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工程力学第6节 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件

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4.5圆轴扭转时的强度和刚度条件

4.5圆轴扭转时的强度和刚度条件
《化工设备设计基础》
8
动脑又动笔
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
D1 d
D2
已知轴的 [τ] ，设计 如图结构中的轴径 d 。
1 1 T P D P2 D2 1 1 2 2
P1
P2

T P D P D 8P D P D 1 1 3 2 2 1 1 3 2 2 [ ] W 2 d 16 d
4
《化工设备设计基础》
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
例1 （续1）
《化工设备设计基础》
5
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件 例1 （续2）
解：（1）外力偶矩和扭矩的计算。
实际功率
P Pe 22 0.9 19.8kW
P 19.8 m A 9.55 9.55 3.15kN m n 60
0.4 19.8 1.26kN m 60 0.6 19.8 mC 9.55 1.89kN m 60 m B 9.55
主动力偶矩
扭矩：
M T 1 mC 1.89 kNm
MT 2 mc mB 1.89 1.26 3.15kN m
《化工设备设计基础》
M T max N mm, G MPa N / mm 2 , I mm
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
例1
• 图示为带有搅拌器的反应釜简图。搅拌轴上装有 两层浆叶，已知电动机的功率Pe=22KW，搅拌轴 转速n=60r/min，机械传动效率 η=90％ ，上、 下层搅拌浆叶所受的阻力不同，所消耗的功率各 占总功率的η=40％ 和η=60％ 。此轴采用 φ114×6mm的不锈钢管制成，材料性能参数 [τ]=60MPa，G=8X104MPa，[θ]=0.5°/m 。 试校核搅拌轴的强度和刚度。若将此轴改为相同 材料且与原来空心轴强度相同的实心轴，试确定 其直径，并比较两种轴的用钢量。

第6章 圆轴的扭转(5)

第6章 圆轴的扭转(5)
。
4、变形后，半径仍为直线且转过了角度 j ，说明半 径上各点的剪应变不同，圆心处剪应变为零,离圆心越 远,剪应变越大。
扭转剪应力公式推导
R
几何关系
dj 是前后两个端面的相对转角。
g 是外表面沿轴线方向上的剪应变。
在外表面处的剪应变 在离轴心ρ 处的剪应变
变形前位置 变形后位置 g( r) γ（ρ ） ρr dj g A A dx dx
WP
16M A ×103 16×150 = = = 81.26 MPa ＜[τ] 4 4 d 1 π ×243 - 18 3 1 πD 1 1 24 D1 16 M C 16× 100×10 3 = = 86.9 MPa 4 4 18 d2 3 3 π × 22 1 2 1 22 D2
正的扭矩
负的扭矩
通常，扭转圆轴各横截面上的扭矩是不同的，为 了形象地表达扭矩沿轴线的变化情况，我们仿照作轴 力图的方法，作出扭矩图。
例1： 如图(a)所示传动轴，已 知转速 n=250r/min，主动轮A的 输入功率PA=80kW,三个从动轮B、 C、D输出功率分别为25kW、 30kW和25kW，试画出传动轴 的扭矩图。
6.3 扭矩与扭矩图
下面用截面法研究圆轴横截面上的内力：
m
m
由平衡条件 ∑M=0，有 T-M=0，得T=M 若取右段研究，求得的扭矩与上面求得的扭矩大 小相同，转向相反。
为了使不论取左段或右段求得的扭矩大小、符号都一致， 对扭矩的正负号规定如下：按照右手的螺旋法则，用右手的 四个手指沿扭矩方向环绕，若大拇指的指向与外向法线一致， 则扭矩为正；反之为负。
的误差不超过4.52%,是足够精确的。

课题十四圆轴扭转时的强度条件及刚度条件

课题十四圆轴扭转时的强度条件及刚度条件
IP ——截面对圆心的极惯性矩 圆形截面
图14-1
I
p
d 4 32
课题十四 圆轴扭转时的强度条件及刚度
剪应力的最大值发生在横截面的圆周线上，其值为 WT——抗扭截面系数 对于实心圆轴
m ax

