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第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算

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4.5圆轴扭转时的强度和刚度条件

4.5圆轴扭转时的强度和刚度条件

《化工设备设计基础》
8
动脑又动笔
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
D1 d
D2
已知轴的 [τ] ，设计 如图结构中的轴径 d 。
1 1 T P D P2 D2 1 1 2 2
P1
P2

T P D P D 8P D P D 1 1 3 2 2 1 1 3 2 2 [ ] W 2 d 16 d
4
《化工设备设计基础》
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
例1 （续1）
《化工设备设计基础》
5
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件 例1 （续2）
解：（1）外力偶矩和扭矩的计算。
实际功率
P Pe 22 0.9 19.8kW
P 19.8 m A 9.55 9.55 3.15kN m n 60
0.4 19.8 1.26kN m 60 0.6 19.8 mC 9.55 1.89kN m 60 m B 9.55
主动力偶矩
扭矩：
M T 1 mC 1.89 kNm
MT 2 mc mB 1.89 1.26 3.15kN m
《化工设备设计基础》
M T max N mm, G MPa N / mm 2 , I mm
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
例1
• 图示为带有搅拌器的反应釜简图。搅拌轴上装有 两层浆叶，已知电动机的功率Pe=22KW，搅拌轴 转速n=60r/min，机械传动效率 η=90％ ，上、 下层搅拌浆叶所受的阻力不同，所消耗的功率各 占总功率的η=40％ 和η=60％ 。此轴采用 φ114×6mm的不锈钢管制成，材料性能参数 [τ]=60MPa，G=8X104MPa，[θ]=0.5°/m 。 试校核搅拌轴的强度和刚度。若将此轴改为相同 材料且与原来空心轴强度相同的实心轴，试确定 其直径，并比较两种轴的用钢量。
圆轴扭转时的变形与刚度计算

圆轴扭转时的变形与刚度计算


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解 1)求外力偶矩。
MA=159.2Nm； MB=318.3Nm； MC=955Nm ； MD=5Nm 2)画扭矩图。首先计算各段扭矩 AB段： BC段： CD段： Mn1=-159.2N· m Mn2=- 477.5N· m Mn3=477.5N· m
A 1
5
3 6 0 . 75 80 10 9 . 2 10 π Mn= N mm 3 180 10 =9.63106Nmm= 9.63kNm
所以
Mnmax=9.63kNm
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传动轴如图。已知该轴转速 n=300r/min，主动轮输入功率 PC=30kW，从动轮输出功率 PD=15kW，PB=10kW，PA=5kW，材
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已知：d=40mm，G=80GPa，求： 1200Nm 2000Nm 800Nm 总扭角。 解 Mn1=1200Nm Mn2=-800Nm C B A 4 800 1000 πd 6 4 I 0.25 10 m Mn 1200Nm 32

d
MA
MB 1 2 B2
机械工业出版社 M M C 3 D

Mn/Nm
C 3 D 477.5 + x
0 159.2
477.5 Mnmax=477.5Nm
按求得的扭矩值画出扭矩图。 由图可知最大扭矩发生在BC段和CD段，即
3)按强度条件设计轴的直径
M n max πd 3 [ ] 由 Wn 式和强度条件 Wn 16 16M n max 3 16 477.5 103 d 3 mm 39.3mm π π 40

代入上式，得 (7-6)
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第四章 扭转(张新占主编 材料力学)

第四章 扭转(张新占主编 材料力学)


