分形算法与程序设计PPT
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《分形理论及其应用》课件
群算法等，这些算法在人工智能领域有重要的应用价值。
03
分形在机器学习中的应用
分形理论在机器学习中也有一定的应用价值，如分形神经网络、分形特
征提取等，这些方法有助于提高机器学习的性能和效率。
05
分形理论的未来展望
分形理论与其他学科的交叉研究
物理学
分形理论在物理学的多个领域，如混沌理论、量子力学和统计物理中有着广泛的应用。通过与其他学科的交叉研究， 可以进一步揭示分形现象的本质和规律。
分形在时间序列分析中的应用
时间序列数据中往往存在分形现象，利用分形理论可以更准确地预测和分析时间序列数据 的未来趋势。
分形在人工智能领域的应用
01
分形在计算机图形中的应用
分形理论在计算机图形学中有着广泛的应用，如分形图像的生成、分形
自然现象的模拟等。
02
分形优化算法
分形理论为优化算法的设计提供了新的思路和方法，如遗传算法、粒子
在规律。
迭代函数系统由一组压缩映射和 转移函数组成，通过迭代地应用 这些函数，可以生成复杂的分形
图形。
分数布朗运动
分数布朗运动是一种随机过程，其轨 迹具有分形结构。
分数布朗运动通过随机游走的方式， 在时间和空间上呈现出连续但非光滑 的轨迹，具有长期依赖性和自相似性 等特征。
它模拟了布朗运动的特性，但适用于 描述具有非整数维度的分形现象。
分形理论在解决实际问题中的应用前景
图像处理
增强等方面具有优异的表现。 随着数字图像处理技术的发展 ，分形理论在图像处理领域的 应用前景将更加广阔。
分形理论在处理非线性数据和 预测复杂系统行为方面具有独 特的优势。在金融、气象、交 通等领域，分形理论可以帮助 我们更好地理解和预测数据的 内在规律和趋势。
分形算法与程序设计
分形算法与程序设计分形算法与程序设计什么是分形算法分形（fractal）是指一种可以无限递归并且具有自相似性质的几何形态。
分形算法就是通过迭代或递归的方式这种具有自相似性质的形态。
分形算法在计算机图形学、自然科学、金融等领域都有广泛的应用。
分形算法的一个关键特点是无限递归。
通过不断重复某一操作，可以出越来越复杂的形态。
具体操作可以是平移、缩放、旋转、映射等，这些操作可以用数学公式来表示。
分形算法的应用分形算法在计算机图形学中常常用来逼真且具有自然形态的图像。
通过合理的选择和组合不同的分形形态，可以出树形、云彩、地形等各种自然物体的效果。
在自然科学中，分形算法被用来模拟自然界的形态和现象。
分形可以用来模拟山脉的地形，叶子的纹理，云朵的形态等。
这些模拟能够帮助科学家更好地理解和研究自然现象。
，分形算法也被应用于金融领域。
通过分形理论，可以研究金融市场的波动和风险。
分形模型可以揭示金融市场中的自相似性和奇异性，从而提供更准确的预测和分析。
分形算法的程序设计分形算法的程序设计主要包括以下几个方面：1. 定义分形形状在程序设计中，需要明确要的分形形状的特征。
这包括形状的起始位置、大小、旋转角度等。
可以通过数学公式、迭代或递归的方式来定义分形形状。
2. 分形的迭代或递归分形形状的关键是迭代或递归的过程。
通过重复应用某一操作，可以越来越复杂的形态。
迭代或递归的次数决定了分形的细节程度。
3. 分形的绘制绘制分形形状可以使用计算机图形库或者绘图软件来实现。
根据分形形状的定义和迭代或递归的过程，可以计算出每个点的坐标，并将其绘制出来。
4. 分形的优化分形算法的性能优化是程序设计中的一大挑战。
由于分形的迭代或递归过程非常复杂，很容易导致程序运行时间过长或者内存消耗过大。
可以通过优化算法、并行计算等手段来提高分形算法的效率。
分形算法是一种通过迭代或递归的方式具有自相似性质的形态的算法。
它在计算机图形学、自然科学、金融等领域都有广泛的应用。
计算机本科毕业论文PPT - 三维分形图生成算法的研究及程序实现
2. 递归算法——生成三维图形
Visual C++环境下生成三维Sierpinski海绵及其变形的研究 1 离散的海绵 若在控制立方体生成的函数中将立方体边长统一减小， 则生成的小立方体会缩小，不能再连结起来，整个海 绵就呈离散状态。 2带锯齿的海绵 如果使生成立方体的某一个角向外延伸，不断循环后， 将会使某一侧面的许多角向外，呈锯齿状；如果凸出 较长，则呈尾巴状。 3彗星与流星 将离散的海绵与带锯齿的海绵结合， 可以生成拖着长长尾巴的彗星与流星图形。
ax 1 by 1 e x 1 ' ' ax 2 by 2 e x 2 ' ax by e 植物形态
相似变换与仿射变换 相似变换是指在各个方向上变换的比率必须相同的一种比例变换，仿 射变换是指在不同方向上变化的比率可以不同的一种比例变换。 二维仿射变换的数学表达式为：
x' ax by e x r1 cos1 r2 sin 2 x e : 或 r sin 2 y f 1 r2 cos y 1 y' cx dy f
迭代函数系统的基本思想为：在仿射变换的意义下，几何对象的局部 与整体具有自相似的结构。根据这种自相似性，从一个点或一个简单 的几何图形出发，按一定的规则迭代，一生二，二生三，三生万物， 直到生成一幅复杂的图像。最终得到的目标点集与初始点集无关，而 只取决于迭代的规则，即一组仿射变换的系数，这一图像生成系统称 为迭代函数系统。
3. IFS迭代算法——模拟三维植物形态
用拼贴法确定IFS码 利用IFS方法生成分形图的关键是找出图形所对应的IFS码。
初中数学分形课件
混沌一开， 乾坤乃定。 历经无数分叉路， 柳暗花明见新村。 教育立国， 科技兴邦， 两个强劲吸引子， 交织出一幅美丽分形。 万众协同， 应变持恒。 依凭超循环作用， 借助蝴蝶效应， 向着同宿点， 奋起马蹄奔前程。
