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《分形理论及其应用》课件
群算法等，这些算法在人工智能领域有重要的应用价值。
03
分形在机器学习中的应用
分形理论在机器学习中也有一定的应用价值，如分形神经网络、分形特
征提取等，这些方法有助于提高机器学习的性能和效率。
05
分形理论的未来展望
分形理论与其他学科的交叉研究
物理学
分形理论在物理学的多个领域，如混沌理论、量子力学和统计物理中有着广泛的应用。通过与其他学科的交叉研究， 可以进一步揭示分形现象的本质和规律。
分形在时间序列分析中的应用
时间序列数据中往往存在分形现象，利用分形理论可以更准确地预测和分析时间序列数据 的未来趋势。
分形在人工智能领域的应用
01
分形在计算机图形中的应用
分形理论在计算机图形学中有着广泛的应用，如分形图像的生成、分形
自然现象的模拟等。
02
分形优化算法
分形理论为优化算法的设计提供了新的思路和方法，如遗传算法、粒子
在规律。
迭代函数系统由一组压缩映射和 转移函数组成，通过迭代地应用 这些函数，可以生成复杂的分形
图形。
分数布朗运动
分数布朗运动是一种随机过程，其轨 迹具有分形结构。
分数布朗运动通过随机游走的方式， 在时间和空间上呈现出连续但非光滑 的轨迹，具有长期依赖性和自相似性 等特征。
它模拟了布朗运动的特性，但适用于 描述具有非整数维度的分形现象。
分形理论在解决实际问题中的应用前景
图像处理
增强等方面具有优异的表现。 随着数字图像处理技术的发展 ，分形理论在图像处理领域的 应用前景将更加广阔。
分形理论在处理非线性数据和 预测复杂系统行为方面具有独 特的优势。在金融、气象、交 通等领域，分形理论可以帮助 我们更好地理解和预测数据的 内在规律和趋势。
初中数学分形课件
混沌一开， 乾坤乃定。 历经无数分叉路， 柳暗花明见新村。 教育立国， 科技兴邦， 两个强劲吸引子， 交织出一幅美丽分形。 万众协同， 应变持恒。 依凭超循环作用， 借助蝴蝶效应， 向着同宿点， 奋起马蹄奔前程。
(付新楚(1961- )《混沌寄情》)
现科学之美， 探复杂之谜， 映射突变， 分形遇与混沌帝。 马蹄迭代驱寂寞， 落霞覆涟漪， 斑图指进临境， 连络廿一世纪。 (刘华杰）
谢 谢 欣 赏 ！
分形的应用领域
数学中的动力系统等;
物理中的布朗运动,流体力学中的湍流等; 化学中酶的构造等;
生物中细胞的生长等;
地质学中的地质构造等;
天文学中土星光环的模拟等;
其它:计算机,经济学,社会学,艺术等
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
随机Koch曲线 ——对海岸线的模拟
分形树叶
分形树叶(续1)分形树Fra bibliotek(续2)分形树叶(续3)
花草树木(L 系统）的一个例子
一些分形图片:
（
Z n1 Z c
2 n
（
z 和 c 都是复数）
蝴蝶函数： 花函数：
洛伦兹吸引子
函数图形(天鹅)是帮加莱截面映射
图形(稻草)是描述植物生长的PL规则图案
/
与分形有关的诗
幻境风云起，人间纷扰多。 醉弄光影躯，轻舞自婀娜。 (宋爽)
分念成形窥色相，共灵显迹化虚无。 出有入无成妙道，分形露体共真源。 (摘自《慧命经· 化身图释词》)
第一步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第2步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第3步
Sierpinsk垫片的生成过程 —第4步
Koch曲线
第四章 分形041019105835
D
Df ： 显然，D 即为相应图形的维数。对上式取对 数，并将 D 记为 D f log log K L (4-1-2)
可以见到，对于正规的几何图形，(4-1-2)式的分子刚好可以为分母所整除， D f 为整数，这就是我们所熟悉的欧几里德维数。但对于不规则的几何图形， (4-1-2) 式不总是可以整除的，于是在一般情况下，一个几何图形的维数是个分数， 简称 为分维。这就是说，规则几何图形是一般几何图形的特殊情况，与此相对应 f 常称为豪斯道夫维数。 的分数维概念， 的整 数维数也只是一种特例。这就是 1919 年由法国数学家豪斯道夫(Hausdorff) 我们还可以从另外角度来讨论图形维数的定义。例如，一个具有单位面积的 引进 正方形，现在把它等分成九个小正方形，即九个小正方形相加等于原来的面积， D 而这时小正方形的边长缩小为原来长度的 1/3 倍。上述关系为： 9×(1/3)2＝1 (4-1-3)
2. 规则分形
现在来看一些比较特殊的几何图形，它们是在曼德布罗特提出分形理论之前， 由许多数学家构造出来的一批具有自相似的几何图形，如康托尔(Cantor)点集， 科赫(Koch)曲线，谢尔宾斯基(Serpinski)地毯等。这些数学家当时是从纯数学兴 趣来构造这些图形，并称之为“病态图形”。现在采用分形理论去研究它们时， 可以看到这些图形与正规几何图形之间存在着直接的联系。
图 4-1 布朗微粒运动的径迹
