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3-1（1） )(2)(2.0t r t c= （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c=++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。
已知全部初始条件为零。
解：（1） 因为)(2)(2.0s R s sC =闭环传递函数ss R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010)(≥=t t g单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c（2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++=s s s R s C 闭环传递函数124.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 325)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++=s s s s s s Ct e t e t c t t 4sin 434cos 1)(33----=3-2 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。
若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Ts s s s G 1)(1)()(=Φ-Φ= ⎩⎨⎧==11v T K用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T Ke ss ︒===5.21010。
解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1111)()(1)()()(+=+-=-==ΦTs TsTs s R s C s R s E s e C T s Ts Ts ss R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.210101lim )()(lim 23-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为)1.536.1sin(5.1210)(2.1o tt et c +-=-试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。
3-1设系统的微分方程式如下:(1)0.2c(t) 2r(t)单位脉冲响应：C(s) 10/s g(t) 103t3 3tc(t) 1 e cos4t e si n4t413-2 温度计的传递函数为 —，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的Ts 198%的数值。
若加热容器使水温按 10(C/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数由一阶系统阶跃响应特性可知： c(4T) 98 o o ，因此有 4T 1 min ，得出T 0.25 min 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为(s)1K 1TG(s)—1(s) Tsv 1用静态误差系数法，当r(t) 10t 时，e ss10 10T 2.5 C oK(2) 0.04c(t)0.24c(t) c(t)r(t)试求系统闭环传递函数① 部初始条件为零。
解：(s),以及系统的单位脉冲响应 g(t)和单位阶跃响应 c(t)。
已知全(1)因为 0.2sC(s)2R(s) 闭环传递函数(s)C(s) 10R(s) s单位阶跃响应c(t) C(s) 10/s 2c(t) 10t t 0(2) (0.04s 20.24s 1)C(s) R(s)C (s )闭环传递函数(s)C(s) R(s)120.04s0.24s 1单位脉冲响应:C(s)120.04s 2 0.24s 1g(t)25 e 33tsi n4t单位阶跃响应h(t) C(s)25 s[(s 3)216]1 s 6 s (s 3)216(s)1 Ts 1解法二依题意，系统误差疋义为e(t) r(t) c(t)，应有e(s)E(s)1 C(s)R(s)11 TsR(s) Ts 1 Ts 13-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为c(t) 10 12.5e 1.2t sin(1.6t 53.1o)试求系统的超调量c%、峰值时间t p和调节时间t'si n( 1n t )t p Jl- 1.96(s■1 2n1.63.5 3.5t s 2.92(s)n 1.2或：先根据c(t)求出系统传函，再得到特征参数，带入公式求解指标。
第3章 控制系统的时域分析【基本要求】1. 掌握时域响应的基本概念，正确理解系统时域响应的五种主要性能指标；2. 掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数；3. 掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼情况下的性能指标和结构参数；4. 掌握稳定性的定义以及线性定常系统稳定的充要条件，熟练应用劳斯判据判定系统稳定性；5. 正确理解稳态误差的定义，并掌握系统稳态误差、扰动稳态误差的计算方法。
