2010年第14届日本算术奥林匹克预赛试题及答案(初小组)

最大与最小知识要点在日常生活和工作中，经常会遇到这样一类问题：怎样安排时间最省、怎样行走路线最短、怎样管理费用最低、怎样设计面积最大、怎样合作效率最高、怎样加工利用率最大等等，它们都可以归结为在一定条件下的最大值或最小值方面的数学问题。

最大和最小都是在某一固定范围內比较的结果。

固定的范围就是一个定值，抓住这个“定值”就抓住了解题的关键。

解决极值问题的策略，常常因题而异，归纳起来主要有以下四个“突破口”：①从极端情况入手；②用枚举比较入手；③由分析推理入手；④凭构造方程入手。

最小1.（2008年4月13日第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第2试第4题）有一排椅子有27个座位，为了使后去的人随意坐在哪个位置都有人与他相邻，则至少要先坐_______人。

2.圆桌周围恰好有12把椅子，现在已经有一些人在桌边就坐。

当再有一人入座时，就必须和已就坐的某人相邻。

问：已就坐的最少有多少人？3.阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就座时，某些排坐着的人数就一样多。

我们希望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？4.（2007年台湾第十一届小学数学世界邀请赛个人赛第6题）商店里销售的铅笔有两种包装，五支包装的每包售价6元，七支包装的每包售价7元。

某校至少要购买铅笔111支，请问至少要花费_______元。

5.若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？6.（2007年“我爱数学夏令营”综合测试题第7题）一个小公司有5个职工，月平均工资为2700元。

已知最高工资是最低工资的2倍，那么最高月工资最少为_______元。

7.（1999年第八届日本小学数学奥林匹克大赛决赛第7题）有一批货物，它们的总重量是19500千克，不知道每一件货物的重量，但没有一件货物的重量超过350千克。

姓名年级学校准考证号赛区考场联系电话-------------------装----------------------订----------------------线---------------------第14届世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛全国总决赛------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------六年级初赛试卷（本试卷满分120分，考试时间75分钟）一、初试牛刀（单选题Ⅰ，每题5分，共50分）1.全世界的胡杨树九成在中国，中国的胡杨树九成在新疆，新疆的胡杨树九成在塔里木。

则全世界的胡杨树（）成在塔里木。

A.7.29 B.8.1 C.81 D.7292.一个真分数的分子、分母是两个相邻奇数，如果分母加5后，这个分数约分为43，则原分数是（）。

A.79B.119C.2321D.25233.研究发现，人体的下半身（肚脐以下）高度与身高的比值越接近0.618，就越能产生视觉美，这种身材被称为“黄金身材”。

某女士身高1.65米，下半身是1.00米，若她想要利用高跟鞋达到这个完美效果，所穿高跟鞋高度应约为（）厘米。

（结果保留1位小数）A. 1.9 B. 2.0 C. 5.1 D. 5.24.某工厂生产了一批灯泡，其中有20%是次品，初步检验后，80%的次品被剔除，另有5%的正品也被误以为是次品而剔除，此时这批灯泡中次品所占的百分比是（）。

A.25% B.21% C.16% D.5%5.萌萌从家骑车到图书馆，先上坡，后下坡，行程情况如图，若返回时上、下坡的速度仍保持不变，那么萌萌从图书馆骑车回家用的时间是（）分钟。

A.30B.37.2C.48D.55.26.甲方要传输一份文件给乙方，若单用A 软件传输，需10分钟；若单用B 软件传输，需8分钟；若同时用A、B 软件传输，由于相互影响，A、B 软件每分钟共少传输0.2页。

姓名年级学校准考证号赛区考场联系电话-------------------装----------------------订----------------------线---------------------第14届世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛全国总决赛------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------五年级初赛试卷（本试卷满分120分，考试时间75分钟）一、初试牛刀（单选题Ⅰ，每题5分，共50分）1.在一架天平的两边分别放上以下重量的物体，唯一平衡的一组是（）。

A.左边312×2598克，右边820576克B.左边137×4725克，右边647335克C.左边110×3457克，右边380270克D.左边261×1231克，右边300291克2.将下面四个矩形沿着虚线剪开后，所得的两个部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是（）。

A. B. C. D.3.将图①所示四张扑克牌洗均匀后，如图②所示背面朝上放置在桌面上。

规定游戏规则如下：若同时随机抽取两张扑克牌，抽到两张牌的牌面数字之和是偶数则为胜，是奇数则为负。

则下面四个说法中正确的是（）。

A.胜的可能性比较大B.负的可能性比较大C.胜负的可能性一样大D.不可能胜，一定会负4.俄国著名数学家罗蒙诺索夫向邻居借《数学原理》一书，邻居对他说：“你帮我劈10天柴，我就把书送给你，另给你20个卢布。

”结果他只劈了7天柴。

邻居把书送给他后，另外付了5个卢布。

《数学原理》这本书的价值是（）卢布。

A.9B.20C.30D.805.我们在书写日期时习惯用六位数表示，例如850630表示的是1985年6月30日，用这种方法表示2009年某月某日的日期，其中六个数字都不相同的日期有（）天。

世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛福建晋级赛三年级试题参考答案及评分标准一、填空题。

（每题6分，共计48分。

）1、324 7202、329763、6元4、155、226、3：157、1 5 8 8、莉莉二、计算题。

（每题8分，共计16分。

）9、1847－1928＋628－136－64=1847－（1928－628）－（136+64）=1847－1300－200=34710、100－99＋98－97＋96－95＋……＋4－3＋2－1=（100－99）+（98－97）＋（96－95）＋……＋（4－3）＋（2－1）=1＋1＋1＋……＋1=50三、解答题。

（共计56分）11、锯每根木料所用时间为：（10÷2-1）×3=12（分钟）………………………4分全部锯完需要的时间为：12×12=144（分钟）………………………………6分12、（1）正确划线（5分）（2）1＋2＋3＋…＋12=78 （1分） 78÷3=26 （1分）26=11＋12＋1＋2 （1分）或26=5＋6＋7＋8 （答对1个即可，答对2个加3分）13、第一个盘里打1个鸡蛋第二个盘里打2个鸡蛋第二个盘里打4个鸡蛋第二个盘里打8个鸡蛋…………………………………..4分因为1+2=3 2+3=5 2+4=6 1+2+4=7 1+8=9 2+8=10 1+2+8=11 4+8=12 1+4+8=132+4+8=14 1+2+4+8=15…………………………………..10分14、（12+13）×2+3×2×2=62（米） 12分15、根据题意，将5个小朋友所报的数求和：8+14+7+12+4=45由于丙报的数7的2倍是乙、丁两人心里想的两个数的和，丁报的数12的2倍是丙、戊两人心里想的两个数的和可见乙、丙、丁、戊四个小朋友心里想的数的和应是（7×2+12×2）=38………5分所以甲心里的数是：45-38=7………………………6分丙心里的数是：14×2-7=21…………………8分戊心里的数是：12×2-21=3…………………10分乙心里的数是：8×2-3=13……………………12分丁心里的数是：7×2-13=1……………………14分世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛福建晋级赛四年级试题参考答案及评分标准一、填空题。

（共8套）世界少年奥林匹克数学竞赛真题 六年级至四年级专版（全）绝密★启用前世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛（2016年10月）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。

2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。

3、比赛时不能使用计算工具。

4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。

六年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、填空题。

（每题5分，共计50分）1、有甲、乙两个两位数，甲数的27等于乙数的 23，这个两位数的差最多是 。

2、如果15111111111111111*=++++，242222222222*=+++，33*=3+33+333，那么7*4= 。

3、由数字0,2,8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008排在第 个。

4、如图，正方形的边长是2（a+b ），已知图中阴影部分B 的面积是7平方厘米，则阴影部分A 和C 面积的和是 平方厘米。

5、一辆出租车与一辆货车同时从甲地出发，开往乙地出租车4小时到达，货车6小时到达，已知出租车 比货车每小时多行35千米。

甲乙两地相距 千米6、一个长方体铁块，被截成两个完全相同的正方体铁块，两个正方体铁块的棱长之和比原来长方体铁块的棱长之和增加了16厘米，则原来长方体铁块的长是 。

