向量自回归模型（VAR ）与
向量误差修正模型（VEC ）
§7.1 向量自回归模型（VAR(p)）
传统的经济计量学联立方程模型建摸方法, 是以经济理论为基础来描述经济变量之间的结构关系，采
用的是结构方法来建立模型，所建立的就是联立方程结构式模型。这种模型其优点是具有明显的经济理论含义。但是，从计量经济学建摸理论而言，也存在许多弊端而受到质疑。
一是在模型建立之处，首先需要明确哪些是内生变量，哪些是外生变量，尽管可以根据研究问题和目的来确定，但有时也并不容易；
二是所设定的模型，每一结构方程都含有内生多个内生变量，当将某一内生变量作为被解释变量出现在方程左边时，右边将会含有多个其余内生变量，由于它们与扰动项相关， 从而使模型参数估计变得十分复杂，在未估计前，就需要讨论识别性；
三是结构式模型不能很好地反映出变量间的动态联系。
为了解决这一问题，经过一些现代计量经济学家门的研究，就给出了一种非结构性建立经济变量之间关系模型的方法，这就是所谓向量自回归模型（Vector Autoregression Model ）。VAR 模型最早是1980年，由C.A.Sims 引入到计量经济学中，它实质上是多元AR 模型在经济计量学中的应用，
VAR 模型不是以经济理论为基础描述经济变量之间的结构关系来建立模型的，它是以数据统计性质为基础，把某一经济系统中的每一变量作为所有变量的滞后变量的函数来构造模型的。它是一种处理具有相关关系的多变量的分析和预测、随机扰动对系统的动态冲击的最方便的方法。而且在一定条件下，多元MA 模型、ARMA 模型，也可化为VAR 模型来处理，这为研究具有相关关系的多变量的分析和预测带来很大方便。 7.1.1 VAR 模型的一般形式
1、非限制性VAR 模型（高斯VAR 模型）,或简化式非限制性VAR 模型
设12(...)t t t kt y y y y '=为一k 维随机时间序列，p 为滞后阶数，12(...)t t t kt u u u u '=为一k 维随机扰动的时间序列，且有结构关系
(1)(1)(1)(2)(2)(2)111111221111112122212()()()11112211(1)(1)(1)(2)(2)2211122212121122222................t t t k kt t t k kt p p p t p t p k kt p t t t t k kt t t y a y a y a y a y a y a y a y a y a y u y a y a y a y a y a y --------------=+++++++++++++=++++++(2)22()()()21212222(1)(1)111.............................................................................................................................k kt p p p t p t p k kt p t
kt k t k a y a y a y a y u y a y a -----+++++++=+(1)(2)(2)(2)
2211112122212()()()
1122............t kk kt k t t k kt p p p k t p k t p kk kt p kt y a y a y a y a y a y a y a y u --------⎡⎢
⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢+++++++⎢⎢+++++⎢⎣
1,2,...,t T = （7．1．1） 若引入矩阵符号，记
()()()11121()()()21222()()()12......,1,2,...,........................................i i i k i i i k i i i i k k kk a a a a a a A i p a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
可写成 1122...t t t p t p t y A y A y A y u ---=++++，1,2,...,t T = （7．1．2） 进一步，若引入滞后算子L ，则又可表示成
(),1,2,...,t t A L y u t T == （7. 1. 3）
其中: 212()...p
k p A L I A L A L A L =----,为滞后算子多项式.
如果模型满足的条件: ①参数阵0,0;p A p ≠>
②特征方程 212det[()]...0p
k p A L I A L A L A L =
----=的根全在单位园外；
③~(0,)t u iidN ∑，1,2,...,t T =，即t u 相互独立，同服从以()0t E u =为期望向量、
ov()()t t t C u E u u '==∑为方差协方差阵的k 维正态分布。这时，t u 是k 维白噪声向量序列，由于t u 没有
结构性经济含义，也被称为冲击向量；()()0,1,2,...t t j t t j Cov u x E u x j --''===，即t u 与t x 及各滞后期不相关。则称上述模型为非限制性VAR 模型（高斯VAR 模型）,或简化式非限制性VAR 模型。 2、受限制性VAR 模型，或简化式受限制性VAR 模型
如果将12(...)t t t kt y y y y '=做为一k 维内生的随机时间序列，受d 维外生的时间序列12(..)t t t dt x x x x '= 影响（限制），则VAR 模型为
1122...t t t p t p t t y A y A y A y Dx u ---=+++++，1,2,...,t T = （7．1．4） 或利用滞后算子表示成
(),1,2,...,t t t A L y Dx u t T =-+= （7. 1. 5）
