1999考研数三真题及解析

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【考研数学】1999-数一真题、标准答案及解析

1999 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题 ⎛ 11 ⎞ ⎟ = （ 1）lim ⎜ − .2 x tan x ⎠x → 0 ⎝ x 1 【【答】3详解 1】⎛⎜ 1 1 ⎞ ⎟ tan x − x tan x − x lim − = lim = lim 2 x tan x ⎠ x 2 tan xx −1 3x tan x 3 x → 0 ⎝ x x → 0 x → 0 sec 2 = = = lim 2x → 0 2 x lim 2 x → 0 3x 1 3【详解 2】⎛⎜ 1 1 ⎞ sin x − x cos x sin x − x cos x lim − = lim = lim ⎟ 2 x tan x ⎠ x 2 sin x x 3 x → 0 ⎝ x x → 0x → 0 cos x − cos x + x sin x = = lim 2x → 0 3x sin x 3x 1 lim = x → 0 3d∫ x( −) 2（ 2）sin x t dt = .dx【答】 sin x 2 . 【详解】dd∫x( − ) 2∫ 0(−)sin u dusin x t dtx t u − = 2dxdx0 xd x ∫ = sin u du2dx 0 = sin x 2故本题应填sin x2(3) y ' − 4y = e 2x的通解为.⎛ 1 ⎞ 4 ⎠ = −2x+ C + x e 2x ,其中C ,C 为任意常数.1 2 【答】y C e⎜ ⎝⎟ 1 2 λ 2 − 4 = 0,解得 λ = 2,λ = −2 【故详解】特征方程为： 1 2 ' − 4y = 0 的通解为 y 1C e = −2x+ C e 2x , 由于非齐次项为 f (x ) = e 2x ， a = 2 为特征方程2y 11y * = Axe 2x , 代入原方程可求得 A = ，的单根，因此原方程的特解可设为故所求通解为414y = y 1 + y * = C e −2xC e 2x+ + xe 2x12 ⎛ ⎝1 ⎞ 4 ⎠ 故本题应填y C e −2x= + ⎜ C + 2 x e 2x ⎟ , 1 （ 4）设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是 .n −1【答】n , 0,",0 【详解】因为λ −1 −1 " −1 λ − n −1 " −1 − # − 1 λ −1 " −1λ − n λ −1 "−1 λE − A = = # # # # # # # 1 −1 " λ −1 λ − n −1 " λ−1−1 " −1 1 0 # λ # " # " 0= λ − n#λ故矩阵 A 的 n 个特征值是 n 和 0（ n −1重）n −1因此本题应填 n , 0,",0 .12 （ 5）设两两相互独立的三事件 A , B 和C 满足条件： ABC = , P A P B P C φ ( )= ( )= ( ) <,9( ∪ ∪ ) = ( ) =,则 P A且 P A B C .16 1【答】. 4【详解】根据加法公式有( ∪ ∪ ) = ( )+ ( )+ ( )− ( )− ( )− ( )+ ()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC 1 由题 A , B 和C 两两相互独立， ABC= , P A P B P C φ ( )= ( )= ( ) <,因此有2( )= ( )= ( ) = 2 ( ) P AB P AC P BC P A , ( )= (φ) = P ABC P 0,9( ∪ ∪ )= ( )− 2( ) = 从而P A B C 3P A 3P A 163 1( ) =解得 P A( ) = , P A 4 4 1 2 1 4 ( ) < 又根据题设 P A( ) =,故 P A 二、选择题( ) ( )1）设 f x 是连续函数，F x 是其原函数，则（（（（（ ( ) ( ) A ）当 f x 是奇函数时，F x 必是偶函数. ( ) ( ) B ）当 f x 是偶函数时，F x 必是奇函数. ( ) ( ) C ）当 f x 是周期函数时，F x 必是周期函数. ( ) ( )D ）当 f x 是单调增函数时，F x 必是单调增函数. 【】【【答】应选（A ）∫ x( )+f t dt C ,于是( ) ( )( ) = 详解】 f x 的原函数F x 可以表示为F x− x x(− )= ∫0 ( ) + = − ∫(− ) (− )+F x f t dt Cu t f u d u C . 0 ( ) (− )= −( )u f u ，从而有当 f x 为奇函数时， f x (− )= ∫ ( ) F x f u du C + 0∫ x( ) + = ( ) f t dt C F x= 0( )F x 为偶函数.即故（A ）为正确选项.至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：1 ( ) = f x2() = x 3 +1不是奇函数，可排除（B ）； x 是偶函数，但其原函数F x 3 1 2 14( ) = 2 ( ) = + f x cos x 是周期函数，但其原函数F x x sin 2x 不是周期函数，可排除（C ）；1 ( )= x 在区间(−∞ + ∞)f x( ) = 2x 在区间 (−∞ + ∞)内非内是单调增函数，但其原函数F x 2 单调增函数，可排除（D ）.⎧ ⎪ ⎨ 1− cos x, x > 0 ( ) = 2）设 f x( ) ( ) = （ x其中 g x 是有界函数，则 f x 在 x 0 处 ⎪ x 2g (x ), x ≤ 0⎩（（ A ）极限不存在.（B ）极限存在，但不连续（D ）可导.C ）连续，但不可导【】【【答】应选（D ）详解】因为( )− ( ) f x f 0 1− cos x(0 + 0)= lim= lim = 0, f ' 32→ 0 +xx →0 − x x ( )− ( )2 ( ) f x f 0 x g x f '(0 − 0)= lim= lim lim g (x )x = 0, x − x −x → 0 −x → 0 x →0 ( ) = ( ) = 可见， f x 在 x 0 处左、右导数相等，因此， f x 在 x 0 处可导，故正确选项为(D).⎧1 2 x ,0 ≤ x ≤ ⎪ ⎪a ∞ ∑( ) = (3)设 f x( ) = ， S x + π −∞ < < +∞, ⎨ ⎪ 0 a cos n x , x n 1 2 n =1 2 − 2x , < x <1 ⎪ ⎩ 2⎛ ⎝ 5 ⎞2 ⎠ 1" ∫( ) ( = ) 则 S − 其中 a n = 2 f x cos n xdx , n 0,1, 2, π , 等于 ⎜ ⎟ 0 1 1 3 3 4(A)(B) −(C)(D) −2 24【】【答】应选（C ）.( ) [ ) [− ] 【详解】由题设知，应先将 f x 从 0,1 作偶延拓，使之成为区间 1, 1 上的偶函数，然后再作周期（周期 2）延拓，进一步展开为傅里叶级数，根据收敛定理有⎛ ⎝ 5 ⎞ 2 ⎠ ⎛ ⎝1 ⎞2 ⎠ ⎛ 1 ⎞⎝ 2 ⎠ S − = S −2 − = S − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎛ 1 ⎞ ⎠ ⎛ 1 ⎝ 2 ⎞f − 0 + f + 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎠ ⎛ 1 ⎞ 2 ⎠⎝ 2 = S = ⎜ ⎝ ⎟2 3 = . 4（ 4）设 A 是 m ×n 矩阵， B 是 n ×m 矩阵，则（ A ）当 m > n 时，必有行列式 AB ≠ 0（B ）当 m > n 时，必有行列式 AB = 0（ C ））当 n > m 时，必有行列式 AB ≠ 0 （D ）当 n > m 时，必有行列式 AB = 0【】【【答】应选（B ）.详解】因为 AB 为 m 阶方阵，且( ) ≤ ⎡ ( ) ( )⎤ ≤ ( )秩 r AB min⎣r A ,r B ⎦ min m ,n 当 m > n 时，由上式可知， r (AB 因此，正确选项为（B ）.)