下载文档原格式
交叉关系题目
以下是一些涉及交叉关系的题目：
1. 在一个班级中，有30名学生，其中15人喜欢篮球，12人喜欢足球，而有5人既喜欢篮球又喜欢足球。
问至少喜欢一项运动的学生人数是多少？
2. 一家餐厅调查了100位顾客对于咖啡和茶的喜好情况，结果发现有60人喜欢咖啡，45人喜欢茶，而有25人既喜欢咖啡又喜欢茶。
求至少喜欢一种饮料的顾客人数。
3. 在一个工厂中，有200名员工，其中150人会使用电脑，120人会使用手机，而有80人既会使用电脑又会使用手机。
问至少会使用一种设备的员工人数。
4. 有的花瓶是瓷器，有的瓷器是花瓶，二者为交叉关系。
请问：
A项：电视剧是电器的一种，二者为种属关系，与题干逻辑关系不一致，排除；
B项：有的中药是植物，有的植物是中药，二者为交叉关系，与题干逻辑关系一致，当选；
C项：画作和诗篇都是艺术作品的一种，二者为反对关系，与题干逻辑关系不一致，排除；
D项：八仙桌是桌子的一种，二者为种属关系，与题干逻辑关系不一致，排除。
故本题选B项。
四年级数学关系式练习题第一题：在一个数列中，第一个数是3，第二个数是5，第三个数是7，以此类推，请写出这个数列的通项公式，并计算出第十项的值。
解答：这个数列是一个等差数列，公差为2。
我们可以用公式来表示，通项公式为 an = a1 + (n-1)d ，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
首项a1 = 3公差d = 2假设要求第十项的值，即n = 10根据公式：a10 = a1 + (10-1) * d= 3 + 9 * 2= 3 + 18= 21所以，这个数列的通项公式为 an = 3 + (n-1) * 2 ，第十项的值为21。
第二题：有一组数的和为56，比较这组数的相邻两数加起来的和和这组数的和的大小关系。
解答：假设这组数有n个，并且这组数按从左到右的顺序排列，第一个数为a1，第二个数为a2，以此类推，第n个数为an。
题目中给出的条件是这组数的和为56，即 a1 + a2 + ... + an = 56我们可以观察相邻两数的和 a1+a2, a2+a3, ..., an-1+an，共有 n-1 个相邻两数的和。
我们可以将这组数求和的式子拆开，得到：( a1 + a2 ) + ( a2 + a3 ) + ... + ( an-1 + an )根据加法交换律，我们可以将括号中的和重排：a1 + (a2 + a2) + (a3 + a3) + ... + (an-1 + an-1) + an根据题目给出的条件，这组数的和为56，即 a1 + a2 + ... + an = 56将以上两个式子合并：a1 + (a2 + a2) + (a3 + a3) + ... + (an-1 + an-1) + an = 56我们可以观察到，每个括号中的和都是两个相邻数的和，所以每个括号中的和都小于或等于56。
而最后一项 an 不在任何一个括号中，所以 an 的值不会影响整个式子的大小。
综上所述，这组数的相邻两数加起来的和小于或等于这组数的和。
关系数据理论练习题一、选择题1. 在关系数据库中，下列哪个术语表示表中的列？A. 元组B. 属性C. 字段D. 记录A. JOINB. UNIONC. INTERSECTD. EXCEPT3. 设有关系R(A, B, C)，下列哪个选项是R上的投影操作？A. πA,B(R)B. σA,B(R)C. τA,B(R)D. γA,B(R)4. 设有关系R(A, B)和S(B, C)，下列哪个选项是R与S的自然连接操作？A. R × SB. R ⨝ SC. R ∩ SD. R ∪ S二、填空题1. 关系数据库中的基本结构是______，它用来表示实体集和实体集之间的联系。
2. 若关系R和S进行自然连接，则R与S必须具有______属性。
3. 在关系数据库中，______操作用于从关系中选取满足条件的元组。
4. 设有关系R(A, B, C)，则投影操作πA(R)的结果是______。
三、判断题1. 关系数据库中的每一列都有一个唯一的名称，称为属性名。
（）2. 关系模型中，元组的位置可以任意交换。
（）3. 自然连接是一种特殊的等值连接，要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组。
（）4. 投影操作会改变原关系中的属性顺序。
（）四、简答题1. 请简述关系数据库的三个范式。
2. 什么是函数依赖？请举例说明。
3. 什么是关系的规范化？为什么需要对关系进行规范化？4. 请解释主键和外键的概念。
