分形分维ppt

dB
lim
0
ln N ( ,F ln(1/ )
)
,
称为计盒维数。
数值计算和实验中广泛采用
一些无规分形的维数 （1）海岸线和边界线(Ruler)
20世纪20年代，英国科学家 L.F.Richardson 研究海岸线的长
度时，总结了许多人的研究结果，发现不同长度的标尺 测r得的长度
不同。N (r) 海岸线和分界线实质上是分形，它们十分曲折，取一大段放大后仍然 是曲折的，与科克曲线比较，属于无规分形
分形“无定形，无形状可言”！因此用简单的欧式几何是无法描述其 性质的。
3
分形几何的创始人
Benoit Mandelbrot
Oxford的Newton博物馆 4
博学多才的大师
1924年出生于波兰华沙; 1936年移居法国巴黎; 1948年在美国加州帕萨迪纳获航空学硕士学位; 1952年在巴黎大学获数学博士学位; 曾经是普林斯顿,日内瓦,巴黎的访问教授,哈佛大学”数学实践讲 座”教授,IBM公司的研究员.
二、分形及分维
定义：具有某种自相似性结构的集合称为分形。 Fractal一词是B.B.Mandelbrot 1975年提出的。
Koch曲线
Sierpinski 地毯
分形三要素
• 形状 • 维数（随尺度变化的一个有限、定量描述） • 随机性（随机产生、动力学）
维数 (1) 相似维
N (1/ 4) 41
分形(Fractals)
内容提要
• 分形的例子 • 分形的定义及分维 • 产生分形的数学模型 • 产生分形的物理模型
芒德罗布(B.Mandelbrot):为什么几何学常常被说为‘冷酷无情’和 ‘枯燥无味’的？原因在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木 的形状。云彩不是球体、山岭不是锥体、海岸线不是圆周、树皮并 不光滑、闪电更不是沿直线传播的……。

进一步对形成的9条子线段作分割和“日” 字型折线框形构造，便形成81条子折线，而 每条折线的长度为1/9； 如此分割构造下去便得到了皮亚诺曲线。
分割次数越多，得到的皮亚诺曲线就越密。



由于皮亚诺曲线最终可以穿行（遍历）一个 平面上的每一个点，因此它也被称作空间填 充曲线。
例子6：谢尔宾斯基三角垫
Nr A 1/ r d
则称d为A的盒计数维数

盒维数为d，当且仅当存在一个正数k使得 lim r 0
lim log Nr A d log r log k
r 0
N r A k 1 rd
d lim
log k log N r A log N r A lim r 0 r 0 log r log r


自仿射性

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自仿射性是自相似性的一种拓展和延伸，如果局部到整体在各个方向上的变换比率是相同的， 那么就是自相似性变换；而当局部到整体在不同方向上的变换比率不一定相同时，就称为自仿 射性变换。自相似性变换是自仿射性变换的特例。
分形几何与欧氏几何的区别
11
两种几何学 欧氏几何
描述对象 人类创造的简单标 准物体（连续、光 滑、规则、可微） 大自然创造的复杂 的真实物体（不连 续、粗糙、不规则、 不可微）


N×r3=1
小正方体的测量数目为N(r)=r -3
分形维数：相似维数
14

线、面、体的维数为1、2、3，归纳为 N (r ) r D
两边取对数 D
log N r 1 log r


相似维数的定义：如果一个分形对象 A（整体）可以划分为 N(A,r) 个 同等大小的子集（局部单元），每个子集以相似比 r 与原集合相似， 则分形集 A 的相似维数 Ds 定义为

