲线方程可以写成：
P0 P1 t 1] Mh P 0 ' P 1'
P(t ) [t 3 t 2
三次Hermite样 条曲线的方程
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6.1.6 三次Hermite样条曲线

上式展开
其中:
称为Hermite样条调和函数
因为它们调和了边界约束值，使在整个参数范围内产生曲线的 坐标值。调和函数仅与参数t有关，而与初始条件无关。
则：
a3 0 a 2 1 a1 0 a0 3
P0 2 2 1 1 P0 P1 3 3 2 1 P1 P 0 ' 0 0 1 0 P0 ' P 1' 1 0 0 0 P 1'
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6.1.1 曲线的表示

直线的参数方程表示为：
x x1 ( x2 x1 )t y y1 ( y 2 y1 )t
，t∈[0,1]
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6.1.1 曲线的表示
参数表示法的优越性：
1）用参数表示的曲线形状本质与坐标系的选取无关，具有几 何不变性。 2）有更大自由度来控制曲线、曲面的形状。 3）容易实现各种线性变换运算。
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6.1 基础知识
从表示形式来看，曲线可分成两大类： 可以用标准方程描述的曲线。如圆、 规则曲线—— 椭圆、抛物线、双曲线、渐开线、 摆线等 曲线 无法用标准方程描述的曲线，通常 自由曲线—— 由一系列实测数据点确定。如汽车 的外形曲线、等高线等。
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6.1 基础知识
从生成算法来看，曲线可分成两大类：

一阶几何连续性（记作 G 1） 指相邻两个曲线段在交点处的一阶导数成比 例，但大小不一定相等。
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6.1.5 曲线的连续性 –几何连续性

二阶几何连续性（记作 G 2） 指相邻两个曲线段在交点处的一阶和二阶导 数成比例，即曲率一致。
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样条曲线

在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲线的形状。 绘图员弯曲样条（如弹性细木条）通过各实测点，其
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6.1.6 三次Hermite样条曲线
例2：试求两段三次Hermite曲线达C1连续的条件。 解：两段三次Hermite曲线分别为：
Q1(t1)=a3t1 + a2t1+ a1t1+ a0
Q2(t2)=b3 t2 + b2t2+ b1t2+ b0
t1∈[0 1]
t2∈[0 1]
依据C1连续充要条件为：
6.1.1 曲线的表示--以直线为例

已知直线的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标P2 （x2，y2）,直线的显式方程表示为：
y 2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1

直线的隐式方程表示为：
y2 y1 f ( x，y) y y1 ( x x1 ) 0 x2 x1
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6.1.6 三次Hermite样条曲线
P (0) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P (1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(0) 3a3t 2 2a2t a1 a1 P '(1) 3a3 2a2 a1
Q1(1)和Q2(0)在P点处重合，且其在P点处的切
矢量方向相同，大小相等
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6.1.6 三次Hermite样条
即 Q1(1)= Q2(0)、Q1’(1)= Q2’(0)、Q1”(1)= Q2”(0)
有 Q1(1)= a3 + a2 + a1 + a0
Q2(0)= b0 因 Q1’(t1)=3a3t1 + 2a2 t1+ a1 Q2’(t2)=3b3 t2+ 2b2 t2+ b1 则 Q1’(1)=3a3 + 2a2+ a1 Q2’(0)= b1 因 Q1”(t1)=6a3t1 + 2a2 Q2”(t2)=6b3t2 + 2b2 则 Q1”(1)=6a3+ 2a2 Q2”(0)= 2b2
它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得到样条
曲线（Spline Curve)。

在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲线段 （可为规则/自由曲线段）连接而成的曲线，在每段 的边界处满足特定的连续性条件。
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样条的插值

通常：进行分段插值 n+1个控制点进行分段，建立简单的数学模型； 在线段交点处，设置边界条件进行光滑连接。
6.1.2 插值 –线性插值

线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1 和x2的值，用线形函数 y=Φ (x)=ax+b近似代替， 称Φ (x)为f(x)的线性插值函数。
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6.1.2 插值 –抛物线插值
抛物线插值(二次插值)
已知f(x)在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3， 要求构造函数 y =Φ (x)=ax2+bx+c,使得Φ (x)在xi处与 f(x)在xi处的值相等。