自动控制原理第三章3.3
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自动控制原理_王万良(课后答案3
（3）当 D1 ( z ) = 1 ， D 2 ( z ) = 0 时， 由（2）得
Φ( z ) =
Gh G1G2 ( z ) 1 + D1 ( z ) ⋅ Gh G1G2 ( z )
代入数据，化简可得：
Φ( z ) =
k (1 − e −T ) z + k (1 − e −T ) − e −T
4
G ( z ) = K (1 − z −1 ) Z [ 1 = K (1 − z −1 )[ 1 − z −1 K (1 − e −T ) z −1 = 1 − e −T z −1
（2） Φ ( z ) =
C ( z) G( z) K (1 − e −T ) z −1 = = R ( z ) 1 + G ( z ) 1 + ( K − e −T − Ke −T ) z −1
k =0
∞
F ∗ ( s ) = ∑ kTe − akT e − kTs
k =0 ∞
∞
（2） f (t ) =
∗
∑ e −akT sin ωkTδ (t − kT )
k =0
F ∗ ( s ) = ∑ e − akT sin ωkTe − kTs
k =0
3.2 求下列序列的 Z 变换，设 k < 0 时 f ( k ) = 0 。 （1） 1, λ , λ , λ , Λ Λ
G1 ( z ) R( z ) 1 + G1G2 ( z ) + G1 ( z )G3 ( z )
3.8 如图题 3.8 所示采样控制系统 (1)求在输入和扰动共同作用下的输出量的 Z 变换表达式； (2)求系统输出 C ( z ) 与输入 R( z ) 之间的 Z 传递函数； (3)设 D1 ( z ) = 1 ， D 2 ( z ) = 0 ， G1 ( s ) =
大学自动控制原理_3.3二阶系统时间响应
1s 5% ts 1.33 2%
例2 如图所示的机械系统,在质量块上 施加9.8牛顿阶跃力后，m的时间响应 如图曲线，试求系统的 m、k 、c 。
Fi (t )
xo (t )
m c
k
解：根据牛顿第二定律，得
Fi (t ) Fk Fc Mo (t ) x Fk kxo (t ) Fc cxo (t )
即：
e
nt 2
1
1 1 1
2
解得： t s
n
ln
4 ln
若 0.02
1 1
2
则t s
n
3 ln
1 1
2
若 0.05
则t s
n
4
0.02) ( 若0 0.7时 ts n ts 32、源自阻尼状态( 0)2
1 X o (s) 2 2 s s n
1 s s s 2 n2
n
xo (t ) 1 cos nt
曲 线 特 点 ： 等 幅 振 荡
3、临界阻尼状态
1 X o (s) 2 s (s n )
( 1)
n
5、振荡次数N
在调整时间内响应曲线振荡的次数
ts ts N T 2
d
0 0.7时，
0.02时，t s 0.05时，t s 4
n
3
N N
2 1
2
1. 5 1
2
n
振荡次数N随着 而 。
( 2 1) nt ( 2 1) n t e e 2 2 1
精品文档-自动控制原理(王春侠)-第三章
% 1 e 1 2 100%
(3-20)
32
5) 调节时间ts的计算
对于如式(3-13)所示的欠阻尼二阶系统单位阶跃响应，
指数曲1 线ent
1
2
是对称于h(∞)=1的一对包络线，整个响应
曲线总是包含在这一对包络线之内，如图3-9所示。图中采用
无因次时间ω nt(弧度)作为横坐标，因此时间响应特性仅
第三章 线性系统的时域分析法
3.1 线性系统的时域性能指标 3.2 线性系统的动态性能分析 3.3 线性系统的稳定性分析 3.4 线性系统的稳态误差计算 3.5 Matlab应用实例
1
3.1 线性系统的时域性能指标 在确定系统的数学模型后，便可以分析控制系统的性能。 在经典控制理论中，常用时域分析法、根轨迹分析法或频域分 析法来分析线性系统的性能。本章主要研究用于线性系统性能 分析的时域分析法。 设描述线性定常系统的闭环传递函数为Φ(s)，系统给定 输入信号的拉普拉斯变换式为R(s)，系统输出信号的拉普拉 斯变换式为C(s)。在零初始条件下，可得到系统输出的时域 解为
图3-6 欠阻尼二阶系统的特征参量
26
1) 延迟时间td的计算 在式(3-13)中，令h(td)=0.5，可得td的隐函数表达式为
ntd
1
ln
2 sin(
1 2ntd arccos ) 1 2
则ωntd和ζ的关系曲线图如图3-7所示。利用曲线拟合法， 在较大的ζ范围内，近似有
td
1
0.6 n
ts
3.5
n
3.5
若选取误差带Δ=0.02，则有
4.4 4.4
ts n
(3-21) (3-22)
35
例3-1 设系统结构图如图3-10所示，若要求系统具有性 能指标σ%=20%，tp=1 s， 试确定系统参数K和τ，并计算单 位阶跃响应的特征量td、tr和ts。
自动控制原理第3章控制系统的稳定性及特性
lim c (t ) 0 lim c (t )
t
线性系统稳定的充要条件： 闭环系统特征方程的所有根均具有负实部， 或其特征根全部位于s平面的左半部。
C(s) 1 例. 试判断系统 3 的稳定性。 2 R(s) s 4s 5s 2 解 : s 3 4s 2 5s 2 0
C (s) G1 ( s )G2 ( s ) (s) R ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
R(s) E(s) Y(s) N(s) G1(s) X1(s) X (s) 2 G2(s) H(s) C(s)
2. 扰动作用下的闭环系统的传递函数
令R ( s ) 0 C (s) N (s)
R(s) E(s)
G2 ( s ) 1 G1 ( s ) 2 G ( s ) H ( s )
-
N(s) X1(s) X (s) G1(s) 2 G2(s) H(s)
C(s)
f (s)
Y(s)
定义：C(s)/N(s)为被控信号对于扰动信号的闭环 传函，记为 f ( S )。
