第4讲2波函数统计解释态叠加原理

量子力学中的态叠加与叠加原理量子力学是研究微观世界的物理学分支，它提供了一种描述量子体系行为的数学表达方式。

其中，态叠加与叠加原理是量子力学的重要概念。

本文将介绍量子力学中的态叠加与叠加原理，并探讨其在现代科技中的应用。

一、态叠加态叠加是指在量子力学中，微观粒子的量子态可以同时处于多个可能的状态之间，以一种线性叠加的形式进行描述。

这种叠加可以用数学上的波函数来表示。

波函数是描述量子体系状态的数学函数，它包含了对粒子位置、动量、自旋等物理量进行测量所能得到的概率分布。

以著名的双缝实验为例，假设我们有一束光，通过两个紧密排列的狭缝后，光线会在屏幕上形成干涉图案。

而在量子力学中，如果我们发送一束单个光子通过双缝，在屏幕上观察到的结果却是干涉图案的积累。

这说明光子在通过双缝时并不确定经过哪个缝，而是以叠加的形式经过两个缝同时到达屏幕。

二、叠加原理叠加原理是量子力学中的基本原理之一。

它指出，在量子体系中，如果存在多个可观测量，那么系统的总态可以表示为这些可观测量各自的本征态的线性叠加。

而进行观测时，系统的态将坍缩到某个可观测量的一个本征态上，对应的结果将以相应的概率出现。

举个例子，我们考虑一个自旋1/2粒子的态。

自旋是一个量子力学中的内禀角动量，可以用“上”（↑）和“下”（↓）两种态来表示。

假设我们对这个粒子的自旋进行测量，那么它的状态可以是“上”的本征态，也可以是“下”的本征态。

根据叠加原理，我们可以将这两个本征态进行线性叠加，得到一个通用的自旋态表示。

三、应用与展望态叠加与叠加原理在现代科技中有着广泛的应用。

其中，量子计算是最为重要的领域之一。

传统计算机使用的是经典比特（bit）作为信息单位，表示0和1两种状态。

而量子计算机则采用量子比特（qubit），可以表示0和1两种经典状态的叠加态。

这使得量子计算机可以进行更高效的计算，解决目前传统计算机无法处理的问题。

除了量子计算，量子通信和量子密码学也是研究的热点。

§2.1 波函数的统计解释一．波动－粒子二重性矛盾的分析物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。

到了原子世界（原子大小约1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。

传统对波粒二象性的理解：（1）物质波包会扩散，电子衍射，波包说夸大了波动性一面。

（2）大量电子分布于空间形成的疏密波。

电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。

疏密波说夸大了粒子性一面。

对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。

在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。

二．波函数的统计解释1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。

波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

既描写粒子的波叫几率波。

描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。

几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。

微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。

而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。

描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定；描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。

设波函数描写粒子的状态，波的强度，则在时刻t、在坐标x到x+dx、y到y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为，应正比于体积和强度归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。

归一化常数可由归一化条件确定重新定义波函数，叫归一化的波函数。

在时刻t、在坐标 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用表示，则归一化的波函数还有一不确定的相因子；只有有限时才能归一化为1。

经典波和微观粒子几率波的区别：（1）经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍，就变成另一状态了；而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，将几率波的波幅增大一倍并不影响粒子在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子的状态并不改变；（3）对经典波，加一相因子，状态会改变，而对几率波，加一相因子不会引起状态改变。

第二章波函数和薛定谔方程第一部分、波函数的统计诠释和态叠加原理引言这一部分中，我们将以实验揭示出的微观粒子的波粒二象性为根据，引出描写微观粒子状态的波函数，讨论波函数的性质，以及量子力学的态叠加原理。

2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、如何描述粒子的波动性2.1、波函数的统计诠释2.1.1、如何描述粒子的波动性自由粒子：自由粒子的波，其频率和波矢都不变，即为平面波，x。

Ψ=Aπ−vtcos2λ如果波沿单位矢量n的方向传播，则:第二章波函数和薛定谔方程2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、如何描述粒子的波动性。

改为复数形式为，Ψ=，或者Ae⋅−ωi k r tΨ=()i(p⋅r−Et)，Ae这种波称为德布罗意波。

其中，E=hν=ω，hp n k==。

λ场中的粒子：如果粒子受到随时间或位置变化的力的作用，则动能和动量不是常量。

用一个函数表示来描写这个波，Ψ=Ψ。

(r;t)那么，该如何理解波函数和它所描写的粒子之间的关系呢？微观粒子的波粒二象性该怎么理解呢？2.1.2、实物粒子波动性的两种解释(1)认为物质波是粒子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种波包。