2M A M e M B 0 （2）
联立式（1）与式（2），得
Me MB 3
MA MB Me 3
26
4.6 等直圆轴扭转时的应变能
圆轴在外力偶作用下发生扭转变形，轴内将积蓄应变能。这种 应变能在数值上等于外力所做的功。
T1 在位移 d1上所做的功为 dW T1d1
PB M eB M eC 9549 n 796(N m) PA M eA 9549 1910(N m) n PD M eD 9549 318(N m) n
5
（2）求扭矩（扭矩按正方向假设） 1-1 截面
M M M
x
0
T1 M eB 0
T1 M eB 796N m
d1 85.3 mm
取 d1 85.3 mm。 BC段：同理，由扭转强度条件得 d2 67.4 mm ，由扭转刚度条件得
d 2 74.4 mm
取 d 2 74.4 mm。
23
（2）将轴改为空心圆轴后，根据强度条件和刚度条件确定轴的 外径D。 由强度条件得 D 96.3 mm 由刚度条件得 D 97.3 mm 取 D 97.3 mm ，则内径为
T Me
M e RdA RRd 2R 2
A 0
2
Me 2 2R
8
二、切应力互等定理
M
z
0
（dy）dx （ dx）dy
得到

切应力互等定理：在单元体在相互垂直的一对平面上，切应力 同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同 指向或共同背离这一交线。 纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力 作用
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算

第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算


其中
φ1 =
M x1l , GI p1
M l φ2 = x 2 GI p2
将（a）和（c）式代入（b）式得
（c）
M l M l Tl = x1 + x 2 GI p1 GI p1 GI p2
由此解得
（d）
M x1 = M x 2 =
其中
I p2 I p1 + I p2
T
（e）
于是，卸载后薄壁管横截面上的最大剪应力为
2
3
4－4 变截面轴受力如图所示，图中尺寸单位为 mm。若已知 Me1＝1765 N·m，Me2 ＝1171 N·m，材料的切变模量 G＝80.4 GPa，求： 1．轴内最大剪应力，并指出其作用位置； 2．轴内最大相对扭转角 ϕ max 。
习题 4－4 图
解：1、确定最大剪应力 AB 段：
案
τ max ( AB ) =
Ts R3 = 3 0 4 Th R 2 (1 − n )
7
aw .
(d)Biblioteka co m由（a）式有
2 2 R0 = R2 − R12
将其代入（d）式，最后得到所要证明的结论：
3 3 3 2 Ts ( R 2 − R12 ) 2 (1 − n 2 ) 2 (1 − n 2 ) 2 1 − n2 = 3 = = = Th R 2 (1 − n 4 ) 1 − n4 (1 − n 2 )(1 + n 2 ) 1 + n2
τ 2 max =
Mx T = = 75.4MPa Wp πd 3 ⎛ ⎛ 1 ⎞ 4 ⎞ ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ 16 ⎜ ⎝ ⎝2⎠ ⎠
4
ww
r 0
τ 1max
Mx 3 × 10 3 × 16 T T = 70.7 MPa = = = = W P W P πd 3 π × 0.06 3 16
扭转刚度计算.

扭转刚度计算.


例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ ] =1.0°/m，工作时最 内径d=85mm，许用切应力 [ ]=60MPa，
大力偶矩M =1500N· m，G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。
max 180M n /(GI P ) [θ ]
下列标准。 精密机械的轴 一般传动轴
(6-13)
[ ]的数值，可从有关手册中查得。一般情况下，可参照 [ ] =（0.25~0.5）°/m [ ] =(0.5~1.0) °/m [ ] =(1.0~2.5) °/m
精度要求不高的轴
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
M n Wn [ ] (0.2 403 109 60106 )N m 768N m
M M n 768N m
(2) 确定最大功率
由式（6-1）得
P M nn / 9550 (768 200/ 9550 )kW 16kW
二、刚度计算 圆轴扭转时，还要求不产生过大的扭转变形。即
第四节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
，即
max M n/W n [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴，已知轴的直径d=40mm，转速n=200r/min， 材料的许用切应力 60MPa ，试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
0.8/m ＜ [ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强
材料力学第四章 扭转