基于测量对象体形上的自相似性与标度不变性，曼德布罗特提出了分形理论。 首先，他在 1973 年在法兰商学院讲学期间提出了分形的几何学的基本思想，接 着在 1977 年他出版了第一本著作：《分形对象：形、机遇与维数》，而在 1982 年出版了第二本著作：《自然界的形几何学》，从而奠定了这门新科学的基础。 分形的英文词是“fractal”，是曼德布罗特创造的，用以表征某些不规则的几何形 体。他给出的分形定义为： A fractal is a shape made of parts simslar to the whole in some way”，即“分形是其组成部分以某种方式与整体相似的图形”，或者说， 分形是指一类体形复杂的体系，其局部与整体具有相似性。与人们熟悉的整规体 形的整数维不同，分形体的维数不一定是整数，它可取连续变化的各种数值，称 之为分形维数，或简称分维。根据分形体的不同特征，有多种分形维数的定义， 而且由不同分形维数定义计算出的维数也有一些差别。 目前，分形的研究现已大大地超出了数学、物理学的范畴，它不仅广泛用于 处理自然科学中相关问题，象雷电、相变、聚合物生长等等，而且在扩展到生态、 生命、经济、人文的许多领域。在地震、气象的预报预测、石油的多次开采等应 用领域，甚至在股票涨落分析等方面，分形也都得到了广泛的应用。由此可见， 分形为人们处理复杂对象提供了一个强有力的工具。尤其值得一提的是虽然从表 面上看来，分形似乎和前面讨论过的非线性动力学无多大关系，但是深入研究发 现，分形与系统的混沌运动是密切相关的，它是非线性科学中的另一个重要分支。
Df ： 显然，D 即为相应图形的维数。对上式取对 数，并将 D 记为 D f log log K L (4-1-2)
可以见到，对于正规的几何图形，(4-1-2)式的分子刚好可以为分母所整除， D f 为整数，这就是我们所熟悉的欧几里德维数。但对于不规则的几何图形， (4-1-2) 式不总是可以整除的，于是在一般情况下，一个几何图形的维数是个分数， 简称 为分维。这就是说，规则几何图形是一般几何图形的特殊情况，与此相对应 f 常称为豪斯道夫维数。 的分数维概念， 的整 数维数也只是一种特例。这就是 1919 年由法国数学家豪斯道夫(Hausdorff) 我们还可以从另外角度来讨论图形维数的定义。例如，一个具有单位面积的 引进 正方形，现在把它等分成九个小正方形，即九个小正方形相加等于原来的面积， D 而这时小正方形的边长缩小为原来长度的 1/3 倍。上述关系为： 9×(1/3)2＝1 (4-1-3)
2. 规则分形
现在来看一些比较特殊的几何图形，它们是在曼德布罗特提出分形理论之前， 由许多数学家构造出来的一批具有自相似的几何图形，如康托尔(Cantor)点集， 科赫(Koch)曲线，谢尔宾斯基(Serpinski)地毯等。这些数学家当时是从纯数学兴 趣来构造这些图形，并称之为“病态图形”。现在采用分形理论去研究它们时， 可以看到这些图形与正规几何图形之间存在着直接的联系。
图 4-1 布朗微粒运动的径迹
基于测量对象体形上的自相似性与标度不变性，曼德布罗特提出了分形理论。 首先，他在 1973 年在法兰商学院讲学期间提出了分形的几何学的基本思想，接 着在 1977 年他出版了第一本著作：《分形对象：形、机遇与维数》，而在 1982 年出版了第二本著作：《自然界的形几何学》，从而奠定了这门新科学的基础。 分形的英文词是“fractal”，是曼德布罗特创造的，用以表征某些不规则的几何形 体。他给出的分形定义为： A fractal is a shape made of parts simslar to the whole in some way”，即“分形是其组成部分以某种方式与整体相似的图形”，或者说， 分形是指一类体形复杂的体系，其局部与整体具有相似性。与人们熟悉的整规体 形的整数维不同，分形体的维数不一定是整数，它可取连续变化的各种数值，称 之为分形维数，或简称分维。根据分形体的不同特征，有多种分形维数的定义， 而且由不同分形维数定义计算出的维数也有一些差别。 目前，分形的研究现已大大地超出了数学、物理学的范畴，它不仅广泛用于 处理自然科学中相关问题，象雷电、相变、聚合物生长等等，而且在扩展到生态、 生命、经济、人文的许多领域。在地震、气象的预报预测、石油的多次开采等应 用领域，甚至在股票涨落分析等方面，分形也都得到了广泛的应用。由此可见， 分形为人们处理复杂对象提供了一个强有力的工具。尤其值得一提的是虽然从表 面上看来，分形似乎和前面讨论过的非线性动力学无多大关系，但是深入研究发 现，分形与系统的混沌运动是密切相关的，它是非线性科学中的另一个重要分支。
美丽的分形ppt-PPT文档资料
自相似放大图
用数学方法对放大区域进行 着色处理，这些区域就变成 一幅幅精美的艺术图案，这 些艺术图案人们称之为“分 形艺术”。 “分形艺术”以一种全新的 艺术风格展示给人们，使人 们认识到该艺术和传统艺术 一样具有和谐、对称等特征 的美学标准。这里值得一提 的是对称特征，分形的对称 性即表现了传统几何的上下、 左右及中心对称。同时她的 自相似性又揭示了一种新的 对称性，即画面的局部与更 大范围的局部的对称，或说 局部与整体的对称。
美丽的分形
欢迎进入美妙 的 分形世界!!!
