圆轴扭转时的应力与强度计算 许秀兰

圆轴扭转时的应力与强度条件扭转是杆件的基本变形形式之一。

工程中有些杆件，因承受作用平面垂直于杆轴线的力偶作用，而发生扭转变形。

通常将这种杆件称为轴，如传动轴等。

本讲主要分析圆截面杆的扭转。

非圆截面杆受扭时，不能用材料力学的理论求解。

图1 圆轴的扭转扭转变形和受力特点：杆件受到大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用，杆件的横截面绕轴线产生相对转动。

● 外力特征：力偶矩矢平行于杆的轴线。

力偶矩矢方向按右手螺旋法则确定。

● 力偶变形特点：各轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。

一、圆轴扭转的应力图2 圆轴扭转的剪应力分布图图2中，tW T=max τ （1） 式（1）中，t W 为抗扭截面模量，是仅与横截面尺寸有关的量。

实心圆轴163D W n π=，空心圆轴Dd D W n16)(44-=π。

二、扭转强度分析为了保证圆轴安全可靠地工作，应使轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力[]τ，即A Bm axm τ][max ττ≤=tW T（9-7） 根据圆轴扭转的强度条件，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等三大类强度计算问题。

例：传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3输出扭矩分别为N.m 3.391=m 和N.m 1553=m 。

若轴的材料为45钢，[]a MP 40=τ。

根据强度确定轴的直径。

解: (1) 计算力偶距m 2 。

m N m m m .3.194312=+=（2）画扭矩图。

（3）根据强度条件计算直径。

从扭矩图上可以看出，齿轮2与3 间的扭矩绝对值最大。

][163maxmax max τπτ≤==DT W T t []m 0272.0104014.31551616363max=⨯⨯⨯=≥τπT D1231m 2m 3m 0.30.4mxT155N.m39.3N.m。

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算基础篇之四第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算杆的两端承受⼤⼩相等、⽅向相反、作⽤平⾯垂直于杆件轴线的两个⼒偶，杆的任意两横截⾯将绕轴线相对转动，这种受⼒与变形形式称为扭转（torsion ）。

本章主要分析圆轴扭转时横截⾯上的剪应⼒以及两相邻横截⾯的相对扭转⾓，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计⽅法。

4－1 外加扭⼒矩、扭矩与扭矩图作⽤于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。

在传动轴计算中，通常给出传动功率P 和转递n ，则传动轴所受的外加扭⼒矩M e 可⽤下式计算：[][]e kw 9549[N m]r /min P M n =?其中P 为功率，单位为千⽡（kW ）；n 为轴的转速，单位为转/分（r/min ）。

如功率P 单位⽤马⼒（1马⼒=735.5 N ?m/s ），则e []7024[N m][r /min]P M n =?马⼒外加扭⼒矩M e 确定后，应⽤截⾯法可以确定横截⾯上的内⼒—扭矩，圆轴两端受外加扭⼒矩M e 作⽤时，横截⾯上将产⽣分布剪应⼒，这些剪应⼒将组成对横截⾯中⼼的合⼒矩,称为扭矩（twist moment ），⽤M x 表⽰。

图4－1 受扭转的圆轴⽤假想截⾯m －m 将圆轴截成Ⅰ、Ⅱ两部分，考虑其中任意部分的平衡，有M x －M e = 0由此得到图4－3 剪应⼒互等M x = M e与轴⼒正负号约定相似，圆轴上同⼀处两侧横截⾯上的扭矩必须具有相同的正负号。

