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第二章内力与内力图详解

第二章内力与内力图详解

例：如左图，求n-n面的内力。 左半部分
Fx 0
FN FP
右半部分：
Fx 0 FN FP
左右两部分的力方向相反，但是同一内力， 因此规定内力由变形确定正负号，是标量。
§2-1 横截面上内力与内力分量
P2
P1
m
P4
P1
P2
m
P3 P2
P3
m P5
(a)
P1
y FR
m
M
C x
zm
(c)
P3
m
(b)
第二章 内力与内力图
§2-1 横截面上内力与内力分量 §2-2 轴向拉压杆的内力与内力图 §2-3 扭转圆轴的内力与内力图 §2-4 平面弯曲梁的内力与内力图 §2-5 平面刚架和曲杆的内力图
横截面上内力计算--截面法
截面法求内力步骤
❖ 将杆件在欲求内力的截面处假想的截断，取其中任一部分； ❖ 画出其受力图。所有外力，并在断面上画出相应内力； ❖ 由静平衡条件确定内力大小。
传动轴的扭矩图。
解：1)计算外力偶
MA
9549
PA n
9549 36 300
1146N.m
M B MC 350N.m；M D 446N.m
2)由外力偶分段，用截面法分别求每段
轴的扭矩即为1-，由
Mx 0
M B M x1 0 M x1 350N.m
B
C
A
350
700
446 x
D
扭矩图例2
10kN 30kN.m 20kN.m
A
2m B
10kN.m
D C
M x (kN.m)
10
A
B
20
C

材料力学基本第二章 内力与内力图

材料力学基本第二章 内力与内力图

CB段： BA段：
FN x1 0
FQ x1 F
M x1 Fx1
FN x2 F
FQ x2 0
M x2 F a
0 x1 a
0 x1 a
0 x1 a 0 x2 l
0 x2 l
0 x2 l
2.绘制剪力图和弯矩图
五、平面曲杆的内力图
平面曲杆：轴线为平面曲线的杆件。 内力的符号规定为：弯矩以使曲杆轴线曲率增加者为正，轴力和剪力的符 号规定与前面的相同。
2.6 结论与讨论
结
结论
论 与
• 一个重要概念
讨 论
• 三个微分方程
结
• 一套方法
论
讨论
结
论
与
比较前面三个梁的受力、剪力
讨 论
和弯矩图的相同 之处和不同
之处，从中能得到什么重要结
讨
论？
论
FQ
结
论
与
讨
FQ
论
讨
FQ
论
确定控
结 论 与 讨
制面上剪力 和弯矩有几 种方法？怎
论 样确定弯矩
图上极值点
讨 处的弯矩数
4. 在梁的某一截面上剪力为零，则在这一截面上弯矩有极值。
5. 在梁的某一截面上若作用有集中力，则此处剪力图有突变，突变的值 恰好等于集中力的数值。
6. 在梁的某一截面上若作用有集中力偶，则剪力图不发生变化，但此处 弯矩图会发生突变，突变的值恰好等于集中力偶的数值。
二、剪力、弯矩与载荷集度之间的积分关系
AD段 MeD T3 0
C
d) T3
D
T /Nm
T3 MeD 1018.6 N m e)
1018.6 (+)

第四章 内力分析和内力图

第四章 内力分析和内力图
n 力偶作功： W M e 2 60 P M e 9549 (N .m ) n
式中：
P (kW )
n(r / min )
19
2、内力分析
(1) 横截面上内力形式： 取左段研究:
1Me
1
取右段研究:
M
得：
x
0, T Me 0
3kN.m/m
T2 Me2 Me3 700 N m
1
1
2
2
3
3
T (N.m)
446
+
AD 段扭矩方程 T3 Me4 446 N m 作扭矩图 Tmax 700 N m
_
350 700
x
24
例4－4、试作轴的扭矩图。 解：根据载荷分布情 况，应分三段研究。 A AB段： T1 3 x(kN .m ) BC段： T2 6(kN .m ) CD段： T3 3(kN .m )
17
变形特点：
二、扭矩内力
1、外力分析
外力形式： 受到扭转外力偶的作用
扭转外力偶矩的计算
---直接计算法
18
---按输入功率和转速计算 已知： 轴的转速－n 转/分钟 r min 输出功率－P千瓦 KW 求：力偶矩Me
1kW 1000 N .m / s
电机每秒输出功：
W P 1000(N .m)
P Me 9549 n
M e1 1146 N m M e 2 M e 3 350 N m M e 4 446 N m
23
Me1 1146 N m Me 2 Me 3 350 N m Me 4 446 N m 集中力偶作用点为分段点