E (s) R(s) 1 G1 (s)G 2 (s)H(s) E (s) R(s) R(s) 1 G(s) G2 ( s ) H ( s ) N ( s ) 1 G1 ( s ) G 2 ( s ) H ( s )
n
n -1
... a1s a 0 0
（1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)都不为零；
（2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)具有相同的符号。
充分条件： 劳斯阵列第一列所有元素为正。
劳斯阵列 s n a n a n -2 a n -4 a n -6 ...... n -1 s a n -1 a n -3 a n -5 a n -7 ...... n -2 s b1 b 2 b 3 ....... s n -3 c1 c 2 ...... ...... ...... a n1a n2 a n a n3 a n1a n4 a n a n5 b1 b2 a n1 a n1 a n1a n6 a n a n7 b3 a n1 b1a n3 a n1b2 b1a n5 a n1b3 c1 c2 b1 b1
自动控制原理及应用课件(第三章)
即 s1,2=- n 临界阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 (s n )2 s
设部分分式为
C(s) A1 A2 A3
s s n (s n )2
式中，待定系数分别为A1=1，A2=-1，A3=-n
于是有
C(s) 1 1 n s s n (s n )2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
R(s) A0 s2
3．抛物线信号 抛物线信号的数学表达式为
0
r(t)
1 2
A0t
2
(t 0) (t ≥ 0)
式中，A0为常数。
当A0=1时，称为单位抛物线信 号，也称为单位加速度信号。
抛物线信号如图所示，它表示
随时间以等加速度增长的信号。
图3-3 抛物线信号
抛物线信号在零初始条件下的拉普拉斯变换为
R(s) A0 s3
4．脉冲信号 脉冲信号是一个脉宽极短的信号，其数学表达式为
0 t < 0；t >
r
(t
)
A0
0<t <
脉冲信号如图3-4（a）所示，
当A0=1时，若令脉宽 →0，则
称为单位理想脉冲函数，记作
(t)，单位脉冲函数如图3-4（
b）所示， (t)函数满足
(t)
0
(t 0) (t 0)
闭环传递函数为 系统特征根为
(s) n2 s2 n2
s1,2 jn
无阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 1 s s2 n2 s s s2 n2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
c(t) 1 cosnt (t ≥ 0)
系统阶跃响应曲线为等幅振荡，超调量为100％，振荡频率为 自然振荡角频率 n 。由于曲线不收敛，系统处于临界稳定状 态。
自动控制原理第3章
arctan 9 3
1.25rad
则响应为 y(t) 1 2 e 3t 0.95e j1.25e (1 j)t 0.95e j1.25e (1 j)t 5
1 2 e 3t 0.95e t e j(t1.25) e j(t1.25) 5 1 2 e 3t 1.9e t cos(t 1.25)
平衡位置：力学系统中，当系统外的作 D
用力为零时，位移保持不变的位置。
此时位移对时间的各阶导数为零。 A点和D点是平衡位置， B点和C点不是平衡位置。
O
B
C
A
稳定的平衡位置：若在外力作用下，系统偏离了平衡位置，但 当外力去掉后，系统仍能回到原来的平衡位置，则称这一个平 衡位置是稳定的平衡位置。
所以A点是稳定的平衡位置，而D点不是稳定的平衡位置。
注意：输入信号为非单位阶跃信号时，依齐次性，响应 只是沿纵轴拉伸或压缩，基本形状不变。所以ts 、 tr、 tp 、 σ并不发生变化。
当t < ts时，称系统处于动态；当t > ts时，称系统处于稳态。
3.2 一阶系统的单位阶跃响应
一阶系统（惯性环节）
G(s) 1 Ts 1
单位阶跃响应为
t
y(t) 1 e T
设零初始状态，y(0)=0 r (t)=1(t)时，y(t)的响应曲线为
y(t)
1.05 y(∞)
ym
y(∞)
0.95 y(∞)
tr tp
ts
ym：单位阶跃响应的最大偏离量。 y(∞)：单位阶跃响应的稳态值。并非期望值。 ts：调节时间。y(t)进入0.5*y(∞)或0.2* y(∞)构成的误差带 后不再超出的时间。 tr：上升时间。 y(t) 第一次达到 y(∞)的时间。
自动控制原理第三章
(1)延迟时间 t d ：曲线第一次达到终值一半 所需的时间。 (2)上升时间 t ：响应曲线从终值10％上 升到90％所需的时间；对于欠阻尼系统 可定义为响应从零第一次上升到终值所 需的时间。 (3)峰值时间 t p ：响应超过终值到达第一个 峰值所需的时间。 ) (4)超调量M ：响应的最大偏离量c(t 与终值 c (∞ ) 之差的百分比，即
图3-10
0 < ζ < 1 时的单位阶跃响应
0 < ζ < 1情况下二阶系统单位阶跃响应的暂态
性能的各项指标。 ①上升时间 tr ：是指在暂态过程中第一次达 到稳态值的时间。
π − arctan
tr = 1−ζ 2
ζ
2
ωn 1 − ζ
=
1
ωd
(π − arctan
1− ζ 2
ζ
)
tp
②峰值时间t p ：是指响应由零上升到第一个峰 值所需的时间。
3.3.2 单位阶跃响应
对于单位阶跃输入r(t)=1(t)，R(s)=1/s，得到系统 的输出为
2 ωn s + 2ζωn 1 C ( s) = Φ( s) R( s) = = − 2 2 2 2 s ( s + 2ζωn s + ωn ) s s + 2ζωn s + ωn
当 ζ 为不同值时，所对应的响应具有不同 的形式。 （1）当 ζ = 0时，为零阻尼情况，系统的输出 为 ω 1 s
(t ≥ 0)
1 − t T
e(t ) = r (t ) − c(t ) = Tt − T (1 − e