(付新楚(1961- )《混沌寄情》)
现科学之美， 探复杂之谜， 映射突变， 分形遇与混沌帝。 马蹄迭代驱寂寞， 落霞覆涟漪， 斑图指进临境， 连络廿一世纪。 (刘华杰）
谢 谢 欣 赏 ！
分形的应用领域
数学中的动力系统等;
物理中的布朗运动,流体力学中的湍流等; 化学中酶的构造等;
生物中细胞的生长等;
地质学中的地质构造等;
天文学中土星光环的模拟等;
其它:计算机,经济学,社会学,艺术等
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
随机Koch曲线 ——对海岸线的模拟
分形树叶
分形树叶(续1)分形树Fra bibliotek(续2)分形树叶(续3)
花草树木(L 系统）的一个例子
一些分形图片:
（
Z n1 Z c
2 n
（
z 和 c 都是复数）
蝴蝶函数： 花函数：
洛伦兹吸引子
函数图形(天鹅)是帮加莱截面映射
图形(稻草)是描述植物生长的PL规则图案
/
与分形有关的诗
幻境风云起，人间纷扰多。 醉弄光影躯，轻舞自婀娜。 (宋爽)
分念成形窥色相，共灵显迹化虚无。 出有入无成妙道，分形露体共真源。 (摘自《慧命经· 化身图释词》)
第一步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第2步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第3步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第4步
Koch曲线
分形算法与程序设计PPT
分形作为一种方法，在图形学领域主要是利用迭代、递归等技
术来实现某一具体的分形构造。 分形几何学与计算机图形学相结合，将会产生一门新的学科 — —分形图形学。它的主要任务是以分形几何学为数学基础，构造非规 则的几何图素，从而实现分形体的可视化，以及对自然景物的逼真 模拟。
参考书：《分形算法与程序设计》 9
想用此词来描述自然界中传统欧几里得几何学所不能描述的一大
类复杂无规的几何对象。
参考书：《分形算法与程序设计》
2
1.2 分形的几何特征
自相似性
自相似，便是局部与整体的相似。
自仿射性
自仿射性是自相似性的一种拓展。如果，将自相 似性看成是局部到整体在各个方向上的等比例变 换的结果的话，那么，自仿射性就是局部到整体 在不同方向上的不等比例变换的结果。前者称为 自相似变换，后者称为自仿射变换。
第
2章
分形图的递归算法
2.1 Cantor三分集的递归算法 2.2 Koch曲线的递归算法
2.4 Hilbert-Peano曲线的算法
2.5 分支结构分形递归算法
2.6 分形树递归算法
2.3 Sierpinski垫片的递归算法
参考书：《分形算法与程序设计》
10
递归算法
u 直接递归调用的例子如下：
2.1 Cantor三分集的递归算法
13
2.2 Koch曲线的递归算法
算法：Koch(ax,ay,bx,by,c)
标题：Koch曲线的递归算法
参数：c（终止递归的小量） PI（π值） 函数：plot(x1,y1) –(x2,y2) （画直线函数） sin( ) （正弦函数） cos( ) （余弦函数） ArcTan( ) （反正切函数） sqrt( ) （开平方函数）
分形算法与程序设计(一)2024
分形算法与程序设计（一）引言概述：分形算法与程序设计是一个有趣且复杂的领域，在计算机科学和数学中有着广泛的应用。
分形是一种自相似的几何形状，可以通过迭代的方式生成复杂的图案。
本文将介绍分形算法的基础知识，并探讨如何使用程序设计实现分形图案的生成。
正文：一、分形算法的基础概念1.1 分形几何的定义和特征1.2 分形算法的基本原理1.3 分形维度的计算方法1.4 分形图案的生成方法1.5 分形算法与自然界的应用二、分形图形的生成算法2.1 基于迭代的分形算法2.1.1 谢尔宾斯基三角形的生成2.1.2 曼德博集合的计算2.1.3 Julia集的绘制2.1.4 Barnsley蕨叶的生成2.2 基于分形函数的图像生成算法2.2.1 分形管弦乐2.2.2 朱利亚集合的绘制2.2.3 曼德博集合的计算2.2.4 Barnsley蕨叶的生成2.2.5 伪随机分形的生成三、分形算法在图像处理中的应用3.1 分形压缩算法3.2 分形编码算法3.3 分形噪声生成3.4 分形纹理生成3.5 分形图案的艺术应用四、分形算法的性能优化方法4.1 迭代次数的控制4.2 并行计算加速技术4.3 分形图像的存储和渲染优化4.4 数据结构的选择和优化4.5 算法参数的优化和调整五、分形算法与程序设计的挑战与思考5.1 分形算法的时间复杂度分析5.2 分形算法的空间复杂度分析5.3 算法的收敛性和稳定性问题5.4 分形算法的扩展性和可移植性问题5.5 未来发展方向和应用前景展望总结：通过本文的介绍，我们了解到分形算法与程序设计的关系和应用，并深入探讨了分形算法的基础概念、生成算法、应用领域、性能优化方法以及算法设计中的挑战与思考。
分形算法不仅在数学和计算机领域有着重要的地位，还在图像处理、艺术创作等领域发挥着重要作用。
希望本文能对读者深入理解分形算法与程序设计提供一定的指导和启发。
算法与程序设计教学案例分析幻灯片PPT
