数学三考研试题和参考答案

2022年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学三)(科目代码:303)一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所有选项前的字母填在答题卡指定位置（1）当0→x 时，)(),(x x βα是非零无穷小量，给出以下四个命题①若)(~)(x x βα，则)(~)(22x x βα②若)(~)(22x x βα，则)(~)(x x βα③若)(~)(x x βα，则))(()()(x o x x αβα=-④若))(()()(x o x x αβα=-，则)(~)(x x βα其中正确的是（）（A）①②（B）①④（C）①③④（D）②③④（2）已知,...)2,1()1(=--=n nn a nn n ，则}{n a （）（A）有最大值，有最小值（B）有最大值，没有最小值（C）没有最大值，有最小值（D）没有最大值，没有最小值（3）设函数)(t f 连续，令0(,)()()d x y F x y x y t f t t -=--⎰，则（）（A）y F x F y F x F 2222,∂∂=∂∂∂∂=∂∂（B）y Fx F y F x F 2222,∂∂-=∂∂∂∂=∂∂（C）yF x F y F x F 2222,∂∂=∂∂∂∂-=∂∂（D）yFx F y F x F 2222,∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂（4）已知111123000ln(1)2d d d ,2(1cos )1cos 1sin x x xI x I x I x x x x+===+++⎰⎰⎰，，则（）（A ）321I I I <<（B ）312I I I <<（C ）231I I I <<（D ）123I I I <<（5）设A 为3阶矩阵，100010000⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭Λ，则A 的特征值为0,11-，的充分必要条件是（）（A）存在可逆矩阵,P Q ，使得=A PΛQ（B）存在可逆矩阵P ，使得1-=A PΛP （C）存在正交矩阵Q ，使得1-=A QΛQ （D）存在可逆矩阵P ，使得T=A PΛP （6）设矩阵2211111,214a a b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A b ，则线性方程组=Ax b 解的情况为（）（A）无解（B）有解（C）有无穷多解或无解（D）有唯一解或无解（7）设11,1λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α21,1λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α311,λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α421,λλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α若向量组123,,ααα与124,,ααα等价，则λ的取值范围是（）（A ）}1,0{（B ）}2|{-≠∈λλλ，R （C ）}2,1,|{-≠-≠∈λλλλR （D ）}1|{-≠∈λλλ，R （8）设随机变量)4,0(~N X ，随机变量)31,3(~B Y ，且X 与Y 不相关，则=+-)13(Y X D （）（A）2（B）4（C）6（D）10（9）设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且1X 的概率密度为⎩⎨⎧<-=其他,01|||,|1)(x x x f ，则∞→n 时，211i n i X n =∑依概率收敛于（）（A）81（B）61（C）31（D）21（10）设二维随机变量),(Y X 的概率分布若事件}2},{max{=Y X 与事件}1},{min{=Y X 相互独立，则=),(Y X Cov （）（A）6.0-（B）36.0-（C）0（D）0.48Y X0121-0.10.1b 1a0.10.1二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分（11）cot 01e lim()2x xx →+=_______.（12）2224d 24x x x x -=++⎰_______.（13）已知函数sin sin ()e e x x f x -=+，则=''')2(πf _______.（14）已知函数e ,01()0,x x f x ⎧≤≤=⎨⎩其他，则d ()()d x f x f y x y +∞+∞-∞-∞-=⎰⎰_______.（15）设A 为3阶矩阵，交换A 的第2行和第3行，再将第2列的1-倍加到第1列，得到矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----001011112，则1-A 的迹1()tr -=A _______.（16）设,,A B C 为随机事件，且A 与B 互不相容，A 与C 互不相容，B 与C 相互独立，31)()()(===C P B P A P ，则=)|(C B A C B P _______.三、解答题：17-22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程x y xy +=+'221满足条件3)1(=y 的解，求曲线)(x y y =的渐近线.（18）（本题满分12分）设某产品的产量Q 由资本投入量x 和劳动投入量y 决定，生产函数为612112y x Q =，该产品的销售单价P 与Q 的关系为 1.5Q 1160-=P ，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8,求利润最大时的产量.（19）（本题满分12分）已知平面区域}20,42|),{(2≤≤-≤≤-=y y x y y x D ，计算y x y x y x I Dd d )(222⎰⎰+-=.（20）（本题满分12分）求幂级数nn nn x n 20)12(41)4(∑∞=++-的收敛域及和函数)(x S .（21）已知二次型312322213212343),,(x x x x x x x x f +++=（i）求正交变换=x Qy 将),,(321x x x f 化为标准形；（ii）证明T()min2x f x ≠=x x.（22）设n X X X ,,,21 为来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本，求m Y Y Y ,,,21 为来自均值为θ2的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中)0(>θθ是未知参数.