我们人类生活的世界是一个极其复杂 的世界，例如，喧闹的都市生活、变 幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、 蜿蜒曲折的海岸线于传统欧几里得几何学的各 门自然科学总是把研究对象想象成一 个个规则的形体，而我们生活的世界 竟如此不规则和支离破碎，与欧几里 得几何图形相比，拥有完全不同层次 的复杂性。分形几何则提供了一种描 述这种不规则复杂现象中的秩序和结 构的新方法
Mandelbrot集合是 Mandelbrot在复平面中 对简单的式子 Z <- Z^2 + C 进行迭代产生的图 形。虽然式子和迭代运 算都很简单，但是产生 的图形出现那么丰富多 样的形态及精细结构简 直令人难以置信以至于 不可思议。
Julia 集合
在复平面上，水平的轴线代表实数，垂直的轴线代表 虚数。每个Julia集合（有无限多个点）都决定一个常 数C，它是一个复数。现在您在复平面上任意取一个点， 其值是复数Z。将其代入下面方程中进行反复迭代运算： Zn+1=Zn*Zn+C 就是说，用旧的Z自乘再加上C后的结果作为新的Z。 再把新的Z作为旧的Z，重复运算。 当你不停地做，你 将最后得到的Z值有3种可能性：
GIS算法-分形.讲义
{ dl=sqrt((xb-xa)*(xb-xa)+(yb-ya)*(yb-ya)) / 3. ; x1=xa+(xb-xa) / 3. ; y1=ya+(yb-ya) / 3. ; side(xa, ya, x1, y1, a, n-1) ; a1=a+AF ; x2=x1+dl*cos(a1) ; y2=y1+dl*sin(a1) ; side(x1, y1, x2, y2, a1, n-1) ; a2=a1-2.*AF ; x3=x2+dl*cos(a2) ; y3=y2+dl*sin(a2) ; side(x2, y2, x3, y3, a2, n-1) ; side(x3, y3, xb, yb, a, n-1) ; } } ***
2分形集不能用传统的几何语言来描述它既不是满足于某些条件的点的轨迹也不是某些简单方程的解3分形集具有某种自相似的形式可能是近似的或统计的自相似
分 形 造 型
一、分形的概念
分形是最近二十多年来发展起来的新 学科。分形的原文是 Fractals，是由著 名数学家 B . Mandelbrot 于 1975 年用 拉丁词根构造的单词，他创立了独立 于欧几里德几何学之外的数学方法： 分形几何。
（３）分形集具有某种自相似的形式， 可能是近似的或统计的自相似。 （４）一般说来，分形集的维数是一 个分数，所以分形也称为分数维； （５）在大多数令人感兴趣的情形下， 分形集由非常简单的方法定义，可以 用变换的迭代产生。
分形的四种构成方法
（１）基于Ｌ系统的分形模型 （２）迭代函数系统模型 （３）粒子系统模型 （４）随机插值模型
下面我们来分析 Dragon 曲线的生成 规则：
假如我们从线段 1 开始，顺着曲线前 T(1)= 90º 进，那么在这个过程中，每到一个线 T(2)= 90º 段末端拐角处，就必须向左或向右转 T(3)= -90º T(4)= 90º 90º 。于是，待要解决的关键问题就 T(5)= 90º T(6)= -90º 是如何确定是向左转还是向右转。
《分形几何学》课件
分形风险管理：评 估和管理金融市场 的风险
分形投资策略：基 于分形理论的投资 策略，如分形交易 策略、分形投资组 合管理等
分形在物理学中的应用
分形几何学的未来 展望
分形几何学的发展趋势
应用领域：分形几何学在计算机图形学、图像处理、生物医学等领域的应用将越来越广泛
理论研究：分形几何学的理论研究将更加深入，包括分形维数的计算、分形几何的拓扑性质等
添加标题
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特点：具有自相似性，即无论放大 或缩小，其形状保持不变
性质：具有无限长度，但面积却为 零，是一种典型的分形图形
分形几何学的应用 实例
分形在图像压缩中的应用
分形压缩算法：基于分形几何学的图像压缩算法 压缩效果：提高压缩比，降低图像质量损失 应用场景：适用于图像传输、存储和显示等领域 技术挑战：如何平衡压缩比和图像质量损失，提高压缩算法的效率和稳定性
发展：1977年，数学家哈肯提出分形几何学的基本理论
应用：分形几何学在物理学、生物学、经济学等领域得到广泛应用 现状：分形几何学已成为现代数学的一个重要分支，对科学研究和实际应 用具有重要意义
分形几何学的应用领域
分形几何学的基本 概念
自相似性
定义：在任意 尺度下，具有 相同或相似的
结构或模式
特点：自相似 性是分形几何 学的核心概念
科赫曲线的生成过程： 将一条线段分为三等份， 去掉中间一段，然后将 剩下的两段分别替换为 两个新的科赫曲线
科赫曲线的应用：在计 算机图形学、动画制作 等领域有广泛应用
科赫曲线的性质：具有 自相似性、无限长度和 面积、分形维数等性质
皮亚诺曲线
定义：由意大利数学家皮亚诺提出 的一种分形图形
分形分维ppt
分形分维
分形理论
提出：曼德.布罗特，题为“英国的海岸线有多长？”的论文使得 数学家开始正视“无限复杂性” 基础：分形几何学（以不规则几何形态为研究对象的几何学） 特点：用分数维度的视角和数学方法描述和研究客观事物
分形特征：
1.在任何细小的尺度下， 分形具有精细的结构,，即有任意小 比例的细节 2.分形不规则，因而它的整体和局部都不能用传统的几何语言 来描述 3.分形通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的 4.一般地， 分形的 “分形维数” (以某种方式定义)大于它的 拓朴维数
• 3.相似维数：F是Rd上的有界子集，如果F可划分为N个同等大小的部分， 且每部分与F的相似比为r，则称dimsF=logN/log1/r
• 特点：1.不规则形2.长度为(4/3)k,为无穷 大3.自相似性4.平面内面积为零
分形的度量尺度—分维
• 分维产生原因：近似或统计的图形自相似性
• 自相似性：如果一个物体自我相似，表明它每部分的曲线 有一小块和它相似，比如海岸线 • 维数：几何对象的一个重要特征量，是为了确定几何对象中的 一个点的位置所需要的独立坐标的个数或独立方向的数目
KOCH曲线
• 产生：设 E0是单位长度的直线段,E1是由 E0去掉中间 1 /3的线段,而代替以底边在 被除去的线段上的等边三角形的另外两边 所得的图形,它包含四个线段,对 E1的每个 直线段重复上述同样的过程构造出 E2.依 此类推,从 Ek - 1得到Ek.当 k→∞时,折线 序列趋于极限曲线 E,称 E 为 koch 曲线, 它是一条处处连续但处处不可微的曲线。
常见分维数的定义
• 1.豪斯道夫维数：提出连续空间概念，认为空间维数连续。取D维物体， 将每一维尺寸放大L倍，得到K个原来的物体，则K=LD，两边取对数，得 到维数D=lnk/lnL • 2.盒维数：设E属于Rd且有界非空, 令 Nδ(E)为半径为 δ的覆盖 E 的球的 最小个数, 则称dimBE =limδ→ 0[log Nδ(E)/(- logδ)]为 E 的盒维数
分形理论
提出：曼德.布罗特，题为“英国的海岸线有多长？”的论文使得 数学家开始正视“无限复杂性” 基础：分形几何学（以不规则几何形态为研究对象的几何学） 特点：用分数维度的视角和数学方法描述和研究客观事物
分形特征：
