小学奥数几何难题

小学奥数几何专题1、（★★）如图，已知四边形ABCD 中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD 与AD 垂直，则四边形的面积等于多少？[思 路]：显然四边形ABCD 的面积将由三角形ABD 与三角形BCD 的面积求和得到．三角形ABD 是直角三角形，底AD 已知，高BD 是未知的，但可以通过勾股定理求出，进而可以判定三角形BCD 的形状，然后求其面积．这样看来，BD 的长度是求解本题的关键．解：由于BD 垂直于AD ，所以三角形ABD 是直角三角形．而AB=13，DA=12，由勾股定理，BD 2=AB 2－AD 2=132—122=25=52，所以BD=5．三角形BCD 中BD=5，BC=3，CD=4，又32十42=52，故三角形BCD 是以BD 为斜边的直角三角形，BC 与CD 垂直．那么：ABCD S 四边形=ABD S ∆+BCD S∆=12×5÷2+4×3÷2=36．． 即四边形ABCD 的面积是36． 2、（★★）如图四边形土地的总面积是48平方米，三条线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是7平方米和9平方米．那么最大的一个三角形的面积是________平方米；[分析]:剩下两个三角形的面积和是 48-7-9=32 ，是右侧两个三角形面积和的2 倍，故左侧三角形面积是右侧对应三角形面积的2倍，最大三角形面积是 9×2=18。

3．（★★）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。

已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？[思 路]：小升初中常把分数，百分数，比例问题处理成份数问题，这个思想一定要养成。

解：粗线面积：黄面积=2：3绿色面积是折叠后的重叠部分，减少的部分就是因为重叠才变少的，这样可以设总共3份，后来粗线变2份，减少的绿色部分为1份，所以阴影部分为2-1=1份，7 94、（★★）求下图中阴影部分的面积：【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

完整版)小学奥数几何专题小学几何面积问题一引理：如图1在ABCD中，P是AD上一点，连接PB、PC，则S△PBC=S△ABP+S△pcD= P/AD（适应长方形、正方形）。

1.已知：四边形ABCD为平行四边形，求阴影部分面积占平行四边形ABCD的面积的几分之几？无需删除）2.已知：ABCD的面积为18，E是PC的中点，求阴影部分面积。

无需删除）3.在ABCD中，CD的延长线上的一点E，DC=2DE，连接BE交AC于P点，（如图）知S△PDE=1，S△ABP=4，求平行四边形ABCD的面积。

无需删除）4.四边形ABCD中，BF=EF=ED，（如图）1) 若S四边形ABCD=15，则S阴=（无需删除）2) 若S△AEF+S△BFC=15，则S四边形ABCD=（无需删除）3) 若S△AEF=3S△BFC，则S四边形ABCD=（无需删除）5.四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，（如图）若四边形AECG=15，则S四边形ABCD=（无需删除）6.四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，（如图）若阴影部分面积为15，则S四边形ABCD=（无需删除）7.若ABCD为正方形，F是DC的中点，已知：S△BFC=1。

1) 则S四边形ADFB=（无需删除）2) S△DFE=（无需删除）3) S△AEB=（无需删除）8.直角梯形ABCD中，AE=ED，BC=18，AD=8，CD=6，且BF=2FC，S△GED=S△GFC，求阴影部分面积。

无需删除）小学几何面积问题二1.如图S△AEF=2，AB=3AE，CF=3EF，则S△ABC=（无需删除）2.如图S△BDE=30，AB=2AE，DC=4AC，则S△ABC=（无需删除）3.正方形ABCD中，E、F、G为BC边上四等份点，M、N、P为对角线AC上的四等份点（如图），若S正方形ABCD=32，则S△NGP=（无需删除）4.已知：S△ABC=30，D是BC的中点，AE=2ED，则S△BDE=（无需删除）1.在梯形ABCD中，AD//BC，OC=2AO，阴影部分的面积为4，求梯形ABCD的面积。