T WT
对于空心圆轴
d3 W (14) T 16
d3 WT 16
二、圆轴扭转时的强度条件
课题十四 圆轴扭转时的强度条件及刚度条件 一、圆轴扭转时的应力
圆轴扭转时横截面上没有正应力，只有剪应力，剪应力的方向与
半径线垂直，大小与该点到圆心的距离成正比，圆心处为零，圆周处
最大，如图14-1所示。
T I p
式中： τ——横截面上某点的剪应力 T——截面的扭矩
ρ——剪应力计算点到圆心的距离
为保证轴的正常工作，轴内的最大剪应力不应超过材料的许用剪应 力，即
max
T [ ] WT
这就是圆轴扭转的强度条件
三、圆轴扭转时的变形
课题十四 圆轴扭转时的强度条件及刚度
圆轴扭转时的变形用扭转角ψ来度量，扭转角ψ是某一截面相对于另一截 面所转过的角度。如图14-2所示。 对等直圆轴而言，若在轴的长度范围内，扭矩为常量时，圆轴两端截面间
的扭转角为
G——材料的剪切弹性模量
TL GIp
图
14-2
课题十四 圆轴扭转时的强度条件及刚度
四、圆轴扭转时的刚度条件
限制变形的条件叫做刚度条件，圆轴扭转时的刚度条件 G Ip 1 8 0 L

工程力学(静力学与材料力学)-6-圆轴扭转

工程力学(静力学与材料力学)-6-圆轴扭转

圆轴扭转时横截面上的 剪应力分析与强度设计
第6章 圆轴扭转
返回
第6章 圆轴扭转
School of Life and Environmental Science
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设
计
应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量 ——扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。为了 确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道 横截面上的剪应力是怎样分布的。
dz dx

第6章 圆轴扭转
School of Life and Environmental Science
剪应力互等定理 y
剪切胡克定律

剪应力成对定理

dy

x
dz dx
在两个互相垂直的平面 上，剪应力必然成对存在 ， 且数值相等，两者都垂直于 两个平面的交线 ，方向则共 同指向或共同背离这一交线 ，这就是 剪应力成对定理 （ pairing principle of shear stresses）。
计
dA M
A
x
d G G dx
d M x dx GI P
式中 GIP—扭转刚度；
I P 2 dA
A
IP—横截面的极惯性矩。
第6章 圆轴扭转
School of Life and Environmental Science
第6章 圆轴扭转
School of Life and Environmental Science
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设
计
确定横截面上剪应力 的方法与过程
平面假定
变 形 应变分布
物性关系

第六章圆轴的扭转

第六章圆轴的扭转

第五节 圆轴扭转时变形和刚度计算
圆轴扭转时的变形由两横截面间相对扭转角 来度量：
即
MTl
GI p
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。
二、圆轴扭转时的刚度条件：单位长度的扭转角不超过许用 单位扭转角[ ]，即
max
MT GI p
(rad/m)
或
max
MT 180
2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行，转过相同的角度γ 。
圆轴扭转的平面假设：
圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平 面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间 的距离不变。
结论： 1. 扭转变形的实质是剪切变形；
2. 横截面上只有垂直于半径方向的剪应力τ ，没有正应力σ。
第二节 剪切——剪切胡克定律
一.剪切的概念
剪切变形的受力特点是：作用在构件两侧面上外力的 合力大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近。
常见的剪切变形
键 轴
轮
F
mn
Fm
F
n
F
(a)
(b)
实用计算中，通常假设剪切应力τ在剪切面上是 均匀分布的，如图d。则:
Q
A
不发生剪切破坏的条件，即抗剪强度条件为:
几何量，单位：mm3或m3。
第四节 圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转的强度条件是：轴的危险截面（即 产生最大扭转剪切应力的截面）上的最大剪切应 力τmax不超过材料的许用剪切应力[τ]即
max
M T max W
许用剪切应力[τ]值由相应材料试验测定并考 虑安全系数后加以确定。
圆轴扭转的强度计算可解决三类强度问题
采用空心传动轴能有效节省材料，减轻自重，提高承受 能力。空心轴受扭在力学上的合理性，可以从扭转剪切应 力在横截面上的分布图得到说明。但空心圆轴的环形壁厚 尺寸也不能过小。另外，只有截面闭合的空心圆轴才有较 高的抗扭强度，开口圆管的抗扭能力是很低的。