1.在任何细小的尺度下， 分形具有精细的结构,，即有任意小 比例的细节 2.分形不规则，因而它的整体和局部都不能用传统的几何语言 来描述 3.分形通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的 4.一般地， 分形的 “分形维数” (以某种方式定义)大于它的 拓朴维数
• 3.相似维数：F是Rd上的有界子集，如果F可划分为N个同等大小的部分， 且每部分与F的相似比为r，则称dimsF=logN/log1/r
• 特点：1.不规则形2.长度为(4/3)k,为无穷 大3.自相似性4.平面内面积为零
分形的度量尺度—分维
• 分维产生原因：近似或统计的图形自相似性
• 自相似性：如果一个物体自我相似，表明它每部分的曲线 有一小块和它相似，比如海岸线 • 维数：几何对象的一个重要特征量，是为了确定几何对象中的 一个点的位置所需要的独立坐标的个数或独立方向的数目
KOCH曲线
• 产生：设 E0是单位长度的直线段,E1是由 E0去掉中间 1 /3的线段,而代替以底边在 被除去的线段上的等边三角形的另外两边 所得的图形,它包含四个线段,对 E1的每个 直线段重复上述同样的过程构造出 E2.依 此类推,从 Ek - 1得到Ek.当 k→∞时,折线 序列趋于极限曲线 E,称 E 为 koch 曲线, 它是一条处处连续但处处不可微的曲线。
常见分维数的定义
• 1.豪斯道夫维数：提出连续空间概念，认为空间维数连续。取D维物体， 将每一维尺寸放大L倍，得到K个原来的物体，则K=LD，两边取对数，得 到维数D=lnk/lnL • 2.盒维数：设E属于Rd且有界非空, 令 Nδ(E)为半径为 δ的覆盖 E 的球的 最小个数, 则称dimBE =limδ→ 0[log Nδ(E)/(- logδ)]为 E 的盒维数
初识分形
精细结构
任意小局部总是包含细致的结构。
Байду номын сангаас
参考书：《分形算法与程序设计》
3
1.3 分形的度量
（1）长度的测量 Length(n=0)=1 Length(n=1)=4/3 Length(n=2)=16/9 ………… Length=lim(Length(n))
n→∞
=lim(4/3)n= ∞
n→∞
参考书：《分形算法与程序设计》
第 1 章 初识分形
1.1 Fractal 的含义 1.2 分形的几何特征 1.3 分形的度量
1.4 分形维数 1.5 分形是一种方法论 1.6 分形与计算机图形学
参考书：《分形算法与程序设计》
1
1.1 Fractal 的含义
英文单词Fractal，在大陆被译为“分形”，在台湾被译为 “碎形”。它是由美籍法国数学家曼德勃罗（Benoit Mandelbrot） 创造出来的。其含义是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是 想用此词来描述自然界中传统欧几里得几何学所不能描述的一大 类复杂无规的几何对象。
分形作为一种方法，在图形学领域主要是利用迭代、递归等技 术来实现某一具体的分形构造。
分形几何学与计算机图形学相结合，将会产生一门新的学科— —分形图形学。它的主要任务是以分形几何学为数学基础，构造非规 则的几何图素，从而实现分形体的可视化，以及对自然景物的逼真 模拟。
参考书：《分形算法与程序设计》
9
欧氏空间中的面积为0。如此看来，Koch曲线在传统欧氏空间中
不可度量。
参考书：《分形算法与程序设计》
5
1.4 分形维数
分形维数是分形的很好的不变量，它一般是分数，用它可以 把握住分形体的基本特征。
江苏省泰州中学高中数学选修课课件：数学史选讲-分形概述 (共55张PPT)
强 对 《 财 政 违法行 为处罚 处分条 例》和 纪律、 政策、 廉洁从 政等有 关法律 法规的 学 习 。 认 真 学习新 《党章 》,严格 执行《 预算法 》、《 会计法 》和《 会计基础工作 规 范 》 以 及 乡党委 、政府 做出的 关于财 政财务 的有关 批示和 决定,搞 好会计档案管
理 工 作 等 。 现从三 方面对 2008年 的工 作情况 如下: 一 、 一 年 来 所做的 工作
江苏省泰州中学数学选修课
Email:deyinsong@
图3 谢尔宾斯基三角形 江苏省泰州中学数学选修课
Email:deyinsong@
分形
将分形看作具有如下性质的集合:
1.F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含 整体。
2.F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来 描述。
康托尔集F的自相似维数
由于康托尔集F中点的数目为∞，而长度为 0，因此F的维数既不是0，也不是1，而是 一个介于0与1之间的分数。
科赫曲线F的自相似维数为
dim F
ln 2 ln 3
江苏省泰州中学数学选修课
Email:deyinsong@
谢尔宾斯基地毯
波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916 年期间构造了几个典型的例子， 这些怪物 常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢 氏海绵” 。如今，讲分形都要提到。它们 不但有趣，而且有助于形象地理解分形。
江苏省泰州中数学选修课
Email:deyinsong@
Koch曲线的生成过程 —第4步
江苏省泰州中学数学选修课
Email:deyinsong@
Koch曲线与雪花曲线
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
江苏省泰州中学数学选修课
理 工 作 等 。 现从三 方面对 2008年 的工 作情况 如下: 一 、 一 年 来 所做的 工作
江苏省泰州中学数学选修课
Email:deyinsong@
图3 谢尔宾斯基三角形 江苏省泰州中学数学选修课
Email:deyinsong@
分形
将分形看作具有如下性质的集合:
1.F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含 整体。
2.F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来 描述。
康托尔集F的自相似维数
由于康托尔集F中点的数目为∞，而长度为 0，因此F的维数既不是0，也不是1，而是 一个介于0与1之间的分数。
科赫曲线F的自相似维数为
dim F
ln 2 ln 3
江苏省泰州中学数学选修课
Email:deyinsong@
谢尔宾斯基地毯
波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916 年期间构造了几个典型的例子， 这些怪物 常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢 氏海绵” 。如今，讲分形都要提到。它们 不但有趣，而且有助于形象地理解分形。
江苏省泰州中数学选修课
Email:deyinsong@
Koch曲线的生成过程 —第4步
江苏省泰州中学数学选修课
Email:deyinsong@
Koch曲线与雪花曲线
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
江苏省泰州中学数学选修课
分形理论ppt课件
X
分形理论在图象压缩中的应用
为什么分形理论能用于图象压缩
图象压缩：指在没有明显失真的前提下，将图象的