五、综合题六、设计题图书（包含书名、作者、出版社、出版日期、ISBN等）读者（包含读者ID、姓名、性别、电话、邮箱等）借阅（包含借阅ID、图书ISBN、读者ID、借阅日期、归还日期等）学生（学号，姓名，性别，年龄，专业）课程（课程号，课程名，学分，教师编号）教师（教师编号，姓名，职称，电话）七、SQL编程题2. 假设有一个“订单”表，包含字段：订单ID（主键）、客户ID、订单日期、订单金额。
请编写SQL语句，查询2021年所有订单金额大于1000元的订单信息。
第一部分:一、求最小依赖集例：设有依赖集：F={AB-C, C-A, BC—D, ACD-B, D—EG, BE—C, CG—BD, CE f AG},计算与其等价的最小依赖集。
解：1、将依赖右边属性单一化，结果为：F1={AB—C, C—A, BC—D, ACD—B, D—E, D—G, BE—C, CG—B, CG—D CE―A, CE—G}2、在F1中去掉依赖左部多余的属性。
对于CE—A,由于C—A成立，故E是多余的；对于ACD—B,由于(CD) +=48。
£»6,故A是多余的。
删除依赖左部多余的依赖后：F2={AB—C, C—A, BC—D, CD—B, D—E, D—G, BE—C, CG—B, CG—D, CE—G }3、在F2中去掉多余的依赖。
对于CG—B,由于(CG) +=ABCEDG,故CG—B是多余的。
删除依赖左部多余的依赖后：F3={AB—C, C—A, BC—D, CD—B, D—E, D—G, BE—C, CG—D, CE—G }CG—B与CD—B不能同时存在，但去掉任何一个都可以，说明最小依赖集不唯一。
二、求闭包例：关系模式R (U, F),其中U={A, B, C, D, E, I}, F={A—D, AB—E, BI—E, CD—I, E—C},计算(AE) +。
解：令X={AE}, X (0) =AE；计算X(1)；逐一扫描F集合中各个函数依赖，在F中找出左边是AE子集的函数依赖，其结果是：A—D, E—C。
于是X (1) =AE U DC=ACDE；因为X (0)W X (1),且X (1)WU,所以在F中找出左边是ACDE子集的函数依赖，其结果是：CD—I。
于是X (2) =ACDE UI=ACDEI。
虽然X (2)W X (1),但在F中未用过的函数依赖的左边属性已没有X (2) 的子集，所以不必再计算下去，即(AE) +=ACDEI。
1、设有关系R（A，B，C）的值如下：A B C2 2 32 3 43 3 5下列叙述正确的是[ ] A．函数依赖A→B在上述关系中成立B．函数依赖BC→A在上述关系中成立C．函数依赖B→A在上述关系中成立D．函数依赖A→BC在上述关系中成立2、设有关系模式R（A，B，C，D），F是R上成立的FD集，F={A→B，C→D}，则F+中左部为（BC）的函数依赖有[ ] A．2个B．4个C．8个D．16个3、设有关系模式R(A，B，C，D)，F是R上成立的函数依赖集，F={B→C,C→D},则属性C的闭包C+为( )A.BCDB.BDC.CDD.BC4、设一个关系为R(A,B,C,D,E)，它的最小函数依赖集为FD={A→B,A→C,(A,D)→E}，则该关系的候选码为什么？该关系属于第几范式，请简要地说明理由。
（6分）1．已知关系模式R（A、B、C 、D、E）满足的函数依敕为:F={A—>B、B—>D、C—>B、DE—>A }（1）求R所有的码，并写出求解过程。
（2）判断R的最高范式，,并说明理由2．已知关系模式R（A、B、C 、D、E）满足的函数依敕为:F={AB—>C、B—>D，D—>B，BD—>E }（1）求R所有的码，并写出求解过程。
（2）判断R的最高范式，,并说明理由5、设关系模式R (A，B，C)，F是R上成立的FD集，F = {B→A，B→C}，则分解ρ= {AB，AC}丢失的FD是__________。
6、假设某商业集团数据库中有一关系模式R如下：R (商店编号，商品编号，数量，部门编号，负责人)如果规定：(1) 每个商店的每种商品只在一个部门销售；(2) 每个商店的每个部门只有一个负责人；(3) 每个商店的每种商品只有一个库存数量。
试回答下列问题：(1) 根据上述规定，写出关系模式R的基本函数依赖；(2) 找出关系模式R的候选码；(3) 试问关系模式R最高已经达到第几范式？为什么？(4) 如果R不属于3NF，请将R分解成3NF模式集。
小测验1(一)单项选择题1．关系模型基本的数据结构是（D）A．树B．图 C.索引 D.关系2．关系数据库的查询语言是一种（C）A 过程性语言 B.第三代语言c．非过程性语言 D.高级程序设计语言3．关系模型中，实体完整性规则是（B）A．实体不允许是空实体 B.实体的主键值不允许是空值c．实体的外键值不允许是空值 D.实体的属性值不允许是空值4．关系数据库的数据操作分为两类（A）A．查询和更新 B.排序和索引c．插入和删除 D.修改和排序5．在关系模型中，下列说法正确的为( D )。