b. 分数维数值D的大小是分形对象复杂程度的一个度量， 数值越大分形对象越复杂；
我们来看三种人造海岸线，它们的形式一个比一个复杂
三种海岸线起点与终点间直线距离均为1。于是计算出 的维数分别是：
Da
log3 lBiblioteka g 51.365Db
log8 log4
1.5
log18 Dc log6 1.613
c. 对于各种分形来说，即使在不同的尺度上，用分维表示 的不规整程度却是一个常量。 如下面的科赫曲线，设两端点的距离为 1 ，
易见，这样定义的维数包括规整的对象（线、 面、体）的整数维。
D线=log2/log2=1 D面=log4/log2=2 D体=log8/log2=3
谢尔平斯基垫片或海绵的维数： d=log3/log2 =1.58…
科赫曲线的维数： d=log4/log3 =1.26…
象相对论发展了传统力学一样，分维是对传 统维数概念的进一步发展！
准确的说，我们把上面定义的分数维称为相似 性维数。相似性维数通常被定义为具有严格自相似 性的维数。
还有其他一些方法定义的维数，如容量维数、 豪斯道夫维数、信息维数、关联维数等。
柯尔莫戈洛夫(Kolmogorov)曾给分维这样定义：
对于d 维空间中的一个小集合E，我们可以用一些直径
r的d 维小球去覆盖它，如果完全覆盖所需的小球数目的最 小值为N(r) , 则该子集的柯尔莫戈洛夫容量维为：
ｋ= 2d
其实， 自相似几何体线度的λ 倍所得复制个数
其中:
ｋ= λd
d 是几何体的维数
ｋ是复制个数
让我们看下面的两个图形：
a. 谢尔平斯基缕垫或海绵
3 = 2d
d=log3/log2