7、四袋水果共46个，如果第一袋增加1个，第二袋减少2个，第三袋增加1倍，第四袋减少一半，那么四袋水果的个数就相等了，则第四袋水果原先有 个。

8、有23个零件，其中有一个次品，不知它比正品轻还是重，用天平最少 次可以找出次品。

9、123A5能被55整除，则A= 。

10、在一次数学游戏中，每一次都可将黑板上所写的数加倍或者擦去它的末位数，假定一开始写的数是458，那么经过 次上述变化得到14.二、计算题。

（每题6分，共计12分）11、123200112320012002200220022002++++12、6328862363278624⨯-⨯省 市 学校 姓名 赛场 参赛证号∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕密 封 线 内 不 要 答 题a +六年级 第3页 六年级 第4页三、解答题。

国际数学奥林匹克试题分类解析数论A2 整数的求解A2－001 哪些连续正整数之和为1000？试求出所有的解．【题说】 1963年成都市赛高二二试题 3．【解】设这些连续正整数共n个（n＞1），最小的一个数为a，则有a＋（a＋1）＋…＋（a＋n－1）＝1000即n（2a＋n－1）＝2000若n为偶数，则2a＋n－1为奇数；若n为奇数，则2a＋n－1为偶数．因a≥1，故2a＋n－1＞n．同，故只有n＝5，16，25，因此可能的取法只有下列三种：若n＝5，则 a＝198；若n＝16，则 a＝55；若n＝25，则 a＝28．故解有三种：198＋199＋200＋201＋20255＋56＋…＋7028＋29＋…＋52A2－002 N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得N是整数的四次方．【题说】第九届（1977年）加拿大数学奥林匹克题3．【解】设b为所求最小正整数，则7b2＋7b＋7＝x4素数7应整除x，故可设x＝7k，k为正整数．于是有b2＋b＋1＝73k4当k＝1时，（b－18）（b＋19）＝0．因此b＝18是满足条件的最小正整数．A2－003 如果比n个连续整数的和大100的数等于其次n个连续数的和，求n．【题说】 1976年纽约数学竞赛题 7．s2－s1＝n2＝100从而求得n＝10．A2－004 设a和b为正整数，当a2＋b2被a＋b除时，商是q而余数是r，试求出所有数对（a，b），使得q2＋r＝1977．【题说】第十九届（1977年）国际数学奥林匹克题 5．本题由原联邦德国提供．【解】由题设a2＋b2＝q（a＋b）＋r（0≤r＜a＋b），q2＋r＝1977，所以q2≤1977，从而q≤44．若q≤43，则r＝1977－q2≥1977－432＝128．即（a＋b）≤88，与（a＋b）＞r≥128，矛盾．因此，只能有q＝44，r＝41，从而得a2＋b2＝44（a＋b）＋41（a－22）2＋（b－22）2＝1009不妨设|a－22|≥|b－22|，则1009≥（a－22）2≥504，从而45≤a≤53．经验算得两组解：a＝50，b＝37及a＝50，b＝7．由对称性，还有两组解a＝37，b＝50；a＝7，b＝50．A2－005 数1978n与1978m的最后三位数相等，试求出正整数n和m，使得m＋n 取最小值，这里n＞m≥1．【题说】第二十届（1978年）国际数学奥林匹克题 1．本题由古巴提供．【解】由题设1978n－1978m＝1978m（1978n－m－1）≡0（mod 1000）因而1978m≡2m×989m≡0（mod 8），m≥3又1978n－m≡1（mod 125）而 1978n－m＝（1975＋3）n－m≡3n－m＋（n－m）3n－m－1·1975（mod 125）（1）从而3n－m≡1（mod 5），于是n－m是4的倍数．设n－m＝4k，则代入（1）得从而k（20k＋3）≡0（mod 25）因此k必须是25的倍数，n－m至少等于4×25＝100，于是m＋n的最小值为n－m＋2m＝106，m＝3，n＝103A2－006 求方程x3＋x2y＋xy2＋y3＝8（x2＋xy＋y2＋1）的全部整数解x、y．【题说】 1980年卢森堡等五国国际数学竞赛题 6．本题由荷兰提供．于是 x3＋x2y＋xy2＋y3＝（x＋y）3－2xy（x＋y）＝u3－2vux2＋xy＋y2＝（x＋y）2－xy＝u2－v从而原方程变为2v（u－4）＝u3－8u2－8 （2）因u≠4，故（2）即为根据已知，u－4必整除72，所以只能有u－4＝±2α3β，其中α＝0，1，2，3；β＝0，1，2进一步计算可知只有u－4＝2·3＝6，于是u＝10，v＝16A2－007 确定m2＋n2的最大值，这里 m和 n是整数，满足 m，n∈｛1，2，…，1981｝，（n2－mn－m2）2＝1．【题说】第二十二届（1981年）国际数学奥林匹克题 3．【解】若m＝n，由（n2－mn－m2）2＝1得（mn）2＝1，故m＝n＝1．若m≠n，则由n2－mn－m2＝±1得 n＞m．令n＝m＋u k，于是[（m＋u k）2－m（m＋u k）－m2]2＝1于是有若u k≠u k－1，则以上步骤可以继续下去，直至从而得到数列：n，m，u k，u k－1，…，u k－l，u k－l－1此数列任意相邻三项皆满足u i＝u i－1＋u i－2，这恰好是斐波那契型数列．而{1，2，…，1981}中斐氏数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，可见m＝987，n＝1597时，m2＋n2＝3524578为满足条件的最大值．A2－008 求方程w！＝x！＋y！＋z！的所有正整数解．【题说】第十五届（1983年）加拿大数学奥林匹克题 1．【解】不妨设x≤y≤z．显然w≥z＋1，因此（z＋1）！≤w！＝x！＋y！＋z！≤3·z！从而z≤2．通过计算知x＝y＝z＝2，w＝3是原方程的唯一解．A1－010 前1000个正整数中可以表示成[2x]＋[4x]＋[6x]＋[8x]的正整数有多少个？【题说】第三届（1985年）数学邀请赛题 10．【解】令f（x）＝[2x]＋[4x]＋[6x]＋[8x]．个不同的正整数值．另一方面f（x＋n）＝f（x）＋20n对任一正整数n成立．将1－1000分为50段，每20个为1段．每段中，f（x）可取12个值．故总共可取到50×12＝600个值，亦即在前1000个正整数中有600个可以表示成[2x]＋[4x]＋[6x]＋[8x]的形式．A2－011 使n3＋100能被n＋10整除的正整数n的最大值是多少？【题说】第四届（1986年）数学邀请赛题 5．【解】由n3＋100＝（n＋10）（n2－10n＋100）－900知，若n3＋100被n＋10整除，则900也应被n＋10整除．因此，n最大值是890．A2－012 a、b、c、d为两两不同的正整数，并且a＋b＝cd，ab＝c＋d求出所有满足上述要求的四元数组a、b、c、d．【题说】 1987年匈牙利数学奥林匹克题 1．【解】由于a≠b，所以当且仅当a＝1或b＝1时，才有a＋b≥ab．如果a、b都不是1，那么c＋d＝ab＞a＋b＝cd由此知c＝1或d＝1．因此a、b、c、d中总有一个（也只有一个）为1．如果a＝1，那么由消去b可以推出从而得到c＝2，d＝3，或者c＝3，d＝2．这样，本题的答案可以列成下表A2－013 设[r，s]表示正整数r和s的最小公倍数，求有序三元正整数组（a，b，c）的个数，其中[a，b]＝1000，[b，c]＝2000，[c，a]＝2000．【题说】第五届（1987年）数学邀请赛题 7．【解】显然，a、b、c都是形如2m·5n的数．设a＝2m1·5n1，b＝2m2·5n2，c＝2m3·5n3．