课程教学课程标准课程标准教材建设教学与学习课程内容与要求的顶层设计课程内容与要求的顶层设计教学内容体系教学方式评价方式的二次设计教学内容体系教学方式评价方式的二次设计以课为单元的内容体系教学评价的实施与创新以课为单元的内容体系教学评价的实施与创新教材变通修订课程教学10教学模式基本框架以学生为中心发挥其主动性创造性侧重讲怎么做力求少而精施行过程考核重视平时成绩以教师为中心学生处于被动地位以讲授为主灌输教材内容强调知其然也要知其所以然记录平时成绩重在期未考试按章节由教师指定作业或练习建构主义模式传统模式11引入情景提出核心问题问题的分析与解决老师引导与促迚提炼与总结知识深化迁移12算法与程序设计模块与高中数学课程中的有关内容有密切联系本课程在时间安排上和教学内容上应该注意与数学课程中相关内容的衔接
谢谢
精品文档优质文档 仅供学习
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• 以讲授为主，灌输教 材内容
• 强调“知其然，也要 知其所以然”
• 讲课为主，辅以实验
• 记录平时成绩，重在 期未考试
• 按章节由教师指定作 业或练习
课堂组织流程
引入情景，提出核心问题 问题的分析与解决 老师引导与促进 提炼与总结 知识深化（迁移）
课程的开设后所遇问题与展望
《算法与程序设计》模块与高中数学课程中的 有关内容有密切联系，本课程在时间安排上和教学 内容上应该注意与数学课程中相关内容的衔接。在 教学中，要强调理论与实践的结合，引导学生注意 寻找、发现身边的实际问题，进而通过设计算法并 编制程序去解决这些问题。要注意发现对程序设计 有特殊才能的学生，根据具体情况在课外为他们提 供充分的发展空间。要搞好本模块的教学工作，就 必须做好以下几个方面的工作？
课程的开设后所遇问题与展望
4、如何评价？可以采用平时表现、实验作品、 集中测试、获奖等内容相结合的方法来对学生进行 评价。具体的评价方法可以采用对以上各项加权平 均的办法来确定学生的最终成绩。可以根据实际情 况来制定评价涉及到的具体内容和各自的权值。
谢谢
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• 以讲授为主，灌输教 材内容
• 强调“知其然，也要 知其所以然”
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• 记录平时成绩，重在 期未考试
• 按章节由教师指定作 业或练习
课堂组织流程
引入情景，提出核心问题 问题的分析与解决 老师引导与促进 提炼与总结 知识深化（迁移）
课程的开设后所遇问题与展望
《算法与程序设计》模块与高中数学课程中的 有关内容有密切联系，本课程在时间安排上和教学 内容上应该注意与数学课程中相关内容的衔接。在 教学中，要强调理论与实践的结合，引导学生注意 寻找、发现身边的实际问题，进而通过设计算法并 编制程序去解决这些问题。要注意发现对程序设计 有特殊才能的学生，根据具体情况在课外为他们提 供充分的发展空间。要搞好本模块的教学工作，就 必须做好以下几个方面的工作？
课程的开设后所遇问题与展望
4、如何评价？可以采用平时表现、实验作品、 集中测试、获奖等内容相结合的方法来对学生进行 评价。具体的评价方法可以采用对以上各项加权平 均的办法来确定学生的最终成绩。可以根据实际情 况来制定评价涉及到的具体内容和各自的权值。
分形算法与程序设计
分形算法与程序设计分形算法是一种通过递归和迭代的方式图形的方法。
它的特点是可以通过简单的规则复杂的图形，并且具有自相似性的特征。
在程序设计的领域中，分形算法被广泛应用于图像处理、模拟和可视化等方面。
分形算法的基本原理分形算法的基本原理是通过对一个图形进行分割，并对每个分割后的部分进行变换和重复操作，最终一个复杂的图形。
分形算法主要包括以下几个步骤：1. 定义初始图形：需要定义一个初始的图形，可以是一个简单的线段或点集。
2. 分割图形：将初始图形分割成多个小的子图形，如将一条线段分成若干小线段。
3. 变换和重复：对每个子图形进行变换和重复操作，可以通过旋转、平移、缩放等方式对子图形进行变换，并重复该操作。
4. 终止条件：定义一个终止条件，当满足该条件时停止分割和重复操作，最终的图形。
分形算法的应用分形算法在程序设计中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 图像处理分形算法可以用来各种奇特的图像效果，如分形地形、分形树等。
这些图像效果在游戏开发、电影特效和艺术设计中得到了广泛的应用。
2. 模拟和仿真分形算法可以用来模拟和仿真各种现象，如天气模拟、群体行为模拟等。
通过分形算法的图形具有逼真的效果，能够更好地模拟真实世界中的复杂现象。
3. 可视化分形算法可以用来各种美观的可视化效果，如分形艺术、数据可视化等。
通过分形算法的图形具有独特的视觉效果，能够吸引人们的注意力并传达信息。
分形算法的实现分形算法可以用多种编程语言实现，如、Java、C++等。
下面以为例，介绍如何实现一个简单的分形算法：import turtledef draw_fractal(length, angle, level):if level == 0:turtle.forward(length)else:turtle.forward(length)turtle.left(angle)draw_fractal(length/2, angle, level-1)turtle.right(angle2)draw_fractal(length/2, angle, level-1)turtle.left(angle)turtle.backward(length)turtle.speed(0)draw_fractal(100, 60, 3)turtle.done()在这个例子中，使用turtle库绘制一个分形图形。
分形ppt
i
ln(1/ r)