利用样本m n Y Y Y X X X ,,,,,,,2121 ，求θ的最大似然估计量θˆ，并求)ˆ(θD .一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，()(),x x αβ是非零无穷小量，给出以下四个命题 ①若()()~x x αβ，则()()22~x x αβ②若()()22~x x αβ，则()()~x x αβ③若()()~x x αβ，则()()()()x x o x αβα-= ④若()()()()x x o x αβα-=，则()()~x x αβ 其中正确的序号是（ ） （A ）①②（B ）①④ （C ）①③④（D ）②③④【答案】C【解析】当0x →时，()()x x αβ:，则222000()()()lim1,lim lim 1()()()x x x x x x x x x αααβββ→→→⎡⎤===⎢⎥⎣⎦，则： 0()()lim0()x x x x αβα→-=，所以()()(())x x o x αβα-=，故①③正确；当0x →时，22()()x x αβ:，则220()lim 1()x x x αβ→=，则0()lim1()x x x αβ→=±，当0()lim 1()x x x αβ→=-时， ()x α与()x β不是等价无穷小，所以②不正确；当()()(())x x o x αβα-=时，000()()()limlim lim 1()()(())()x x x x x x x x o x x αααβααα→→→===-，④正确.（2）已知()()11,2,nna n n-==L ，则{}n a （ ）（A ）有最大值，有最小值 （B ）有最大值，没有最小值 （C ）没有最大值，有最小值（D ）没有最大值，没有最小值【答案】（A ）2022年研究生考试数学三真题及详解【解析】()1lim lim 1nn n n a n →∞→∞⎤-=-=⎥⎥⎣⎦,12121,12a a =>=<，则{}n a 有最大值，有最小值（3）设函数()f t 连续，令()()()0,x yF x y x y t f t dt -=--⎰，则（ ）（A ）2222,F F F Fx y x y ∂∂∂∂==∂∂∂∂（B ）2222,F F F Fx y x y ∂∂∂∂==-∂∂∂∂（C ）2222,F F F F x y x y∂∂∂∂=-=∂∂∂∂（D ）2222,F F F F x y x y∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂【答案】C【解析】原式0()()()x yx yx y f t dt tf t dt --=--⎰⎰则：00()()()()()()x y x y Ff t dt x y f x y x y f x y f t dt x--∂=+-----=∂⎰⎰，22()Ff x y x∂=-∂ 同理：00()()()()()()x y x y Ff t dt x y f x y x y f x y f t dt y--∂=----+--=-∂⎰⎰22()Ff x y y∂=-∂ 综上所述：2222,F F F Fx y x y∂∂∂∂=-=∂∂∂∂.（4）已知1102(1cos )x I dx x =+⎰，120ln(1)1cos x I dx x+=+⎰，13021sin xI dx x =+⎰，则（ ） （A ）123I I I << （B ）213I I I << （C ）132I I I <<（D ）321I I I <<【答案】A【解析】令()ln(1)2x h x x =+-，11()012h x x '=->+，()0, 1x ∈，于是()h x 单调递增，又由(0)0h =可知()ln(1)02xh x x =+->，其中()0, 1x ∈，故ln(1)2(1cos )1cos x x x x +<++，故12I I <. 当()0, 1x ∈时，，则，故23I I <.（5）设A 为3阶矩阵，100010000⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 特征值为1,1,0-的充分必要条件是（ ）（A ）存在可逆矩阵,P Q ，使得A P Q =Λ （B ）存在可逆矩阵P ，使得1A P P -=Λ （C ）存在正交矩阵Q ，使得1A Q Q -=Λ （D ）存在可逆矩阵P ，使得T A P P =Λ 【答案】（B ）【解析】若（B ）成立，则矩阵A Λ与相似，特征值相等，可推出A 特征值为1,1,0- 若A 特征值为1,1,0-，则矩阵A 可以相似对角化，矩阵A Λ与相似，所以（B ）为充要条件（6）设矩阵2211111,214A a a b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则线性方程组Ax b =的解的情况为（ ） （A ）无解（B ）有解（C ）有无穷多解或无解（D ）有唯一解或无解【答案】（D ）【解析】()()()11A a b b a =---， 当1,1,a b a b ≠≠≠时，方程有唯一解，当1a b ==时，()1111,00010000A b ⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦，方程无解，故选（D ） （7）设1=11λα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，21=1αλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，31=1αλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，421=αλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，若向量组123,,ααα与124,,ααα等价，则λ的取值范围是（ ）)cos 1(22)sin 1()1ln()sin 1(x x x x x x +<<+<++xxx x sin 12cos 1)1ln(+<++（A ）{}01，（B ）{},2R λλλ∈≠-（C ）{},12R λλλλ∈≠-≠-，（D ）{},1R λλλ∈≠-【答案】C【解析】由()()()212311,,=111211λαααλλλλ=-+，()()()22124211,,=11+111λαααλλλλλ=-，当1,λ≠-2,λ≠-时满足题意，故选C.