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量子力学中的波函数解析量子力学是一门研究微观世界行为的科学，其基础是波函数，它能够描述微观粒子的性质和运动。
波函数解析是解方程求解波函数的过程，本文将简要介绍量子力学中的波函数解析方法和其在物理学研究中的应用。
一、波函数的定义与性质在量子力学中，波函数（Ψ）是描述微观粒子状态的数学函数。
它是一个复数函数，可用于计算粒子位置、能量以及其他物理量的概率分布。
波函数的物理意义由其模的平方给出，即|Ψ|^2代表粒子在空间中的概率分布密度。
二、波函数解析的数学方法1. 独立粒子体系的波函数解析独立粒子体系是指粒子间不存在相互作用的情况，这时波函数可以通过求解薛定谔方程得到。
薛定谔方程可以用于描述单个微观粒子的行为，并由以下形式给出：ĤΨ = EΨ其中Ĥ是哈密顿算符，E是粒子的能量。
对于简单系统，如自由粒子或受限粒子，可以将波函数分解为一个平面波的线性组合，进一步简化求解过程。
2. 受限系统的波函数解析对于受限系统，波函数解析的过程相对复杂。
例如，对于一维势阱中的粒子，需要边界条件和势能函数来求解波函数。
该问题的解析解可以通过求解边界值问题和应用适当的边界条件来得到。
三、波函数解析在物理学研究中的应用波函数解析在物理学研究中具有广泛的应用，以下介绍几个重要的应用领域。
1. 量子力学中的波函数叠加原理根据波函数叠加原理，两个或多个波函数可以相互叠加形成新的波函数。
叠加后的波函数描述了多粒子系统的相互作用和态叠加的情况。
这一原理在解析解中起到了重要的作用。
2. 基态和激发态的分析波函数解析可以用于分析系统的基态和激发态。
通过求解波函数，可以得到系统能量的本征值和本征态，从而确定基态和激发态的性质。
3. 波函数在相互作用系统中的应用对于相互作用系统，波函数解析可以提供系统能量和粒子位置之间的关系，从而探索系统中粒子间的相互作用情况。
这对于研究分子物理学、凝聚态物理学以及量子场论等领域非常重要。
结语波函数解析是量子力学中的重要概念，其通过数学方法求解薛定谔方程，描述了微观粒子的行为以及物理量的概率分布。
量子力学的波函数解析量子力学是一门研究微观世界的科学，波函数是其核心概念之一。
本文将介绍量子力学的波函数解析。
一、波函数的定义和物理意义波函数是量子力学描述微观粒子状态的数学函数。
通常用Ψ来表示波函数，其一般形式为Ψ(x, t)，其中x表示位置，t表示时间。
波函数的平方乘以一个常数就是粒子在该位置出现的概率密度。
二、波函数的波动性根据量子力学的原理，粒子在某一位置的运动具有波动性。
这是波函数的一大特征。
当波函数呈现波动性时，可以使用波动方程来描述其演化。
三、波函数的波动方程波函数的演化可以由薛定谔方程描述。
薛定谔方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间变化的规律。
该方程对于理解量子力学的基本性质至关重要。
四、波函数的归一化条件波函数必须满足归一化条件，即波函数的平方在整个空间积分等于1。
这保证了粒子在所有可能位置出现的概率之和等于1。
五、波函数的例子1. 粒子在一维无限深势阱中的波函数：无限深势阱是量子力学中的简化模型，其波函数为正弦函数和余弦函数的线性组合。
这个例子展示了粒子在特定能级上的定态波函数。
2. 粒子在一维谐振子中的波函数：谐振子是量子力学中的经典模型，其波函数为厄密多项式的高斯函数。
这个例子展示了粒子在谐振子势场中的概率分布。
3. 电子双缝干涉的波函数：双缝干涉实验证明了波粒二象性的存在。
电子双缝干涉的波函数可以通过叠加两个点源的波函数得到。