2915.6 分形与分数维教学要求要求了解简单分形图形与朴素的分数维概念,并从中欣赏数学的美.知识点1.几个常见的分形图2.分数维数的概念5.6.1. 几个常见的分形图在近代数学的发展长河中, 与混沌密切相关的一门新的几何学诞生和发展起来了, 这就是分数维几何学. 1982年, 美国科学家曼德布罗特(B. Mandelbrot)出版了“自然界的分数维几何”一书, 从此, 分形或分数维就成了科学家们的一个热门话题.我们熟悉经典的维数概念, 知道点、直线、平面、立体分别是0 , 1 , 2 , 3 维的. 如果把时间变量添入我们生活的空间, 那么就出现了4维空间. 更一般地, 具有n 个自由度的对象, 就是n 维的. 这些维数都是非负整数. 但是在自然界又充满着许多人们熟悉的但又十分变幻莫测的现象, 它们涉及的几何图形无法用整数维数去解释. 比如天上多变的云彩, 地上河网水系,复杂形状的海岸线, 人体内的血管分布等等. 因此, 不要以为分数维概念是数学家头脑中凭空产生的, 它也是在人类生产实践、科学实验与艺术实践的推动下出现的.从数学本身来说, 经典的欧几里德几何研究圆规与直尺画的图形. 自牛顿~莱布尼兹创建微积分以来, 微分几何学研究光滑的即可微分的图形. 这些图形都具有特征长度, 如圆的半径, 正方形的边长, 可微曲线的弧长等等. 但是许多复杂的图形没有这样的特征长度, 但又有着明显的自相似或扩展对称性结构. 例如从集合论奠基者康托(Cantor)命名的康托集, 你将会看到, 它的长度为0, 但这个集合的点又与1维的实数集一样多. 你说它是0维呢, 还是1维呢? 无法解释. 只有分数维的理论才能给以科学的说明.我们不打算也不可能介绍纯理论的分数维概念, 只是从若干常见的分形图形初步了解分形或分数维几何的基本思想, 而且从中也将获得有趣的艺术欣赏, 体会数学的美感, 还可了解计算机对于艺术的强大功能.实验5.6.1 经典康托集.在区间 [ 0, 1 ]上, 截去中间的1 / 3,即开区间 32,31,得两个闭区间 ∪ 1,3231,0,其总长度为2/3; 在留下的两段中, 再截去它们各自中间的 1 / 3, 即两个开区间 ∪ 38,3732,31,得四个闭区间∪ ∪ ∪ 39,3837,3633,3231,0,其总长度为(2/3) 2; 如此继续, 一般地, 在第n 步, 截去2n -1开区间−− n n n n n n n 313 , 323 , , 38 , 37 , 32,31n L ,得2n 个闭区间, 其总长度为(2/3) n .当∞→n 时, 最后所留下的极限集称为康托集, 记作F . 简单地说, F 是从[0 , 1]减去无穷多个开区间得到的. 显然F 的长度等于032lim =∞→n n .另一方面,可以作出F 与实数集之间的一一对应来,也就是说, F 与实数集有同样多的点. 现在要问, F 的维数是多少? 是0, 还是1? 你再把康托292 集的构造过程用图表示出来.实验5.6.2 Weierstrass 函数.德国数学家K. Weierstrass ( 1815 ~ 1897 ) 在1872年发现了一个处处连续而又处处不可微的函数. 我们通常作函数的图象, 即使是分段连续的, 各段上也是光滑的, 即可微的. Weierstrass 函数的发现, 在数学史上具有重大意义, 它使人们确信, 直观的结论, 必须用严格的数学逻辑来论证, 直观只是为理性思维提供启迪, 当然这种启迪是十分必要的. 目前Weierstrass 函数常用的一种形式是())cos(1)()2(x b b x w kk k d −=∑+∞−∞=− , b > 1 , 1< d < 2 . (5.6.1) 对b = 1.5 , d = 1.2 , 1.5 , 1.8, 请你作出w (x )的图象.注意, (5.6.1)是极限函数, 作图时可取有限和. 例如可按下述程序作图:f [b_ , d_ ] := Sum [ b^( (d-2) k ) ( 1-Cos [b^k * x] ) , {k, -100, 100} ]f1 [x_ ] := f [ 1.5 , 1.8 ] ;Plot [ N [ f1 [ x ] ] , { x, 0, 1 } ]将得到图 5.24. 然后取定一组参数 ( b , d ) , 对同样的和, 但对不同的区间作图, 比如]1,0[∈x , [0, 0.2 ], [0, 0.04]. 你将看到这些图形的相似性, 后者是从前者截取的一部分, 这正是Weierstrass 函数图象的自相似性.图5.24实验5.6.3 Koch 雪花曲线Weierstrass 函数的构造过于复杂, 数学家们沿着这个方向继续深入的研究,V on Koch 于1904年用简单的初等方法构造出一种同样是处处连续又处处不可微的曲线, 封闭起来形状像雪花, 称为Koch ( 雪花 ) 曲线. 其构造过程如下:取定一条线段E 0 (不妨设为单位长), 以中间的 1/3 线段A 为边作正三角形,然后截去A , 得到由四条长1/3 的线段组成的折线E 1, 再对E 1的每一线段施行同样的手术, 得到折线E 2, 如此继续 ( 即用E 1代替E 0 ), 直至无穷. 则极限曲线k k E lim E ∞→=就是Koch 曲线. 用Mathematica 形成Koch 曲线 ( E k )的程序是:Clear[LSystem]LSystem[atom_,rules_,angle_,k_:3] :=Module[{g ={},x0,x1,y0,y1,a =0,ps ={},str,i},293 {x0,y0}={x1,y1}={0,0};str =atom;Do[str =StringReplace[str,rules],{k}];For[i =1,i<=StringLength[str],i++,c =StringTake[str,{i}];Switch[c,"F",(* Line one step forward *){x1,y1}={x0,y0}+{Cos[a],Sin[a]};AppendTo[g,Line[{{x0,y0},{x1,y1}}]];{x0,y0}={x1,y1},"f",(* Move one step forward *) {x0,y0}={x1,y1}={x0,y0}+{Cos[a],Sin[a]},"B",(* Line one step backward *){x1,y1}={x0,y0}-{Cos[a],Sin[a]}; AppendTo[g,Line[{x0,y0},{x1,y1}]];{x0,y0}={x1,y1}, "b",(* Move one step backward *){x0,y0}={x1,y1}-{x0,y0}-{Cos[a],Sin[a]},"T",(*Turn angle CCW *) a=a+angle, "t",(*Turn angle CW *)a =a-angle, "[",(* Save current state *)AppendTo[ps,{x1,y1,a}],"]",(* Restore saved state *) {x0,y0,a}={x1,y1,a}=Last[ps]; ps=Drop[ps,-1] ] ];Return[Graphics[g]]]Show[LSystem["F",{"F"->"FTFttFTF"},Pi/3]]例如 k = 1 , 2 , 3 , 4 时, 我们分别得到图5.25 ~ 5.28.