≤ < n m ,即 AB 不是满秩的，故有行列式 AB 0. =( ) ( ) 5）设两个相互独立的随机变量 X 和Y 分别服从正态分布 N 0,1 和 N 1, 1 ，则（（（ 1 12 { + ≤ } = { +≤ } = A ） P X Y 0 . .(B) P X Y 1 . 2 11{ − ≤ } = {−≤ } = C ） P X Y 0 (D) P X Y 1 . 22【】【【答】应选（B ）.详解】根据正态分布的性质，服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布.因此( + ) ( ) ( −) (−1, 2)X Y ~ N 1, 2 , X Y ~ N 1 利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为知，（B ）为正确选项.2三、设 y = y (x ), z = z (x )是由方程 z = xf (x + y )和 F (x , y , z ) = 0 所确定的函数，其中 f 和dz dxF 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求. ( + )和 F (x , y , z ) = 0 的两端对 x 求导，得详解】分别在 z xf x y【 = ⎧ dz dx⎛ ⎝ dy ⎞ dx ⎠= f + x 1+ f '⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎨ ⎪ dy dz F ' x + F ' y + F ' z = 0 ⎪ ⎩dx dx 整理后得⎧ dy dz + − xf ' = f + xf '⎪ ⎪dx dx ⎨ ⎪ dy dx dz F ' y + F ' z = −F ' x ⎪⎩ dx解此方程组，得( ) F y − xf f + xf ' ' ' 'F z dz dx (z ≠ 0)= , F ' y + xf ' F ' F ' y +xf ' ' F z∫(e x ( ))( ) I =sin y −b x + y dx + e x cos y − ax dy 其中 a ,b 为正常数， L 为从点 , 四、求 L ( ) = ax − x 到点O (0, 0)的弧.2 A 2a ,0 沿曲线 y ( ) = ( )【详解】添加从点O 0,0 沿 y 0到点 A 2a ,0 的有向直线段 L , 则 1∫ ⎡y b (x y ) dx (e ⎤ y ax )dyI = − e xsin − + + xcos − ⎣ ⎦ L +L 1∫ ⎡ y b (x y ) dx (e ⎤ y ax )dye xsin − + + x cos − ⎣ ⎦ L 1利用格林公式，前一积分⎛ ∂ ∂ ⎞ Q P ∫ ∫ dxdy b a dxdy = ( − )∫∫ I 1 = − ⎜ ∂ ∂ ⎟ ⎝ x y ⎠ D D π =2 (b − a ) a2 其中 D 为 L + L 所围成的半圆域，后一积分选择 x 为参数，得 L : 11⎧ ⎨ ⎩x = xy = 0 ( ≤ ≤ ) , 0 x 2a , 可直接积分∫ 2a(− ) = − I 2 = bx dx 2a b 2 0⎛ π ⎞ ⎠ π 故I = I − I = ⎜ ⎝+ 2 a ⎟ 2 b −3 a . 1 2 2 2 ( )( ≥ )( )> ( )= = ( )设函数 y x x 0 二阶可导且 y x 0, y 0 1, 过曲线 y y x 上任意一点'五、( ) P x , y 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S , 区 1 [ ] = ( ) − 12间 0, x 上以 y y x 为曲边的曲边梯形面积记为 S ，并设 2S S 恒为1，求此曲线 2yy x = ( )的方程.( )上点 P (x , y )处的切线方程为详解】曲线 y y x【 = ( ) =y x'( )( − )y x X xY −⎛⎞ y 它与 x 轴的交点为⎜ x − ,0⎟ 由于 '(x ) > 0, y (0) =1,因此 y (x )(x > 0) yy '⎠⎝ ⎛ ⎞ 2 1y y 于是 S = y x −⎜ x − ⎟ = .1 ' 2y '2 ⎝ y ⎠ ∫ x( ) y t dt 又S 2 = 0y 2∫ x ( ) = y t dt 1,根据题设2S − S =1，有− 1 2 y ' 2 0 '(0) =1，两边对 x 求导并化简得y并且( )2yy ' = y ' 这是可降阶得二阶常微分方程，令 p = y ' ，则上述方程可化为dpyp= p 2 ，分离变量得 dydp dy = p ydy解得 p = C y ，即= C y , 1 1 dxy = C e + C 2x从而有 1 根据 y 0 1, y 0 1, 可得 C 1 =1,C 20,( ) = '( ) = =故所求曲线得方程为y = e x.六、试证：当 x > 0 时，(x 2) ( ) 2−1 ln x ≥ x −1 .【详解 1】 ( )= ( − ) x 2 1 ln x x 1 . 易知 f (1)= 0−( − ) 2令 f x 又1 (x )= 2x ln x − x +2 − , f '(1)= 0f f ' x1' (x )= 2ln x +1+ , f ' (1)= 2 > 0 x2 2(x−1)2'' (x ) =f x 3可见，当 0 < x <1时，f '' (x )< 0;当1< x < +∞ 时， '' (x ) > 0;f因此，有当1< x < +∞ 时，' (x )≥ f ' (1)= 2 > 0(x ) 是单调增函数推知，当 0 < x <1时，f (1)= 0 及(x )> 0;因此进一步有 f x ''(x )< 0; 当1< x < +∞ 时，f又由 f ' f f '( )≥ ( )= ( < < +∞) f 1 0 0 x ，即证之：当 x > 0 时，(x 2) ( ) 2−1 ln x ≥ x −1 .【详解 2】先对要证的不等式作适当变形，则当 x > 0 时，(x 2−1 ln x ≥ x −1 .等价于当 0 < x <1时，) ( ) 2ln x ≤x−1;当1< x < +∞ 时， ln x ≥x−1;于是令x +1x +1x −1 x +1 ( ) =f x ln x− 1 2 x +1 2 (x ) = − = > 0(x > 0) 2则 f 'x ( + ) 2( + ) x x 1x 1 ( ) = 又因为 f 1 0，可见有当 0 < x <1时， f x 0 ，( ) < 当1< x < +∞ 时， f x 0 ，从而当 x 0 时，有( ) > > (x 2 )( ) ( −1 f x = x −1)ln x −(x −1) ≥ 0,22x > 0 时，(x 2) ( ) 2即当 −1 ln x ≥ x −1 .七、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 30m,抓斗自重 400 N ,缆绳每米重 500 N ，抓斗抓起的污泥重 2000 N ，提升速度为 3m/s,在提升过程中，污泥以 20 N / s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：①1N ×1m =1J ;m , N ,s , J 分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计）【详解 1】建立坐标轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功W =W +W +W 31 2其中W 是克服抓斗自重所作的功；W 是克服缆绳重力作的功；W 为提出污泥所作的功.由题 1 2 3 意知W = 400×30 =12000.1将抓斗由 x 处提升到 x + dx 处，克服缆绳重力所作的功为( − )dW 2 50 30 x dx , = 3 0∫ ( −) =50 0 x dx 22500.