这个例子展示了波函数在干涉实验中的应用。
六、波函数的测量与实验在实验中，波函数的测量通常通过观察粒子的位置、动量或其他物理量得出。
根据波函数坍缩的原理，测量结果将会使波函数发生坍缩，粒子出现在某一确定的状态。
七、波函数的解析解与近似解对于简单的系统，可以通过求解薛定谔方程得到波函数的解析解。
然而，对于复杂的系统，通常需要使用数值计算方法或近似解来描述波函数。
总结：本文介绍了量子力学的波函数解析。
波函数是量子力学中描述微观粒子的数学函数，具有波动性和粒子分布概率的特征。
波函数知识点波函数是量子力学中至关重要的概念之一。
它描述了一个量子系统的状态，并提供了有关该系统的各种物理量的概率分布信息。
本文将介绍波函数的定义、性质和意义，以及在量子力学研究和应用中的重要性。
一、波函数的定义与表示波函数可以用数学形式表示为Ψ(x)，其中x表示量子系统的位置，Ψ表示该位置上的波函数振幅。
通常，波函数是关于位置的复数函数。
在三维空间中，波函数则可表示为Ψ(x, y, z)。
二、波函数的性质1. 归一化性：波函数必须满足归一化性条件，即在整个空间范围内积分的结果为1。
这反映了量子系统处于某一状态的概率为1。
2. 可域性：波函数在空间的各点均有定义，且连续可微，除非遇到特殊情况（如量子力学势垒）。
3. 可观测量与算符：波函数通过算符与可观测量相联系。
常见的可观测量包括位置、动量、自旋等。
波函数经由展开，可以用基态、激发态等来表示这些可观测量。
4. 波函数的变化规律：根据薛定谔方程，波函数随时间的演化受到哈密顿算符的影响。
这意味着波函数可以随时间进行量子力学演化，从而揭示出量子系统的动力学特性。
三、波函数的意义波函数描述了量子系统的状态，通过对波函数的解析可以得到很多关于系统性质的信息。
具体包括：1. 粒子位置的概率分布：波函数的模的平方|Ψ(x)|^2表示了粒子在不同位置上出现的可能性。
这种概率分布的解析有助于对量子粒子的位置进行预测。
2. 波函数的叠加性：波函数可以通过线性组合实现叠加。
这就意味着不同状态的波函数可以相互叠加，并形成新的波函数。
这种叠加的结果反映了量子特性中的干涉和叠加效应。
3. 能量本征值与波函数：薛定谔方程的解析求解可以得到波函数的能量本征值和对应的态函数。
通过对能量本征值的研究，可以了解量子系统的能级结构以及能量转移和转换的规律。
4. 态函数和观测量：基于波函数和算符之间的关系，可以用态函数来求解观测量的期望值。
这些期望值与实验结果相比较，可以验证波函数模型的有效性。
量子力学中的波函数及其解释量子力学是一门描述微观世界中微粒行为的物理学理论。
在量子力学中，波函数是一个非常重要的概念，它用来描述微粒的量子态。
波函数的特殊属性和解释引发了科学家们长期以来的争议和探讨。
首先，我们需要了解波函数的基本概念。
波函数通常用符号ψ表示，并且是一个复数函数。
根据量子力学的波粒二象性理论，微粒既可以表现为粒子的形式，又可以表现为波动的形式。
波函数描述了微粒的波动性质，其中ψ的模的平方|ψ|²表示了微粒在不同空间位置的概率分布。
波函数的数学表达式满足薛定谔方程，这是量子力学中的基本方程。
薛定谔方程描述了波函数随时间的演化规律。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到微粒在不同时间下的波函数。
由于波函数的复数性质，它含有两个重要的成分，即实部和虚部。
实部决定了波函数的幅度，虚部则决定了波函数的相位。
然而，波函数的解释一直是一个有争议的问题。
一种观点认为波函数是描述微观粒子“存在于某个状态”的概率幅的数学表示。
这种解释被广泛接受，并且与实验结果相吻合。
