下载文档原格式
攻克圆锥曲线解答题的策略1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈②点到直线的距离d =③夹角公式：2121tan 1k k k k α-=+（3）弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =-=或12AB y y =-（4）两条直线的位置关系①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)x y m n m n m n+=>>≠且2a参数方程：cos ,sin x a y b θθ==(2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)x y m n m n+=⋅<距离式方程：2a =(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22222b b p a a椭圆：；双曲线：；抛物线：(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知21F F 、是椭圆13422=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是（ ）A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：122tan2F PF P b θ∆=在椭圆上时，S122cot2F PF P b θ∆=在双曲线上时，S（其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==∙=⋅）(6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为“左加右减，上加下减”。
（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为（3）11||,||22p px x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设()11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有1342121=+y x ，1342222=+y x ；两式相减得()()03422212221=-+-y yx x⇒()()()()3421212121y y y y x x x x +--=+-⇒AB k =ba 43-2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0∆≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元··，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。
高中数学解题策略专题--圆锥曲线直线与圆锥曲线的问题是解析几何解答题的主要题型，是历年高考的重点和热点。
欲更快地解题，需要解决好以下两个问题：（1）条件或目标的等价转化；（2）对于交点坐标的适当处理。
一、条件或目标的认知与转化解题过程是一系列转化过程，解题就是要将所解题转化为已经解过的题。
转化的基础是——认知已知、目标的本质和联系。
有了足够的认知基础，我们便可化生为熟或化繁为简。
1、化生为熟化生为熟是解题的基本策略。
在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。
因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问题转化。
（1）向弦中点转化例1.已知双曲线 =1（a>0,b>0）的离心率，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为（1）求双曲线方程；（2）若直线（km≠0）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m的取值范围。
略解：（1）所求双曲线方程为（2）由消去y得：由题意知，当时，①设中点则C、D均在以A为圆为的同一圆上又∴②于是由②得③由②代入①得，解得m<0或m>4 ④于是综合③、④得所求m的范围为（2）向弦长转化例2．设F是椭圆的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且满足（1）求点P的轨迹C2的方程；（2）过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列，求使成立的直线l 的方程。
分析：为避免由代换引发的复杂运算，寻觅替代的等价条件：设弦AD、BC的中点分别为O1、O2，则，故，据此得于是，所给问题便转化为弦长与弦中点问题。
略解：椭圆C1的中心点P分所成的比λ=2。
（1）点P的轨迹C2的方程为（2）设直线l的方程为①①代入椭圆C1的方程得，故有故弦AD中点O1坐标为②①代入椭圆C2的方程得，又有故弦BC中点O2坐标为，③∴由②、③得④注意到⑤于是将②、③、④代入⑤并化简得：由此解得。
圆锥曲线解题方法技巧归纳一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五种：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离0022Ax By C d A B++=+③夹角公式：2121tan 1k k k k α-=+ ④两直线距离公式（3）弦长公式直线y kx b =+与圆锥曲线两交点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：2121AB k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-或12211AB y y k =+- (若A 点为交点，另一点不在圆锥曲线上，上式仍然成立。