因此约定为：按右⼿定则确定扭矩⽮量，如果横截⾯上的扭矩⽮量⽅向与截⾯的外法线⽅向⼀致，则扭矩为正；相反为负。

据此，图4－1b 和c 中的同⼀横截⾯上的扭矩均为正。

当圆轴上作⽤有多个外加集中⼒矩或分布⼒矩时，进⾏强度计算时需要知道何处扭矩最⼤，因⽽有必要⽤图形描述横截⾯上扭矩沿轴线的变化，这种图形称为扭矩图。

绘制扭矩图的⽅法与过程与轴⼒图类似，故不赘述。

【例题4－1】变截⾯传动轴承受外加扭⼒矩作⽤，如图4－2a 所⽰。

圆轴扭转时的应力计算公式在我们学习力学的过程中，圆轴扭转时的应力计算公式可是个相当重要的家伙。

咱们今天就来好好唠唠它！先来说说啥是圆轴扭转。

想象一下，你手里拿着一根棍子，然后像拧麻花一样去转动它，这时候棍子内部就会产生应力。

圆轴扭转就是类似这样的情况啦。

那圆轴扭转时的应力计算公式到底是啥呢？它就是：τ = Tρ / Ip 。

这里的τ 表示的是扭转切应力，T 是扭矩，ρ 是所求应力的点到圆心的距离，Ip 则是极惯性矩。

咱们来仔细瞅瞅这个公式。

扭矩 T 就好比是你拧棍子的那个力气，力气越大，应力也就越大。

而ρ 呢，距离圆心越远，应力也就越大，就像离圆心远的地方更“吃力”。

极惯性矩 Ip 则反映了圆轴抵抗扭转的能力，它越大，应力就相对越小。

我记得之前在给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学瞪着大眼睛问我：“老师，这公式咋来的呀？”我就给他举了个例子。

咱们把圆轴想象成是由好多好多层薄圆环组成的。

当圆轴扭转时，每一层薄圆环都会发生相对的滑动，就像是在互相“拉扯”。

通过对这种“拉扯”的分析和计算，咱们就得出了这个公式。

在实际应用中，这个公式可太有用了。

比如说在机械设计里，要设计一根传动轴，就得先算出它在工作时扭转产生的应力，看看是不是在材料能承受的范围内。

要是应力太大，轴就可能会断掉，那可就出大问题啦！再比如，在一些工程结构中，像桥梁的支撑柱，如果受到扭转力的作用，也得用这个公式来算算应力，保证结构的安全稳定。

咱们在解题的时候，一定要搞清楚每个参数的含义和单位，千万别马虎。

有一次考试，就有同学因为把单位搞错了，结果整个答案都错了，那叫一个可惜哟！总之，圆轴扭转时的应力计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们认真理解，多做几道题练练手，就一定能掌握它，让它成为我们解决问题的有力工具。

怎么样，同学们，这回对圆轴扭转时的应力计算公式是不是更清楚啦？加油，相信大家都能学好这部分知识！。

圆轴扭转时的强度计算
为了保证受扭圆轴安全可靠地工作，必须使圆轴的最大工作剪应力max τ不超过材料的扭转许用切应力[]τ。

因此，圆轴的强度条件为
max []ττ≤
对于等直圆轴，其强度条件为
max []P T W τ≤ (1-1 ) 上式中max T 是扭矩图上绝对值最大的扭矩，最大切应力max τ发生在max T
所在截面的圆周边上。

对于阶梯形变截面圆轴，因为W ρ不是常量，max τ不一定发生在max T
的截面上。

这就要综合考
虑扭矩T 和抗扭截面系数W ρ两者的变化情况来确定max τ。

在静荷载作用下，扭转许用切应力[]τ与许用拉应力[]t σ之间有如下关系： 对塑性材料[]τ=（0.5～0.6[]t σ
对脆性材料[]τ= (0.8～1.0)[]t σ
应用式（1-1）可解决圆轴扭转时的三类强度问题：
（1）强度校核。