根据这种解释，当我们对一个微粒进行测量时，波函数将坍缩到一个确定的状态，而在此之前，微粒的确切状态是不确定的。
另一种观点则认为波函数不仅仅是概率幅的数学描述，而是一个具有物理实在性的实体。
这种观点被称为波函数的本体论解释。
按照这种解释，波函数包含了微粒的所有信息，包括它的位置、动量、自旋等。
然而，这种观点并没有得到主流科学界的广泛认可，因为它存在一系列的哲学和实验上的困难。
此外，量子纠缠也对波函数的解释提出了挑战。
量子纠缠是一种特殊的量子现象，当两个或多个微粒处于纠缠态时，它们的波函数被相互关联。
这意味着对其中一个微粒的测量将立即影响到其它微粒的波函数。
尽管波函数的解释依然存在争议，但量子纠缠的实验结果却得到了验证。
总的来说，波函数是量子力学中一个重要且复杂的概念。
通过波函数，我们可以描述微粒的量子态和概率分布。
然而，对于波函数的解释，目前仍然存在不同的观点。
量子力学中的波函数量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学理论，波函数是量子力学中的重要概念之一。
本文将介绍波函数的定义、性质以及其在量子力学中的作用。
一、波函数的定义与特性在量子力学中，波函数用于描述和预测微观粒子的行为。
波函数通常用符号Ψ表示，它是时间和空间的函数。
波函数的平方模表示在特定时间和空间点上找到粒子的概率。
波函数具有一些重要的特性。
首先，它必须是归一化的，即积分下的平方模应等于1。
其次，波函数必须是连续且可导的，以便描述粒子的运动。
此外，波函数一般是复数形式，这反映了粒子的量子性质。
二、波函数的演化与叠加原理波函数在时间上可以通过薛定谔方程进行演化。
薛定谔方程描述了波函数随时间的变化规律，它是量子力学的基本方程之一。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在不同时间点的波函数。
波函数还具有叠加原理。
根据叠加原理，当系统处于多个可能状态时，波函数可以表示这些状态的线性组合。
这种叠加使得波函数在物理实验和观测中发挥着重要的作用。
三、波函数的测量与波函数坍缩在量子力学中，测量是一个重要操作。
测量的结果通常是微观粒子的某个物理量，如位置、动量或能量。
根据波函数的性质，测量结果是随机的，但具有一定的概率分布。
当进行测量时，波函数将发生坍缩。
波函数的坍缩意味着粒子的状态从叠加态变为一个确定态。
测量结果对波函数的演化产生了显著影响，从而使得波函数描述的是一个确定的粒子状态。
四、波函数的应用与实验验证波函数在量子力学中有广泛的应用。
它可以用于计算和预测微观粒子在各种物理系统中的性质和行为。
通过波函数，可以推导出粒子的能级结构、波粒二象性以及粒子之间的相互作用等重要概念。
波函数的概念已经通过一系列实验证据得到了充分的验证。
例如，双缝干涉实验展示了波粒二象性，电子的波函数在干涉实验中表现出波动性质；扫描隧道显微镜则通过测量隧道电流的方法来验证波函数的坍缩现象。
五、总结波函数是量子力学中的核心概念之一，用于描述微观粒子的行为。
量子力学中的波函数描述量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它描述了微观粒子（如电子和光子）的行为和性质。
在量子力学中，波函数是一种重要的概念，它用来描述粒子的状态和可能的测量结果。
本文将探讨波函数的概念、性质和一些常见的描述方法。
一、波函数的概念和性质波函数（Wave function）是量子力学中对一个量子系统的状态进行数学描述的函数。
它是包含在希尔伯特空间中的一个向量，可以用来预测粒子在不同位置的可能性分布。
根据量子力学的原理，波函数的平方模表示了在相应位置上找到粒子的概率密度。