微分方程和传递函数是控制系统的常用数学模型，在确定了控制系统的数学模型后，就可以对已知的控制系统进行性能分析，从而得出改进系统性能的方法。
对于线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。
本章研究时域分析方法，包括简单系统的动态性能和稳态性能分析、稳定性分析、稳态误差分析以及高阶系统运动特性的近似分析等。
根轨迹分析法和频域分析法将分别在本书的第四章和第五章进行学习。
这里先引入时域分析法的基本概念。
所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。
由于系统的输出变量一般是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法被称为时域分析法。
当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
3.1 系统的时域响应及其性能指标为了对控制系统的性能进行评价，需要首先研究系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。
下面先介绍常用的典型输入信号。
3.1.1 典型输入信号由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。
为了便于对系统进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行评价和比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。
第三章习题及答案3-1 已知系统脉冲响应如下，试求系统闭环传递函数Φ(s)。
t e t k 25.10125.0)(-=解 Φ()()./(.)s L k t s ==+001251253-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述T c t c t r t r t ••+=+()()()()τ其中，0<(T-τ)<1。
试证系统的动态性能指标为 T T T t d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=τln 693.0t T r =22. T T T t s ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=)ln(3τ 解 设单位阶跃输入ss R 1)(= 当初始条件为0时有:11)()(++=Ts s s R s C τ 11111)(+--=⋅++=∴Ts T s s Ts s s C ττ C t h t T Te t T()()/==---1τ 1) 当 t t d = 时h t T Te t td ()./==---051τ12=--T T e t T d τ/ ; Tt T T d-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-τln 2ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴T T T t d τln 2ln2) 求t r （即)(t c 从0.1到0.9所需时间) 当 Tt e TT t h /219.0)(---==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ当 Tt eTT t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则 t t t T T r =-==21090122ln ... 3) 求 t sTt s s eTT t h /195.0)(---==τ ∴=--t T T T s [ln ln .]τ005=-+T T T[ln ln ]τ20=+-T T T [ln]3τ3-3 一阶系统结构图如题3-3图所示。
要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t （s ），试确定参数21,K K 的值。
第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案3-1 已知系统脉冲响应t 25.1e 0125.0)t (k -=，试求系统闭环传递函数)s (Φ。
解 [])25.1s /(0125.0)t (k L )s (+==Φ3-2 一阶系统结构如图所示。
要求单位阶跃输入时调节时间4.0t s ≤s （误差带为5%），稳态输出为2，试确定参数21k ,k 的值。
解 由结构图写出闭环系统传递函数 1k k s k 1k k s k sk k 1s k )s (212211211+=+=+=Φ 闭环增益2k 1k 2==Φ， 得：5.0k 2= 令调节时间4.0k k 3T 3t 21s ≤==，得：15k 1≥。
3-3 给定典型二阶系统的设计指标：超调量0<%32.4%≤σ，调节时间 s 5.0t s <，峰值时间s 1t p <，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。