材料力学第四章 扭转

则上式改写为
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
04. 圆轴的扭转解析

04. 圆轴的扭转解析


在工厂里当看到一套传动装置时，往往可从轴径的 粗细来判断这一组传动轴中的低速轴和高速轴。
§4-1圆轴扭转时所受外力的分析与计算
一、搅拌轴的三项功能 二、n ， P， m 之间的关系（重点）
一、搅拌轴的三项功能
1.传递旋转运动 ： 将电动机或减速机输出轴的旋转运动传递给搅拌物 料的桨叶。 2.传递扭转力偶矩： 将轴上端作用的驱动力偶传至轴的下端，用以克服 桨叶旋转时遇到的阻力偶；力偶通过轴传递时，其力偶 矩称为扭矩，扭矩属于内力，其值可借助外力偶矩求出； 3.传递功率： 转轴带动桨叶旋转时要克服流体阻力作功，所需功 率也是从转轴的上端输入后，通过轴传递给浆叶的。
（KN*m）
圆轴传递的功率P和转数n为已知时，用上述公式 即可求出该轴外力矩的大小。由上式可以看出： 如轴的功率P一定，转数n越大，则外力矩越小， 反之，转数越低则外力矩越大。 例如:化工设备厂卷制钢板圆筒用的卷板机，工作时滚轴 所需力矩很大，因为功率受到一定的限制，所以只能减 低滚轴的转数n来增大力矩M。由电动机经过一个三级四 轴减速机带动滚轴，此减速机各轴传递的功率可看成是 一样的。因此，转数n高的轴，力矩M就小，轴径就细一 些；转数低的轴，力矩M就大，轴径就粗.
A
解：1）用截面法把所求
各轴截开：
2)分别求各段轴的扭矩: M M 1+ M B = 0
1 2
= -M =-M
B
B
=-350N.m
C
M M
B D
+ M -M
3
C
+ M = 0
2
=0
M
-M
=-700N.m
M
3
= M
D
= 446N.m
二、扭转内力:(扭矩和扭矩图)（续3）
材料力学 第4章_扭转

材料力学 第4章_扭转

z


d x d z d y d y d z d x 0

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4. 切应力互等定理

切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。


纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
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§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
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一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
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工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T

dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。

T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
材料力学-第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算

材料力学-第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算

B
I
C
A
II
D
III
I
II
III
M
x
0
确定各段圆轴内的扭 矩。
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
3 ． 建立 Mx － x 坐 标系，画出扭矩图 建 立 Mx － x 坐 标 系，其中x轴平行于 圆轴的轴线，Mx轴垂 直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩 值，标在 Mx － x 坐标 系中，得到相应的点 ，过这些点作x轴的 平行线，即得到所需 要的扭矩图。
P M e 9549 [N m] n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/ 分（r/min）。 如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s），则
P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 剪应力互等定理 剪切胡克定律
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件 结论与讨论
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
绘出扭矩图：
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
B C
I
外加扭力矩、扭矩与扭矩图 A III D II
I 扭矩Mn-图
II
III
159.2
（+）
（-）
63.7 159.2
M n,max 159.2( N m)
（在CA段和AD段）
——扭转的强度和刚度计算

——扭转的强度和刚度计算


例l 一直径为50mm的传动轴如图所示。电动机通过A轮输 入100kW的功率，由B,C和D轮分别输出45kW、25kW和30kW 以带动其它部件。要求：(1)画轴的扭矩图，(2)求轴的最大切 应力。
解 1.作用在轮上的力偶矩可 由公式计算得到，分别为
2.作扭矩图 最大扭矩发生在AC段内
M x max = 1.75kN ⋅ m 3.最大切应力
WP
([τ] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
τ max
= Tmax WP
≤ [τ ]
WP
≥
Tmax
[τ ]
WP
⎪⎩⎪⎨⎧空实：：ππ1Dd633（116−
α
⎫ ⎪ 4）⎪⎭⎬
Tmax ≤ WP[τ ]
[例]
功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，
θ = Mx
GI T
=
4000 80 ×109 × 286
×10 −8
= 0.01745 rad/m = 1o /m
§7 薄壁圆筒的扭转试验
例2 直径d＝100mm的实心圆轴，两端受力偶矩T=10kN·m作 用而扭转，求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为 0.5的空心圆轴，且横截面面积和以上实心轴横截面面积相等，问 最大切应力是多少?
解： 圆轴各横截面上的扭矩均为 Mx=T=10kN·m。 (1)实心圆截面
(2)空心圆截面 由面积相等的条件，可求得空心圆截面的内、外直径。令 内直径为d1，外直径为D，α = d1 / D = 0.5，则有
由此求得
空心圆截面
实心圆截面
计算结果表明，空心圆截面上的最大切应力比实心圆截
材料力学-第4章 扭转 ppt课件