图 5.25 : E 1 图5.26 : E 2图5.27 : E 3 图 5.28 : E 4294你能否从一个正三角形或正方形的边界封闭折线出发，运用E 1代替E 0的步骤， 作出Koch 曲线来？我们已经看到，产生Koch 曲线这种分形图形的决定性因素是图 5.25中的图形E 1. 因此我们把E 1称为这种分形的生成元. 如果采用生成元F 1( 见图5.29 ) , 则产生康托集.F 0F 1图5.29实验5.6.4 Minkowski 香肠若取生成元为图图5.30的M 1 , 则产生的分形图形称为Minkowski 香肠.图5.30 : M 1用Mathematica 作M k ，只要将前面作Koch 曲线的程序的最后一句改成Show[LSystem["F",{"F"->"FTFtFtFFTFTFtF"},Pi/2]]即可. 若k = 1 , 2 , 3 , 4 , 我们将分别得到图 5.30 ~ 5.33.图5.31 : M 2 图5.32 : M 3 图5.33 : M 4实验5.6.5 Peano 曲线若取生成元为图5.34的P 1 , 则产生的分形图形称为Peano 曲线, 这也是近代数学史上的一个十分著名的曲线.295图5.34 : P 1用Mathematica 作P k ，只要将前面作Koch 曲线的程序的最后一句改成Show[LSystem["F",{"F"->"FTFtFtFtFTFTFTFtF"},Pi/2]]即可. 若k = 1 , 2 , 3 , 4 , 我们将分别得到图 5.34 ~5.37.图5.35 : P 2 图5.36 : P 3图5.37 : P 4实验5.6.6 树木花草图若取生成元为图5.38的T 1 , 则产生的分形图形称为树木花草图.用Mathematica 作T k ，只要将前面作Koch 曲线的程序的最后一句改成Show[LSystem["F",{"F"->"F[TF]F[tF]F"},Pi/10]]同时，将a = 0改成a = Pi/2即可. 若k = 1 , 2 , 3 , 4 , 我们将分别得到图5.38~5.41.296图5.38 : T 1图5.39 : T 2 图5.40 : T 3 图5.41 : T 4通过对上述几个分形图形的观察研究, 我们大致可以看到它们的一些典型性质, 比如: 具有无限精细的结构, 比例自相似性质, 可以由非常简单的方法定义并由迭代产生.5.6.2. 分数维数的概念我们熟悉的维数都是非负整数，在物理学中反映了自由度的数目. 但Cantor 集与Peano 曲线的出现，使人们不得不要突破这种经典观念的束缚. 以Peano 曲线为例，k k P lim P ∞→= ，P 与正方形，作为点集，它们之间可以做出1-1对应来. 于是平面上的点就可以不用两个有序实数（横坐标与纵坐标）表示，而只需用一个实数就可表示出来. 那么我们就很难说P 究竟是1维还是2维. 实际上，对任何有限的正整数n ，Peano 曲线可以填满n 维立方体.为了克服上面的困难，必须从根本上重新考虑维数的意义. 目前考虑的方法有多种多样，但较易理解的一种是相似性维数的概念.我们从上面几个分形图形已经看到，它们的结构都有内在的几何规律性，特别是比例自相似性. 为理解相似性维数的意义, 先从最简单的线段、正方形与立方体的经典维数开始. 把线段、正方形与立方体的边二等分，于是线段是其一半长的2倍，正方形是边长为一半的小正方形的4倍，而立方体则是边长为1 ⁄ 2 的立方体的8倍. 换言之, 线段、正方形与立方图5.42297体分别是由2个、4个与8个相似形组成的. 把2、4、8分别写成21，22，23，即 2 = 21, 4 = 22, 8 = 23. (5.6.2)其中的指数1, 2, 3恰是对应图形的经验维数, 底数2则是分割边长的等分数, 或其倒数1/ 2是所占原长度的分数. 于是我们就可突破经验维数必须是整数的观念. 现在我们对(5.6.2)各式取对数, 得三个图形的维数分别是2ln 2ln 1=, 2ln 4ln 2=, 2ln 8ln 3=. 一般地说，如果一个集合F 可分成k 个与原集相似且尺寸大小为1/r 倍的子集, 则F 的相似性维数是r k d ln ln = , (5.6.3) 例如, 康托集的维数是 6309.03ln 2ln ≈. 请你写出Koch 曲线, Minkowshi 香肠与树木花草图的维数. 实验5.6.7 Sierpinski 三角垫. 从一个正三角形S 0出发, 连接相邻两边中点的联线, 构成一个小正三角形, 从原三角形中挖掉这个小三角形, 得到的图形( 由三个小正三角形组成, 见图 5.43) S 1, 就是Sierpinski 三角垫的生成元. 则Sierpinski 三角垫m m S S ∞→=lim 的维数是5850.12ln 3ln ≈. 作S m 的程序是 :Clear[Sp]Sp[nn_Integer]:=Module[{lt,lt1,k,t,n =nn},lt ={{{0,0},{1.,0},{0.5,Sqrt[3.]/2}}};While[ -- n >0 ,lt1={};For[k =1,k<=Length[lt],k++,t =lt[[k]];lt1=Append[lt1, {t[[1]],(t[[1]]+t[[2]])/2,(t[[3]]+t[[1]])/2}];lt1=Append[lt1, {t[[2]],(t[[1]]+t[[2]])/2,(t[[3]]+t[[2]])/2}];lt1=Append[lt1, {t[[3]],(t[[3]]+t[[2]])/2,(t[[3]]+t[[1]])/2}]];lt = lt1];Return[Graphics[Map[Polygon,lt]]]]Sp[m+1]//Show图5.43：S 1 图5.44：S 2298图5.45：S 3 图5.46：S 4 请你计算Sierpinski 三角垫m m S S ∞→=lim 的维数是多少？。

