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第三章自动控制原理

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自动控制原理第三章

自动控制原理第三章

σ % = 0没有超调，非周期响应，
惯性环节亦称非周期环节。
t s = 3 T ( ± 5 % 误差带 t s = 4 T ( ± 2 % 误差带 T 越小， )
C(t)
1 1/T斜率 0.632
h (t ) = 1 − e − t /T
)
0
系统的快速性越好。
T
t
1.
一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1,试求系统的调节时间ts，如果要求 ts= 0.1秒。试求反馈系数应取多大？
§3－1 控制系统的时域指标
h(t)
σ
1.0
误 差 带 5%或 2%
td 0.5
h(∞)
0
tr tp ts
控制系统的时域性能指标，是根据系统在单位阶跃函数作用下的时间 响应——单位阶跃响应确定的，通常以y（t）表示。
1、超调量σ% 、超调量 响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。 y (t ) − y (∞) 即 超调量表示系统响应过冲的 σ% = × 100% y (∞ ) 程度 。 2、上升时间tr 响应曲线从零首次上升到稳态值h(∞)所需的时间，称为 上升时间。对于响应曲线无振荡的系统，tr是响应曲线从 tr 稳态值的10%上升到90 %所需的时间。 延迟时间td:响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。 3、峰值时间tp
§3－2 一阶系统的阶跃响应
一、一阶系统的数学模型
dy (t ) + y (t ) = x(t ),T为时间常数。 dt 1 k 1 = , k = 为开环增益 开环传递函数：G0 ( s) = T Ts s G0 ( s) Y ( s) 1 闭环传递函数：G（s） = = = X ( s) 1 + G0 ( s) Ts + 1 微分方程为：T

自动控制原理第三章

自动控制原理第三章

0.368/T 0.135/T 0.05/T
时输出称为脉冲（冲激）响应 函数，以h(t)标志。 t 1 T h( t ) C 脉冲 ( t ) e T
0
T
2T
3T
t
求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于 系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。
六. 二阶系统的时域分析
＝e
ts T
( 取5%或2%)
t s 3T ( 5% ) t s 4T ( 2% )
T反映了系统的 惯性。 T越小惯性越小， 响应快！ T越大，惯性越 大，响应慢。
2. 单位斜坡响应 [ r(t) = t ]
1 1 1 T T C ( s) 2 2 Ts 1 s s s s 1 T c( t ) t T Te t / T ( t 0)
1. 阶跃函数（位置函数） A r(t) 0 记为 1(t) t0 t0
f(t)
1
令 A 1 称单位阶跃函数， 1 s
R(s) L1(t)
0
t
2. 斜坡函数 （等速度函数）
At t 0 r (t ) 0 t0
A=1，称单位斜坡函数,记为 t· 1(t)
i t
i 1
n
y p (t) 是强迫响应， fi 由输入信号决定。 C
零输入响应是系统的输入为零时，系统的 初始状态所引起的响应。 零输入响应表示为：
y x (t) C xi e
i 1
n
i t
C xi 由初始状态决定。
两种分解方法的关系是：
y(t) Ci e y p (t) i 1 强迫响应

自动控制原理第三章(胡寿松)

自动控制原理第三章(胡寿松)

11
成都信息工程学院控制工程系
第一章 自动控制的一般概念
注意：
1．不同性质的控制系统，对稳定性、准 确性和快速性要求各有侧重。 2．系统的稳定性、准确性、快速性相互 制约，应根据实际需求合理选择。
12
成都信息工程学院控制工程系
第三章 线性系统的时域分析法
延迟时间td:响应曲线第一次到达终值一半所需的 时间。
调节时间ts：响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的 最小时间，误差带通常取 5 % h ( )或 2 % h ( )
h(t)