材料力学-第4章 扭转 ppt课件


dA
T

O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：

G



G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me

P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)

材料力学第四章 扭转


扭转轴的内力偶矩称为扭矩
3、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
m
m
x
m
Mn
MX 0 Mnm0
Mn m
8
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
4 扭矩的符号规定—右手螺旋法则
mI
扭
矩
符 号 规
Mn I
离M开n截 面
定 ：
mI
I
m
Mn
I
I
m
Mn
Mn I
指向M 截n 面
I
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W '
W 6 N 0 10 60 0 N 0 000
W m m 2 n 1 2 nm
m955N0 Nm 单位
n
7
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
2、扭矩的概念
扭转变形的杆往往称之为扭转轴
Mn
Mn
(r )
A
B
(r )
C
C
D d
D
b
x
d
d


d
dx
d
dx
dx
d
称为单位长度相对扭转角
dx
对于同一截面，
d 常量 dx
上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截 面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的变形协调方程。
32
§3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件
dAsin
d d A cA s o i s d n sA i c n o 0

材料力学-圆杆扭转时的变形及刚度条件


扭转剪应力公式是圆轴在弹性范围内导出的，其适用条件是：
1. 必须是圆轴，否则横截面将不再保持平面，变形协调公式
将不再成立。
d
dx
2. 材料必须满足胡克定律，而且必须在弹性范围内加载，只有
这样，剪应力和剪应变的正比关系才成立：
G
d
dx
二者结合才会得到剪应力沿半径方向线性分布的结
何斌
Page 28
材料力学
第4章 圆轴扭转
连接件强度计算的工程意义
两个或多个构件相连 —— 1. 用 钉子、铆钉等联结 2. 焊接 3. 其它
联接件体系（联接件、被联接构件）的受力特点： 力在一条轴线上传递中有所偏离（与拉压情况不同）
问题：1. 力传递的偏离引起什么新的力学现象？ 2. 如何计算联接件、被联接构件的强度？
何斌
Page 12
材料力学
例 题1
第4章 圆轴扭转
θ M x θ ＝1.5 ＝1.5 π rad / m
GIp
2m 2 180
I
＝π D4 p 32
1－α 4
，α＝ d D
轴所能承受的最大扭矩为
M x
θ
GI
＝1.5 p2
π 180
rad/m G
π D4 32
1－α 4
1.5π
受扭圆轴的相对扭转角
圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动 的角度称为相对扭转角
d M x dx
GIP沿轴线方向积分，得到源自d M x dxl
l GIp
何斌
Page 6
材料力学
第4章 圆轴扭转
圆杆扭转时的变形及刚度条件
受扭圆轴的相对扭转角
对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相