建筑力学5内力内力图PPT课件

建筑力学5内力内力图PPT课件
Mo= ∑Mo(Fi左) 或 MO= ∑Mo(Fi右) 当力矩使脱离体产生下凸变形时，其值取正号, 反之，取负号。
*剪力和弯矩都按正方向假设。
.
29
【例5-7】图(a)所示外伸梁，q=3kN/m,用简易内力计 算法求两1-1、2-2截面的剪力和弯矩。
【解】 （1）求支反力 ∑MA=0:FBy ×6 –(q×8)×4=0 A
A
F
B
l/2 C l/2
若集中力作用在梁的中点，
l
(e)
如图(e)
则：FQmax=F/2 Mmax=FL/4
F/2
FQ图(kN) (f)
F/2
其剪力图和弯矩图分别如
图(f)和(g).
M图(kN.m) FL/4
.
(g)
36
5.4.4用微分关系法绘制剪力图和弯矩图
1.荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系
1、用简易法计算内力
2、利用微分关系绘制内力图的方法，尤其是 平面弯曲梁的剪力图和弯矩图
.
2
5.1基本概念
5.1.1内力的概念
由于外力作用而引起的物体内部相互作用 力的改变量，称为附加内力，简称内力。
5.1.2求内力的截面法
为了显示某一截面的内力，必须用一假 想的截面截开物体，才能显示出作用在该截 面上的内力。
Fab
故，AC段和CB段的弯矩图都是斜
M图(kN.m) (d)
l
直线。
AC段：x1=0时 MA=0 , x1=a时 MC=Fab/l CB段：x2=a时 MC=Fab/l ,. x2=l时 MB=0.如图(d)。 35
由图(d)可知，在集中力作用处的截面上的弯 矩值最大，其值为
Mmax=Fab/l

第六章内力及内力图

第六章内力及内力图

Fy 0 F Fs1 0
Fs1 F
MC1 0 M1 Fa 0
M1 Fa
1 M1
1 Fs1
§6.4 剪力和弯矩
由前面的例题可以看出，在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随横截面 的位置而变化的。
若沿梁轴方向选取x坐标表示横截面位置，则梁的各横截面上的剪力和弯矩 可以表示为x的函数，即
Fb l
x
FA
y
Fs称为剪力，它是横截面上切向分布内力的 合力。
M称为弯矩，它是横截面上法向分布内力的
合力偶矩。
FA
取右： Fy 0
FS

Fb l
MC 0
M Fb x l
a
F b
m
x ml
FS M
C
x
ax F M
C
FS
lx
B
FB
FB
剪力、弯矩正负号规定：
1、剪力FS
解： (1) 写出剪力方程和弯矩方程
F
FS (x) F (0 x l)
A
x
l
M (x) Fx (0 x l)
(2) 作剪力图和弯矩图
FS
FS(x)为一常量，故剪力图为一条水平直线。
F
M(x)为x的一次函数，故弯矩图为一条斜直线。
x 0时 M 0
x l时 M Fl
从动轮上外力偶矩的转向和轴 的转向相反
例 已知:传动轴转速n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,三个从动轮输出功率分别 为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW试绘该轴的扭矩图。
解： 1.计算外力偶矩
转向

