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数学物理方法 复变函数 第三章 幂级数

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03复变函数的幂级数展开

03复变函数的幂级数展开

数学物理方法

双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f
k 1

k
( z )一般收敛于
假设对应于点z∈ D，级数收敛于f(z)，即
f ( z) f k ( z)
k 1

那么f(z)称为级数的和函数。
数学物理方法

幂级数的定义
k 0
k a ( z z ) 形如 k 的级数称为以z0为中心的幂级数， 0
常数a0,a1,a2,…an，称为该幂级数的系数。
k 1 m 2m ka z ( 1) z k k 0 m0

1 m 2m (arctanz ) ( 1 ) z 2 1 z m 0
k 0

(1) m 1）当k为奇数时 a2 m1 2m 1
(m 0,1,2...)
2）当k为偶数时 a2m 0 (m 0,1,2...)
如果
如果
| ,称级数 w 是绝对收敛的 | w 是收敛的


| w
n 1 n 1
n 1
n
n
|是发散的，而
w 是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ敛的
n 1 n

n 1
n
称级数
w 是条件收敛的，
n
数学物理方法

复变函数项级数的定义
是区域D中的复变函数,如
设 f k ( z) (k 1,2,3,...) 下表达式

复变函数的幂级数表示

复变函数的幂级数表示

一 复变函数项级数 1 定义：设 f k (z )是区域D中的复变函数 则
f
k 1
k
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) ... f k ( z ) ...
称为复变函数项级数，称 Sn ( z) f k ( z) k 1 为级数的前n项和。
n
2 级数收敛和发散的定义：
f ( z)dz f
l l k 1

k
( z ) dz f k ( z )dz
k 1 l

3、幂级数在收敛圆内可逐项求导
f
(n)
( z) f
k 1

(n) k
( z)
3.2 解析函数的泰勒展开
一 定理表述及其证明
定理：设 f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析， 则对圆内的任意z点，f(z)可展为幂级数，
则（3.2.2）收敛，而（3.2.1）绝对收敛。
ck 引入记号 R lim c k k 1
，称为收敛圆半径。
R，则（3.2.1)
意义： ck 若 | z z0 | lim c k k 1 绝对收敛。
另一方面，若 | z z0 | R 则
| ck 1 || z z0 |k 1 ck 1 lim lim R 1 k | c || z z |k k c k 0 k
五、例题
例1 求 1 z z 2 z k 的收敛圆。 z 为复数
(k!) 2 k z 的收敛半径。 例2 （习题4.1.b）求 k 1 (2k!!)

1 k2 k 例3（习题4.1.c）求 (1 ) z 的收敛半径。 k k 1

zk 例4（简明教程35页）求 的收敛半径。 k 0 k!

数学物理方法复变函数第三章幂级数

数学物理方法复变函数第三章幂级数
阿贝尔判别法是通过对幂级数的部分 和进行估计来确定收敛半径的方法， 适用于幂级数的系数随幂次增加而趋 于零的情况。
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。

复变函数-幂级数

复变函数-幂级数

得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工 作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现 在正昂首以待...。”
可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉 里，一放了之。（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦 萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信。一气之 下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于1827年5 月20日回到了挪威。由于过渡疲劳和营养不良，在 旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症。当阿 贝尔去弗鲁兰与女朋友肯普（Christine Kemp）欢 度圣诞节时，身体非常虚弱，但他一边与病魔作斗 争一边继续进行数学研究。
(3)存在一点z1≠a,使级数收敛(此时,根据定理4.4 的第一部分知,它必在圆周|z-a|=|z1-a|内部绝对收 敛),另外又存在一点z2,使
发散.(肯定|z2-a|≥|z1-a|);根据推论4.4知,它必在 圆周|z-a|=|z2-a|外部发散.)
在这种情况下,可以证明,存在一个有限正数R, 使得级数(4.3)在圆周|z-a|=R内部绝对收敛,在 圆周|z-a|=R外部发散.R称为此幂级数的收敛半 径;圆|z-a|<R和圆周|z-a|=R分别称为它的收敛 圆和收敛圆周.在第一情形约定R=0;在第二情 形,约定R=+∞,并也称它们为收敛半径.
y
z.2
.
R
z1
o
收敛圆 收敛半径
x 收敛圆周
幂级数 cnzn的收敛范围是以a点为中心的圆域.
n0
问题1: 幂级数 cn(z a)n的收敛范围是何区域?
n0
答案: 是以 z a 为中心的圆域.
问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
注意 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出 一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.