圆轴扭转时的强度和刚度计算


A1 / A2 = [π (D 2 − d 2 ) / 4] /(πD 2 2 / 4) = (90 2 − 852 ) / 612 = 0.235
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
I P = 0.1D 4 (1 − a 4 ) = {0.1 × 90 4 [1 − (85 / 90 ) 4 ]}mm 4 = 134 × 10 4 mm 4 θ max = 180 M n /(πGI P )
= (180 × 1500 × 10 3 / 80 × 10 3 × 134 × 10 4 π ) × 10 3 °/m
= 0.8°/m ＜ [θ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强 度相同，当材料相同时，它们的抗扭截面系数应相等，即
W n = πD 13 / 16 = πD 3 (1 Βιβλιοθήκη a 4 ) / 16由此得
D 1 = D3 1 − a 4 = [90 × 3 1 − (85 / 90) 4 ]mm = 53mm
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ 内径d=85mm，许用切应力 [τ ]=60MPa，θ ] =1.0°/m，工作时最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。 (1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
θ max = 180M n /(πGI P ) ≤ [θ ]
(6-13)

材料力学 (扭转)(四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算)


Mx 0: T1 MA 0
C
T1 MA 7.03KN.m
22
Mx 0: -T2 MC 0
T2 MC 2.32KN.m
X
(4)讨论现在的设计是否合理。
若将A轮与B轮调换， X 则扭矩图如下：
可见轴内的最大扭矩值减小了。10
T(KN.M)
§3.2 薄壁圆筒扭转
在圆筒表面画 上许多纵向线 与圆周线,形成 许多小方格.
G
剪切胡克定律
Ｇ－剪切弹性模量
G E
2(1 )
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17
圆轴扭转时的应力和变形
根据观察到的现象， 经过推理，得出关于圆 轴扭转的基本假设。
m
m
圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，
形状和大小不变。且相邻两截面间的距离不变。这就 是圆轴扭转的平面假设。
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二. 应力在横截面上的分布
2
而象电动机的主轴，水轮 机的主轴也承受扭转作用， 但这些零件除扭转变形外， 还伴随有其它形式的变形， 属于组合变形。
• 以扭转变形为主要变形形式的构件通常称为轴。 • 工程上应用最广的多为圆截面轴，即圆轴。
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3
• 扭转受力的特点是：
• 在构件的两端作用两个大小相等、方向相反且作 用面垂直于构件轴线的力偶矩。致使构件的任意 两个截面都发生绕构件轴线的相对转动，这种形 式的变形即为扭转变形。
在转矩m作用下，发现圆 周线相对地旋转了一个角 度，但大小、形状和相邻 两圆周线的距离不变。
表明，在圆筒的横截面上没有正应力和径向剪应力。
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11
设圆筒平均半径为r，筒壁厚度为t
因圆筒壁厚很小，可认为剪应力沿

圆轴扭转时的强度与刚度计算材料力学


•
度条件为
max
Mn Wp
maxG MnIp •180
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• （五）用强度，刚度条件解决实际部题的步骤
•
1）求出轴上外力偶矩；
•
2）计算扭矩和作出扭矩图；
•
3）分析危险截面；
•
4）列出危险截面的强度、刚度条件并进行计算。
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• 二 剪应力计算：
• 1 几何关系： • • 2 物理关系：
P G
• • 3 静力关系：
Mnl d
G Ip
Mn d GIp d
• 扭转剪应力公式：
p
M n Ip
max
Mn Wp
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•三
• •
截面极惯性矩 ；抗扭截面模量
ax
•
故求得直径为
4010
D3
16Mnmax3
1
6
628.467
0 .03 m 332 .2 3 mm
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• （4）由刚度条件，得
maxM G nm pIax180G M nm D a4x 18 G n m 2a•x 18038 2 0 216 80 . 46 7 21 180
m ax0 .5 WM Pn 0 .6
0 .8 1 .0
• 2 强度计算的三个方面：
•
a 强度校核
•
b 截面选择
•
c 许可荷载确定
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• 例1 如图为一钢圆轴，两端受外力偶m的作用，已知m=2.5
• KN.m,直径d=60m，许用应力为60MPa。试校核该轴的强度。