1.0
误 差 带 5%或 2%
0.5
td
h()
0
tr tp ts
16
成都信息工程学院控制工程系
第三章 线性系统的时域分析法
超调量σ%：响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值 之比。即：
快速性：输出量产生偏差时，系统消除这种偏差的快 慢程度。快速性表征系统的动态性能。一般用过渡过 程的时间来表示，如：上升时间、峰值时间、调节 时间等。
10
成都信息工程学院控制工程系
第一章 自动控制的一般概念
准确性：是衡量控制系统控制精度的重要标志。一般 用被控量的稳态值与期望值之间的误差（称为稳态误 差）表示。
成都信息工程学院控制工程系
3
第一章 自动控制的一般概念
⑴阶跃函数
Step Signal 5 4 3 2 1 0 -1 -1 0 1 2 3 4 t 5 r(t)
函数表达式：
当A=1时称为单位阶跃信号。
阶跃信号：含宽频带谐波分量，产生容易，是最常 用系统性能测试信号。
4
成都信息工程学院控制工程系
第一章 自动控制的一般概念

《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标

《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标

i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2

自动控制原理-第3章-时域分析法

自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点

自动控制原理第三章

自动控制原理第三章
1
P75 二阶系统的 结构图
20
2019/4/2
《自动控制原理》第三章
1、无阻尼情况 ( 0)
s 1 ct (t ) L [ 2 ] cos nt t 0 2 s n
等幅振 荡
特征方程有一对共轭虚根 s1,2 jn 2、欠阻尼情况 (0 1)
2019/4/2
《自动控制原理》第三章
7
三.劳斯稳定判据的应用
1、判断系统的稳定性 例: a3 s 3 a2 s 2 a1s a0 0 解:
判断稳定性。
s
3
a3 a2 a1a2 a3 a0 a2 a0
a1 a0 0
0 0
s2 s1 s
0
三阶系统稳定的充要条件是: ai
2019/4/2
瞬态ct (t ) e
ct (t )
t
T
, 稳态css (t ) 1(t )
css (t )
dc(t ) 1 e t /T dt t 0 T
c(t )

t 0
1 T
+
=
2019/4/2
《自动控制原理》第三章
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二.一阶系统的动态性能指标
c(t )
t 3T
(1 e
t /T
)
t 3T
1 e
3T /T
0.95
T0 T 1 K0
ts 3T
ts 是一阶系统的动态性能指标。
增大系统的开环放大系数K0 会使T 减小，使ts 减小。
2019/4/2
《自动控制原理》第三章
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第四节
二阶系统的动态性能指标
二阶标准型 或称典型二阶系 统传递函数

自动控制原理第3章

自动控制原理第3章

arctan 9 3
1.25rad
则响应为 y(t) 1 2 e 3t 0.95e j1.25e (1 j)t 0.95e j1.25e (1 j)t 5
1 2 e 3t 0.95e t e j(t1.25) e j(t1.25) 5 1 2 e 3t 1.9e t cos(t 1.25)
平衡位置：力学系统中，当系统外的作 D
用力为零时，位移保持不变的位置。
此时位移对时间的各阶导数为零。 A点和D点是平衡位置， B点和C点不是平衡位置。
O
B
C
A
稳定的平衡位置：若在外力作用下，系统偏离了平衡位置，但 当外力去掉后，系统仍能回到原来的平衡位置，则称这一个平 衡位置是稳定的平衡位置。
所以A点是稳定的平衡位置，而D点不是稳定的平衡位置。
注意：输入信号为非单位阶跃信号时，依齐次性，响应 只是沿纵轴拉伸或压缩，基本形状不变。所以ts 、 tr、 tp 、 σ并不发生变化。
当t < ts时，称系统处于动态；当t > ts时，称系统处于稳态。
3.2 一阶系统的单位阶跃响应
一阶系统（惯性环节）
G(s) 1 Ts 1
单位阶跃响应为
t
y(t) 1 e T
设零初始状态，y(0)=0 r (t)=1(t)时，y(t)的响应曲线为
y(t)
1.05 y(∞)
ym
y(∞)
0.95 y(∞)
tr tp
ts
ym：单位阶跃响应的最大偏离量。 y(∞)：单位阶跃响应的稳态值。并非期望值。 ts：调节时间。y(t)进入0.5*y(∞)或0.2* y(∞)构成的误差带 后不再超出的时间。 tr：上升时间。 y(t) 第一次达到 y(∞)的时间。