波函数具有一些重要的性质。
首先，它必须满足归一化条件，即波函数的平方模在整个空间中的积分等于1。
这保证了粒子的概率存在且始终为正。
其次，波函数必须是连续且可微的函数，以满足量子力学的运动方程。
二、波函数的数学表示在量子力学中，常用的表示波函数的方法有薛定谔表示和路径积分表示。
薛定谔表示（Schrodinger representation）是一种常见的描述方法，它以波函数的时间演化为基础，利用薛定谔方程来计算波函数的变化。
薛定谔方程是描述量子力学体系时间演化的基本方程。
它以时间偏导数和位置偏导数为基础，结合哈密顿算符，给出了波函数随时间的变化规律。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在空间中的波函数分布随时间的演化过程。
另一种常见的描述方法是路径积分表示（Path integral representation）。
路径积分表示以路径积分的概念为基础，它将波函数的时间演化看作是从一个初始位置到末态位置的所有可能路径的叠加。
路径积分表示在量子场论和统计力学中有广泛的应用。
三、波函数的物理意义和应用波函数作为描述量子体系的数学工具，其物理意义和应用十分广泛。
首先，波函数的平方模表示了找到粒子在某个位置的概率密度。
通过波函数，可以预测粒子在空间中的可能位置和概率分布。
其次，波函数可以用来计算并预测粒子的能级和能量谱。
由于波函数包含了粒子的所有信息，通过对波函数的求解，可以得到粒子能级和能量的一些特性。
波函数表示波函数表示是量子力学中最为基本和核心的概念之一。
在量子力学中，波函数表示的是一个粒子在空间中的状态，包括粒子的位置、动量、自旋等方面信息。
波函数表示的数学形式是一个复数波函数，可以描述粒子在空间中的概率分布。
下面，我们将逐步介绍波函数表示的一些基本概念和数学方法：1.波函数定义波函数是一个数学函数，通常用ψ表示。
它描述了一个粒子在不同位置上的概率密度。
波函数可以解释为一个在空间中振荡的波。
在量子力学中，波函数也可用于描述粒子的运动状态，包括位置、动量、自旋等方面的信息。
2.波函数的物理意义波函数表示的是一个粒子在空间中的状态，它包含了粒子在不同位置上的概率密度。
在某一位置上观察到粒子的概率分布与波函数的模函数成正比。
波函数的平方模与粒子在空间中的概率分布密度有着紧密的联系。
3.波函数的归一化波函数必须满足归一化条件，即积分值为1。
这是因为粒子在空间中必须存在，其存在的概率必须等于1。
归一化条件可以用如下公式来表示：∫|ψ|²dV = 1其中V表示整个空间。
4.波函数的薛定谔方程波函数的演化是由薛定谔方程描述的。
薛定谔方程是量子力学中最为基本的方程之一。
它能够描述粒子在外场作用下的演化和运动，在数学上表述为：Hψ = Eψ其中H为哈密顿算符，ψ为波函数，E为粒子的能量。
5.波函数的运动与扩散波函数随时间的演化是由薛定谔方程描述的。
在无阻力情况下，波函数会沿着粒子朝向的方向传播，其形状也不断发生变化，这就是波函数的运动。
另一方面，波函数也会发生扩散，即波函数的宽度随时间增长而增大，这说明粒子的位置的不确定性会增大。
6.波函数的解析解与数值解波函数的解析解是一种理论解法，可以推导出波函数的具体表达式。
但是，在大部分实际问题中，波函数的解析解很难求解。
因此，科学家们采用数值方法来求解波函数。
这种方法可以在计算机上通过数值计算得到波函数的近似值，进而分析粒子在空间中的状态。
总之，波函数在量子力学中具有至关重要的作用。
量子力学中的波函数解析量子力学是描述微观粒子行为的一门科学。
在这个领域中，波函数是一个非常重要的概念。