（8）设随机变量()~0,4X N ,随机变量1~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且X Y 与不相关，则()3+1D X Y -=（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6（D ）10【答案】（D ）【解析】()()113+1+96,4+93101033D X Y DX DY COV X Y ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭gg （9）设随机变量序列12,,,,n X X X L L 独立同分布，且1X 的概率密度为()1,10,x x f x ⎧-<⎪=⎨⎪⎩其他，则当n →∞时，211n i i X n =∑依概率收敛于（ ） （A ）18（B ）16（C ）13（D ）12【答案】（B ）【解析】()()()112222101111216n i i i E X E X x x dx x x dx n -=⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭∑⎰⎰（10）设二维随机变量(),X Y 的概率分布若事件{}{}max ,2X Y =与事件{}{}min ,1X Y =相互独立，则(),COV X Y =（ ） （A ）0.6- （B ）0.36- （C ）0（D ）0.48【答案】（B ）【解析】{}{}max ,20.1+P X Y b ==；{}{}min ,10.2P X Y =={}{}{}max ,2,min ,10.1P X Y X Y ===， ()0.10.20.1+0.40.2b b a =⇒=⇒=()()()0.6,0.2, 1.2E XY E X E Y =-=-=()()()(),0.36COV X Y E XY E X E Y =-=-二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上.(11) cot 01lim 2xx x e →⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】12e【解析】001cot 11lim cot lim22tan 21lim 2x x x x e xe xx In x x e e ee →→⎛⎫+-⋅⎪ ⎪⎝⎭→⎛⎫+=== ⎪⎝⎭(12)22024+2+4x dx x x -=⎰【答案】ln 3- 【解析】()()2222200220242+26+2+4+2+4+1+3ln +2+4ln 3x x dx dx x x x x x x x -=-⎡=⎢⎣=⎰⎰ (13) 已知函数sin sin ()x x f x e e -=+，则(2)f π'''= . 【答案】0【解析】由sin sin ()()x x f x e e f x --=+=，(2)()f x f x π+=，可知()f x 是以2π为周期的偶函数，那么()f x '''是以2π为周期的奇函数，故(2)(0)0f f π''''''==.(14) 已知函数,01()0,x e x f x ⎧≤≤=⎨⎩其他，则()()dx f x f y x dy +∞+∞-∞-∞-=⎰⎰ .【答案】2(1)e -【解析】记{(,)01,01}D x y x y x =≤≤≤-≤， 则11120()()(1)(1)x x y x x xdx f x f y x dy dx e e dy e e dx e +∞+∞+--∞-∞-=⋅=-=-⎰⎰⎰⎰⎰.（15）设A 为3阶矩阵，交换A 的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加到第一列，得到矩阵211110100--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1A -的迹1()tr A -= .【答案】1-【解析】符合左行右列原则由题意可得：2312211(1)110100E AE --⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则：2312211111110(1)100100010A E E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以211110(1)(1)001E A λλλλλλ+--==++=，解得1231,,i i λλλ=-==-所以1A -的特征值为1231,,i i λλλ=-==-，所以1()1tr A -=-.（16）设A,B,C 为随机事件，且A 与B 互不相容，A 与C 互不相容，B 与C 相互独立，1()()()3P A P B P C ===，则()P B C A B C =U U U ___________.【答案】58【解析】()()()()()()()()()()P B C P B P C P BC P B C A B C P A B C P A P B P C P BC +-==++-U U U U U U()()()()()()()()()215391819P B P C P B P C P A P B P C P B P C -+-===++--. 三、解答题：17—22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数()y x是微分方程2y y '=满足()1=3y 的解，求曲线()y y x =的渐近线. 【答案】2y x =【解析】根据题意，求解微分方程2y y '=+有，()((()2=2y x e dx C eC e -⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰求解(()22+222t t t e tdt t e ⋅==⎰，进而有，()2y x x Ce =+()1=3y ，知=C e ，故而()12y x x e =+进一步，()12limlim 2x x y x x e k x x→+∞→+∞+===，()()1lim lim 0x x b y x kx e →+∞→+∞=-==，故而，曲线()y y x =的渐近线为2y x =. （18）（本题满分10分）设某产品的产量Q 由资本投入量x 和劳动投入量y 决定，生产函数为116212Q x y =，该产品的销售单价P 与Q 的关系为1160 1.5P Q =-，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.【答案】384【解析】利润()111166221160 1.5121268L PQ C x y x y x y ⎛⎫=-=-⨯⨯-+ ⎪⎝⎭，即1116321392021668L x y xy x y =---，令11163252163269602166023207280x yL x y y L x y xy ---⎧'=--=⎪⎨⎪'=--=⎩得驻点()256,64，此时11621225664384Q =⨯⨯=，由于驻点唯一，故利润L 在384Q =时取到最大值.