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3-1（1） )(2)(2.0t r t c= （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c=++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。
已知全部初始条件为零。
解：（1） 因为)(2)(2.0s R s sC =闭环传递函数ss R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010)(≥=t t g单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c（2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++=s s s R s C 闭环传递函数124.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 325)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++=s s s s s s Ct e t e t c t t 4sin 434cos 1)(33----=3-2 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。
若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Ts s s s G 1)(1)()(=Φ-Φ= ⎩⎨⎧==11v T K用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T Ke ss ︒===5.21010。
解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1111)()(1)()()(+=+-=-==ΦTs TsTs s R s C s R s E s e C T s Ts Ts ss R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.210101lim )()(lim 23-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为)1.536.1sin(5.1210)(2.1o tt et c +-=-试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。
3-1 解 该线圈的微分方程为 u =+diiR L dt对上式两边取拉氏变换，并令初始条件为零，可得传递函数为()1=()(+)+1I s RU s L R 时间常数+0.005T L R s ==，过渡时间=30.015s t T s =。
3-2 解 如图2-3-2所示系统的闭环传递函数为010()=(s)0.2+1+10+1H K C s KR S K Ts =其中0101+10H K K K =,0.21+10HT K =原系统的时间常数为0.2s ，放大系数为10，为了满足题目的要求，令0.02T s =和10K =,有0.9H K =和010K =。
3-3 解 设为温度计的输入，表示实际水温，设为温度计的输出，表示温度计的指示值，若实际水温为R （常值），则输入为幅值为R 的阶跃函数，输出为(t)=R(1-e )T c τ根据所给条件，有则时间常数。
3-4 解：所给传递函数的闭环极点为21,2=-1-n n s j ζωωζ±根据上式表达式，可以确定图2-3-3中的阴影部分为闭环极点可能位于的区域（考虑到对称性，只绘出s 平面的上半平面）。
图2-3-3 闭环极点可能位于的区域3-5解：典型二阶系统的传递函数为由如图2-3-4所示的响应曲线，可知峰值时间，超调量，根据二阶系统的性能指标计算公式和可以确定和，根据如图2-3-4所示曲线的终值，可以确定。
3-6 解：如图2-3-5所示系统的传递函数为是一个典型的二阶系统，其自然振荡频率为，令阻尼比可以确定，性能指标及分别为3-7 解：系统为典型二阶系统，自然振荡频率，阻尼比。
单位阶跃响应的表达式为(t>0)单位斜坡响应的表达式为3-8 解：当时，系统的闭环传递函数为其中，无阻尼自然振荡频率，阻尼比，单位阶跃响应的超调量峰值时间和过度过程时间分别为16.3%、0,36s和0.7s当,时系统的闭环传递函数为其中，无阻尼自然振荡频率，阻尼比，单位阶跃响应的超调量、峰值时间和过渡过程时间分别为30.9%、0.24s和0.7s。
3-1设系统的微分方程式如下:(1)0.2c(t) 2r(t)单位脉冲响应：C(s) 10/s g(t) 103t3 3tc(t) 1 e cos4t e si n4t413-2 温度计的传递函数为 —，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的Ts 198%的数值。
若加热容器使水温按 10(C/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数由一阶系统阶跃响应特性可知： c(4T) 98 o o ，因此有 4T 1 min ，得出T 0.25 min 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为(s)1K 1TG(s)—1(s) Tsv 1用静态误差系数法，当r(t) 10t 时，e ss10 10T 2.5 C oK(2) 0.04c(t)0.24c(t) c(t)r(t)试求系统闭环传递函数① 部初始条件为零。
解：(s),以及系统的单位脉冲响应 g(t)和单位阶跃响应 c(t)。
已知全(1)因为 0.2sC(s)2R(s) 闭环传递函数(s)C(s) 10R(s) s单位阶跃响应c(t) C(s) 10/s 2c(t) 10t t 0(2) (0.04s 20.24s 1)C(s) R(s)C (s )闭环传递函数(s)C(s) R(s)120.04s0.24s 1单位脉冲响应:C(s)120.04s 2 0.24s 1g(t)25 e 33tsi n4t单位阶跃响应h(t) C(s)25 s[(s 3)216]1 s 6 s (s 3)216(s)1 Ts 1解法二依题意，系统误差疋义为e(t) r(t) c(t)，应有e(s)E(s)1 C(s)R(s)11 TsR(s) Ts 1 Ts 13-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为c(t) 10 12.5e 1.2t sin(1.6t 53.1o)试求系统的超调量c%、峰值时间t p和调节时间t'si n( 1n t )t p Jl- 1.96(s■1 2n1.63.5 3.5t s 2.92(s)n 1.2或：先根据c(t)求出系统传函，再得到特征参数，带入公式求解指标。