由[a，b]＝1000＝23·53，知max（m1，m2）＝3，max（n1，n2）＝3．同理，max （m2，m3）＝4，max（n2，n3）＝3；max（m1，m3）＝4，max（n1，n3）＝3．由此，知m3应是4，m1、m2中必有一是3．另一个可以是0、1、2或3之任一种，因此m1、m2的取法有7种．又，n1、n2、n3中必有两个是3，另一个可以是0、1、2或3．因此n1、n2、n3取法有10种．故m i、n i（i＝1、2、3）不同取法共有7×10＝70种，即三元组共有70个．A2－014 设m的立方根是一个形如n＋r的数，这里n为正整数，r为小于1/1000的正实数．当m是满足上述条件的最小正整数时，求n的值．【题说】第五届（1987年）数学邀请赛题12．m＝n3＋1＜（n＋10－3）3＝n3＋3n2·10－3＋3n·10－6＋10－9于是从而n＝19（此时m＝193＋1为最小）．【题说】第十三届（1987年）全俄数学奥林匹克九年级题 1．【解】 144＝122，1444＝382设n＞3，则则k必是一个偶数．所以也是一个自然数的完全平方，但这是不可能的．因为平方数除以4，因此，本题答案为n＝2，3．A2－016 当n是怎样的最小自然数时，方程[10n/x]＝1989有整数解？【题说】第二十三届（1989年）全苏数学奥林匹克十年级题 1．【解】1989≤10n/x＜1990所以10n/1990＜x≤10n/1989即10n·0.000502512…＜x≤10n·0.000502765…所以n＝7，这时x＝5026与5027是解．A2－017 设a n＝50＋n2，n＝1，2，…．对每个n，a n与a n＋1的最大公约数记为d n．求d n的最大值．【题说】 1990年第1轮选拔赛题 9．【解】d n＝（a n，a n＋1）＝（50＋n2，50＋（n＋1）2－（50＋n2））＝（50＋n2，2n＋1）＝（2（n2＋50），2n＋1）（因 2n＋1是奇数）＝（2（n2＋50）－n（2n＋1），2n＋1）＝（100－n，2n＋1）＝（100－ n，2n＋1＋2（100－ n））＝（100－n，201）≤201在n＝100≠201k（k∈N）时，d n＝201．故所求值为201．A2－018 n是满足下列条件的最小正整数：（1）n是75的倍数；（2）n恰为 75个正整数因子（包括1及本身）．试求n/75．【题说】第八届（1990年）数学邀请赛题5．【解】为保证 n是75的倍数而又尽可能地小，可设n＝2α·3β·5γ，其中α≥0，β≥1，γ≥2，并且（α＋1）（β＋1）（γ＋1）＝75由75＝52·3，易知当α＝β＝4，γ＝2时，符合条件（1）、（2）．此时n＝24·34·52，n/75＝432．A2－019 1．求出两个自然数x、y，使得xy＋x和xy＋y分别是不同的自然数的平方．2．能否在988至1991范围内求到这样的x和y？【题说】第二十五届（1991年）全苏数学奥林匹克九年级题5．【解】 1．例如x＝1，y＝8即满足要求．2．假设988≤x＜y≤1991x、y∈N，使得xy＋x与xy＋y是不同的自然数的平方，则x2＜xy＋x＜xy＋y这时y－x＝（xy＋y）－（xy＋x）＞（x＋1）2－x2＝2x＋1即y＞3x＋1由此得1991≥y＞3x＋1≥3×998＋1矛盾！故在988与1991之间不存在这样的自然数x、y．A2－020 求所有自然数n，使得这里[n/k2]表示不超过n/k2的最大整数，N是自然数集．【题说】 1991年中国数学奥林匹克题 5．【解】题给条件等价于，对一切k∈N，k2＋n/k2≥1991 （1）且存在k∈N，使得k2＋n/k2＜1992．（2）（1）等价于对一切k∈N，k4－1991k2＋n≥0即（k2－1991/2）2＋n－19912/4≥0 （3）故（3）式左边在k取32时最小，因此（1）等价于n≥1991×322－324＝1024×967又，（2）等价于存在k∈N，使（k2－996）2＋n－9962＜0上式左边也在k＝32时最小，故（2）等价于n＜1992×322－324＝1024×968故n为满足1024×967≤n≤1024×967＋1023的一切整数．A2－021 设n是固定的正整数，求出满足下述性质的所有正整数的和：在二进制的数字表示中，正好是由2n个数字组成，其中有n个1和n个0，但首位数字不是0．【题说】第二十三届（1991年）加拿大数学奥林匹克题2．【解】 n＝1，易知所求和S1＝2．n≥2时，首位数字为1的2n位数，在其余2n－1位上，只要n个0的位置确定了．则n－1个1的位置也就确定了，从而这个2n位二进制数也随之确定．现考虑第k（2n＞k≥1）位数字是1的数的个数．因为其中n个0的位置只可从2n －2个位置（除去首位和第k位）中选择，故这样的将所有这样的2n位二进制数相加，按数位求和，便有A2－022 在{1000，1001，1002，…，2000}中有多少对相邻的数满足下列条件：每对中的两数相加时不需要进位？【题说】第十届（1992年）数学邀请赛题6．7或 8时，则当n和n＋1相加时将发生进位．再若b＝9而c≠9；a＝9而b≠9或c≠9．则当n和n＋1相加时也将发生进位．如果不是上面描述的数，则n有如下形式其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}．对这种形式的n，当n和n＋1相加时不会发生进位，所以共有53＋52＋5＋1＝156个这样的n．A2－023 定义一个正整数n是一个阶乘的“尾”，如果存在一个正整数m，使得m！的十进位制表示中，结尾恰好有n个零，那么小于1992的正整数中有多少个不是阶乘的尾？【题说】第十届（1992年）数学邀请赛题15．【解】设f（m）为m！的尾．则f（m）是m的不减函数，且当m是5的倍数时，有f（m）＝f（m＋1）＝f（m＋2）＝f（m＋3）＝f（m＋4）＜f（m＋5）因此，从f（0）＝0开始，f（m）依次取值为：0，0，0，0，0；1，1，1，1，1；2，2，2，2，2；3，3，3，3，3；4，4，4，4，4；6，6，6，6，6；…；1991，1991，1991，1991，1991容易看出如果存在m使f（m）＝1991，则因而m＞4×1991＝7964．由公式（1）可计算出f（7965）＝1988，从而f（7975）＝1991．在序列（1）中共有7980项，不同的值有7980/5＝1596个．所以在{0，1，2，…，1991}中，有1992－1596＝396个值不在（1）中出现．这就说明，有396个正整数不是阶乘的尾．A2－024 数列{a n}定义如下：a0＝1，a1＝2，a n＋2＝a n＋（a n＋1）2．求a1992除以7所得的余数．【题说】 1992年数学奥林匹克预选赛题1．【解】考虑a n以7为模的同余式：a0＝1≡1（mod 7）a1＝2≡2（mod 7）a1＝1＋22＝5≡－2（mod 7）a3≡2＋（－2）2＝6≡－1（mod 7）a4≡－2＋（－1）2＝－1（mod 7）a5≡－1＋（－1）2＝0（mod 7）a6≡－1＋02＝－1（mod 7）a7≡0＋（－1）2＝1（mod 7）a8≡－1＋12＝0（mod 7）a9≡1＋02＝1（mod 7）a10≡0＋12＝1（mod 7）a11≡1＋12＝2（mod 7）所以，a n除以7的余数以10为周期，故a1992≡a2≡5（mod 7）．A2－025 求所有的正整数n，满足等式S（n）＝S（2n）＝S（3n）＝…＝S（n2）其中S（x）表示十进制正整数x的各位数字和．【题说】 1992年捷克和斯洛伐克数学奥林匹克（最后一轮）题 3．【解】显然，n＝1满足要求．由于对正整数x，有S（x）≡x（mod 9），故当n＞1时，有n≡S（n）≡S（2n）≡2n（mod 9）所以9|n．