) （4）两条直线的位置关系①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式（三种形式）标准方程：221(0,0)x y m n m n m n+=>>≠且 距离式方程：2222()()2x c y x c y a +++-+= 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)x y m n m n+=⋅<参数方程：距离式方程：2222|()()|2x c y x c y a ++--+=(3)、三种圆锥曲线的通径22222b b p a a椭圆：；双曲线：；抛物线：(4)、圆锥曲线的定义(5)、焦点三角形面积公式：122tan2F PF P b θ∆=在椭圆上时，S 122cot2F PF P b θ∆=在双曲线上时，S（其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==∙=⋅）(6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为“左加右减，上加下减”。
几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。
1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化： （1）角度问题：① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定（2）点与圆的位置关系① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，ACB ∠为钝角（再转为向量：0CA CB ⋅<；若点在圆上，则ACB ∠为直角（0CA CB ⋅=）；若点在圆外，则ACB ∠为锐角（0CA CB ⋅>） （3）三点共线问题① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 ② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：()()1122,,,a x y b x y ==，则,a b 共线1221x y x y ⇔=；a b ⊥12120x x y y ⇔+=（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化（1）三角形的“重心”：设不共线的三点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则ABC 的重心123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：,IP AC IQ AQ ⊥⊥I 在BAC ∠的角平分线上AI AC AI AB AP AQ ACAB⋅⋅⇒=⇒=（4）P 是以,DA DB 为邻边的平行四边形的顶点DP DA DB ⇒=+（5）P 是以,DA DB 为邻边的菱形的顶点：P 在AB 垂直平分线上（6）共线线段长度的乘积：若,,A B C 共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：AC AB AC AB ⋅=⋅，AC BC AC BC ⋅=-⋅CA二、典型例题：例1：如图：,A B 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，F 为其右焦点，2是,AF FB 的等差中项，3是,AF FB 的等比中项（1）求椭圆C 的方程（2）已知P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ AP ⊥，并交直线l 于点Q 。
圆锥曲线解题技巧之参数化方程将圆锥曲线的方程转化为参数方程简化计算过程更容易求解和分析圆锥曲线是数学中的重要概念，在解题时，利用参数化方程可以简化计算过程，使得求解和分析更加容易和方便。
本文将介绍圆锥曲线参数化方程的基本概念和应用技巧。
一、圆锥曲线的参数化方程基本概念在解析几何中，圆锥曲线是由平面与一个双曲面或抛物面相交而产生的曲线。
常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
参数化方程是一种使用参数来表示曲线上各点坐标的方程。
对于圆锥曲线，我们可以将其方程转化为参数化方程，即通过引入参数来表示曲线上的点。
二、圆锥曲线参数化方程的求解方法1. 椭圆的参数化方程对于椭圆，其方程一般形式为：(x/a)² + (y/b)² = 1其中，a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
我们可以引入参数θ来表示椭圆上的点，可得椭圆的参数化方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ的取值范围为[0, 2π]。
2. 双曲线的参数化方程对于双曲线，其方程一般形式为：(x/a)² - (y/b)² = 1其中，a和b分别表示双曲线的焦点到中心的距离。
类似于椭圆，我们可以引入参数θ来表示双曲线上的点，可得双曲线的参数化方程为：x = a*coshθy = b*sinhθ其中，coshθ表示双曲函数的双曲余弦，sinhθ表示双曲函数的双曲正弦。
3. 抛物线的参数化方程对于抛物线，其方程一般形式为：y² = 4ax其中，a为抛物线的焦点到准线的距离。
我们可以引入参数t来表示抛物线上的点，可得抛物线的参数化方程为：x = at²y = 2at其中，t为参数的取值范围为(-∞, +∞)。
三、圆锥曲线参数化方程的应用技巧使用参数化方程求解圆锥曲线问题时，可以根据具体情况选取合适的参数和参数的取值范围，使得计算和分析更加简便。
1. 参数化方程的优势通过使用参数化方程，我们可以将曲线上的点和参数建立起对应关系，从而简化计算过程。