从而 W 2 =[ + ]在时间间隔 t ,t dt 内提升污泥需作功为 ( − ) dW 3 3 2000 20t dt. = 3 0将污泥从井底提升至井口共需时间=10 ，所以 31 0∫ 3(2000 − 20t )dt = 57000.W 3 = 0因此，共需作功= + + = ( )W 12000 22500 57000 91500 J【详解 2】作 x 轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为W ，当抓斗运动到 x 处时，作用 ( ) ( − )( ) 力 f x 包括抓斗的自重 400 N , 缆绳的重力 50 30 x N ，污泥的重力12000 −⋅ ( )，即 x 20 N32 0 1703 ( )=+( − )+f x400 50 30 x2000− x = 3900 − x ,3于是⎛ 170 ⎞85 3∫ 302|30 0=117000 − 24500 = 91500(J )W = 3900 − x dx = 3900x − x ⎜ ⎝⎟ 3 ⎠ 0 x 2 y 2八、设 S 为椭球面 ++ z 2 =1的上半部分，点 P (x , y , z )∈S ,π 为 S 在点 P 处的切平面， 2 2 zρ (x , y , z)为点O (0, 0, 0)到平面π 的距离，求 ∫∫ ρ (x , y , z )dS .Sx 2 y 2 ( ) = + + z 21,设 X ,Y ,Z 为π 上任意一点，则π 的方程为− () 【详解】令 F x , y , z 2 2(X − x )+ F' (Y − y )+ F (Z − z )= 0,z' F ' x y xX yY即 + + zZ =1 2 2从而知−1Ax + By + Cz⎛ x ⎞ ⎟ ⎠ 2y22ρ (x , y , z ) = = ⎜+ + z 2 + B 2 + C 2 ⎝ 4 4 A 2 x y这里 A = , B = ,C = z ,2 2 ⎛ 2 2 ⎞x y 由曲面方程知 z = 1−⎜ + ⎟,⎝2 2 ⎠ 于是∂z−x∂z∂y−y= , = ,∂x⎛ 22 ⎞ ⎟⎛ ⎜ 22⎞ ⎟xy x y 2 1−⎜ + 2 1− + ⎝ 22 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠因此2⎛ ∂⎞ 2− 4 x 2 − y 2⎛ ∂ ⎞ z z dS = 1+ + d σ =d σ ⎜ ⎝ ⎟ ⎜ ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠⎛ 22⎞ xy 2 1− + ⎜⎝ ⎟ 22 ⎠故有z x 2 y 2 ∫ ∫ ∫∫ ρ (x , y , z )dS =z 4 + 4 + z dS 2S S 11 4 2π2 ∫∫(4 − x 2 )d σ = ∫ ∫ (4 − r )rdr = − y 2d θ 2 40 D32= ππ ∫ 九、设 a =n4 tan nxdx,∞1∑ (+ a n a n +2 )的值；（ 1）求n n =1∞ann λ∑（【 2）试证：对任意的常数λ > 0, 级数收敛n =1详解】（1）因为ππ1 1 )= ∫ n1 ( + n ( +2 )= ∫n 2 a n a n +2 4tan x 1 tan x dx 4tan x sec xdx n n 0 0 1 11 ∫ tan x = t tn dt = ( + )n n 1n 0 又由部分和数列n1 n1 1n +1 ∑ ∑ ( + ) = =1− S n = a a i +2 ,i ( + )i i 1i i =1 i =1 有lim S =1, n n →∞ ∞1 ∑ (a n a n +2)=1.+ 因此n n =1 （ 2）先估计a 的值，因为 nπ nt 1n +1 11 ∫ x = t ∫∫ 0a =ntan n xdx tandt <nt dt = , 41+ t 2 00 a nnλ1 1所以< <, n n 1 n λ+1 ( + ) λ ∞1nλ+ ∑ 由λ +1>1知收敛 1 n =1 ∞a n λ ∑ n 也收敛.从而n =1⎡ ⎢ ⎢a −1 c ⎤⎥ 十、设矩阵A = 5 b 3 − ⎥a，其行列式 A = −1，又A 的伴随矩阵A * 有一个特征值λ ， ⎥ 0 ⎢ 1− c 0 ⎣ ⎦ 属于λ 的一个特征向量为 1, 1, 1 α = (− − )T ，求a ,b ,c 和λ 的值.0 0【详解】A α = λ α, * 根据题设有 0 AA * = A E = −E , 于是 AA *α = A λ α = λ A α,又即0 0 −α = λ A α 0⎡ ⎢ ⎢a −1 c ⎤ ⎡−1⎤ ⎡−1⎤⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 也即λ 0 5 b 3 −1 = − −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1− a − ⎥ ⎢ ⎥ ⎦⎢ ⎥ c 0 1 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦由此，可得⎧ a 1 c λ ( + + ) = 1 0 ⎪ ⎨ 5 b 3 λ (− − + ) = 1 0⎪ ⎩1 c a λ (− + − )= − 1 0 解此方程组，得 λ =1,b = −3,a = c又由A = −1和 a = c ，有a −1 −3 3 = a −3 = −1 −aa51 − a 0 故 a = c = 2,因此 a = 2,b = −3,c = 2,λ =1. 0十一、设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定， B 为 m ×n 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：( ) =n .B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r B 详解】必要性. 设 B AB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的实 n 维列向量 x ≠ 0 ，有T【 (B T AB x > 0, )即 (Bx ) BA (Bx )> 0, TxT 于是， Bx ≠ 0 .因此， Bx = 0 只有零解，故有 r B ( ) = n(B T AB)T= B A TB = B AB 故 B , AB 为实对称矩阵.若 r B = nT T T ()充分性. 因则线性方程组 Bx = 0 只有零解，从而对任意的实 n 维列向量 x ≠ 0 ，有 Bx ≠ 0 .又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx ≠ 0 有 Bx BA Bx 0, ( ) T() >(B T ( ) AB x = Bx A Bx > ，故B AB 为正定矩阵. ) ( ) T 0 于是当 x ≠ 0 ，有 x T T( ) 十二、设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量 X ,Y 联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.{ P X= } = y 1y 2 y 3x p ii 1 8x 1 x 218 1 { P Y= } = 1y ip j6【详解】{ P X= } = y 1y 2 y 3 x p ii 11 1 1 x 1 x 224 8 3 12 1 4 3 1 8 1 8 1 4 1 4{ P Y= } =pj1y i623十三、设总体X 的概率密度为⎧ 6x(θ − ) < <θ x ，0 x⎪ ( )= θ f x ⎨ 3 ⎪ ⎩ 0, 其他 X , X ,", X 是取自总体X 的简单随机样本. 1 2 n ^（ 1）求θ 的矩估计量θ ；^⎛ ⎞ ^（ 2）求θ 的方差D ⎜θ ⎟. ⎝ ⎠6 θ xθ + ∞θ()= ∫ ( ) = ∫ 0(θ −) 【详解】 (1) E X xf x dx x dx = 3 2 −∞ 1 nθ ^ ∑ 记 X = X , 令 = X ,得θ 的矩估计量θ = 2X ；i n 2i =1 （ 2）由于6 θ x 2 6x 2+ ∞( ) ∫ ( ) ∫ (θ − x )dx =E X2= x 2f x dx = 3 20−∞6θ 2 ⎛θ ⎞ ⎝ 2 ⎠ 2 θ 2 ( )= (D xE x)− ⎡( )⎤ 22E x = − = ⎣ ⎦ ⎜ ⎟ 2 0 20^因此 θ = 2X 的方差为⎛ ⎞ ^ ( ) ( )D ⎜θ ⎟ = D 2X = 4D X ⎝ ⎠4θ 2 = ( ) = D X n 5n。