A．关系中存在可分解的属性值B. 关系中允许出现相同的元组C.关系中考虑元组的顺序D．元组中，属性理沦上是无序的，但使用时按习惯考虑列的顺序6. 在关系模型中，下列说法正确的为（B）A．关系中元组在组成主键的属性上可以有空值B．关系中元组在组成主键的属性上不能有空值C．主键值起不了唯一标识元组的作用D．关系中可引用不存在的实体7．下列为非过程语言的为( C )。
A．汇编语言 B.PASCAL语言‘C．关系查询语言D．C语言8．设关系R、s、w各有10个元组，则这三个关系的笛卡尔积的基数为（C）A．10 B.30 C．1000 D.不确定（与计算结果有关）9．关系代数中，一般联接操作由（A）组合而成。
A．笛卡尔积和选择 B.笛卡尔积、选择和投影C．笛卡尔积和投影 D.投影和选择10．设关系R和S的属性个数分别为r和s，那么(R x S)操作结果的属性个数为( A )A．r十s B.r-s C．r×s D.max(r,s)11．设关系R和s的结构相同,且各有100个元组，则这两个关系的并操作结果的元组个数为（D）A．100 B.小于等于100 C.200 D. 小于等于20012．关系代数的交操作可以由（B）操作组合而成。
A．并和差 B.差C．选择 D.联接13．如果两个关系没有公共属性，那么其自然联接操作（A）A．转化为笛卡尔积操作B．转化为联接操作c．转化为外部并操作D．结果为空关系14．设关系R和S的值如下：B）A．1 B.2 C．3 D.415．在14题中，操作结果的元组个数是（）。
关系大小调练习题一、选择题（每题2分，共20分）1. 以C大调为例，其关系小调是：A. A小调B. B小调C. G小调D. F小调2. 以下哪个调不是C大调的关系小调？A. A小调B. D小调C. E小调D. F小调3. 以G大调为例，其关系小调的调号是：A. 一个升号B. 两个升号C. 一个降号D. 两个降号4. 以下哪个调是F大调的关系小调？A. D小调B. G小调C. A小调D. C小调5. 以D大调为例，其关系小调是：A. B小调C. G小调D. A小调6. 以下哪个调是B大调的关系小调？A. G小调B. D小调C. F小调D. C小调7. 以A大调为例，其关系小调的调号是：A. 四个升号B. 三个升号C. 四个降号D. 三个降号8. 以下哪个调是E大调的关系小调？A. C小调B. G小调C. D小调D. A小调9. 以F大调为例，其关系小调是：A. D小调B. G小调C. C小调D. A小调10. 以下哪个调是Bb大调的关系小调？A. G小调B. Eb小调D. C小调二、填空题（每空2分，共20分）11. 以E大调为例，其关系小调是______。
12. 以Bb大调为例，其关系小调的调号是______。
13. 以Db大调为例，其关系小调的调号是______。
14. 以Ab大调为例，其关系小调是______。
15. 以Gb大调为例，其关系小调是______。
三、简答题（每题10分，共30分）16. 请解释什么是关系大小调，并给出一个例子。
17. 请说明为什么C大调和A小调是关系大小调，并解释它们的关系。
18. 请描述如何确定一个调的关系小调，并给出一个具体的例子。
四、应用题（每题15分，共30分）19. 给出一个D大调的曲子，要求分析其关系小调，并说明如何通过关系小调来丰富曲子的表现力。
20. 假设你要创作一首以F大调为基础的旋律，请你写出一段旋律，并说明如何通过其关系小调来增加旋律的对比和深度。
关系模式练习题及答案关系模式练习是数据库设计和管理的重要一环。
通过练习题的形式，可以巩固对关系模式的理解和应用，并加深对数据库设计的认识。
本文将介绍一些关系模式练习题及其答案，希望读者能够从中受益。
一、题目一：学生成绩管理系统考虑一个学生成绩管理系统，包含三张表：学生表（Student）、课程表（Course）和成绩表（Score）。
学生表包含学生ID（StuID）和学生姓名（StuName）两个属性；课程表包含课程ID（CouID）和课程名称（CouName）两个属性；成绩表包含学生ID、课程ID和成绩（Score）三个属性。
1.设计学生成绩管理系统的关系模式。
