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圆轴扭转时的应力和强度计算

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扭转习题解答

扭转习题解答

第7章圆轴扭转主要知识点：（1）圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图；（2）圆轴扭转时的应力和强度计算；（3）圆轴扭转时的变形和刚度计算。

圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图1.已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。

解：截面上与T对应的切应力分布图如下：2.用截面法求下图所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。

图7-2解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-2a）。

取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-311。

取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程062122=+⋅-+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅=-322。

取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-133。

b) 采用截面法计算扭矩（见图7-2b ）。

取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-511。

取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程05522=+⋅+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅-=-1022。

取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程03333=+⋅+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅-=-633。

3. 作下图各杆的扭矩图。

解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-3a ）。

取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-411。

取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-222。

作出扭矩图。

a)b) 图7-3 b) 由力矩平衡方程可得e A M M 2-=（负号表示与图中假设方向相反）。

采用截面法计算扭矩（见图7-3b ）。

取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e M T 211-=-。

取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得e M T -=-22。

作出扭矩图。

圆轴扭转时的应力和强度计算4. 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图所示。

已知轴的转速n =100r/min ，传递的功率P=7.5kW ，材料的许用应力][τ=40MP a ，试通过计算确定（1） 采用实心轴时，直径d 1和的大小；（2） 采用内外径比值为1/2的空心轴时，外径D 2的大小。

扭转刚度计算.

扭转刚度计算.

例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ ] =1.0°/m，工作时最 内径d=85mm，许用切应力 [ ]=60MPa，
大力偶矩M =1500N· m，G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。
max 180M n /(GI P ) [θ ]
下列标准。 精密机械的轴 一般传动轴
(6-13)
[ ]的数值，可从有关手册中查得。一般情况下，可参照 [ ] =（0.25~0.5）°/m [ ] =(0.5~1.0) °/m [ ] =(1.0~2.5) °/m
精度要求不高的轴
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
M n Wn [ ] (0.2 403 109 60106 )N m 768N m
M M n 768N m
(2) 确定最大功率
由式（6-1）得
P M nn / 9550 (768 200/ 9550 )kW 16kW
二、刚度计算 圆轴扭转时，还要求不产生过大的扭转变形。即
第四节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
，即
max M n/W n [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴，已知轴的直径d=40mm，转速n=200r/min， 材料的许用切应力 60MPa ，试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
0.8/m ＜ [ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强

扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)

扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
1.5 10 6


MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa

max
Tmax
Tmax


WP
D23 1 4 16


6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax

[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁

第9章圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计

第9章圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7kW
n1=n2= 120r/min
转速与齿数成反比，所以有
1
36
3 ＝1 × ＝ 120 ×
r/min＝360r/min
3
12
2. 根据 = 9549


N ⋅ m 计算各轴的扭矩
3
Mx1=T1=1114 N.m
Mx2=T2=557 N.m
Mx3=T3=185.7 N.m
大连大学
10
9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形
A
B
D ▪ 不难看出，圆轴受扭后，将
产生扭转变形（twist
deformation），圆轴上的每
个微元的直角均发生变化，
这种直角的改变量即为切应
C'
变。这表明，圆轴横截面和
纵截面上都将出现切应力分
τ
别用 和 表示。
D'
A'
B'
大连大学
横截面上的切应力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的
应力变形分析以及强度设计和刚度设计。
▪ 分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力和变形的方法基
本相同。依然借助于平衡、变形协调与物性关系。
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计
▪ 9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形
▪ 9.2 切应力互等定理
3. 设计螺栓等间距分布时的直径d
利用1中所得的结果，应用剪切假定计算的强度条件，有
2

=
=
≤
2

8××
4×
×
4
螺栓直径 ≥
大连大学

= 35.2mm

7-3圆轴扭转时的应力及强度条件

7-3圆轴扭转时的应力及强度条件
第三节
圆轴扭转时的应力及强 度条件
一、圆轴扭转时的应力
1、扭转变形 平面假设：圆周扭转变形后各个横截面仍为平 面，而且其大小、形状以及相邻两截面之间的 距离保持不变，横截面半径仍为直线。
推断结论：

横截面上各点无轴向变形，故 横截面上没有正应力。
横截面绕轴线发生了旋转式的 相对错动，故横截面上有剪应 力存在。 各横截面半径不变，所以剪应 力方向与截面径向垂直
解：传动轴的外力偶矩为：
P 80 M 9549 9549 1317.1N.m n 580
工作切应力的最大值：
3 T M 1317 . 1 10 3 39.58MPa [ ] 50MPa m ax 3 W p 0 . 2 d 0 . 2 55
强度足够！