1999年考研数学试题详解及评分参考

X - Y +1 ~ N (0,1). 2
于是有
P(
X
+Y 2
-1
£
0)
=
1 2
,
P(
X
-Y 2
+1
£
0)
=
1 2
.
即
P( X
+Y
£
1)
=
1 2
，
P(
X
-
Y
£
-1)
=
1 2
，故选
(B).
三、(本题满分 5 分)
设 y = y(x) , z = z(x) 是方程 z = xf (x + y) 和 F (x, y, z) = 0 所确定的函数，其中 f 和
(A)
P( X
+Y
£
0)
=
1 2
(B)
P( X
+Y
£ 1)
=
1 2
(C)
P( X
-Y
£
0)
=
1 2
(D)
P( X
-Y
£ 1)
=
1 2
【答】应选 (B).
【解】由于服从正态分布的相互独立的随机变量的线性组合仍服从正态分布，因此
X + Y ~ N (1,
2 2 ), X - Y ~ N (-1,
2 2 ). 即 X + Y -1 ~ N (0,1), 2
=
2 ln
x
+1+
1 x2
,
j¢¢(1)
=
2
>
0
.
j ¢¢¢( x)
=
2(x3 -1) x3

1999考研数学三试题及解析

而在极坐标系下,有
D1
= {(r,θ )
|
π 2
≤θ
≤
π,0
≤
r
≤
2 sin θ },
于是
∫∫ ∫ ∫ ∫ ydxdy =
D1
π π
dθ
2
2sinθ r sinθ irdr = 8
0
3
π π
sin
4
θ
dθ
2
∫ = 8 3
π π 2
⎛1− ⎜ ⎝
cos2 θ 2
⎞2 ⎟ ⎠
dθ
=
π 2
.
故
∫∫
D
ydxdy
否则将αm 用α1,α2 , αm−1 线性表示后代入(*)式,即可推出矛盾.
因此正确选项为(B)
（4）设 A, B 为 n 阶矩阵，且 A与B 相似， E 为 n 阶单位矩阵，则
( A) λ E − A = λ E − B.
( B) A与B有相同的特征值和特征向量.
(C ) A与B 都相似于一个对角矩阵
1
dx
x2
xydxdy +
1 x2dxi
f (x, y)dxdy
0
0
0
D
D
∫∫
D
f
(x,
y)dxdy
=
1 12
+
1 3
∫∫
D
f
(x,
y)dxdy
由上式解得
∫∫
D
f
(x,
y)dxdy
=
1 8
则
f (x, y) = xy + 1 8
（3）设向量 β 可由向量组α1,α2 , αm 线形表示，但不能有向量组(Ⅰ) α1,α2 , αm−1 线

重庆大学1999年电路原理考研真题及解析

U2
(a)
iS t A
0
ts
(b)
图 2—7
解：由 k
M 0.25 L1L2
2
L2
M 0.252 2L1
，如下图所示；
iS t
U1
M
i2 t
L1
L2
U2
可以得到：
u1 t
L1
dis t
dt
M
di2 t
dt
u2
t
L2
di2 t
dt
M
diS t
dt
其中 iS t 5t 0 t 2
F。
L
V
iS t
2
C
2
图 2—4
5、在图 2—5 所示对称三相电路中，已知线电压 Ul 100V ，负
载的功率因素为 0.866（感性），功率表 W1 的读数为 500 3W ，
W2 的读数为 250 3W ，则负载阻抗 Z
Ω。
*
A
* W11
Z
B
W2* *
Z
Z
C
图 2—5
6、在图 2—6 所示电路中，运算放大器为理想运放，当 a，b 端开
iR 2
it
② 2F
b
iC t
uC t
a
回路①：
L
diL t
dt
iL
t
1
2
0
iL
2 1
2
A
得到：时间常数 L 1s R
回路②： uC t 2iR ；节点 a 列 KCL： iR iC t 1 0
即
C
duC t
dt
uC t
2

1999-2000,2,5-8,10北京大学高等代数考研真题

1．在直角坐标系中，求直线⎩⎨⎧=++=-+1202:z y x z y x l 到平面03:=++z By x π的正交投影轨迹的方程。

其中B 是常数2．在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：0222=+++λλxy y x .对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；对于线心型曲线，写出对称直线的方程。

3．设数域K 上的n 级矩阵A 的),(j i 元为ji b a -（1）.求A ;(2).当2≥n 时，2121,b b a a ≠≠.求齐次线性方程组0=AX 的解空间的维数和一个基。

4．（1）设数域K 上n 级矩阵，对任意正整数m ，求mC （2）用)(K M n 表示数域K 上所有n 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K 上的线性空间。

数域K 上n 级矩阵1432121321a a a a a a a a a a a a A n n n-=称为循环矩阵。

用U 表示K 上所有n 级循环矩阵组成的集合。

证明：U 是)(K M n 的一个子空间，并求U 的一个基和维数。

5．（1）设实数域R 上n 级矩阵H 的),(j i 元为11-+j i （1>n ）。

在实数域上n 维线性空间n R 中，对于nR ∈βα,，令βαβαH f '=),(。

试问：f 是不是n R 上的一个内积，写出理由。

（2）设A 是n 级正定矩阵（1>n ）nR ∈α，且α是非零列向量。

令αα'=A B ，求B的最大特征值以及B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基6．设A 是数域R 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，用I 表示V 上的恒等变换，证明： n r a n k r a n k =+++-⇔=)()(23A A I A I I A2006年北京大学研究生考试高等代数与解析几何试题本试卷满分150分考试时间 3小时日期：2006年1月15日下午高等代数部分（100分）1.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上,s n s m ××矩阵，叙述矩阵方程AX B =有解的充要条件，并且给予证明。

1999年考研英语真题答案及解析

1999年全国硕士研究生入学统一考试英语试题答案与解析PartⅠCloze Test1.D2.A3.B4.A5.B6.C7.D8.C9.A10.DPartⅡReading ComprehensionPart APassage111.B12.C13.A14.DPassage215.A16.C17.D18.BPassage319.B20.D21.C22.APassage423.B24.C25.D26.APassage527.A28.B29.D30.APartⅢEnglish Chinese Translation31.几乎每个历史学家对史学都有自己的界定，但是现代史学家的实践最趋于认为历史学试图重现过去的重大史实并对其做出解释。

32.人们之所以关注历史研究的方法论，主要是因为史学界内部意见不一，其次是因为外界并不认为历史是一门学问。

33.在这种转变中，历史学家研究历史时，那些解释新史料的新方法充实了传统的历史研究方法。

34.所谓方法论是指一般的历史研究中的特有概念，还是指历史探究中各个具体领域适用的研究手段，人们对此意见不一。

35.这种谬误同样存在于历史传统派和历史社科派；前者认为历史就是史学界内部和外部人士对各种史料来源的评论，后者则认为历史的研究是具体方法的研究。

SectionⅣWriting(15points)36.见分析PartⅠCloze Test一、文章总体分析本文是围绕安全生产这个话题的一篇论证性文章。

第一段是安全生产的基本介绍：它不是新事物，而是企业制定并不断实施自己的安全计划以建立无事故工作氛围的做法。

第二段指出，成功有效的安全计划的侧重点各不相同，但都遵循某些基本的思想。

第三段强调安全生产对企业的意义：其价值是不可低估的，它决定了工厂的运营是盈利还是亏损。

二、试题具体解析1.［精解］本题考核的知识点是：介词的用法。

难度：0.36本题空格处的介词和low accident rates搭配成介词短语，做后置定语修饰companies。

1999年考研数二真题

1999年考研数二真题1999年考研数二真题1999年考研数学二真题是考研数学考试中的一道经典题目，它涉及到了概率论和数理统计两个重要的数学领域。

这道题目的出现，不仅考察了考生对于基础数学知识的理解和应用能力，还对考生的逻辑思维和解题能力提出了一定的要求。

这道题目的题干如下：某地区每天的天气情况可以看作是一个随机事件，有晴天、多云、阴天、小雨和大雨五种情况。

历史数据表明，这个地区的天气情况可以用下面的概率分布来描述：|天气情况|晴天|多云|阴天|小雨|大雨||---|---|---|---|---|---||概率|0.3|0.2|0.2|0.15|0.15|现在假设我们连续观测这个地区的天气情况，每天观测一次，直到出现第一个晴天为止。

我们定义随机变量X为连续观测的次数。

试求X的概率分布。

首先，我们可以根据题目给出的概率分布计算出连续观测的次数X的概率分布。

设X=k表示连续观测k次才出现第一个晴天的概率为P(X=k)。

当k=1时，表示第一次观测就出现晴天。

根据题目给出的概率分布，我们可以得到P(X=1)=0.3。

当k=2时，表示第一次观测不出现晴天，第二次观测出现晴天。

根据题目给出的概率分布，我们可以得到P(X=2)=(1-0.3)×0.3。

以此类推，当k=n时，表示前n-1次观测不出现晴天，第n次观测出现晴天。

根据题目给出的概率分布，我们可以得到P(X=n)=(1-0.3)^(n-1)×0.3。

综上所述，连续观测的次数X的概率分布为：P(X=k)=(1-0.3)^(k-1)×0.3，其中k=1,2,3,4,...接下来，我们可以进一步分析这个概率分布的性质。

首先，我们可以计算连续观测的次数X的期望值E(X)。

期望值E(X)表示连续观测的次数X的平均值，即在多次观测中，连续观测的次数X的平均取值。

根据概率论的知识，我们可以计算出E(X)的表达式为：E(X)=∑[k=1,∞] k×P(X=k)=(1-0.3)×0.3×∑[k=1,∞] k×(1-0.3)^(k-2)通过计算，我们可以得到E(X)=10。