小学奥数几何题100道及答案(完整版)题目1：一个正方形的边长是5 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：正方形面积= 边长×边长，即5×5 = 25（平方厘米）答案：25 平方厘米题目2：一个长方形的长是8 分米，宽是6 分米，它的周长是多少分米？解题方法：长方形周长= （长+ 宽）×2，即（8 + 6）×2 = 28（分米）答案：28 分米题目3：一个三角形的底是10 厘米，高是6 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：三角形面积= 底×高÷2，即10×6÷2 = 30（平方厘米）答案：30 平方厘米题目4：一个平行四边形的底是12 米，高是8 米，它的面积是多少平方米？解题方法：平行四边形面积= 底×高，即12×8 = 96（平方米）答案：96 平方米题目5：一个梯形的上底是 4 厘米，下底是6 厘米，高是5 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：梯形面积= （上底+ 下底）×高÷2，即（4 + 6）×5÷2 = 25（平方厘米）答案：25 平方厘米题目6：一个圆的半径是3 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：圆的面积= π×半径²，即3.14×3²= 28.26（平方厘米）答案：28.26 平方厘米题目7：一个半圆的半径是 4 分米，它的周长是多少分米？解题方法：半圆的周长= 圆周长的一半+ 直径，即3.14×4×2÷2 + 4×2 = 20.56（分米）答案：20.56 分米题目8：一个长方体的长、宽、高分别是5 厘米、4 厘米、3 厘米，它的表面积是多少平方厘米？解题方法：长方体表面积= （长×宽+ 长×高+ 宽×高）×2，即（5×4 + 5×3 + 4×3）×2 = 94（平方厘米）答案：94 平方厘米题目9：一个正方体的棱长是6 分米，它的体积是多少立方分米？解题方法：正方体体积= 棱长³，即6³= 216（立方分米）答案：216 立方分米题目10：一个圆柱的底面半径是2 厘米，高是5 厘米，它的侧面积是多少平方厘米？解题方法：圆柱侧面积= 底面周长×高，底面周长= 2×3.14×2，即2×3.14×2×5 = 62.8（平方厘米）答案：62.8 平方厘米题目11：一个圆锥的底面半径是3 厘米，高是4 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：圆锥体积= 1/3×底面积×高，底面积= 3.14×3²，即1/3×3.14×3²×4 = 37.68（立方厘米）答案：37.68 立方厘米题目12：两个边长为4 厘米的正方形拼成一个长方形，长方形的长和宽分别是多少？面积是多少？解题方法：长方形的长为8 厘米，宽为4 厘米，面积= 8×4 = 32（平方厘米）答案：长8 厘米，宽4 厘米，面积32 平方厘米题目13：一个三角形的面积是18 平方厘米，底是6 厘米，高是多少厘米？解题方法：高= 面积×2÷底，即18×2÷6 = 6（厘米）答案：6 厘米题目14：一个平行四边形的面积是24 平方米，底是 4 米，高是多少米？解题方法：高= 面积÷底，即24÷4 = 6（米）答案：6 米题目15：一个梯形的面积是30 平方分米，上底是5 分米，下底是7 分米，高是多少分米？解题方法：高= 面积×2÷（上底+ 下底），即30×2÷（5 + 7）= 5（分米）答案：5 分米题目16：一个圆环，外圆半径是5 厘米，内圆半径是 3 厘米，圆环的面积是多少平方厘米？解题方法：圆环面积= 外圆面积-内圆面积，即 3.14×（5²- 3²）= 50.24（平方厘米）答案：50.24 平方厘米题目17：一个长方体的棱长总和是48 厘米，长、宽、高的比是3:2:1，长方体的体积是多少立方厘米？解题方法：一条长、宽、高的和为48÷4 = 12 厘米，长为6 厘米，宽为4 厘米，高为2 厘米，体积= 6×4×2 = 48（立方厘米）答案：48 立方厘米题目18：一个正方体的表面积是54 平方分米，它的一个面的面积是多少平方分米？解题方法：一个面的面积= 表面积÷6，即54÷6 = 9（平方分米）答案：9 平方分米题目19：一个圆柱的底面直径是4 分米，高是3 分米，它的表面积是多少平方分米？解题方法：底面积= 3.14×（4÷2）²= 12.56 平方分米，侧面积= 3.14×4×3 = 37.68 平方分米，表面积= 2×12.56 + 37.68 = 62.8（平方分米）答案：62.8 平方分米题目20：一个圆锥的底面周长是18.84 分米，高是5 分米，它的体积是多少立方分米？解题方法：底面半径= 18.84÷3.14÷2 = 3 分米，体积= 1/3×3.14×3²×5 = 47.1（立方分米）答案：47.1 立方分米题目21：一个长方体的水箱，长 5 分米，宽4 分米，高 3 分米，里面装满水，把水倒入一个棱长为5 分米的正方体水箱，水深多少分米？解题方法：水的体积= 5×4×3 = 60 立方分米，正方体水箱底面积= 5×5 = 25 平方分米，水深= 60÷25 = 2.4 分米答案：2.4 分米题目22：一块长方形的铁皮，长8 分米，宽6 分米，从四个角各切掉一个边长为1 分米的正方形，然后做成一个无盖的盒子，这个盒子的容积是多少立方分米？解题方法：盒子长6 分米，宽4 分米，高1 分米，容积= 6×4×1 = 24（立方分米）答案：24 立方分米题目23：一个圆柱的体积是60 立方厘米，底面积是12 平方厘米，高是多少厘米？解题方法：高= 体积÷底面积，即60÷12 = 5（厘米）答案：5 厘米题目24：一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆柱的体积是27 立方分米，圆锥的体积是多少立方分米？解题方法：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的1/3，即27×1/3 = 9（立方分米）答案：9 立方分米题目25：把一个棱长为 6 厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积为36 平方厘米的圆柱体，这个圆柱体的高是多少厘米？解题方法：正方体体积= 6³= 216 立方厘米，圆柱体的高= 体积÷底面积，即216÷36 = 6（厘米）答案：6 厘米题目26：一个直角三角形的两条直角边分别是3 厘米和4 厘米，斜边是5 厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？解题方法：直角三角形面积= 两条直角边乘积的一半，即3×4÷2 = 6（平方厘米）答案：6 平方厘米题目27：一个等腰三角形的周长是20 厘米，其中一条腰长8 厘米，底边长多少厘米？解题方法：等腰三角形两腰相等，所以底边长= 周长-腰长×2，即20 - 8×2 = 4（厘米）答案：4 厘米题目28：一个扇形的圆心角是90°，半径是6 厘米，这个扇形的面积是多少平方厘米？解题方法：扇形面积= 圆心角÷360°×圆的面积，即90÷360×3.14×6²= 28.26（平方厘米）答案：28.26 平方厘米题目29：一个长方体的底面是边长为5 厘米的正方形，高是8 厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？解题方法：长方体体积= 底面积×高，底面积= 5×5 = 25 平方厘米，体积= 25×8 = 200（立方厘米）答案：200 立方厘米题目30：一个圆柱的底面周长是18.84 厘米，高是10 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：底面半径= 18.84÷3.14÷2 = 3 厘米，体积= 3.14×3²×10 = 282.6（立方厘米）答案：282.6 立方厘米题目31：一个圆锥的底面直径是8 厘米，高是6 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：底面半径= 8÷2 = 4 厘米，体积= 1/3×3.14×4²×6 = 100.48（立方厘米）答案：100.48 立方厘米题目32：把一个棱长为8 厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？解题方法：圆柱的底面直径和高都是8 厘米，体积= 3.14×（8÷2）²×8 = 401.92（立方厘米）答案：401.92 立方厘米题目33：一个长方体玻璃缸，从里面量长4 分米，宽 3 分米，高5 分米，缸内水深2.5 分米。