（19）（本题满分12分）已知平面区域(){},22D x y y x y =-≤≤≤≤，计算()222Dx y I dxdy x y -=+⎰⎰【答案】22π- 【解析】方法一：()()()()()1222222222222sin cos 0002222+=cos sin cos sin 122cos sin 2sin cos 22D D x y x y I dxdy dxdyx yx yd rdr d rdr d ππθθπππθθθθθθπθθθθθπ---=++-⋅+-⋅⎛⎫=-+-⋅ ⎪-⎝⎭=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法二：()1212222222220sin cos 22021=S 22222sin cos 424sin cos sin cos =22D D D D D xy I dxdy x y xydxdy x y xydxdy x yd rdrd πθθπππθθθπθθθθθπ⋃+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭-+=+-+=+-⋅⎡⎤=+--⎢⎥+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（20）（本题满分10分）求幂级数20(4)14(21)n nnn x n ∞=-++∑的收敛域及和函数()S x . 【答案】收敛域[1,1]-，12arctan ln ,[1,1]0()22,0x x x x S x x x x ⎧+⎛⎫+∈-≠⎪ ⎪=-⎝⎭⎨⎪=⎩且 【解析】11111(4)14(21)(4)14(21)1(4)1lim lim lim4(23)(4)14(23)(4)14(4)1n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++→∞→∞→∞-++-++-+⋅=⋅=+-++-+-+ 111(4)1(4)1lim141(4)1(4)n n n n n ++→∞⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦==⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦，进而可得收敛半径为1. 当1x =±时，原级数为000(4)1(1)14(21)214(21)n n n n n n n n n n ∞∞∞===-+-=++++∑∑∑，其中0(1)21nn n ∞=-+∑为交错级数，k 可知其收敛；014(21)nn n ∞=+∑为正项级数，可知其收敛.222000(4)1(1)()4(21)214(21)n n nn n n nn n n x S x x x n n n ∞∞∞===-+-==++++∑∑∑，[1,1]x ∈-. 令2110(1)()21n n n S x x n ∞+=-=+∑，21201()(1)1n n n S x x x ∞='=-=+∑，12()arctan 1dx S x x C x ==++⎰， 又1(0)0S =，得0C =.令2120()4(21)n n n x S x n +∞='=+∑，2222004()444nn n n n x x S x x ∞∞==⎛⎫'=== ⎪-⎝⎭∑∑，2242()ln 42xS x dx C x x +==+--⎰， 又2(0)0S =，得0C =. 当0x ≠时，arctan 12()ln2x xS x x x x+=+-；又(0)2S =. 综上，12arctan ln ,[1,1]0()22,0x x x x S x x x x ⎧+⎛⎫+∈-≠⎪ ⎪=-⎝⎭⎨⎪=⎩且. （21）（本题满分15分）已知二次型22212312313(,,)3432f x x x x x x x x =+++， （1）求正交变换x Qy =将123(,,)f x x x 化为标准形； （2）证明：()min2T f x x x=. 【答案】（1）00100Q ⎛= ⎪ ⎪ ⎝，（2）见解析. 【解析】（1）301040103A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2301040(2)(4)0103A E λλλλλλ--=-=--=-，得特征值12λ=，234λλ==.当12λ=时，1012020000A E ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭:，解得特征向量1(1,0,1)T α=-；当234λλ==时，1014000000A E -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭:，解得特征向量2(0,1,0)T α=，3(1,0,1)T α=；单位化1(T β=，2(0,1,0)T β=，3T β=得正交矩阵00100Q ⎛= ⎪ ⎪ ⎝，故二次型经过正交变换x Q y =得到的标准形为222123123(,,)244f y y y y y y =++.（2）()TTTx x Qy Qy y y ==，222222123123222222123123244222()()2T T y y y y y y f x f y x x y y y y y y y y ++++==≥=++++， 故()min2T f x x x=. （22）（本题满分15分）设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本，12,,,m Y Y Y ⋅⋅⋅为来自均值为2θ的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中(0)θθ>是未知参数.利用样本1212,,,,,,,n m X X X Y Y Y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，求θ的最大似然估计量$θ，并求$()D θ. 【答案】$2mnX Y n mθ+=+，$2()D n m θθ=+【解析】由题意可知10()0xex f x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，210()20y ey f y θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，且X 与Y 相互独立，故(,)()()f x y f x f y =.构造似然函数1111211()(2)mnjij i y x nmL e eθθθθθ==--∑∑=⋅⋅⋅，取对数1111ln ()ln ln(2)2nmi ji j L n x m yθθθθθ===----∑∑，求导2211ln ()112nmiji j d L n mx yd θθθθθθ===-+-+∑∑，令ln ()0d L d θθ=，得$2m nX Y n mθ+=+. $22222222111()(2)()4()4()4m m m D n DX DY nDX DY n n m n m n m n m θθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。