答案：学生表（Student）：(StuID, StuName)课程表（Course）：(CouID, CouName)成绩表（Score）：(StuID, CouID, Score)2.分别添加以下数据到对应的表中：学生表：StuID | StuName001 | 张三002 | 李四课程表：CouID | CouName001 | 数学002 | 英语成绩表：StuID | CouID | Score001 | 001 | 95001 | 002 | 85002 | 001 | 752.查询学生张三的数学成绩。
答案：SELECT Score FROM Score WHERE StuID = '001' AND CouID = '001'二、题目二：图书馆管理系统考虑一个图书馆管理系统，包含两张表：图书表（Book）和借阅记录表（Borrow）。
图书表包含图书ID（BookID）、图书名称（BookName）和作者（Author）三个属性；借阅记录表包含借阅ID （BorrowID）、图书ID、借阅者（Borrower）和借阅日期（BorrowDate）四个属性。
1.设计图书馆管理系统的关系模式。
答案：图书表（Book）：(BookID, BookName, Author)借阅记录表（Borrow）：(BorrowID, BookID, Borrower, BorrowDate)2.分别添加以下数据到对应的表中：图书表：BookID | BookName | Author001 | 《数据库原理》 | 张三002 | 《计算机网络》 | 李四借阅记录表：BorrowID | BookID | Borrower | BorrowDate001 | 001 | 小明 | 2021-01-01002 | 002 | 小红 | 2021-01-02003 | 001 | 小亮 | 2021-01-032.查询借阅者为小明的所有借阅记录。
集合间的基本关系练习引言本文档旨在帮助读者巩固和练集合间的基本关系。
集合是数学中重要的基础概念，理解和掌握集合间的关系对于研究和解决数学问题至关重要。
通过一系列简单的练，读者将有机会深入研究并熟练运用集合间的基本关系。
练1：集合的相等关系题目：在以下集合中，判断哪些集合是相等的。
：在以下集合中，判断哪些集合是相等的。
1. A = {1, 2, 3, 4, 5}2. B = {5, 4, 3, 2, 1}3. C = {1, 2, 3}4. D = {2, 3, 4, 5, 6}解答：：- A和B是相等的，因为它们包含相同的元素。
- A和C不相等，因为它们的元素数量不同。
- A和D不相等，因为它们有不同的元素。
练2：集合的包含关系题目：根据给定的集合关系，判断哪些集合是包含关系。
：根据给定的集合关系，判断哪些集合是包含关系。
1. A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {1, 2, 3}2. C = {a, b, c}，D = {a, b, c, d, e}解答：：- A包含B，因为集合B的所有元素都包含在集合A中。
- C和D没有包含关系，因为它们有不同的元素。
练3：集合的交集和并集关系题目：给定以下集合，求它们的交集和并集。
：给定以下集合，求它们的交集和并集。
1. A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {4, 5, 6, 7}2. C = {a, b, c, d}，D = {c, d, e, f}解答：：- 集合A和B的交集为{4, 5}，并集为{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。
- 集合C和D的交集为{c, d}，并集为{a, b, c, d, e, f}。
总结本文档通过练习集合的相等关系、包含关系以及交集和并集关系，帮助读者巩固和练习集合间的基本关系。
通过解答题目，读者能够更好地理解和应用这些概念，为进一步的数学学习奠定基础。
集合关系练习题及答案集合关系是数学中的一个重要概念，它涉及到集合之间的包含、相等、子集等关系。
以下是一些集合关系的练习题及答案，供同学们学习和练习。
# 练习题1：判断下列集合之间的关系设集合 A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，C = {1, 2, 3, 4}。
1. A 是否是 B 的子集？2. B 是否是 A 的子集？3. C 是否是 A 的子集？4. A 和 B 是否相等？# 答案1：1. A 不是 B 的子集，因为 A 中的元素 1 和 2 不在 B 中。
2. B 不是 A 的子集，因为 B 中的元素 4 和 5 不在 A 中。
3. C 是 A 的子集，因为 A 中的所有元素都在 C 中。
4. A 和 B 不相等，因为它们包含不同的元素。
