材料力学内力图绘制详解

专题一 梁的内力和内力图例1求图1(a)所示梁截面 A 、C 的剪力和弯矩。

解：1）求反力kN 5=A F ，kN 4=B F2）求A 左截面的内力，如图(a)所示。

0=∑i Y ， 0=+左SA p F F ，kN 3-=左SA F0=∑O M ，02=+⨯左A p M F ， m kN 6⋅-=左A M3）求A 右截面的内力，如图(b)所示。

0=∑i Y ，0=+--A SA p F F F 左，kN 2=左SA F0=∑O M ，02=+⨯右A p M F ， m kN 6⋅-=右A M4）求C 左截面的内力，如图(c)所示。

0=∑i Y ，02=-⨯--左SC P A F q F F ，0=左SC F0=∑O M ，01224=+⨯⨯+⨯-⨯左C A p M q F F ，=左C M m kN 4⋅-=5）求C 右截面的内力，如图(d)所示。

0=∑i Y ，02=-⨯--右SC P A F q F F ，0235=--=右SC F 0=∑O M ，012241=++⨯⨯+⨯-⨯右C A p M M q F F ，=右C M m kN 6⋅-=【小结】①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致。

一般取外力比较简单的一段进行分析。

②在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。

③该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。

图1(a)(b)(c)(d) (e)例2试计算图2所示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。

解：(a)取A +截面左段研究，, 0SA A F F M ++==取C 截面左段研究，, 2SC C Fl F F M == 取B -截面左段研究， , SB BF F M Fl ==(b) 求A 、B 处约束反力如图(d)所示，l M F F e B A /==取A +截面左段研究，, e SA A A e M F F M M l++=-=-=取C 截面左段研究，, 22e e SC A A e A M Ml F F M M F l +=-=-=-⨯=取B 截面右段研究，, 0e SB B B MF F M l=-=-=(c) 求A 、B 处约束反力 取A +截面右段研究，233, 22248SA A l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-取C -截面右段研究，2, 22248SC C l ql l l ql F q M q --=⨯==-⨯⨯=-取C +截面右段研究，2, 22248SC C l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-取B -截面右段研究，0, 0SB B F M --==图2 (b) (a) qB (c) B图(d)例3试写出图3所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。

ＯＣＣＵＰＡＴＩＯＮ2012 0926交流E XPERIENCE计算内力与画内力图的技巧余瀚欣　夏志娟　韩美娥　余茂武在材料力学四种基本变形的学习中，计算内力与画内力图是各种基本变形强度与刚度计算的基础。

一般情况下构件不同截面上的内力是不同的，内力随横截面位置而变化。

由于在进行强度与刚度计算时，需要知道各横截面上内力的最大值以及所在截面位置即危险面，因此必须知道内力随截面变化的规律。

为了便于形象直观地看到内力的变化规律，通常是将内力沿构件轴线的变化用图形来表示，这种图形称为内力图。

计算内力画内力图，是每位学者都觉得很头疼的事，而职业院校的学生由于基础相对薄弱学起来就更难，因此对其技巧的探索与研究势在必行。

有不少从教者做了很大的努力，总结不少好的方法，但相比本文介绍的方法还是麻烦了点。

本文介绍的方法简便易行，学生易于接受，增强了学习的主动性和积极性。

下面以三种不同的方法计算扭转变形时的内力、画内力图为例，通过比较说明第三种方法的可行性、简便性与实用性。

例：一传动轴如图１所示。

已知其上作用有外力偶m １＝１００Ｎｍ，m ２＝５０Ｎｍ，m ３＝２０ＫＮｍ，m ４＝３０Ｎｍ，试求轴的扭矩，并画出扭矩图。

一、第一种方法：截面法1.计算轴各段扭矩（见图1）AB 段：Σm x =0，m 2+M n 1=0,M n 1=-m 2=-50Nm （取截面以左分析）BC 段：Σm x =0，m 2+m 3+M n 2=0,M n 2=-m 2-m 3=-70Nm （取截面以左分析）CD 段：Σm x =0，m 4-M n 3=0,M n 3=+m 4=-30Nm （取截面以右分析）1-1，2-2截面扭矩计算出现负值，说明图1中b ）、c )中的假设的扭矩转向与实际相反，实际扭矩矢量方向与横截面的外法线方向相反。

按扭矩正负符号规定，该扭矩为负。

3-3截面扭矩计算出现正值，说明图1d ）中的假设的扭矩转向与实际相同，实际扭矩矢量方向与横截面的外法线方向相同。

5-5 平面刚架和曲杆的内力图杆系结构若在结点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。

各杆连接处称为刚结点。

刚架变形时，刚结点处各杆轴线之间的夹角保持不变。

★请看动画演示→★请看动画演示→平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，还有轴力。

作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图，画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。

剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），但须注明正负号；剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。

，(2)画BC杆的内力图由于AB及BC杆中间没有作用集中力及分布载荷，只需求出各杆端点的内力即可画出内力图。

对于BC杆，1截面的内力(考虑右半部分杆件)：轴力剪力弯矩剪力的正负号仍与梁中规定相同，可以看出，不论从杆件的上方或下方来观察此杆件，1截面的剪力都是正的。

2截面的内力(考虑右半部分杆件)，，(上边受拉)根据1、2截面所求得的内力，可画出其内力图如图5-14b、c、d所示。

作轴力 N 图及剪力 Q 图时，内力图画在杆件哪一边都可以，但须注明正负号。

对于弯矩 M ，由于从不同方向观察会得到不同的正负号，故规定将 M 图画在杆件受拉的一边，但不标正负号。

（3）画AB杆的内力图对于AB杆，3截面的内力（考虑上半部刚架），，(左边受力)4截面的内力（考虑上半部刚架），，(左边受力)（4）对刚结点的平衡进行校核画出整个刚架的内力图后，一般应校核刚结点处是否满足平衡条件。