而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。

考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。

各科的考试时间均为3小时。

考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。

考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。

数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。

数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。

这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。

二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。

其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。

2023考研数学三真题试卷带答案解析(高清版)2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案2024年考研数学复习时间规划复习的阶段大致可以分为三个阶段：基础奠定，强化训练，模拟冲刺。

1、6月之前：夯实基础通过看老师的基础课程数，学习基础知识，有视频的可以结合视屏看，看完一节，知道里面讲的什么，公式、概念。

看完一章，结合之前做的笔记，复盘这一章的内容，主要将说明，各知识点都用在什么地方，然后刷一刷这一章的讲义。

看完一章视频或书籍之后，最后做一做三大计算+660题。

2、7-9月：强化训练方法同打基础阶段。

看完视频后做对应的习题330题。

3、10-11月20日：真题冲刺后期可以做一做近10年的真题了，从近往远做，越近的真题越要花时间研究，不懂的地方可以看看名师的知识点讲解。

真题的错题，尤其要弄懂。

4、11月20日-考前：模拟训练最后一两个星期，就需要持续的模拟考场做试卷的状态和题型，建议大家做一做模拟卷，网上就可以购买，一般12月初都出来了，挑自己喜欢的老师即可。

提示：不要看押题卷，知识点学就会后，以不变应万变。

考研必考科目政治、英语和专业课。

所有专业都会考查政治，虽然管理类联考初试不涉及，但复试会考查。

除小语种专业外，其他专业都会考查英语，主要有英语一和英语二。

考研专业分为13个学科大类，包含上百个专业，每一专业都会有自己的专业课考试。

考研初试科目：初试方式为笔试，共四个科目：两门公共课、两门业务课。

两门公共课：政治、英语一或英语二;业务课一：数学或专业基础;业务课二(分为13大类)：哲学、经济学、法学、教育学、文学、历史学、理学、工学、农学、医学、军事学、管理学、艺术学等。

法硕、西医综合、中医综合、教育学、历史学、心理学、计算机、农学等属于统考专业课，其他非统考专业课都是各院校自主命题，具体考试科目请参照各大考研院校招生简章。

会计硕士(MPAcc)、图书情报硕士、工商管理硕士(MBA)、公共管理硕士(MPA)、旅游管理硕士、工程管理硕士和审计硕士只考两门，即：英语二和管理类联考综合能力。

2024年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题考试时间：180分钟，满分：150分一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）已知函数f (x) = lim ，则( )【答案】D（2）积分+k πsin x dx ( )【答案】Bπ（3）交换积分次序∫π2dx i1n x f (x, y)dy 则( )6【答案】A（4）已知ln(2 + x) = a n x n ,则na2n = ( )（A）−（B）−（C）（D）【答案】A（5）设二次型在正交变换下的标准型为f (x1, x2, x3 ) = y12−2y22+ 3y32，则( )【答案】C（行列式为-6，迹为2）（6）【答案】C（7）【答案】C(a = 0, a = )（8）E[(X −Ex)3 ] = ( )【答案】0（9）【答案】B (p2 > p1> )（10）设随机变量X, Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z = X −Y ,则下列随机变量与Z 同分布的是( )（A）X + Y （B）（C）2X （D）X【答案】D二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上.（11）【答案】3（12）=【答案】ln 3 −n→∞1 + nx n（13）函数f (x , y ) = 2x 3 − 9x 2 − 6y 4 +12x + 24y 的极值点是 【答案】 (1,1) （14）【答案】 （15）【答案】 （16）【答案】50162 3三、解答题：17～22 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.（17）（本题满分 10 分）1 1 已知区域D 是第一象限内的有界区域，它由xy = , xy = 3, y = x , y = 3x 围成， 3 3计算(1+ x − y )dxdy D【答案】 ln 3（18）（本题满分 12 分）∂2 z ∂ 2 z 已知z = z (x , y ) 由方程z + e x + y ln(1+ z 2 ) = 0确定，求 ∂ 2x + ∂ 2 y (0,0)【答案】 −1− 2ln 2（19）（本题满分 12 分）已知t > 0 ，曲线 y = xe −2x 与x = t , x = 2t 及x 轴所围的面积为S (t ) ，求S (t ) 的最大值ln 2 3【答案】 + 16 64（20）（本题满分 12 分）设函数f (x ) 有 2 阶导数，f ′(0) = f ′(1) ， f ′′(x ) ≤ 1（1）当x ∈ (0,1) 时，f (x ) − f (0)(1− x ) − f (1)x ≤ （2） ∫01f (x )dx − ≤【答案】（1）泰勒公式展开（2）分部积分或泰勒公式（21）（本题满分 12 分）【答案】（1） Ax = α 是Bx = β的解 （2） a = 1（22）（本题满分 12 分）设总体X 服从[0,θ] 上的均匀分布，X 1, X 2, , X n 为总体的简单随机样本，记X(n) = max{X1, X2, , Xn} ，Tc= cX(n)（1）求c ，使得E(Tc) = θ（2）记h(c) = E(Tc−θ)2 = θ,求c ，使得h(c) 最小【答案】（1）c = （2）c =参考答案一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