自动控制原理第三章

自动控制原理第三章

(1)延迟时间 t d ：曲线第一次达到终值一半 所需的时间。 (2)上升时间 t ：响应曲线从终值10％上 升到90％所需的时间；对于欠阻尼系统 可定义为响应从零第一次上升到终值所 需的时间。 (3)峰值时间 t p ：响应超过终值到达第一个 峰值所需的时间。 ) (4)超调量M ：响应的最大偏离量c(t 与终值 c (∞ ) 之差的百分比，即
图3-10
0 < ζ < 1 时的单位阶跃响应
0 < ζ < 1情况下二阶系统单位阶跃响应的暂态
性能的各项指标。 ①上升时间 tr ：是指在暂态过程中第一次达 到稳态值的时间。
π − arctan
tr = 1−ζ 2
ζ
2
ωn 1 − ζ
=
1
ωd
(π − arctan
1− ζ 2
ζ
)
tp
②峰值时间t p ：是指响应由零上升到第一个峰 值所需的时间。
3.3.2 单位阶跃响应
对于单位阶跃输入r(t)=1(t)，R(s)=1/s，得到系统 的输出为
2 ωn s + 2ζωn 1 C ( s) = Φ( s) R( s) = = − 2 2 2 2 s ( s + 2ζωn s + ωn ) s s + 2ζωn s + ωn
当 ζ 为不同值时，所对应的响应具有不同 的形式。 （1）当 ζ = 0时，为零阻尼情况，系统的输出 为 ω 1 s
(t ≥ 0)
1 − t T
e(t ) = r (t ) − c(t ) = Tt − T (1 − e
2
)
表3-1 一阶系统对典型输入信号的响应
传递函数 输入信号 输出响应

自动控制原理-第3章

自动控制原理-第3章

响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法

自动控制原理第三章

自动控制原理第三章

A=1，称单位斜坡函数,记为 t· 1(t)
f(t)
1 L[t 1( t )] 2 s
0 t
考查系统对匀速信号的跟踪能力
3. 抛物线函数（等加速度函数）
1 2 At t0 r (t ) 2 t0 0
f(t)
A=1，称单位抛物线函数,记为
1 2 t 1( t ) 2
线性定常系统的重要性质
1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系 统的输出则为原来输出的导数。 C ( s) GB ( s) R( s) dr( t ) C1 ( s ) GB ( s ) L[ ] G B ( s ) sR( s ) sC ( s ) dt dc( t ) c1 (t ) dt 2. 在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号 时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分， 积分常数由零初始条件决定。 R( s ) 1 C 2 ( s ) GB ( s ) L[ r ( t )dt] GB ( s ) C ( s) s s y2 ( t ) y( t )dt
单位脉冲响应 [R(s)=1] h(t) 1 1/T C ( s) Ts 1 它恰是系统的闭环传函，这 0.368/T 时输出称为脉冲（冲激）响应 0.135/T 0.05/T 函数，以h(t)标志。 t 1 T 0 T 2T 3T h( t ) C脉冲 ( t ) e T 3.2.3
二阶系统有两个结构参数ξ (阻尼比)和n(无阻尼振荡频 率) 。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。
例如: RLC电路 R
L
r ( t)
C
c(t)
微分方程式为： d 2 c( t ) dc( t ) LC RC c( t ) r ( t ) 2 dt dt 2 n C ( s) 1 Φ( s ) 2 零初条件 2 2 2 R( s ) T s 2Ts 1 s 2n s n