⾃动控制原理---丁红主编---第三章习题答案习题3-1.选择题：（1）已知单位负反馈闭环系统是稳定的，其开环传递函数为：)1(2)s )(2+++=s s s s G （，系统对单位斜坡的稳态误差是： 3-2 已知系统脉冲响应t e t k 25.10125.0)(-=试求系统闭环传递函数)(s Φ。
解Φ()()./(.)s L k t s ==+001251253-3 ⼀阶系统结构图如图3-45所⽰。
要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。
图题3-3图解由结构图写出闭环系统传递函数111)(212211211+=+=+=ΦK K sK K K s K sK K s K s 令闭环增益212==ΦK K ，得：5.02=K 令调节时间4.03321≤==K K T t s ，得：151≥K 。
3-4 设⼆阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图所⽰。
如果该系统为单位反馈控制系统，试确定其开环传递函数。
图题3-4图解：由图知，开环传递函数为3-5 设⾓速度指⽰随动统结构图如图3-40所⽰。
若要求系统单位阶跃响应⽆超调，且调节时间尽可能短，问开环增益K 应取何值，调节时间s t 是多少图3-40 题3-5图解：依题意应取 1=ξ，这时可设闭环极点为02,11T -=λ。
写出系统闭环传递函数Ks s Ks 101010)(2++=Φ闭环特征多项式20022021211010)(++= +=++=T s T s T s K s s s D ⽐较系数有==K T T 101102200 联⽴求解得 ??==5.223-6 图所⽰为某控制系统结构图，是选择参数K 1和K 2，使系统的ωn =6，ξ=1.3-7 已知系统的特征⽅程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平⾯根的个数及纯虚根。
（1）01011422)(2 345=+++++=s s s s s s D （2）0483224123)(2345=+++++=s s s s s s D （3）022)(45=--+=s s s s D（4）0502548242)(2345=--+++=s s s s s s D解（1）1011422)(2345+++++=s s s s s s D =0Routh ： S 5 1 2 11 S 4 2 4 10 S 3 ε 6 S 2 εε124- 10 S 6 S 0 10第⼀列元素变号两次，有2个正根。
例3-1 系统的结构图如图3-1所示。
已知传递函数 )12.0/(10)(+=s s G 。
今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间t s减小为原来的倍，并保证总放大系数不变。
试确定参数K h 和K 0的数值。
解 首先求出系统的传递函数φ（s ），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件对照。
一阶系统的过渡过程时间t s 与其时间常数成正比。
根据要求，总传递函数应为)110/2.0(10)(+=s s φ即HH K s K s G K s G K s R s C 1012.010)(1)()()(00++=+= )()11012.0(101100s s K K K HHφ=+++=比较系数得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1010110101100H HK K K 解之得9.0=H K 、100=K解毕。
例3-10 某系统在输入信号r (t )=(1+t )1(t )作用下，测得输出响应为：t e t t c 109.0)9.0()(--+= （t ≥0）已知初始条件为零，试求系统的传递函数)(s φ。
解 因为22111)(ss s s s R +=+=)10()1(10109.09.01)]([)(22++=+-+==s s s s s s t c L s C 故系统传递函数为11.01)()()(+==s s R s C s φ 解毕。
例3-3 设控制系统如图3-2所示。
试分析参数b 的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。
解 由图得闭环传递函数为1)()(++=s bK T Ks φ系统是一阶的。
动态性能指标为)(3)(2.2)(69.0bK T t bK T t bK T t s r d +=+=+= 因此，b 的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。
解毕。
例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。
试确定系统的传递函数。
解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，4 30 t图3-34 二阶控制系统的单位阶跃h (t )而是3。
第三章例3-1 系统的结构图如图3-1所示。
已知传递函数 )12.0/(10)(+=s s G 。
今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间t s减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。
试确定参数K h 和K 0的数值。
解 首先求出系统的传递函数φ（s ），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件对照。
一阶系统的过渡过程时间t s 与其时间常数成正比。
根据要求，总传递函数应为)110/2.0(10)(+=s s φ即HH K s K s G K s G K s R s C 1012.010)(1)()()(00++=+= )()11012.0(101100s s K K K HHφ=+++=比较系数得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1010110101100H HK K K 解之得9.0=H K 、100=K解毕。
例3-10 某系统在输入信号r (t )=(1+t )1(t )作用下，测得输出响应为：t e t t c 109.0)9.0()(--+= （t ≥0）已知初始条件为零，试求系统的传递函数)(s φ。