攻克圆锥曲线解答题的策略1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈②点到直线的距离d =③夹角公式：2121tan 1k k k k α-=+（3）弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =-=或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系①1212l l k k ⊥⇔=-1 ②212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程与性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)x y m n m n m n+=>>≠且2a 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)x y m n m n+=⋅<距离式方程：2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22222b b p a a椭圆：；双曲线：；抛物线：(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知21F F 、是椭圆13422=+y x 的两个焦点，平面一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是（ ）A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：122tan2F PF P b θ∆=在椭圆上时，S122cot2F PF P b θ∆=在双曲线上时，S（其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==•=⋅）(6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为“左加右减，上加下减”。
（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22p px x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备1、点差法（中点弦问题） 设()11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有 1342121=+y x ，1342222=+y x ；两式相减得()()03422212221=-+-y yx x⇒()()()()3421212121y y y y x x x x +--=+-⇒AB k =ba 43-2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0∆≥，以与根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元··，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型:(1) 中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两 点为(X i ，yJ ， (x 2 ,y 2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系 及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参 数。
2 2X 7 如：(1) r T =1(ab 0)与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为a b M(x o ,y o )，则有畤 2k = O 。
a b 2 2 (2) 笃-% fa 0,b 0)与直线I 相交于A 、B ，设弦AB 中点为 a b(3) y 2=2px (p>o )与直线I 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x °,y o ),则有 2y o k=2p,即 y o k=p.2典型例题 给定双曲线X 2 -亍=1。
过A (2，1)的直线与双曲线交于 两点P i 及P 2，求线段P i P 2的中点P 的轨迹方程。
(2) 焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ,与两个焦点F i 、F 2构成的三角形问题，常用 正、余弦定理搭桥。
2 2典型例题 设P(x,y)为椭圆 J 七二1上任一点，F i (-c ,o)， F 2(c,o )a b 为焦点，• PF/?二〉，PF 2F 1 二。
sin (口 + P )(1) 求证离心率e 二sina + sin P M(x o ,y o)则有 直 Yoa 2b 2(2)求IPF J PF2|3的最值。
(3)直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程2=p(x 1)(p 0)，直线y = t与轴的交点在抛物线准线的右边。
(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B，且0A丄OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法【摘要】圆锥曲线问题是数学中的经典难题，研究其解决方法对于深入理解数学的基本概念具有重要意义。
本文分别介绍了利用几何性质、代数方法、解析几何方法、计算机辅助方法和综合方法解决圆锥曲线问题的过程及特点。
通过比较各种方法的优缺点，给出了适用场景和方法选择的建议。
未来，随着数学技术的不断发展，可以进一步深入研究和探索圆锥曲线问题，为数学领域的发展做出更大的贡献。