2
)
表3-1 一阶系统对典型输入信号的响应
传递函数 输入信号 输出响应
(自动控制原理)第三章3
KP值（ 值）适中
经过少数几个减幅振荡后，逐渐趋于稳定，有一 定的静差。 静差——当系统稳定运行时，设定值和运行参数之 间的差值。
问：纯比例调节可以消除静差吗？
2、 I控制——积分控制
KI代表积分速度。当输入偏差是常数A时：
当偏差存在时，输出信号将随时间增长。 当偏差为零时，输出才停止变化而稳定在某一值上。 用积分控制器组成控制系统可以达到无余差。
室外温度补偿特性
根据室外温度变化，全年自动调节控制室内温度
3.3.2 软件控制器
1.直接数字控制器(DDC)
2.计算机控制系统的基本控制算法
3.可编程控制器(PLC-Programmable Logic Controller ) 4.现场控制单元的软件结构
1.直接数字控制器(DDC)
1)DDC系统具有如下的特点：①计算机运算速度快，能分
3、 D控制——微分控制
加入微分控制的目的：防止出现超调现象。 微分控制方法：输出量与输入偏差对时间的微分成 正比。——根据被控参数变化的快慢进行调节，属 超前控制。
微分控制： TD为微分时间
TD值过大
系统反应过于灵敏，调节时间长，余差大，有时 甚至会出现大幅振荡。
TD值过小 微分作用不明显，超调量大。 TD值适中
②不完全微分PID控制算法。普通的PID控制算式，对具有高频扰
动的生产过程，微分作用响应过于灵敏，容易引起控制过程振荡，
降低调节品质。尤其是计算机对每个控制回路输出时间是短暂的， 而驱动执行器动作又需要一定时间，如果输出较大，在短暂时间 内执行器达不到应有的相应开度，会使输出失真。为了克服这一 缺点，同时又要微分作用有效，可以在PID控制输出串入一阶惯
性环节，这就组成了不完全微分PID调节器。
朱玉华自动控制原理第3章 时域分析3-1,2,3
1
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s4 3s3 s2 3s 1 0 s3 3 3
试判别该系统的稳定性。 s2 0 1
当 0时,3 3 0,
s1 3 3 0
s0
1
有2个特征根在s平面第右3章边控. 制系系统统的是时域不分析稳定的
10 0 0
(2) 劳斯表中某一行的元素全为零。
——这时系统在s平面上存在一些大小相等符号相反的
61
s0 6
劳斯表中第一列元素大于零，所以该系统是稳定的。 这时，系统所有的特征根均处于s平面的左半平面。
第3章 控制系统的时域分析
课程回顾(1)
1、 稳态性能指标 2、 动态性能指标
ess
lim[r(t)
t
cr (t)]
(1)延迟时间td (2)上升时间tr
(3)峰值时间tp
(4)调整时间ts
负可化为全为正） （2）劳斯表中第一列所有元素均大于零。
第3章 控制系统的时域分析
例3-1 已知三阶系统特征方程为 a0s3 a1s2 a2s a3 0
试写出系统稳定的充要条件
解：列写劳斯表 s3
a0
a2
0
s2
a1
a3
0
s1 a1a2 a0a3 0
a1
s0
a3
0
故得出三阶系统稳定的充要条件为：
0
9
s0 5
s1 32
0
s0 5
所得结论不变
第3章 控制系统的时域分析
2、劳斯稳定判据的特殊情况
(1) 劳斯表中某一行的第一个元素（系数）为零，而该 行其它元不为零。
——计算下一行第一个元素时将出现无穷大，以至劳斯 表的计算无法进行。
自动控制原理 第三章时域分析方法
位脉冲响应，由此可以求得系统的传递函数。
总结与分析：
一阶系统对典型试验信号的响应 输入信号x(t) 输出响应y(t)
1 2 3
t
1() δ(t)
t T Te t / T
1 et /T
1 T
et /T
l 线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过 把系统对输入信号的响应进行微分求得； l 系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原 输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初 始条件决定。
3.1.1 控制系统的输入信号
● 在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种
系统性能进行比较的基础。
● 从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它
们具有广泛的代表性和实际意义。
● 通过比较各类系统对这些典型试验信号的响
应来分析它们的性能。
常用的典型试验信号：
r(t) A t (a) 阶跃信号
r(t)
1 E
实验方法求取一阶系统的传递函数：
63.2％ T
1 Ts 1
对一阶系统的单位阶跃响应曲线， 1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶 系统的时间常数；
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
2、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜 坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。
3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间 常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统 的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态 误差也越小。
3.2.3 单位脉冲响应
1 R( s) L[ ( t )] 1 Y ( s) G ( s) R( s) G (s ) Ts 1 系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数
总结与分析：
一阶系统对典型试验信号的响应 输入信号x(t) 输出响应y(t)