带入数据后得：τ max＝50.33MPa<[τ ]＝60MPa;强度足够 2、设计实心轴直径D1（两轴的最大工作切应力相等) 3、两轴重量比 T T 2 G A L D m ax ；即 实心轴 1 1 3 2 W 0 .2D P G空心轴 A2 L D d 2 6 T 1 . 5 10 D3 3 53 .03 mm 532 0 .2 m ax 0.250 .3 2 3.21 2 90 85
6 T 5 10 AB 48 . 83 MPa AB max 3 W . 2 80 AB 0
6 T 1 . 8 10 BC 72 MPa BC max 3 W . 2 50 BC 0
二、圆轴扭转的强度条件
1、圆轴扭转的强度条件
纯扭圆轴横截面切应力分布
d1
A
解： 1.外力
C
M e2
d2

圆轴扭转时的强度和刚度计算

圆轴扭转时的强度和刚度计算

A1 / A2 = [π (D 2 − d 2 ) / 4] /(πD 2 2 / 4) = (90 2 − 852 ) / 612 = 0.235
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
I P = 0.1D 4 (1 − a 4 ) = {0.1 × 90 4 [1 − (85 / 90 ) 4 ]}mm 4 = 134 × 10 4 mm 4 θ max = 180 M n /(πGI P )
= (180 × 1500 × 10 3 / 80 × 10 3 × 134 × 10 4 π ) × 10 3 °/m
= 0.8°/m ＜ [θ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强 度相同，当材料相同时，它们的抗扭截面系数应相等，即
W n = πD 13 / 16 = πD 3 (1 Βιβλιοθήκη a 4 ) / 16由此得
D 1 = D3 1 − a 4 = [90 × 3 1 − (85 / 90) 4 ]mm = 53mm
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ 内径d=85mm，许用切应力 [τ ]=60MPa，θ ] =1.0°/m，工作时最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。 (1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
θ max = 180M n /(πGI P ) ≤ [θ ]
(6-13)

第六章扭转与弯曲的强度计算


解：1〉求A,B支座反力( a+b=l )
FAy
Gb l
FBy
Ga l
2〉绘制剪力图
①分段定形
根据梁受外力和支承情况,全梁可分为AC 和BC两段 两段梁上无均布载荷作用，故FQ图均为水平线
②定点绘图
因两段梁上的剪力图均为水平线，故只需分 别在两段内确定任一横截面上的剪力值。
FQ1
FAy
Gb l
FQ 2
FBy
Ga l
3〉绘制弯矩图
①分段定形 全梁仍可分为两段。且两段梁上无均布 载荷作用，故M图均为斜直线 AC段：FQ＞0，M图直线斜率为正 BC段：FQ＜0，M图直线斜率为负
截面A、B、C处受集中力作用，M图有折角且无突变
②定点绘图 求特殊截面上的弯矩值并绘图
由于梁的两端均无集中力偶作用，故MA=0，MB=0
利用上述规律,可不必列出剪力方程和弯矩方程, 而更简捷地绘制梁的剪力图和弯矩图。
其步骤如下： （1）分段定形
根据梁上载荷和支承情况将梁分成若干段，由各段内 的载荷情况判断剪力图和弯矩图的形状；
（2）定点绘图
求出某些特殊横截面上的剪力值和弯矩值，逐段绘 制梁的剪力图和弯矩图。
典型例题1
❖ 已知：G,a,b,l,画梁AB内力图
4.距离圆心越远的点，它的变形就越大。在剪切比 例极限内，切应力与切应变总是成正比，这就是 剪切虎克定律。
因此，各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比， 其分布规律如图所示 ：
根据横截面上切应力的分布规
律，又根据静力平衡条件，推
导出距圆心为 的切应力 计
算公式如下：
T
IP
M Pa
T — 横截面上的扭矩（N.mm）

工程力学基础课件：第7章 圆轴扭转时的应力变形分析及强度和刚度设计


实心圆截面
空心圆截面
薄壁圆环截面
t/R0<1/10
I p
d 2 23d D4
0
32
I
p
D4
32
(1
4)
I p R02 dA 2R03t
WT
D4
D
/ 32 2
D3
16
WT
I p D3 (1 4 )
D 2 16
WT
Ip R0
2R02t
例：由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模
3. 静力学关系
G
G
d
dx
静力等效原理（合力矩定理）
分力系：分布于横截面上的剪应力
合力系：扭矩MT
A ( dA) MT
G
G
d
dx
MT
A ( dA)
(G d dA) G d
A dx
dx
2dA
A
引入记号
Ip
2dA
A
WT
Ip R
G
d
dx
G
MT GI p
max
MT R Ip
MT Ip /R
dx
扭转圆轴时横截面上距离圆心 处的剪应变
2. 物理关系
对线性弹性材料，根据剪切胡克定律，在弹性范围内有
G
G
d
dx
tan 1 G
O
推论一：圆轴扭转时横截面上只有垂直于半径方向的剪应力， 而无正应力。
推论二：横截面上各点剪应变与该点到轴心的距离成正比。
推论三：横截面上各点剪应力与该点到轴心的距离成正比。
d MT
dx GI p
MT
Ip
max