数据结构考研真题及其答案

一、选择题1. 算法的计算量的大小称为计算的（ B ）。

【北京邮电大学2000 二、3 （20/8分）】A．效率 B. 复杂性 C. 现实性 D. 难度2. 算法的时间复杂度取决于（C ）【中科院计算所 1998 二、1 （2分）】A．问题的规模 B. 待处理数据的初态 C. A和B3.计算机算法指的是（C），它必须具备（B）这三个特性。

(1) A．计算方法 B. 排序方法 C. 解决问题的步骤序列D. 调度方法(2) A．可执行性、可移植性、可扩充性 B. 可执行性、确定性、有穷性C. 确定性、有穷性、稳定性D. 易读性、稳定性、安全性【南京理工大学 1999 一、1（2分）【武汉交通科技大学 1996 一、1（ 4分）】4．一个算法应该是（ B ）。

【中山大学 1998 二、1（2分）】A．程序 B．问题求解步骤的描述 C．要满足五个基本特性D．A和C.5. 下面关于算法说法错误的是（ D ）【南京理工大学 2000 一、1（1.5分）】A．算法最终必须由计算机程序实现B.为解决某问题的算法同为该问题编写的程序含义是相同的C. 算法的可行性是指指令不能有二义性D. 以上几个都是错误的6. 下面说法错误的是（ C ）【南京理工大学 2000 一、2 （1.5分）】 (1）算法原地工作的含义是指不需要任何额外的辅助空间（2）在相同的规模n下，复杂度O(n)的算法在时间上总是优于复杂度O(2n)的算法（3）所谓时间复杂度是指最坏情况下，估算算法执行时间的一个上界（4）同一个算法，实现语言的级别越高，执行效率就越低4A．(1) B.(1),(2) C.(1),(4) D.(3)【武汉交通科技大学 1996 7．从逻辑上可以把数据结构分为（ C ）两大类。

一、4（2分）】A．动态结构、静态结构 B．顺序结构、链式结构C．线性结构、非线性结构 D．初等结构、构造型结构8．以下与数据的存储结构无关的术语是（ D ）。

1999年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案

(B)低阶无穷小
(C)同阶但不等价的无穷小
(D)等价无穷小
(3) 设 f (x) 是连续函数， F x 是 f (x) 的原函数，则 ( )
(A) 当 f (x) 是奇函数时， F x 必是偶函数.
(B) 当 f (x) 是偶函数时， F x 必是奇函数.
(C) 当 f (x) 是周期函数时， F x 必是周期函数.
2x y 3x2 y x3 y cos x ， x2 y
把 x 0 和 y 1代入得 y(0) dy 1 dx x0
(3)【答案】 1 ln(x2 6x 13) 4 arctan x 3 C
2
2
【详解】通过变换，将积分转化为常见积分，即
x2
x 5 dx 6x 13
(
x)
1
cos x
x
,x
0
，其中
g
x
是有界函数，则
f (x) 在 x 0 处
(
)
x2g x,x 0
(A) 极限不存在.
(B) 极限存在，但不连续.
(C) 连续，但不可导.
(D) 可导.
(2) 设 x
5x sin t dt, x
sin
x
1
t
1
t
dt
，则当
x
0
时
x
是
x
的
(
)
0t
0
(A)高阶无穷小
x5
(3)
dx x2 6x 13
(4) 函数 y
x2 x2
在区间
1 2
,
3 2
上的平均值为
(5) 微分方程 y 4 y e2x 的通解为
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)

考研英语历年阅读理解真题精析--1999年part3

[C] mastered through a life-long course
[D] equally emphasized by any school, vocational or otherwise
重点词汇：
1.radical （根本的；重要的；激进的）即 radi+cal ，radi 词根 " 根 " ，-cal 形容词后缀；副
for reasons radically different from why education is
universally required by law. It is not simply to raise everyone's job prospects that
all children are legally required to attend school into their teens. Rather, we have
outside of himself. But this was not always the case; before it was legally required
for all children to attend school until a certain age, it was widely accepted that
There are some good arguments for a technical education given the right kind of student. Many European schools introduce the concept of professional training early on in order

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1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。

把答案填在题中横线上。

)(1) 设()f x 有一个原函数sin xx ，则2()xf x dx ππ'=⎰(2) 1112n n n -∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(3) 设101020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，而2n ≥为整数，则12n n A A --=(4) 在天平上重复称量一重为a 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布2(,0.2)N a .若以n X 表示n 次称量结果的算术平均值，则为使{}0.10.95n P X a -<≥， n 的最小值应不小于自然数(5) 设随机变量(),1,2,,;2ij X i j n n =≥L 独立同分布，2ij EX =，则行列式111212122212nnn n nnX X X X X X Y X X X =L L M M M L的数学期望EY =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。

每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。

) (1) 设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 ( )(A) 当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。

(B) 当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。

(D) 当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。

(2) 设(,)f x y 连续，且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 是由20,,1y y x x ===所围成的区域，则(,)f x y 等于 ( )(A)xy (B)2xy (C)18xy +(D)1xy +(3) 设向量β可由向量组12,,,m αααL 线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)121,,,m ααα-L 线性表示，记向量组(Ⅱ)121,,,m αααβ-,L ，则 ( ) (A) m α不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示。

(B) m α不能由(I)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示。

(D) m α可由(I)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示。

(4) 设,A B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则 ( )(A).E A E B λλ-=- (B)A 与B 有相同的特征值和特征向量. (C)A 与B 都相似于一个对角矩阵. (D)对任意常数t ，tE A -与tE B -相似.(5) 设随机变量101(1,2)111424i X i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦:，且满足{}1201P X X ==，则{}12P X X = 等于( )(A) 0. (B) 14. (C) 12. (D) 1. 三、(本题满分6分)曲线y=的切线与x 轴和y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为a ，试求切线方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变换趋势如何？四、(本题满分7分)计算二重积分Dydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2,0,2x y y =- = =以及曲线x =所围成的平面区域。