波函数是对粒子状态的数学描述，它包含了关于粒子位置、动量和能量等信息。
本文将探讨量子力学中的波函数解析。
首先，我们需要了解波函数的基本特性。
波函数通常用希腊字母“Ψ”表示，它是空间和时间的函数。
波函数的平方模的积分对应于找到粒子在给定空间内的概率。
这就是说，波函数的模的平方给出了找到粒子的可能性，并且它的积分在整个空间内等于1。
在量子力学中，波函数的演化是通过薛定谔方程来描述的。
薛定谔方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间演化的规律。
根据薛定谔方程，我们可以求解波函数的时间依赖性。
这意味着波函数的形式会随着时间的推移而改变。
波函数解析也涉及到波函数的空间依赖性。
在一维情况下，波函数可以表示为位置的函数。
在三维情况下，波函数可以写成三个坐标的函数。
根据实验和对称性的考虑，我们可以得到一些形式上的波函数解析解。
一个常见的例子是无限深势阱中的波函数。
无限深势阱是一个被无限高墙所包围的区域，粒子在其中运动受到一定的限制。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到无限深势阱中的波函数解析解。
解析解通常涉及到正弦和余弦函数，这是由于边界条件的限制所导致的。
此外，量子力学中还有一些特殊的波函数，例如简谐振子的波函数。
简谐振子是一个理想化的物理系统，具有很多应用。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到简谐振子的波函数解析解。
简谐振子的波函数通常是高斯函数和厄米多项式的乘积形式。
除了一维和三维空间中的波函数解析外，还有其他几种表示方式。
例如，我们可以使用动量空间中的波函数表示。
在动量空间中，波函数是动量的函数。
通过傅里叶变换，我们可以将位置空间中的波函数转换为动量空间中的波函数。
最后，我们还可以讨论波函数的一些统计性质。
例如，我们可以计算波函数的期望值和方差。
期望值给出了测量结果的平均值，而方差度量了测量结果的离散程度。
波函数的统计性质对于理解量子系统的行为十分重要。
理解量子力学的波函数和测量量子力学是一门研究微观世界的科学，它在20世纪初由许多物理学家共同发展而来。
在量子力学中，波函数和测量是理解和描述量子系统性质的重要概念。
本文将重点探讨波函数和测量的概念及其理解。
一、波函数的概念及描述在量子力学中，波函数是描述一个量子系统状态的数学函数。
波函数通常用Ψ (Psi) 表示，它是空间位置和时间的函数，可以用来计算和预测量子粒子的运动和性质。
波函数的数学形式是由薛定谔方程决定的。
薛定谔方程描述了量子系统中粒子的行为和演化规律。
波函数Ψ (Psi) 满足薛定谔方程，它是一个偏微分方程，其解决了系统的能量和波函数之间的关系。
波函数的具体形式取决于所研究系统的性质和约束条件。
例如，对于自由粒子，波函数的形式可以是平面波；对于束缚态系统，波函数则会在空间上呈现出相应的概率分布。
二、波函数的性质和解释波函数具有几个重要的性质。
首先，波函数是复数形式的，其振幅和相位信息都包含在波函数中。
这使得波函数可以描述量子粒子的干涉和相干性质，体现了量子力学的波粒二象性。
其次，波函数满足归一化条件，即波函数的平方和积分为1。
这意味着量子粒子在系统中一定存在，且概率为1。
波函数的平方值称为概率密度函数，描述了粒子出现在不同位置和状态的概率。
此外，波函数还具有线性叠加原理，即若Ψ1和Ψ2是系统的两个可能状态的波函数，则任意系数乘以Ψ1和Ψ2的和仍然是系统的一个可能状态的波函数。
这一性质使得量子系统存在叠加态，也即几个可能状态的叠加。
三、波函数的测量和波函数坍缩当进行测量时，波函数的性质会发生变化。