若n是一位数，则n＝9，又S（9）＝S（2×9）＝S（3×9）＝…＝S（92）＝9，故9满足要求．10k≤n＜10k＋1又9 10k，故10k＋1≤n＜10k＋1若n＜10k＋10k－1＋…＋10＋1，则与已知矛盾，从而n≥10k＋10k－1＋…＋10＋1（1）令n＝9m．设m的位数为l（k≤l≤k＋1），m－1＝S（n）＝S（（10k＋10k－1＋…＋10＋1）n）＝S（（10k＋1－1）m）＝S（10k＋1（m－1）＋（10k＋1－10l）＋（10l－m））其中9有k＋1－l个，b i＋c i＝9，i＝1，2，…，l．所以S（n）＝9（k＋1）（2）由于n是 k＋1位数，所以 n＝99…9＝10k＋1－1．另一方面，当 n＝99…9＝10k＋1－1时，S（n）＝S（2n）＝S（3n）＝…＝S（n2）．综上所述，满足要求的正整数为n＝1及n＝10k－1（k≥1）．A2－026 求最大正整数k，使得3k|（23m＋1），其中m为任意正整数．【题说】 1992年友谊杯国际数学竞赛十、十一年级题 2．【解】当m＝1时，23m＋1＝9，故k≤2．又由于23m＋1＝（23）3m－1＋1≡（－1）3m－1＋1（mod 9）＝0所以，对任意正整数m，9|（23m＋1）．即所求k的值为2．最大整数．【题说】 1993年全国联赛一试题2（4），原是填空题．【解】因为1093＋33＝（1031）3＋33＝（1031＋3）（（1031）2－3×1031＋32）＝（1031）（1031－3）＋9－1它的个位数字是8，十位数字是0．A2－028 试求所有满足如下性质的四元实数组：组中的任一数都等于其余三个数中某两个数的乘积．【题说】第十九届（1993年）全俄数学奥林匹克十一年级二试题5．【解】设这组数的绝对值为a≤b≤c≤d．无论a为b，c，d哪两个数的乘积，均有a≥bc，类似地，d≤bc．从而，bc≤a≤b≤c≤d≤bc，即a＝b＝c＝d＝a2．所以a＝0或1，不难验证，如果组中有负数，则负数的个数为2或3．所以，答案为{0，0，0，0}，{1，1，1，1}，{－1，－1，1，1}，{－1，－1，－1，1}．A2－029 对任意的实数x，函数f（x）有性质f（x）＋f（x－1）＝x2．如果f （19）＝94，那么f（94）除以1000的余数是多少？【题说】第十二届（1994年）数学邀请赛题3．【解】重复使用f（x）＝x2－f（x－1），有f（94）＝942－f（93）＝942－932＋f（92）＝942－932＋922－f（91）＝…＝942－932＋922－…＋202－f（19）＝（94＋93）（94－93）＋（92＋91）（92－91）＋…＋（22＋21）（22－21）＋202－94＝（94＋93＋92＋…＋21）＋306＝4561因此，f（94）除以1000的余数是561．A2－030 对实数x，[x]表示x的整数部分，求使[log21]＋[log22]＋[log23]＋…＋[log2n]＝1994成立的正整数n．【题说】第十二届（1994年）数学邀请赛题 4．【解】 [long21]＋[log22]＋[log23]＋…＋[log2128]＋[log2129]＋…＋[log2255]＝2×1＋4×2＋8×3＋16×4＋32×5＋64×6＋128×7＝1538．A2－031 对给定的一个正整数n．设p（n）表示n的各位上的非零数字乘积（如果n只有一位数字，那么p（n）等于那个数字）．若S＝p（1）＋p（2）＋p（3）＋…＋p（999），则S的最大素因子是多少？【题说】第十二届（1994年）数学邀请赛题5．【解】将每个小于1000的正整数作为三位数，（若位数小于3，则前面补0，如25可写成 025），所有这样的正整数各位数字乘积的和是（0·0·0＋0·0·1＋0·0·2＋…＋9·9·8＋9·9·9）－0·0·0＝（0＋1＋2＋…＋9）3－0p（n）是n的非零数字的乘积，这个乘积的和可以由上面表达式将0换成1而得到．因此，＝463－1＝33·5·7·103最大的素因子是103．A2－032 求所有不相同的素数p、q、r和s，使得它们的和仍是素数，并且p2＋qs 及p2＋qr都是平方数．【题说】第二十届（1994年）全俄数学奥林匹克九年级题7．【解】因为四个奇素数之和是大于2的偶数，所以所求的素数中必有一个为偶数2．若p≠2，则p2＋qs或p2＋qr中有一个形如（2k＋1）2＋2（2l＋1）＝4（k2＋k＋l）＋3，这是不可能的，因为奇数的平方除以4的余数是1，所以p＝2．设22＋qs＝a2，则qs＝（a＋2）（a－2）．若a－2＝1，则qs＝5，因为q、s是奇素数，所以上式是不可能的．于是只能是q＝a－2， s＝a＋2q＝a＋2，s＝a－2所以s＝q－4或q＋4．同理r＝q－4或q＋4．三个数q－4、q、q＋4被3除，余数各不相同，因此其中必有一个被 3整除．q或q＋4为3时，都导致矛盾，所以只能是q－4＝3．于是（p，q，r，s）＝（2，7，3，11）或（2，7，11，3）A2－033 求所有这样的素数，它既是两个素数之和，同时又是两个素数之差．【题说】第二十届（1994年）全俄数学奥林匹克十年级题5．【解】设所求的素数为p，因它是两素数之和，故p＞2，从而p是奇数．因此，和为p的两个素数中有一个是2，同时差为p的两个素数中，减数也是2，即p＝q ＋2，p＝r－2，其中q、r为素数．于是p－2、p、p＋2均为素数．在三个连续的奇数中必有一数被3整除，因这数为素数，故必为3．不难验证只有p－2＝3，p＝5，p＋2＝7时，才满足条件．所以所求的素数是5．个整数．【题说】第三十五届（1994年）国际数学奥林匹克题4．本题由澳大利亚提供．【解】 n3＋1＝n3＋mn－（mn－1），所以mn－1|n（n2＋m）．因为（mn－1，n）＝1，所以mn－1|n2＋m．又n（m2＋n）－（n2＋m）＝m（mn－1），所以mn－1|m2＋n．因此m，n对称，不妨设m≥n．当n＝1时，mn－1＝m－1|n3＋1＝2，从而m＝2或3，以下设n≥2．若m＝n，则n2－1|（n3＋1）＝（n3－n）＋（n＋1），从而n2－1|（n＋1），m＝n＝2．若m＞n，则由于2（mn－1）≥n2＋mn＋n－2≥n2＋2m＞n2＋m所以mn－1＝n2＋m，即（m－n－1）（n－1）＝2于是本题答案为（m，n）＝（2，1），（3，1），（1，2），（2，2），（5，2），（1，3），（5，3），（3，5），（2，5）共九组．【题说】第十三届（1995年）数学邀请赛题7．【解】由已知得即所以A2－036 一个正整数不是42的正整数倍与合数之和．这个数最大是多少？【题说】第十三届（1995年）数学邀请赛题10．【解】设这数为42n＋p，其中n为非负整数，p为小于42的素数或1．由于2×42＋1，42＋2，42＋3，42×5＋5，42＋7，2×42＋11，42＋13，4×42＋17，3×42＋19，42＋23，3×42＋29，2×42＋31，4×42＋37，2×42＋41，都是合数，所以在n≥5时，42n＋p都可表成42的正整数倍与合数之和，只有42×5＋5例外．因此，所求的数就是42×5＋5＝215．A2－038 求所有正整数x、y，使得x＋y2＋z3＝xyz，这里z是x、y的最大公约数．【题说】第三十六届（1995年）IMO预选题．【解】由原方程及y2、z3、xyz均被z2整除得出z2|x．设x＝az2，y＝bz，则原方程化为a＋b2＋z＝abz2 （1）由b2、abz2被b整除得b|（a＋z）．于是b≤a＋z．a＋z＋b2＝abz2＝（a＋z）b＋（a＋z）b＋b（（z2－2）a－2z）≥a＋z＋b2＋b（（z2－2）a－2z）（2）（2）中不等式的等号只在b＝1并且b＝a＋z时成立，而这种情况不可能出现（a ＋z＞1），所以（2）是严格的不等式．