根据所绘的内力图，可画出刚结点的受力图如图5－15所示，按刚结点的平衡条件可得，，由此可见，对于图5-15所示连接两相互垂直杆件的刚结点，若结点上没有作用载荷，则一杆的剪力绝对值应等于另一杆的轴力绝对值，两杆在刚结点处的弯矩值相等，且受拉边也相同。

对于连接两根以上杆件的刚结点(图5-16a)或结点上作用载荷的刚结点，平衡条件仍必须满足。

例如对于图5-16b所示在结点处作用外力偶m的刚结点，力矩平衡条件应为，由于中间无集中载荷，只需求出端截面的内力值即可画内力图。

基本变形构件内力图简易画法四种内力的计算是用同一种方法，任一指定截面的内力等于该所在截面以左或以右所有外力的代数和，其正负号由外力的正负号确定。

（1）轴向拉伸和压缩外力符号的规定：在拉伸压缩变形中, 规定力的矢量背离所计算截面为正；力的矢量指向所计算截面为负。

（2）扭转外力符号的规定：用右手螺旋法则将外力偶矩表示为一矢量, 在扭转变形中，规定力偶矩矢的矢量背离所计算截面为正；力偶矩矢的矢量指向所计算截面为负。

梁发生横力弯曲时,横截面上有两种内力:剪力和弯矩。

剪力是与横截面相切的内力,弯矩是作用在横截面上的外力偶矩。

（3）切力外力符号的规定：切力的正负,由外力使脱离体旋转方向判定,若外力对所求截面产生顺时针旋转趋势时,取正号,反之取负号。

（4）弯矩外力符号的规定：弯矩的正负则由梁的变形确定,若外力使梁发生上凸变形,取正,反之取负。

内力图绘制基本方法在画内力图时, 其基本方法为: 内力从零开始(因无限接近左端截面上的内力为零) , 在集中力或集中力偶所在的截面处内力图开始突变, 突变值为该集中力或集中力偶的大小, 突变方向由外力决定, 正的外力(包括力偶矩) 向上突变, 负的外力, 向下突变, 内力图在最后一个集中力或集中力偶突变后, 其终点落在x 轴上。

即内力由零开始, 到零结束。

以上作法仅适用于从左端开始向右端绘制内力图。

由于从左端开始向右端绘制内力图，故外力的符号可以简化为：（1）在拉伸压缩变形中, 规定向左的外力为正, 向右的外力为负, 即“左正右负”。

（2）在扭转变形中, 外力偶矩矢矢量方向向左为正, 反之为负, 即“左正右负”。

（3）梁发生横力弯曲时，切力规定截取左端研究时，向上的外力为正, 向下的外力为负。

（3）梁发生横力弯曲时，弯矩规定截取左端研究时，向上的外力为正, 向下的外力为负。

顺时针的外力偶为正, 逆时针的外力偶为负。

从上面的分析可以发现，四种内力图绘制是用同一种方法，学生容易掌握，容易记忆，在近几年的高职教学实践中,取得了很好的教学效果。

材料力学中内力图的直接画法摘要:介绍一种关于材料力学中轴力、扭矩、剪力和弯矩等内力图的直接画法，建立内力的增减与外力方向之间的关系。

关键词:内力图；直接画法；内力；外力。

画内力图是材料力学学习过程中的一个重点，而不少学生在学习这部分内容时感到不好理解，总是不清楚题目要求的截面上的内力应该怎么求。

尤其是弯曲内力中的剪力与弯矩。

为了使同学更好地理解构件的内力、画好内力图,经过摸索与思考，我总结出了关于内力图的一种简单的画法。

本文中约定在各内力图中向上的方向为正向，画图时从左向右画。

希望老师和同学予以指正。

1.轴力、扭矩图轴力图完全可直接根据外力的大小与方向直接画出来。

以水平杆为例，如杆左端有约束，首先求出约束力(外力)，向左的外力会引起轴力增加，而向右的外力会引起轴力减小。

例如:图1中所示的杆的A、B、C、D点分别作用有大小为5P、8P、4P、P的力，方向如图1，试画出杆的轴力图。

解：用截面法求OA段内力N1设置截面如图1.X=OV1-P A+P B-P C-P D=0N1-5P+8P-4P-P=0N1=2P同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：N2=-3P,N3=5P,N4=P。

轴力图如图1所示。

如果用直接法，只需要求出O截面的约束力R。

由平衡方程R=2P，方向向左，故O截面的轴力从0增加到2P。

OA段无外力，轴力均为2P。

A截面作用有外力PA=5P，方向向右，轴力在该截面将减小5P，即从2P降为-3P。

AB段无外力，轴力均为-3P。

B截面作用有外力8P，方向向左，该截面轴力将增加8P，即从-3P升到5P。

ＢＣ段轴力为５Ｐ，Ｃ截面有外力４Ｐ，方向向右，轴力在该截面下降４Ｐ。

ＣＤ段轴力为Ｐ，Ｄ截面有外力Ｐ，方向向右，该截面轴力下降Ｐ，最终为Ｏ轴力图终点与ｘ轴重合。

关于扭矩图中扭矩正负的规定，用直接法，将外力偶用右手螺旋法则进行矢量化，矢量沿轴线方向，一水平轴为例，向左的外力偶矩将引起扭矩的增加，向右的外力偶矩将引起扭矩下降，因此在直接法中，扭矩图的画法与轴力图的画法完全一样。