测量结果为一个确定的数值，而波函数则会坍缩到对应的本征态上。
这种现象被称为波函数坍缩。
测量操作可以是对系统某一物理量的测量，如位置、动量、能量等。
测量结果只能取本征值，而波函数坍缩到对应本征态上，并丧失了其他可能性。
根据量子测量原理，测量结果的概率与波函数的平方值成正比。
换句话说，波函数的平方值描述了该测量结果出现的概率分布。
波函数解释知识点波函数解释是量子力学中重要的一个概念，它用来描述微观粒子的运动状态及其性质。
本文将介绍波函数解释的相关知识点，包括波函数的定义、波函数的物理意义、波函数的性质以及波函数的应用等。
一、波函数的定义在量子力学中，波函数用符号ψ表示，它是描述微观粒子的一种数学函数。
波函数的定义依赖于粒子所处的具体情况，比如自由粒子、束缚粒子或多粒子系统等。
波函数通常是空间坐标和时间的函数，即ψ(r,r)，其中r表示位置矢量，r表示时间。
二、波函数的物理意义波函数的物理意义可以通过波函数的模的平方来描述。
波函数的模的平方|ψ(r,r)|²表示在某一时刻粒子出现在空间体积元rr内的概率。
即r(r,r)rr=|ψ(r,r)|²rr表示在空间体积元rr内发现粒子的概率。
波函数的物理意义可以通过测量得到，例如电子的位置、动量等。
三、波函数的性质1. 波函数的归一化：波函数必须满足归一化条件，即对整个空间积分结果为1。
即∫|ψ(r,r)|²rr=1，这表示粒子必定存在于空间中。
2. 波函数的连续性：波函数及其一阶导数在空间中连续，避免出现不连续点。
3. 波函数的可微性：波函数应该是可微的，以满足薛定谔方程的求解条件。
4. 波函数的奇偶性：对于具有中心对称性的体系，波函数可能是奇函数或偶函数。
四、波函数的应用1. 粒子的定态波函数：波函数的解可以得到粒子的能级、能量及角动量等相关信息，对于束缚系统，波函数的节点和能级的关系也十分重要。
2. 粒子的散射：通过波函数的解，可以计算散射截面、反射系数等散射性质，从而揭示粒子之间相互作用的性质。
3. 粒子的叠加态：多个波函数的线性叠加可以得到粒子的叠加态，这可以用来描述多粒子系统中的统计性质。
4. 量子力学中的难题：波函数的解决了一些传统力学难以解释的问题，如双缝干涉实验等。
总结：波函数解释是量子力学的核心概念之一，它描述了微观粒子的运动状态和性质。
浅谈波函数的理解
吕晓卿 2006623161
（华中师范大学物理科学与技术学院2006级基地班，武汉）
[摘要]：本文主要论述微观粒子的运动状态，借助布朗运动理解微观粒子运动的不可预测性。
由量子理论知道微观粒子的状态是用波函数描述的，浅谈我对波函数物理意义的理解。
最后类比投硬币事件理解力学量的本征值和本征函数的意义，以及对各种测量结果的概率的计算。
[关键词]：微观粒子；波函数；概率分布；本征值；本征函数
由量子力学理论我们知道微观粒子具有波粒二象性，那应该怎样理解那既是波又是粒子的微观粒子呢？为什么量子力学量测不准呢？波函数用来描述微观粒子的状态，它的物理意义是什么？力学量算符的本征值、本征函数的理解怎样？
1.微观粒子的运动与布朗运动
19世纪末，经典物理学遇到了重重困难：黑体辐射、光电效应、原子光谱的分立性等，正是在对这一系列困难的解决中提出并建立了量子理论。
人类对光的本性的认识过程：从牛顿的“微粒说”到胡克的“波动说”，德布罗意类比这一过程提出任何速度的微观粒子都具有波粒二象性。
微观粒子的波粒二象性是指微观粒子在与物质作用时呈现出粒子的“原子性”，在传播过程中表现出波动性的本质“叠加性”。
微观粒子到底是个什么东西？它在空间中到底怎么运动？
事实告诉我们微观粒子在空间中任何一点都有可能出现，但它出现在哪一点又是无法预测的。
