用向量讨论垂直

2.4 用向量讨论垂直与平行 第一课时教案一、教学目标：1．理解直线的方向向量和平面的法向量； 2．会用待定系数法求平面的法向量。

二、教学重点：直线的方向向量和平面的法向量；教学难点：求平面的法向量 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？ （二）、探析新课 1、直线的方向向量我们把直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量 2、平面的法向量如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥，那么向量叫做平面α的法向量。

（三）、知识运用1、例1 在正方体1111D C B A ABCD -中，求证：1DB 是平面1ACD 的法向量证：设正方体棱长为1，以1,,DD 为单位正交基底， 建立如图所示空间坐标系xyz D -)1,1,1(1=DB ，)0,1,1(-=AC ，)1,0,1(1-=AD 01=⋅DB ，所以DB ⊥1同理11AD DB ⊥ 所以⊥1DB 平面ACD从而1DB 是平面1ACD 的法向量。

2、 例2 在空间直角坐标系内，设平面α经过点),,(000z y x P ，平面α的法向量为),,(C B A =，),,(z y x M 为平面α内任意一点，求z y x ,,满足的关系式。

解：由题意可得),,(000z z y y x x PM ---= 0=⋅即0),,(),,(000=---⋅z z y y x x C B A 化简得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 3、课堂练习已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4)AB =-，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--（1）求证：AP 是平面ABCD 的法向量； （2）求平行四边形ABCD 的面积．（1）证明：∵(1,2,1)(2,1,4)0AP AB ⋅=--⋅--=，(1,2,1)(4,2,0)0AP AD ⋅=--⋅=，∴AP AB ⊥，AP AD ⊥，又AB AD A =，AP ⊥平面ABCD ，∴AP 是平面ABCD 的法向量．（2）||(2)AB ==2||4AD ==， ∴(2,1,4)(4,2,0)6AB AD ⋅=--⋅=，∴cos(,)105AB AD ==，∴sin BAD ∠==∴||||sin ABCDSAB AD BAD =⋅∠=（四）、回顾总结：1、直线得方向向量与平面法向量得概念；2、求平面法向量的方法。

向量垂直在数学中，向量是描述空间中的方向和大小的一种工具。

当两个向量之间的夹角为90度时，我们称这两个向量为垂直向量。

在本文中，我们将讨论向量的垂直性质以及如何确定向量是否垂直。

定义向量是一个带有大小和方向的量。

我们通常使用箭头来表示向量，箭头的长度表示向量的大小，而箭头的方向表示向量的方向。

向量通常用粗体小写字母表示，如a、b、c等。

两个向量a和b的垂直性可以通过它们的点积来确定。

点积是通过将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加得到的标量。

如果两个向量的点积为0，则它们是垂直的。

点积的计算公式如下所示：a·b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + ... + aₙ * bₙ其中a₁、a₂、...、aₙ和b₁、b₂、...、bₙ分别是向量a和b的对应分量。

举例来说，考虑两个二维向量a = (3, 4)和b = (-4, 3)，我们可以通过计算它们的点积来确定它们是否垂直。

根据点积的公式，我们有：a·b = 3 * (-4) + 4 * 3 = -12 + 12 = 0因此，向量a和b是垂直的。

垂直向量的性质垂直向量具有一些特殊的性质，它们在几何和物理中都有广泛的应用。

1. 垂直向量的夹角为90度。

根据点积的定义，两个向量的点积为0表示它们的夹角为90度。

夹角是指以向量为边的角度，在二维空间中通常表示为直角。

2. 垂直向量的两个非零向量之间的夹角余弦为0。

夹角余弦是用来描述两个向量之间夹角大小的概念。

对于垂直向量，夹角余弦为0，因为它们的点积为0。

3. 垂直向量可以用于计算投影。

投影是指将一个向量投影到另一个向量上的过程。

对于垂直向量，它们的投影为0，因为它们没有共享的部分。

4. 垂直向量可以用于计算向量的长度。

当两个向量垂直时，它们的长度与它们的点积无关。

因此，我们可以使用垂直向量来计算向量的长度。

应用场景垂直向量在几何和物理中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 平面几何：在平面几何中，垂直向量用于描述直线的关系。

§2.4 用向量讨论垂直与平行学习目标：1、理解直线的方向向量与平面的法向量2、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3、能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题重点难点：1、重点：空间向量共线与垂直的充要条件；空间向量的运算及其坐标表示；用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题。

2、难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关垂直、平行关系的问题学法指导：自学，小组讨论交流，师生点评提高。

知识链接：.① 怎样确定直线的方向向量？ ② 怎样确定平面的法向量？设空间直线、的方向向量分别为1e 、2e，平面的法向量分别为1n 、2n，则：①线线平行：即：两直线平行或重合②线线垂直：即：两直线垂直③线面平行：即：直线与平面平行④面面平行：即：两平面平行或重合⑤线面垂直：即：直线与平面垂直⑥面面垂直：即：两平面垂直典型例题：1、已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，求x 与y 的值2、已知正方体ABCD －A 1B1C1D1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点， 求证：(1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F.3、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，试在棱BB 1上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.目标检测：1. 已知A （3，5，2），B （-1，2，1），把AB按向量a ＝(2,1,1)平移后所得的向量是( )A ．(－4，－3,0)B ．(－4，－3，－1)C ．(－2，－1,0)D ．(－2，－2,0) 2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．不能确定3．从点A(2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为( ) A ．(－9，－7,7) B ．(18,17，－17) C ．(9,7，－7) D ．(－14，－19,31) 4．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l α D ．l 与α斜交5．已知A(1,1，－1)，B(2,3,1)，则直线AB 的模为1的方向向量是________________．6．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e ＝(1,1,1)是α的法向量，M(x ，y ，z)是平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________________．7.在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角.(1)求证：CM ∥平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD.作业布置： 我的疑惑：。