内力与内力图

内力与内力图

常见载荷作用下剪力图和弯矩图的特点
若一段梁上无载荷（即q=0），则剪力图为水平直线，弯 矩图为倾斜直线。剪力为正时，弯矩图为向右上方倾斜的 直线，剪力为负时则弯矩图向右下方倾斜，剪力为零时弯 矩图成为水平直线。 若一段梁上作用着均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图 为二次抛物线。若均布力方向向下，则剪力图为向右下方 倾斜的直线，弯矩图为开口向下的抛物线，抛物线的顶点 的剪力等于零的截面。 在集中力作用的截面上，剪力图有突变，变化值等于该集 中力的大小，弯矩图上由出现折角。 在集中力偶作用的截面上，剪力图无变化，弯矩图上有突 变，变化值等于该集中力偶的力偶矩的大小。
2
ql
五 弯矩、剪力与载荷集度间的关系
在例3中，将弯矩方程对x求一阶导数，得
dM qx F Q dx
将剪力方程对x求一阶导数，得
dF Q dx
q
也就是说，弯矩方程对x的一阶导数等于剪力方程；剪力方程对x的一阶导数 等于载荷集度。这一关系并非只存在于该问题中，而是普遍成立的一个规律。 根据导数的几何意义，以上关系表明：弯矩图上某点的切线的斜率，等于对 应截面上的剪力；剪力图上某点切线的斜率等于对应截面上的载荷集度。根 据这一规律，还可得到常见载荷下剪力图和弯矩图的特点。
例4
例4 外伸梁受力如图所示，试画出其剪力图和弯矩图。
解：（1）根据梁的平衡条件求出梁的支座反力。
FA
qa 4
FB
3qa 4

例1 杆件受力如图所示,求指定截面上的轴力并画出轴力图。
• • • • • • • • • • • • • • 解：（1）用截面法求内力。 沿截面1-1截开，由左侧一段的平衡，有 FN1+10=0 所以 FN1=-10（kN） 沿截面2-2截开，由左侧一段的平衡，有 FN2-40+10=0 所以 FN2=40-10=30（kN） 沿截面3-3截开，由右侧一段的平衡，有 -FN3+20=0 所以 FN3=20（ kN ） （2）根据计算结果作出轴力图。 （3）讨论：由以上计算过程可以看出，将 平衡方程中的外力都移至等号右端，则有 FN=ΣFie 也就是说，横截面上的轴力，等于其左侧 （或右侧）一段杆上所有外力的代数和。掌 握这一关系，有利于快速计算轴力并画出轴 力图。

第五章杆件的内力与内力图.ppt


FQy
AC: FQy (x) = - FRA = - m / l (0＜x ≤ a)
m/l
Mz (x) = - FRAx = - mx / l (0≤x ＜ a)
Mz BC: FQy (x) = - FRA = - m / l (a ≤ x＜ l )
ma/l mb/l
Mz (x) = m - FRAx = m (l -x ) / l (a ＜ x≤ l )
x
由∑Fxi = 0， - 3 +2x + FN (x) = 0， FN (x) = 3 - 2x . x = 0 时 , FN (x) = 3 KN； x = 2m 时 , FN (x) = - 1KN。
3KN A
B 2KN/ m C
D 1KN
2m
2m
2m
3 FN
（KN）
1
规律：没有力作用的杆段，轴力为常数； 分布荷载为常数的杆段，轴力线性变化； 集中力两侧，轴力有突变。
二、梁的内力——剪力和弯矩
a FPm1 FP2
A
B
m
FRA
x
FRB
FP1
A
m MZ
C
x m FQY
FRA
FQY —— 剪力 MZ —— 弯矩
规 定：
FQY：
∑FP FQY
FQY
左上右下剪力正, 反之为负
∑ FP
∑M
MZ
MZ：
MZ
∑M
上凹下凸弯矩正, 反之为负
a
FP1
m
FP2
A
m
B 由∑Fyi=0， FRA- FP1 - FQY =0
规定：按右手法则，力矩矢的方向指向横截 面的外法线方向为正，反之，为负。