# 练习题2：求集合的交集和并集设集合 D = {1, 2, 5}，E = {2, 3, 5, 7}。
1. 求 D 和 E 的交集。
2. 求 D 和 E 的并集。
# 答案2：1. D 和 E 的交集是 {2, 5}，因为这两个元素同时出现在 D 和 E 中。
2. D 和 E 的并集是 {1, 2, 3, 5, 7}，包含了 D 和 E 中的所有元素。
# 练习题3：使用韦恩图表示集合关系使用韦恩图表示以下集合的关系：集合 F = {1, 3, 5, 7}，G = {2, 4, 6, 8}，H = {3, 4, 5, 6}。
# 答案3：韦恩图是一种图形化表示集合之间关系的工具。
在这个例子中，F、G和 H 没有共同元素，因此它们的韦恩图将显示三个不相交的集合。
# 练习题4：求集合的补集设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，I = {2, 4, 6, 8}。
1. 求 I 在 U 中的补集。
2. 如果 J = {1, 3, 5, 7, 9}，求 J 在 U 中的补集。
# 答案4：1. I 在 U 中的补集是 {1, 3, 5, 7, 9}，因为这些元素在 U 中但不在 I 中。
6．集合A={1，2，3}上的下列关系矩阵中符合等价关系条件的是（ ） A ．⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡100010101
B ．⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡101010101
C ．⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡101110011 D ．⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡111011001 9．设A={1，2，3，4，5}，A 上二元关系R={〈1，2〉，〈3，4〉，〈2，2〉}，S={〈2，4〉，〈3，1〉，〈4，2〉}，则S -1 R -1的运算结果是（ ） A ．{〈4，1〉，〈2，3〉，〈4，2〉} B ．{〈2，4〉，〈2，3〉，〈4，2〉} C ．{〈4，1〉，〈2，3〉，〈2，4〉}
D ．{〈2，2〉，〈3，1〉，〈4，4〉}
20．设A={0，1，2，3，6}，R={〈x,y 〉|x ≠y ∧(x,y ∈A)∧y ≡x(mod 3)}，则domR=____________，ranR=____________。
27．设A={0，1，2，3}，R={〈x,y 〉|x,y ∈A ∧(y=x+1∨y=2
x
)}，S={〈x,y 〉|x,y ∈A ∧（x=y+2）}。
试求R S R
31．设A={a,b,c,d}, R={〈a,c 〉，〈c,b 〉，〈b,a 〉，〈a,d 〉}，求R ，r(R),s(R),t(R)的关系图。
7．设A={a,b,c,d}，A 上的等价关系R={<a, b>, <b, a>, <c, d>, <d, c>}∪I A ，则对应于R 的A
的划分是（ ） A ．{{a},{b, c},{d}} B ．{{a, b},{c}, {d}} C ．{{a},{b},{c},{d}}
D ．{{a, b}, {c,d}}
12．设A={a, b, c}，R 是A 上的二元关系，R={<a, a>, <a, b>, <a, c>, <c, a>}，那么R 是（ ） A ．反自反的 B ．反对称的 C ．可传递的
D ．不可传递的
19．设X={1，2，3}，f ：X →X ，g ：X →X ，f={<1, 2>,<2,3>,<3,1>},
g={<1,2>,<2,3>,<3,3>}，则f g=________________，g f=________________。
20．设A={a,b,c}，R 是A 上的二元关系，且给定R={<a,b>,<b,c>,<c,a>}，则R 的自反闭包r(R)= ________________，对称闭包s(R)= ________________。
26．集合A={a, b, c, d, e}上的二元关系R 为
R={<a,a>, <a,b>, <a,c>, <a,d>, <a,e>, <b,b>, <b,c>, <b,e>, <c,c>, <c,d>, <c,e>, <d,d>, <d,e>, <e,e>} （1）写出R 的关系矩阵；
（2）判断R 是不是偏序关系，为什么？
30．设A 为54的因子构成的集合，R ⊆A ×A ，∀x,y ∈A, xRy ⇔x 整除y 。