已知材料的许用切应力[]τ、截面尺寸、以及所受荷载，直接应用式（1-1）检查构件是否满足强度要求。

（2）选择截面。

已知圆轴所受的荷载及所用材料，可按式（1-1）计算W ρ后，再进一步确定截面直径。

此时式（1-1）改写为
max
[]T W ρτ≥ （1-1a ）
（3）确定许可荷载 。

已知构件的材料和尺寸，按强度条件计算出构件所能承担的扭矩max T ，再根据扭矩与外力偶的关系，计算出圆轴所能承担的最大外力偶。

此时式（1-1）改写为
max []T W ρτ≤ (1-1b)。

圆轴扭动时的强度条件是整个圆轴横截面上最大应切力不超过材料所允许的许用应力圆轴扭动时的强度条件对于各种机械设备和结构来说，是至关重要的一个因素。

这个条件的主要目的是确保整个圆轴在扭转过程中不会断裂或发生材料变形，从而保证机器运行的安全性和可靠性。

下面是关于圆轴扭动时强度条件的一些详细信息：强度条件的含义：圆轴扭动时的强度条件是指整个圆轴的横截面上所承受的最大应切力，不应该超过材料所允许的许用应力。

这是为了保证圆轴的强度和耐用性，在扭转过程中能够承受足够大的载荷而不会损坏。

强度条件的计算：圆轴扭动时的强度条件需要进行相关计算和分析才能确定。

对于同一种材料，其承受的极限扭矩是一定的，而许用应力则是可以提前确定的。

因此，通过对圆轴材料的性质以及结构参数的分析，就能够计算出最大的应切力，并与许用应力进行比较。

强度条件的影响因素：许多因素都会影响圆轴扭动时的强度条件，其中最重要的因素是材料的性质和设计的结构参数。

其他因素还包括润滑和冷却条件、扭矩转矩的变化率、材料的硬度和温度等等。

因此，在确定强度条件时需要综合考虑这些因素。

强度条件的应用：圆轴扭动时的强度条件在机械设备和结构设计中具有非常重要的应用，它对于确保机器的安全和可靠性有着关键的作用。

在实际应用中，需要对各种不同类型的圆轴进行强度条件的计算和分析，以确保机器在使用时不会出现故障或塌方等不安全情况。

强度条件的优化：为了进一步提高圆轴的强度和耐用性，需要对设计的结构参数进行优化。

这可能包括改变材料的选择、增加直径或分段设计等措施。

在进行这些优化时还需要考虑其他因素的影响，以保证圆轴的优化能够为机器带来实质性的改进。

总结：圆轴扭动时的强度条件是机械设备和结构设计中的一项重要因素。

在进行强度条件的计算和分析时，需要考虑许多因素，包括材料的性质和设计的结构参数。

通过优化圆轴的设计，可以进一步提高其强度和耐用性，在使用过程中保证机器的安全性和可靠性。

教学设计--圆轴扭转时的应力与强度计算八、教学程序阶段教学内容教师活动学生活动教学意图创设情境，导入新课（5分钟）圆轴扭转时横截面上的应力（模拟薄壁圆筒扭转实验）教师展示课件，模拟薄壁圆筒扭转实验,积极引导学生观察思考，学生根据常识及上节课所学内容回答问题。

正式教学内容之前，创设情境，引起学生的好奇与思考，激发学生的求知欲和内在动机，产生学习的愿望和意向。

模拟练兵提高技能技能训练例1：某一传动轴所传递的功率P=80kW，其转速n=582r/min，直径d=55mm，材料的许用切应力 MPa，试校核该轴的强度。

例2：如图所示的实心传动轴，N k1=50KW，N k2=150KW，N k3=100KW，n=300r/min，许用应力[τ]=100MPa，试设计此轴的直径D。

①明确提出所求问题，巡堂指导学生思考、分析；②引导学生逆向推导所求各项问题；③注意根据实际情况作出及时的指导或提出新的要求。

①学生在老师的引导下，思考所求问题及应用到的原理与公式②对所求结果能灵活分析、判断。

结合工程实例，讲解圆轴扭转强度条件应用，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的职业素养。

总结评价加深印象1、利用提问的形式，环环相扣，进行总结；2、强调并归纳总结本节课重点，形成知识体系；3、评价学生学习实训情况，增强学生学习的信心。

查漏补缺，并进行情感教育。

所体会到的知识与教师引导讲解的内容结合起来，形成自己的认识。

完善知识体系，培养学生的分析归纳能力布置作业P208 9-3按时完成一边听说明，一边作记录。

尊重学生的个体差异，设计探究作业供学有余力的同学思考。

同时培养学生的合作精神和创新能力。

七、板书设计第二节圆轴扭转时的应力与强度计算一、圆轴扭转时的应力１、剪应力及其分布规律２、横截面上任一点的切应力计算公式3、最大切应力发生在周边上，计算公式为二、惯性矩I p和抗扭截面系数W p(1）实心圆截面（2）空心圆截面三、圆轴扭转强度计算等直圆轴：四、举例讲解八、教学后记在设计本节课时，我改变了以往以教师讲授为主，学生接受式学习方式，把学习的主动权交还给学生，但是，学生能行吗？会发生许多意想不到的事吗？我带着种种担心踏入课堂。