1 2 3
t
1() δ(t)
t T Te t / T
1 et /T
1 T
et /T
l 线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过 把系统对输入信号的响应进行微分求得； l 系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原 输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初 始条件决定。
3.1.1 控制系统的输入信号
● 在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种
系统性能进行比较的基础。
● 从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它
们具有广泛的代表性和实际意义。
● 通过比较各类系统对这些典型试验信号的响
应来分析它们的性能。
常用的典型试验信号：
r(t) A t (a) 阶跃信号
r(t)
1 E
实验方法求取一阶系统的传递函数：
63.2％ T
1 Ts 1
对一阶系统的单位阶跃响应曲线， 1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶 系统的时间常数；
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
2、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜 坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。
3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间 常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统 的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态 误差也越小。
3.2.3 单位脉冲响应
1 R( s) L[ ( t )] 1 Y ( s) G ( s) R( s) G (s ) Ts 1 系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数
自动控制原理第三章
ωn2 1 2 1 e ξ ω t sin(ω n 1 ξ d t + β ) 2 2 S ( S 2 + 2ξω n S + ω n ) 1 ξd
d n
ωn ωn 1 1 2 2 e ξ d ω nt sin ω n 1 ξ d t Z S + 2ξ d ω n S + ω n 2 Z 1ξ 2 d
2 '
Td ωn ξ = 2
'
Td ωn ξd = ξ + ξ = ξ + 2
'
令
1 z= Td
ωn 2 ( S + z ) = 2 z ( S 2 + 2ξ d ωn S + ωn )
结论 1可通过适当选择微分时间常数
Td
，改变 ξ d 阻尼的大小
2比例－微分控制可以不改变自然频率ω n ，但可增大系统的阻尼比 1 z= 3由于PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点， Td 故比例－微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。
2
1 ) Td
ω n (Td S + 1) G (s) = 2 = 2 φ ( s) = 2 2 2 2 1 + G ( s ) S + 2ξω n S + Td ω n S + ω n S + (2ξω n + Td ω n ) S + ω n
2
Td ω n ( S +21 ) TdTd ωn = 2ξ ωn
当输入为单位阶跃函数时
ωn 1 S+Z C ( s ) = φ ( s) R( s ) = 2 2 Z S S + 2ξω n S + ω n
自动控制原理复习资料——卢京潮版第三章
第三章 线性系统的时域分析法●时域分析法在经典控制理论中的地位和作用时域分析法是三大分析方法之一，在时域中研究问题，重点讨论过渡过程的响应形式。
时域分析法的特点：1).直观、精确。
2).比较烦琐。
§3.1 概述 1. 典型输入 2. 性能指标∙稳→基本要求 ∙准→稳态要求↓ss e ：∙快→过渡过程要求⎪⎩⎪⎨⎧↓↓⨯∞∞-=sp t h h t h %)()()(%σ§3.2 一阶系统的时域响应及动态性能 设系统结构图如右所示开环传递函数sKs G =)(闭环传递函数)1(11111)(T Ts Ts T K s K s K s K s -=+=+=+=+=Φλ :)(1)(时t t r =Ts sTs s T s R s s C 111)1(1)()()(+-=+=Φ=1)(,0)0( 1)(1=∞=-=∴-c c et c t TTc e T t c t T 1)0( 1)(1='='-依)(t h 特点及s t 定义有：95.01)(1=-=-s t Ts et h05.095.011=-=-s t Te305.0ln 1-==-s t TT t s 3=∴一阶系统特征根T1-=λ分布与时域响应的关系：t t h s s s s R s s C ===Φ==∙)( 11.1)().()( 02时λat e t h as s a s s a s C a +-=-+-=-==∙1)( 11)()( 时λ 例1 已知系统结构图如右其中：12.010)(+=s s G加上H K K ,0环节，使s t 减小为原来的0.1倍，且总放大倍数不变，求H K K ,0解：依题意，要使闭环系统02.00.21.0*=⨯=s t ，且闭环增益=10。