多重分维的定义包含了各种分维的定义（具体见书
本）。多重分形式定义了无穷多种维数，它依赖一
个参数q ，当q=0，1，3时，Dq分别等于Hausdorff维 数，信息维D1和关联维数D2。当然q不必限于正整数， 它可以取从-∞到+∞的一切实数值。
§14.2 应用实例之一： 甘肃城镇体系的分形研究
分形的基本属性是自相似性。表现为，当 把尺度r变换为λr时，其自相似结构不变， 只不过是原来的放大和缩小，λ称为标度因 子，这种尺度变换的不变性也称为标度不 变性，是分行的一个普适规律。有
N (r) 1 D0 N (r) (r) D0
海岸线分形，如果考虑其长度随测量尺度的变化，
L(r) rN (r) 1D0 r N (r) L(r)
同的线条集合，它们构成单分形子集合。对每一个
单分形子集合，其标度指数为α，分维为f(α)。
最后每段线条的质量相当于二项式 (P1 P2 )n展开中的
一项，n 。因此可以用P1的q阶矩i Piq 取代单分形
中的盒子数N，多重分维Dq可以定义为
Dq
lim 1 r0 1 q
ln Piq
§14.1 分形理论简介
分形的概念 分形维数的定义和测算 标度律与多重分形
分形的有关概念
(1)分形，是指其组成部分以某种方式与整体相似的 几何形态(Shape)，或者是指在很宽的尺度范围内， 无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分 形是一种复杂的几何形体，唯有具备自相似结构的那 些几何形体才是分形。 (2)特征尺度 ,是指某一事物在空间，或时间方面具 有特定的数量级，而特定的量级就要用恰当的尺子去 量测。凡是具有自相似结构的现象都没有特征尺度, 分形的一个突出特点是无特征尺度。在无特征尺度区， 用来表征的特征量是分形维数 。
ln(1/ r)
多重分维的定义包含了各种分维的定义（具体见书
本）。多重分形式定义了无穷多种维数，它依赖一
个参数q ，当q=0，1，3时，Dq分别等于Hausdorff维 数，信息维D1和关联维数D2。当然q不必限于正整数， 它可以取从-∞到+∞的一切实数值。
§14.2 应用实例之一： 甘肃城镇体系的分形研究
分形的基本属性是自相似性。表现为，当 把尺度r变换为λr时，其自相似结构不变， 只不过是原来的放大和缩小，λ称为标度因 子，这种尺度变换的不变性也称为标度不 变性，是分行的一个普适规律。有
N (r) 1 D0 N (r) (r) D0
海岸线分形，如果考虑其长度随测量尺度的变化，
L(r) rN (r) 1D0 r N (r) L(r)
同的线条集合，它们构成单分形子集合。对每一个
单分形子集合，其标度指数为α，分维为f(α)。
最后每段线条的质量相当于二项式 (P1 P2 )n展开中的
一项，n 。因此可以用P1的q阶矩i Piq 取代单分形
中的盒子数N，多重分维Dq可以定义为
Dq
lim 1 r0 1 q
ln Piq
§14.1 分形理论简介
分形的概念 分形维数的定义和测算 标度律与多重分形
分形的有关概念
(1)分形，是指其组成部分以某种方式与整体相似的 几何形态(Shape)，或者是指在很宽的尺度范围内， 无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分 形是一种复杂的几何形体，唯有具备自相似结构的那 些几何形体才是分形。 (2)特征尺度 ,是指某一事物在空间，或时间方面具 有特定的数量级，而特定的量级就要用恰当的尺子去 量测。凡是具有自相似结构的现象都没有特征尺度, 分形的一个突出特点是无特征尺度。在无特征尺度区， 用来表征的特征量是分形维数 。
分形算法与程序设计简版
分形算法与程序设计分形算法与程序设计简介分形算法是一种通过迭代的方式自相似的图形模式的数学算法。
这种算法能够创建出异常复杂的图形，其能够展现出许多自然界中的现象，如山脉、树木的分支、云彩的形状等。
在程序设计领域中，分形算法广泛应用于图像处理、动画效果、模拟仿真等领域。
本文将介绍分形算法的原理和常见的程序设计实现方法。
分形算法的原理分形的概念最早由法国数学家Mandelbrot在1975年提出。
简而言之，分形是指一个图形在各种尺度上都有相似的结构。
分形算法的核心思想是通过简单的规则和迭代运算复杂的图像。
常见的分形算法有分形树、分形曲线、分形花等。
分形树分形树是指通过树状结构来表示的分形图形。
分形树的通常从一个根节点开始，然后通过递归的方式分支出更多的节点，直到满足终止条件。
每个节点的分支角度和长度通常是根据一定规则计算得到的。
分形树的形状可以通过调整分支角度、长度比例等参数进行变化。
分形曲线分形曲线是指通过曲线的递归运算的分形图形。
最著名的分形曲线之一是科赫曲线。
科赫曲线的方法是将一条线段分成三个相等长度的部分，并将中间一段部分替换成一个等边三角形边的部分。
然后对每个新的线段再次进行相同的分割，迭代足够多次后，得到了科赫曲线。
分形花分形花是指通过对称生长的方式的分形图形。
分形花的通常是通过指定起始点和起始角度，然后通过递归地对称地绘制一部分花瓣。
常见的分形花有科赫雪花、玫瑰花等。
分形花的方法可以通过调整起始点、起始角度以及对称规则等参数进行变化。
分形算法的程序设计实现在程序设计中，可以使用多种编程语言实现分形算法。
以下以Python语言为例，介绍分形算法的程序设计实现。