自动控制原理 第三章

自动控制原理 第三章

−
1 t T1
1 + e T1 / T2 − 1
−
, (t ≥ 0) (3 − 22)
36
过阻尼系统分析
衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。 衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对 值大的离虚轴远，衰减速度快， 值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚 轴近， 轴近，衰减速度慢 衰减项前的系数一个大， 衰减项前的系数一个大，一个小 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性， 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振 荡和超调， 荡和超调，但又不同于一阶系统 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响 大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的 影响小，有时甚至可以忽略不计。 影响小，有时甚至可以忽略不计。
1 R( s ) = s
输出： 输出：
1 1 C ( s) = Φ( s) R( s) = ⋅ Ts + 1 s
C (t ) = 1 − e
− t T
21
单位阶跃响应曲线
t
初始斜率： dh(t ) |t =0 = 1 dt T
22
性能指标
1. 平稳性σ%： 非周期、无振荡， 非周期、无振荡， σ% ＝0 2. 快速性ts：
此时s1, s2为 此时 一对实部为 正的共轭复 根，位于复 平面的右半 部。
34
2
⑥特征根分析—— ζ <−1 （负阻尼）
s1,2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1
此时s1,s2为 此时 两个正实根， 两个正实根， 且位于复平 面的正实轴 上。
35
二阶系统单位阶跃响应
1.过阻尼(ζ > 1) 二阶系统的单位阶跃响应 过阻尼
1 t
②单位斜坡函数 其数学表达式为： 其数学表达式为： t f ( t ) = t . 1( t ) = 0 其拉氏变换为： 其拉氏变换为：

自动控制原理第三章01

自动控制原理第三章01

一、一阶系统的阶跃响应
阶跃信号： 阶跃响应：
c(t ) L1[C( s)] 1 e
1 t T
一阶系统的性能指标以及定量描述
快速性： 考察c(t)≈1的时间。时间常数T的几何意义。
又 c(3T)=0.95 误差<±5%
c(4T)=0.982 误差<±2%
一阶系统的性能指标
过渡时间：
第三章
控制系统的时域分析
本章讨论控制系统的运动分析 数学上为微分方程的时间解，为直接分
析。称系统的时域分析。
使用传递函数，或参数模型，因此为间
接分析（不求解）
§3.1 时域分析的一般方法
一般系统： R(s)输入信号，C(s)输出信号 一、基本实验信号
（1）单位脉冲信号
（2）单位阶跃信号
（3）单位斜坡信号
阻尼比： =1 特征根： 闭环传递函数 输出 时间响应
3、欠阻尼运动
阻尼比：0 < < 1
特征根：
参量说明
——阻尼比 n——无阻尼振荡频率 [弧度]/秒 d——阻尼振荡频率 ——阻尼角
输出
时间响应
4、无阻尼运动
阻尼比： =0 特征根： 闭环传递函数
输 出
时间响应
四种响应比较
>1，过阻尼,系统调节时间最长，进入稳态很慢。 =1，临界阻尼，无超调量，响应速度比过阻尼快。 =0，无阻尼，曲线等幅振荡。 0<<1，欠阻尼，上升时间比较快，调节时间较短， 但是有一定的超调量。 系统要求： （1）超调量 Mp 的大小在给定的要求范围之内， （2）调节时间 ts 比较短。
ts=3T
ts=4T
±5%
±2%
平稳性：无超调量，准确性：可以满足 。 参数模型：时间常数T。

自动控制原理第三章

自动控制原理第三章

ωn2 1 2 1 e ξ ω t sin(ω n 1 ξ d t + β ) 2 2 S ( S 2 + 2ξω n S + ω n ) 1 ξd
d n
ωn ωn 1 1 2 2 e ξ d ω nt sin ω n 1 ξ d t Z S + 2ξ d ω n S + ω n 2 Z 1ξ 2 d
2 '
Td ωn ξ = 2
'
Td ωn ξd = ξ + ξ = ξ + 2
'
令
1 z= Td
ωn 2 ( S + z ) = 2 z ( S 2 + 2ξ d ωn S + ωn )
结论 1可通过适当选择微分时间常数
Td
，改变 ξ d 阻尼的大小
2比例－微分控制可以不改变自然频率ω n ，但可增大系统的阻尼比 1 z= 3由于PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点， Td 故比例－微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。
2
1 ) Td
ω n (Td S + 1) G (s) = 2 = 2 φ ( s) = 2 2 2 2 1 + G ( s ) S + 2ξω n S + Td ω n S + ω n S + (2ξω n + Td ω n ) S + ω n
2
Td ω n ( S +21 ) TdTd ωn = 2ξ ωn
当输入为单位阶跃函数时
ωn 1 S+Z C ( s ) = φ ( s) R( s ) = 2 2 Z S S + 2ξω n S + ω n