1101)101(10 1012.01012.0112.010.)(1)(.(s)0000+++=++=+++=+=Φs K K K K s K s s K s G K s G K H H H H H令 101011002.01012.00⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=H H K K K K T 联立解出⎩⎨⎧==109.00K K H例2 已知某单位反馈系统的单位阶跃响应为at e t h --=1)(求(1).闭环传递函数)(s Φ；(2).单位脉冲响应；(3).开环传递函数。
自动控制原理 第3章时域分析
该曲线的特点是：在t＝0处曲线的斜率最大，其值为 1/T。若系统保持初始响应的变化率不变，则当t＝T时输出 就能达到稳态值，而实际上只上升到稳态值的63.2%，经过 4T的时间，响应达到稳态值的98％。显然，时间常数T反映 了系统的响应速度。
16
1)暂态性能指标 tr＝2.2T (按第二种定义) ts＝4T (Δ＝±2%) 2)稳态性能指标
ess
lim[r(t)
t
c(t)]
0
17
3.2.3 单位脉冲响应
对于单位脉冲输入r(t)＝δ(t)，R(s)＝1，于是
C(s)
1 Ts 1
1 T
s
1 1
T
因此
(3-7)
g(t)
c(t)
1
t
eT
(t 0)
(3-8)
T
18
响应曲线如图3-5所示。该曲线在t＝0时等于1/T，正好 与单位阶跃响应在t＝0时的变化率相等，这表明单位脉冲响 应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应是单位脉冲响
3
3.1 控制系统的时域性能指标
评价一个系统的优劣，总是用一定的性能指标来衡量。
系统的时域性能指标是根据系统的时间响应来定义的。
控制系统的时间响应通常分为两部分：稳态响应和暂
态响应。如果以c(t)表示时间响应，那么其一般形式可写为
c(t)＝css(t)＋ct(t)
式中：css(t)为稳态响应；ct(t)为暂态响应。
(3-1)
4
稳态响应由稳态性能描述，而暂态响应由暂态性能描 述。因此，系统的性能指标由稳态性能指标和暂态性能指 标两部分组成。
5
3.1.1 暂态性能指标
控制系统常用的输入信号有脉冲函数、阶跃函数、斜 坡函数、抛物线函数以及正弦函数等。通常，系统的暂态 性能指标是根据阶跃响应曲线来定义的，如图3-1所示。
16
1)暂态性能指标 tr＝2.2T (按第二种定义) ts＝4T (Δ＝±2%) 2)稳态性能指标
ess
lim[r(t)
t
c(t)]
0
17
3.2.3 单位脉冲响应
对于单位脉冲输入r(t)＝δ(t)，R(s)＝1，于是
C(s)
1 Ts 1
1 T
s
1 1
T
因此
(3-7)
g(t)
c(t)
1
t
eT
(t 0)
(3-8)
T
18
响应曲线如图3-5所示。该曲线在t＝0时等于1/T，正好 与单位阶跃响应在t＝0时的变化率相等，这表明单位脉冲响 应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应是单位脉冲响
3
3.1 控制系统的时域性能指标
评价一个系统的优劣，总是用一定的性能指标来衡量。
系统的时域性能指标是根据系统的时间响应来定义的。
控制系统的时间响应通常分为两部分：稳态响应和暂
态响应。如果以c(t)表示时间响应，那么其一般形式可写为
c(t)＝css(t)＋ct(t)
式中：css(t)为稳态响应；ct(t)为暂态响应。
(3-1)
4
稳态响应由稳态性能描述，而暂态响应由暂态性能描 述。因此，系统的性能指标由稳态性能指标和暂态性能指 标两部分组成。
5
3.1.1 暂态性能指标
控制系统常用的输入信号有脉冲函数、阶跃函数、斜 坡函数、抛物线函数以及正弦函数等。通常，系统的暂态 性能指标是根据阶跃响应曲线来定义的，如图3-1所示。
自动控制原理(第三版)(章 (3)
s1,2 jn
此时, s1, s2如图3-7(d)所示。
第三章 线性系统的时域分析法
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
令r(t)=1(t), 则有R(s)=1/s。所以, 由式(3.15)可得二 阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为
C(s)
n2
1
s2 2ns n2 s
(3.19)
应曲线如图3-2所示。图中 c() lim c(t) t
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析法 图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析法
动态性能指标通常有以下几种：
延迟时间td：指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时 间。
上升时间tr：若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲 线从稳态值的10%上升到90%所需的时间；对于有振荡的系统, 上升 时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
调量σp可由下式确定:
p
c(tp ) c() c()
100 %
(3.8)
振荡次数N：在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞) 次数的一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时 间tr评价系统的响应速度；σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度； ts是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。应当指出, 除简 单的一、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难 的。
第三章 线性系统的时域分析法
3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应 如果输入信号为理想单位脉冲函数 r(t)=δ(t), R(s)=1