波包是各种波数（长）平面波的迭加，自由粒子的物质波包必然会扩散，粒子将越来越胖，与实验矛盾；另外，散射实验观测到的总是一个一个的电子，从未观测到波包的一部分。

夸大了粒子波动性的一面，抹杀了粒子性的一面。

(2)认为波动性是大量粒子分布于空间形成的疏密波类似与空气振动出现的纵波。

然而电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上逐渐呈现出衍射花纹，这说明单个电子就具有波动性。

夸大了粒子性的一面，抹杀了粒子波动性的一面。

2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、概率波以上两种解释都是错误的，电子既不是经典的粒子也不是经典的波。

•电子的粒子性：有电荷、质量等粒子属性，但没有确切的轨道概念。

•电子的波动性：本质上是指波的相干叠加性。

2.1.3、概率波1926 年，玻恩(Born)首先提出了波函数的统计解释，即：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的概率成正比。

第2讲波函数的统计诠释态叠加原理教学时数:2学时教学内容:1、波函数的统计诠释 2、态叠加原理备注教学目的:掌握波函数的统计诠释和态叠加原理教学重点:1、波函数的统计诠释 2、态叠加原理教学难点:对微观客体的描述教学手段、方法:讲授、讨论教学基本内容?1 波函数的统计解释1、波函数如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量(或不同时为常量)粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为:,描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。

,(r,t)问题: (1) , 是怎样描述粒子的状态呢,(2) , 如何体现波粒二象性的,(3) , 描写的是什么样的波呢,2、波函数的解释PPPPOOOOO电子源电子源电子源感感感感 QQQQ光光光光屏屏屏屏(1)两种错误的看法a. 波由粒子组成:如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。

这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。

电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。

这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。

事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子(只含一个电子～)中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。

波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。

第2讲波函数的统计诠释态叠加原理基本教学内容备注 b. 粒子由波组成:电子是波包。

把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。

因此呈现出干涉和衍射等波动现象。

波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。

什么是波包,波包是各种波数(长)平面波的迭加。

平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。

如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。

实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。

（4）态叠加原理 1 量子态及其表象若体系由归一化的波函数()r ψ 来描述，若测量粒子的位置, 则()2r ψ表示粒子出现在r点的几率密度。

在傅立叶变换下: ()()()33212ip r p er d r ϕψπ-⋅=⎰若测量粒子的动量p, 则测得粒子动量为p的几率密度为()2p ϕ, 同理, 也可以确定其他力学量的测量值的几率分布.故()r ψ 完全描述一个粒子的量子态. ()r ψ称为态函数, 也叫几率波幅.反之, 若体系由归一化的波函数()p ϕ 来描述， 则测量粒子动量为p 的几率为()2p ϕ, 在傅立叶变换下:()()()33212ip r r ep d r ψϕπ⋅=⎰若在位置r点测量粒子, 则测得粒子出现在r点的几率密度为()2r ψ。

这样, ()p ϕ也可完全描述这个粒子的量子态.因此, 我们知道, 对于一个体系, 粒子的量子态可以有多种描述方式, 每种方式对应于一种不同的表象, 它们彼此之间存在着确定的变换关系. 如()r ψ 是粒子态在坐标表象中的表示, 而()p ϕ是同一个状态在动量表象中的表示. 2 态叠加原理若体系由()r ψ 来描述，则2()r ψ（已归一）描述了体系的几率分布或称几率密度。

若单粒子处于()()()()1122,exp ,exp c p t ip r c p t ip r ⋅+⋅ 态中，则测量动量的取值仅为1p 或2p，而不在12p p -之间取值。

对于由大量粒子组成的体系，好像一部分电子处于1p 态，另一部分电子处于2p态。

但你不能指定某一个电子只处于1p 态或只处于2p 态。

即对一个电子而言，它可能处于1p 态（即动量为1p ），也可能处于2p态（即动量为2p ），即有一定几率处于1p 态，有一定几率处于2p态。

由这启发建立量子力学最基本原理之一： A 、 态叠加原理：设体系处于1ψ态下, 测量力学量A 时, 测得值为1a , 若体系处于2ψ态下, 测量力学量A 时, 测得值为2a , 则体系处于1122c c ψψψ=+下, 测量力学量A 时, 测得值只可能为1a 或2a ，并且测得1a 和2a 的几率分别2221c ,c ∝。