位图信息转变成另外一种能将数据量缩减的表达形 式。 首先，尽管图象中数据量很大，但数据之间不是完 全独立的，图象中存在着各种各样的相关性或冗余 信息。即一部分数据可以由另一部分数据完全推算 出来。 其次，大部分图象视频信号的最终接收者都是人眼， 人眼对图象中的不同部分的敏感程度是不同的。
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
X
分形理论简介
五、分形的应用范围
分形观念的引入并非仅是一个描述手法上的改变，
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形
X
分形理论简介
四、分形的特点
(1)分形的最基本特征是所谓的“自相似性”。如图1
(2)该集有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 如图2
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
分形理论
X
X
分形理论简介
一、什么是分形？ 1、问题的引入 －－英国的海岸线有多长
2、欧氏几何的局限性 －－欧氏几何主要是基于中小尺度上的点、线、面 之间的关系
3、分形----自然几何
X
分形理论简介
二、分形的发展
萌芽：1919年以前
分形理论在图象压缩中的应用
为什么分形理论能用于图象压缩
图象压缩：指在没有明显失真的前提下，将图象的
位图信息转变成另外一种能将数据量缩减的表达形 式。 首先，尽管图象中数据量很大，但数据之间不是完 全独立的，图象中存在着各种各样的相关性或冗余 信息。即一部分数据可以由另一部分数据完全推算 出来。 其次，大部分图象视频信号的最终接收者都是人眼， 人眼对图象中的不同部分的敏感程度是不同的。
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
X
分形理论简介
五、分形的应用范围
分形观念的引入并非仅是一个描述手法上的改变，
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形
X
分形理论简介
四、分形的特点
(1)分形的最基本特征是所谓的“自相似性”。如图1
(2)该集有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 如图2
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－ －说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－ －－说明了分形的生成机制 －－－自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
分形理论
X
X
分形理论简介
一、什么是分形？ 1、问题的引入 －－英国的海岸线有多长
2、欧氏几何的局限性 －－欧氏几何主要是基于中小尺度上的点、线、面 之间的关系
3、分形----自然几何
X
分形理论简介
二、分形的发展
萌芽：1919年以前
分形几何学.ppt
一、什么是分形几何学
通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的 自相似图形和结构的几何学。 分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层 次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方 面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁 铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去， 每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次 结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。 又如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上 没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相 似关系；一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质； 动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛 的全部生长信息；还有高山的表面，无论怎样放大其局部，它都 如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何 揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。
随机康托尔集都是随机分形，著名的随机分形还有布朗 （R.Brown）粒子运动的轨迹
（2）Sierpinski地毯： 三分康托尔集等数学怪物的出现，使相当一部分传统数学 家感到“直觉的危机”的同时，也引起了一些数学家的兴 趣.1915~1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)将三 分康托尔集的构造思想推广到二维平面，构造出谢尔宾斯基 “垫片”：设E0是边长为1的等边三角形区域，将它均分成四个 小等边三角形，去掉中间一个得E1，对E1的每个小等边三角形 进行相同的操作得E2，……，这样的操作不断继续下去直到无 穷，所得图形F称为谢尔宾斯基“垫片”（图）.它被用作超导 现象和非晶态物质的模型
⑴ 康托尔三分集 1883年，德国数学家康托尔(G.Cantor)构造了一个奇异集合： 取一条长度为1的直线段E0，将它三等分，去掉中间一段，剩下 两段记为E1，将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段， 剩下更短的四段记为E2，……，将这样的操作一直继续下去， 直至无穷，得到一个离散的点集F（图），称为康托尔三分集. 在康托尔三分集的构造过程中，如果每一步都用掷骰子的方法 来决定去掉被分成的三段中的哪一段，或来选择子区间的长度， 就会得到很不规则的随机康托尔集（如图），它被当时在美国 IBM公司任职的曼德尔布罗特用作描述通讯线路中噪声分布的 数学模型，如今在现代非线性动力学的理论研究中有重要地位.
分形结构
(4)分维谱 (4)分维谱
定义： 维欧氏空间对某一个集合（ 定义：设 {Ci} (i=1,…,N)为D维欧氏空间对某一个集合（如吸引 为 维欧氏空间对某一个集合 的覆盖。一条轨道若随着时间趋于无穷， 子）的覆盖。一条轨道若随着时间趋于无穷，可以遍历该集合 的除一个零Lebesgue测度外的所有点，我们称该轨道是典型的。 测度外的所有点， 的除一个零 测度外的所有点 我们称该轨道是典型的。 设从x0出发的一条典型轨道，其在T时间内在 i内度过的时间 设从 出发的一条典型轨道，其在 时间内在C 时间内在 则定义该Ci的自然测度为 为η(ci,x0,T),则定义该 的自然测度为： 则定义该 的自然测度为：
s i =1 i =1 ∞ ∞
则称H s ( F )为F的s维豪斯道夫测度。可证明，ℜn中任何子集的n维豪斯道夫测度与 n维勒贝格测度（n维体积）仅相差一常数倍。
中波雷尔子集， 若F是Rn中波雷尔子集，则
Η = CnVol (F )
n n
其中常数： 其中常数：
Cn = π
1n 2
/ 2 ( n)!