五、(本题满分6分)设生产某种产品必须投入两种要素，1x 和2x 分别为两要素的投入量，Q 为产出量；若生产函数为122Q x x αβ=，其中,αβ 为正常数，且1αβ+=.假设两种要素的价格分别为1p 和2p ，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？六、(本题满分6分)设有微分方程()2y y x ϕ'-=，其中()2,10,1x x x ϕ <⎧=⎨>⎩试求: 在(),-∞+∞内的连续函数()y y x =，使之在(),1-∞和()1,+∞内都满足所给方程，且满足条件()00y =. 七、(本题满分6分)设函数()f x 连续，且()2012arctan 2xtf x t dt x -=⎰.已知()11f =，求()21f x dx ⎰的值. 八、(本题满分7分)设函数()f x 在区间[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()()1010,12f f f ⎛⎫== =⎪⎝⎭. 试证：(1)存在1,12η⎛⎫∈⎪⎝⎭，使()f ηη=； (2)对任意实数λ，必存在()0,ξη∈，使得()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦.九、(本题满分9分)设矩阵15310ac A b c a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，且1A =-.又设A 的伴随矩阵*A 有特征值0λ，属于0λ的特征向量为()1,1,1Tα=--，求,,a b c 及0λ的值. 十、(本题满分7分)设A 为m n ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵.已知矩阵TB E A A λ=+，试证：当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵.十一、(本题满分9分)假设二维随机变量(),X Y 在矩形(){},02,01G x y x y =≤≤ ≤≤上服从均匀分布.记0,1,X Y U X Y≤⎧=⎨>⎩， 0,21,2X YV X Y ≤⎧=⎨ >⎩ (1) 求U 和V 的联合分布； (2) 求U 和V 的相关系数r .十二、(本题满分7分)设129,,,X X X K 是来自正态总体X 的简单随机样本，()112616Y X X X =+++K ，()278913Y X X X =++，()9222712i i S X Y ==-∑，)12Y Y Z S -=，证明统计量Z 服从自由度为2的t 分布.1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】41π-【详解】由题设可知2sin cos sin ()()x x x xf x x x -'==.由分部积分法，得 2222()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx ππππππππ'==-⎰⎰⎰22cos sin sin 22411x x x x x x πππππππ-=-=-++=-(2)【答案】4 【详解】考虑幂级数11n n nx ∞-=∑，由1lim1n n n→∞+=可知，该幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-，则1(1,1)2x =∈-.记11()n n S x nx ∞-==∑，两边从0到x 积分，得11111()(),(1,1)1xxxn n n n n n xS x dx nxdx nx dx x x x∞∞∞--=======∈--∑∑∑⎰⎰⎰ 所以 21()(),(1,1)1(1)x S x x x x '==∈--- 所以 121111()()4122(1)2n n S n ∞-====-∑(3) 【答案】O【详解】101020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，根据矩阵的乘法，以及数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都要乘以该数，有210110120210102002004020202101101202101A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪==== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故有 1222(2)nn n A AA A A O ---=-=或由22A A =，式子左右两端同右乘2n A -，得2222n n A A A A --⋅=⋅，即12n n A A -=，得 12nn A AO --=或由22A A =，式子左右两端同右乘A ，得2322(2)22(2)2A A A A A A A A ⋅=====，式子左右两端再同乘A ，得342323(2)2222A A A A A A A A ⋅====⋅=，…，依次类推，得 1212,2,n n n n AA A A ---==所以 11211222222nn n n n n A AA A A A O ------=-⨯=-=(4)【答案】 16【概念和性质】(1) 独立正态随机变量的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布；(2) 期望的性质：()E aX bY aEX bEY +=+，Ec c = (其中,,a b c 为常数)； (3) 方差的性质: 2()()D cX c D X =；若X Y 和独立，则()D X Y DX DY +=+ (4) 正态分布标准化：若2~(,)Z N u σ，则~(0,1)Z uN σ-【详解】由题知：212,,(,0.2)n X X X N a L :，11nn i i X X n ==∑，且12,,n X X X L 相互独立，故211~(,)n n i i X X N n μσ==∑，其中n EX μ= ，2n DX σ=所以 1111n nn i i i i na EX E X EX a n n n μ==⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑2222221111110.20.2n n nn i i i i i i n DX D X D X DX n n n n n σ===⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 所以 2110.2~(,)n n i i X X N a n n ==∑，标准化得~(0,1)X U N = 则只需将{}0.10.95n P X a -<≥中大括号里的不等式两端同除以标准差，即有：0.950.95P P U ⎫⎧⎪<≥⇒<≥⎨⎪⎪⎩⎭因~(0,1)X U N =，查标准正态分布表知 {}1.960.95P U <≥1.96≥，解得15.3664n ≥. 因n 为整数，所以n 最小为16.(5)【答案】 0EY =【概念和性质】(1) ()E X Y EX EY ±=±；(2)若X 和Y 独立，则有EXY EXEY = 【详解】由行列式的定义知，行列式是由2n 个元素ij X 的乘积组成的!n 项和式，每一项都是n 个元素的乘积1212n j j nj X X X L ，这n 个元素取自行列式中不同行和不同列，在这全部!n 项中每项都带有正号或负号.由于随机变量(),1,2,,;2ij X i j n n =≥L 独立，所以有12121212()n n j j nj j j nj E X X X EX EX EX =L L所以前面无论取正号或者负号，对和式的期望等于各项期望之和. 即有111212122212n nn n nnEX EX EX EX EX EX EY EX EX EX =L L M M M L而(),1,2,,;2ij X i j n n =≥L 同分布，且2ij EX =所以 1112121222122222220222nn n n nn EX EX EX EX EX EX EY EX EX EX ===L L L LM M M M M M LL(行列式的性质：若行列式两行(列)成比例，则行列式为0).二、选择题 (1)【答案】( A )【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.()f x 的原函数()F x 可以表示为0()(),xF x f t dt C =+⎰于是()0()()().u txxF x f t dt C f u d u C =---=+=--+⎰⎰当()f x 为奇函数时，()()f u f u -=-，从而有()()()()xxF x f u du C f t dt C F x -=+=+=⎰⎰即 F (x )为偶函数. 故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：2()f x x =是偶函数，但其原函数31()13F x x =+不是奇函数，可排除(B)；2()cos f x x =是周期函数，但其原函数11()sin 224F x x x =+不是周期函数，可排除(C)；()f x x =在区间(,)-∞+∞内是单调增函数，但其原函数21()2F x x =在区间(,)-∞+∞内非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】(C) 【详解】因为(,)Df u v dudv ⎰⎰为一确定的数，不妨设(,)Df u v dudv a =⎰⎰，则(,)f x y xy a =+，所以 21(,)()()x DDa f x y dxdy xy a dxdy dx xy a dy ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰51201()2123x a ax dx =+=+⎰，解之得18a =，所以1(,)8f x y xy =+，故应选(C).(3)【答案】(B) 【详解】方法1：β可由向量组12,,,m αααL 线性表示，即存在常数12,,,m k k k L 使得1122m m k k k βααα=+++L (*)β不能由121,,,m ααα-L 线性表出，从而知0m k ≠（若0m k =，则112211m m k k k βααα--=+++L ，这和β不能由121,,,m ααα-L 线性表出矛盾.）(*)可变为112211m m m m k k k k αβααα--=----L ，上式两端同除m k1122111()m m m mk k k k αβααα--=----L m α能由(II )线性表示，排除(A)(D).m α不能由121,,,m ααα-L 线性表示，若能，即存在常数121,,,m λλλ-L 使得112211m m m αλαλαλα--=+++L ，代入(*)得β1122112211()m m m k k k ααλαλαλα--=++++++L L111222111()()()m m m m m m k k k k k k λαλαλα---=++++++L这和β不能由121,,,m ααα-L 线性表出矛盾，排除(C).故应选(B). 方法2：若取12310010,1,0,10011αααβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则123βααα=++，即β可由123,,ααα线性表出.