解 依题 %32.4%≤σ， )45(707.0︒≤≥⇒βξ；5.05.3t ns <ωξ=， 7n >ωξ⇒； n p t ωξπ21-=1<， 14.312>-⇒n ωξ综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图所示。
3-4 电子心脏起博器心律控制系统结构如图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分环节。
解 依题，系统传递函数为2n n 22n 2s 2s 05.0K s 05.01s 05.0K)s (ω+ξω+ω=++=Φ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ω⨯=ξ=ωn n 205.0105.0K 令 5.0=ξ可解出 ⎩⎨⎧=ω=2020K n将 s 1t =代入二阶系统阶跃响应公式 ()β+ωξ-ξ--=ξω-t 1sin 1e 1)t (h n 22tn 可得 min 00145.60s 000024.1)1(h 次次==5.0=ξ时，系统超调量 %3.16%=σ，最大心速为min 78.69163.1163.01t (h p 次次）==+=3-5 机器人控制系统结构如图所示, 试确定参数21k ,k 值，使系统阶跃响应的峰值时间5.0t p =s ，超调量%2%=σ。
3-1设温度计需要在一分钟内指示出响应值的98%，并且假设温度计为一阶系统，求时间常数T 。
如果将温度计放在澡盆内，澡盆的温度以10C/min 的速度线性变化。
求温度计的误差。
解：c(t)=c(∞)98%t=4T=1 min r(t)=10te(t)=r(t)-c(t)c(t)=10(t-T+e )-t/T =10(T-e )-t/T =10T =2.5T=0.253-2电路系统如图所示，其中F C k R k R μ5.2,200,20110=Ω=Ω=。
设系统初始状态为零，试求：系统的单位阶跃响应8)()(1=t u t u c c 以及时的1t 值；解:R 1Cs+1R 1/R 0G (s )= u c (t)=K(1–e t T -)KTs +1=T=R 1C=0.5 K=R 1/R 0=10=10(1–e -2t )8=10(1–e -2t)0.8=1–e-2te -2t =0.2 t=0.8g(t)=e -t/T T Kt 1=0.8=4u c (t)=K(t-T+T e -t/T )=4R(s)=1s 2R(s)=1R(s)=1s 3T 2=K(s s+1/T+T s 2-1s 3-T 2)=1.2Ts 1s 3K +1U c (s)= -0.5t+0.25-0.25e -2t )12t 2u c (t)=10(3-3已知单位反馈系统的开环传递函数为)5(4)(+=s s s G 试求该系统的单位阶跃响应。
解:C(s)=s 2+5s+4R(s)4s(s+1)(s+4)C(s)=4R(s)=s1s+41+1/3s =4/3s +1-c(t)=1+ 4e 13-4t -t 3-e3-4已知单位负反馈系统的开环传递函数为 )1(1)(+=s s s G 试求该系统的上升时间r t 。
、峰值时间p t 、超调量%σ和调整时间s t 。
1s(s+1)G(s)=t p =d ωπ 3.140.866= =3.63t s = ζ3ωn=6t s = ζ4ωn =8解:C(s)=s 2+s+1R(s)12= 1ωn 2ωn ζ=1ζ=0.5=1ωn =0.866d ω= ωn 2 ζ1-=60o -1ζ=tg β21-ζt r =d ωπβ-= 3.14-3.14/30.866=2.42σ%=100%e -ζζπ1-2=16%e -1.83-6已知系统的单位阶跃响应为t te et c 10602.12.01)(---+= ，试求：（1）系统的闭环传递函数；（2）系统的阻尼比ζ和无阻尼自然震荡频率n ω；解:s+60+C(s)=0.21s 1.2s +10-s(s+60)(s+10)=600=s 2+70s+600C(s)R(s)600R(s)=s 12=600ωn2ωn ζ=70ζ=1.43=24.5ωn3-7设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图所示，如果该系统为单位负反馈系统，试确定其开环传递函数。
1.3tc(t)10.19.862ζ=1.42-1.422ζζ=0.35ωn ωn ζs(s+2 )G(s)=21115.6s(s+22.7)=解:t p ==0.121-ζπωn =0.3e -ζζπ1-2eζζπ1-2=3.3ωn 2 ζ1- 3.140.1==31.421-ζπ/ζ=ln3.3=1.1921-ζπ)2/ζ(=1.42=33.4ωn3-8已知单位反馈系统的开环传递函数)1()(+=Ts s Ks G 试选择参数K 及T 值以满足下列指标：（1）当r(t)=t 时，系统的稳态误差 02.0≤ss e ；（2）当r(t)=1（t ）时，系统的动态性能指标%)5(3.0=∆≤s t s 。
计算的最后结果： K=60 , T=0.02s3-11闭环系统的特征方程如下，试用劳斯判据判断系统的稳定性。