2切应变3圆轴扭转时的应力和变形计算横截面上切应力公式推导属于超静定问题，需借助于变形协调、物性关系、静力关系。

变形协调方程设dφ代表微段d x相对扭转角则距轴线为ρ处的切应变为γρ= ρdφ/d x最大的切应变发生在最外层γ=R dφ/d x圆轴扭转时的应力和变形计算物性关系---剪切胡克定律在弹性范围内加载，当切应力不超过材料的剪切比例极限τb时，切应力与切应变成正比，其比例系数为材料的处的切应力为横截面上切应力合成的结果是该截面上的扭矩P仅由扭转切应力与扭矩之间的静力关系可得在单元体相互垂直的截面上，垂直于截面交线的切应弹性材料常数关系物性关系---剪切胡克定律在弹性范围内加载，当切应力不超过材料的剪切比时，切应力与切应变成正比，其比例系数三个材料常数有如下关系的两个横截面之间的相对扭转角为扭转刚度扭转杆件的强度与刚度计算与实心轴的重量比。

)106016)333⨯⨯-21圆轴扭转时的强度和刚度计算] (单位rad/m或] ＝(0.5~1.0)0/m Pd d GI T x ==ϕθ222324（2）计算截面的极惯性矩AD 段：P ) 434117.95321030(32⨯=⨯==-ππd I DC 段：P ) 43422125321040(32.d I ⨯=⨯==-ππ（3）计算扭转角ϕACrad1045.5 32P 1P -⨯-=++=++=GI l T l T GI l T BCBC DB DB AD AD BCDB AD AC ϕϕϕ段的扭转刚度π)π该轴满足刚度要求27特点：横截面不再保持为平面而发生翘曲自由扭转：扭转杆横截面的翘曲不受任何约束。

即各横截面的翘曲程度相同，其上只有切应力而无正应力约束扭转：各横截面的翘曲程度不相同，其上既有切应力又有正应力矩形截面等直杆的自由扭转问题：杆横截面上的切)有关的因数非圆截面矩形杆扭转问题简介（4）短边中点处的切应力τ是短边上各点切应力的最大值：maxνττ=是为长边中点处的切应力,ν也是与截面h /b 有关的因数（5）杆件两端相对扭转角为：tGI lT hb G l T ==3βϕ：杆件的抗扭刚度。

圆轴扭转时的应力计算一、圆轴横截面上的应力变形几何关系物理关系静力学关系研究应变规律找出应力分布规律求出应力计算公式1. 变形几何关系•各圆周线绕轴线相对旋转了一个角度，但大小、形状和相邻两周线之间的距离保持不变。

•各纵向线仍近似地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度γ。

•截面上的半径线转过一个角度。

•圆轴扭转时横截面保持为平面，形状和大小均不变；•相邻两截面间距离保持不变。

圆轴扭转的平面假设'd BB x γ='d BB R ϕ=d d R x ϕγ=d d xρϕγρ=2. 物理关系剪切胡克定律距离圆心ρ处代入变形几何关系得到：=τγG=τγρρG=ϕργρx dd=τρϕρxGdd有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）3. 静力关系由得 代入 得到 式（2） d A ρτd d G x ρϕτρ=ρA ⎰T =d d d A G Tx A ϕρρ=⎰式（1）2d d d A A G T x ρϕ=⎰2P d A A I ρ=⎰P d d G T xI ϕ=P d d I T x G ϕ=d d G x ρϕτρ=PI T ρρτ=令 抗扭截面系数 P I T ρρτ=max PP R I I T RT τ==P P I W R =max PW T τ=实心轴 2P d A I A ρ=⎰/2202πd D ρρρ=⎰41π32D =P P /W I R =31π16D =d 2πd A ρρ=空心轴令则2PdAI Aρ=⎰/22/22πdDdρρρ=⎰4411ππ3232D d=-P P/(/2)W I D=441π[1(/)]32D d D=-341π[1]16Dα=-44P1π[1]32I Dα=-/d Dα=d2πdAρρ=图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩M =3kN·m 。

试求：1. 轴横截面上的最大切应力；2. 轴横截面上半径r =15mm 以内部分承受的扭矩所占全部 横截面上扭矩的百分比；3. 去掉r = 15mm 以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。