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波函數的統計詮釋現在，讓我們回頭再來看薛丁格的波動力學。
其實，當時在波動力學中還存在一個懸而未決的大問題，這就是波動方程式中包含的波函數ψ的物理意義究竟是什麼。
最初，薛丁格認為ψ函數負數模的平方式電荷的密度，這就好像電子分解成電子雲似的。
但是，哥本哈根的物理學家們並沒有像接受薛丁格的理論那樣給以讚賞。
與之相反，薛丁格對波函數的解釋遭到波耳的批評和反對。
波耳邀請薛丁個到家中討論這個問題，最後，兩人馬拉松式的討論竟把薛丁格累得病倒在波耳家中。
然而，主人卻堅持在床頭繼續與薛丁格討論。
波耳既善良熱情又很有涵養，可是在及其重要的物理學問題面前，他實在難以抑制激情。
1926年，玻恩把薛丁格波動方程用於量子力學散射過程，從而提出了波函數的統計詮釋（statistical interpretation）。
玻恩是當時享有盛名的物理學家，他1882年12月11日生於普魯士，1907年獲哥廷根大學博士學位，1921年起任該校物理系主任。
玻恩不但個人成就卓越，對學生和晚輩的提攜更是不遺餘力，海森伯、泡利等人都曾是他的研究助手。
希特勒上台後，玻恩被迫流亡英國，先後在劍橋大學和愛丁堡大學任教。
1953年退休後，波恩回到了德國，直到1970年1月5日逝世。
玻恩在1926年發表的一篇論文中指出，薛丁格波函數是一種機率振幅（probability amplitude），它的絕對值的平方對應於測量到的電子的機率分佈。
直到這時，波函數的物理含意才變得明確了。
不過，一個力學理論竟然給出了機率，這簡直是太令人震驚了！在電子的繞射圖中，底片上暗環實際上就是許多電子集中到達的地方，亮環處就是電子幾乎沒有到達過的位置。
按繞射環的半徑統計出每個環中電子留下的黑斑數目，物理學家馬上就發現，以環的半徑為橫座標、相應半徑的黑斑數為縱座標作的圖，其形狀與光以及X射線繞射的密度分佈曲線相同。
這是偶然的巧合，還是另有什麼深刻的含意呢？由於這一分佈曲線也呈波的形狀，而且對應的是電子射中底片某點的機率，玻恩建議把這種波命名為機率波。
波函数的统计诠释的概念波函数的统计诠释是量子力学中描述微观粒子行为的一种理论解释。
波函数是量子力学中的基本概念，它可以描述粒子的位置、动量以及相应的概率分布。
波函数的统计诠释是指通过波函数的模的平方来描述粒子在不同位置的概率分布，而不是用经典物理学中的确定性描述。
在经典物理学中，我们可以用牛顿运动定律来描述物体的运动规律，而量子力学中的波函数则描述了微观粒子的运动规律。
波函数的统计诠释认为，粒子的物理状态在某一给定时刻是不确定的，而只能用概率来描述。
通常情况下，粒子的运动状态由波函数表示，波函数的平方的绝对值表示了粒子在不同位置上的概率。
波函数的统计诠释最早由德国物理学家马克斯·玻恩（Max Born）于1926年提出。
他通过研究波动方程和波函数的性质，得出了波函数的平方表示了测量粒子位置的概率密度。
根据这一理论，波函数的平方的绝对值越大，粒子在该位置出现的概率就越大。
这就解释了为什么在双缝干涉实验中，粒子在干涉条纹上的概率更大，而在暗区的概率很小。
波函数的统计诠释揭示了微观粒子行为的非经典性质。
在经典物理学中，粒子的位置和动量是可以同时确定的，而量子力学中却存在不确定原理的限制，即海森堡不确定性原理。
根据不确定性原理，我们无法完全确定粒子的位置和动量，只能得到它们的概率分布。
这就意味着，我们无法预测粒子在某一时刻的确切位置和动量，只能通过波函数的统计诠释来获得它们的概率分布。
波函数的统计诠释也带来了量子纠缠和量子隐形传态等奇特现象。
由于波函数的统计诠释，当两个或多个粒子处于量子纠缠态时，它们之间的相互作用会导致它们的状态处于相关的状态。
这就意味着，当我们测量其中一个粒子的状态时，另一个粒子的状态也会瞬间塌缩到与之相关的状态上。
这种现象违反了经典物理学中的因果关系，被称为“量子非局域性”。
波函数的统计诠释还揭示了量子测量的本质。
根据量子测量原理，当我们对粒子的某一物理量进行测量时，其波函数将塌缩到与测量结果相对应的本征态上。
§15-1波函数及其统计诠释
在经典物理学中我们已经知道，一个被看作为质点的宏观物体的运动状态，是用它的位置矢量和动量来描述的。
但是，对于微观粒子，由于它具有波动性，根据不确定关系，其位置和动量是不可能同时准确确定的, 所以我们也就不可能仍然用位置、动量以及轨道这样一些经典概念来描述它的运动状态了。
