第三章幂级数展开

第三章 幂级数展开ξ3.1 复数项的级数一．复数的无穷级数可表示为：121kk n k ww w w w ∞==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∑ （1）其中：k k w u iv =+前n 项和为：11nn k k n k s w w w w w ===++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∑=11nnkkk k ui v ==+∑∑当n →∞时级数：n s →级数：1kn w∞=∑故111n kkk k k k w u i v ∞∞====+∑∑∑一个复数项级数可分解为实部项级数可虚部项级数两个级数的组合收敛问题是线性讨论级数的一个重要方面，而复数项级数的收敛问题可以归结为两个实数项级数（实部和虚部）的收敛 1. 柯西收敛判据：一个级数还可写为：11kn kk k n ws w∞∞=≠+=+∑∑ （4）其中n s 是钱n 项和1kk n w∞≠∑为余项判据：任何一个小正数ξ>0 若能找到一个N 使得n>N 时1n pkk n wξ+=+<∑则称1kn w∞=∑收敛，其中p 为任意整数 2. 绝对收敛若11kk k w∞∞===∑∑是收敛的，则1kk w∞=∑绝对收敛两个敛的级数相乘后所得的级数耶是绝对收敛的，其和等于相乘级数和的乘积二．复变项级数（复变函数项级数） 1．函数项级数一般表示为：121()()()()kkk w z w z w z w z ∞==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅∑ （5）函数项级数的收敛问题得涉及到z 的取值域，若z 在B 上取值是（5）收敛，则称1()kk w z ∞=∑在B 上收敛。

B 称为1()kk w z ∞=∑的收敛域函数项级数也可表示为：111()nkkkk k k n w z ww∞∞===+==∑∑∑ （6）2. 函数项级数的收敛 如在B 上，对于个点z任意给0ξ>，若存在N 使得n>N 时有1n pkk n wξ+=+<∑则称级数1()nkk w z =∑在B 上一致收敛3.收敛级数性质（1）在B 上一致收敛的函数项级数的每一项都是B 上的连续函数 （2）在B 上一致收敛的函数项级数的每一项都可积分⇒逐项积分 (3) 若有()k k w z m ≤，而1kk m ∞=∑是收敛的，则()kw z ∑绝对且一致收敛ξ3.2 幂级数最典型也最常见的级数——即级数的各项都是幂函数2001020()()()k k k a z z a a z z a z z ∞=-=+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑ (1) 其中0z 、0a 、1a 、2a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是复常数，这一的级数叫做以0z 为中心展开的幂级数 一.级数收敛判别法1. 比值判别法（达朗贝尔判别法）： 若：110100lim lim1k k k kk k kka z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- （3）则（2）正项级数收敛，亦即级数（1）绝对收敛 2. 根值判别法若：1k < （4）则级数（2）收敛，亦即级数（1）绝对收敛3. 收敛域和收敛半径函数级数的收敛问题（从根本上）具体要涉及的是收敛u 的问题即，z 在什么样的范围内取值级数是收敛的，收敛判别法本身给出了z 的取值范围： 由判别法“1”：01l i m kk k a z z a →∞+-< (5)则 1limkk k a R a →∞+= （6）为级数（1）的收敛半径 只要满足0z z R -< 的所有点其级数（1）都收敛则以0z 为中心R 为半径的区域是（1）的收敛区域，对应圆称（1）的收敛圆。

数学物理方法_第三章_幂级数展开幂级数展开是数学物理中常用的一种方法，它是通过使用幂级数来表示一个函数，从而方便对函数进行近似计算和分析。

在许多问题中，幂级数展开可以简化计算的复杂性，帮助我们更好地理解问题的本质。

幂级数是一个无穷级数，形式为：f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+...其中，a0、a1、a2...是常数系数，x0是展开点。

幂级数展开可以将一个任意函数表示成一个级数，进而通过截断级数的方式来近似求解。

这种展开方法在物理学和工程学中得到广泛应用。

幂级数展开的理论基础是泰勒级数展开，泰勒级数展开是幂级数展开的一个特殊情况。

泰勒级数展开是指将任意可导函数在其中一点x0附近展开成幂级数。

泰勒展开的前n+1项可以用n阶导数来表示，形式如下：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+f'''(x0)(x-x0)^3/3!+...+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+...幂级数展开的应用非常广泛，它在数学、物理、工程学和计算机科学中都有着重要的地位。