几何问题1. 图中部有阴影的正方形共有____个。

2. 如下图，正方形ABCD边长为lO厘米，BO长8厘米。

AE=____厘米。

3. E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？46FED CBA4. 用同样大小的木块堆成了如下图所示的形状，这里共用了_______个木块。

面积问题1. 一个长方体的表面积是400平方厘米，其中有一个顶点处两条棱长分别是5cm和10cm，求此处的另一条棱长。

2. 如下图，有一个边长是6cm的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是6，4，2cm的长方体，那么它的表面积现在是多少?3. 用棱长是1厘米的立方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?4. 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按下图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．5. 有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的表面积。

6. 在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？7. 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？8. 21个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体如右图.它的表面积是平方厘米.9. 如下图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？10. 一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半(如图)．将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面之和为600平方分米．求这个大长方体原来的表面积．11. 如右图，以OA为斜边的直角三角形的面积是24 平方厘米，斜边长10 厘米，将它以O点为中心旋转90°，问：三角形扫过的面积是________？( π取3)A. 90B. 93C. 96D. 99答案:1. 面积为1 的正方形有8 个，面积为4 的正方形有8 个，面积为9 的正方形有8 个，面积为16 的正方形有2 个，共计26 个.2. 解：△AOB与△EDA相似，对应边成比例。

小学奥数几何题几何作为数学的重要分支之一，在小学奥数竞赛中占据了重要的位置。

几何题目既能培养学生的逻辑思维能力，又能增强他们对图形的认识和理解。

本文将介绍几个适合小学生的奥数几何题，通过解题的过程，帮助小学生进一步理解几何知识。

一、等腰三角形面积问题描述：已知一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为12cm，求这个三角形的面积。