这表明（z2－2）a－2Z＜0 （3）从而z≤2（否则（3）的左边≥z2－2－2z≥z－2＞0）．在z＝2时，2a－2z＜0，即a＝1，代入（1）得b＝1或3，从而x＝4，y＝2或6．在z＝1时，（1）成为a＋b2＋1＝ab （4）从而（a－b）（b－1）＝b＋1＝（b－1）＋2这表明（b－1）|2，b＝2或3．代入（4）得a＝5．于是x＝5，y＝2或3．因此本题共有四组解：（x，y）＝（4，2），（4，6），（5，2），（5，3）．A2－039 设 m、n∈N，（m，n）＝1．求（5m＋7m，5n＋7n）．其中（m，n）表示 m、n的最大公约数．【题说】 1996年数学奥林匹克题 2．【解】记H（m，n）＝（5m＋7m，5n＋7n）．则H（0，1）＝（2，12）＝2H（1，1）＝（12，12）＝12因H（m，n）＝H（n，m），故可设n≥m．当n≥2m时，（5m＋7m，5n＋7n）＝（5m＋7m，（5m＋7m）（5n－m＋7n－m）－5m7m（5n－2m＋7n－2m））＝（5m＋7m，5m7m（5n－2m＋7n－2m））＝（5m＋7m，5n－2m＋7n－2m）当m≤n＜2m时，（5m＋7m，5n＋7n）＝（5m＋7m，（5m＋7m）（5n－m＋7n－m）－5n－m7n－m（52m－n＋72m－n））＝（5m＋7m，52m－n＋72m－n）记则（1）H（m′，n′）＝H（m，n）；（2）m′＋n′≡m＋n（mod 2）；（3）（m′，n′）＝（m，n）．当（m，n）＝1时，反复进行上面的操作，最后必有（m′，n′）＝（1，0）或（m′，n′）＝（1，1）．从而有A2－040 求下列方程的正整数解：（a，b）＋[a，b]＋a＋b＝ab其中a≥b，[a，b]、（a，b）分别表示a与b的最小公倍数与最大公因数．【题说】 1996年数学奥林匹克预选赛题 7．【解】记（a，b）＝d，a＝da′，b＝db′，则[a，b]＝da′b′．题设条件变为1＋a′＋b′＋a′b′＝da′b′ （*）所以故1＜d≤4．当d＝4时，a′＝b′＝1，从而a＝b＝4；当d＝3时，（*）等价于（2a′－1）（2b′－1）＝3由a′≥b′得a′＝2，b′－1．故a＝6，b＝3．当d＝2时，（*）等价于（a′－1）（b′－1）＝2由a′≥b′得a′＝3，b′＝2．从而a＝6，b＝4．综上所述，所求的正整数解有4，4；6，4；6，3．A2－041 一个幻方中，每一行，每一列及每一对角线上的三个数之和有相同的值．图示一个幻方中的四个数，求x．【题说】第十四届（1996年）数学邀请赛题1．【解】幻方中两条对角线的和与第二列的和都为同一值s，这3s也是第一行的和加上第二行的和，再加上中央一数的3倍．所以中央的左下角的数为19＋96－1＝114．因此x＝3×105－19－96＝200A2－042 对整数1，2，3，…，10的每一个排列a1，a2，…，a10，作和|a1－a2|＋|a3－a4|＋|a5－a6|＋|a7－a8|＋|a9－a10|数．求p＋q．【题说】第十四届（1996年）数学邀请赛题12．【解】差|a i－a j|有如下的45种：这45种的和为1×9＋2×8＋3×7＋4×6＋5×5＋6×4＋7×3＋8×2＋9×1＝165．每一种出现的次数相同，而在和|a1－a2|＋|a3－a4|＋|a5－a6|＋|a7－a8|＋|a9－a10|中有5种，所以A2－043 设正整数a、b使15a＋16b和16a－15b都是正整数的平方．求这两个平方数中较小的数能够取到的最小值．【题说】第三十七届（1996年）国际数学奥林匹克题4．本题由俄罗斯提供．【解】 15a＋16b＝r2，16a－15b＝s2于是16r2－15s2＝162b＋152b＝481b （1）所以 16r2－15s2是481＝13×37的倍数．由于0，±1，±2，±3，±4，±5，±6的平方为0，±1，±3，±4（mod 13），所以15≡2（mod 13）不是任一数的平方．因此，16r2≡15s2（mod 13）时，必有13|s．同样，由于0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，±9，±10，±11，±12，±13，±14，±15，±16，±17，±18的平方为 0，±1，±3，±4，±9，±12，±16（mod 37），所以必有 37|s．于是481|s．由（1），481|r．在r＝s＝481时，b＝（16－15）×481＝481，a＝（16＋15）×481＝31×481，满足15a＋16b＝r2，16a－15b＝s2．所以所说最小值为481．A2－044 设自然数n为十进制中的10位数．从左边数起第1位上的数恰是n的数字中0的个数，第2位上的数恰是n的数字中1的个数，一般地，第k＋1位上的数恰是n的数字中k的个数（0≤k≤9）．求一切这样的数n．【题说】 1997年数学奥林匹克预选赛题 7．【解】设n的左数第k＋1位上的数字为n k（0≤k≤9），则数字k出现的次数为n k．因为n是10位数，所以n0＋n1＋n2＋…＋n9＝10 （1）又数字k若在左数第n j＋1位上出现，则数字j在n中出现k次．n k个k意味着有数字j1，j2，…，j nk，共出现k nk次．于是，又有n i＋2n2＋…＋9n9＝10 （2）由（2）显然n5，n6，n7，n8，n9，至多一个非零，且n6，n7，n8，n9均≤1．若 n5＝n6＝n7＝n8＝n9＝0 （3）则n0≥5．于是n中至少有一个数字≥5，与（3）矛盾．所以n5，n6，n7，n8，n9中有一个非零，其余四个为0．从而n1＋2n2＋3n3＋4n4≤5 （4）（4）表明n1，n2，n3，n4中至少有两个为0，从而n中0的个数不少于6，即n0≥6．于是n6，n7，n8，n9中有一个为1，n5＝0．若n9＝1，则n0＝9，n1≥1，这显然不可能．若n8＝1，则n0＝8，n1≥1，但无论n1＞1或n1＝1均不合要求．若n7＝1，则n0＝7，n1＝1或2，前者显然不合要求．后者导致n2≥1，n0＋n1＋n2＋n7＞10也不合要求．若n6＝1，则n0＝6，n1＝2或3．n1＝2时，n2＝1，数6210001000满足要求．n1＝3时，n3＞0，n0＋n1＋n3＋n6＞10，不合要求．综上所述，满足条件的10位数n只有6210001000．A2－045 求所有的整数对（a，b），其中a≥1，b≥1，且满足等式a b2＝b a．【题说】第三十八届（1997年）国际数学奥林匹克题5．本题由捷克提供．【解】显然当a、b中有一个等于1时，（a，b）＝（1，1）．以下设a，b≥2．设t＝b2/a，则由题中等式得到b＝a t，at＝a2t，从而t＝a2t－1．如果2t－1≥1，则t ＝a2t－1≥（1＋1）2t－1≥1＋（2t－1）＝2t＞t，矛盾．所以2t－1＜1．于是我们有0＜t＜1．记K＝1/t，则K＝a/b2＞1为有理数，由a＝b k可知K＝b K－2 （1）如果K≤2，则K＝b K－2≤1，与前面所证K＞1矛盾，因此K＞2．设K＝p/q，p，q∈N，p、q互质，则p＞2q．于是由（1）q＝1，即K为一个大于2的自然数．当b＝2时，由（2）式得到K＝2K－2，所以K≥4．又因为等号当且仅当K＝4时成立，所以得到a＝b K＝24＝16．当b≥3时，＝b K－2≥（1＋2）K－2≥1＋2（K－2）＝2K－3．从而得到K≤3．这意味着K＝3，于是得到b＝3，a＝b K＝33＝27．综上所述，满足题目等式的所有正整数对为（a，b）＝（1，1），（16，2），（27，3）．75=3×5^2显然N必含有质因数3、5，且质因数5的个数至少为2。