假设存在常数12,k k ，满足1122k k βαα=+因为1212(,)2(,,)3r r ααααβ=≠=，即方程组1122k k βαα=+的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组无解，即不存在常数12,k k ，满足1122k k βαα=+，β不能由12,αα线性表出，是满足题设条件的一个特例，此时，3α不能由(I )12,αα线性表示，若存在常数12,l l ，满足31122l l ααα=+因为12123(,)2(,,)3r r ααααα=≠=，即方程组31122l l ααα=+的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组无解，不存在常数12,l l ，满足31122l l ααα=+，故3α不能由(I )12,αα线性表示，但因为312αβαα=--，即3α可由(II )12,,ααβ线性表示，故应选(B).(4)【答案】(D) 【详解】方法1：A 相似于B ，根据矩阵相似的定义，则存在可逆阵P ，使得1P AP B -=，则111()P tE A P P tEP P AP tE B ----=-=-根据矩阵相似的定义，则tE A -相似于tE B -，应选(D). 方法2：排除法(A) 不成立. 若E A E B λλ-=-，则A B =，而已知只是相似.(B) 不成立. A 与B 相似，根据矩阵相似的定义，即存在可逆阵，使得1P AP B -=，从而有E B λ-1E P AP λ-=-(把1P AP B -=代入)11P P P AP λ--=- (1P P E -=)11()P E P P AP λ--=-1()P E A P λ-=-1P E A P λ-=- (矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积)E A λ=- (矩阵逆的行列式等于行列式的逆，故11P P -=)从而，,A B 有相同特征多项式，故有相同的特征值.若A ξλξ=，在1P AP B -=的两边同时左乘P ，右乘1P-，得111PP APP PBP A ---==，故1PBP A ξξλξ-==，在上式两边左乘1P -，得11()()B P P ξλξ--=，根据特征值和特征向量的定义，B 的属于特征值λ的特征向量是1P ξ-，而A 的属于特征值λ的特征向量ξ，它们并不相同.(C)不成立. ,A B 相似时，也可能它们本身都不相似于对角阵. 例如0100A ⎛⎫=⎪ ⎝⎭，0010B ⎛⎫= ⎪ ⎝⎭，因存在可逆阵0110P ⎛⎫= ⎪ ⎝⎭，使得10010100001010P AP - 1 ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪ ⎪1 0 ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则根据矩阵相似的定义，知A B ~，但,A B 都不相似于对角阵.若A 能相似于对角阵，即A 可相似对角化. 先求特征值，特征多项式为210E A λλλλ--==，令0E A λ-=得A 的两个特征值0.若A 相似于对角阵，则存在可逆矩阵P ，使得100P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭，上式两端同时左乘P ，右乘1P -，得111000000PP APP A P P ---⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与0100A ⎛⎫= ⎪ ⎝⎭矛盾，故A 不可相似对角化.若B 能相似于对角阵，即B 可相似对角化.先求特征值，特征多项式为201E B λλλλ-==-，令0E B λ-=得B 的两个特征值0. 若B 相似于对角阵，则存在可逆矩阵P ，使得100P BP -⎛⎫= ⎪⎝⎭，上式两端同时左乘P ，右乘1P -，得111000000PP BPP B P P ---⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与010B 0⎛⎫= ⎪ ⎝⎭矛盾，故B 不可相似对角化.(5)【答案】 (A )【详解】给定1X 和2X 的概率分布，求1X 和2X 的联合分布，所给条件为{}1201P X X ==，这就需要从这个条件入手. 由于事件{}120X X =包括事件：{}{}{}{}{}12121212120,1,0,0,0,1,1,0,1,0X X X X X X X X X X ==-=====-===所以从正面研究其概率是研究不清的，在这种情况下，往往需要通过其对立事件来研究.根据()()1P A P A =-，有{}{}1212010110P X X P X X ≠=-==-= 所以有{}{}{}{}{}121212121201,11,11,11,10P X X P X X P X X P X X P X X ≠==-=-+=-= +==-+===而根据概率的非负性有：{}{}{}{}121212121,11,11,11,10P X X P X X P X X P X X =-=-==-====-====而 {}{}{}{}121212121,10,01,1P X X P X X P X X P X X ===-=-+==+== {}{}121200,000,0P X X P X X =+==+=== 又根据边缘概率的定义：{}{},,1,2,i i i j ij jjp P X x P X x Y y p i =======∑∑g L{}{},,1,2,j j i j ij iip P Y y P X x Y y p j =======∑∑g L( 通俗点说就是在求关于X 的边缘分布时，就把对应x 的所有y 都加起来，同理求关于Y 的边缘分布时，就把对应y 的所有x 都加起来 )由 {}{}{}{}112121211,11,01,1P X P X X P X X P X X =-==-=-+=-=+=-= 故 {}{}{}{}12112121,011,11,1P X X P X P X X P X X =-===--=-=--=-=110044=--= 同理可得{}{}{}{}1212121210,10,11,01,04P X X P X X P X X P X X ==-========-== 又 {}{}{}{}112121200,10,00,1P X P X X P X X P X X ====-+==+=={}{}12121110,00,0442P X X P X X =+==+=+== 而由已知{}1102P X ==，所以得{}120,00P X X === 故{}{}{}{}121212121,10,01,1P X X P X X P X X P X X ===-=-+==+=={}{}121200,000,00P X X P X X =+==+====三【详解】曲线y=在曲线上点(a 处的切线的斜率为|x a x a y =='==，由直线的点斜式方程得切线方程)y x a =-，分别令0,0x y ==得到与y 轴，x 轴的交点分别为R 与(3,0)Q a . 于是切线与x 轴和y 轴围成一个直角三角形，由三角形的面积公式得132S a =⨯=当切点按x 轴正项趋于无穷大时，这时，a →+∞，所以lim a S →+∞=+∞当切点按y 轴正项趋于无穷大时，这时，0a →，所以lim 0a S →+∞=四【详解】解法1：区域D 和1D 如图所示，有1112DD D D ydxdy ydxdy ydxdy I I +=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰显然 12124D D I ydxdy dx ydy -+===⎰⎰⎰⎰在极坐标系下，有{}1(,)|02sin ,2D r r θθπθπ=≤≤≤≤因此12sin 220sin D I ydxdy d r rdr πθπθθ==⋅⎰⎰⎰⎰422881cos 4sin 12cos 233422d d ππππθπθθθθ+⎡⎤==-+=⎢⎥⨯⎣⎦⎰⎰ 于是1242Dydxdy I I π=-=-⎰⎰解法2：如图所示，{}(,)|22D x y x y =-≤≤≤≤22222Dydxdy ydy ydy -==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰24=-⎰令1sin y t -=，有cos dy tdt =，则2⎰22(1sin )cos t tdt ππ-=+⎰222222cos cos sin tdt t tdt ππππ--=+⎰⎰1cos 22022t dt ππ+=+=⎰五【详解】设两种要素的总投入费用为P ，则由题意得1122P p x p x =+，题目问产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小，即是求函数1122P p x p x =+在约束条件12212Q x x αβ==下的条件最值. 按格朗日数乘法，作函数12112212(,,)(212)F x x p x p x x x αβλλ=++-，为求驻点求偏导并令其为零，即11121121221220202120F p x x x F p x x x F x x αβαβαβλαλβλ--∂⎧=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪∂=-=⎪∂⎩ 由前两式可得1221p x p x αβ=，解出2x 代入第三个式子，得2116()p x p βαβ=1226()p x p αβα=，因为驻点唯一，且实际问题在10x >，20x >的范围内存在最小值，故2116()p x p βαβ=，1226()p x p αβα=时P 为最小.六【公式】形如 ()()y p x y q x '+=，方程的通解为()()(())p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰【详解】由于所求函数()y y x =在(),1-∞和()1,+∞都满足所给微分方程，故在两个区间上分别求微分方程，即 22,120,1y y x y y x '-=<⎧⎨'-=>⎩，解得 221222(2),1(0),1dx dx dx dx y e e dx C x y e e dx C x --⎧⎰⎰=+<⎪⎨⎰⎰⎪=+>⎩⎰⎰g ，其中12,C C 为常数.