考研复习—工程力学——第6章 扭转

考研复习—工程力学——第6章 扭转

Wt
IP d2
d3
16
0.2d 3
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.3 极惯性矩Ip与抗扭截面模量Wt
2.圆环形截面
与圆形截面方法相同，如图所示，有
IP 2dA
A
D 2 2 3d
d2
32
D4 d 4
0.1 D4 d 4
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.3 极惯性矩Ip与抗扭截面模量Wt
第6章
6.2 扭转时横截面上的内力——扭矩
6.2.3 扭矩图
例6-1 传动轴受力如图6-7(a)所示。转速n=300 r/min，主动轮A输
入功率PA=50 kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB=PC=15 kW，
PD=20 kW。试作出轴的扭矩图，并确定轴的最大扭矩值。
图6-7
第6章
6.2 扭转时横截面上的内力——扭矩
图6-8
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.1 横截面上的剪应力计算公式
由平面假设可推出如下推论： （1）横截面上无正应力。因为扭转变形时，横截面大小、形状、纵向间距均未 发生变化，说明没有发生线应变。由胡克定律可知，没有线应变，也就没有正应 力。
（2）横截面上有剪应力。因为扭转变形时，相邻横截面间发生相对转动。但 对截面上的点而言，只要不是轴心点，那两截面上的相邻两点，实际发生的是相
第6章
6.4 圆轴扭转强度条件及应用
6.4.3 应用实例
（2）校核轴的强度。由扭矩图可知，最大扭矩在AB段，由于是等截面轴，故
AB段最危险。
max
T
Wt
267 103 0.2 303

工程力学第6单元 圆轴扭转

为螺旋线，称为切应变，用符号γ表示。
机械工业出版社
6.2 扭矩和扭矩图
6.2.1 外力偶矩的计算
作用在轴上的外力偶矩，一般在工作过程中并不是已 知的，常常是已知轴所传递的功率和轴的转速，再由下式 求出外力偶矩，即：
Me

9550 P n
式中：Me为轴上的外力偶矩，单位为N.m； P为轴传递的功率，单位为kW；
机械工业出版社
6.2 扭矩和扭矩图
案 例 6-1 传 动 轴 如 图 6-8a 所 示 ， 主 动 轮 A 输 入 功 率 PA=120kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=30kW， PC=40kW ， PD=50kW ， 轴 的 转 速 n=300r/min 。 试 作 出 该 轴的扭矩图。
改锥拧螺母-力偶实例
钻探机钻杆
机械工业出版社
6.1 圆轴扭转的概念
工程实例的受力及变形分析 工程上传递功率的轴，大多数为圆轴，这些传递功率的 圆轴承受绕轴线转动的外力偶矩作用时，其横截面将产生绕 轴线的相互转动，这种变形称为扭转变形。
方轴扭转的概念
机械工业出版社
6.3 圆轴扭转时横截面上的应力
3.圆轴扭转的切应力 （1）横截面上任一点的切应力


T
IP
式中：T—为横截面上的扭矩； ρ—为所求点到圆心的距离 ； τρ —为该截面对圆心的极惯性矩
机械工业出版社
6.3 圆轴扭转时横截面上的应力
当ρ=R时，圆截面上的切应力最大τmax （2）圆截面上的最大切应力
max