【精品】最值问题在日常生活和工作中，经常会遇到这样一类问题：怎样安排时间最省、怎样行走路线最短、怎样管理费用最低、怎样设计面积最大、怎样合作效率最高、怎样加工利用率最大等等，它们都可以归结为在一定条件下的最大值或最小值方面的数学问题。

最大和最小都是在某一固定范围內比较的结果。

固定的范围就是一个定值，抓住这个“定值”就抓住了解题的关键。

解决极值问题的策略，常常因题而异，归纳起来主要有以下四个“突破口”：①从极端情况入手；②用枚举比较入手；③由分析推理入手；④凭构造方程入手。

最小例1(2008年4月13日第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第2试第4题)有一排椅子有27个座位，为了使后去的人随意坐在哪个位置都有人与他相邻，则至少要先坐_____人。

拓展圆桌周围恰好有12把椅子，现在已经有一些人在桌边就坐。

当再有一人入座时，就必须和已就坐的某人相邻。

问：已就坐的最少有多少人？例2阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就座时，某些排坐着的人数就一样多。

我们希望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？例3若干名家长(爸爸或妈妈，他们都不是老师)和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？(2007年“我爱数学夏令营”综合测试题第7题)一个小公司有5个职工，月平均工资为2700元。

已知最高工资是最低工资的2倍，那么最高月工资最少为_____元。

将200分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能的小，那么此时这个最大的质数是多少？(2001年第十届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第3题)有六个不同的整数，这六个整数的和是365，六个整数中最大数为65。

求其中的最小数最小是多少，最大是多少？最大31个同学围成一个圆圈，坐好后发现任何两个男生之间至少有两个女生，那么男生最多有多少人？(2001年第八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第11题)自行车轮胎安装在前轮上行驶5000千米后报废，若安装在后轮上只能行驶3000千米。

第十六届全国青少年信息学奥林匹克联赛初赛试题（提高组 C++语言两小时完成）●●全部试题答案均要求写在答卷纸上，写在试卷纸上一律无效●●一、单项选择题（共10题，每题1.5分，共计15分。

每题有且仅有一个正确选项。

）1．与十六进制数 A1.2等值的十进制数是（）A．101.2 B．111.4 C．161.125 D．177.252．一个字节（byte）由（）个二进制组成。

A．8 B．16 C．32 D．以上都有可能3．以下逻辑表达式的值恒为真的是（）。

A．P∨（┓P∧Q）∨(┓P∧┓Q) B．Q∨（┓P∧Q）∨（P∧┓Q）C．P∨Q∨（P∧┓Q）∨（┓P∧Q） D．P∨┓Q∨（P∧┓Q）∨(┓P∧┓Q)4．Linux下可执行文件的默认扩展名是( )。

A. exeB. comC. dllD. 以上都不是5．如果在某个进制下等式7*7=41成立，那么在该进制下等式12*12=（）也成立。

A. 100B. 144C. 164D. 1966．提出“存储程序”的计算机工作原理的是（）。

A. 克劳德•香农B. 戈登•摩尔C. 查尔斯•巴比奇D. 冯•诺依曼7．前缀表达式“+ 3 * 2 + 5 12 ”的值是（）。

A. 23B. 25C. 37D. 6 58．主存储器的存取速度比中央处理器(CPU)的工作速度慢的多，从而使得后者的效率受到影响。

而根据局部性原理，CPU所访问的存储单元通常都趋于一个较小的连续区域中。

于是，为了提高系统整体的执行效率，在CPU中引入了( )。

A．寄存器 B．高速缓存 C．闪存 D．外存9．完全二叉树的顺序存储方案，是指将完全二叉树的结点从上到下、从左到右依次存放到一个顺序结构的数组中。

假定根结点存放在数组的1号位置上，则第k号结点的父结点如果存在的话，应当存放在数组中的（）号位置。

A．2k B．2k+1 C．k/2下取整 D．(k+1)/210．以下竞赛活动中历史最悠久的是（）。

第20届日本算术奥林匹克预赛试题（考试时间：2011年5月22日13:00—14:30）报名单位姓名所在小学【问题1】今天是2011年5月22日，是第20届日本算术奥林匹克的预赛日。

请在每个□中各填入一个数字，使算式成立。

（请将答案写在答题卡上）【问题2】有1g，2g，3g，4g，5g的砝码各1个，给它们各自贴上ア、イ、ウ、エ、オ的标签。

还有不知道重量的物品，用△表示。

下图是天平的三种称重方法，请求出砝码ア、イ、ウ、エ、オ和物品△的重量各是多少g？（请将答案写在答题卡上）4个小朋友围着方桌玩奥尔高游戏牌。

右图表示游戏在进行中。

请求出牌ア和牌イ表示的数是几?游戏规则说明如下：①图中排列着分别写有数0～11的白卡片12张，黑卡片12张。

②将24张卡片充分打乱顺序后分发给4人，每人6张。

③游戏开始前4人将分到的卡片按以下规则数朝下（牌扣着）排列：将黑白卡片从左到右、从小到大排列在自己面前。

当数字相同时，黑卡片排在左，白卡片排在右。

例：当白卡片是0、2、6；黑卡片是2、7、9时，如下排列：④游戏开始后，顺序猜其他人牌的数，猜对数的牌要翻过来，使数的面朝上。

（请将答案写在答题卡上）【问题4】将日期作为数考虑。

比如，1月1日是101，10月12日是1012 。

如果□月△日的○日后的数，正好是□月△日的数的2倍。

请问：满足条件的数○有几种可能？注意：2月份定为28天来考虑，○是不超过365的整数。

（请将答案写在答题卡上）【问题5】如图1所示，有3张画有9 个方格的卡片。

首先在第一张与第二张卡片的相同位置上分别填入1 ~ 9的数字。

其次：让第一张不动，将第二张顺时针转动90度，与第一张重叠，并将此时重叠的数字之和写在第三张卡片相同位置上。

平太按上述要求做了，计算后第三张如图2所示。

请把1 ~ 9分别填入第一张卡片的方格中。

第一张第二张第三张《图1》第一张第二张第三张《图2》（请将答案写在答题卡上）请在□中各填入一次1 ~ 9，使全部等式成立。

第五届日本算术奥林匹克竞赛预赛试题Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998第五届日本算术奥林匹克竞赛预赛试题一、雨哗哗地不停地下着。

如在雨地里放一个如图1那样的长方体的容器，雨水将它注满要用1小时。

有下列A—E不同的容器（图2），雨水注满这些容器各需多长时间二、将一正方形的纸对折2次后，还是正方形（见图1）。

用同样的方法，可把某形状的纸对折3次后，成为图2那样的三角形。

已知可把4种形状的纸对折3次后，折成那样的三角形，请画出这4种形状。

三、有6个1克重的球，1个2克重的球，1个3克重的球，共有8个球。

把这8个球从①到⑧编上号，放到天平上称，就成为图中所示状态。

问：（1）2克重的球是几号球（2）3克重的球是几号球四、有193个人坐成一横排。

首先，正中间的一个人站起来，然后，按下述方法大家都或坐或站。

①邻座的人站起来，1秒钟后，自己也站起来。

②站起1秒钟后坐下。

③如果左右邻座的人同时是站着的话，即使过了1秒钟，自己仍然坐着。

问：（1）最初的那个人站起8秒钟后，有几个人站着（2）96秒钟后，有几个人站着五、有一个如图那样的方块网格，每1个小方块里有1个人，在这些人中间，有人戴着帽子，有人没戴。

每一个人都只能看见自己前方，后方和斜方的人的头，如图1所示，A方块里的人能看见8个人的头，B方块里的人能看见5个人的头，C方块里的人能看见3个人的头，自己看不见自己的头。

在图2的方格中，写着不同方块里的人能看见的帽子的数量，那么，请在图2中找出有戴帽子的人的方块，并把它涂成黑色。

六、某俱乐部有11个成员，他们的名字分别是A～K。

这些人分为两派，一派人总说实话，另一派人总说谎话。

某日，老师问：“11个人里面，总说谎话的有几个人”那天，J和K休息，余下的9个人这样回答：A说：“有10个人。

”B说：“有7个人。

”C说：“有11个人。

”D说：“有3个人。

”E说：“有6个人。

历届国际数学竞赛试题历届国际数学竞赛试题求证(21n 4)/(14n 3) 对每个自然数n都是最简分数。

2.√2；(b)A=1；(c)A=2。

3. a试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5.、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。

6.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。

2.√(12x))23.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。

5.求XY中点的轨迹；b.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。

令V1 为圆锥的体积，V2 为圆柱的体积。

(a). 求证：V1不等于V2 ；(b). 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。

7.设a、b是常数，解方程组x y z =a; x2 y2 z2 =b2; xy=z2并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？2.解方程cosx - sinx = 1, 其中n是一个自然数。