s
0
dim H F
dim H F 称为F的豪斯道夫维。
s
(3)计盒(box-counting)维数
• 改进豪斯道夫维数，令覆盖的盒子大小形状都相同。 改进豪斯道夫维数，令覆盖的盒子大小形状都相同。
若用N(δ , F )表示覆盖F的盒子数目，则根据豪斯道夫测度定义
∞ s
H δs ( F ) = inf{∑ | Vi | :{Vi }为F的δ 覆盖}
µi = limT →∞
η ( Ci , x0 ,T )
T
定义： 定义：
Dq =
1 1− q
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2 3S 2 5
Cantor三分集
• 德国数学家康托（G.Cantor，1845~1918）在 1883年曾构造了一种三分集: 取一条欧式长度为L0的直线段， L0叫做初始操作长度。 将这条直线段三等分之后，保留两端的线段，将中间的一 段扔掉，再将剩下的两条直线段分别三等分，然后将中间 部分扔掉，以此重复至无穷，便形成了无数个尘埃似的点 ，这就是著名的Cantor三分集。
分形的艺术——特点
极小性 分形艺术的极小性是源自其自相似性。 动态的看，分形艺术是一种具有无限极小性 的艺术。 原因：无限极小性主要取决于其几何属性即 嵌套性和迭代性。
分形的艺术——特点
嵌套性 定义： 美学角度上讲嵌套性是一种图案的渐变与递 进，图中有图，图中生图，无可穷尽是嵌套性在 美学上的特征。
MandelbrotB.B.研究分形几何体 的形态结构，建立了如下模型
定义了景观要素的稳定性指数
SI=D-1.5
当D为1.5时，SI等于0， 处于最不稳定状态，大于零表 示空间格局处于形态简单状态， 而小于零表示处于形态复杂状 态，SI距离零越大，状态越稳 定。
InA(r)=2lnP(r)/D+C
A(r)和P(r)分别为每一种土地利用类型每一 斑块图斑的面积和周长， D为土地利用结构的分维值(理论值为1~2）
452876.223 1.342281879 450324.224 1.342281879 388758.505 1.328021248 171345.859 1.370801919 8961.357 1.848428835
139208.901 1.418439716 80323.689 44344.011 12224.989 1.477104874 1.499250375 1.62601626
a^D=b, D=logb/loga
的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以 是整数，也可以是分数。
Koch曲线的分形维数是 log 4/log 3 ≈ 1.26
分形的主要用途
• 分形体没有特征尺度，不能用一般测 度即长度、面积、体积这类几何对象 的特征量来表示，只能用分形维数 (Fractal dimension，也即“分维 ”)来度量，因而分维已成为描述无标 度现象的特征参数。
分形的艺术——特点
有不同于传统美学的一面
“分形图案的复杂性来自简单数学关系的反复迭代， 其感召力寓于无穷层次局部与整体的自相似，理解其美学 价值需要有一定的思想深度。” ——北京大学非线性科学中心主任赵凯华
分形的艺术——特点
自相似性
定义： 在通常的几何相似性不变的分形，称为自相 似。通俗地说分形的自相似性就是一种跨越不同 尺度的对称。
分形理论的应用
经济管理方面
生态方面的应用
分形的应用
信息处理的应用
物理方面的应用
城市发展和演变过 程的应用
经济管理方面的应用
为经济管理领域研究提 供了一种全新的工具。 在国家宏观经济研究、 人力资源管理、股市行情、 经济奇异吸引子的维测度 等都得到应用。
景观生态的应用
自然景观仿真研究
地形和自然景观的建模
“不论是自然界中的个体分形形态，还是数学方法产生的分形 图案，都有无穷嵌套、细分再细分的自相似的几何结构。” ——王本楠 《科学与艺术的联姻》
分形的艺术——特点
缠绕性 定义： 在分形艺术中充满了分叉、缠绕、不规则的 元素，她给我们一种返璞归真的感觉，而这种美 学特性即为分形图案的缠绕性。 分形艺术的美学秩序是一种无序中的秩序， 这里的无序并不是混乱，而是一种几何秩序在视 觉上的表现，即混沌性。
• 康托集的被扣下去的部分是等比级数，其长度
2n 1 2 4 8 1 1 ( ) 1 n 1 3 9 27 81 3 1 2 3 n 0 3
• 这样，康托集的总长度为1-1=0。 计算表明康托集不包括任何非零的长度。事实上，令人 惊讶的是，它可能在所有中间被扣掉的部分之和就等于它 的最初的长度。然而，仔细观察这个过程却有很重要的东 西被剩下，因为重复地消除只是中间的1/3开集（这个集 合不包含它的端点）。从最初的[0，1]线段中除去 (1/3, 2/3)，而两个端点1/3和 2/3被留下。随后的 操作，不移动这些端点，因为被移除的部分总是在剩余部 分的内部。所以康托集是非空的，而事实上，它包括无限 多个点。
• 在数学方面，康托集是由德国数学家康托于1883年引入的 （但在1875年就由Henry John Stephen Smith发现了 ），它是一个取自简单直线段上的点集，它有若干非凡而又 深刻的性质。通过对它的思考，康托和其他助手奠定了现代 一般拓扑学基础。虽然康托自己用抽象的方法定义了这个集 合，但一般而言，现代最流行的构造是康托三分集，它是通 过将一条线段的中间部分去掉而获得的。康托自己只是顺便 提及了三重构造，作为无处稠密的完备集的一般例子。 • 三分集的构造 康托三分集是由重复删除直线段中间的三分之一开区间而创 造出来的。先从区间[0，1]中间删除开区间(1/3, 2/3)， 留下两边线段：[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]。下一步，删除留 下的线段的各自的三分之一中间段，剩下四条直线段： [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1] 。无限重复这一过程，则第n个集合是 。康托三分集包含区 间[0, 1]内在每一步没被删除的所有的点。
问题引入——海岸线有多长？
1.为什么长度已不是海岸线的特征量？
任何海岸线在一定意义上都是无限长的
2.为什么在测量海岸线长度时，随测量 单位的减小，海岸线长度会越来越大？
逼近
3.如何建立海岸线的数学模型
Koch曲线
分形 Fractal
分形的概念是美籍数学家 曼德布罗特(B. B. Mandelbort)首先提 出的。 本意是“不规则的、破碎 的、分数的”。 是指以非整数维形式充填 空间的形态特征。
SPSS求对数并作 拟合曲线回归分析
添加面积和周长字段
2006年森林面积一周长双对数拟合曲线 2001年城市用地面积一周长双对数拟合曲线