第6章内力和内力图(桁架内力计算)


工程力学教程电子教案
内力和内力图
13
例题 6-1
解：先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方 先取整体为研究对象 受力如图所示。 受力如图所示 程 ∑Fx = 0，FAx + FE = 0
∑Fy = 0, FB + FAy − FC = 0 ∑MA(F) = 0,
联立求解得 FAx= －2 kN, FB = 2 kN
工程力学教程电子教案
内力和内力图
32
内力的大小及指向只有将物体假想地截开后才 能确定。 能确定。
拉压杆横截面上的内力，由任一横截面 拉压杆横截面上的内力，由任一横截面(m-m) 一边分离体的平衡条件可知， 一边分离体的平衡条件可知，是与横截面垂直的 分布力，此分布内力的合力称为轴力。 分布力，此分布内力的合力称为轴力。用符号 FN 表示。 表示。
工程力学教程电子教案
内力和内力图
20
例题 6-2
由平衡方程
先取整体为研究对象, 作受力图。 解：先取整体为研究对象 作受力图。
∑Fx = 0，FAx + FE = 0 ∑Fy = 0, FB + FAy − FC = 0 ∑MA(F) = 0,
− FC × a − FE × a + FB × 3a = 0
工程力学教程电子教案
内力和内力图
12
6.1.3 平面简单桁架的内力计算 1. 节点法 取节点为研究对象来求解桁架杆件的内力。 取节点为研究对象来求解桁架杆件的内力。
例题 6-1
如图平面简单桁架，已知铅垂力 如图平面简单桁架，已知铅垂力FC= 4 kN，水 ， 平力F 平力 E =2 kN。求各杆内力。 。求各杆内力。
− FC × a − FE × a + FB × 3a = 0

第2章杆件的内力与内力图


◎ 梁的剪力和弯矩
在集中力作用处的左右两侧截面上剪力值（图） 有突变，突变值等于集中荷载的大小，弯矩图形成尖角。
内力分量 (Components of the Internal Forces)
F1
FQy
y
内力主矢和内力主
矩在三个坐标轴上
My
的分量称作内力分 量，分别命名为： x
FQz
FN
轴力FN、剪力FQy和
FQz 、 扭 矩 Mx 、 弯 矩My和 Mz 。
Mz
F2 z
Mx
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 基本概念
第2章 杆件的内力和内力图 梁的剪力图和弯矩图
◎ 梁的剪力和弯矩
作用在梁上的平面载荷，如果不包含轴向力，这时梁 的横截面上将只有弯矩和剪力。表示剪力和弯矩沿梁轴线 方向变化的图线，分别称为剪力图(diagram of shearing force)和弯矩图(diagram of bending moment)。 绘制剪力图和弯矩图有两种方法：其中一种方法是根 据剪力方程和弯矩方程，在FQ-x和M-x坐标系中首先标出 剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩值， 得到相应的点；然后按照剪力和弯矩方程的类型，绘制出 相应的图线，便得到所需要的剪力图与弯矩图。
◎ 梁的剪力和弯矩
FQ
FQ
剪力FQ(FQy或FQz)对截开后所取研究对象产 生顺时针方向的矩者为正；产生逆时针方向的矩 者为负。
第2章 杆件的内力和内力图 弯矩的正负号规则
◎ 梁的剪力和弯矩
弯矩M(My或Mz) 作用在左侧面上使截开部分逆时针 方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方 向转动者为正；反之为负。 也可用下侧受拉、上侧受压为正；上侧受拉、下侧 受压为负来确定。

