6第六讲(实心圆杆扭转)解析

第6章圆轴的扭转6.1 扭转的概念扭转是杆件变形的一种基本形式。

在工程实际中以扭转为主要变形的杆件也是比较多的，例如图6-1所示汽车方向盘的操纵杆，两端分别受到驾驶员作用于方向盘上的外力偶和转向器的反力偶的作用；图6-2所示为水轮机与发电机的连接主轴，两端分别受到由水作用于叶片的主动力偶和发电机的反力偶的作用；图6-3所示为机器中的传动轴，它也同样受主动力偶和反力偶的作用，使轴发生扭转变形。

图6—1 图6—2 图6—3这些实例的共同特点是：在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面与杆件轴线垂直的力偶，使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线的相对转动。

这种形式的变形称为扭转变形（见图6-4）。

以扭转变形为主的直杆件称为轴。

若杆件的截面为圆形的轴称为圆轴。

图6—46.2 扭矩和扭矩图6.2.1 外力偶矩作用在轴上的外力偶矩，可以通过将外力向轴线简化得到，但是，在多数情况下，则是通过轴所传递的功率和轴的转速求得。

它们的关系式为nPM 9550 （6-1） 其中：M ——外力偶矩（N ·m ）; P ——轴所传递的功率（KW ）； n ——轴的转速（r ／min ）。

外力偶的方向可根据下列原则确定：输入的力偶矩若为主动力矩则与轴的转动方向相同；输入的力偶矩若为被动力矩则与轴的转动方向相反。

6.2.2 扭矩圆轴在外力偶的作用下，其横截面上将产生连续分布内力。

根据截面法，这一分布内力应组成一作用在横截面内的合力偶，从而与作用在垂直于轴线平面内的外力偶相平衡。

由分布内力组成的合力偶的力偶矩，称为扭矩，用n M 表示。

扭矩的量纲和外力偶矩的量纲相同，均为N·m 或kN·m 。

当作用在轴上的外力偶矩确定之后，应用截面法可以很方便地求得轴上的各横截面内的扭矩。

如图6-5（a ）所示的杆，在其两端有一对大小相等、转向相反，其矩为M 的外力偶作用。

为求杆任一截面m-m 的扭矩，可假想地将杆沿截面m-m 切开分成两段，考察其中任一部分的平衡，例如图6-5（b ）中所示的左端。

圆截面杆的扭转外力与内力 || 圆杆扭转切应力与强度条件 || 圆杆扭转变形与刚度条件 || 圆杆的非弹性扭转1.外力与内力杆件扭转的受力特点是在垂直于其轴线的平面内作用有力偶（图2·2-1a），其变形特点是在任意两个截面绕轴线发生相对转动。

轴类构件常有扭转变形发生。

作用在传动轴上的外力偶矩m通常是根据轴所传递的功率N和转速n(r/min)来计算。

当N的单位为千瓦（kW）时当N的单位为马力（HP）时扭转时的内力为扭矩T，用截面法求得。

画出的内力图称为扭矩图（或T图），如图2·2-1b所示图2·2-1 圆杆的扭转2.圆杆扭转切应力与强度条件当应力不超过材料的剪切比例极限r p时，某横截面上任意C点（图2·2-2）的切应力公式为式中T——C 点所在横截面上的扭矩p——C点至圆心的距离L p——横截面对圆心的极惯性矩，见表2-2-1 等直杆扭转时的截面几何性质。

图2·2-2 切应力分布圆杆横截面上的切应力r沿半径呈线性分布，其方向垂直于半径（图2·3-2）。

模截面上的最大切应力在圆周各点上，其计算公式为等截面杆的最大切应力发生在T max截面（危险截面）的圆周各点（危险点）上。

其强度条件为式中，[τ]为许用扭转切应力，与许用拉应力[σ]的关系为：[τ]=（0.5～0.6）[σ] (塑性材料)或[τ]=（0.5～0.6）[σ]（脆性材料）3.圆杆扭转变形与刚度条件在比弹性范围内，圆杆在扭矩T作用下，相中为L的两截面间相对扭转角为或式中G——材料的切变模量单位扭转角公式为或式中GL p——抗扭刚度圆杆上与杆轴距离为p外（图2·2-2）的切应变r为圆杆表面处的最大切应变为式中,r——圆杆的半径等截面圆杆的最大单位扭转角，发生在T max一段内，其刚度条件为式中,[θ]为圆杆的许用单位扭转角（°）/m4.圆杆的非弹性扭转讨论圆杆扭转时切应力超过材料的比例极限并进入塑性状态的情况。

第三章扭转（一）Torsion（Part 1）第六讲教学内容§3-1扭转的概念§3-2 薄壁圆筒的扭转§3-3 传动轴的外力偶矩扭矩扭矩图§3-4 等直圆杆扭转时的应力23§3-1扭转的概念及实例扳手螺丝刀汽车传动轴4电动机轴/传动轴56打稻机受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用面垂直于轴线。

7§3-2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒δ≤r0/10δr0一、薄壁圆筒的扭转应力分析等厚度的圆筒,平均半径为r, 壁厚为δ89扭转试验机10扭转试样扭转试验现象观察试验前试验后观察到如下现象：（1）圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变；（2）纵向线均倾斜了同一微小角度γ。

1112（1）圆筒横截面上没有正应力，只有切应力；（2）沿圆周各点的切应力数值上相等，方向垂直于半径。

根据以上实验现象，可得结论：TeM TTTT T 由实验可观察到：TTdxdxTTlr17上式关系称为剪切胡克定律。

G 称为材料的切变模量（剪变模量）。

G 的量纲与弹性模量E 相同ML -1T -2; 单位(国际单位制)：N/m 2(Pa);钢材的切变模量约为G ＝80GPaG τγ=18桥梁板式橡胶支座是由多层橡胶片与薄钢板硫化、粘合而成, 板式橡胶支座有足够的竖向钢度,能将上部构造的载荷可靠地传递给墩台。

有良好的弹性,以适应梁端的转动,又有较大的剪切变形能力,以满足上部构造所需的水平位移。

E =G+)1(2υ§3-3 传动轴的外力偶矩扭矩扭矩图20I、外力偶矩的计算设某轮所传递的功率是P( 单位：kW)轴的转速是n(单位：rpm或r/m－revolution per minute)2122(kW)P 的功率相当于每分钟作功：1)(60(J)1000=1××P W 所作的功：外力偶矩e M 2)( (J) 2= e 2n M W π⋅(1)=(2) 得e 100060=2 P M nπ⋅××外力偶矩的计算：24主动轮从动轮从动轮外力偶矩的方向提供动力的轮主动轮上的外力偶矩的方向与轴的转动方向相同；从动轮上的外力偶矩的方向与轴的转动方向相反；截面法II、扭矩和扭矩图M eM e eT M=eT M'=M eT M eT’2526将扭矩按右手螺旋法则用力偶矢来表示，则当力偶矢的指向离开截面扭矩为正，反之为负M eTM eT T (+)T(-)扭矩的正负号规定：29M BM CM AM D112233M BT 11351N mBT M =-=-⋅M BM CT 22()702N mB C T M M =-+=-⋅T 3M D3468N mDT M ==⋅1170N mA M =⋅351N mB C M M ==⋅468N mD M =⋅§3-4 等直圆杆扭转时的应力强度条件一、横截面上的应力MM从三方面考虑几何关系物理关系静力学关系3132观察到下列现象:(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有变化；(2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度。