T Wp
式中：T —为横截面上的扭矩；
WP—为圆截面的抗扭截面模量，单位m3 或mm3
机械工业出版社
6.3 圆轴扭转时横截面上的应力

(参考资料)圆轴扭转时的变形和刚度条件

第10讲教学方案——圆轴扭转时的变形和刚度条件非圆截面杆的扭转基本内容圆轴扭转时的变形和刚度条件、矩形截面杆扭转时的应力与变形教 学 目 的 1、掌握圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算。

2、掌握刚度条件的建立及利用刚度条件进行相关计算。

3、了解圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算。

4、了解矩形截面杆扭转时的横截面上的应力分布与变形计算。

重 点 难 点 本节重点：圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算，刚度条件的建立及相关计算。

本节难点：对圆轴变形程度的理解。

§4-6 圆轴扭转时的变形和刚度条件扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。

对于圆轴，由式（4-10） pGI Tdxd =φ 所以pl0p lGI Tl dx GI T d ===∫∫φφ（rad ） （4-17） 式中称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量p GI 与极惯性矩乘积。

越大，则扭转角p GI φ越小。

让dxd φϕ=，为单位长度相对扭角，则有pGI T=ϕ（rad/m ） 扭转的刚度条件：[]ϕϕ≤=Pmax GI T（rad/m ） （4-18） 或[]ϕπϕ≤×=180GI T P max （°/m ） （4-19） 例4-3 如图4-13的传动轴，500=n r/min ，5001=N 马力，2002=N 马力，马力，已知[]3003=N 70=τMPa ，[]1=ϕ°/m ，GPa 。

求：确定AB 和BC 段直径。

80=G 解： 1）计算外力偶矩702470241==nN m A （N ·m ） 6.280970242==nN m B （N ·m ） 4.421470243==nN m C （N ·m ） 作扭矩T 图，如图4-13b 所示。

2）计算直径 d AB 段：由强度条件，[]τπτ≤==31max 16d T W T t[]801070702416163631≈×××=≥πτπTd （mm ） 由刚度条件[]ϕππϕ≤×=o18032dG T 416.8411080180702432][G 180T 32d 429421=×××××=×≥πϕπ（mm ）取 mm6.841=d BC 段：同理，由扭转强度条件得 mm 672≥d 由扭转刚度条件得 mm 5.742≥d 取mm5.742=d例4-4 如图4-14所示等直圆杆，已知KN ·m ，试绘扭矩图。

圆轴扭转的刚度条件

优化设计
采用数学优化方法，对圆轴的尺寸、形状 等进行优化，以达到最佳的刚度性能。
材料选择与优化
高强度材料
选用高强度钢、钛合金等 高强度材料，以提高圆轴
的承载能力和刚度。
复合材料
采用碳纤维、玻璃纤维等 复合材料，可显著提高圆
轴的刚度和减轻重量。
材料改性
通过热处理、表面处理等 手段改善材料的力学性能
，提高圆轴的刚度。
结果讨论
根据实验结果，讨论圆轴在实际应用中的表现以及可能存在的优化方向。如不满足刚度条 件，需对圆轴结构进行优化设计或选用更高性能的材料。
04
圆轴扭转的刚度设计
设计原则与方法
刚度优先原则
在满足强度和稳定性的前提下，优先提高 圆轴的刚度，以减小变形和振动。
等强度设计
使圆轴各截面的应力接近许用应力，从而 充分利用材料强度。
将实验过程中记录的数据进行整理， 包括扭矩、扭转角度等参数的原始数 据和曲线图。
结果对比
将实验数据与理论计算值或其他试样 的实验数据进行对比，以评估圆轴的 刚度性能。
数据分析
通过分析扭矩-扭转角度曲线，可以了解 圆轴在扭转过程中的刚度变化。计算圆轴 的扭转刚度，即扭矩与扭转角度的比值。
刚度性能的评价指标
06
圆轴扭转的刚度条件在工程中的应用
机械传动系统中的应用
传动轴的刚度设计
在机械传动系统中，传动轴经常受到扭转力的作用。为确保传动效率和轴的稳定 性，需要根据圆轴扭转的刚度条件进行轴的设计，以防止过度变形或破坏。
轴承座的刚度要求
轴承座是支撑传动轴的关键部件，其刚度直接影响轴的传动精度和稳定性。根据 圆轴扭转的刚度条件，可以对轴承座进行刚度分析和优化，以提高传动系统的整 体性能。