分形树的实现```pythonimport turtledef draw_branch(t, branch_length):if branch_length < 5:returnelse:t.forward(branch_length)t.left(45)draw_branch(t, branch_length 0.6) 递归调用 t.right(90)draw_branch(t, branch_length 0.6) 递归调用 t.left(45)t.backward(branch_length)def draw_tree():t = turtle.Turtle()t.speed(10) 设置绘制的速度t.left(90) 设置起始角度draw_branch(t, 100) 从根节点开始绘制turtle.done()draw_tree()```上述Python代码使用了[turtle]()库来实现分形树的绘制。
分形理论ppt课件
X
分形理论在图象压缩中的应用
为什么分形理论能用于图象压缩
图象压缩：指在没有明显失真的前提下，将图象的
位图信息转变成另外一种能将数据量缩减的表达形 式。 首先，尽管图象中数据量很大，但数据之间不是完 全独立的，图象中存在着各种各样的相关性或冗余 信息。即一部分数据可以由另一部分数据完全推算 出来。 其次，大部分图象视频信号的最终接收者都是人眼， 人眼对图象中的不同部分的敏感程度是不同的。
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
X
分形理论简介
五、分形的应用范围
分形观念的引入并非仅是一个描述手法上的改变，
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形
X
分形理论简介
四、分形的特点
(1)分形的最基本特征是所谓的“自相似性”。如图1
(2)该集有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 如图2
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
分形理论
X
X
分形理论简介
一、什么是分形？ 1、问题的引入 －－英国的海岸线有多长
2、欧氏几何的局限性 －－欧氏几何主要是基于中小尺度上的点、线、面 之间的关系
3、分形----自然几何
X
分形理论简介
二、分形的发展
萌芽：1919年以前
分形理论在图象压缩中的应用
为什么分形理论能用于图象压缩
图象压缩：指在没有明显失真的前提下，将图象的
位图信息转变成另外一种能将数据量缩减的表达形 式。 首先，尽管图象中数据量很大，但数据之间不是完 全独立的，图象中存在着各种各样的相关性或冗余 信息。即一部分数据可以由另一部分数据完全推算 出来。 其次，大部分图象视频信号的最终接收者都是人眼， 人眼对图象中的不同部分的敏感程度是不同的。
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
X
分形理论简介
五、分形的应用范围
分形观念的引入并非仅是一个描述手法上的改变，
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形
X
分形理论简介
四、分形的特点
(1)分形的最基本特征是所谓的“自相似性”。如图1
(2)该集有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 如图2
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
分形理论
X
X
分形理论简介
一、什么是分形？ 1、问题的引入 －－英国的海岸线有多长
2、欧氏几何的局限性 －－欧氏几何主要是基于中小尺度上的点、线、面 之间的关系
3、分形----自然几何
X
分形理论简介
二、分形的发展
萌芽：1919年以前
算法与程序设计ppt课件
算法特性
确定性、可行性、有穷性、 输入项、输出项。
算法与程序的区别
算法是解决问题的思路和 方法，而程序是算法的具 体实现。
算法分类及应用领域
基本算法
排序、查找、数值计算等。
数据结构算法
线性表、树、图等数据结 构上的操作算法。
图论算法
最短路径、最小生成树、 拓扑排序等。
算法分类及应用领域
动态规划算法
插入操作
线性表及其操作实现
删除操作 查找操作
遍历操作
线性表及其操作实现
线性表的操作实现 基于数组的线性表实现 基于链表的线性表实现
栈、队列及其应用举例
01
栈的基本概念与操作
02
栈的定义与特性
栈的基本操作（入栈、出栈、栈顶元素等）
03
栈、队列及其应用举例
队列的基本概念与操作
1
队列的定义与特性
2
分支限界法的原理
输标02入题
广度优先或最小耗费优先的方式搜索问题的解空间树。
01
通过设置目标函数的界来控制搜索进程。
03
04
在分支结点上，当所有子节点已被探寻完，或该结点 下的子节点的解不能达到目标函数的界时，回溯到上 一层结点选择其它结点进行探寻。
回溯法与分支限界法比较
回溯法
找出所有解或满足特定条件的解。
滚动数组
通过循环数组实现空间优化，降 低空间复杂度。
记忆化搜索
将已经计算过的子问题的答案记 录下来，避免重复计算，提高时 间效率。
四边形不等式优化
对于满足四边形不等式性质的问 题，可以利用此性质优化动态规
划的过程，降低时间复杂度。
06
贪心策略在程序设计 中的应用
分形理论PPT课件
分形理论非线性科学三大理论前沿乊一前言一非线性复杂系统一什么是分形fractal二自相似性三标度丌变性二非欧氏几何学分形几何学三分形理论的应用结束语自然界大部分丌是有序的平衡的稳定的呾确定性的而是处亍无序的丌稳定的非平衡的呾随机的状态乊中它存在着无数的非线性过程如流体中的湍流就是其中一个例子
分形理论
球等简单形状加以组合，就能很好地与其构造近似。
二、非欧氏几何学（分形几何学）
欧几里德几何学（简称欧氏几何学），是一门具有