对于经典粒子，我们可以根据前一时刻的运动状态来预测其下一时刻的运动状态。
但对于微观粒子我们不能做到这一点，我们只能知道下一时刻它可能出现在什么位置以及出现的概率是多少。
布朗运动图
当学习微观粒子那神秘诡异的运动时，我们不妨借助我们熟知的布朗运动来理解。
这两幅图片分别是氢原子电子图和布朗运动图，我们可以从中看出他们一些相似的地方。
首先，二者的共同点是运动都是杂乱无章的，电子云图中的点的密集程度表示电子在此出现的概率的大小，布朗运动图中的折点是布朗粒子曾出现的位置，但折线并不是布朗粒子的运动轨迹。
他们都不像宏观物体那样有其运动的轨道。
其实我们知道布朗粒子的无规则运动其实质就是它所处环境中（像液体）分子的无规则运动。
其次，这两种运动我们都无法预知其下一时刻的运动状态。
这一时刻出现在这里，下一时刻可能出现在任何地方，谁都不
能规定它必须出现在某一确定位置。
布朗粒子运动的不可预测性的根源也正是微观分子运动的不可预测性。
这样我们可以类似理解微观粒子的运动状态。
但是我们也不能以此认为微观粒子就确实像布朗粒子那样运动，它们还是有区别的。
电子云图中还可以表示电子再某一位置出现的概率，可是布朗运动连概率都不知道！因为布朗运动中环境的分子（像液体分子）的运动速度遵循玻耳兹曼分布，但布朗粒子的运动是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的运动，代表了一种随机涨落现象。
更重要的是布朗粒子毕竟是宏观粒子，实验可以追踪观测它的运动，但对于微观粒子实验上却做不到这一点。
这既是量子理论区别于经典理论的一个最基本的经验事实——量子现象。
经典物理中研究对象和观测手段能完全区分开来，被观测客体的属性不受观测手段的干扰。
但在量子理论中，由于作用量子的存在，研究客体和观察手段之间的界线变得模糊起来，仪器对客体产生了不可控制的作用，且这种相互作用不可忽略也无法得到补偿，这就导致我们无法追踪微观粒子的每一时刻的运动状态。
所以布朗运动仅仅是在帮助我们理解微观粒子的运动时有一定的启发作用。
而且应当指出：布朗粒子具有宏观粒子显著的粒子本性，其波动本性不易观察到。
微观粒子的波粒二象性说明微观粒子的波动本性和粒子本性同等重要。
2. 波函数的理解
通过上面对微观粒子运动状态的初步理解，我们肯定会疑惑这样又是粒子又是波的微观粒子该怎样描述呢？类比经典意义上的波用波函数描述，微观粒子的运动状态我们也用波函数描述。
但并不是所有的波函数都可以用来描述微观粒子的运动状态的，只有那些物理上可容许的波函数才与可实现的物理状态相当，因此描述微观粒子的波函数必须满足单值、连续、有限的标准条件。
波函数本身不是可观测量，它的作用是对微观粒子的各种力学量的观测结果作出预
言。
波函数的物理意义是玻恩对它的统计诠释：波函数模的平方2(,)r t ϕr 表示微观粒子出现
在空间不同位置的概率分布。
即：在坐标表象里微观粒子在t 时刻，在r r 处的体积元中出现的概率是3d r r 23(,)r t d r ϕr r 。
类似的在动量表象里波函数2(,)p t ϕu r 3d p u r 表示微观粒子在t 时刻，在处的体积元中出现的概率。
注意我们一般是在坐标表象中讨论波函数。
p u r 3d p u r 因为波函数乘一个常数A 后表示同一个态，所以波函数的绝对值没有意义，它的相对值才有意义。
这就像从2个人中挑出一个人获奖和从100个人中挑出50个人获奖一样，你获奖的概率是一样的，概率就是相对值，获奖个数就是绝对值，增加再多的获奖个数对你都是没有意义的！波函数的前面可以乘以一个模为1的复常数i e δ，所以任意两点的波函数的相对相位才有意义。