圆轴的扭转强度条件


圆轴的扭转强度条件
CATALOGUE
目录
引言 圆轴的扭转强度基础 圆轴的扭转强度条件 圆轴的扭转强度应用 结论
01
引言
主题介绍
圆轴的扭转强度条件是机械工程中的重要概念，涉及到圆轴在受到扭矩作用时的承载能力和稳定性。
圆轴在机械传动、车辆、航空航天等领域广泛应用，因此对其扭转强度条件的掌握对于保证机械系统的安全性和稳定性至关重要。
直径与长度
圆轴的圆度和表面粗糙度影响扭矩传递的平稳性和效率，圆度越好，表面粗糙度越低，则传递效果更佳。
圆度与表面粗糙度
圆轴的几何特性
材料的抗拉强度决定了圆轴在受到扭力时的承载能力，抗拉强度越高，抗扭能力越强。
材料的弹性模量影响圆轴在受到扭力时的变形程度，弹性模量越大，变形越小，稳定性越好。
圆轴的材料特性
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截面尺寸和形状
扭矩的大小和作用方式决定了圆轴所受的扭矩载荷，从而影响其扭转强度。
扭矩大小和作用方式
温度、湿度和腐蚀等环境因素也会对圆轴的扭转强度产生影响。
环境因素
圆轴的扭转强度影响因素
圆轴的扭转强度实验方法
实验设备：实验需要使用扭矩测试仪来测量圆轴在不同扭矩下的扭转角度和转角扭矩。
实验步骤
1. 选择合适的圆轴试样，测量其直径、长度、材料等参数。
考虑圆轴的工作环境和循环载荷情况，进行疲劳寿命评估，确保圆轴具有足够的耐久性。
圆轴的强度校核方法
05
结论
பைடு நூலகம்
主题总结
圆轴的扭转强度条件是工程中一个重要的力学问题，涉及到圆轴在扭矩作用下的稳定性。本文通过理论分析和实验验证，得出了圆轴的扭转强度条件，为工程实践提供了重要的理论依据。
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318Nm 955Nm
955 1910 955 N m 3-3 截面的扭矩 TCD M D 318 N m
绘出的扭矩图如图所示， 显然BA和AC段扭矩最大。故
Tmax 955 N m
3）按强度条件确定轴径
Tmax 16Tmax max [ ] 3 WP D 3 16 Tmax 3 16 955 D m 47.6 mm 6 [ ] 4510
二、圆轴扭转时的强度条件
材料的扭转 许用应力 圆轴扭转时的 强度条件
[ ]
u
n
max [ ]
max 应发生在最大扭矩 Tmax 的横截 等截面圆轴： 面上周边各点处，所以其强度条件为
等截面圆轴扭转 时的强度条件
max
Tmax [ ] WP
T ) max 的 阶梯轴等变截面圆轴： max 应发生在 ( WP
在最大切应力相同的情况下，空心轴所用 的材料是实心轴的 61.1%，自重也减轻了 38.9%。其 原因是：圆轴扭转时，横截面上应力呈线性分布，越 接近截面中心，应力越小，此处的材料就没有充分发 挥作用。做成空心轴，使得截面中心处的材料安置到 轴的外缘，材料得到了充分利用，而且也减轻了构件 的自重。但空心轴的制造要困难些，故应综合考虑。
对于空心轴，由扭转时的强度条件
Tmax 16 T max [ ] 3 4 WP D2 (1 )
Tmax 16 T max [ ] 3 4 WP D2 (1 )
D2
3
16T 4 [ ](1 ) 161186 m 64.2 mm 6 4 3010 (1 0.7 )
2 2 2 2
3
（2）空心轴和实心轴的面积之比