输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同, 即
C(s) 1 Ts 1
此时, s1, s2如图3-7(d)所示。
第三章 线性系统的时域分析法
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
令r(t)=1(t), 则有R(s)=1/s。所以, 由式(3.15)可得二 阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为
C(s)
n2
1
s2 2ns n2 s
(3.19)
应曲线如图3-2所示。图中 c() lim c(t) t
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析法 图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析法
动态性能指标通常有以下几种：
延迟时间td：指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时 间。
上升时间tr：若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲 线从稳态值的10%上升到90%所需的时间；对于有振荡的系统, 上升 时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
调量σp可由下式确定:
p
c(tp ) c() c()
100 %
(3.8)
振荡次数N：在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞) 次数的一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时 间tr评价系统的响应速度；σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度； ts是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。应当指出, 除简 单的一、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难 的。
第三章 线性系统的时域分析法
3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应 如果输入信号为理想单位脉冲函数 r(t)=δ(t), R(s)=1
输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同, 即
C(s) 1 Ts 1
自动控制原理(第二版)(赵四化)章 (3)
(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
(3-13)
第3章 时域分析法 图3-5 一阶系统的动态结构图
第3章 时域分析法
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应
设输入
R(s) 1 s
则输出量的拉氏变换为
C(s) (s) 1 1 1 1 1
s Ts 1 s s s 1/T
单位阶跃响应为
1t
C(s)
(s)R(s)
s2
n2 2ns
n2
1 s
其中, 由
s2 2 ns n2 0
可求得两个特征根
s1,2 n n 2 1
(3-22)
第3章 时域分析法
1) ξ>1, 过阻尼
ξ>1
时
, 2 1 s1,2=-ξωn±ωn
为两个不相等的负实数根， 即有
C(s)
n2
A1 A2 A3
(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2ns
n2
(3-21)
其中， ξ为阻尼比， ωn为无阻尼自然振荡频率， 它们 均为系统参数。
第3章 时域分析法
由式(3-21)可以看出， 二阶系统的动态特性 可以用ξ和ωn这两个参数的形式加以描述。 如果0<ξ<1， 则闭环极点为共轭复数， 并且位于左半s平面， 这时系统 叫做欠阻尼系统， 其瞬态响应是振荡的。 如果ξ=1， 那 么就叫做临界阻尼系统。 而当ξ>1时， 就叫做过阻尼系 统。 临界阻尼系统和过阻尼系统的瞬态响应都不振荡。 如果ξ=0， 那么瞬态响应变为等幅振荡。
此时系统输出响应的拉氏变换为
C(s)
1 Ts 1
1 s2
1 s2
T s
T2 Ts 1
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Settling Time
h(t ) 1
1 1
2
e
n t
sin( d t )
弧度
d
三、欠阻尼二阶系统动态性能计算
令 h(t ) 1取其解中的最小值，
tr
令h(t)一阶导数=0，取其解 得 t p 中的最小值 d cos 所以 cos
附加零点对过阻尼二阶系统的影响
σ%=33%
j 0
无振荡有超调
0.333
结论：
ts可能大了可能小了 上升时间减小
1 零点有削弱阻尼的作用 2 零点越靠近原点该作用越明显
附加零点对欠阻尼二阶系统的影响
j 0
四、二阶系统性能的改善
常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈 环节，通过附加的装置改变系统的结构,从而达 到改善系统性能的目的.
75 t rຫໍສະໝຸດ t r 1 d .9tp tp
d 1 .9
tts
s
？0 . 5
n
3 3
% e % e
tg tg 75
e ss 0
例 已知系统的闭环传递函数 ，当 K K= 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃 Ф(s)= s2 +3s+K 响应和σ% ,ts 。
R(s)
s 1
n
2
C(s)
s ( s 2 n )
2
j
临界阻尼
s 2 s1
1
0
1
0
s1, 2 n n 1
j
1
s1, 2 n
j
欠阻尼 s
无阻尼
n 1
2
s1
n
0
s2
0
s2
0 1
s1, 2 n jn 1
2
0
s1, 2 jn