化简得 21221,1,1x xy C e x y C e x ⎧=-+<⎨=>⎩ 由题设()00y =，其中01x <<，可知21100110xx x y C eC ===-+=-+=，解得11C =所以有 2221,1,1x xy e x y C e x ⎧=-+<⎨=>⎩ 又因为()y y x =在(),-∞+∞内连续，所以11lim lim (1)x x y y y →-→+==即 22211lim(1)lim (1)x xx x e C ey →-→+-+==解之得 2221,(1)1C e y e -=-=-故所求连续函数为()2221,1(1),1x xe x y y x e e x -⎧-≤== ⎨->⎩七【详解】()2f x t -中的变量是2x t -，故设法把x “转移”到f 外，令2u x t =-，则2t x u =-，所以dt du =-代入()212arctan 2x tf x t dt x -=⎰ 得()()()2022(2)(2)xxx xxtf x t dt x u f u du x u f u du -=--=-⎰⎰⎰()()22212arctan 2xxx xxf u du uf u du x =-=⎰⎰ 方法1：将等式()()22212arctan 2x x x x x f u du uf u du x -=⎰⎰两边对x 求导得()2422[2(2)()][22)2()]1xx xf u du x f x f x xf x xf x x+---=+⎰g （化简得 242()()1xxxf u du xf x x -=+⎰ 令1x =得，2112()(1)11f u du f -=+⎰，化简得()221111113()[(1)](1)22224f u du f x dx f ==+=+=⎰⎰方法2：引入()f x 的一个原函数()F x ，则()()F x f x '=于是 ()()22222[(2)()]()xx xxxxxf u du uf u du x F x F x udF u -=--⎰⎰⎰222[(2)()]()()xxx xx F x F x uF u F u du =--+⎰2()()xxxF x F u du =-+⎰所以 221()()arctan 2xxxF x F u du x -+=⎰，两边对x 求导，得 4()()2(2)()1xF x xf x F x F x x --+-=+ 即 41(2)()[()]21x F x F x xf x x-=++ 即 241()(2)()[()]21x x xf u du F x F x xf x x=-=++⎰ 令1x =得，()221111113()[(1)](1)22224f u du f x dx f ==+=+=⎰⎰八【详解】(1) 构造函数()()F x f x x =-，则()F x 在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且11111()()10,(1)(1)1011022222F f F f =-=-=>=-=-=-<，所以由介值定理得，存在一点1,12η⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()(0F f ηηη=-=）即存在一点1,12η⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得(f ηη=），原命题得证.(2) 令()()10f x f x x λ'---=⎡⎤⎣⎦，解微分方程得 ()x f x x Ce λ=+，即 (())xef x x C λ--=令 ()(())xF x ef x x λ-=-因为 0(0)((0)0)0,()(())0F e f F e f ληηηη-=-==-=，所以，在(0,)η上由罗尔定理知，必然存在点(0,)ξη∈，使得()0F ξ'= 即 ()(())(()1)F ef e f λξλξξλξξξ--''=--+-(()()1)0ef f λξλξλξξ-'=-++-=即 ()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦九【详解】(1) 因为()2244200111tan (1tan )tan sec n n n n a a x x dx x xdx n n n ππ++=+=⎰⎰tan 1400111tan tan (1)x t n n xd x t dt n n n n π====+⎰⎰ 又由部分和数列()211111111()1,(1)11nn nn i i i i i S a a i i i i i n +====+==-=-+++∑∑∑有 lim 1,n n S →∞=因此()2111.n n n a a n ∞+=+=∑ (2) 先估计n a 的值，因为40tan n n a xdx π=⎰，令tan t x =，则2sec dt xdx =，即21dtdx t =+ 所以 112001,11n nn t a t dt t n =<=++⎰⎰ 所以111,(1)n a n n n n λλλ+<<+由于10λ+>，所以111n n λ∞+=∑收敛，从而1nn a n λ∞=∑也收敛.十【详解】方法1：()T T T B E A A λ=+()T T T E A A λ=+()T T TE A A λ=+TE A A B λ=+=，根据实对称矩阵的定义，故B 是实对称阵.对任意的非零向量x ，()TTTx A Ax =，有()T T x E A A x λ+()()T T T x E x x A A x λ=+T T T x x x A Ax λ=+()T T x x Ax Ax λ=+因0x ≠，故有0Tx x >.(设[]12,,,0Tn x a a a =≠L ，则,1,2,,i a i n =L 中至少一个不为零，则2,1,2,,i a i n =L 中至少一个大于零，故210nTii x x a==>∑)()0TAx Ax ≥(设[]12,,,Tn Ax b b b =L ，21()0nTi i Ax Ax b ==≥∑，因为Ax 有可能为零，即有可能0,1,2,,i b i n ==L ，故这里可能取等号.)故当0λ>时，0Tx x λ>.对任意的0x ≠，均有()()0T T T T T x Bx x E A A x x x Ax Ax λλ=+=+>由正定矩阵的定义，得证：B 是正定矩阵. 方法2：B 正定⇔B 的全部特征值大于零设B 有特征值μ，对应的特征向量为ξ，由特征值和特征向量的定义，B ξμξ=，将TB E A A λ=+代入，得()T E A A λξμξ+=，其中0ξ≠上式两边左乘Tξ，得()T T E A A ξλξ+T T T A A λξξξξ=+()()T T A A λξξξξ=+T μξξ=变形得 ()()()TTA A ξξμλξξ=-因0ξ≠，设[]12,,,0Tn c c c ξ=≠L ，则,1,2,,i c i n =L 中至少一个不为零，则2,1,2,,i c i n =L 中至少一个大于零，故210nTi i c ξξ==>∑()()0TA A ξξ≥(设[]12,,,Tn A d d d ξ=L ，21()0nTi i A A d ξξ==≥∑，因为A ξ有可能为零，即有可能0,1,2,,i d i n ==L ，故这里可能取等号.) 故()()0T TA A ξξμλξξ-=≥所以，当0λ>时，有0μλ≥>，故知B 的特征值μ全部大于零，B 是正定矩阵.十一【定义】(1)相关系数(,)X Y ρ=); (2)协方差()cov(,)U V E UV EUEV =-;(3)离散型随机变量期望i iiEX x p =∑; (4)方差的定义：()22DU EU EU =-【详解】(1) 由题知U V 和均服从01-分布，{}{}0P U P X Y ==≤，{}{}1P U P X Y ==>， {}{}02P V P X Y ==≤，{}{}12P V P X Y ==>二维随机变量(),X Y 在矩形(){},02,01G x y x y =≤≤ ≤≤上服从均匀分布(根据二维均匀分布的性质，各部分所占的概率是其面积与总面积之比)所以，如图所示：{}111112124D S P X Y S ⨯⨯≤===⨯总{}3112122122D S P X Y S ⨯⨯>===⨯总{}{}{}1112121424P Y X Y P X Y P X Y <≤=-≤->=--=(),U V 有四个可能值：()()()()0,0,0,1,1,0,1,1{}{}{}10,0,24P U V P X Y X Y P X Y ===≤≤=≤={}{}{}0,1,20P U V P X Y X Y P ===≤>=∅= {}{}{}11,0,224P U V P X Y X Y P Y X Y ===>≤=<≤=2yy{}{}{}11,1,222P U V P X Y X Y P X Y ===>>=>=(2) 由根据边缘概率的定义：{}{},,1,2,i i i j ij jjp P X x P X x Y y p i =======∑∑g L{}{},,1,2,j j i j ij iip P Y y P X x Y y p j =======∑∑g L有 {}{}{}1100,00,1044P U P U V P U V ====+===+= {}{}{}11311,01,1424P U P U V P U V ====+===+={}{}{}11100,01,0442P V P U V P U V ====+===+={}{}{}1110,11,1022P V P U V P U V ====+===+=而 {}{}{}{}00,00,11,0P UV P U V P U V P U V ====+==+==1110442=++= {}{}111,12P UV P U V =====即所以 11101222EUV =⨯+⨯=，13301444EU =⨯+⨯=，11101222EV =⨯+⨯=所以 ()1311cov(,)2428U V E UV EUEV =-=-⨯=又 213301444EU =⨯+⨯=，211101222EV =⨯+⨯=所以 ()2223334416DU EU EU ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，()222111224DV EV EV ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ V 0 1p12 12UV 0 1 p 12 12 U 0 1 p 14 34 2U 0 1p 14 34 2V 0 1 p 12 12故1(,)342r U V ===十二【概念和性质】(1) ()E aX bY aEX bEY ±=±；(2) 2()()D cX c D X =；(3) 若X Y 和独立，则()D X Y DX DY +=+；(4) t 分布的定义：若~(0,1)X N ，2~()Y n χ，,X Y独立，则~()T t n =(5) 正态分布标准化的定义：若2~(,)Z N u σ，则~(0,1)Z uN σ-【详解】由于19,,X X L 是来自总体X 的简单随机样本，故19,,X X L 独立.设2~(,)X N u σ，则219,,~(,)X X N u σL ，又因为服从正态分布的独立随机变量其线性组合也服从正态分布，则()211261~(,)66Y X X X N u σ''=+++K其中 ()[]1126126116()666u u E Y E X X X EX EX EX u ⎡⎤'==+++=+++==⎢⎥⎣⎦K L ()()2112612611()636D Y D X X X D X X X σ⎡⎤'==+++=+++⎢⎥⎣⎦K K 261113666i i DX DX σ====∑ 故 21~(,)6Y N u σ同理，因为()278913Y X X X =++，所以22~(,)3Y N u σ 又由于12,Y Y 独立，且都服从正态分布，故12Y Y -也服从正态分布，其期望方差分别为：1212()0E Y Y EY EY u u -=-=-=，2221212()632D Y Y DY DY σσσ-=+=+=得 212~(0,)2Y Y N σ-将12Y Y -标准化得~(0,1)U N =由正态总体样本方差的性质：222(1)~(1)n S n χσ--，推得 22222~(2)S χχσ=因2S 与2Y 独立(由于样本方差与样本均值独立) 而21Y S 与独立，故U =222S σ独立.所以由t~(2)t =化简上式12)Y Y S-=即12)~(2)Y Y Z t S -=。