2 2 A2 D d 64 . 2 45 . 0 0.611 2 2 A1 d1 58.6
（2）空心轴和实心轴的面积之比
A2 D d 64.2 45.0 0.611 2 2 A1 d1 58.6
2 2 2 2 2 2
（1）实心轴和空心轴传递功率相等，受相同 解： 的外力偶矩，横截面上的扭矩因此也相等。
根据扭转时的强度条件
P T M e 9550 1186 N m n
max
d1
3
求得实心轴的直径
Tmax 16T [ ] 3 WP d1
3
16T [ ]
161186 m 58.6 mm 6 3010
刚度条件
Tmax 180 [ ] GI P
0
说明 单位长度许用扭转角[ ]的通常取值如下： 精密机器、仪器的轴：[ ] =（0.25～0.50） /m
一般传动轴：[ ] = /m （0.5～1.0）
精度要求不高的传动轴：[ ] =（2.0～4.0） /m
例7-6 传动轴n=600r/min，已知主动轮A输入的功率 PA=120kW；从动轮B、C、D输出的功率分别为PB=60 kW，PC=40kW，PD=20kW。轴材料的剪切弹性模量 G=80GPa，许用切应力[ ]=45MPa，单位长度的许用 扭转角[ ] = 0.8 /m，试按强度条件及刚度条件确定此 轴直径。 解：1）计算外力偶矩
PA M A 9550 n 1910N m
同理
M B 955 N m，M C 637 N m， M D 318 N m
2）绘制扭矩图 用截面法求
1-1 截面的扭矩
1
2
3
1
2
3
TBA M B 955N m
2-2 截面的扭矩
B
955Nm
A C DΒιβλιοθήκη TAC M B M A
4）按刚度条件确定轴径
Tmax 180 32Tmax 180 max [ ] 4 GIp GD
4
32Tmax 180 4 32 955180 D m 54.3 mm 2 9 2 G [ ] 8010 0.8
若使轴同时满足强度和刚度条件，应取 D 54.3 mm
横截面上周边各点处，所以其强度条件为 变截面圆轴扭转 时的强度条件
T max ( ) max [ ] WP
扭转强度条件可以用来解决三类问题： 强度校核
设计截面尺寸
确定许用载荷
例7-5 如图，实心轴和空心轴通过牙嵌离合器联接 在一起，已知空心轴内、外径比值 α d 2 /D2 = 0.7，轴 的转速 n 1450 r/min，传递的功率 P 180 kW，材料 的扭转许用应力 [ ] 30MPa。试设计： （1）实心轴的直径 d1 ，空心轴内径 d 2、外径 D2 。 （2）空心轴和实心轴的面积之比。
一、扭转极限应力
扭 转 试 验 机
（a）塑性材料断口
45o
（b）脆性材料断口 扭转破坏试验
试验结论 对于受扭圆轴，塑性材料失效的标志是屈服，试 件表面会出现滑移线，试件屈服时横截面上的最 大切应力即为材料的扭转屈服应力，用 s 表示； 脆性材料失效的标志是断裂，试件断裂时横截面 上的最大切应力即为材料的扭转强度极限，用 b 表示。 扭转屈服应力 s 和扭转强度极限 b又统称为材料 的扭转极限应力，用 u表示。
小结
三、圆轴扭转时的刚度条件
扭转的刚度条件就是限定单位长度扭转角 的 最大值不得超过规定的允许值 [ ]，即
max [ ]
等截面圆轴的单位长度扭转角
d Tmax [ ] dx GI P
刚度条件
工程上[ ]的单位通常用度/米（/m），由于1弧度 =180/ ，故上述刚度条件又可写成