4. P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC 于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。

5三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。

在p上任意取三个点A', B', C'，A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。

问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么？nn第4届IMO1.试找出满足下列不等式的所有实数x：√(3-x)- √(x 1) > 1/2.3.解方程cosxcos2x cos3x = 1。

第19届高小日本算术奥林匹克竞赛试题（上半场）时间：上午10：10—11：10【问题一】从1到9中去掉一个数字，从这剩下的八个数字选出两个不同的数字排列起来得到的二位数中，如果2的倍数有21个，4的倍数有12个，7的倍数有8个，请求出最开始去掉的那个数字。

【问题二】如图，四边形ABCD和四边形ECFD都是平行四边形。

E为AB上的点，使得∠AED=∠DEC。

然后在EB上取点I。

IF与EC、DC分别交于G和H。

已知CG：CH=8：5，△DHF与△EGI的面积cm，求四边形EGFD的面积。

之差为112【问题三】在三位数中，满足下面条件的整数称为“好数”。

条件：将该三位数切分成两个整数并相加后，总是原来整数的约数。

（例）将330拆分成3和30或者33和0，和都是330的约数。

所以330是“好数”。

另外，702拆分成7和02的时候能够成为约数，但拆分成70和2的时候不能成为约数，所以702不是“好数”。

请求出4个：个位不是0的“好数”。

【问题四】如下图，有两个可旋转标有从0到5的刻度盘。

现在，两个刻度盘都在0的位置。

同时掷大小两个骰子，按照下面的顺序旋转刻度盘。

顺序：⒈按照右刻度盘指的数字，将左刻度盘逆时针旋转相应的格数。

⒉按照大骰子的点数，将左刻度盘顺时针旋转相应的格数。

⒊按照左刻度盘指的数字，将右刻度盘逆时针旋转相应的格数。

⒋按照小骰子的点数，将右刻度盘顺时针旋转相应的格数。

例如，第一次掷骰子，大骰子出现4，小骰子出现3的时候：⒈左刻度盘指向0，不动；⒉左刻度盘顺时针旋转4格，指向4；⒊右刻度盘逆时针旋转4格，指向2；⒋右刻度盘顺时针旋转3格，指向5。

如果将大小两个骰子掷3次，并且旋转完毕后，要求两个刻度盘都指向0，请问：骰子出现的点数有多少种不同的排列？第19届高小日本算术奥林匹克竞赛试题（下半场）时间：上午11：20—12：20【问题五】有8个棱长为1cm的正方体（如图中所示），3面是黑色，另3面是白色。

2010年第十四届“华罗庚金杯”(训练1） 姓名 分数一、填空题1、分数115、136、231116、6430、305153中最小的一个是（ ）。

2、如下图所示，ABCD 是一个正方形，图中的阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN 的面积为（ ）3、将105表示成不少于两个连续的（非零）自然数之和，最多有（ ）钟表达方式。

4、将奇数1、3、5、……、2007、2009一次从小到大排成一个多位数A=135********……20072009，从A 中截取能被5整除的五位数，则所有的这种五位数中，最小是（ ），最大是（ ）。

二、解答题5、如果一个自然数n 能被不超过10n 的所有的非0自然数整除，这样的自然数n 叫做“牛数”，请写出所有的“牛数”。

6、循环小数0.x •y z •可以表达成0.x •y z •=999xyz ，算式ab ×0.c •5d •=ef 中a 、b 、c 、d 、e 都是数字，且c<4，求出所有满足条件的两位数ab 。

7、在下列m 个整数中恰好有69个不同的整数，问自然数m 的最小值和最大值分别是多少？【112009+】、【222009+】、【332009+】、……、【mm +2009】8、已知四边形ABCD 中，AD//BC,AD ：BC=1：2，S AOF ∆：S DOE ∆=1：3，S BEF ∆=24cm 2，求三角形AOF 的面积。

2010年第十四届“华罗庚金杯”(训练2）姓名分数一、填空题。

1、循环节长度为2的纯循环小数b a••.0可以表示成b a••.0=99ab。

若p=b a••.0×2009，且p的小数部分是21.0••，则b a••.0等于（）。

2、正整数k≥2009，那么2k2－1－2－3－4－……－2009被3整除的余数是（）。

3、请问102010－2010的各个数位数码之和为（）。

4、设abc、def为两个不同的三位数，满足abcdef－defabc能被2010整除，请问这两个三位数之和最大为（）。

如图1，白、红、蓝三种颜色的骰子形的立方体积木有很多。

它们的棱长都是1cm，但白色的每个重1克，红色的每个重5克，蓝色的每个重10克。

用27个这样的立方体作成图2那样棱长为3cm的大立方体。

回答下面的问题。

(问1)这个棱长3cm的大立方体的重量可能取到的最轻的重量是多少克？(问2)这个棱长3cm的大立方体的重量可能取到的第二重的重量是多少克？(请把答案写在答题纸上)【解析】看到的白色的有14个，红色的有3个，蓝色的有2个。

这些共重14+3×5+2×10=49克。

最轻的话，剩下的8个都是白的，共重49+8=57克。

第二重的话，剩下的8个中有7个蓝的和1个红的，共重49+10×7+5=124克。

【答案】57，124你想要把一张细长的长方形纸ABCD从正中间折叠，使得AB和CD重合，却如图1那样错开了6cm。

现在再次尝试，这次如图2那样错开了4cm。

回答下面的问题。

(问1)图1和图2的横向长度之差是多少cm？(问2)折叠两次后，将长方形展开，有两条折痕。

这两条折痕的距离是多少cm？(把答案写在答题纸上)【解析】(1)如果把错开的部分也对折，则长度应该相等。

图1对折后长度减少3cm，图2对折后长度减少2cm，所以相差1cm。

(2)第一次的折痕在正中间右边3cm，第二次的折痕在正中间左边2cm，所以相距5cm。

【答案】1；5图1中的天平是用来测量物品的重量的。

在右盘里放要称量的物品，左盘里放砝码，两侧相平衡的时候，左盘里的砝码的重量之和就是物品的重量。

例如，图2中，左盘放了2个1g的砝码1个8g的砝码，左右两侧平衡，就知道了物品的重量为1g+1g+8g=10g。

现在，1g，3g，8g，12g的砝码各有足够多个。

在下面的问题，请回答在“□”和“△”中填入的整数是什么。

(问1)左盘总共最多只能放2个砝码，此时无论如何也称不出来的物品的重量最少是□g；(问2)左盘总共最多只能放3个砝码，此时无论如何也称不出来的物品的重量最少是△g。

第14届初小日本算术奥林匹克竞赛试题（上半场）时间：上午10：10—11：10【问题一】A、B、C、D四个人今年的年龄之和是72岁。

若干年前（至少一年前）A是22岁时，B是16岁。

而且，当A是19岁的时候，C的年龄是D的3倍。

另外，A、B、C、D四个人的年龄互不相同。

（1）A、B、C、D的年龄组合共有多少种？（2）无论是（1）中的哪种组合，A、B、C、D中哪个人的年龄总是不变？这个人今年是多少岁？【问题二】如图，一个水槽，里面有两个可以不计厚度的挡板（两个挡板是和水槽的侧面平行的长方形cm的速的形状），把水槽分成A、B、C三部分。

在A和C两部分中，分别同时以每秒1003度注入水。

开始注水50秒后，B部分的水深是7cm，再过50秒后，B部分的水深是29cm，请求出两个挡板各自的高度。

【问题三】保险箱上面有一个可转动的数字盘（如下图），一开始▼指向数字0。

如果根据以下4人所说的话，使▼依次指向某4个数字，就可以打开保险箱。

请求出：①第一个数字，②第二个数字，③第三个数字。

矢泽：“某次指向▼的数字是6；第四个数字是0；另外，没有出现9。

”三田：“转动数字盘的时候，有2次转动了4格，1次转动了3格，1次转动了1格。

但我不记得分别是朝什么方向了。

”中山：“第一次是顺时针，第三次是逆时针。

”八木：“两次转动4格不是连续的。

”【问题四】如下图，在四边形ABCD中，从内部的点E向其顶点A、B、C、D分别做线段EA、EB、EC、ED，已知AB=EC，EB=CD，∠ABE=∠ECD=45°，∠AED=90°，BC=13cm，四边行BCDE的面积cm，求DE的长度。