自动控制原理第三章

自动控制原理第三章

三 时域分析法2-3-1 若某系统，当零初始条件下的单位阶跃响应为t t e e t c --+-=21)(试求系统的传递函数和脉冲响应。

【解】 传递函数：[][])2)(1(24)()()(1)()(,)2)(1(24)()(22++++====++++==s s s s s R s c s G st r L s R s s s s s t c L s c单位脉冲响应： )0(2)()]([)(21≥+-==---t e e t s G L t g tt δ2-3-2 二阶系统单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系统开环传递函数。

设系统为单位负反馈式。

【解】 23.351.01456.02.0%100%212≈⇒=-==⇒=⨯=--n n p t e ωωξπξσξξπ系统的开环传递函数为：)2.32(1246)2()(2+=+=s s s s s G n n k ξωω2-2-3 已知系统的结构图如图所示（1）当0=d k 时，求系统的阻尼比ξ，无阻尼振荡频率n ω和单位斜坡输入时的稳态误差；（2）确定d k 以使707.0=ξ，并求此时当输入为单位斜坡函数时系统的稳态误差。

【解】（1）0=d k 时 )2(8)(+=s s s G K⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒42222282ξωξωωn n n )121(4)2(8)(+=+=s s s s s G K 系统为Ⅰ型 25.014==⇒=Vss V K e K （2）0≠d k 时题2-3-2图.1⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==⇒++=+++=4183.222707.0)41(228)]41(2[8)2(81)2(8)(2d n d n n d d K k k k s s s k s s s G ωξξωω ,1)125.0(2)4(8)(=⇒+=+=v s s s s s G K Ⅰ型系统，5.01,2==⇒=Vss V K e K3-4温，发现需30s 时间指出实际水温的95%的数值。