以下是幂级数展开的几个典型应用：1.函数逼近幂级数展开是一种有效的函数逼近方法。

通过截断幂级数，我们可以用其前几项来近似计算函数的值。

这对于高阶函数和复杂函数来说是非常有用的，因为我们可以通过截断级数来减少计算的复杂性。

2.微分方程的求解使用幂级数展开的方法可以求解一些特定的微分方程。

对于一些微分方程，无法找到解析解，但通过将解展开成幂级数的形式，可以将微分方程转化为代数方程，从而求得解的逼近解。

3.近似计算幂级数展开是一种常用的近似计算方法。

通过截取幂级数的前几项，我们可以将一个复杂的函数近似成一个简单的形式，从而方便我们进行数值计算。

4.解析几何的研究在解析几何中，幂级数展开是研究曲线和曲面的重要工具。

通过展开曲线或曲面，我们可以对其性质进行分析和计算，帮助我们更好地理解几何问题。

第三章 幂级数展开3-1 3-2 3-3 幂级数一、复数项级数∑∞=1n n w， n n n iv u w +=二、幂级数()∑∞=-10n n n z z a 收敛半径：1/lim +∞→=n n n a a R 三、泰勒级数()()()()n n n z z z f n z f 000!1-=∑∞=3-4 解析延拓一、解析延拓的含意解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。

替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。

二、解析延拓的唯一性无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。

3-5 罗朗级数一、罗朗级数若()z f 在102R Z Z R <-<内单值解析，则对该区域上任一点可展开为()()()()n n n n n n n n n z z a z z a z z a z f 00010-+-=-=∑∑∑∞=--∞=∞-∞= 罗朗级数主要部分 解析部分()()ξξξπd z f i a C n n ⎰+-=110 21二、关于罗朗级的说明● 0z 是级数的奇点，但不一定是()z f 的奇点。

● ()()!/0n z f a n n ≠● 若仅有环心是()z f 的奇点，则内园半径可任意小。

● 罗朗级数具有唯一性。

三、例例1 将()z z f sin =，∞<z ，展开为罗朗级数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-= 753!71!51!31x x x x s i x 解 +-+-=753!71!51!31s i n z z z z z 例2 在∞<<z 1的环域上将函数()()1/12-=z z f 展开为罗朗级数。

()()1111--=-=x x x f 1≠x ()10=f()()21--='x x f ()10='f()()312--=''x x f ()20=''f()()41!3--='''x x f ()!30='''f()()()()11!+--=n n x n x f ()()!0n f n =()∑∞==++++++=-03211/1n n n x x x x x x ()()()∑∞=-=+-++-+-=+0321111/1n n nn n x x x x x x 解 nn z z z z z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-02222211111111 ++++=86421111zz z z例3 在10=z 的邻域上将函数()()1/12-=z z f 展开为罗朗级数。

第三章幂级数展开函数有精确表示和近似表示：精确表示（解析表示）表示为初等函数通过四则运算；近似表示：逼近 -近似表示为初等函数通过四则运算；级数表示 -表示为一个函数级数。

函数级数表示的意义：利用级数计算函数的近似值； 级数法求解微分方程；以级数作为函数的定义；奇点附近函数的性态。

§3.1 复数项级数（一）复数项级数的概念 ++++=∑∞=k k k w w w w210kk k v u w i +=级数是无穷项的和, 复无穷级数 ()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+=+=0000k k k k k k k k k v i u iv u w 原级数成为 ∑∞=0k k w ∑∞=0k k u ∑∞=0k k v 这样复级数 归结为两个实级数 与 ， 实级数的一些性质可移用于复级数。

（二）收敛性问题1、收敛定义：2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）： 对于任给的小正数 ε 必有N 存在，使得 n>N 时，,1ε<∑++=p n n k k w ,0∑==nk k n w S 前n+1项和当n → ∞，有确定的极限， 便称级数收敛， S 称为级数和；若极限不存在，则称级数发散。

n n S S ∞→=lim3、绝对收敛级数若 收敛，则 绝对收敛. ∑∑∞=∞=+=1220||k k k k k v u w ∑∞=0k k w , ,00B q A pk k k k ==∑∑∞=∞=ABc q p q p n n k l lk k k k k ===⋅∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=00000∑-=nkn k n q p c 绝对收敛级数改变先后次序，和不变.两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两级数和之积.(三) 复变项级数++++=∑∞=)()()()(210z w z w z w z w kk k 的每一项都是复变函数。

实际上，对于 z 的一个确定值，复变项级数变成一个复数项级数。