第五章杆件的内力分析与内力图

对右半段列平衡方程：
P1
FN 2 (x2 ) P3
m
x2 FN 2 m
P3
P2 m
F m
N2 8
轴力方程为：
FN1(x1) P1 0 x1 a
P1
A
P2
aB
P3
C
FN 2 (x2 ) P3 a x2 l
l
画出轴力图如图。
注意 内力图的规定：
P1
(FN)
（1）标出特征点内力的绝对值 （2）内力图与原杆件上下对齐，可不画坐标轴
Mn2
mc
M n2 +mC 0
M n1 mA 76.4 Nm
M n2 114.6 Nm
13
14
三、弯曲（剪力和弯矩）方程及其内力图
1、静定梁的分类（三种基本形式） 简支梁
外伸梁
悬臂梁
15
2、弯曲内力（剪力和弯矩）的正负号规定
① 剪力Fs :
剪力对所取的一段梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力
T(x1)=MA=m0b (0<x1 a) T(x2)=m0(a+b-x2) (a x2 a+b)
扭矩图如图
m0
AB
C
ab
m0b
(T ) AB C
12
例 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功率
NB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ，
NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
成两部分。
取 取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分。
代用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部
分的作用力。
平 建立留下部分的Leabharlann 衡条件，确定未知的内力。6
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• 内力的符号是为了表示杆件变形的不同方向，所以是按照变形 的方向规定的。另外，在这个规定的前提下，无论将杆件截开 后取左侧还是右侧一段计算内力，其符号是相同的。
• 1. 拉伸与压缩：轴力离开截面为正，反之为负。如图1所示。 • 2. 扭转：按右手螺旋法则判定。如图2所示。 • 3. 弯曲： • （1）剪力：使一段梁发生左上右下的错动为正，反之为负。
如图3所示。 • （2）弯矩：使一段梁发生上凹下凸的变形时为正，反之为
负。如图3所示。
轴力的符号
图1a所示轴力离开截面，即杆件为拉伸变形，轴力为正； 图1b所示轴力指向截面，即杆件为压缩变形，轴力为负。
F 轴力的符号：图F1Na所示F轴力离开截面， FN 即杆件为拉伸变形，轴力为正；图1b所 示轴力( a指) 向截面，即杆件为压(缩b ) 变形， 轴力为图 1负。
➢ 在集中力作用的截面上，剪力图有突变，变化值等于该集 中力的大小，弯矩图上由出现折角。
➢ 在集中力偶作用的截面上，剪力图无变化，弯矩图上有突 变，变化值等于该集中力偶的力偶矩的大小。
例4
例4 外伸梁受力如图所示，试画出其剪力图和弯矩图。
解：（1）根据梁的平衡条件求出梁的支座反力。
FA
qa 4
FB
MxCD=-MeD=-477 （N·m）
（3）根据各段扭矩画出扭矩图。 （4）A、B两轮调换后，扭矩图如图d所示。 显然，后一种布局方案较合理。
例3 悬臂梁受均布载荷作用，载荷集度为q，试建立 其剪力方程与弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：（1）将坐标原点取在梁的左端，建
立剪力方程和弯矩方程。
q
•
-FN3+20=0
• 所以 FN3=20（ kN ）
• （2）根据计算结果作出轴力图。
• （3）讨论：由以上计算过程可以看出，将 平衡方程中的外力都移至等号右端，则有
•
FN=ΣFie
• 也就是说，横截面上的轴力，等于其左侧
（或右侧）一段杆上所有外力的代数和。掌
握这一关系，有利于快速计算轴力并画出轴
常见载荷作用下剪力图和弯矩图的特点