i
ln(1/ r)
多重分维的定义包含了各种分维的定义（具体见书
本）。多重分形式定义了无穷多种维数，它依赖一
个参数q ，当q=0，1，3时，Dq分别等于Hausdorff维 数，信息维D1和关联维数D2。当然q不必限于正整数， 它可以取从-∞到+∞的一切实数值。
§14.2 应用实例之一： 甘肃城镇体系的分形研究
分形的基本属性是自相似性。表现为，当 把尺度r变换为λr时，其自相似结构不变， 只不过是原来的放大和缩小，λ称为标度因 子，这种尺度变换的不变性也称为标度不 变性，是分行的一个普适规律。有
N (r) 1 D0 N (r) (r) D0
海岸线分形，如果考虑其长度随测量尺度的变化，
L(r) rN (r) 1D0 r N (r) L(r)
同的线条集合，它们构成单分形子集合。对每一个
单分形子集合，其标度指数为α，分维为f(α)。
最后每段线条的质量相当于二项式 (P1 P2 )n展开中的
一项，n 。因此可以用P1的q阶矩i Piq 取代单分形
中的盒子数N，多重分维Dq可以定义为
Dq

lim 1 r0 1 q
ln Piq
§14.1 分形理论简介
分形的概念 分形维数的定义和测算 标度律与多重分形
分形的有关概念
(1)分形，是指其组成部分以某种方式与整体相似的 几何形态(Shape)，或者是指在很宽的尺度范围内， 无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分 形是一种复杂的几何形体，唯有具备自相似结构的那 些几何形体才是分形。 (2)特征尺度 ,是指某一事物在空间，或时间方面具 有特定的数量级，而特定的量级就要用恰当的尺子去 量测。凡是具有自相似结构的现象都没有特征尺度, 分形的一个突出特点是无特征尺度。在无特征尺度区， 用来表征的特征量是分形维数 。

分形风险管理：评 估和管理金融市场 的风险
分形投资策略：基 于分形理论的投资 策略，如分形交易 策略、分形投资组 合管理等
分形在物理学中的应用
分形几何学的未来 展望
分形几何学的发展趋势
应用领域：分形几何学在计算机图形学、图像处理、生物医学等领域的应用将越来越广泛
理论研究：分形几何学的理论研究将更加深入，包括分形维数的计算、分形几何的拓扑性质等
添加标题
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添加标题
添加标题
特点：具有自相似性，即无论放大 或缩小，其形状保持不变
性质：具有无限长度，但面积却为 零，是一种典型的分形图形
分形几何学的应用 实例
分形在图像压缩中的应用
分形压缩算法：基于分形几何学的图像压缩算法 压缩效果：提高压缩比，降低图像质量损失 应用场景：适用于图像传输、存储和显示等领域 技术挑战：如何平衡压缩比和图像质量损失，提高压缩算法的效率和稳定性
发展：1977年，数学家哈肯提出分形几何学的基本理论
应用：分形几何学在物理学、生物学、经济学等领域得到广泛应用 现状：分形几何学已成为现代数学的一个重要分支，对科学研究和实际应 用具有重要意义
分形几何学的应用领域
分形几何学的基本 概念
自相似性
定义：在任意 尺度下，具有 相同或相似的
结构或模式
特点：自相似 性是分形几何 学的核心概念
科赫曲线的生成过程： 将一条线段分为三等份， 去掉中间一段，然后将 剩下的两段分别替换为 两个新的科赫曲线
科赫曲线的应用：在计 算机图形学、动画制作 等领域有广泛应用
科赫曲线的性质：具有 自相似性、无限长度和 面积、分形维数等性质
皮亚诺曲线
定义：由意大利数学家皮亚诺提出 的一种分形图形