考研数三试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)。

A. 3x^2 - 3B. x^3 - 3x^2C. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3答案：A2. 计算积分∫(0到1) x dx。

A. 1/2B. 1C. 0D. 2答案：A3. 设矩阵A为3x3矩阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式|A^(-1)|等于多少？A. 1/2B. 2C. 1/4D. 4答案：C4. 求极限lim(x→0) (sin x)/x。

A. 1B. 0C. 2D. -1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数g(x)=x^2+2x+1，求g(-1)的值为_________。

答案：06. 计算定积分∫(1到2) (x^2-1) dx的值为_________。

答案：27. 设向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，则向量a和向量b的点积a·b 为_________。

答案：-58. 设函数h(x)=e^x，求h'(x)的值为_________。

答案：e^x三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数y=x^2-4x+4的极值。

答案：函数y=x^2-4x+4可以写成y=(x-2)^2，这是一个开口向上的抛物线，因此它没有极值。

10. 计算定积分∫(0到π) sin x dx。

答案：011. 设矩阵B为2x2矩阵，B=|1 2; 3 4|，求矩阵B的行列式。

答案：-212. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。

答案：e13. 计算二重积分∬D (x^2+y^2) dxdy，其中D为x^2+y^2≤1的区域。

答案：π14. 设函数z=x^2y+y^2x，求偏导数∂z/∂x和∂z/∂y。

答案：∂z/∂x = 2xy + y^2，∂z/∂y = x^2 + 2xy四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

数学三考研试题及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1，求f'(x)。

A. 6x^2 - 6xB. 6x^2 + 6xC. -6x^2 + 6xD. -6x^2 - 6x答案：A2. 求极限lim(x→0) [sin(x)/x]。

A. 0B. 1C. ∞D. -1答案：B3. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案：B4. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的行列式值。

A. 2B. -2C. 5D. -5答案：C5. 已知等比数列的前三项分别为2，4，8，求第四项。

A. 16B. 32C. 64D. 128答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 - 6x + 8的最小值是______。

答案：22. 已知等差数列的前三项分别为3，7，11，求公差d。

答案：43. 计算二阶导数f''(x)，若f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x。

答案：6x - 64. 求矩阵A = [2 1; 3 4]的逆矩阵。

答案：[2 -1; -3 2]5. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，求圆心坐标。

答案：(3, 4)三、解答题（每题10分，共60分）1. 证明：若a，b，c为实数，且a^2 + b^2 + c^2 = 0，则a = b =c = 0。

证明：由题意可知，a^2 + b^2 + c^2 = 0。

由于平方和为0，那么每一项都必须为0，即a^2 = 0，b^2 = 0，c^2 = 0。

因此，a = 0，b = 0，c = 0。

2. 解方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]解：将第一个方程乘以2得到2x + 2y = 10，然后将第二个方程加到第一个方程的两倍上，得到3y = 9，解得y = 3。