2000多年历史的数学分支，它是以规整几何图形为研
究图象。所谓规整几何图形就是我们熟悉的点、直线与
线段；平面与平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各
种三角形以及正多边形等。空间中的正方体、长方体、
人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。 在历史上，科学技术的发展与几何学的进步始终是密切 相关的。在生产实践和科学研究中，人们用以描述客观 世界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、射影 几何、微分几何等，它们能有效地描述三维世界的许多 现象，如各种工业产品的现状，建筑的外形和结构等。 但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。 例如：海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、 闪电、海浪等等，例如图1.1、图1.2和图1.3所示。用欧 几里德几何学是无能为力的。
精品ppt
6
图1.1 布达拉宫中藏族壁画中的云的形状
图1.2 日本传统精绘品画ppt中对海浪的描述
7
图1.3 山脉的复杂形态
另外，在科学研究中，对许多非规则性对象建模分 析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对 象，都需要 一种新的几何学来描述。
所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态， 是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描述分 形的几何，称为分形几何精，品又ppt称为描述大自然的几何。 8
分形理论
球等简单形状加以组合，就能很好地与其构造近似。
二、非欧氏几何学（分形几何学）
欧几里德几何学（简称欧氏几何学），是一门具有
2000多年历史的数学分支，它是以规整几何图形为研
究图象。所谓规整几何图形就是我们熟悉的点、直线与
线段；平面与平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各
种三角形以及正多边形等。空间中的正方体、长方体、
人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。 在历史上，科学技术的发展与几何学的进步始终是密切 相关的。在生产实践和科学研究中，人们用以描述客观 世界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、射影 几何、微分几何等，它们能有效地描述三维世界的许多 现象，如各种工业产品的现状，建筑的外形和结构等。 但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。 例如：海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、 闪电、海浪等等，例如图1.1、图1.2和图1.3所示。用欧 几里德几何学是无能为力的。
精品ppt
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图1.1 布达拉宫中藏族壁画中的云的形状
图1.2 日本传统精绘品画ppt中对海浪的描述
7
图1.3 山脉的复杂形态
另外，在科学研究中，对许多非规则性对象建模分 析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对 象，都需要 一种新的几何学来描述。
所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态， 是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描述分 形的几何，称为分形几何精，品又ppt称为描述大自然的几何。 8
分形算法与程序设计2023简版
分形算法与程序设计分形算法与程序设计引言分形（Fractal）是一种具有自相似性质的图形或者物体，其部分结构在不同的尺度上都与整体结构非常相似。
分形算法是指通过递归或迭代的方式分形图形的算法。
分形算法的应用非常广泛，在计算机图形学、自然科学、金融等领域都有重要的应用。
本文将首先介绍分形的基本概念，然后探讨常见的分形算法和程序设计实现。
分形的基本概念分形是由法国数学家Mandelbrot在20世纪70年代提出的。
分形图形具有以下几个特点：1. 自相似性：分形图形的部分结构在不同的尺度上与整体结构相似。
即无论是放大还是缩小，分形图形的局部细节都保持不变。
2. 无限细节：分形图形可以无限地细分下去，每一次细分都会出现更多的细节。
3. 定义简单：虽然分形图形的形态复杂，但是其规则通常非常简单，只需要通过一些基本的几何变换和迭代运算即可。
常见的分形算法1. Mandelbrot集Mandelbrot集是一种非常经典的分形图形，其规则基于复数的迭代运算。
具体算法如下：1. 假设C为一个复数，初始值为C=0。
2. 迭代计算：对于每个点（x, y），计算该点对应的复数Z，并进行迭代运算：Z = Z^2 + C。
3. 如果迭代次数超过了设定的阈值或者计算出的Z的模超过了设定的阈值，则将该点归为Mandelbrot集；否则，将该点归为非Mandelbrot集。
2. Julia集Julia集是一种与Mandelbrot集类似的分形图形，其规则也基于复数的迭代运算。