§3 分形和分维3.1 分形的定义分形（fractal ）这个名词是Mandelbrot [1,2]在20世纪70年代为了表征复杂图形和复杂过程首先引入自然科学领域的，它的原意是不规则的、支离破碎的物体。

分形可以分为规则分形和不规则分形。

在分形名词使用之前，一些数学家就提出过不少复杂和不光滑的集合，如Cantor 集、Koch 曲线、Sierpinski 垫片、地毯和海绵等。

这些都属于规则的分形图形，它们具有严格的自相似性。

而自然界的许多事物所具有的不光滑性和复杂性往往是随机的，如蜿蜒曲折的海岸线；变换无穷的布朗运动轨迹等。

这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存在于标度不变区域，超出标度不变区域，自相似性不复存在。

这类曲线为不规则分形。

迄今为止，分形还没有一个严格的定义。

1982年Mandelbrot 将分形定义为Hausdorff （豪斯道夫）维数大于拓扑维数的集合。

此定义强调维数，而其中的豪斯道夫维数一般不是整数，下面将介绍如何计算它。

这里需要简单介绍拓扑维数。

拓扑学是研究可以连续变化的图形的学科，而几何学是研究刚性图形的学科。

在几何学中圆和正方形是不同的，但在拓扑学中两者是等价的，因为它们可以连续地相互变换，并且它们都将平面上的点分成三个集合：图形内、图形外和图形上的三个集合，所以它们具有共性。

类似地，一条十分曲折但连续的折线和一条直线是等价的，因为它们可以连续地相互变换，而且两者的拓扑维数都是 1。

下面我们将结合具体的规则分形的实例说明分形的这个定义。

1986年Mandelbrot 给出了一个更广泛、更通俗的定义：分形是局部和整体有某种方式相似的形（A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way ）[3]。

该定义强调图形中局部和整体之间（包括小的局部和大的局部之间，如下面的DLA 模型产生的图形中小枝杈和大枝杈）的自相似性。

X
分形理论在图象压缩中的应用
为什么分形理论能用于图象压缩
图象压缩：指在没有明显失真的前提下，将图象的
位图信息转变成另外一种能将数据量缩减的表达形 式。 首先，尽管图象中数据量很大，但数据之间不是完 全独立的，图象中存在着各种各样的相关性或冗余 信息。即一部分数据可以由另一部分数据完全推算 出来。 其次，大部分图象视频信号的最终接收者都是人眼， 人眼对图象中的不同部分的敏感程度是不同的。
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
X
分形理论简介
五、分形的应用范围
分形观念的引入并非仅是一个描述手法上的改变，
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形
X
分形理论简介
四、分形的特点
(1)分形的最基本特征是所谓的“自相似性”。如图1
(2)该集有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 如图2
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
分形理论
X
X
分形理论简介
一、什么是分形？ 1、问题的引入 －－英国的海岸线有多长
2、欧氏几何的局限性 －－欧氏几何主要是基于中小尺度上的点、线、面 之间的关系
3、分形----自然几何
X
分形理论简介
二、分形的发展
萌芽：1919年以前