2023年全国硕士研究生招生考试（数学三）试题及答案解析1.已知函数,ln sin f x y y x y ，则A. 0,1fx 不存在，0,1f y 存在.B. 0,1fx 存在，0,1f y 不存在.C. 0,1fx ，0,1f y均存在.D. 0,1fx ，0,1f y均不存在.x 0,2.函数f (x )(x 1)cos x ,x 0的一个原函数为 x ),x 0,A.F (x )(x 1)cos x sin x ,x 0. x ) 1,x 0,B.F (x )(x 1)cos x sin x ,x 0. x ),x 0,C.F (x )(x 1)sin x cos x ,x 0. x ) 1,x 0,D.F (x )(x 1)sin x cos x ,x 0.上有界，则B.a 0,b 0.D.a 0,b 0.3.若微分方程y ay by 0的解在 ，A.a 0,b 0.C.a 0,b 0.4.已知a n b nn 1n 1,2, ，若级数n 1an与n 1bn均收敛，则“n 1an绝对收敛”是“bn绝B.充分不必要条件.D.既不充分也不必要条件.对收敛”的A.充分必要条件.C.必要不充分条件.5.设,A B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵， M 为矩阵M 的伴随矩阵，则=A E OB A..A B B A O B A B..B A A B O A B C..B A B A OA B D..A B A B OB A 6二次型f x 1,x 2,x 3 x 1 x 22x 1 x 324 x 2 x 32的规范形为A.y 12y 22B.y 12y 22C.y 12y 224y 32D.y 12y 22y 322311 12 2 15 09 17.已知向量α1 ,α2 ,β1 ,β2 ，若γ既可由α1,α2线性表示，也可由β1,β2线性表示，则γ 34 3A.k,k R50 3 B.k1 ,k R1 2 1 C.k,k R1 D.k 58,k R8.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则EA.1eB.12C.X EX2eD.19.设X 1,X 2, ,X n 为来自总体N1,2的简单随机样本，Y 1,Y 2, ,Ym为来自总体N 2,2 2 的简单随机样本，且两样本相互独立，记111111n m n m i i n m n m i 1i 1X X i ,Y Y i ,S 12 X i X 2,S 22Y i Y1 1 2,则A. 2122,S F n m S B. 21221,1S F n m S C. 21222,S F n m S D. 212221,1S F n m S 10.设X 1,X 2为来自总体N,2的简单随机样本，其中 0 是未知参数.记a X 1 X 2,若E,则aA.2B.2二、填空题1111.l x x x i mx 22 x sin cos _______.2πx d y y d x x y 12.已知函数f (x ,y )满足d f (x ,y ),f 1,1 24则f .!=2nx 2nn 013. .14.设某公司在t 时刻的资产为f (t )，从0时刻到t 时刻的平均资产等于f (t )tt ，假设f (t )连续且f (0)=0，则f (t )=1231230,20x ax x x ax 15.已知线性方程组 x ax 1 bx 2 2,有解，其中a ,b 为常数，若a110a211a 4，则1a 112aa b 0.16.设随机变量X 与Y 相互独立，且X B 1,p ,Y B 2,p ,p 0,1 ,则X +Y 与X Y .的相关系数为三、解答题17.已知可导函数y =y (x )满足ae x y 2 y ln(1 x )cos y b 0,且y (0) 0,y '(0) 0.(1)求a ,b 的值；(2)判断x 0是否为y (x )的极值点.18.已知平面区域D ={(x,y )|0 y x 1}.(1)求D 的面积；(2)求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积.D1|d x d y .19.已知平面区域D {(x ,y )|(x 1)2 y 2 1}.计算二重积分 |20.（12分）设函数f (x )在[-a ,a ]上具有2阶连续导数，证明：1a（1）若f (0)=0，则存在 a ,a ,使得f ''( )2[f (a ) f ( a )];（2）若f(x )在（-a ,a ）内取得极值，则存在 a ,a 使得1.2f ''a2f (a ) f ( a )12x 1x 2x 3x 1x 2x 3x21.设矩阵A 满足对任意x 1,x 2,x 3均有A2 . x x3 x 2 x 3（1）求A ;（2）求可逆矩阵P 与对角矩阵 ，使得P 1AP Λ.xx22.设随机变量变量X 的概率密度为f x 1 e e 2, x ,令Y e x.（1）求X 的分布函数；（2）求Y 的概率密度；（3）Y的期望是否存在？2023年全国硕士研究生入学统一考试数学三答案一、选择题1.A2.D3.C4.A5.D6.B7.D8.C9.D10.A空题11、二、填23π12、113、e x2+2e −x14、f （t ）=2（1-t ）-2e t 15、816、p （p-1）将y (0) 0代入ae x2yy y1 1xcos y ln(1 x )(sin y )y 0得a 0 1 0，所以a 1b 1 1xcos y ln(1 x )sin y y 0（2）由e x2yy y1两边对x 求导，得：（1）将(0,0)代入得a b 01e x 2 y 22yy y(1 1x )2cos y 11xsin ysin y y ln(1 x ) 2sin yy cos y y 01 x代入，得1 y (0) 1 0，y (0) 2 0，x 0为极大值.17【解析】2141tan ttan t xsec t (1)24se tan c tsec 2tdt 4t dt2csc tdt1)21(2)11 1x 2 x 2dx 112 1 1x 2 x dx 4)dx (1 18【解析】D 1 {(x ,y ∣)x 2 y 2 1,(x 1)2 y 2 1 )x 2 y 2 1,(x 1)2 y 2 1D 2 (x ,y∣D 1D 2d x d y1 1d x d y原式=161310829D 12cos2d 1 1 r r d r 1πd x d y 2 6d 1 r r d r 2其中 19【解析】π2π022259182D 2DD 1D 1d x d y 2cos1 1 1 r 1 r d r1 π d x d yd x d yd x d y d所以4439π原式=.1 x 22f【解析】（1）f (x ) f (0) f (0)x 1 22f 112f a 2,f ( a ) f (0)( a ) a 2,其中 1 a ,0 ，则f (a ) f(0)a2 0,a .12 1 2 f ( a ) f (a )ff a 212 1 2 ff 2f (a )a f ( a ) f , 1, 2 a ,a ,由介值定理可知平均值 即证（2）x 0 0设f (x )在x =x 0处取得极值即x 0 ( a a ),f22x 0( )ff (x ) f x 0 f x x 0 x x 020代入x a ,x a21f f ( a ) f x 0 a x 02(1), 1 a ,x 02n 1f f (a ) f x 0a x 02(2), 2 x 0,a(2)-(1)得222100()()22f f f a f a a x a x222100|()()|22f f f a f a a x a x2200()()22f f a x a x 2200()2f a x a x 220()222f a x220()f a x2()2f a ，12 ()max f f f 其中,,a a 21()|()()|2f f a f a a. 21.【解析】12123311111011x x x xx x2(1)由题可知，A 11.2011 111A (2)|A E | (2 )(2)( 1) 01232,1,2A 中1 A 中对应的线性无关特征向量1(4,3,1).T 2 A 中对应的线性无关特征向量21,0,12T3 A 中对应的线性无关特征向量3(0,1,1)123,,p 1212P AP22.【解析】xf (t )dt ( x )(1)F (x ) txt e 2dte121 1xt d e te1t x1 e 11 1e x(2) 当0y 时22111()(ln )(1)(1)Y X y f y f y y y y y 210(1)()0 Y y y f y其它 (3) 20d (1)EY y y y，2(1)y y 1y ，所以期望不存在.。