材料力学课件：第3章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度计算计算

韧性材料:不耐剪,最大剪应力所处截面是”最短木板”! 破坏方式是被剪断!
脆性材料:不耐拉,最大拉应力所处截面是”最短木板”! 破坏方式是被拉断!
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转强度设计
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转强度设计
与拉伸强度设计相类似，扭转强度设计时，首先需要根 据扭矩图和横截面的尺寸判断可能的危险截面；然后根据 危险截面上的应力分布确定危险点（即最大剪应力作用 点）；最后利用试验结果直接建立扭转时的强度设计准则。
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转实验与扭转破坏现象
韧性材料与脆性材料扭 转破坏时，其试样断口有着 明显的区别。韧性材料试样 最后沿横截面剪断，断口比 较光滑、平整。
铸铁试样扭转破坏时沿 45°螺旋面断开，断口呈细 小颗粒状。
经济学术语中的“木桶效应”，是说对于一个沿口 不齐的木桶而言，它盛水的多少并不在于木桶上那 块最长的木板，而在于木桶上最短的那块木板。
已知：钢制空心圆轴的外直径D＝100 mm，内直径d＝50 mm。若要求轴在2 m长度内的最大相对扭转角不超过1.5()，材 料的切变模量G＝80.4 GPa。
试： 1． 求该轴所能承受的最大扭矩； 2． 确定此时轴内最大剪应力。
解： 1．确定轴所能承受的最大扭矩 根据刚度设计准则，有
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
＝
max
Mx WP
＝16M x πd13
＝16
1.5kN πd13
m
103
＝50.9
106
Pa
据此，实心轴的直径
d1＝3
16 1.5kN m 103＝53.1103 m＝53.1mm π 50.9 106 Pa

第九章扭转杆件的强度与刚度计算


max
Tmax GIp
180
Tmax
180
G ( D4 / 32)
[]
D4
32Tmax 180
G 2 []
0.0297 m
D 30 mm
作业： 9-1； 9-2； 9-7； 9-8
BA
M x(CB)l GJp
M x(BA)l GJp
0.5 32
8.21010 0.14 (5000 2000)
1.86103弧度 1.86103 180
0.107
9-2 圆轴扭转时的强度和刚度计算
圆轴扭转强度条件
强度条件:
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件:
max
Tmax GIp
3．计算相对扭转角
根据dϕ/dx=Tx/(GIp)，这是单位长度的扭转角，相距 dx的两个截面的扭转角为dϕ=Txdx/(GIp)。在AB和
BC中扭矩沿长度方向无变化，因此两个端截面（A和
B，B和C）的相对扭转角为ϕ=Tx/(GIp)。但二者是反
向的。于是C截面相对于A截面的相对扭转角为
C A
CB
G
G
G
d
dx
切应力沿半 径呈线性分 布。
3 静力关系 横截面上内 力系对圆心 的矩应等于 扭矩T。
A
d
A
T
即: T A d A
G d d A G d
A
dx
dx
2 d A
A
记
Ip
2d A
A
T
GIp
d
dx
横截面对圆心O的极惯性矩。
d T
d x GIp
记
Ip
2d A
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本章结束
延安大学西安创新学院建筑工程系
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解： 1、计算轴的扭矩T
将轴在离左端任一距离处用截面切开， 取左段为脱离体，画出其受 力图如下图， 由平衡条件可得：T=M
2、校核强度
此轴满足强度要求
延安大学西安创新学院建筑工程系
§6-3 圆轴扭转时的变形与刚度计算
目的要求：掌握圆轴扭转的变形计算和刚度条 件。
§6-1 圆轴扭转时的应力和强度计算
目的要求：掌握扭转横截面上的应力分 布规律和强度条件的应用。
教学重点：强度条件及其应用。 教学难点：切应力互等定理和剪切胡克
定律。
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一、 切应力互等定理和剪切胡克定律 １、 切应力互等定理 相互垂直两个平面上的切应力必然成 对存 在，且大小相等、方向都垂直指向 或背离两平面的交线。
延安大学西安创新学院建筑工程系 （３） 指定截面扭矩的计算方法。
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用一假想的截从要求内力处将 杆件切开 分成两段，取其中的任意一段为研究对 象，画出其受力图，利用平衡方程，求 出 内力（扭矩）
注意：在受力图中，扭矩最好假设成正 方向，如上图。
由力偶平衡得： Me-T=0 即：T=Me
一、 圆轴扭转的概念与实例