解题思路：首先，我们需要知道等腰三角形的性质，即两个底角相等。

根据这个性质，我们可以将等腰三角形划分为两个等边三角形和一个矩形。

通过计算等边三角形的面积和矩形的面积，再求和，就可以得到等腰三角形的面积。

解题步骤：1. 计算等边三角形的面积：等边三角形的边长可以通过底边和腰长得到，设等边三角形的边长为x。

根据勾股定理，可以列出方程：x^2 = 12^2 - (10/2)^2。

解方程得到x ≈ 8.77cm。

由于等边三角形可以看作是6个等边三角形的组合，所以等边三角形的面积为6 * (x^2 * sqrt(3) / 4) ≈ 76.37cm²。

2. 计算矩形的面积：矩形的宽度等于底边长，长度等于腰长减去等边三角形的边长。

所以矩形的面积为10 * (12 - 8.77) ≈ 31.25cm²。

3. 求和得到等腰三角形的面积：等腰三角形的面积等于等边三角形的面积加上矩形的面积，即76.37cm² + 31.25cm² ≈ 107.62cm²。

因此，这个等腰三角形的面积约为107.62cm²。

二、平行四边形的性质问题描述：已知ABCD是一个平行四边形，且AB = 8cm，BC =6cm，CD = 8cm，求AD的长度。

解题思路：平行四边形的性质之一是对角线互相平分。

根据这个性质，我们可以将平行四边形划分为两个等腰三角形。

通过计算等腰三角形的底边和两个腰的长度，可以得到AD的长度。

解题步骤：1. 计算等腰三角形的底边：等腰三角形的底边等于平行四边形的一边。

立体图形⑴ 立体图形的表面积和体积公式长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．c b aHGFED BA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．二、圆柱与圆锥【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？改.又是多少？【例 2】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）练习：在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【例 3】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【例 4】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？（锯一次增加两个面）练习.一个表面积为256cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2cm．表面积最小：互相重合的面最多时表面积最小【例 5】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？体积：例1. 如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?例2. 某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上加固．所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米．若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?⑵不规则立体图形的表面积整体观照法例1. 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．例2. 如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．例3.把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．例4.用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?例5.下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。

第六讲几何综合之复杂平面几何问题二模块一、角度问题例1．如图，∠AOB的顶点O在直线l上，已知图中所有小于平角的角之和是400°，则∠AOB=。

解：由题意知∠1+∠2+∠3+(∠1+∠2)+(∠2+∠3)=400°，所以2×(∠1+∠2+∠3)+∠2=400°，又∠1+∠2+∠3=180°，所以∠2=400°−360°=40°.例2．一个考古发现的正多边形残片，如图所示，∠EAB=∠FBA=165°，那么原来是一个正边形。

解：一个正n边形的内角=180°−360n︒，由题意得180°−360n︒=165°，解得n=24，所以原来是正24边形。

例3．在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，求∠F AC的大小是。

解：因为AD是∠BAC的平分线，所以∠1=∠2，又EF垂直平分AD，所以∠2+∠3=∠4，有∠4=∠B+∠1，所以∠2+∠3=∠B+∠1，解得∠3=∠B，所以∠F AC=∠3=45°.例4．如图所示，已知AB平行于CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，求证：∠E=1()2B D∠+∠。

解：过E做EF//AB，因为AB//CD，所以EF//CD，因为EF//AB，所以∠1=∠3，因为BE是∠ABC的平分线，所以∠3=∠4，得∠1=12∠B，同理得∠2=∠6=12∠D，所以∠E=∠1+∠2=1()2B D∠+∠。

D模块二、几何图形变换之轴对称例5．如图，四边形ABCD 中，AB =BC =CD ，∠B =168°，∠C =108°，求∠D 的度数是。

解：如图，以AB 为边做等边三角形ABE ，连结DE 、BD ，则∠CBE =168°−60°=108°=∠C ,因为AB =BE ，AB =CD ，所以BE =CD ，所以四边形BCDE 是等腰梯形，∠BED =∠CDE =180°−102°=72°，在等腰三角形CBD 中，∠C =108°，所以∠CBD =∠CDB =1(180108)362⨯︒-︒=︒，所以∠DBE =180°−36°=72°，∠DBE =∠BED ，三角形BDE 是等腰三角形，BE 垂直于AD ， 所以∠BDE =180°−2×72°=36°，因为AD 平分∠BDE ，所以∠BDA =∠ADE =18°， 所以∠CDA =∠CDE −∠ADE =72°−18°=54°.例6．如图，在△ABC 中，∠BAC =∠BCA =44°，M 是△ABC 内一点，使得∠MCA =30°，∠MAC =16°，则∠MBC =。

小学四年级奥数题库：几何夹角(高等难度)_题型归纳
小学四年级奥数题库：几何夹角(高等难度)
（2005年第10届华杯赛决赛第14题）两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的"夹角"（见图4）。