(a)010092023=+++s s s (b) 020092023=+++s s s (c)0516188234=++++s s s s (d) 012362345=+++++s s s s s(1)s 3+20s 2+9s+100=0解：劳斯表如下：s 1s 0 s 3 s 2 1 9 20 100 4100系统稳定。
(3) s 4+8s 3+18s 2+16s+5=0118 5s 4 s 38 16 劳斯表如下：s 2 16 5s 121616s 05系统稳定。
(a)稳定 ，(b)不稳定 ， (c)稳定 ，(d)不稳定；3-13已知系统结构如图所示。
试问τ取值多少，系统才能稳定？解:G(s)=s 2+s+1010(1+s τ)s 1=s(s 2+s+1010(s+1)s τ)Φ(s)=s 3 +s 2+1010(s+1)s 2+10s+10τ110 s 3 s 2 (1+10τ)10s 1b 31s 0 10b 31= 10(1+10τ)-10 1+10τ>0τ>03-14已知系统结构如图所示。
确定系统稳定时τ的取值。
解:G(s)=s 2(s+1)10(τs+1)Φ(s)=s 3 +s 2+10s+10τ10(τs+1)s 3 s 2 1 10110 τs 1 b 31s 010b 31= 10τ-10 1>0τ>1计算的最后结果：1>τ3-15试确定图所示系统参数K 和ζ的稳定域。
计算的最后结果：⎩⎨⎧<<>ξξ2000K ；3-16已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下。
试求各系统的静态位置误差系数K p、速度误差系数K v 和加速度误差系数K a ，并确定当输入信号分别为r(t)=1(t) ,2t ,t 2和 1+2t+ t 2时系统的稳态误差e ss 。
（1）G(s)=)12.0)(11.0(20++s s ; （2）G(s)=)10)(2(200++s s s ;（3）G(s)=)104()12(1022+++s s s s ; （4） G(s)=)2)(12()13(52+++s s s s ;; 解题过程与步骤：解：r(t)=I(t)+2t+t 21+s 2R(s)=s2+s 32s 2(s 2+4s+10)(3) G(s)=10(2s+1)υ=2K p =∞e ss1=0s 2(0.1s 2+0.4s+1)=(2s+1)K υ=∞e ss2=0K a =1e ss3=2e ss =2计算的最后结果：（1）∞∞∞====和,,211;0,0,20ss a v p e K K K ； （2）∞∞===∞=和,2.0,0;0,10,ss a v p e K K K ；（3）22,0,0;1,,和==∞=∞=ss a v p e K K K ；（4）系统不稳定；3-17一闭环系统的动态结构如图所示。
（1）当R(s)=s1,超调量p σ%=20%，调整时间t s =1.8s (∆=5%) 时，试确定参数1K 和τ的值。
（2）当输入信号分别为：r(t)=1(t) ,r(t)=t , r(t)=21t 2时 ，试求系统的稳态误差解:K G(s)=s 2+K 1sτ1Φ(s)=s 2+K 1s+K 1τK 12ωn ζ=K 1τ2=K 1ωn =0.2e -ζζπ1-2t s = ζ3ωn =1.8ζ=0.45ωn 31.8*0.45==3.72ωn K 1==13.7τ=0.24K G(s)=s 2+K 1s τ1=s(K s+1)τ11τ1υ=1K p =∞e ss1=01R(s)=sR(s)=s 21K υ=K e ss2=τ1R(s)=s 3K a =0e ss3=∞计算的最后结果： （1）K 1=13.36 ，τ=0.2； (2) 0=ss e ,2.0=ss e ,∞=ss e ；3-18已知系统的结构图如图所示。
欲保证阻尼比ζ=0.7和单位斜坡函数输入时稳态误差e ss =0.25，试确定参数K 和τ的取值。
解:G(s)=s 2+2s+K s τK =s(s+1)τ2+K 1τ2+K K Φ(s)=s 2+(2+K )s+K τK 2ωn ζ=2+K τ2=K ωn=2*0.7 K e ss = 2+K τK=0.25= 0.25K-2 τKK =31.6τ=0.1863-19已知系统的结构图如图所示。
其中r(t)=1(t ), d 1(t)=1(t ), d 2(t)=1(t)。
试求：（1）在r(t)作用下系统的稳态误差；（2）在d 1(t)和d 2(t)同时作用下系统的稳态误差； （3）在d 1(t)作用下，且G(s)=K P +s K 和F(s)=Js1时 ，系统的稳态误差。
解:e ssd = lim s -F(s)1+G(s)F(s)s →0-11+G(s)F(s)+s1[]E d (s)= -G 2(s)H(s)1+G 1(s)G 2(s)H(s)·D(s)=1+G(0)F(0)-[1+F(s)]K G(s)=K p +sJs 1F(s)=e ssd = lim s-F(s)1+G(s)F(s)s →0s1-s →0s 1= lim s 1+(K p +K s Js 1)Js 1计算的最后结果 ：（1）)0()0(11F G e ss +=；（2）)0()0(11)0(F G F e ss ++-= ；（3）0=ss e ；3-20复合控制系统如图所示。
图中 bs as s G c +=2)( ,)102.0)(11.0(10)(++=s s s s G 。
试选择a 和b 的值，使系统由Ⅰ型系统提高为Ⅲ型系统。
计算的最后结果： 1.0,012.0==b a。