二、二阶系统的单位阶跃响应
2
h (t) 1
1 1
2
e
t
sin( d t )
为什么衰减？
e
n t
s1，2有负实部
n
怎么样能衰减更快？
为什么振荡？
s1，2远离虚轴
s1，2有虚部
sin( d t )
1
怎么样能减小振荡？ 思考
2
d
n
s1，2靠近实轴
1
由%
h(t p ) h() h ( )
% e
100%
1
2
100 %
或
5%
%
ts
e
4 n
tg
100 %
3 调节时间 ts 近似求得 n
2%
% 与 的关系曲线
为了获得更好的平 稳性和快速性，通 常将 选在0.4-0.8之 间，相应的超调量 为2.5%-25%
2
100 % 25 %
0 . 4037
闭环传递函数：
t p 0 .4 s
tp
n 1
2
(s)
C (s) R (s)
2
K n
' 2 2
s 2 n s n
2
n 8 .5 8 5 ra d / s
4 7 3 .7 s 6 .9 3 s 7 3 .7
2
K 单位反馈系统 G (s) s(s / 2n 1) “尾一” 开环传递函数 s(s 2n )
R(s)
_
ω 2n s(s+2 ξ ω n)
C(s)
开环增益
K n / 2
一、典型二阶系统的数学模型
微分方程
LC d uc dt
2 2
RC
du dt
c
uc ur
1
(s )
n
2
s 2 n s n
2 2
s 2 s1
j 0
1
j 0
h ( t ) 1 A1e
01
s1t
s1, 2 n 过阻尼 1 n
A 2e2
s2t
h(t ) 1 (1 n t )e
0
n t
s1, 2 n 临界阻尼
0 .4
欠阻尼二阶系统动态性能分析
j
n
(s )
n
2
s 2 n s
2
2 n
β
n
cosβ=ξ
0
0 < ξ<1时：
j n 1
2
s 1 , 2
1 1
2
n
h(t ) 1
e
n t
sin( d t )
s1, 2 n jn 1 jd
2
2 9 4 .8 s 6 .9 3 s 2 2 1 .1
2
例3：3个二阶系统传递函数均为 ( s )
C (s) R (s)
K n
' 2 2
s 2 n s n
2
它们的阶跃响应曲线如图所示，试在同一平面画出3个系统 闭环极点的相对位置，并说明理由。
系统1 系统2 系统3
2 n 2 2
解：
C (s) R( s)
2
2 n 2 n
C ( s) R( s)
s 2n s
( s n ) d
j
n 1
2
c(t ) 1
e
n t 2
1
sin( d t )
d
n
n
0
c(t)=1-1.03e-0.5tsin(1.9t+75o)
2
(s)
2
7500 s 34 . 5 s 7500
2
n
34 . 5
31 . 6
n 86 . 6
0 . 545
0 .2
0 . 081
t r 0 . 02
0 . 012
t p 0 . 037
0 . 174 t s 0 . 174
13 %
% 52 . 7 %
解： (1)
K 2 (s )
2 s 3s 2
2
n 2 1 . 06 1
t
单位阶跃响应
(2) K 4
c(t) 1 2e
4
e
2 t
n 2 (s) 2 s 3s 4 0 . 75 1
单位阶跃响应
2 .1
（过阻尼）
c(t)
1
1500 200 13.5
0
t
二阶系统的单位斜坡响应
(s )
2 2 n 2 n
s 2 n s
r (t ) t
n
2 2 n 2
R( s)
1 s
2
C ( s ) ( s ) R( s )
( s 2n s ) s
2
n 1 3 0 . 174 ts n
0 . 081
tp
n 1
1
2
2
0 . 12
% e
/
100 % 13 %
闭环传递函数
200 2、 K 1500
n 7500
2
(s)
5K s 34 . 5 s 5 K
% 1 6 .3 %，峰值时间 t p 1 s，
求
K
和 a 的值。
R(s)
K
10 s(s a)
C(s)
例2：设单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试 确定此系统的开环传递函数和闭环传递函数。 解：由图可知 %
54 4
100% 25%
% e
1
2 2
s 2n s n
2
闭环传递函数
(s ) C(s ) R (s ) n
2
闭环特征方程
2
s 2 n s n
2
s 2n s 0
2 2 n
闭环特征根 闭环极点 n — 无阻尼自然振荡频率
— 阻尼比
n
2
s 1, 2 n n 1
2
R (s )
1000 s 34 . 5 s 1000
2
5K s ( s 34 . 5 )
C (s )
1、 K 200
(s)
2 n 1000 2
n
34 . 5
n 31 . 6
0 . 545
根据欠阻尼二阶系统性能指标计算公式
tr
用二阶微分方程描述的系统 闭环传递函数分母 s最高次为2次的系统
闭环传递函数
U c (s) U r (s) 1 LCs RCs 1
2
典型二阶系统传递函数
(s)
n
2 2
s 2n s n
2
例：已知某一阶单位反馈系统的开环传递 函数为 ( s )
5 2s 3
第三节 二阶系统性能分析
一、典型二阶系统的数学模型
微分方程
LC d uc dt
2 2
RC
du dt
c
uc ur
用二阶微分方程描述的系统 闭环传递函数分母 s最高次为2次的系统
闭环传递函数
U c (s) U r (s) 1 LCs RCs 1
h(t ) 1
1 1
2
e
n t
sin( d t )
弧度
d
三、欠阻尼二阶系统动态性能计算
令 h(t ) 1取其解中的最小值，
tr
令h(t)一阶导数=0，取其解 得 t p 中的最小值 d cos 所以 cos
附加零点对过阻尼二阶系统的影响
σ%=33%
j 0
无振荡有超调
0.333
结论：
ts可能大了可能小了 上升时间减小
1 零点有削弱阻尼的作用 2 零点越靠近原点该作用越明显
附加零点对欠阻尼二阶系统的影响
j 0
四、二阶系统性能的改善
常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈 环节，通过附加的装置改变系统的结构,从而达 到改善系统性能的目的.