具体算法如下：1. 假设C为一个复数，初始值为每个点（x, y）对应的复数Z。
2. 迭代计算：对于每个点（x, y），计算该点对应的复数Z，并进行迭代运算：Z = Z^2 + C。
3. 如果迭代次数超过了设定的阈值或者计算出的Z的模超过了设定的阈值，则将该点归为Julia集；否则，将该点归为非Julia 集。
3. 分形树分形树是一种通过递归的方式的分形图形。
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间接递归调用的例子如下：
void Recur_A(n)
BEGIN IF ((bx-ax)<c) THEN BEGIN plot(ax,ay)-(bx,by) END ELSE BEGIN plot(ax,ay)-(bx,by) 算法：Cantor(ax,ay,bx,by) cx=ax+(bx-ax)/3 标题：Cantor三分集的递归算法 cy=ay+d 参数：c（终止递归的小量） dx=bx-(bx-ax)/3 d（不同层次线之间的距离） dy=by+d 变量：ax,ay（曲线端点坐标） ay=ay+d bx,by（曲线端点坐标） by=by+d cx,xy （曲线端点坐标） cantor(ax,ay,cx,cy) dx,dy（曲线端点坐标） cantor(dx,dy,bx,by) 函数：plot(x1,y1) –(x2,y2) END 参考书：《分形算法与程序设计》 （画直线函数） END
分形作为一种方法，在图形学领域主要是利用迭代、递归等技
术来实现某一具体的分形构造。 分形几何学与计算机图形学相结合，将会产生一门新的学科 — —分形图形学。它的主要任务是以分形几何学为数学基础，构造非规 则的几何图素，从而实现分形体的可视化，以及对自然景物的逼真 模拟。
参考书：《分形算法与程序设计》 9
void Recur(n)
{
…… Recur(m);
……
} 过程Recur的内部又调用了自身——Recur过程。
参考书：《分形算法与程序设计》
11
递归算法
u { …… Recur_B(m); …… } void Recur_B(n) { …… Recur_A(m); …… }
参考书：《分形算法与程序设计》 12
想用此词来描述自然界中传统欧几里得几何学所不能描述的一大
类复杂无规的几何对象。
参考书：《分形算法与程序设计》
2
1.2 分形的几何特征
自相似性
自相似，便是局部与整体的相似。
自仿射性
自仿射性是自相似性的一种拓展。如果，将自相 似性看成是局部到整体在各个方向上的等比例变 换的结果的话，那么，自仿射性就是局部到整体 在不同方向上的不等比例变换的结果。前者称为 自相似变换，后者称为自仿射变换。
函数： plot(x1,y1) –(x2,y2) （画直线函数） sin( ) （正弦函数） cos( ) （余弦函数） sqrt( ) （开平方函数）
参考书：《分形算法与程序设计》
17ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.3 Sierpinski垫片的递归算法
BEGIN IF (n=1) THEN BEGIN x1=x-L/2 x01=x-L/4 y1=y+L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/2 y01=y+L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/4 x2=x+L/2 x02=x-L/4 y2=y+L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/2 y02=y+L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/4 x3=x x03=x y3=y-L*(sin(PI/6)/cos(PI/6)) y03=y- L*(sin(PI/6)/cos(PI/6))/2 plot(x1,y1)-(x1,y1) Sierpinski(x01,y01,L/2,n-1) plot(x2,y2)-(x2,y2) Sierpinski(x02,y02,L/2,n-1) plot(x3,y3)-(x3,y3) Sierpinski(x03,y03,L/2,n-1) END END ELSE 18 参考书：《分形算法与程序设计》 END BEGIN
变量：ax,ay（线段端点坐标） bx,by（线段端点坐标） cx,xy （线段端点坐标） dx,dy（线段端点坐标） ex,ey （线段端点坐标） L （线段长度） alpha （基线与水平线正 方向夹角）
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参考书：《分形算法与程序设计》
2.2 Koch曲线的递归算法
BEGIN IF((bx-ax)*(bx-ax)+(by-ay)*(by-ay))<c THEN BEGIN plot(ax,ay)-(bx,by) END ELSE BEGIN cx=ax+(bx-ax)/3 cy=ay+(by-ay)/3 ex=bx-(bx-ax)/3 ey=by-(by-ay)/3 L=sqrt((ex-cx)*(ex-cx)+(ey-cy)*(ey-cy)) alpha=ArcTan((ey-cy)/(ex-cx)) IF ( (ex-cx)<0) THEN
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1.3 分形的度量