自动控制原理第三章

自动控制原理第三章
令 K a = lim S 2 G ( s ) H ( s ) = lim s →0 s →0
K S v2 (3 70)
(3 69)
K a 静态加速度误差系数
Static acceleration error constant
(3-70)
0 K a = K ∞
ν = 0,1 ν =2 ν ≥3
控制 对象
C(s) (s) G2 (s)
N (s) R(s) E(s) (s) G1 (s) H (s)
控制器
N (s) R(s) E(s) G1(ss) () H (s)
G2 (s)
C(s) G2 (s) (s)
输出对扰动 的传递函数
N(s) C(s)
图3-23 控制系统
G1 (s)
H (s)
G2 ( s ) C (s) = M N (s) = N ( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
！
系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别
令
G0 ( s ) H 0 ( s ) = Π (Ts S + 1) Π (T j S + 1)
i =1 j =1
m
n ν
G ( s) H ( s) =
K Π (τ i s + 1) sν
m
Π (T j s + 1) j =1
i =1 n ν
, n≥m
s →0
令
K p = lim H ( s ) R ( s )
s →0
(3 66)
K p : 静态位置误差系数
Static position error constant
由式(3 63)知：
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K0
K
T02s2 2 0T0s (1 K0 ) T 2s2 2Ts 1
自己做！
T T0 1 K0
K K0 1 K0
0
1 K0
R(s) ＋ －
K 01 T01s 1
K02 C(s)
T02s 1
(s)
T
2s2
1
2Ts
1
s2
n2 2 n s
n2
n
1 T
C(s)
(s)
1 s
s2
n2 2 n s
N (s) b0sm b1sm1 bm1s bm
系统的响应为C(s)的拉氏反变换
c(t)
L1
N(s) D(s)
R(s)
L1
1 D(s)
Nr0
(s)
Nc0
(s)
由输入信号引起
由初始状态引起
C(s) N(s) R(s) N(s) P(s)
D(s)
D(s) Q(s)
R(s) P(s) Q(s)
n
展成部分分式： C(s)
Ai
l
Bk
i1 s si k1 s sk
si—D(s)=0的根，即系统传递函数的极点。
sk—Q(s)=0的根，和系统输入信号的形式有关。
得到系统的零状态响应为：
n
l
C(s) Aiesit Bkeskt
i1
k 1
零状态响应的暂态分量 零状态响应的稳态分量
给定输入是单位阶跃函数，系统输出即为单位阶跃响应
t
1 L[t] s2 0
1
t
三、抛物线函数（加速度阶跃函数）
r
(t
)
1 2
t
2
,
t 0
或
1 t2 1(t)
0, t < 0
2
r(t) 2
L
1 2
t2
1(t )
1 s3
t
0
2
四、脉冲函数
五、正弦信号 r(t) Asint
§3.2 线性定常系统的时域响应
时域分析—
就是分析系统的时间响应，也就是分析描述系统 运动微分方程的解。 一、微分方程解的形式
1 T
h’(0)=1/T
K’(0)=
1
Th2(TT)=0.632h(∞)
跃坡冲
h(2T)=0.865h(∞)
响 应响应响
问应
h(3T)=0.95h(∞) 11、、33个个图图各各如如何何求求TT？？h(42T、)2=、调0.调9节8节时2h时间(∞间ts)=t？s=？
3 3、、r(rt)(=t)v=tv时t时，?，esse=ss？=？ 4、4求、导求关导系关系
选取典型信号的原则： 1. 反映系统大部分的实际工作情况； 2. 尽可能简单，便于分析和处理； 3. 选取可能使系统工作在最不利的情况的实验信号。
一、单位阶跃函数
二、单位斜坡函数
1, t 0 1(t) 1(t) 0, t 0 1
L[1(t)] 1 s 0
r(t)
t, t 0 r(t) 0, t 0 1
零状态响应＝稳态分量＋暂态分量1（由输入信号引起）
零输入响应＝暂态分量2（由初始状态引起）
二、利用拉氏变换法分析系统的响应
考虑输出和输入的初始条件，对微分方程两端做拉氏变换得到：
C(s)
N (s) D(s)
R(s)
1 D(s) [Nr0 (s)
Nc0 (s)]
D(s) sn a1sn1 an1s an
1 K0
§３.4 控制系统暂态响应的性能指标
1. 最大超调量ＭＰ: 在暂态期间输出超过对应于输入的终值的
最大偏离量。表示相对稳定性。
% cmax c() 100 %
c()