为302第14届初小日本算术奥林匹克竞赛试题（下半场）时间：上午11：20—12：20【问题五】有一个三位数，各位数字都不为0，将这个整数的百位数字用A表示，十位数字用B，个位数字用C。

另一个三位数百位数字为10-A，十位数字为10-B，个位数字为10-C，并且它是原来三位数的倍数。

2010小学数学奥林匹克预赛试题及答案预赛(A)卷1.计算: 12-22+32-42+52-62+…-1002+1012=________。

2.一个两位数等于其个位数字的平方与十位数字之和，这个两位数是________。

3.五个连续自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是________。

4.有红、白球若干个。

若每次拿出一个红球和一个白球，拿到没有红球时，还剩下50个白球；若每次拿走一个红球和3个白球，则拿到没有白球时，红球还剩下50个。

那么这堆红球、白球共有________个。

5.一个年轻人今年（2000年）的岁数正好等于出生年份数字之和，那么这位年轻人今年的岁数是________。

6.如下图, ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为AB，BC的中点，则图中阴影部分的面积为_____平方厘米。

7.a是由2000个9组成的2000位整数，b是由2000个8组成的2000位整数，则a×b的各位数字之和为________。

8.四个连续自然数，它们从小到大顺次是3的倍数、5的倍数、7的倍数、9的倍数，这四个连续自然数的和最小是____。

9.某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度而不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分，按每度1.50元收费。

某月甲用户比乙用户多交电费7.10元，乙用户比丙用户多交3.75元，那么甲、乙、丙三用户共交电费________元（用电都按整度数收费）。

10.一辆小汽车与一辆大卡车在一段9千米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行。

已知小汽车的速度是大卡车的速度的3倍，两车倒车的速度是各自速度的1/5；小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的4倍。

如果小汽车的速度是50千米/时，那么要通过这段狭路最少用________小时。

11.某学校五年级共有110人，参加语文、数学、英语三科活动小组，每人至少参加一组。

第14届世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。

考试期间，不得使用计算工具或手机。

2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。

3. 请将答案写在本卷上。

考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。

4. 若计算结果是分数，请化至最简。

八年级地方晋级赛初赛B 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟）一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知x 没有平方根，且|x |=125，则x 的立方根为（ ）A ．15B ．－15C ．5D ．－5 2．若k ＜13＜k ＋1（k 是整数），则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 3．下列结论中，正确的是（ ）A ．若a ＞b ，则a 1＜b1B ．若a ＞b ，则a 2＞b 2C ． 若a ＞b ，则1－a ＜1－bD ． 若a ＞b ，则ac 2＞bc 24．如图，有一个△ABC ，现以B 点为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于D 点，以C 点为圆心，AC 长为半径画弧，交BC 于E 点.若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则关于AD 、AE 、BE 、CD 的大小关系，下列正确的是（ ）A ．AD ＝AEB ．AD ＜AEC ．BE ＝CD D ．BE ＜CD第4题图 第6题图 第7题图 第8题图5．有一副美丽的图案，在其顶点处由四个正多边形镶嵌而成，其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，则另一个为（ ）A ．正六边形B ．正五边形C ．正四边形D ．正三角形 6．如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和边AC 的中点，连接DE ，AD ，若 S △ABC ＝24cm 2，则△DEC 的面积为（ ）A ．4cm 2B ．6cm 2C ．8cm 2D ．12cm 27．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上，且BD ＝BE ， CD ＝CF ，∠A ＝70°，那么∠FDE 等于（ ）A ．55°B ．45°C ．45°D ．35°8．如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰好在另一个正六边形的对角线上，则这个图形外轮廓线的周长是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．129．已知，如图，∠AOB ＝30°，点M 1，M 2，M 3…在射线OB 上，点N 1，N 2，N 3…在射线OA 上，△M 1N 1M 2，△M 2N 2M 3，△M 3N 3M 4，…均为等边三角形．若OM 1＝1，则△M n N n M n +1的边长为（ ）A ．2nB ．2n +1C ．2n -1D ．2n10．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，1），点B 的坐标为（11，1），点 C 到直线AB 的距离为5，且△ABC 是直角三角形，则满足条件的C 点有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．8个第9题图 第15题图 第16题图 二、填空题（每小题5分，共30分）11．在实数0，－3，2，－2中，最小的是 ．12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB ＋BC =12cm ，∠A =30°，则AB = cm ．13．已知a ，b 满足ab ＝1，那么112+a ＋112+b ＝ ．14．有两个正多边形，它们的边数之比是1:2，内角和之比为3:8，则这两个多边形的边数之和为 ．15．如图，在等边△ABC 中，AC =9，点O 在AC 上，且AO =3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD .要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是 ．16．如图，矩形ABCD 中，AB =2，AD =3，点E 、F 分别是AD 、DC 边上的点，且EF =2，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则P A ＋PG 的最小值为 ．三、解答题（共5小题，共50分）17．已知有理数x 、y 满足等式：2x ＋3y =10．（1）若x =21，求y 的值；（4分）（2）若x ≥21，求y 的取值范围．（4分）18．雨伞的中截面如图所示，伞骨AB =AC ，支撑杆OE =OF ，AE =31AB ，AF =31AC ，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD 与∠CAD 有何关系？说明理由．（10分）19．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，求证：AD 垂直平分EF ．（10分）20．为支援非洲贫困地区，某慈善组织计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A 、B 两种型号的学习用品共1000件，已知A 型学习用品的单价为20元，B 型学习用品的单价为30元.（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A 、B 两种学习用品各多少件？ （5分）（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B 型学习用品多少件？（5分） 21．如图①，Rt △ABC ≌Rt △EDF ，∠ACB ＝∠F ＝90°，∠A ＝∠E ＝30°，AD =DB =DC ，△EDF 绕着边AB 的点D 旋转， DE ，DF 分别交线段．．AC 于点M ，K ． （1）观察：（i ）如图②、图③，当∠CDF ＝0°或60°时，AM ＋CK _______MK （填“＞”， “＜”或“＝”）；（2分） （ii ）如图④，当∠CDF ＝30° 时，AM ＋CK MK （填“＞”或“＜”）． （2分）（2）猜想：如图①，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM ＋CK _______MK ，请证明你的 结论．（4分）（3）如果MK 2＋CK 2＝AM 2，请直接写出∠CDF 的度数．（注：在△ABC 中，如 果AB 2＋BC 2＝AC 2，则∠B ＝90°）（4分）图① 图② 图③ 图④。

五年级试卷（本试卷满分120分，考试时间90分钟）1.在算式7×9＋12÷3-2中加一对括号后，算式的最大值是_____________。

2.一个小数，若把小数点向右移动一位，则所得到的数比原数大了，原数是______________。

3.三个相邻偶数的乘积是一个五位数8***8，则这三个偶数分别是_________,__________,___________。

4.在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3，4，5整除，且使这个数值尽可能的小，那么组成的这个六位数是______________。

5.甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班____________本，甲班的图书是乙班图书的2倍。

6.书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语，语文书各一本，有____________种不同的取法。

7.一本书共有186页，那么数字1，3，5，7，9在页码中一共出现了_ __次。

8.从0，1，2，4，5，7中，选出四个数，排列成能被2，3，5整除的四位数，其中最大的是______________。

9.甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶_____________千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍。

10.下面一张数表里数的排列存在着某种规律，请你找出规律之后，按照规律填空11.从甲地到乙地，可以乘火车，也可乘轮船，还可以乘飞机。

在一天中，从甲地到乙有4班火车，2班轮船，1班飞机。

那么在一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有___________种不同的走法。

,B,C三人进行200米赛跑，当A到达终点时，B离终点还有20米，C离终点还有25米，如果A,B,C赛跑的速度都不变，那么当B到达终点时，C离终点还有____________米。

13.任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数。

试证新数与原数之和不能等于999。

14.将长200厘米，宽120厘米，厚40厘米的长方体木料锯成同样大小的正方体木块，而没有剩余，共有多少种不同的锯法？当正方体的边长是多少时，锯成的小木块的体积最大，共有多少块？15.一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库，5台抽水机连续20天可抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？16.有A,B,C三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：A有一场踢平，共进球2个，失球8个，；B两战两胜，共失球2个；C共进球4个，失球5个，请你写出每队比赛的比分。