如果在平面上画L条直线，要求它们两两相交，并且"夹角"只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，问：
（1）L的最大值是多少？
（2）当L取最大值时，问所有的"夹角"的和是多少？
几何夹角答案：
（1）固定平面上一条直线,其它直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算,只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°十一种角度之一，所以，平面上最多有12条直线。

否则，必有两条直线平行。

（2）根据题意，相交后的直线会产生15°、30°、45°、60°、75°的两条直线相交的情况均有12种；他们的角度和是（15+30+45+60+75）×12=2700°；产生90°角的有第1和第7条直线；第2和第8条直线；第3和第9条直线；第4和第10条直线；第5和第11条直线；第6和第12条直线共6个，他们的角度和是90×6=540°；所以所有夹角和是2700+540=3240°。

小学奥数几何中的计数问题数长方形例1如下图，数一数下列各图中长方形的个数？分析：图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为：4+3+2+1=10（个）.图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条. BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为：（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）.解：图（Ⅰ）中长方形个数为4+3+2+1=10（个）.图（Ⅱ）中长方形个数为：（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.图（Ⅲ）中长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）.小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）.例2 如右图数一数图中长方形的个数.解：AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.BC边上分成的线段有：3+2+1=6.所以共有长方形：（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）.数正方形例3数一数下页各个图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形）分析：图Ⅰ中，边长为1个长度单位的正方形有：2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有：1×1=1（个）.所以，正方形总数为1×1+2×2=1+4=5（个）.图Ⅱ中，边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个）；边长为2个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；边长为3个长度单位的正方形有1×1=1（个）.所以，正方形的总数为：1×1+2×2+3×3=14（个）.图Ⅲ中，边长为1个长度单位的正方形有：4×4=16（个）；边长为2个长度单位的正方形有：3×3=9（个）；边长为3个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；边长为4个长度单位的正方形有：1×1=1（个）；所以，正方形的总数为：1×1+2×2+3×3+4×4=30（个）.图Ⅳ中，边长为1个长度单位的正方形有：5×5=25（个）；边长为2个长度单位的正方形有：4×4=16（个）；边长为3个长度单位的正方形有：3×3=9（个）；边长为4个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；边长为5个长度单位的正方形有：1×1=1（个）.所有正方形个数为：1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55（个）.小结：一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形个数有：n×n=n2（个），边长为2个长度单位的正方形个数有：（n-1）×（n-1）=（n-1）2（个）…；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有：2×2=22（个），边长为n个长度单位的正方形个数有：1×1=1（个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：12+22+32+…+n2（个）.例4如右图，数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.分析：为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.①以一条基本线段为边的正方形个数共有：6×5=30（个）.②以二条基本线段为边的正方形个数共有：5×4=20（个）.③以三条基本线段为边的正方形个数共有：4×3=12（个）.④以四条基本线段为边的正方形个数共有：3×2=6（个）.⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：2×1=2（个）.所以，正方形总数为：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70（个）.小结：一般情况下，若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n＜m）：mn+（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1显然例4是结论的特殊情况.例5 如下图，平面上有16个点，每个点上都钉上钉子，形成4×4的正方形钉阵，现有许多皮筋，问能套出多少个正方形.例6 如右图，数一数图中三角形的个数.分析这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始.Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：W①上=1+2+3+4=10（个）.②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：W①下=1+2+3=6（个）.Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：W②上=1+2+3=6（个）.②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）.Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：W③上=1+2=3（个）.②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）.Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：W④上=1（个）.所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.我们还可以按另一种分类情况计算三角形的个数，即按尖朝上与尖朝下的三角形的两种分类情况计算三角形个数.Ⅰ.尖朝上的三角形共有四种：W①下=1+2+3+4=10W②上=1+2+3=6W③上=1+2=3W④上=1所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20（个）.Ⅱ.尖朝下的三角形共有二种：W①下=1+2+3=6W②下=1W③下=0W④下=0则尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7（个）所以，尖朝上与尖朝下的三角形一共有：20+7=27（个）.小结：尖朝上的三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为止.尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止.（1）W①上=8+7+6+5+4=30（3）W③上=6+5+4=15（4）W④上=5+4=9（5）W⑤上=4∴尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80（个）.Ⅱ.尖朝下的三角形有四种：（1）W①下=3+4+5+6+7=25（2）W②下=2+3+4+5=14（3）W③下=1+2+3=6（4）W④下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46（个）.所以尖朝上与尖朝下的三角形总共有80+46=126（个）.。