波函数可以叠加是因为相互独立事件的概率的叠加原理，既是在波函数1ϕ下，微观粒子出现在空间某一位置的概率是，在波函数1P 2ϕ下，微观粒子出现在空间该位置的概率是，则在波函数2P Φ1122C C ϕϕ=+下，微观粒子出现在该位置的概率是的
叠加，但又不是经典意义上的叠加，此时1P 2P 22*112211222Re()P C P C P C C *ϕϕ=++，最后一项
是干涉项。
正因为最后一项的存在，量子理论中的叠加才区别与经典统计力学的叠加。
3. 本征值、本征函数与投硬币
前面已经讨论过在给定的状态里测量微观粒子的力学量通常的不到确定的值，只能得到一系列可能的值，而且知道这一系列可能值的概率分布。
这一系列的值是该力学量的本征值。
这就好比我们投硬币，结果可能是正面，可能是反面，正面和反面就是本征值，两者的概率都是12，这就是概率分布。
在给定状态里测量力学量得不到确定值，就象你在投硬币前无法预知这次是正面还是反面一样。
如果在某一特殊的状态中，力学量只能取确定的值，这一特殊状态叫与本征值对应的本征函数。
一般讨论的坐标表象里本征函数是F f f ,r t r
的函数。
那这里本征函数的模平方表示什么呢？我们先来看一个例子。
粒子在一维无限深势阱中运动，求能量的本征值和本征函数。
0,0(),0,x a U x x x a <<⎧=⎨∞==⎩这里我们直接利用结果讨论。
能量的本征值是：
22
28n h E ma = 1,2,n =L ，对应的本征函数是：
()sin(n n x x a πψ=。
由上例可知能量的本征函数是的函数。
假设x 1n =时，能量的本征函
数()sin(x x a
πψ=的2()x ψ表示228h E ma =该事件在()0,a 区间内的概率分布，既是能量为228h E ma =在不同位置的概率。
由能量本征函数是正弦函数知道，即能量x 2
28h E ma =该事件在(区间内的概率分布是正弦分布，x=a/2时概率最大。
)0,a 假设另一波函数(,)x t Φ包含能量的所有本征函数，换句话说波函数(,)x t Φ是各种不同E 的本征函数()n x ϕ的叠加。
可以表示为：(,)()()n n n x t c t ϕΦ=
x ∑。
该式中()n x ϕ的系数的绝对值的平方2()n c t 是在(,)x t Φ中包含()n x ϕ的份额，
它决定了在状态(,)x t Φ中能量为的概率。
例如n E 2
1()c t 表示在波函数(,)x t Φ状态下能量为2
128h E ma =的概率。
我觉得对于初学者一定要花时间深刻理解这一点：能量一定时，对应本征函数的模的平方是取该能量时对坐标的概率分布，也就是取该能量时的状态下，取某一值的概率。
而给定另一状态时，测量能量有各种可能的值，这些值叫做本征值，能量取这些值的概率是x
2
c t。
我们应该仔细比较这两种概率分布的区别，进一步理解波函数的意义，理解微观
()
n
世界的分布问题。
量子理论中算符的本征函数具有正交性和完备性，对于这一点的理解我们可以类似对称矩阵的主值和主轴。
[小结]：
通过对微观粒子运动状态的理解，领悟微观粒子的波粒二象性的深刻含义，当然这是一个长久的过程，可能我们一时无法理解，但我们一定要试图用各种方式理解。
在此基础上理解波函数描述微观粒子的运动状态，态的叠加原理和几率分布的含义。
形象化的理解本征值和本征函数的意义。
参考文献
[1]刘连寿.《理论物理基础教程》高等教育出版社 2003
[2]胡响明浅谈量子概念的理解高等函授学报 2004年4月第17卷第2期
D S Saxon著苏耀中叶安祚译《初等量子力学》高等教育出版社
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