圆轴扭转时的应力和强度计算

第7章圆轴扭转主要知识点：（1）圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图；（2）圆轴扭转时的应力和强度计算；（3）圆轴扭转时的变形和刚度计算。

圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图1.已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。

解：截面上与T对应的切应力分布图如下：2.用截面法求下图所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。

图7-2解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-2a）。

取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-311。

取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程062122=+⋅-+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅=-322。

取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-133。

b) 采用截面法计算扭矩（见图7-2b ）。

取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-511。

取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程05522=+⋅+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅-=-1022。

取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程03333=+⋅+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅-=-633。

3. 作下图各杆的扭矩图。

解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-3a ）。

取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-411。

取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-222。

作出扭矩图。

a)b) 图7-3 b) 由力矩平衡方程可得e A M M 2-=（负号表示与图中假设方向相反）。

采用截面法计算扭矩（见图7-3b ）。

取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e M T 211-=-。

取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得e M T -=-22。

作出扭矩图。

圆轴扭转时的应力和强度计算4. 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图所示。

已知轴的转速n =100r/min ，传递的功率P=7.5kW ，材料的许用应力][τ=40MP a ，试通过计算确定（1） 采用实心轴时，直径d 1和的大小；（2） 采用内外径比值为1/2的空心轴时，外径D 2的大小。

圆轴扭转时的应力计算公式在我们学习力学的过程中，圆轴扭转时的应力计算公式可是个相当重要的家伙。

咱们今天就来好好唠唠它！先来说说啥是圆轴扭转。

想象一下，你手里拿着一根棍子，然后像拧麻花一样去转动它，这时候棍子内部就会产生应力。

圆轴扭转就是类似这样的情况啦。

那圆轴扭转时的应力计算公式到底是啥呢？它就是：τ = Tρ / Ip 。

这里的τ 表示的是扭转切应力，T 是扭矩，ρ 是所求应力的点到圆心的距离，Ip 则是极惯性矩。

咱们来仔细瞅瞅这个公式。

扭矩 T 就好比是你拧棍子的那个力气，力气越大，应力也就越大。

而ρ 呢，距离圆心越远，应力也就越大，就像离圆心远的地方更“吃力”。

极惯性矩 Ip 则反映了圆轴抵抗扭转的能力，它越大，应力就相对越小。

我记得之前在给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学瞪着大眼睛问我：“老师，这公式咋来的呀？”我就给他举了个例子。

咱们把圆轴想象成是由好多好多层薄圆环组成的。

当圆轴扭转时，每一层薄圆环都会发生相对的滑动，就像是在互相“拉扯”。

通过对这种“拉扯”的分析和计算，咱们就得出了这个公式。

在实际应用中，这个公式可太有用了。

比如说在机械设计里，要设计一根传动轴，就得先算出它在工作时扭转产生的应力，看看是不是在材料能承受的范围内。

要是应力太大，轴就可能会断掉，那可就出大问题啦！再比如，在一些工程结构中，像桥梁的支撑柱，如果受到扭转力的作用，也得用这个公式来算算应力，保证结构的安全稳定。

咱们在解题的时候，一定要搞清楚每个参数的含义和单位，千万别马虎。

有一次考试，就有同学因为把单位搞错了，结果整个答案都错了，那叫一个可惜哟！总之，圆轴扭转时的应力计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们认真理解，多做几道题练练手，就一定能掌握它，让它成为我们解决问题的有力工具。

怎么样，同学们，这回对圆轴扭转时的应力计算公式是不是更清楚啦？加油，相信大家都能学好这部分知识！。

扭转切应力的计算公式1. 扭转切应力基本公式。

- 对于圆轴扭转时，横截面上的扭转切应力计算公式为τ=(Tρ)/(I_p)。

- 其中τ为扭转切应力，T为横截面上的扭矩，ρ为所求切应力点到圆心的距离，I_p为极惯性矩。

- 在圆轴的外边缘处ρ = r（r为圆轴半径）时，最大扭转切应力τ_max=(T)/(W_t)。

- 这里W_t=(I_p)/(r)称为抗扭截面系数。

对于实心圆轴，I_p=(π d^4)/(32)，W_t=(π d^3)/(16)（d为圆轴直径）；对于空心圆轴，I_p=(π)/(32)(D^4 - d^4)，W_t=(π)/(16D)(D^4 - d^4)（D为空心圆轴的外径，d为空心圆轴的内径）。

2. 公式的推导依据（简单介绍）- 基于圆轴扭转时的变形几何关系、物理关系（胡克定律在切应力 - 切应变中的应用）以及静力学关系推导得出。

- 变形几何关系表明圆轴扭转时，横截面上的半径仍保持为直线，各横截面绕轴线发生相对转动，其扭转角沿轴线方向是均匀分布的。

通过对微元体的分析，建立起切应变与半径、扭转角之间的关系，再结合物理关系（切应力与切应变的关系τ = Gγ，G为切变模量），最后利用静力学关系（横截面上的扭矩等于微元面上的切应力对圆心的力矩之和）推导出上述扭转切应力公式。

3. 公式的应用条件。

- 公式适用于等直圆轴（实心或空心）的扭转问题。

- 在推导过程中使用了材料的线弹性假设（即切应力与切应变满足胡克定律），所以当应力不超过材料的比例极限时公式才适用。

- 圆轴在扭转时，横截面上没有正应力，只有切应力，并且切应力的方向垂直于半径。

如果结构不符合这些基本假设，如非圆截面轴的扭转，不能直接应用上述公式，需要采用其他的分析方法（例如对于矩形截面轴的扭转，有专门的近似理论和公式）。