解 因为22111)(ss s s s R +=+=)10()1(10109.09.01)]([)(22++=+-+==s s s s s s t c L s C 故系统传递函数为11.01)()()(+==s s R s C s φ 解毕。
例3-3 设控制系统如图3-2所示。
试分析参数b 的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。
解 由图得闭环传递函数为1)()(++=s bK T Ks φ系统是一阶的。
动态性能指标为)(3)(2.2)(69.0bK T t bK T t bK T t s r d +=+=+= 因此，b 的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。
解毕。
例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。
试确定系统的传递函数。
解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。
自动控制原理(孟华)第3章习题解答自动控制原理(孟华)的习题答案。
3.1.已知系统的单位阶跃响应为c(t) 1 0.2e 60t 1.2e 10t试求：（1）系统的闭环传递函数Φ(s)=？(2) 阻尼比ζ=？无自然振荡频率ωn=？解：（1）由c(t)得系统的单位脉冲响应为g(t) 12e 60t 12e 10t (t 0)(s) L[g(t)] 12__12 2 s 10s 60s 70s 6002n（2）与标准(s) 2对比得：2s 2 n nn 600 24.5，702 6001.4293.2.设图3.36 (a)所示系统的单位阶跃响应如图3.36 (b)所示。
试确定系统参数K1,K2和a。
(a) (b)图3.36 习题3.2图解：系统的传递函数为K12 nK1K2s(s a)W(s) K2 2 K2 2K1s as K1s 2 n n1s(s a)又由图可知：超调量Mp4 3133峰值时间tp 0.1 s自动控制原理(孟华)的习题答案。
代入得2n K1 1 21e30.1 2 n K K2解得：ln32；0.33，n10 2233.3，K1 n 1108.89，a 2 n 2 0.33 33.3 21.98，K2 K 3。
3.3. 给定典型二阶系统的设计性能指标：超调量p 5%，调节时间ts 3s，峰值时间tp 1s，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。
解：设该二阶系统的开环传递函数为2nG sss 2 n 20.05 p e33 则满足上述设计性能指标：ts nt 1 p2n得：0.69，n 1 n2由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示：自动控制原理(孟华)的习题答案。
3.4.设一系统如图3.37所示。
(a)求闭环传递函数C(s)/R(s)，并在S平面上画出零极点分布图；(b)当r(t)为单位阶跃函数时，求c(t)并做出c(t)与t的关系曲线。
图3.37 习题3.4图解：(a)系统框图化简之后有C(s)2 s2 R(s)s 0.5s 2.252 s(s35j)(s j)22z1 2,s1,2零极点分布图如下：35j 2自动控制原理(孟华)的习题答案。
第三章习题答案
名词解释
1．超调量:系统响应的最大值与稳态值之差除以稳态值。
定义为
)
()(max ∞∞-=c c c σ 2．开环传递函数中含有2个积分因子的系统称为II 型系统。
3．单位阶跃响应达到第一个峰值所需时间。
4．指响应达到并保持在终值5%内所需要的最短时间。
5. 稳态误差：反馈系统误差信号e(t) 的稳态分量(1分)，记作e ss (t)。
6．开环传递函数中不含有积分因子的系统。
7．上升时间:○
1响应从终值10%上升到终值90%所需的时间；或○2响应从零第一次上升到终值所需的时间。
简答
1. 在实际控制系统中，总存在干扰信号。
1） 时域分析：干扰信号变化速率快，而微分器是对输入信号进行求导，因此干扰
信号通过微分器之后，会产生较大的输出；
2） 频域分析：干扰信号为高频信号，微分器具有较高的高频增益，因此干扰信号
易被放大。
这就是实际控制系统中较少使用纯微分器的原因。
2．系统稳定的充分条件为：劳斯阵列第一列所有元素不变号。
若变号，则改变次数代表正
实部特征根的数目。
3．二阶临界阻尼系统特征根在负实轴上有两个相等的实根，其单位阶跃响应为单调递增曲
线，最后收敛到一个稳态值。
4. 闭环特征根严格位于s 左半平面；或具有负实部的闭环特征根。
5．欠阻尼状态下特征根为一对具有负实部的共轭复数，单位阶跃响应是一个振荡衰减的曲
线，最后收敛到一个稳态值。
6．阻尼小于-1的系统，特征根位于正实轴上，单位阶跃响应是一个单调发散的曲线。
7. 无阻尼状态下特征根为一对虚根，响应为等幅振荡过程，永不衰减。
8．图4(a)所示系统稳定，而图4(b)所示系统不稳定。
原因是图4(b)所示系统的小球收到
干扰后将不能恢复到原来的平衡状态。
9．不能。
原因是：两个一阶惯性环节串联后的极点为实极点；而二阶振荡环节的极点为复
数极点。
计算题
1. 解：r(t)=2t.
v=1,系统为I 型系统
k v =2,
e ss =1.
2.解：构造Routh 表：
25:010:
255:
03/803/16:25203:
35121:
012345s s s s s s
辅助方程：02552=+s 故纯虚根为：j s 52,1±=；故系统处于临界稳定状态。
由于第一列系数没有变号，无右半平面的闭环特征根。
3．解：构造Routh 表
K
s K K K s K
K s K s K s 2:0)
1020)(10(:023/)10(:0
23:241:
021234----+ 要使系统稳定，必须满足：
⎪⎩
⎪⎨⎧>>-->-0010200102K K K K 解之得：71.15530≈-<<K
4． 解：系统闭环传递函数为
K
s K s K s ++=Φα2)( 依题意，闭环特征方程为：
22)1)(1()(22++=-+++=++=s s j s j s K s K s s D α
则：1,2==αK
5． 解：因为系统为I 型系统，故
1） 阶跃响应下，e ss =0
2） 加速度响应下，e ss =∞
6. 解：由开环传递函数知，系统为I 型系统 ，而输入信号中含有加速度信号，故稳态误差为∞
7. 解：构造劳斯表
5
s 0 6 s 5
1s 0
4 2 s
5 3 1 s 0152-41124-32 2 34-==⨯⨯⨯
劳斯表第一列变号两次，表明有两个正实部的特征根；系统不稳定。