东莞市土地利用类型分形模型、分维数和稳定性指数
年份 土地利用类型 城市 水域 2001年 农田 森林 果园 城市 水域 2006年 农田 森林 果园 模型（回归方程） InA(r)=0.560+1.459*lnP(r) InA(r)=0.338+1.490*lnP(r) InA(r)=0.340+1.490*lnP(r) InA(r)=0.231+1.506*lnP(r) InA(r)=0.555+1.459*lnP(r) InA(r)=3.001+1.082*lnP(r) InA(r)=0.846+1.410*lnP(r) InA(r)=1.199+1.354*lnP(r) InA(r)=1.317+1.334*lnP(r) InA(r)=2.076+1.230*lnP(r) 判别系数R 0.985 0.981 0.985 0.984 0.985 0.82 0.936 0.921 0.905 0.874 F校验值 152964.16 分维数D 1.370801919 稳定性指数SI 0.129198081 0.157718121 0.157718121 0.171978752 0.129198081 -0.348428835 0.081560284 0.022895126 0.000749625 -0.12601626
分形的艺术——定义
ห้องสมุดไป่ตู้
狭义：分形艺术是指根据分形几何的科学原 理，通过计算机软件创造出来的具有审美功能的 图形、动画等艺术作品。 广义：凡是具有分形思想的艺术作品都可称 之为分形艺术。
狭义的分形艺术可以划归电脑艺术（数码艺术）门类 ，而广义的分形艺术也包括通过手工绘制而成的作品。
分形的艺术——特点
继承了传统美学的形式法则 对称与均衡 节奏与韵律 渐变与特异 对比与和谐 ……
2001和2006年东莞市各地类分维图
1.9 1.8 1.7 1.6 分 维 1.5 数 1.4 1.3 1.2
2001年 2006年
2006年的各地类的分维数都较 2001年的提高，说明东莞市这些 年来的土地利用镶嵌结构越来越 复杂，景观格局破碎度较大
1.1
城市 水域 农田 各种土地利用类型 森林 果园
信息处理方面
物理方面
在分形凝聚中的应用 在固体物理中的应用 在多孔介质运输中的应用 在薄膜研究中的应用 在湍流研究中的应用 在电磁散射中的应用 在分子光谱中的应用 在粒子物理中的应用 在分形量子力学中的应用
遥感发展的契机？
基于分形理论的东莞市土地利用空间格局变化研究 各种土地利用类型在空间上镶嵌分布并有机地结 合在一起而形成的土地利用镶嵌体，是一种在自然界 中形成的分形几何体。通过分维来定量化地描述非线 性结构的复杂程度.
2001和2006年东莞市各地类稳定度
分形树
• 以自然界中的丫字形树杈 为生成元，将生成元在每 一个层次上不断重复，会 得到分形树。
分形树的编程实现方法：
• • • •
分形树的编程实现方法： 递归算法 LS文法 迭代函数系统算法
Koch雪花
Koch曲线 • 1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch， 1870~1924）构造了一种“妖魔曲线”，被称 为Koch曲线。 取一条欧式长度为L0的直线段，将其三等分， 保留两端的线段，将中间的一段改为夹角为60o 的两个等长的直线，再将长度为L0 /3的4个直线 段分别三等分，并将中间部分改换成60o的两段 长为L0 /9的直线段，以此类推，重复至无穷， 便得到像雪花一样的具有自相似结构的折线，这 便是Koch曲线。
案例应用
城市 水域 农田 森林 果园
属性表 Region Group ArcGis 工具 2001年东莞 分别 对01 和06 年的 图像 矢量 化
Cantor三分集
• 德国数学家康托（G.Cantor，1845~1918）在 1883年曾构造了一种三分集: 取一条欧式长度为L0的直线段， L0叫做初始操作长度。 将这条直线段三等分之后，保留两端的线段，将中间的一 段扔掉，再将剩下的两条直线段分别三等分，然后将中间 部分扔掉，以此重复至无穷，便形成了无数个尘埃似的点 ，这就是著名的Cantor三分集。
分形的艺术——特点
极小性 分形艺术的极小性是源自其自相似性。 动态的看，分形艺术是一种具有无限极小性 的艺术。 原因：无限极小性主要取决于其几何属性即 嵌套性和迭代性。
分形的艺术——特点
嵌套性 定义： 美学角度上讲嵌套性是一种图案的渐变与递 进，图中有图，图中生图，无可穷尽是嵌套性在 美学上的特征。
MandelbrotB.B.研究分形几何体 的形态结构，建立了如下模型
定义了景观要素的稳定性指数
SI=D-1.5
当D为1.5时，SI等于0， 处于最不稳定状态，大于零表 示空间格局处于形态简单状态， 而小于零表示处于形态复杂状 态，SI距离零越大，状态越稳 定。
InA(r)=2lnP(r)/D+C
A(r)和P(r)分别为每一种土地利用类型每一 斑块图斑的面积和周长， D为土地利用结构的分维值(理论值为1~2）
452876.223 1.342281879 450324.224 1.342281879 388758.505 1.328021248 171345.859 1.370801919 8961.357 1.848428835
139208.901 1.418439716 80323.689 44344.011 12224.989 1.477104874 1.499250375 1.62601626
a^D=b, D=logb/loga
的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以 是整数，也可以是分数。
Koch曲线的分形维数是 log 4/log 3 ≈ 1.26
分形的主要用途
• 分形体没有特征尺度，不能用一般测 度即长度、面积、体积这类几何对象 的特征量来表示，只能用分形维数 (Fractal dimension，也即“分维 ”)来度量，因而分维已成为描述无标 度现象的特征参数。
分形的艺术——特点
有不同于传统美学的一面
“分形图案的复杂性来自简单数学关系的反复迭代， 其感召力寓于无穷层次局部与整体的自相似，理解其美学 价值需要有一定的思想深度。” ——北京大学非线性科学中心主任赵凯华
分形的艺术——特点
自相似性
定义： 在通常的几何相似性不变的分形，称为自相 似。通俗地说分形的自相似性就是一种跨越不同 尺度的对称。
分形理论的应用
经济管理方面
生态方面的应用
分形的应用
信息处理的应用
物理方面的应用
城市发展和演变过 程的应用
经济管理方面的应用
为经济管理领域研究提 供了一种全新的工具。 在国家宏观经济研究、 人力资源管理、股市行情、 经济奇异吸引子的维测度 等都得到应用。
景观生态的应用
自然景观仿真研究