75 t rຫໍສະໝຸດ t r 1 d .9tp tp
d 1 .9
tts
s
？0 . 5
n
3 3
% e % e
tg tg 75
e ss 0
例 已知系统的闭环传递函数 ，当 K K= 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃 Ф(s)= s2 +3s+K 响应和σ% ,ts 。
R(s)
s 1
n
2
C(s)
s ( s 2 n )
2
j
临界阻尼
s 2 s1
1
0
1
0
s1, 2 n n 1
j
1
s1, 2 n
j
欠阻尼 s
无阻尼
n 1
2
s1
n
0
s2
0
s2
0 1
s1, 2 n jn 1
2
0
s1, 2 jn
二、二阶系统的单位阶跃响应
2
h (t) 1
1 1
2
e
t
sin( d t )
为什么衰减？
e
n t
s1，2有负实部
n
怎么样能衰减更快？
为什么振荡？
s1，2远离虚轴
s1，2有虚部
sin( d t )
1
怎么样能减小振荡？ 思考
2
d
n
s1，2靠近实轴
1
由%
h(t p ) h() h ( )
% e
100%
1
2
100 %
或
5%
%
ts
e
4 n
tg
100 %
3 调节时间 ts 近似求得 n
2%
% 与 的关系曲线
为了获得更好的平 稳性和快速性，通 常将 选在0.4-0.8之 间，相应的超调量 为2.5%-25%
2
100 % 25 %
0 . 4037
闭环传递函数：
t p 0 .4 s
tp
n 1
2
(s)
C (s) R (s)
2
K n
' 2 2
s 2 n s n
2
n 8 .5 8 5 ra d / s
4 7 3 .7 s 6 .9 3 s 7 3 .7
2
K 单位反馈系统 G (s) s(s / 2n 1) “尾一” 开环传递函数 s(s 2n )
R(s)
_
ω 2n s(s+2 ξ ω n)
C(s)
开环增益
K n / 2
一、典型二阶系统的数学模型
微分方程
LC d uc dt
2 2
RC
du dt
c
uc ur
1
(s )
n
2
s 2 n s n
2 2
s 2 s1
j 0
1
j 0
h ( t ) 1 A1e
01
s1t
s1, 2 n 过阻尼 1 n
A 2e2
s2t
h(t ) 1 (1 n t )e
0
n t
s1, 2 n 临界阻尼
0 .4
欠阻尼二阶系统动态性能分析
j
n
(s )
n
2
s 2 n s
2
2 n
β
n
cosβ=ξ
0
0 < ξ<1时：
j n 1
2
s 1 , 2
1 1
2
n
h(t ) 1
e
n t
sin( d t )
s1, 2 n jn 1 jd
2
2 9 4 .8 s 6 .9 3 s 2 2 1 .1
2
例3：3个二阶系统传递函数均为 ( s )
C (s) R (s)
K n
' 2 2
s 2 n s n
2
它们的阶跃响应曲线如图所示，试在同一平面画出3个系统 闭环极点的相对位置，并说明理由。
系统1 系统2 系统3
2 n 2 2
解：
C (s) R( s)
2
2 n 2 n
C ( s) R( s)
s 2n s
( s n ) d
j
n 1
2
c(t ) 1
e
n t 2
1
sin( d t )
d
n
n
0
c(t)=1-1.03e-0.5tsin(1.9t+75o)
2
(s)
2
7500 s 34 . 5 s 7500
2
n
34 . 5
31 . 6
n 86 . 6
0 . 545
0 .2
0 . 081
t r 0 . 02
0 . 012
t p 0 . 037
0 . 174 t s 0 . 174
13 %
% 52 . 7 %
解： (1)
K 2 (s )
2 s 3s 2
2
n 2 1 . 06 1
t
单位阶跃响应
(2) K 4
c(t) 1 2e
4
e
2 t
n 2 (s) 2 s 3s 4 0 . 75 1
单位阶跃响应
2 .1
（过阻尼）
c(t)
1
1500 200 13.5
0
t
二阶系统的单位斜坡响应
(s )
2 2 n 2 n
s 2 n s
r (t ) t
n
2 2 n 2
R( s)
1 s
2
C ( s ) ( s ) R( s )
( s 2n s ) s
2
n 1 3 0 . 174 ts n
0 . 081
tp
n 1
1
2
2
0 . 12
% e
/
100 % 13 %
闭环传递函数
200 2、 K 1500
n 7500
2
(s)
5K s 34 . 5 s 5 K
% 1 6 .3 %，峰值时间 t p 1 s，
求
K
和 a 的值。
R(s)
K
10 s(s a)
C(s)
例2：设单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试 确定此系统的开环传递函数和闭环传递函数。 解：由图可知 %
54 4
100% 25%
% e
1
2 2
s 2n s n
2
闭环传递函数
(s ) C(s ) R (s ) n
2
闭环特征方程
2
s 2 n s n
2
s 2n s 0
2 2 n
闭环特征根 闭环极点 n — 无阻尼自然振荡频率
— 阻尼比
n
2
s 1, 2 n n 1
2
R (s )
1000 s 34 . 5 s 1000
2
5K s ( s 34 . 5 )
C (s )
1、 K 200
(s)
2 n 1000 2
n
34 . 5
n 31 . 6
0 . 545
根据欠阻尼二阶系统性能指标计算公式
tr
用二阶微分方程描述的系统 闭环传递函数分母 s最高次为2次的系统
闭环传递函数
U c (s) U r (s) 1 LCs RCs 1
2
典型二阶系统传递函数
(s)
n
2 2
s 2n s n
2
例：已知某一阶单位反馈系统的开环传递 函数为 ( s )
5 2s 3
第三节 二阶系统性能分析
一、典型二阶系统的数学模型
微分方程
LC d uc dt
2 2
RC
du dt
c
uc ur
用二阶微分方程描述的系统 闭环传递函数分母 s最高次为2次的系统
闭环传递函数
U c (s) U r (s) 1 LCs RCs 1