第四节圆轴扭转时的强度和刚度计算


选择直径、壁厚、长度等作为设计变量。
设计变量
目标函数
约束条件
优化算法
以最大扭矩为目标函数，考虑重量和成本的影响。
强度、刚度、稳定性等为约束条件。
采用遗传算法进行优化，考虑多种方案进行比较和选择。
THANKS
感谢观看
抗扭截面模数是圆轴截面的几何特性，等于圆周上各点的截面模数之和。
剪切弹性模量是衡量圆轴材料抵抗剪切变形能力的参数，等于剪切模量与弹性模量之比。
圆轴扭转的强度计算
02
扭矩的单位
扭矩的单位为牛米（N·m）或千克米（kgf·m）。
扭矩
圆轴扭转时所受的力偶矩为扭矩，用M表示。
扭矩的方向
扭矩的方向垂直于圆轴的轴线。
圆轴扭转的受力分析
强度条件
强度计算公式
强度计算公式说明
圆轴扭转的强度计算公式
选择材料：圆轴的材料为45号钢。
确定许用扭矩：[M] = 50 N·m。
已知圆轴的直径d = 20 mm。
根据强度计算公式
由于Mmax ≤ [M]，因此该圆轴满足强度要求。
圆轴扭转的强度计算实例
01
02
03
04
05
圆轴扭转的刚度计算
圆轴扭转时，轴的横截面保持为圆形，且各点的剪切变形相等。
圆轴扭转时，轴的纵向线发生微小的缩短，但各点的缩短量相等。
圆轴扭转的特点
圆轴扭转的基本参数
作用在轴上的扭矩等于作用在轴上所有外力的投影矢量的代数和。
扭矩（M）
极惯性矩（Ip）
抗扭截面模数（Wp）
剪切弹性模量（G）
极惯性矩是衡量圆轴抗扭能力的参数，等于圆周上各点的截面惯性矩之和。
xx年xx月xx日
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圆轴扭转后横截面保持平面
第一个结论
圆轴扭转时，横截 面保持平面，平面上 各点只能在平面内转 动
圆轴扭转后横截面保持平面
假设平面不是刚性转动， 直径将变成曲线，A端观察 者看到的情形。
圆轴扭转后横截面保持平面
假设平面不是刚性转动， 直径将变成曲线，B端观察 者看到的情形。
圆轴扭转后横截面保持平面
最终结论
圆轴扭转时，横 截面 保持平面，并且 只能发生刚性转动。
圆轴扭转后横截面保持平面
变形协调方程
圆轴扭转时的变形协调方程
若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论，在dx长度 上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d，但半径不等的圆柱上产生的剪 应变各不相同，半径越小者剪应变越小。
其中P为功率，单位为千瓦（kW）； n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
P[马力]
Me
7024 n[r / min]
[N m]
若P为功率，单位为马力 （1马力=735.5 N•m/s ）
n为轴的转速，单位为转/分（r/min）
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
max
M x,max Wp
[ ]
[ ]为许用剪应力；是指圆轴所有横截面
上最大剪应力中的最大者，
钢 [ ] (0.5 ~ 0.6)[ ] 铸铁 [ ] (0.8 ~ 1)[ ]
例题1
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大剪应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直 径之比 = 0.5。二轴长度相同。
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
圆轴扭转时横截面上的最大剪应力
Wp 扭转截面系数
圆轴扭转时横截面上的最大剪应力
截面的极惯性矩与扭转截面系数
对于直径为 d 的实心圆截面
对于内、外直径分别为d 和 D 圆环截面
=d/D
4.3.5 受扭圆轴的强度设计准则
4-3-5 受扭圆轴的强度设计准则
第4章
圆轴扭转时的强度与刚度 计算
2020年10月28日
概述
请判断哪一杆件 将发生扭转
当两只手用力相等时，拧紧 罗母的工具杆将产生扭转
概述
请判断哪一杆件 将发生扭转
拧紧罗母的工具杆不仅产生 扭转，而且产生弯曲
概述
请判断哪些零件 将发生扭转
传动轴
传动轴将 产生扭转
概述
请判断哪一杆件 将发生扭转
连接汽轮机和发电机的传动轴将产 生扭转
概述