通过本文的介绍，读者可以对解决圆锥曲线问题有一个全面而深入的了解，为相关领域的学习和研究提供重要参考。
【关键词】圆锥曲线问题、椭圆、双曲线、抛物线、利用几何性质、代数方法、解析几何方法、计算机辅助方法、综合方法、优缺点比较、适用场景、未来发展方向。
1. 引言1.1 什么是圆锥曲线问题圆锥曲线问题是指在平面几何学或代数几何学中研究与圆锥曲线相关的一类数学问题。
圆锥曲线是由平面上的一固定点（焦点）和一条不过焦点的直线（准线）确定的一类具有特殊性质的曲线。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹，双曲线是平面上到两个固定点的距离之差等于常数的点的轨迹，而抛物线则是平面上到一个固定点的距离等于到一条固定直线的距离的点的轨迹。
这些曲线在几何形态和性质上有着独特的特点，因此对它们的研究具有重要的意义。
圆锥曲线问题不仅在数学理论研究中具有重要价值，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
比如在工程学、物理学、经济学等领域，都有着对圆锥曲线问题的需求和应用。
深入研究和解决圆锥曲线问题，对于提高数学理论水平和促进实际应用具有重要的作用。
1.2 研究圆锥曲线问题的意义研究圆锥曲线问题具有重要的理论和实际意义。
圆锥曲线在几何学和代数学中有广泛的应用，可以描述各种自然现象和工程问题。
椭圆、双曲线和抛物线在物理学中的光学、力学、天体运动等领域都有重要应用。
研究圆锥曲线问题可以促进数学知识的深入理解和发展，探讨不同的解决方法和技巧，对于培养数学思维和解决问题的能力具有重要意义。
第2讲 待定系数法（几何与代数转化）一、考情分析待定系数法是圆锥曲线里面一种非常基础但也是非常重要的方法，是我们几何与代数转化的桥梁。
要学好圆锥曲线这一部分，掌握并记住基础的结论是学习圆锥曲线第一步，待定系数法就是我们突破圆锥曲线的第二步，几何分析+方程思想离不开待定系数法;设而不求+加韦达定理更是离不开待定系数法。
本文以此为出发点，从不同角度分析和处理圆锥曲线。
二、经验分享求圆锥曲线方程的策略一般有以下几种：①几何分析法＋方程思想；。
几何分析法，利用图形结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图中已知量与未知量之间的关系，列出关于方程中参数的方程，解出参数值即可得到圆锥曲线方程，要求平面几何中相似等数学知识必须十分熟练。
②设而不求＋韦达定理；设而不求、韦达定理是解圆锥曲线问题的通性通法，缺点是计算量较大，费时费力，容易出错，通常根据题设条件，设出点的坐标和直线方程，将直线方程代入曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理用参数表示出来，根据题中条件列出关于参数的方程，通过解方程解出参数值，即可得出圆锥曲线的方程。
③第二定义＋数形结合； ④参数法＋方程思想。
不管是哪种方法，最终都要列出关于圆锥曲线方程中的参数的方程问题，通过解方程解出参数值，即可得到圆锥曲线方程，故将利用平面几何知识和圆锥曲线的定义与性质是将几何问题转化为代数问题，简化解析几何计算的重要途径.不管我们采取何种方法，待定系数法都是我们的几何与代数的桥梁，面对纷繁复杂的数学圆锥曲线大题，唯有静下心来。
合理设置参数，选取最适用的方法，代数与几何灵活转化，才是我们攻克圆锥曲线的正确之道三、题型分析(一) 用待定系数法求解圆锥曲线方程例1 【2014年全国课标Ⅱ，理20】设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .【解析】（Ⅰ）根据c 22(,),23b M c b ac a=将222b a c =-代入223b ac =，解得1,22c ca a==-（舍去） 故C 的离心率为12． （Ⅱ）由题意，原点O 为12F F 的中点，2MF ∥y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a = ① 由15MN F N =得112DF F N =。
例说圆锥曲线问题中的运算简化技巧圆锥曲线问题中的运算简化技巧是指通过一些技巧和方法，将复杂的计算过程转化为简单的步骤，从而更快地解决问题。
下面将介绍一些常用的运算简化技巧。
1.代数化简：通过代数化简，将方程中的复杂项转化为简单项，从而简化计算过程。
例如，将方程中的平方项和一次项合并，将多项式进行分解或因式分解等。
2.消元法：对于含有多个未知数的方程，可以通过消元法简化运算。
消元法的基本思想是将一个方程中的一个未知数表示成另一个方程中的未知数的函数，然后将它代入另一个方程中进行消元。
这样可以将未知数的个数减少，从而简化计算。
3.利用对称性：圆锥曲线具有一些对称性质，例如椭圆轴对称、双曲线双对称等。
利用这些对称性，可以将问题简化为求解对称点或对称轴上的问题，从而减少计算的复杂性。
4.利用特殊值：对于一些特殊值，圆锥曲线的方程可能比较简单，从而可以简化计算。
例如，当椭圆的离心率为0时，即为圆；当双曲线的离心率为1时，即为双曲线的标准方程等。
5.利用几何性质：圆锥曲线具有一些几何性质，例如椭圆的两焦点到任意点的距离之和是常数，双曲线的两焦点到任意点的距离之差是常数等。
利用这些几何性质，可以简化计算。
6.利用对偶性：圆锥曲线的对偶曲线可以与原曲线进行一一对应。
对偶曲线的几何性质和运算规律可能更加简单和直观，因此可以通过对偶性来简化计算。
7.利用极坐标系：对于一些特殊的圆锥曲线，例如圆或抛物线，使用极坐标系可以简化计算。
极坐标系将直角坐标系的复杂计算转化为极径和极角的简单运算。
8.利用参数方程：将圆锥曲线的方程表示为参数方程，可以减少未知数的个数，从而简化计算。
参数方程在求解一些特殊问题时，可能比直接使用方程更加方便。
9.利用矩阵运算：通过将方程表示为矩阵形式，可以利用矩阵运算的性质，简化计算并得到更直观的结果。
10.利用计算工具：在计算圆锥曲线问题时，可以借助各种计算工具，如数学软件、计算器等，减少手工计算的繁琐。