数学史选讲-分形概述
分形(fractal)
分形几何理论诞生于20世纪70年代中期， 创始人是美国数学家---曼德布罗特 (B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的 《大自然的分形几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作。
分形(fractal)是20多年来科学前沿领域提出的 一个非常重要的概念，
科赫曲线F的自相似维数为
ln 2 dimF ln 3
波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916 年期间构造了几个典型的例子， 这些怪物
常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢 氏海绵” 。如今，讲分形都要提到。它们 不但有趣，而且有助于形象地理解分形。
图3 谢尔宾斯基三角形
分形
将分形看作具有如下性质的集合: 1.F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含
分形理论已经对方法论和自然观产生强烈影响，从 分形的观点看世界，我们发现，这个世界是以分形 的方式存在和演化着的世界。
分形的特性
英国数学家Falconer在《分形几何的数学基 础及应用》一书中认为：
分形的定义应该以生物学家给出“生命”定 义的类似方法给出，即不寻求分形的确切简 明的定义，而是寻求分形的特性，将分形看 作具有某些性质的集合。
分形几何的历史(续)
发展期：二十世纪八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形与自相似. 给出了自相似集合的数学理论基础. 2. Mandelbrot, 1982, 《自然界的分形几何》. 3. Barnsley, 1988, 《Fractal everywhere》. 4. Falconer, 1990, 《分形几何——数学基础 及其应用》.

Cornput. Bid. Med. Vol. 18, No. 3. pp. 14S- 156. 1988. Printed in Great Britain.
0
0010~4825/88 s3.00+ .a0 1988 Pqamon Praa plc
FRACTALS AND THE ANALYSIS OF WAVEFORMS
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MICHAELJ. KATZ
and there need be no simple set of standard summary parameters [14, 15). For a non-parametric ranking, a researcher might use the sign test [16]: here, waveforms are compared as sets of (x,y) point pairs and the numerical ranking (the statistic) for any particular waveform is computed from the proportion of point pairs in which its 11value is greater than the 1 value for the corresponding point pair in the standard curve. Another approach to ranking waveforms is the direct quantification of particular pattern features. Waveforms are frequently thought of as periodic functions; thus, waveforms are commonly characterized in terms of such wave features asfundamentalfrequencies or mean amplitude. Periodic wave features are quantified through harmonic analyses, and the most widely used of these are the Fourier analyses, which approximate waveforms as a series of cosine and sine waves [ 17-201.

积若用半径为 2 的圆去覆盖，至少需
1 1, 2 1 n n r 次迭代后， 的圆变成长半轴为 ，短半轴为 N 1 2 的椭圆，此时面
n
N ( 2 )
n
1 2
n n
个。严格讲前面可乘一有界正因子 C ( n) ，从而
9.3
D lim
则
rn 1 q e b rn
旋转自相似结构为
r eb r
（9.9）
习题
D m

k 1
m
k
m1
(9.5)
9.3
混沌吸引子的分数维
这对于任意吸引子都有意义的： 定常： 周期： 准周期：
1 0, 2 0, 3 0 m 0, D； 0
1 0, 2 0, 3 0 m 1, D； 1
1 2 0, 3 0 m 2, D 。 2
9.1
分形的描述之一 —— 分数维
D lim
0
一个集合的容量维 D定义为
ln N ( ) ln(1/ )
（9.1）
这里， 是长度尺寸，N ( )是覆盖所需的长度为
合，单元为边长 的正方形，对空间来说为边长为 的立方体。由于
单元的数目。对于平面上集
lim
ln N ( ) ln( ( ) N ( )) lim , 0 ln(1/ ) 0 ln(1/ )
1 3 32
ln 3n ln 3 D lim 1.5849 n ln 2n ln 2
类似地，
L( )
3 2 3 2 D 3 0.4150 垫片面积。 N ( ) 为Sierpinski 4 4 4