第二章波函数和薛定谔方程2.1 波函数的统计解释与态叠加原理1、波函数的统计解释上一章已说到，为了表示粒子的波粒二象性，可以用复数形式的平面波束描写自由粒子。

自由粒子是不受力场作用的，它的能量与动量都是常量。

如果粒子受到随时间及位置等变化的力场的作用，它的能量和动量就不再是常量，或者不再都是常量。

这时，粒子就不能用平面波来描写，设这时描写粒子的波是某一个函数，这个函数就称为波函数。

它描写粒子所处的状态，所以也称为态函数，它通常是一个复数。

究竟怎样理解波函数和它所描写的粒子之间的关系呢？对于这个问题，曾经有过各种不同的看法。

例如，将波看作是由它所描写的粒子构成的，这种看法是不对的。

我们知道，衍射现象是由波的干涉而产生的，如果波果真是由它所描写的粒子构成，则粒子流的衍射现象应当是由于构成波的这些粒子相互作用而形成的。

但事实证明，在粒子流的衍射实验中，照片上所显示出来的衍射图形与入射粒子流的强度无关，如果减少入射粒子流强度，即使粒子是一个一个地被衍射，虽然一开始照片上的点子看起来是毫无规则的，但当足够长的时间后，如果落在照片上的粒子数基本上保持不变，则所得到的衍射图形是相同的。

这说明每一个粒子被衍射的现象与其他粒子无关，衍射图形不是由粒子之间的相互作用而产生的。

除了上面的看法外，还有其他一些企图解释波函数的尝试，但都因与实验事实不符而被否定。

为人们所普遍接受的对波函数的解释，是由玻恩（Born）首先提出的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。

按照这种解释，描写粒子的波及是几率波。

按照波函数的几率解释，很容易理解衍射实验：每一个粒子都具有波性，所以每一个粒子都被衍射。

但如果粒子数很少，则统计性质显示不出来，所以在照片上的点子看起来好象是毫无规则的；如果粒子数目足够大，则在波的强度最大的地方，粒子投射在这里的几率也最大，便出现衍射极大，在波的强度最小的地方，粒子投射在这里的几率也最小，便出现衍射极小。

量子力学中的波函数与叠加原理量子力学是描述微观世界规律的理论体系，它的基础概念之一就是波函数。

波函数在量子力学中扮演了重要的角色，它包含了微观粒子的全部信息，通过对其的研究和求解，我们能够预测和理解微观粒子的行为。

在量子力学中，波函数描述了一个量子体系的状态。

它是一个复数函数，通常用希腊字母Ψ表示。

波函数的平方值表示了在某一给定时间和空间点上找到粒子的概率。

这里的概率并不是传统意义上的频率，而是描述了粒子可能出现在某个位置或具有某种性质的可能性。

叠加原理是波函数的另一个重要概念。

它表明一个物理系统所处的状态可以是多个不同状态的线性组合。

这意味着，当一个物理系统同时处于多个可能的状态时，其波函数可以表示为各个状态波函数的叠加。

例如，在实验中，我们可以通过装置使得电子同时通过两个不同的路径，所以电子的波函数就是两个路径波函数的叠加。

波函数和叠加原理的重要性在于它们揭示了量子世界的一些奇特现象，例如干涉和量子纠缠。

干涉是指当波函数的两个分量相遇时，它们会相互干涉，形成干涉条纹。

这可以通过双缝实验来观察到，当光通过两个狭缝时，它们产生的干涉现象表明光既具有波粒二象性。

量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联，即使它们在空间上相隔很远，一个粒子的状态的改变会立即反映在其他粒子上。

爱因斯坦曾经称之为“鬼魅般的遥远联系”。

这种奇特的现象在实验中已经被证实，它源于波函数的叠加原理。

波函数的叠加原理对量子计算和量子信息理论也有重要意义。

量子计算利用了量子叠加的特性，通过对多个可能状态的叠加进行并行计算，可以在某些特定情况下获得超级计算的速度优势。

量子信息理论则研究如何利用波函数的叠加和纠缠来传递和处理信息。

这些研究为未来的量子技术发展提供了基础。

当然，波函数和叠加原理也存在一些争议和不确定性。

例如，波函数的解释一直是个谜题，是否它只是对我们观测到的粒子行为的一种数学描述，还是它本身就代表了物理粒子的真实存在，至今仍没有明确的答案。