2023 考研数学三真题及解析一、选择题：1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1．已知函数 f( ,x y ) = ln ( y + x sin y )，则（ ）.（A ）()0,1f x ∂∂不存在，()0,1fy∂∂存在（B ）()0,1f x∂∂存在，()0,1fy ∂∂不存在（C ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均存在（D ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均不存在【答案】（A ）【解析】 本题考查具体点偏导数的存在性，直接用定义处理，()0,10f =()()()()0,1000ln 1sin1sin1,10,1sin1,0lim lim limsin1,0x x x x x f x f x fx x x x x +−→→→+ −→∂=== ∂−→ 故()0,1f x∂∂不存在()()()0,1110,0,1ln lim lim 111y y f y f f y y y y →→−∂===∂−−，()0,1f y∂∂存在，选（A ）2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A)), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤=+−>(C)), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤=++> 【答案】(D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时，)1()lnF xx x C==+∫当0x >时，()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫由于()F x 在0x =处可导性，故()F x 在0x =处必连续因此，有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=，即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln , 1.x x f x x x −< = ≥则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<= −≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=+−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= ++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3．若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ）（A ）00a b <>， （B ）00a b >>， （C ）00a b =>， （D ）00a b =<， 【答案】（C ）【解析】特征方程为20r ar b ++=，解得1,2r =．记24a b ∆=−当0∆>时，方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时，1202ar r −=<=，方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时，1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin axy x c x c x ββ−=+． 只有当0a =，且240a b ∆=−<，即0b >时，lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==，此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选（C ）【评注】此题关于x →+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题.4.已知()1,2,n n a b n <=，若1nn a∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛.则1nn a∞=∑绝对收敛是1n n b ∞=∑绝对收敛的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件（D ）既非充分也非必要条件 【答案】（A ） 【解析】由题设条件知()1nn n ba ∞=−∑为收敛的正项级数，故()1n n n b a ∞=−∑也是绝对收敛的若1nn a∞=∑绝对收敛，则n n n n n n n b b a a b a a =−+≤−+，由比较判别法知，1n n b ∞=∑绝对收敛；若1n n b ∞=∑绝对收敛，则则nn n n n n n aa b b a b b =−+≤−+，由比较判别法知，1n n a ∞=∑绝对收敛；故应选（A ）【评注】本题考查正项级数的比较判别法，及基本不等式放缩.关于上述不等式《基础班》第一讲在讲解数列极限定义时就反复强调过.5.设A,B 分别为n 阶可逆矩阵，E 是n 阶单位矩阵，*M 为M 的伴随矩阵，则AE OB 为（ ） （A ）*****−A B B A O A B （B ）****− A B A B OB A（C ）****−B A B A OA B （D ）****−B A A B OA B 【答案】（D ）【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− −==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B 选（D ）【评注】这钟类型的题在02年，09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵，∗∗=A O C O B6.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（ ）. （A ）2212y y + （B ）2212y y −（C ）222123y y y −−（D ）222123y y y +−【答案】（B ）【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143 =− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ，得特征值为0,7,3−，故选（B ）方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+ 222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++−=+−()22231237222x x x x x +=+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==，,αβ线性无关，则二次型123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( )．(A)21y (B) 2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++7．已知向量12121,,1222150390,1====ααββ，若γ既可由12,αα表示，也由与12,ββ表示，则=γ（ ）.（A ）334k （B ）3510k（C ）112k − （D ）158k【答案】（D ） 【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ，只需求出21,x x 即可即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−，k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα，故选（D ）【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为【12】(1)设21,αα，21,ββ均是三维列向量，且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由21,αα线性表出，又可由21,ββ线性表出．(2)当 =4311α，=5522α：1231β= − ，2343β−=−时，求所有既可由21,αα线性表出，又可21,ββ线性表出的向量。