（2）面积的测量 Area(n0)=(1╳√3/6)/2= √3/12 Area(n1)=√3/12 ╳(4/9) Area(n2)=√3/12 ╳(4/9)2 ………… Area(n)=lim(√3/12 ╳(4/9)n)=0
n→∞
如上所述，koch曲线在一维欧氏空间中的度量为∞，在二维 欧氏空间中的面积为0。如此看来，Koch曲线在传统欧氏空间中 不可度量。
参考书：《分形算法与程序设计》 15
2.2 Koch曲线的递归算法
BEGIN alpha=alpha+PI END dy=cy+sin(alpha+PI/3)*L dx=cx+cos(alpha+PI/3)*L Koch(ax,ay,cx,cy,c) Koch(ex,ey,bx,by,c) Koch(cx,cy,dx,dy,c) Koch(dx,dy,ex,ey,c) END END
2.1 Cantor三分集的递归算法
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2.2 Koch曲线的递归算法
算法：Koch(ax,ay,bx,by,c)
标题：Koch曲线的递归算法
参数：c（终止递归的小量） PI（π值） 函数：plot(x1,y1) –(x2,y2) （画直线函数） sin( ) （正弦函数） cos( ) （余弦函数） ArcTan( ) （反正切函数） sqrt( ) （开平方函数）
2.4 Hilbert-Peano曲线的算法
算法：Peano(n) 标题： Hilbert-Peano曲线递归算法 变量：n （递归深度） len（线的长度） x,y（端点坐标） 函数：lineto(x,y) （画直线函数） 过程：a(n)（基本元素构型） b(n)（基本元素构型） c(n)（基本元素构型） d(n)（基本元素构型）
做定量分析的工具。
参考书：《分形算法与程序设计》 8
1.6 分形与计算机图形学
分形理论的发展离不开计算机图形学的支持，如果一个分形构 造的表达，不用计算机的帮助是很难让人理解的。不仅如此，分形 算法与现有计算机图形学的其他算法相结合，还会产生出非常美丽 的图形，而且可以构造出复杂纹理和复杂形状，从而产生非常逼真 的物质形态和视觉效果。
则有N＝kD , D=log(N)/log(k) 这样Koch曲线的分形维数D=log(4)log(3)=1.2618
参考书：《分形算法与程序设计》 6
1.4 分形维数
对于实际的自然景物，我们可以用计盒维数的方法测量分维。
参考书：《分形算法与程序设计》
7
1.5 分形是一种方法论
沃尔夫奖（Wolf Prize）在颁发给分形理论创始人曼德勃罗时的评 语所说的，“分形几何改变了我们对世界的看法”。
参考书：《分形算法与程序设计》
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2.3 Sierpinski垫片的递归算法
算法：Sierpinski(x,y,L,n) 标题：Sierpinski垫片递归算法
参数：n （递归深度）
变量：x,y （三角形中心点坐标） x1,y1 （三角形顶点坐标） x2,y2 （三角形顶点坐标） x3,y3 （三角形顶点坐标） x01,y01 （小三角形中心点坐标） x02,y02 （小三角形中心点坐标） x03,y03 （小三角形中心点坐标） L （三角形的边长）
精细结构
任意小局部总是包含细致的结构。
参考书：《分形算法与程序设计》 3
1.3 分形的度量
（1）长度的测量 Length(n=0)=1
Length(n=1)=4/3
Length(n=2)=16/9 ………… Length=lim(Length(n))
n→∞
=lim(4/3) =∞ n→∞
n
参考书：《分形算法与程序设计》
2.5 分支结构分形递归算法
算法：Ramus (x,y,alpha,L,n) 标题：分支结构递归算法 参数： PI（π值） 变量：n （递归深度） L （线段长度） x,y （线段起点坐标） x1,y1 （线段终点坐标） alpha （主干生成角度） alpha_L（左支干生成角度） alpha_R（右支干生成角度） 函数：plot(x1,y1)-(x2,y2) （画直线函数） sin( ) （正弦函数） cos( ) （余弦函数） 参考书：《分形算法与程序设计》
参考书：《分形算法与程序设计》
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1.4 分形维数
分形维数是分形的很好的不变量，它一般是分数，用它可以 把握住分形体的基本特征。
图a是边长为1的正方形，当边长 变成原来的 1∕2 时，原正方形中包 含4个小正方形，如图b，而4=22； 图 c 是边长为 1 的正立方体，当边 长变成原来的 1∕2 时，原正立方体 中包含 8 个小正立方体，如图 d ，而 8=23。
分形理论至少会在三个方面改变我们对世界的认识。首先，自然界
中许多不规则的形态其背后都有规则，都可以用分形的方法建立模型并 在计算机上构造出以假乱真的景象来，显然利用这套方法我们可以把世
界压缩到几个分形规则中，便于携带和传播。其次，许多以前被认为是
随机的现象，从分形理论的角度看并不是随机的，比如布朗运动、股票 价格的波动、传染病的流行传播等，这为我们控制这些貌似随机的现象 奠定了理论基础。最后，分形理论中的分数维概念，为我们认识世界中 的复杂形态提供了一个新的尺度。复杂性科学是现代科学的前沿，在这 门科学的研究过程中，发现了许多符合分形规则的复杂形态，而分数维 是测量这些形态复杂程度的一种度量。也就是说，我们找到了对复杂性