微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数ψ(r, t)来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。
在经典物理学中，我们曾经用波函数y(x, t) = a cos(ωt-kx)表示在t时刻、在空间x处的弹性介质质点离开平衡位置的位移，用波函数e(r, t) = e0 cos(k⋅r-ω t)和b(r, t) = b0 cos (k⋅r-ω t)分别表示在t时刻、在空间r处的电场强度和磁场强度。
那么在量子力学中描述微观粒子的波函数ψ(r, t)究竟表示什么呢？
为了解释微观粒子的波动性，历史上曾经有人认为，微观粒子本身就是粒子，只是它的运动路径像波；也有人认为，波就是粒子的某种实际结构，即物质波包，波包的大小就是粒子的大小，波包的速度(称为群速)就是粒子的运动速度；还有人认为，波动性是由于大量微观粒子分布于空间而形成的疏密波。
实验证明，这些见解都与事实相违背，因而都是错误的。
1926年玻恩(m.born, 1882-1970)指出，德布罗意波或波函数ψ(r, t)不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。
对波函数的这种统计诠释将量子概念下的波和粒子统一起来了。
微观粒子既不是经典概念中的粒子，也不是经典概念中的波；或者说，微观粒子既是量子概念中的粒子，也是量子概念中的波。
其量子概念中的粒子性表示它们是具有一定能量、动量和质量等粒子的属性，但不具有确定的运动轨道，运动规律不遵从牛顿运动定律；其量子概念中的波动性并不是指某个实在物理量在空间的波动，而是指用波函数的模的平方表示在空间某处粒子被发现的概率。
但是，在量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有直接物理意义的, 具有直接物理意义的是波函数的模的平方，它代表了粒子出现的概率。
如果某微观粒子的概率波的波函数是ψ(r, t)=ψ(x,y,z, t)，那么在t时刻、在空间(x,y,z)附近的体积元d x d y d z内粒子出现的概率正比于
或,其中ψ*(x,y,z,t)是ψ(x,y,z,t)的共轭复数(或称复共轭)。
于是，在t时刻、在空间(x,y,z)附近单位体积内粒子出现的概率，即概率密度可以表示为
.(15-1)
既然波函数与粒子在空间出现的概率相联系，所以波函数必定是单值的、连续的和有限的。
在经典物理学中，波函数ψ(r, t)和aψ(r, t)(a是常数)代表了能量或强度不同的两种波动状态；而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态，或者说代表了同一个概率波，因为它们所表示的概率分布的相对大小是相同的。
也就是说，对于空间任意两点r i和r j下面的关系必定成立
. (15-2)
所以，波函数允许包含一个任意的常数因子。
如果粒子被限制在一个有限的空间内运动，那么在任意时刻在全空间找到这个粒子的概率必定等于1，即
,(15-3)
式中v是波函数存在的全空间。
上式就称为波函数的归一化条件。
由归一化条件可以确定波函数中的常数因子。
满足归一化条件的波函数的绝对值的平方所代表的概率，称为绝对概率；不满足归一化条件的波函数的绝对值的平方所代表的概率，称为相对概率。
量子力学中并不排斥使用一些不能归一的理想波函数，如描述自由粒子的平面波波函数。
在经典的波动学中，我们曾经讨论过波动所遵从的叠加原理，即各列波共同在某质点引起的振动，是各列波单独在该质点所引起的振动的合成。
在量子力学中也有一个类似的原理，这个原理称为态叠加原理，是量子力学原理的一个基本假设，适用于一切微观粒子的量子态。
态叠加原理可以表述为：如果波函数ψ1(r, t), ψ2(r, t), ……都是描述系统的可能的量子态，那么它们的线性叠加
, (15-4) 也是这个系统的一个可能的量子态。
式中c1 , c2 ,…一般也是复数。
最后简要介绍关于宇称的概念。
如果将描述粒子状态的波函数的所有坐标改变符号(即r →-r，或x →-x, y®-y, z ®-z)，这称为波函数的空间反演。
宇称就是描述微观粒子波函数在空间反演下所具有的一种对称性。
如果波函数经空间反演后，波函数的数值和符号都不改变，即
,(15-5)
就称该波函数具有偶宇称(或正宇称)；如果波函数经空间反演后，波函数的数值不变而符号改变，即
,(15-6)
就称该波函数具有奇宇称(或负宇称)。