数学物理方程第三章幂级数展开

数学物理方程第三章幂级数展开

1, 1t
t i,
(1 1 t)(n )t i n !(1 1 i)n 1 n !(1 2 e 4 i)n 1 n !2 n 2 1 e (n 4 1 )i
2022/1/233
阜师院数科院
第24页，本讲稿共41页
1 2n2 1e(n41)i(ti)n.
1t n0
Rln i(m an)1/nln im 2n2 1e(n41)i 1/n2
则圆上的幂级数为
C' C
z
z0
() a 0 a 1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 )2
而
1
1
2i z
有界，
利用柯西公式得
2 1 iC ' ( z )d 2 1 iC 'a 0z0 d 2 1 iC 'a 1 ( z z0 )d 2 1 iC 'a 2 ( z z0 )2 d
ak (z z0) k
k0
(3.2.2)
满足
lk i m akak1zz zz0 0kk1lk i m aakk1 zz0 1
则实幂级数 (3.2.2) 收敛，且复幂级数 (3.2.1) 绝对收敛。
2022/1/23
阜师院数科院
第10页，本讲稿共41页
lk i m akak1zz zz0 0kk1lk i m aakk1 zz0 1
k 1
收敛圆 z 1
实际上对于
z 1 1 z2 z4 ( 1 )kz2 k 1 1 z2
4. 幂级数的积分表示
利用柯西公式
在一个比收敛圆 C 内稍小的圆 C’ 中幂级数绝对一
致收敛，故可沿这个圆逐项积分。
2022/1/23
阜师院数科院
第14页，本讲稿共41页

复变函数的幂级数展开

复变函数的幂级数展开

数学物理方法

双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f 1 ( z) f 2 ( z) f 3 ( z) ... f k ( z) ...
称为复变函数项级数,记为 为级数的前n项部分和.
f
k 1

k
( z ) ,称 S n ( z )
f
k 1
n
n
( z)
数学物理方法
级数收敛和发散的定义
S n ( z0 ) 存在,则称级数 若对于z0∈ D,极限nlim 在z0处收敛; S n ( z0 )不存在,则称级数 若极限 nlim 处发散.
1 2 1 3 1 4 (1) z z z z ... 2 3 4 k
k 1
z ...
数学物理方法
k
例3.7 将 f(z)=arctan z在z=0处展开成Taylor级数
解：设 arctanz ak z
k 0 k
(arctanz ) kak z k 1
函数 f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开
z z (1) z (1) z cos z 1 ... ... 2! 4! (2n)! (2n)! n 0
2 4 n 2n n
2n
数学物理方法
§3.3洛朗级数展开

补充：问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定 理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。 问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展 开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。

数学物理方法电子教案第三章

第三章 幂级数展开§3.1 复数项级数(一) 复数项级数 1.复数项级数定义 复数项级数：()1.1.3..., (211)++++=∑∞=k k kw w w w，级数中每一项都可分为实部和虚部k k k iv u w +=那么，∑∑∑∞=∞=∞=+=111k k k k k k v i u w 即一个复数项级数可以用两个实数项级数来表示。

这样，实数项级数的许多性质都可以用到复数项级数中。

2. 复数项级数收敛的柯西判据复数项级数(3.1.1)收敛的充分必要条件是，对于任一给定的正数ε，必有N 存在，使得n>N时，,1ε<∑++=pn n k kw其中，p 为任意正整数。

3. 复数项级数的绝对收敛如果复数项级数(3.1.1)各项的模(正实数)组成的级数)3.1.3( (1)221∑∑∞=∞=+=k k k k kv u w收敛，就把复数项级数(3.1.1)叫做绝对收敛。

◆ 绝对收敛的复数项级数必是收敛的◆ 绝对收敛的级数各项先后次序可以改变，其和并不因此改变。

4. 两个绝对收敛的复数项级数之积仍然绝对收敛n n m mk kk k q pqp •=•∑∑∑∞=∞=∞=1,11(二) 复变项级数(函数项级数) 1. 复变项级数定义()()()()()6.1.3..., (2)11++++=∑∞=z w z w z w z w kk k它的各项是z 的函数。

2.复变项级数收敛如果在某个区域B (或某根曲线 l )上所有的点，级数(3.1.6)都收敛，就叫做在B (或l )上收敛。

3.复变项级数收敛的柯西判据及一致收敛复变项级数(3.1.6) 在某个区域B (或某根曲线 l )上收敛的充分必要条件是，在B (或l )上各点z, 对于任一给定的小正数ε，必有()εN 存在，使得()εN n >时，(),1ε<∑++=pn n k kz w 式中p 为任意正整数。