画出偏序集<A,R>的哈斯图，并求A 中的最大元，最小元，极大元，极小元。
31．设R 是A 上的一个自反关系，证明：R 是一个等价关系，当且仅当若<a,b>∈R ，<a,c>∈R ，则<b,c>∈R 。
11.设集合A={1，2，3}，下列关系R 中不．
是等价关系的是（ ） A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}
B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}
C.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
D.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>}
29.设A={a, b, c, d, e}，R 为A 上的关系，R={<a, d>，<a, c>，<a, b>, <a, e>, <b, e>,<c, e>, <d, e>}∪I A ，试画<A ，R>的哈斯图，并求A 中的最大元，最小元，极大元，极小元。
32.设R 是A 上的自反和传递关系，如下定义A 上的关系T ，使得∀x, y ∈A ，<x, y>∈T ⇔ <x, y>∈R ∧(y, x)∈R 。
证明T 是A 上的等价关系。
8．下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是（ ） A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001110101
B ．⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡101110001
C ．⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡001100100
D ．⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010101
21．设A ={1,2,3,4}, A 上的二元关系R ={<1,2>,<2,4>,<3,3>},S={<1,3>,<2,4>,<4,2>}，则R 2︒S=___________，(R -1)2=___________。
8.下列哪个关系矩阵所对应的关系具有自反性( ) A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001111101 B.⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡101110001 C.⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡001100100 D.⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010101 20.设A={l ，2，3，4}，A 上的二元关系R={<1，2>，<3，4>，<4，3>}，S={<l ，3>，<3，
4>，<4，1>}，则R ⋂～S=________，(R ⋃S)-1=________。
28．设A={a,b,c,d}，R={<a ，b>，<a ，d>，<b ，c>，<c ，a>，<d ，a>}，求R 的传递闭包。
29.设A={2，3，6，12，24，36}，请画出A 上整除关系的哈斯图，并给出子集{6，12，24，36}的下界、下确界、极大元、最大元。
33.设A={<a ，b>|a ，b ∈Z +，Z +为整数集}，A 上的关系R={<<a ，b>,<c ，d>>|ad=bc}，证明R 是等价关系。
7．集合A={1，2，…，10}上的关系R={<x ，y >|x +y =10，x ∈A ，y ∈A}，则R 的性质是（ ） A ．自反的 B ．对称的
C ．传递的、对称的
D ．反自反的、传递的
9．R={<1，4>，<2，3>，<3，1>，<4，3>}，则下列不是
．．t（R）中元素的是（）A．<1，1> B．<1，2>
C．<1，3> D．<1，4>
30．设A={1，2，3，4，6，8，12，24}，R为A上的整除关系，试画<A，R>的哈斯图，并求A中的最大元、最小元、极大元、极小元。
28．设X={1，2，3，4}，R是X上的二元关系，
R={<1,1>,<3,1>,<1,3>,<3,3>,<3,2>,<4,3>,<4,1>,<4,2>,<1,2>}。
（1）画出R的关系图；
（2）写出R的关系矩阵；
（3）说明R是否具有自反、反自反、对称、传递性质。