对于实心截面杆件以及某些薄壁截 面杆件，当其横截面上仅有扭矩（Mx） 或 剪 力 （ FQy 或 FQz ） 时 ， 与 这 些 内 力 分量相对应的分布内力，其作用面与 横截面重合。这时分布内力在一点处 的集度，即为剪应力。
概述
分析与扭矩和剪力对应的剪应力方 法不完全相同。对于扭矩存在的情形， 依然借助于平衡、变形协调与物性关系， 其过程与正应力分析相似。对于剪力存 在的情形，在一定的前提下，则可仅借 助于平衡方程。
例题2
3
已知：P1＝14kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36, z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm.
圆轴扭转变形特征－反对称性论证 圆轴扭转时横截面保持平面
运用反对称性分析，可以证明，圆轴受扭发生变形后，其横截面依 然保持平面。
圆轴扭转后横截面保持平面
根据圆 反轴 对的 称轴 要对 求称 ，C性、质DC两、点D不两
点 可必 能须 有具 轴有 向相 位同 移的 ，位因移而，必因须而仍二然 者 位必 于须 原位 来于 所同 在一 的圆周上。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直 径D2；确定二轴的重量之比。
例题1
解：首先由轴所传递的功率计算作用在 轴上的扭矩
实心轴
算得
例题1
解：对于空心轴，
d2＝0.5D2=23 mm
例题1
实心轴 d1=45 mm
空心轴 D2＝46 mm d2＝23 mm
解：确定实心轴与空心轴的重量之比 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面 面积之比：
G E 2(1 v)
4.3 圆轴扭转时横截面上的剪应力 分析与强度设计
平面假定
物性关系
变形
应变分布
应力分布
静力方程
应力分析方法与过程
应力公式
圆轴扭转变形特征－反对称性论证圆轴 扭转时横截面保持平面
变形协调方程 物性关系－剪切胡克定律 静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
4.3.1 平面假定与剪应变分布规律
P kw Me 9549 ne 确定后，应用 截面法可以确 定横截面上的 内力—扭矩Mx
例 4.1 变截面传动轴承受外加扭力矩作 用，如图4-2a所示。试画出扭矩图。
应用截面法，分 别确定AB和BC 段横截面上的内 力—扭矩Mx，绘出扭
矩图如（b） 所示。
概述
本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用 下其横截面剪应力
4.1 外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
4.2 剪应力互等定理,剪切胡克定律
4.3 圆轴扭转时横截面上的剪应力 分析与强度设计
4.4 圆轴扭转时的变形与刚度条件 4.5 结论与讨论
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
P kw Me 9549 nr / min [N m]
例 4.1 变截面传动轴承受外加扭力矩作 用，如图4-2a所示。试画出扭矩图。
扭矩图特征： 集中力偶作用 处，扭矩图有 突变，突变值 等于该集中力 偶数值。
4.2 剪应力互等定理,剪切胡克定律
4.2.1 剪应力互等定理
y
'
dy
dz x
z dx
Mz 0, (dydz)dx ( dxdz)dy 0
两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平 面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力互等定理
4.2.2 剪切胡克定律
通过扭转试验，可以得到剪应 力 与剪应变 之间的关系曲线 （图a）。
Gr
其中G为材料的弹性常数，称为 剪切弹性模量或切变模量 （shear modulus）
剪应变沿半径方向分布
设到轴线任意远处的剪应变为 ( ），则从图中可得到如下几何关系：
物性关系－剪切胡克定律
剪切胡克定律
剪应力沿半径方向分布
4.3.2 横截面上的剪应力分布
4.3.2 横截面上的剪应力分布 剪应力沿半径方向分布
静力学方程
圆轴扭转时相对扭转角的表达式 GIP—扭转刚度