分形理论非线性科学三大理论前沿乊一前言一非线性复杂系统一什么是分形fractal二自相似性三标度丌变性二非欧氏几何学分形几何学三分形理论的应用结束语自然界大部分丌是有序的平衡的稳定的呾确定性的而是处亍无序的丌稳定的非平衡的呾随机的状态乊中它存在着无数的非线性过程如流体中的湍流就是其中一个例子
分形理论
球等简单形状加以组合，就能很好地与其构造近似。
二、非欧氏几何学（分形几何学）
欧几里德几何学（简称欧氏几何学），是一门具有
2000多年历史的数学分支，它是以规整几何图形为研
究图象。所谓规整几何图形就是我们熟悉的点、直线与
线段；平面与平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各
种三角形以及正多边形等。空间中的正方体、长方体、
人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。 在历史上，科学技术的发展与几何学的进步始终是密切 相关的。在生产实践和科学研究中，人们用以描述客观 世界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、射影 几何、微分几何等，它们能有效地描述三维世界的许多 现象，如各种工业产品的现状，建筑的外形和结构等。 但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。 例如：海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、 闪电、海浪等等，例如图1.1、图1.2和图1.3所示。用欧 几里德几何学是无能为力的。
精品ppt
6
图1.1 布达拉宫中藏族壁画中的云的形状
图1.2 日本传统精绘品画ppt中对海浪的描述
7
图1.3 山脉的复杂形态
另外，在科学研究中，对许多非规则性对象建模分 析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对 象，都需要 一种新的几何学来描述。
所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态， 是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描述分 形的几何，称为分形几何精，品又ppt称为描述大自然的几何。 8

第讲分数维（Ⅰ）—分数维否定微分，这在历史上恐怕也是划时代的。

高安秀树第讲一、分数阶的发展史在分形几何的发展中，分数维有着关键的作用。

正如我们学习平面几何（二维几何），立体几何（三维几何）。

那么任何一种分形几何亦有着这特定的维数。

这一概念在提炼的过程中十分艰难，同时也很不容易获得一般人的承认。

第讲在分数维出现之前，对于分数维的研究，远远早得多。

它反映人们由整数转向分数或一般实数的概念发展。

分数阶研究的一个突出例子是Newton 的一般二项式定理。

第讲图2-1Newton第讲早在中国宋朝杨辉，伺后的欧洲巴斯卡都发现了整数型二项式展开系数——即所谓的“杨辉三角”。

图2-2杨辉三角它表示中各项对应的分数。

(1)nx +(1)nx +第讲Newton 的学术生涯，首先是从分数阶一般二项式定理着手的。

他作了两个大胆的推广：•广义组合，其中是分数。

n p C p 1(1)(1)!n p p p p n n C =−⋅⋅⋅−+（2-1）第讲•把二项式定理，实际上即级数推广到无限项：2331(1)1(1)2!1(1)(2)(2)3!p x px p p x p p p x p x ……+=++−+−−+−+（2-2）也即0(1)n p n n p x C x ∞==∑+（2-3）第讲这一分数阶的推广有着重要的历史意义。

尽管Newton 并没有严格的证明，但是他却巧妙地证明了1122(1)(1)x x =++2311111111()(2)(22)122481628x x x x +++−⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅=+（2-4）第讲123421115(1)12816128x x x x x +=+−+−+⋅⋅⋅（2-5）式中且。

这是跨越分数维的伟大一步。

1x <第讲伺后是分数维积分与微分的出现。

Newton发明微积分是数学史上最重要的事件之一。

法国数学家J.Liouville刘维尔试图把微积分的维数推广到分数情况。

.
10
分形几何图形
自然界中有许多分形的例子，如雪花、植物的枝条分叉、海岸线 等。在数学中，历史上也构造了许多分形模型，如Koch曲线、 weierstrass函数等。它们共同的特点是①处处连续但处处不可 微，即曲线处处是不光滑的，总有无穷的细节在里面；②具有自 相似性或统计自相似性，即在不同的标度下，它们的形状是相似 的，不可区分的；③刻划它们的维数不是整数，而是分数。这是 因为，这类曲线都有无穷的细节，所以用1维的直线来测量它， 其值为无穷大，然而它们又没有填满一个有限的平面，所以其维 数又不能等于2，因此，要想得到一个有限的长度，它的测量维 数必定在1和2之间。
斯（K.Weierstrass）1872年构造的以他的名字
命名的函数是这类集合的第一例. 它的图象处处连
续但处处无切线（如图）, 引起当时数学界的震惊.
孰不料在此后的半个世纪里，数学家们接二连三
地构造出一批这样的集合，它们的形状与性质和
传统的几何对象大相径庭.被人们称为“反直觉
的”，“病态”的“数学怪物”. 令人惊奇的是，
1973年，曼德尔勃罗特（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲 课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词， 是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，
分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。 Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名 字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相 似的结构（见图1）。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把 研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的 世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图 形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则 提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结 构的新方法。