1、扭转的概念

杆件的两端受到大小相等、转向相反且作
用平面直垂于杆轴线的力偶的作用，致使杆件
各横截面都绕杆轴线发生相对转动，杆件表面
的纵向线将变成螺旋线。

2、扭转的受力特点：受一对等值、反向、
作用面在横截面内的力偶作用时，圆轴产生扭
转变形。

3、圆轴扭转的变形特点：各横截面绕杆
轴线发生相对错动。

轴：以扭转变形为主的杆件称为轴
延安大学西安创新学院建筑工程系
4、实例
延安大学西安创新学院建筑工程系
发生扭转变形的水轮机轴
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二、 扭矩与扭矩图
１、 外力偶矩的计算 已知轴传递的功率，轴的转速，力
偶矩的计算公式为：
其中： Nk---功率（kW)

Me---外力偶矩(N.m)

n---轴的转速r/min)
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２、 扭矩：
（１）截面法分析扭转的内力——扭矩 (T)
当杆件受到外力偶矩作用发生扭转变形 时其横截面上的内力偶矩。
（用T表示；单位：N.m或kN.m)
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（２） 扭矩的正负号规定右手螺旋法则。
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二、 圆轴扭转时的刚度计算 １、 刚度条件
其中：[θ]---许用单位扭转角 （rad/m或°/m)
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三、刚度计算举例
例2：如图所示的实心传动轴，Nk1=50KW， Nk2=150KW，Nk3=100KW， n=300r/min，许 用应力[τ]=100MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa， 试设计此轴的直径D。
为研究对象， 受力图如图（c) 由（c）图可得：T1- MB =0 所以 T1=636.6N.m 2、用一截面从2-2处将轴切开，取右部分为研
究对象，受力图如图（d) 由（d）图可得：T2+MC=0 所以 T2= -954.9N.m 3、作扭矩图 如图(b)
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(1) 实心圆截面
（2）空心圆截面
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三、 圆轴扭转时的强度计算 １、 强度条件
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２、 例题 例1：如图所示，一钢制圆轴两端受外
力偶m作用，已知m=2.5KN，直径d=6cm， 许用应力[τ]=60MPa，试校核该轴的强度。
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3、 扭矩图： 用一个图形来表示截面上的扭矩随其截
面位置变化关系。
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例 M扭A1矩=：1图5图9。1示.5圆N轴.m的，外M力C=偶95矩4.M9NB=.m6。36试.6N作.m出，其 解：1、用一截面从1-1处将轴切开，取左部分
教学重点：圆轴扭转的刚度条件。
教学难点：对圆轴扭转的刚度条件的理解和应 用。
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一、 圆轴扭转时的变形计算 1、扭转角(φ)：圆轴扭转时两横截面相对转过的角
度。
2、单位扭转角(θ)：单位长度上的扭转角。 (rad/m)
其中：T---截面上的扭矩 Iρ---截面对圆心O点的极惯性矩 L---两截面之间的距离 G---剪切弹性模量
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解：1、求外力偶矩
2、求各段的扭矩 T1=M1=1591.7N.m T2=M1-M2=3183.3N.m
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4、设计直径 由
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5、按刚度条件设计D
由强度计算和刚度计算可知 D≥69.4mm
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２、 横截面上任一点的切应力计算公式
其中：T---截面上的扭矩 ρ---要求应力的点到圆心O点的距离
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３、 横截面上最大切应力发生在周边上， 计算公式为
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4、实心和空心圆截的惯性矩Ip和抗扭截 面系数Wp
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２、 剪切胡克定律
τ＝τ’ （１）、 切应变：切应力只产生角应变，
单元体的直角的改变量称为切应变。
（２）、 剪切胡克定律
在剪切比例极限的范围内，切应力和切
应变成正比。比例常数为材料的切变模 量（G）。

τ＝Gγ
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二、 圆轴扭转时横截面上的应力 １、 切应力及其分布规律
圆轴的扭转 扭矩与扭矩图 圆轴扭转时的应力和强度计算 圆轴扭转时的变形与刚度计算
延安大学西安创新学院建筑工程系
圆轴的扭转 扭矩与扭矩图 目的要求：掌握圆轴扭转内力图的绘制。 教学重点：扭矩图的绘制。 教学难点：指定截面扭矩的计算。
延安大学西安创新学院建筑工程系
§6-1 圆轴扭转 扭矩与扭矩图