复变函数解析函数的幂级数表示法


又 n (a n a ) i (bn b ) (a n a ) 2 (bn b ) 2 an a n 故 a n a , bn b. lim lim
n n
bn b n
n 0 n n 0

n 0
3. 收敛圆与收敛半径
由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况：
(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处 处收敛。 (ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。
( iii ) 0, 使 得 cn n收 敛,
4. 收敛半径的求法
1 / 0 cn1 定理2 若 lim ，则 R 0 (比值法) n cn 0 cn 1 z n 1 cn 1 证明 ( i ) 0, lim lim z z n n n c cn z n 1 当 z 1时,即 z 时, cn z n绝 对 收 敛 ；
---级数的部分和 若z0 D lim sn ( z0 ) s( z0 ), 称 级数 1)在z0收 敛, (
n
其 和为 ( z0 ), sn ( z0 )不 存在 ， 称 级数 )发 散, s lim (1
n
若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数
s( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )＋ ---级数(1)的和函数
n 1 n 1 n 1 n 1
2 2 证明 n an ibn an bn 2 2 an an bn , 2 2 bn an bn
n n

数学物理方法第3章幂级数-2016


1. 根式法 2.比值法 3.奇点法 4.逐项微分或逐项积分法
44
1. 根式法

由根式判别法可知，若 (3.2.4)
(3.2.5)
45
46
2. 比值法

由比值判别法得
(3.2.7)
47
3. 奇点法

既然幂级数在收敛圆内解析(见幂级数在收敛 圆内的性质1)，因此幂级数在收敛圆周上或 在收敛圆周外(无限接近收敛圆周）必有奇 点．

若级数 则称级数
在z点收敛， 在z点绝对收敛.
9
2. 绝对收敛级数的判别法

级数
的每一项是正实数，故
绝对收敛的判别法就是正项级数的判别法:

达朗贝尔(d’Alembert)判别法;
柯西判别法; 高斯(Gauss)判别法
10


11
3. 绝对收敛级数的性质

绝对收敛级数可随意交换各项的次序，所得 级数仍绝对收敛且级数和不变． 两个绝对收敛级数 和 可逐项相乘，所得级数仍为绝对收敛级数， 且收敛于S'S" ，即

由魏尔斯特拉斯定理可得， 在D内解析，且可逐项求导任意多次． 这表明，幂级数 代表一个解析函数
42

在收敛圆内
性质2 幂级数可沿收敛圆内任意曲线 l 逐项积分

证明 既然幂级数在收敛圆内满足一致收敛级数性 质2要求的条件：

(1)、幂级数在收敛圆内的任意曲线l 上一致收敛于 S(z)(根据阿贝尔定理）；

则称
在D(或l上)一致收敛于S(z)．
注意： N(e) 与 z 无关。
16
设级数
定义在区域D(或曲线l)上．
2. 级数一致收敛的充要条件： 任给 e>0，存在与z无关的正整数N(e)，使当 n>N(e)时，对任意自然数p,有

第三章 幂级数展开


f (z) ak (z z0 )k k
其中 ak
1
2i
C
(
f
( ) d
z0 ) k 1
，C
为环域
R2
z z0
R1
内任意闭曲线，积分沿逆时针。
证明：如图 3.3 所示，对任意给定的 z R2 z z0 R1，
总存在 R2 R2 R1 R1 ，使得 z R2 z z0 R1 ，
f (z) 1
f ( )d
2i CR1 z
1
1
1
1
z ( z0 ) (z z0 ) ( z0 ) 1 z z0
z0
z
在
C R1
内部，
在
C R1
上，
z
z0 z0
1
1 z
1 z0
k 0
z
z0 z0
k
z z0 k k0 z0 k1
Ñ f (z) 1
k0 (2k )!
例 3. 在 z0 1的邻域上把 f (z) ln z 展开为泰勒级数。
解： f (z) ln z 的奇点为 z 0 ，所以其泰勒级数的收
敛圆为 z 1 1，收敛半径为 R 1
f (1) ln1 2ni
f (z) 1 ， f (1) 1， f (z) 1 ，
z
3! 5! 7!
sin z
如果定义：
f
(z)
z
z0
1
z 1
则： f (z) 在整个复平面上解析，其泰勒级数为：
f (z) 1 1 z2 1 z4 1 z6 3! 5! 7!
例
2.
在 z0
1的邻域上把函数
f (z)
1 (z 1)( z 2)
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