➢ 若一段梁上无载荷（即q=0），则剪力图为水平直线，弯 矩图为倾斜直线。剪力为正时，弯矩图为向右上方倾斜的 直线，剪力为负时则弯矩图向右下方倾斜，剪力为零时弯 矩图成为水平直线。
➢ 若一段梁上作用着均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图 为二次抛物线。若均布力方向向下，则剪力图为向右下方 倾斜的直线，弯矩图为开口向下的抛物线，抛物线的顶点 的剪力等于零的截面。
例1 杆件受力如图所示,求指定截面上的轴力并画出轴力图。
• 解：（1）用截面法求内力。 • 沿截面1-1截开，由左侧一段的平衡，有
•
FN1+10=0
• 所以 FN1=-10（kN）
• 沿截面2-2截开，由左侧一段的平衡，有
•
FN2-40+10=0
• 所以 FN2=40-10=30（kN）
• 沿截面3-3截开，由右侧一段的平衡，有
3qa 4
（2）画剪力图。根据剪力与载荷集度间的 关系，梁的AB段上剪力图为水平直线，BD 段剪力图为斜直线。在截面C上由于有集中
扭矩的符号
• 图2a中，大拇指离开截面，扭矩为正； • 图2b中，大拇指指向截面，扭矩为负。
（a）
（b） 图2
剪力与弯矩的符号
图3-a中剪力使梁发生左上右下的错动，为正值；图3-b中剪力为负值； 图3-c中弯矩使梁发生上凹下凸的弯曲变形，弯矩为正值；图3-d中弯矩为负值。
（a）
（b）
（c） 图3
力图。
10KN 10KN 10KN
1 40KN 2 10KN 3
1
2
3
FN1
40KN FN2
20KN
FN 10KN
FN3
20KN
30KN
20KN
x
例2 传动轴如图a所示。主动轮A输入功率PA=40kW，从动轮B、C、D输出功率分 别为PB=20kW、PC= PD=10kW，轴的转速n=200r/min。（1）绘制该轴的扭矩图； （2）绘制轮A和轮B调换后（图c）轴的扭矩图；（3）说明轮子的两种布局方案 中哪个更合理。
FQ qx
x
M，画出剪 力图和弯矩图，如图所示。
ql
ql2 2
五 弯矩、剪力与载荷集度间的关系
在例3中，将弯矩方程对x求一阶导数，得
dM dx qx FQ
将剪力方程对x求一阶导数，得
dFQ q dx 也就是说，弯矩方程对x的一阶导数等于剪力方程；剪力方程对x的一阶导数 等于载荷集度。这一关系并非只存在于该问题中，而是普遍成立的一个规律。 根据导数的几何意义，以上关系表明：弯矩图上某点的切线的斜率，等于对 应截面上的剪力；剪力图上某点切线的斜率等于对应截面上的载荷集度。根 据这一规律，还可得到常见载荷下剪力图和弯矩图的特点。
➢内力计算是强度和刚度计算的基础。
二 截面法
• 杆件某一截面上的内力其实也可理解为该 截面两侧的两部分杆件之间的相互作用力， 因此，可假想地沿截面将杆件截开，由截 面左侧或右侧一段杆的平衡条件求得该截 面上的内力。基本步骤可概括为十二个字：
• “一截为二，弃一留一，平衡求力”。
三 内力符号的规定
解：（1）计算外力偶矩。根据公式 P
M e 9549 n 可求得各轮上的外力偶矩分别为
MeA=1910（N·m） MeB=955（N·m） MeC= MeD= 477（N·m）
（2）由截面法计算各段轴上的扭矩 MxAB=-MeA=-1910（N·m）
MxBC=-MeA+MeB=-1910+955=-955 （N·m）
（d）
四 内力图
➢内力图是指杆件横截面上的内力（轴力、 扭矩、剪力及弯矩）随截面位置变化情况 的图线，根据内力图可以很方便地确定出 危险截面的位置。
➢通过截面法求得各截面上的内力，即可画 出杆件的内力图。画内力图时，以平行于 杆件轴线的坐标轴表示截面位置，纵坐标 轴表示内力。
➢例题：例1 例2 例3 例4
内力·内力图
一 内力的概念 二 截面法 三 内力符号规定 四 内力图 五 弯矩、剪力与载荷集度间的关系
一 内力的概念
➢内力是构件内部各质点间的相互作用力。 材料力学中所说的内力，确切的说是指由 于受到外力作用而引起的内力的变化，即 “附加内力”。所以，若构件不受外力作 用，内力即为零。
➢材料力学中经常计算的是横截面上的内力， 它实际上是截面上分布内力的合力。