地形和自然景观的建模
“不论是自然界中的个体分形形态，还是数学方法产生的分形 图案，都有无穷嵌套、细分再细分的自相似的几何结构。” ——王本楠 《科学与艺术的联姻》
分形的艺术——特点
缠绕性 定义： 在分形艺术中充满了分叉、缠绕、不规则的 元素，她给我们一种返璞归真的感觉，而这种美 学特性即为分形图案的缠绕性。 分形艺术的美学秩序是一种无序中的秩序， 这里的无序并不是混乱，而是一种几何秩序在视 觉上的表现，即混沌性。
• 康托集的被扣下去的部分是等比级数，其长度
2n 1 2 4 8 1 1 ( ) 1 n 1 3 9 27 81 3 1 2 3 n 0 3
• 这样，康托集的总长度为1-1=0。 计算表明康托集不包括任何非零的长度。事实上，令人 惊讶的是，它可能在所有中间被扣掉的部分之和就等于它 的最初的长度。然而，仔细观察这个过程却有很重要的东 西被剩下，因为重复地消除只是中间的1/3开集（这个集 合不包含它的端点）。从最初的[0，1]线段中除去 (1/3, 2/3)，而两个端点1/3和 2/3被留下。随后的 操作，不移动这些端点，因为被移除的部分总是在剩余部 分的内部。所以康托集是非空的，而事实上，它包括无限 多个点。
• 在数学方面，康托集是由德国数学家康托于1883年引入的 （但在1875年就由Henry John Stephen Smith发现了 ），它是一个取自简单直线段上的点集，它有若干非凡而又 深刻的性质。通过对它的思考，康托和其他助手奠定了现代 一般拓扑学基础。虽然康托自己用抽象的方法定义了这个集 合，但一般而言，现代最流行的构造是康托三分集，它是通 过将一条线段的中间部分去掉而获得的。康托自己只是顺便 提及了三重构造，作为无处稠密的完备集的一般例子。 • 三分集的构造 康托三分集是由重复删除直线段中间的三分之一开区间而创 造出来的。先从区间[0，1]中间删除开区间(1/3, 2/3)， 留下两边线段：[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]。下一步，删除留 下的线段的各自的三分之一中间段，剩下四条直线段： [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1] 。无限重复这一过程，则第n个集合是 。康托三分集包含区 间[0, 1]内在每一步没被删除的所有的点。
问题引入——海岸线有多长？
1.为什么长度已不是海岸线的特征量？
任何海岸线在一定意义上都是无限长的
2.为什么在测量海岸线长度时，随测量 单位的减小，海岸线长度会越来越大？
逼近
3.如何建立海岸线的数学模型
Koch曲线
分形 Fractal
分形的概念是美籍数学家 曼德布罗特(B. B. Mandelbort)首先提 出的。 本意是“不规则的、破碎 的、分数的”。 是指以非整数维形式充填 空间的形态特征。
SPSS求对数并作 拟合曲线回归分析
添加面积和周长字段
2006年森林面积一周长双对数拟合曲线 2001年城市用地面积一周长双对数拟合曲线
东莞市土地利用类型分形模型、分维数和稳定性指数
年份 土地利用类型 城市 水域 2001年 农田 森林 果园 城市 水域 2006年 农田 森林 果园 模型（回归方程） InA(r)=0.560+1.459*lnP(r) InA(r)=0.338+1.490*lnP(r) InA(r)=0.340+1.490*lnP(r) InA(r)=0.231+1.506*lnP(r) InA(r)=0.555+1.459*lnP(r) InA(r)=3.001+1.082*lnP(r) InA(r)=0.846+1.410*lnP(r) InA(r)=1.199+1.354*lnP(r) InA(r)=1.317+1.334*lnP(r) InA(r)=2.076+1.230*lnP(r) 判别系数R 0.985 0.981 0.985 0.984 0.985 0.82 0.936 0.921 0.905 0.874 F校验值 152964.16 分维数D 1.370801919 稳定性指数SI 0.129198081 0.157718121 0.157718121 0.171978752 0.129198081 -0.348428835 0.081560284 0.022895126 0.000749625 -0.12601626
分形的艺术——定义
ห้องสมุดไป่ตู้
狭义：分形艺术是指根据分形几何的科学原 理，通过计算机软件创造出来的具有审美功能的 图形、动画等艺术作品。 广义：凡是具有分形思想的艺术作品都可称 之为分形艺术。
狭义的分形艺术可以划归电脑艺术（数码艺术）门类 ，而广义的分形艺术也包括通过手工绘制而成的作品。
分形的艺术——特点
继承了传统美学的形式法则 对称与均衡 节奏与韵律 渐变与特异 对比与和谐 ……
2001和2006年东莞市各地类分维图
1.9 1.8 1.7 1.6 分 维 1.5 数 1.4 1.3 1.2
2001年 2006年
2006年的各地类的分维数都较 2001年的提高，说明东莞市这些 年来的土地利用镶嵌结构越来越 复杂，景观格局破碎度较大
1.1
城市 水域 农田 各种土地利用类型 森林 果园
信息处理方面
物理方面
在分形凝聚中的应用 在固体物理中的应用 在多孔介质运输中的应用 在薄膜研究中的应用 在湍流研究中的应用 在电磁散射中的应用 在分子光谱中的应用 在粒子物理中的应用 在分形量子力学中的应用
遥感发展的契机？
基于分形理论的东莞市土地利用空间格局变化研究 各种土地利用类型在空间上镶嵌分布并有机地结 合在一起而形成的土地利用镶嵌体，是一种在自然界 中形成的分形几何体。通过分维来定量化地描述非线 性结构的复杂程度.
2001和2006年东莞市各地类稳定度
分形树
• 以自然界中的丫字形树杈 为生成元，将生成元在每 一个层次上不断重复，会 得到分形树。
分形树的编程实现方法：
• • • •
分形树的编程实现方法： 递归算法 LS文法 迭代函数系统算法
Koch雪花
Koch曲线 • 1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch， 1870~1924）构造了一种“妖魔曲线”，被称 为Koch曲线。 取一条欧式长度为L0的直线段，将其三等分， 保留两端的线段，将中间的一段改为夹角为60o 的两个等长的直线，再将长度为L0 /3的4个直线 段分别三等分，并将中间部分改换成60o的两段 长为L0 /9的直线段，以此类推，重复至无穷， 便得到像雪花一样的具有自相似结构的折线，这 便是Koch曲线。
案例应用
城市 水域 农田 森林 果园
属性表 Region Group ArcGis 工具 2001年东莞 分别 对01 和06 年的 图像 矢量 化