2. 峰值时间tp: 对应于最大超调量发生的时间。 3. 上升时间tr： 第一次达到对应于输入的终值的时间 4. 调整时间ts: 又叫过渡过程时间,偏差达到容许的范围之内 所经历的暂态过程时间。
d n 1 2 称为阻尼振荡角频率。系统为欠阻尼系统。
c(s) 1
s 2n
s (s n jd )(s n jd )
1
s n
n
d
s (s n )2 d 2 d (s n )2 d 2
c(t)
1
ent
cos d t
n d
ent
sin dt
1 ent cosdt
1
2Байду номын сангаас
sin dt
ent
1
1 2
1 2 cosdt sin dt
n2
1 s
1 s
s2
s 2n 2ns n2
Css (s) C1(s)
(1) 当ζ=0时，特征方程有一对共轭虚根。s1,2=±jωn。瞬态响应为：
c1(t)
L1
s2
s
n2
cosnt
瞬态响应是无阻尼的周期振荡,振荡角频率是ωn
（2） 当0<ζ<1时，特征方程有一对共轭复根。
S1,2= n jn 1 2
R(s)
K0
＋ －
s
K0
C(s)
(s) C(s)
R(s)
1
s K
0
1
1 s
1
K Ts 1
s K0
K 1,T 1 K0
R(s) ＋ －
K0 T0 s 1
K0
K0
C(s)
(s)
C(s) R(s)
T0s 1 1 K0
1 T0
K0 s 1
K Ts 1
T0s 1 1 K0
K K0 ,T T0
1 K0
1
ent
1 2
sin dt
瞬态响应是一个衰减的振荡过程。
arctg 1 2
d n 1 2
（3）当ζ=1时，有一对相等的负实数根。S1,2= -ωn
c1(t)
L1
s2
s 2n 2ns n2
L1
s
1
n
(s
n n )2
ent
ntent
(1 nt)ent
(1 t )et T T
第三章 控制系统的时域分析
建立系统数学模型的目的是为了分析控制系统的性能。 系统的性能分为动态性能和稳态性能 如何评价？ 动态性能：用控制系统在典型输入下的响应来评价 稳态性能：一般是通过系统在典型输入信号下引起的稳态误 差来评价 。
• 建立稳态误差的概念； • 介绍稳态误差的计算方法； • 讨论消除或减少误差的途径。
第三章 控制系统的时域分析
§3.1 §3.2 §3.3
§3.4 §3.5
§3.6
典型的输入信号 线性定常系统的时域响应 一阶系统的暂态响应
控制系统暂态响应的性能指标 二阶系统的暂态性能指标
高阶系统的动态性能
§3.7 控制系统的稳态误差 §3.8 稳定性和代数稳定性判据 §3.9 劳斯－赫尔维茨稳定判据 §3.10 基本控制规律分析
本章重点
1. 时域响应的基本概念； 2. 一阶系统的时域响应、性能指标和参数的求取； 3. 二阶系统的时域响应及欠阻尼状态下性能指标的
计算； 4. 系统暂态性能随极点变化的规律； 5. 代数稳定性判据； 6. 输入信号和扰动信号作用下稳态误差的计算。
本章难点
1. 二阶系统的时域响应； 2. 改善系统动态性能的方法； 3. 输入信号和扰动信号同时作用时稳态误差的计算； 4. 代数稳定性判据的应用。
二、单位脉冲响应 g(s) 1 Ts 1
g(t) L1[C(s)] 1 et T T
g(t) d h(t) dt
三、单位斜坡响应
C
(s)
1 Ts
1
1 s2
1 s2
T s
T2 Ts 1
c(t) t T et T
t T (1 et T )
e(t) r(t) c(t) T (1 et T )
自动控制系统的时域分析 研究自动控制系统在典型输入信号作用下输出信号随时间 的变化。
§3.1典型的输入信号
为何要采用典型输入信号进行系统性能研究？ • 实际系统的输入信号千差万别； • 典型信号便于进行数学分析和实验研究； 确定性能指标，使分析系统化，便于比较系统的性能。 • 预测系统在更为复杂的输入下的响应。
一阶系统时域分析
无零点的一阶系统 Φ(s)=
k Ts+1
, T 时间常数
(画图时取k=1,T=0.5)
k(t)=
1 T
e-
t T
h(t)=1-e-t/T
c(t)=t-T+Te-t/T
r(t单)= δ(t)
r(t)= 1(t)
r(t)= t
单单位 位 阶位斜脉
k(0)= K’(0)=
1 T
1 T
2
k(0)=
hh((tt))
AA
超超调调量量σσ%%==
AA BB
110000%%
峰峰值值时时间间tptp BB
上上 升升 时时间间trtr
调调节节时时间间tsts
tt
§3.5 二阶系统的动态性能指标
一、二阶系统的结构
K01K02
R(s)
K01
(s) s(T0 1)
1 K01K02
T0 s 2
K 01K 02 s K01K02
dn dt n
c(t)
a1
d n1 dt n1
c(t)
an1
d dt
c(t)
anc(t)
b0
dm dt m
r(t) b1
d m1 dt m1
r(t) bm1
d dt
r(t) bmr(t)